空间向量运算的坐标表示
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空间向量运算的坐标表示
F1
0
,
1 4
，1 .
B
BE1
1 ,
3 4
, 1
(1 , 1 ,
0)
0
,
1 4
, 1
,
例2 如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，B1E1
D1F1
A1B1 4
，求
BE1
与
DF1
所成的角的余弦值。
z
D1
F1
C1
DF1
0
,
1 4
，1 (0
,
0
,
0)
0
,
1 4
，1 .
A1
E1 B1
一、向量的直角坐标运算
设a (a1, a2, a3),b (b1,b2,b3)则 a b (a1b1,a2 b2,a3 b3) ; a b (a 1b1,a2 b2 ,a3 b3 );
a (a1,a2,a3),( R);
a b a1b1 a2b2 a3b3
;
a // b a1 b1,a2 b2 ,a3 b3( R) ; a1 / b1 a2 / b2 a2 / b2 .
注意：
a1b1 a2b2 a3b3
;
a12 a22 a32 b12 b22 b32
（1）当 cos a , b 1 时，a 与 b 同向； （2）当 cos a , b 1 时，a 与 b 反向；
（3）当cos a , b 0 时，a b 。
思考：当 0 cos a , b 1及 1 cos a , b 0时，
2)求点A到直线EF的距离。 D1
(用向量方法）
F A1
C1 B1
E
D A
C B
课件1：1.3.2 空间向量运算的坐标表示
[探究问题] 1．已知 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段 AB 的中点 P 的坐标是多少？ [提示] Px1＋2 x2，y1＋2 y2，z1＋2 z2.
2．类比平面向量，空间向量共线的充要条件是什么？ [提示] 若 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
a1＝λb1， 则 a∥b⇔a＝λb⇔a2＝λb2，
a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4) ＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14； (a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6) ＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8.
规律方法 进行空间向量的数量积坐标运算的技巧 利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算 的法则，同时掌握下列技巧． (1)在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a＋b)·(a－b) ＝a2－b2＝|a|2－|b|2，(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)2 等．
(2)设 Q(x，y，z)，则P→Q＝(x＋1，y－2，z＋3)，M→N＝(1,1,1)，
∴x＋x1＋＝1y2－＋2＝y－z＋232＋，z＋32＝3 12＋12＋12，
x＝－4，
解得y＝－1 z＝－6
x＝2，
，或y＝5， z＝0，
∴Q 点的坐标为(－4，－1，－6)或(2,5,0)．]
类型二 空间向量的平行与垂直
(2)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是棱 D1D 的中点，P、Q 分别为线段 B1D1，BD 上的点，且 3B→1P＝P→D1，若 PQ⊥AE， B→D＝λD→Q，求 λ 的值．
(2)[解] 如图所示，以 D 为原点，D→A，D→C，D→D1的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 1， 则 A(1,0,0)，E0，0，12，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，
2．类比平面向量，空间向量共线的充要条件是什么？ [提示] 若 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
a1＝λb1， 则 a∥b⇔a＝λb⇔a2＝λb2，
a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4) ＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7； (2a)·(－b)＝－2(a·b)＝－2×(－7)＝14； (a＋b)·(a－b)＝(2，－2,2)·(2,0，－6) ＝2×2－2×0＋2×(－6)＝－8.
规律方法 进行空间向量的数量积坐标运算的技巧 利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算 的法则，同时掌握下列技巧． (1)在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a＋b)·(a－b) ＝a2－b2＝|a|2－|b|2，(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)2 等．
(2)设 Q(x，y，z)，则P→Q＝(x＋1，y－2，z＋3)，M→N＝(1,1,1)，
∴x＋x1＋＝1y2－＋2＝y－z＋232＋，z＋32＝3 12＋12＋12，
x＝－4，
解得y＝－1 z＝－6
x＝2，
，或y＝5， z＝0，
∴Q 点的坐标为(－4，－1，－6)或(2,5,0)．]
类型二 空间向量的平行与垂直
(2)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 是棱 D1D 的中点，P、Q 分别为线段 B1D1，BD 上的点，且 3B→1P＝P→D1，若 PQ⊥AE， B→D＝λD→Q，求 λ 的值．
(2)[解] 如图所示，以 D 为原点，D→A，D→C，D→D1的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 1， 则 A(1,0,0)，E0，0，12，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，
向量的坐标表示与运算公式
向量的坐标表示与运算公式向量的坐标表示：1. 在二维平面中，一个向量可以用有序实数对 (x, y) 表示，其中 x 和 y 分别表示向量的横坐标和纵坐标。
2. 在三维空间中，一个向量可以用有序实数三元组 (x, y, z) 表示，其中 x、y 和 z 分别表示向量的三个坐标分量。
向量的运算公式：1. 向量的加法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A + B = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)。
- 几何意义：向量加法就是把两个向量的起点放在一起，然后把两个向量终点连起来的向量。
2. 向量的数乘：- 定义：对于任意实数 k，如果向量 A = (x, y)，则 kA = (kx, ky)。
- 几何意义：数乘就是把向量按比例放大或缩小。
3. 向量的减法：- 定义：如果向量 A = (x₁, y₁) 和向量 B = (x₂, y₂)，则 A - B = (x₁ - x₂, y₁- y₂)。
- 几何意义：向量减法就是从第一个向量的终点指向第二个向量的终点的向量。
4. 向量的数量积（点乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A · B = xx' + yy'。
- 几何意义：数量积等于两向量的长度之积和它们夹角的余弦值的乘积。
5. 向量的向量积（叉乘）：- 定义：如果向量 A = (x, y) 和向量 B = (x', y')，则A × B 是一个垂直于A 和B 的向量，其大小等于A × B × sin(θ)，其中θ 是 A 和 B 之间的夹角，方向按照右手定则确定。
- 几何意义：向量积表示一个向量相对于另一个向量的旋转。
以上是向量的基本坐标表示和运算公式，是解析几何和线性代数中的基础概念。
1.3.2空间向量运算的坐标表示
坐标表示
2.空间向量的坐标与其端点坐标的关系:
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则
=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).
即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减
去起点坐标.
3.空间向量平行与垂直条件的坐标表示
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
一、空间向量运算的坐标表示
1.空间向量运算法则设向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算
向量表示
加法
a+b
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
减法
a-b
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
数乘
λa
(λa1,λa2,λa3)
数量积
a·b
a1b1+a2b2+a3b3
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
21 + 22
(1)|a|= ·=
(2)cos<a,b>=
·
||||
+ 23
z
P1
k
;
1 1 + 2 2 + 3 3
=
;
12 + 22 + 32 12 + 22 + 32
(3)若 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则 P1,P2 两点间的距离为
1
3
1，－ ，－
1，1)，c＝
2
2 ，则它们之间的关系是( A )
A．a⊥b 且 a∥c
B．a⊥b 且 a⊥c
C．a∥b 且 a⊥c
空间向量运算的坐标表示ppt课件
我们已经学过平面向量运算的坐标表示：
向量相加：
a+b
向量相减：
a-b
向量的数乘：
λa
空间向量运算的坐标
表示是怎样的呢？
向量的数量积：a•b
向量的模：
|a|
向量的夹角：
cos<a,b>
向量a在平面上可用有序实数对（x,y）表示，在空
间则用有序实数组（x,y,z）表示.
类比
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
a1=λb1，a2=λb2，
a·b=0
a1b1+a2b2=0
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) （ ≠ 0 ）
a//b
a=λ b
a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)
a⊥b
a ·b=0
a1b1+a2b2+a3b3=0
题型二：向量平行和垂直的坐标表示
1、已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a与b ( A )
a1b1+a2b2+a3b3=0
|| =
·=
1 2 + 2 2 + 3 2
d AB | AB | (a 2 a1 )2 (b2 b1 )2 (c2 c1 )2
a
b
a
b
a
b
·
1
1
2
2
3
2 2 2 2 32 2
cos < , >=
a
a
a
b
b
1
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向
D．平行且反向
2、设a＝(1，y，－2)，b＝(－2，－4，z)，若
向量相加：
a+b
向量相减：
a-b
向量的数乘：
λa
空间向量运算的坐标
表示是怎样的呢？
向量的数量积：a•b
向量的模：
|a|
向量的夹角：
cos<a,b>
向量a在平面上可用有序实数对（x,y）表示，在空
间则用有序实数组（x,y,z）表示.
类比
平面向量运算的坐标表示
空间向量运算的坐标表示
a1=λb1，a2=λb2，
a·b=0
a1b1+a2b2=0
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) （ ≠ 0 ）
a//b
a=λ b
a1=λb1，a2=λb2，a3=λb3(λ∈R)
a⊥b
a ·b=0
a1b1+a2b2+a3b3=0
题型二：向量平行和垂直的坐标表示
1、已知a＝(1，－5，6)，b＝(0，6，5)，则a与b ( A )
a1b1+a2b2+a3b3=0
|| =
·=
1 2 + 2 2 + 3 2
d AB | AB | (a 2 a1 )2 (b2 b1 )2 (c2 c1 )2
a
b
a
b
a
b
·
1
1
2
2
3
2 2 2 2 32 2
cos < , >=
a
a
a
b
b
1
A．垂直
B．不垂直也不平行
C．平行且同向
D．平行且反向
2、设a＝(1，y，－2)，b＝(－2，－4，z)，若
北师大版选修2空间向量运算的坐标表示课件
53
53
53
13
A. 4
B. 2
C. 2
D. 2
解析 AB 中点 M(2，32，3)，又 C(0,1,0)，
所以C→M＝(2，12，3)，
故 M 到 C 的距离为 CM＝|C→M|＝
22＋122＋32＝
53 2.
北师大版选修2空间向量运算的坐标表示
解析答案
12345
3.设 O 为坐标原点，M(5,－1,2)，A(4,2,－1)，若O→M＝A→B，则点 B 应为( B )
北师大版选修2空间向量运算的坐标表示
自主学习
答案
|a|＝ a·a＝ a21＋a22＋a23；
cos〈a，b〉＝|aa|·|bb|＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a23 b21＋b22＋b23.
知识点三 空间两点间的距离 已知点 A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 A，B 两点间的距离 dAB＝|A→B|
学习目 标
1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标. 2.掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直. 3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些 知识解决一些相关问题.
北师大版选修2空间向量运算的坐标表示
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北师大版选修2空间向量运算的坐标表示
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题型探究
重点突破
题型一 空间直角坐标系与空间向量的坐标表示 例 1 设 O 为坐标原点，向量O→A＝(1,2,3)，O→B＝(2,1,2)，O→P＝(1,1,2)， 点 Q 在直线 OP 上运动，则当Q→A·Q→B取得最小值时，求点 Q 的坐标.
空间向量的坐标运算精选全文完整版
| AC | | BB1 | cos 900 0 AD1 DB1 AD1 DA AD1 AB AD1 BB1 | AD1 | | DA | cos1350 | AD1 | | AB | cos 900
| AD1 | | BB1 | cos 450 0 又AD1 AC A,
AD1 DB1, AC DB1. DB1 平面ACD1.
xA‘
y B(3,4,0)
与y轴垂直的坐标平面是___x_o__z___ A'(3, 4, 5)
与z 轴垂直的坐标平面是___x_o_y____
(2)点P(2,3,4)在 xoy平面内的射影是_(_2_,3_,_0_)
在 xoz 平面内的射影是_(2_,_0_,4_)_
在 yoz平面内的射影是_(0_,_3_,4_)_
(2)a 6b 8c _(2_,_-3_,_1_)_+_(_12,0,18)+(0,0,-16)
=(14,-3,3)
练习Ｐ39 8.判定下列各题中的向量是否平行: (1) (1,2,-2)和(-2,-4,4), (2) (-2,3,5)和(16,-24,40). 解: (1) (-2,-4,4) = -2 (1,2,-2)
数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样
就建立了一个空间直角坐标系O — x y z .
点O叫做原点，向量 i, j, k
z k
都叫做坐标向量.通过每两个
y
i 坐标轴的平面叫做坐标平面。
O
j
x
三、向量的直角坐标系
给定一个空间坐标系和向量
a ,且设 i, j, k为坐标向量，由空z a
间向量基本定理，存在唯一的有
D1 A1
D
1.3.2 空间向量运算的坐标表示
【答案】
【解析】如图所示，
＝
故|
＋
|2＝|
＝
＋
＝42＋32＋52＋2
＋
＋
＋
，
|2＝
2＋
2＋
2 ＋2(
＝85，故|
· ＋
·
|＝
.
＋
·
)
7.如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F 分
别为 PQ，AB，BC 的中点，则异面直线 EM 与 AF 所成角的余弦值是________．
角为(
，若(a＋b)·c＝7，则 a 与 c 的夹
)
A． 30°
B． 60
°C． 120°
D． 150°
【答案】C
【解析】a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得 a·c＝－7，
而|a|＝
＝
所以〈a，c〉＝120°.
，所以 cos〈a，c〉＝
＝－ ，
3.一束光线自点 P(1,1,1)出发，被 xOy 平面反射到达点 Q(3,3,6)被吸收，那么光线所经
【答案】
【解析】由正四面体的棱长为 a，知△BCD 的外接圆半径为
∴B，又正四面体的高为
＝
a，
∴A，D，∴AD 的中点 N 的坐标为
AB 的中点 M 的坐标为
∴
＝
，
.
，
又 C，∴
＝
∴|cos〈
，
.
〉|＝
＝ ，
∴异面直线 CN 与 DM 所成角的余弦值为 .
a.
总结提升
利用空间向量的坐标运算的一般步骤
C． 14
【答案】A
【解析】∵l1∥l2，∴a∥b，
【解析】如图所示，
＝
故|
＋
|2＝|
＝
＋
＝42＋32＋52＋2
＋
＋
＋
，
|2＝
2＋
2＋
2 ＋2(
＝85，故|
· ＋
·
|＝
.
＋
·
)
7.如图，四边形 ABCD 和 ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，M，E，F 分
别为 PQ，AB，BC 的中点，则异面直线 EM 与 AF 所成角的余弦值是________．
角为(
，若(a＋b)·c＝7，则 a 与 c 的夹
)
A． 30°
B． 60
°C． 120°
D． 150°
【答案】C
【解析】a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，故(a＋b)·c＝－a·c＝7，得 a·c＝－7，
而|a|＝
＝
所以〈a，c〉＝120°.
，所以 cos〈a，c〉＝
＝－ ，
3.一束光线自点 P(1,1,1)出发，被 xOy 平面反射到达点 Q(3,3,6)被吸收，那么光线所经
【答案】
【解析】由正四面体的棱长为 a，知△BCD 的外接圆半径为
∴B，又正四面体的高为
＝
a，
∴A，D，∴AD 的中点 N 的坐标为
AB 的中点 M 的坐标为
∴
＝
，
.
，
又 C，∴
＝
∴|cos〈
，
.
〉|＝
＝ ，
∴异面直线 CN 与 DM 所成角的余弦值为 .
a.
总结提升
利用空间向量的坐标运算的一般步骤
C． 14
【答案】A
【解析】∵l1∥l2，∴a∥b，
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答案:(1)B
(2)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,M为BD1的中点,N在A1C1上,且|A1N|=
3|NC1|,则MN的长为
.
解析:(2)如图,以D为顶点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所 在直线为z轴建立空间直角坐标系Dxyz,则A1(4,0,4),B(4,4,0), C1(0,4,4),D1(0,0,4). 因为M为BD1的中点,所以M(2,2,2), 因为N在A1C1上,且|A1N|=3|NC1|,
方法技巧 向量平行与垂直问题的两种类型 (1)平行与垂直的判断 ①应用向量的方法判定两直线平行,只需判断两直线的方向向量是否共线; ②判断两直线是否垂直,关键是判断两直线的方向向量是否垂直,即判断两 向量的数量积是否为0. (2)利用平行与垂直求参数或其他问题,即平行与垂直的应用.解题时要注 意:①适当引入参数(比如向量a,b平行,可设a=λb),建立关于参数的方程;② 选择坐标形式,以达到简化运算的目的.
梳理 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),
则a+b= (a1+b1,a2+b2,a3+b3)
;
a-b= (a1-b1,a2-b2,a3-b3)
;
λa=(λa1,λa2,λa3)(λ∈R);
a·b= a1b1+a2b2+a3b3
;
a∥b⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R);
题型四 易错辨析——由向量的夹角求参数的取值范围时忽略隐含或限制 条件而致误
纠错:解答本题易出现的失误是忽视了a·b<0包含a与b夹角为180°的情况,即a与b 的夹角为钝角不等价于a·b<0.
a⊥b⇔ a1b1+a2b2+a3b3=0
.
知识点二 空间向量夹角和距离的坐标计算公式
梳理 (1)夹角公式 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),
则cos<a,b>=
.
课堂探究 素养提升
题型一 空间向量的坐标运算
方法技巧
题型二 利用向量解决平行与垂直问题
(2)若ka+b与ka-2b互相垂直,求k.
一题多变:将本例(2)中“若ka+b与ka-2b互相垂直”改为“若ka+b与a+kb互相 平行”,其他条件不变,求k的值.
解:a=(1,1,0),b=(-1,0,2),所以ka+b=(k,k,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2), a+kb=(1,1,0)+(-k,0,2k)=(1-k,1,2k), 因为ka+b与a+kb平行,所以ka+b=λ(a+kb)(λ∈R), 即(k-1,k,2)=λ(1-k,1,2k),
题型三
利用向量的坐标形式求夹角与距离
方法技巧 (1)求空间中两向量夹角的方法 ①基向量法:结合图形,选取一组合适的基底,将两向量用基向量表示出来, 然后代入夹角公式求解;②坐标法:在图形中建立空间直角坐标系,然后求出 两向量的坐标,代入向量的夹角坐标公式求解.利用坐标法要注意两点,一是 坐标系的选取,二是要注意夹角的范围<a,b>∈[0,π],要特别关注向量共线 的情况. (2)求空间中线段的长 ①建立恰当的空间直角坐标系;②求出线段端点的坐标,并求出对应向量的 坐标;③利用向量的模的坐标公式求向量的模,即线段的长.
空间向量运算的坐标表 示
课标要求
素养达成
1.理解空间向量坐标的概念,会确定一些 简单几何体的顶点坐标. 2.掌握空间向量的坐标运算规律,会判断 两个向量的共线或垂直. 3.掌握空间向量的模,夹角公式和两点间 距离公式,并能运用这些知识解决一些相 关问题.
通过与平面向量的坐标 运算的比较,培养学生观 察、分析、类比转化能 力,提高学生的分析问题 和解决问题的能力.
新知探求 素养养成
知识点一 空间向量运算的坐标表示 已知在单位正交基底{i,j,k}下,向量 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3). 问题:向量a+b,a-b的坐标分别是如何推导的? 答案:a+b=(a1i+a2j+a3k)+(b1i+b2j+b3k)=(a1+b1)i+(a2+b2)j+(a3+b3)k,故 a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3),同理有a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3).