高中数学课下能力提升九垂直关系的判定北师大版必修
北师大版高中数学必修《垂直关系》实用PPT1
平面 的垂线
图形表示：
直线 l 的垂面
符号表示： l
我们来探究
问题一：如果一条直线 l 垂直于一个平面
内的一条直线，能确定 l 吗 ？
l
我们来探究
问题二：如果一条直线 l 垂直于一个平面
内的两条直线，能确定 l 吗 ？
l
我们来探究
问题三：如果一条直线 l 垂直于一个平面
内的无数条直线，能确定 l 吗 ？
•
6.这一前提假设在经济系统相对于生 态系统 较小时 ，即世 界是一 个“空 的世界 ”时尚 能满足 ，但在 经济系 统快速 增长， 世界逐 渐从“ 空的世 界”变 成“满 的世界 ”后， 这一假 设就很 难满足 了。
•
7.当人们不能改变客观的社会环境时 ，要避 免应激 性疾病 的发生 就应该 不断降 低心理 压力。 降低心 理压力 的方法 是多种 多样的 ，正确 认识事 物，获 得积极 的情感 体验是 一个重 要的方 法。
（2）利用判定定理，证明这条直线和平面内 的两条相交直线垂直；
共同点： 线线垂直
线面垂直
我们共努力
Homework
作 业
1.（必做）本P42第4,5题；
2.（选做）探究直线与平面 垂直的性质；
3.（校本）查阅资料，了解 直线与平面垂直的判定定理 的证明方法.
•
1.交代故事发生的时间、环境；描绘 出一幅 令人恐 惧的画 面，渲 染紧张 气氛。 侧面表 现人物 恐惧痛 苦的内 心世界 ，与他 所向往 的温馨 的家庭 生活环 境形成 鲜明对 比。
•
2.但是，情况终于改变了。一些急欲 挽救中 国的社 会改革 家发现 ，旧时 代的主 流意识 形态必 须改变 ，而那 些数千 年来深 入民间 社会的 精神活 力则应 该调动 起来。 因此， 大家又 重新惊 喜地发 现了墨 子。
高中数学北师大版必修2课件 ：垂直关系的判定
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预习引导
2.二面角及其平面角 (1)半平面的定义:一个平面内的一条直线,把这个平面分成两部分, 其中的每一部分都叫作半平面. (2)二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫 作二面角,这条直线叫作二面角的棱,这两个半平面叫作二面角的面. (3)二面角的记法: 以直线 AB 为棱,半平面 α,β 为面的二面角,记作二面角 α-AB-β. (4)二面角的平面角: 以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱 的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角. (5)直二面角:平面角是直角的二面角叫作直二面角.
问题Байду номын сангаас学
当堂检测
2.面面垂直的判定 活动与探究 例2
如图所示,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 是棱 CC1 的中点.求证:平面 ABM⊥平面 A1B1M. 思路分析:要证明平面 ABM⊥平面 A1B1M,只需证明 BM⊥平面 A1B1M 即可,从而只需证明 BM⊥A1B1,BM⊥B1M.
问题导学
当堂检测
迁移与应用 1.已知四棱锥 P-ABCD 的底面是菱形,且∠ABC=60° ,PA=PC=2, PB=PD.若 O 是 AC 与 BD 的交点,求证:PO⊥平面 ABCD.
证明:∵ PA=PC,PD=PB,且 O 是 AC 和 BD 的中点, ∴ PO⊥AC,PO⊥BD.又 AC∩BD=O,∴ PO⊥平面 ABCD.
问题导学
当堂检测
证明:∵ A1B1⊥平面 BCC1B1,BM⫋平面 BCC1B1, ∴ A1B1⊥BM.
2 又 B1M= ������1 ������1 + ������1 ������2 = 2,
1.6.1 垂直关系的判定 课件(北师大必修2)
的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.求证： AN⊥平面PBM.
[自主解答]
设圆O所在的平面为α， α，
已知PA⊥α，且BM ∴PA⊥BM.
又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，
∴AM⊥BM.∵直线PA∩AM＝A，
∴BM⊥平面PAM. 又AN 平面PAM，
∴BM⊥AN.这样，AN与PM，BM两条相交直线垂直． 故AN⊥平面PBM.
当a＝2时，以AD为直径的圆与边BC相切，故只有一
个点Q，使PQ⊥QD. 当a>2时，以AD为直径的圆与边BC相交，故只有两个 点Q，使PQ⊥QD. 当0<a<2时，以AD为直径的圆与边BC无公共点，故
BC边上不存在点Q，使PQ⊥QD.
Байду номын сангаас
连接AD，SD. ∵∠ASB＝∠ASC， 且SA＝SB＝SC， ∴AS＝AB＝AC. ∴AD⊥BC. 又△ABS是正三角形，△BSC为等腰直角
三角形，
∴BD＝SD. ∴AD2＋SD2＝AD2＋BD2＝AB2＝AS2. 由勾股定理的逆定理，知AD⊥SD. 又∵SD∩BC＝D，∴AD⊥平面BSC.
又AD
平面ABC，
∴平面ABC⊥平面BSC.
法二：同法一证得 AD⊥BC，SD⊥BC，则∠ADS 即为 二面角 A－BC－S 的平面角． ∵∠BSC＝90° ，令 SA＝1， 2 2 则 SD＝ ，AD＝ ，∴SD2＋AD2＝SA2. 2 2 ∴∠ADS＝90° .∴平面 ABC⊥平面 BSC.
[悟一法] 常用的两个平面互相垂直的判定方法： (1)定义法，即证明这两个平面所成的二面角是直二面 角；
但l不垂直于α.
3．如图所示的是一块三角形纸片，过顶点A 翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸 片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接 触)，折痕AD与桌面垂直吗？ 提示：不一定垂直，只有当AD⊥BC时， AD才与桌面所在的平面垂直．
北师大版数学必修二课件：垂直关系的判定
求证:(1)AF∥平面PCE;
(2)平面PCE⊥平面PCD.
探究一
探究二
易错辨析
分析:(1)要证AF∥平面PCE,只需证明AF平行于平面PCE内的一
条直线即可,取PC的中点G,则该直线为GE.
(2)要证明平面PCE⊥平面PCD,只需证明GE⊥平面PCD,而由(1)
知GE∥AF,故只需证明AF⊥平面PCD即可.
腰三角形底边上的中线、梯形的高、菱形和正方形的对角线、三
角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法.
探究一
探究二
易错辨析
变式训练1 如图所示,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平
面,C是圆O上的点.求证:BC⊥平面PAC.
分析:由AB是圆O的直径可知AC⊥BC,再结合PA⊥平面ABC,即可
证明BC⊥平面PAC.
直”.
(2)两个平面垂直的判定定理,不仅仅是判定两个平面垂直的依据,
而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据.
(3)要证α⊥β,可证α经过β的某一条垂线,也可证明β经过α的某一
条垂线.
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)若直线l垂直于平面α内无数条直线,则有l⊥α. (
(1)直线与平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么称这条直
线和这个平面垂直.
(2)画法:当直线与平面垂直时,通常把表示直线的线段画成和表示
平面的平行四边形的横边垂直.如图所示.
(3)直线与平面垂直的判定定理
①文字叙述:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,
那么该直线与此平面垂直.
②符号表示:若直线a⫋α,直线b⫋α,直线l⊥a,l⊥b,a∩b=A,则l⊥α.
北师大版高中数学课件：《垂直关系的判定》共40页
北师大版高中数学课件：《垂直关系 的判定》
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6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
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7、心急吃不了热汤圆。
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8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
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10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
北师大版高中数学必修《垂直关系》标准课件1
线的交点，点P在 外，且PA=PC,PB=PD.
P
求证：(1)PO
(2)若ABCD为菱形，证明： AC PD
D
A
O
C B
北师大版高中数学必修《垂直关系》 标准课 件1（公 开课课 件）
变式运用
2.已知:空间四边形ABCD中，AB=AC,DB=DC.
求证：BC AD
A
D B
C
课堂小结．
1．直线与平面垂直的定义
a // b, a b
北师大版高中数学必修《垂直关系》 标准课 件1（公 开课课 件）
北师大版高中数学必修《垂直关系》 标准课 件1（公 开课课 件）
如图，已知 a // b, a ，求证 b .
证明：在平面 内作
两条相交直线m，n．
a
b
因为直线 a ，
根据直线与平面垂直的定义知 m n
一．问题引入 复习:空间直线与平面的位置关系有 哪几种?
α
α
α
1.2.3 空间中的垂直关系（一）
直线与平面垂直
知识识铺铺垫垫
一、直线与直线垂直：
如果两条直线相交于一点或 后相交于平一移点，并
且交角为
，则称这两条直线直互角相垂直。
北师大版高中数学必修《垂直关系》 标准课 件1（公 开课课 件）
a m, a n.
又因为 b // a
所以 b m,b n.
又 m ,n ,m,n 是两条相交直线，
所以 b .
北师大版高中数学必修《垂直关系》 标准课 件1（公 开课课 件）
北师大版高中数学必修《垂直关系》 标准课 件1（公 开课课 件）
知识运用
1.如图：已知在平面 内有平行四边形ABCD，点O是它的对角
北师大版高一数学必修2《垂直关系的判定》
6.1 垂直关系的判定要点一、直线和平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直的定义如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥.直线l 叫平面α的垂线；平面α叫直线l 的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.要点诠释：(1)定义中“平面α内的任意一条直线”就是指“平面α内的所有直线”，这与“无数条直线”不同，注意区别.(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式.(3)若,a b αα⊥⊂，则a b ⊥.2.直线和平面垂直的判定定理文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． 图形语言：符号语言：,,,m n m n B l l m l n ααα⊂⊂=⎫⇒⊥⎬⊥⊥⎭特征：线线垂直⇒线面垂直要点诠释：(1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视.(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要.相关的重要结论：①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条． ②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直．③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直． 要点二、直线与平面所成的角1．直线与平面所成角的定义一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.要点诠释：(1)直线与平面平行，直线在平面上的射影是一条直线.(2)直线与平面垂直时射影是点.(3)斜线上任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上.2．直线与平面所成的角θ的范围：直线和平面平行或直线在平面内，θ=0°．．直线和平面所成角的范围是0°≤θ≤90°．3．求斜线与平面所成角的一般步骤：(1)确定斜线与平面的交点即斜足；(2)经过斜线上除斜足外任一点作平面的垂线，确定垂足，进而确定斜线在平面内的射影；(3)解由垂线、斜线及其射影构成的直角三角形，求出线面角．要点三、二面角1.二面角定义平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.表示方法：棱为AB 、面分别为αβ、的二面角记作二面角AB αβ--.有时为了方便，也可在αβ、内(棱以外的半平面部分)分别取点P Q 、，将这个二面角记作二面角P AB Q --.如果棱记作l ，那么这个二面角记作二面角l αβ--或P l Q --.2.二面角的平面角(1) 二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做二面角的平面角.(2)二面角的平面角θ的范围：0°≤θ≤180°．当两个半平面重合时，θ=0°；当两个半平面相交时，0°＜θ＜180°；当两个半平面合成一个平面时，θ=180°． 直线和平面相交 不垂直时，0°＜＜90° 垂直时，=90°二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.(3) 二面角与平面角的对比角二面角图形定义从半面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形从空间内二直线出发的两个半平面所组成的图形表示法由射线、点（顶点）、射线构成，表示为∠AOB由半平面、线（棱）、半平面构成，表示为二面角aαβ--(4) 二面角的平面角的确定方法方法1：（定义法）在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如右图，在二面角aαβ--的棱a上任取一点O，在平面α内过点O作OA⊥a，在平面β内过点O作BO⊥a，则∠AOB为二面角aαβ--的平面角．方法2：（垂面法）过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如下图（左），已知二面角lαβ--，过棱上一点O作一平面γ，使lγ⊥，且OAγα=，OBγβ=．∴OAγ⊂，OBγ⊂，且l⊥OA，l⊥OB，∴∠AOB为二面角lαβ--的平面角．方法3：（垂线法）过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角，此种方法通常用于求二面角的所有题目，具体步骤：一找，二证，三求．如上图（右），已知二面角A-BC-D ，求作其平面角．过点A 作AE ⊥平面BCD 于E ，过E 在平面BCD 中作EF ⊥BC 于F ，连接AF ．∵AE ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，∴AE ⊥BC ．又EF ⊥BC ，AE ∩EF=E ，∴BC ⊥平面AEF ，∴BC ⊥AF由垂面法可知，∠AFE 为二面角A-BC-D 的平面角．要点四、平面与平面垂直的定义与判定1.平面与平面垂直定义定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.表示方法：平面α与β垂直，记作αβ⊥.画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图：2.平面与平面垂直的判定定理 文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.符号语言：,l l αβαβ⊥⊂⇒⊥图形语言：特征：线面垂直⇒面面垂直要点诠释：平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”.因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面内的一条直线垂直即可.题型讲解：类型一：直线与平面垂直的判定例：如图，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4，D是棱AA1上的任一点，M，N分别为AB，BC1的中点．（1）求证：MN∥平面DCC1；（2）试确定点D的位置，使得DC1⊥平面DBC．【总结升华】（1）判定线面垂直的方法：①利用线面垂直定义：一直线垂直于平面内的任意直线，则这条直线垂直于该平面．②用线面垂直判定定理：一直线与平面内的两相交直线都垂直，则这条直线与平面垂直．③用线面垂直性质：两平行线之一垂直于平面，则另一条也必垂直于这个平面．（2）证明线线（或线面）垂直有时需多次运用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，实现线线垂直与线面垂直的相互转化．类型二：直线和平面所成的角例．如图，三棱锥A-SBC中，∠BSC=90°，∠ASB=∠ASC=60°，SA=SB=SC．求：直线AS与平面SBC所成的角．【总结升华】求直线与平面所成的角的步骤：作角，即作出或找到斜线与它的射影所成的角；证角，即证明所作的角即为所求；求角，求角或角的三角函数值．其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的突破口．类型三：二面角例：如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角B-A 1C 1-B 1的正切值．【总结升华】求空间角如二面角、直线和平面所成的角等，都是找出或作出平面角，再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值．举一反三：【变式1】已知Rt △ABC ，斜边BC α⊂，点A α∉，AO ⊥α，O 为垂足，∠ABO=30°，∠ACO=45°，求二面角A -BC -O 的大小．【总结升华】本题是用垂线法作二面角的平面角，求二面角的平面角关键是找出（或作出）平面角，再把平面角放到三角形中求解．类型四：平面与平面垂直的判定例、如图，在四棱锥P—ABCD中，PA=PB=PD=AB=BC=CD= DA=DB=2，E为PC的中点．（1）求证：PA∥平面BDE；（2）求证：平面PBC⊥平面PDC．举一反三：【变式1】如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E 为SA的中点．求证：平面EBD⊥平面ABCD．。
北师大版高中必修26.1垂直关系的判定教学设计
北师大版高中必修26.1垂直关系的判定教学设计前言本文旨在介绍一种教学设计，以帮助学生更好地理解垂直关系的判定，以及应用垂直关系进行问题求解。
本设计适用于北师大版高中必修《数学》课程中的26.1垂直关系的学习内容。
本设计的核心理念在于，将实际生活中的例子与学习内容相结合，帮助学生更好地理解概念和定理，并通过讨论和练习，培养学生的问题解决能力。
教学目标在完成本教学设计后，学生应该能够：•确定给定线段是否垂直•应用垂直关系进行问题求解•发现并解答实际应用中的问题教学环节1. 理解垂直关系首先，介绍垂直关系的定义和定理。
通过示例图形，展示线段的垂直关系，以及垂直的定义。
接着，让学生分组练习判断线段的垂直关系。
老师可以给出若干个图形，让学生在小组中讨论，并给出判断结果。
每一组讨论完毕后，展示正确答案和解决方法，让学生理解判断垂直关系的过程以及可能的错误。
鼓励学生不断尝试和发现规律。
2. 应用垂直关系进行问题求解接下来，让学生通过实际生活中的问题，应用垂直关系进行求解。
例如，在设计房屋时，如何确定垂直关系，以确保墙体垂直，避免建筑偏差？老师可以用幻灯片或板书展示一些实际问题，并让学生在小组中讨论应用垂直关系的解决方法。
每个小组解决完问题后，让他们分享自己的解决方法和思路，并给出反馈和建议。
3. 培养问题解决能力在这个环节，老师可以给出一些简单或复杂的问题，让学生自己组织思路，寻找解决方法。
例如，在一幢大楼内，如何确定电视天线和地面之间的垂直关系？让学生在小组中自由探讨并寻找解决方法，最后，让不同小组的代表分享自己的解决方法和思路。
这个过程中，鼓励学生提出问题，不断探索，在思辨中寻找解决问题的方法。
总结本文介绍了一种教学设计，以帮助学生更好地理解垂直关系的判定，以及应用垂直关系进行问题求解。
在此过程中，通过实际生活中的例子，帮助学生更加深入地理解概念和定理，并通过分组讨论和自由探索，培养学生的问题解决能力。
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课下能力提升（九）垂直关系的判定
一、选择题
1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )
A．平行
B．垂直
C．相交不垂直
D．不确定
2．在三棱锥ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么必有( )
A．平面ABD⊥平面ADC
B．平面ABD⊥平面ABC
C．平面ADC⊥平面BCD
D．平面ABC⊥平面BCD
3．在正方体ABCDA
1B
1
C
1
D
1
中，与AD
1
垂直的平面是( )
A．平面DD
1C
1
C
B．平面A
1DCB
1
C．平面A
1B
1
C
1
D
1
D．平面A
1
DB
4．设l、m为不同的直线，α为平面，且l⊥α，下列为假命题的是( ) A．若m⊥α，则m∥l
B．若m⊥l，则m∥α
C．若m∥α，则m⊥l
D．若m∥l，则m⊥α
5．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边BC，CD的中点，H是EF的中点，现沿AE、AF，EF把这个正方形折成一个几何体，使B、C、D三点重合于点G，则下列结论中成立的是( )
A ．AG ⊥平面EFG
B ．AH ⊥平面EFG
C ．GF ⊥平面AEF
D ．GH ⊥平面AEF
二、填空题
6．如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，平面ACD 1与平面BB 1D 1D 的位置关系是
________．
7．如图所示，底面ABCD 是矩形．PA ⊥平面ABCD ，则图中互相垂直的平面共有________对．
8．已知点O 为三棱锥P ABC 的顶点P 在平面ABC 内的射影，若PA ＝PB ＝PC ，则O 为△ABC 的________心；若PA ⊥BC ，PB ⊥AC ，则O 为△ABC 的________心；若P 到三边AB ，BC ，CA 的距离都相等且点O 在△ABC 的内部，则O 为△ABC 的__________心．
三、解答题
9.如图，四边形ABCD 是边长为a 的菱形，PC ⊥平面ABCD ，E 是PA 的中点，求证：平面BDE ⊥平面ABCD.
10．(北京高考)如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点．将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图2.。