中考数学专题复习题型九折叠旋转问题含解析
中考数学专题复习题型九折叠旋转问题含解析
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1.（20xx贵州安顺第7题）如图，矩形纸片ABCD中，AD=4cm，把纸片 沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO=5cm，则AB的长为（ ）
【答案】12 －12．1 2 －18．
6.(20xx辽宁沈阳第16题)如图，在矩形 中， ,将矩形 绕点 按顺时针方向旋转得到矩形 ，点 落在矩形 的边 上，连接 ，则 的长是.
【答案】 .
7.（20xx年重庆A4分）如图，矩形ABCD中， ，连接BD，∠DBC的角平分线BE交DC于点E，现把△BCE绕点B逆时针旋转，记旋转后的△BCE为 ，当射线 和射线 都与线段AD相交时，设交点分别F，G，若△BFD为等腰三角形，则线段DG长为▲ .
【答案】1或 .
14.（20xx江苏苏州第18题）如图，在矩形 中，将 绕点 按逆时针方向旋转一定角度后， 的对应边 交 边于点 ．连接 、 ，若 ， ， ，则 （结果保留根号）．
【答案】 .
15.（20xx海南第17题）如图，在矩形A BCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是．
A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm
【答案】C．
2.（20xx湖南张家界第14题）如图，在正方形ABCD中，AD= ，把边BC绕点B逆时针 旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为．
【答案】 ．
3.（20xx·湖北荆门·3分）两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F．已知∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm，则CF=2 cm．
【答案】 .
16.（20xx·黑龙江齐齐哈尔·3分）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为 ﹣1．
17.（20xx·吉林·3分）在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D（不 与B，C重合）是BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为3a（用含a的式子表示）．
18.（20xx河南）如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB=3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N．当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为 或 ．
19.（20xx年河南3分）如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为▲．
A． B． C. D．
12.（20xx重庆A卷第18题）如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则△EMN的周长是．
13.(20xx河南第15题)如图，在 中， ， ， ，点 ， 分别是边 ， 上的动点，沿 所在的直线折叠 ，使点 的对应点 始终落在边 上.若 为直角三角形，则 的长为．
4.（20xx甘肃兰州第14题）如图，在 正方形 和正方形 中，点 在 上， ，将正方形 绕点 顺时针旋转 ，得到正方形 ，此时点 在 上，连接 ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】AA
5.（20xx浙江嘉兴第16题）一副含 和 角的三角板 和 叠合在一起，边 与 重合， （如图1），点 为边 的中点，边 与 相交于点 ，此时线段 的长是．现将三角板 绕点 按顺时针方向旋转（如图2），在 从 到 的变化过程中，点 相应移动的路径长共为．（结果保留根号）
A． B． C． D．
【答案】D.
22.（20xx•四川自贡,第10题4分）如图，在矩形 中， , 是 边的中点， 是线段 边上的动点，将△ 沿 所在直线折叠得到△ ,连接 ,则 的最小值是（A）
A. B.6C. D.4
23.（20xx•绵阳第12题，3分）如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB=1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF=（B）
【答案】16或_.
20.（20xx年江苏泰州3分）如图，矩形_中，AB=8，BC=6，P为AD上一点，将△BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为▲．
【答案 】 .
21.（20xx湖北鄂州第8题3分）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF=（）
【答案】 .
10.（20xx江苏无锡第10题）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿A D翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（D）
A．2B． C． D．
11.（20xx新疆乌鲁木齐第9题）如图，在矩形 中，点 在 上，点 在 上，把这个矩形沿 折叠后，使 点 恰好落在 边上的 点处，若矩形面积为 且 ，则折痕 的长为（C）
A． B． C． D．
24.（20xx•四川省××市，第14题，5分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角（∠D，∠C ）向内折叠，点C，D 恰好落在AB边的点F处．若AD=2，BC=3，则EF的长为 ．
【答案】 .
8.（20xx年上海4分）已知在△ABC中， ， ．将△ABC绕点A旋转，使点B落在原△ABC的点C处，此时点C落在点D处．延长线段AD，交原△ABC的边BC的延长线于点E，那么线段DE的长等于▲．
【答案】 .
9.（20xx年福建福州4分）如图，在 中， =90°， ，将 绕点C逆时针转60°，得到△MNC，则BM的长是▲．
2020年中考数学江苏题型专题研究： 折叠和旋转问题
2020中考数学江苏题型研究折叠和旋转问题（含答案）类型一折叠问题1. 将一个矩形纸片ABCD放置到平面直角坐标系中，点A、B恰好落在x轴的正、负半轴上，若将该纸片沿AF折叠，点B恰好落在y轴上的点E处，设OA＝1.(1)如图①，若OB＝1，则点F的坐标为________；(2)如图②，若OB＝2，求点F的坐标；(3)若OB＝n，请直接写出点F的坐标．第1题图解：(1)(1，23 3)由折叠的性质可知AE＝AB＝2, ∠EAF＝∠BAF，∵OA＝1，AE＝2，∠AOE＝90°，∴∠AEO＝30°，∴∠EAO＝60°，∴∠FAB＝30°，∴BF＝AB·tan∠FAB＝233，则点F的坐标为(1，233)．(2)如解图，作FM⊥y轴于点M，∴∠AEF＝∠ABF＝90°，FM⊥y轴，∴∠AEO＋∠FEM＝90°，∠FEM＋∠EFM＝90°，∴∠AEO＝∠EFM，∵sin∠AEO＝AOAE＝13，第1题解图∴sin∠EFM＝13.设EM＝x，则EF＝3x，由勾股定理得MF＝22x，OE＝22，∵OB＝2，∴22x＝2，解得x＝2 2，∴OM＝OE－EM＝322，∴点F的坐标为(2，322)；(3)(n，n2＋nn2＋2n)．如解图，作FM⊥y轴于点M，同理∠AEO＝∠EFM，∵sin∠AEO＝AOAE＝1n＋1，∴sin∠EFM＝1n＋1，设EM＝x，则EF＝(n＋1)x，由勾股定理得MF＝n2＋2n x，OE＝n2＋2n，∵OB＝n，∴n2＋2n x＝n.解得x＝nn2＋2n，∴OM＝OE－EM＝n2＋2n－nn2＋2n＝n2＋nn2＋2n，∴点F的坐标为(n，n2＋nn2＋2n)．2. 如图，将一个正方形纸片AOCD放置在平面直角坐标系中，点A(0，4)，点O(0，0)，点D在第一象限，点P为正方形AD边上的一点(不与点A、点D重合)，将正方形纸片折叠，使点O落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连接OP，OH.设P点的横坐标为m.(1)若∠APO＝60°，求∠OPG的大小；(2)当点P在边AD上移动时，△PDH的周长l是否发生变化？若变化，用含m的式子表示l；若不变化，求出周长l；(3)设四边形EFGP的面积为S，当S取得最小值时，求点P的坐标(直接写出结果即可)．第2题图解：(1)∵折叠正方形纸片，使点O落在点P处，点C落在点G 处，∴∠POC＝∠OPG，∵四边形AOCD是正方形，∴AD∥OC，∴∠APO＝∠POC，∴∠APO＝∠OPG，∵∠APO＝60°，∴∠OPG＝60°；(2)△PDH的周长不发生变化，理由：如解图①，过点O作OQ⊥PG，垂足为点Q，则∠DAO＝∠PQO＝90°.第2题解图①由(3)知∠APO＝∠OPG，又∵OP＝OP，∴△AOP≌△QOP，∴AP＝QP，AO＝QO，∵AO＝OC，∴OC＝OQ，∵∠OCD＝∠OQH＝90°，OH＝OH，∴Rt△OCH≌Rt△OQH，∴CH＝QH，∴△PDH的周长l＝PD＋DH＋PH＝PD＋DH＋PQ＋QH＝PD＋PQ＋DH ＋QH＝PD＋AP＋DH＋CH＝AD＋CD＝8，∴△PDH的周长l不发生变化，周长l为定值8；(3)当S取得最小值时，点P的坐标为(2，4)．如解图②，过点F作FM⊥OA于点M，设EF与OP交于点N，第2题解图②由折叠的性质知△EON与△EPN关于直线EF对称，∴△EON ≌△EPN ，∴ON ＝PN ，EP ＝EO ，EN ⊥PO ， ∵∠OAP ＝∠ENO ，∠AOP ＝∠NOE ， ∴△POA ∽△EON ，∴PO EO ＝PA EN ＝OAON①， 设PA ＝x ， ∵点A (0，4)， ∴OA ＝4，∴OP ＝OA 2＋PA 2＝16＋x 2， ∴ON ＝12OP ＝1216＋x 2，将OP ，ON 代入①式得，OE ＝PE ＝ 18(16＋x 2)， ∵∠EFM ＋∠OEN ＝90°， ∠AOP ＋∠OEN ＝90°， ∴∠EFM ＝∠AOP ， 在△EFM 和△POA 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EFM ＝∠AOP FM ＝OA∠OAP ＝∠EMF， ∴△EFM ≌△POA (ASA)， ∴EM ＝PA ＝x ，∴FG ＝CF ＝OM ＝OE －EM ＝ 18(16＋x 2)－x ＝18x 2－x ＋2， ∴S ＝S 梯形EFGP ＝S 梯形OCFE ＝12(FC ＋OE )·OC ＝12；18x 2－x ＋2＋18(16＋x 2)]×4＝12(x －2)2＋6，∴当x ＝2时，S 最小， 即AP ＝2，∴点P 的坐标是(2，4)．3. 已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD (AD ＞AB )，将纸片折叠一次，使点A 与点C 重合，再展开，折痕EF 交AD 边于点E ，交BC 边于点F ，分别连接AF 和CE .(1)求证：四边形AFCE 是菱形；(2)若AE ＝10cm ，△ABF 的面积为24cm 2，求△ABF 的周长； (3)在线段AC 上是否存在一点P ，使得2AE 2＝AC ·AP ？若存在，请说明点P 的位置，并予以证明；若不存在，请说明理由．第3题图(1)证明：由题意可知OA＝OC，EF⊥AO，∵AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO，∴△AOE≌△COF(AAS)，∴AE＝CF，又∵AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形，由图形折叠的性质可知，AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形；(2)解：∵四边形AECF是菱形，∴AF＝AE＝10cm，设AB＝a，BF＝b，∵△ABF的面积为24cm2，∴a2＋b2＝100，ab＝48，∴(a＋b)2＝196，∴a＋b＝14或a＋b＝﹣14(不合题意，舍去)，∴△ABF的周长为14＋10＝24cm；(3)解：存在，如解图，过点E作BC的垂线，交AC于点P，点P 就是符合条件的点；证明：∵∠AEP＝∠AOE＝90°，∠EAO＝∠EAO，∴△AOE∽△AEP，∴AEAP＝AOAE，∴AE2＝AO·AP，∵四边形AECF是菱形，∴AO＝12 AC，∴AE2＝12 AC·AP，∴2AE2＝AC·AP.第3题解图4. 如图①，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点E，F 分别在AC，BC上，将△ABC沿EF折叠，点C落在点D处，设△EDF 与四边形ABFE重叠部分面积为y，CF长为x.第4题图(1)如图②，当EF∥AB，CF＝4时，试求y的值；(2)当EF∥AB时，试求y与x的函数关系式，并求x为何值时y 的值最大；(3)如图③，当CF＝4，DF⊥BC时，求y的值．解：(1)如解图①，连接CD，交EF于点H第4题解图①∵CF ＝4，BC ＝8，∴BF ＝4，CD ＝AC ×BCAB＝4.8，∵EF ∥AB ，∴EF ＝12AB ＝5，CH ＝DH ＝12CD ＝2.4，∴y ＝12×EF ×DH ＝12×5×2.4＝6；(2)①当0＜x ≤4时，如解图②，作CM ⊥AB 交AB 于点M ，则CM 必过点D ，第4题解图②由(1)知CM ＝4.8， ∵EF ∥AB ， ∴CN CM ＝CF BC ＝EF AB， 即CN 4.8＝x 8＝EF10， ∴CN ＝0.6x ，EF ＝54x ，∴y ＝S △DEF ＝S △CEF ＝12×EF ×CN ＝12×54x ×0.6x ＝38x 2，∴当x ＝4时，y max ＝38×42＝6；②当4＜x ≤8时，如解图③，第4题解图③过点C作CM⊥AB交AB于点M，过点F作FN⊥AB交AB于点N，连接ED，FD，分别交AB于点G，I，∴BFBC＝FNCM，∵CF＝x，∴BF＝8－x，由(1)有，CM＝4.8，∴8－x8＝FN4.8，∴FN＝0.6(8－x)，∵DH＝CH＝CM－HM＝CM－FN＝4.8－0.6(8－x)＝0.6x，DM＝DH－MH＝DH－FN＝0.6x－0.6(8－x)＝1.2x－4.8，∵EF∥AB，∴EFAB＝CHCM，即EF10＝0.6x4.8∴EF ＝54x ，∵EF ∥AB ，∴DM DH ＝GI EF， ∴1.2x －4.80.6x ＝GI54x ，∴GI ＝52(x －4)，∴y ＝12(GI ＋EF )×FN ＝12×；52(x －4)＋54x ]×0.6(8－x )＝－98(x－163)2＋8， ∴当x ＝163时，y max ＝645.(3)如解图④，在CB 上取一点H 使CH ＝DM ，作∠CHG ＝∠DMN ，第4题解图④在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，∴tan ∠B ＝AC BC ＝68＝34，在△BFM 中，DF ⊥BC ，BF ＝BC －CF ＝4，∠B ＋∠BMF ＝90°，∴tan ∠B ＝FM BF ＝FM 4＝34，∴FM ＝3，∴CH ＝DM ＝1，∵∠CHG ＝∠DMN ，∠BMF ＝∠DMN ， ∴∠CHG ＝∠BMF ，∵∠B ＋∠BMF ＝90°， ∵∠B ＋∠CHG ＝90°，∠CHG ＋∠CGH ＝90°， ∴∠B ＝∠CGH ，在Rt △HCG 中，tan ∠CGH ＝CH CG ＝tan ∠B ＝34，∴CG ＝43×CH ＝43，∵∠BFD ＝90°，由折叠有∠CFE ＝∠DFE ＝45°，∴CE ＝CF ，∴y ＝S 四边形EFMN ＝S △DEF －S △DMN ＝S △CEF －S △CHG ＝12CE ×CF －12×CH ×CG＝12×4×4－12×1×43＝223. 5. 将边长为8cm 的正方形纸片ABCD 沿EG 折叠(折痕EG 分别与AB 、DC 交于点E 、G )，使点B 落在AD 边上的点F 处，FN 与DC 交于点M ，连接BF 与EG 交于点P .第5题图(1)当点F与AD的中点重合时(如图①)；①△AEF的边AE＝________cm，EF＝________cm，线段EG与BF 的大小关系是EG________BF；(填“>”、“＝”或“<”)②求△FDM的周长．(2)当点F在AD边上除点A，D外的任意位置时(如图②)；①试问第(1)题中线段EG与BF的大小关系是否发生变化？请证明你的结论；②当点P在何位置时，四边形AEGD的面积S最大？最大值是多少？解：(1)①AE＝3cm，EF＝5cm；EG＝BF，设AE＝x，则EF＝8－x，AF＝4，∠A＝90°，42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3.∴AE＝3cm，EF＝5cm，EG＝BF；②如解图①，∵∠MFE＝90°，∴∠DFM ＋∠AFE ＝90°，又∵∠A ＝∠D ＝90°，∠AFE ＝∠DMF ， ∴△AEF ∽△DFM ， ∴EF FM ＝AE DF ＝AF DM， 又∵AE ＝3，AF ＝DF ＝4，EF ＝5，∴5FM ＝34，解得FM ＝203，34＝4DM ，解得DM ＝163， ∴△FMD 的周长＝4＋203＋163＝16；第5题解图(2)①FG ＝BF 不会发生变化，证明：如解图②，∵B 、F 关于GE 对称， ∴BF ⊥EG 于点P ，过G 作GK ⊥AB 于点K ， ∴∠FBE ＝∠KGE ，在正方形ABCD 中，GK ＝BC ＝AB ，∠A ＝∠EKG ＝90°， ∴△AFB ≌△KEG (AAS)，∴EG ＝BF ；②如解图②，设AF ＝x ，EF ＝8－AE ，则x 2＋AE 2＝(8－AE )2， ∵△AFB ≌△KEG ，∴AF ＝EK ＝x ，AK ＝AE ＋EK ＝AF ＋AE ＝4－116x 2＋x ，S ＝AE ＋DG2×8＝12×8(AE ＋AK )＝4×(4－116x 2＋4－116x 2＋x )＝－12x 2＋4x ＋32， S ＝－12(x －4)2＋40，(0<x <8)当x ＝4，即F 与AD 的中点重合时，S 最大＝40.类型二 旋转问题11. 在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝5，∠B ＝90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC 的中点O 处，三角板的两直角边分别交AB 、BC 的延长线于E 、F 两点，如图①.(1)求证：△EOB ≌△FOC ；(2)将等腰直角三角板绕直角顶点O 顺时针旋转，三角板的两直角边分别交AB 、BC 于E 、F 两点，如图②，则△OFC 能否成为等腰直角三角形？若能，直接写出△OFC 是等腰直角三角形时BF 的长；若不能，请说明理由；(3)若将三角板的直角顶点移动到点P 处，两直角边分别交AB 、BC 于E 、F 两点，如图③，若PE PF ＝13，请求出PA 的长．第1题图(1)证明：由题知，△ABC 和△OEF 均为等腰直角三角形，O 为AC 中点，∴∠BOC ＝∠EOF ＝90°，OB ＝OC ，OE ＝OF ， ∵∠EOB ＋∠COE ＝90°，∠FOC ＋∠COE ＝90°， ∴∠EOB ＝∠FOC . 在△EOB 和△FOC 中，⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝OC ∠EOB ＝∠FOC OE ＝OF， ∴△EOB ≌△FOC (SAS)；(2)解：△OFC 能成为等腰直角三角形，此时BF ＝52或0；∵△ABC 为等腰直角三角形， ∴∠ACB ＝45°.①当OF ＝CF ，∠OFC ＝90°，时 ∵∠ABC ＝90°， ∴OF ∥AB ，又∵O 为AC 的中点， ∴OF 为△ABC 的中位线，∴F为BC的中点，∴△OFC是等腰直角三角形，∵AB＝BC＝5，∴BF＝52；②当OF＝OC时，点F与点B重合，此时△OFC为等腰直角三角形，∴BF＝0.(3)解：如解图，过点P作PM⊥AB，垂足为M，作PN⊥BC，垂足为N，∵∠EPM＋∠EPN＝∠EPN＋∠FPN＝90°，∴∠EPM＝∠FPN，又∵∠EMP＝∠FNP＝90°，∴△PME∽△PNF，∴PMPN＝PEPF，∵△ABC为等腰直角三角形，∴△APM和△PCN均为等腰直角三角形，∴△APM∽△PCN，∴AMPN＝APPC，第4题解图∵AM＝PM，∴PMPN＝APPC，∴PAPC＝PEPF，∵PEPF＝13，∴PAPC＝13，∴PA＝14AC，∵AB＝BC＝5，∴AC＝52，∴PA＝14AC＝524.12. 已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，有一个圆心角为45°，半径长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，直线CE、CF分别与直线AB交于点M、N.(1)当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图①，求证：MN2＝AM2＋BN2；思路点拨：考虑MN2＝AM2＋BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN＝BN，∠MDN＝90°就可以了．请你完成证明过程；(2)当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式MN2＝AM2＋BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．第2题图(1)证明：将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连接DN，如解图①，第2题解图①则△DCM≌△ACM.有CD＝CA，DM＝AM，∠DCM＝∠ACM，∠CDM＝∠A.∵CA＝CB，∴CD＝CB，∵∠DCN＝∠ECF－∠DCM＝45°－∠ACM，∠BCN＝∠ACB－∠ECF－∠ACM＝90°－45°－∠ACM＝45°－∠ACM，∴∠DCN＝∠BCN.又∵CN＝CN，∴△CDN≌△CBN.∴DN＝BN，∠CDN＝∠B.∴∠MDN＝∠CDM＋∠CDN＝∠A＋∠B＝90°.∴在Rt△MDN中，由勾股定理，得MN2＝DM2＋DN2，即MN2＝AM2＋BN2；(2)关系式MN2＝AM2＋BN2仍然成立．证明：将△ACM沿直线CE对折，得△GCM，连接GN，如解图②，第2题解图②则△GCM≌△ACM.∴CG＝CA，GM＝AM，∠GCM＝∠ACM，∠CGM＝∠CAM.∵CA＝CB，∴CG＝CB.∵∠GCN＝∠GCM＋∠ECF＝∠GCM＋45°，∠BCN＝∠ACB－∠ACN＝90°－(∠ECF－∠ACM)＝45°＋∠ACM，∴∠GCN＝∠BCN.又∵CN＝CN，∴△CGN≌△CBN.∴GN＝BN，∠CGN＝∠B＝45°，∠CGM＝∠CAM＝180°－∠CAB＝135°，∴∠MGN＝∠CGM－∠CGN＝135°－45°＝90°.∴在Rt△MGN中，由勾股定理，得MN 2＝GM 2＋GN 2，即MN 2＝AM 2＋BN 2.13. 如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝10，tan ∠ABC ＝43，点P 是边BC 上的一点，M 是线段AP 上一点，线段PM 绕点P 顺时针旋转90°得线段PN ，设BP ＝t .(1)如图①，当点P 在点B ，点M 是AP 中点时，试求AN 的长；(2)如图②，当PM MA ＝13时，①求点N 到BC 边的距离(用含t 的代数式表示)； ②当点P 从点B 运动至点C 时，试求点N 运动路径的长．第3题图解：(1)∵在Rt △ABN 中，∠ABN ＝90°，AB ＝10， ∴BN ＝BM ＝12AB ＝5，∴AN ＝102＋52＝55；(2)①(Ⅰ)当0≤t ≤6时(如图①)，第3题解图①如解图：过点A作AE⊥BC于点E，过点N作NF⊥BC于点F，∵tan∠ABC＝AEBE＝43，设AE＝4x，则BE＝3x，在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∴AB2＝AE2＋BE2，102＝(3x)2＋(4x)2，解得：x＝2，∴AE＝8，BE＝6当0 ≤t≤6时．∵∠AEP＝∠PFN＝90°，∠APE＋∠FPN＝90°，∠APF＋∠PAE＝90°，∴∠PAE＝∠FPN，∴△APE∽△PNF，∵PMMA＝13，∴PF AE ＝FN PE ＝PN AP ＝14， ∴FN ＝14(6－t )＝32－14t ；(Ⅱ)当6≤t ≤10时，同理可得：FN ＝14(t －6)＝14t －32；②如图2点N 的运动路径是一条线段，第4题解图②当P 与O 重合时，FN ＝32，PF ＝2，当P 与C 重合时，F ′N ′＝1，CF ′＝2， ∴点N 的路径长NN ′＝102＋（1＋32）2＝51720.14. 已知△ABC 是边长为4的等边三角形，边AB 在射线OM 上，且OA ＝6，点D 是射线OM 上的动点，当点D 不与点A 重合时，将△ACD 绕点C 逆时针方向旋转60°得到△BCE ，连接DE .(1)如图①，猜想：△CDE 的形状是____三角形．(2)设OD＝m.①当6<m<10时，△BDE周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由．②是否存在m的值，使△DEB是直角三角形，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．第4题图解：(1)等边；[解法提示]：∵将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE，∴∠DCE＝60°，DC＝EC，∴△CDE是等边三角形；(2)①存在，当6<m<10时，由旋转的性质得，BE＝AD，∴C△DBE＝BE＋DB＋DE＝AB＋DE＝4＋DE，由(1)知，△CDE是等边三角形，∴DE＝CD，∴C△DBE＝CD＋4，由点到直线垂线段最短可知，当CD⊥AB时，△BDE的周长最小，此时，CD＝23，∴△BDE的最小周长＝CD＋4＝23＋4；②存在，当m＝2或14时，以O、E、B为顶点的三角形是直角三解形，；：Ⅰ∵当点D与点B重合时，D、B、E不能构成三角形，∴当点D与点B重合时，不符合题意，Ⅱ当0≤m<6时，由旋转可知∠CBE＝120°，∴∠ABE＝60°，∠BDE<60°，∴若∠BED＝90°，由(1)可知，△CDE是等边三角形，∴∠DEC＝60°，∴∠CEB＝30°，∵∠CEB＝∠CDA，∴∠CDA＝30°，∵∠CAB＝60°，∴∠ACD＝∠ADC＝30°，∴DA＝CA＝4，∴OD＝OA－DA＝6－4＝2，∴m＝2；Ⅲ当6<m<10时，由∠DBE＝120°>90°∴此时不存在；Ⅳ当m>10时，由旋转性质可知∠CBE＝60°，∴∠DBE＝60°，又由(1)知∠CDE＝60°，∴∠BDE＝∠CDE＋∠BDC＝60°＋∠BDC，∵∠BDC>0°，∴∠BDE>60°，∴若∠BDE＝90°，∴∠BCD＝∠BDC＝30°，∴BD＝BC＝4，∴OD＝14，∴m＝14，综上所述：当m＝2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．。
初中数学《菱形中折叠、动点、旋转、最值、新定义》题型及答案解析
解题技巧专题：菱形中折叠、动点、旋转、最值、新定义型问题目录【考点一利用菱形的性质与判定解决折叠问题】 1【考点二利用菱形的性质与判定解决动点与函数图象问题】 5【考点三利用菱形的性质与判定解决旋转问题】 10【考点四利用菱形的性质与判定解决最值问题】 16【考点五利用菱形的性质与判定解决新定义型问题】 21【典型例题】【考点一利用菱形的性质与判定解决折叠问题】1.(2024九年级下·江苏南京·专题练习)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在AB，BC上，沿EF翻折后，点B落在边CD上的G处，若EG⊥CD，BE=4，DG=3，则AE的长为．【变式训练】2.(2024·广东东莞·二模)如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点B落在AD边的点F处，折痕为CE，若∠D= 80°，则∠BCF的度数是．3.(23-24八年级下·江苏无锡·期中)如图，在菱形ABCD中，AB=8，∠A=120°，M是CD上，DM=3，N是点AB上一动点，四边形CMNB沿直线MN翻折，点C对应点为E，当AE最小时，AN=．4.(23-24八年级下·河北邢台·期中)如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°．(1)∠C=°．(2)点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C ，且DC 是AB的垂直平分线，则∠DEC的大小为°．5.(2024·云南曲靖·二模)如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，过点C作CD⊥AB于点D，点E为AC上一点，连接BE，交CD于点G，△BFE是△BCE沿BE折叠所得，且点C的对应点F恰好落在AB上，连接FG．(1)求证：四边形CEFG为菱形；(2)若AC=8，BC=6，求DG的长．【考点二利用菱形的性质与判定解决动点与函数图象问题】6.(2024·北京朝阳·二模)如图1，在菱形ABCD 中，∠B =60°，P 是菱形内部一点，动点M 从顶点B 出发，沿线段BP 运动到点P ，再沿线段P A 运动到顶点A ，停止运动．设点M 运动的路程为x ，MA MC=y ，表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则菱形ABCD 的边长是()A.43B.4C.23D.2【变式训练】7.(2024·广东深圳·三模)如图(1)，点P 为菱形ABCD 对角线AC 上一动点，点E 为边CD 上一定点，连接PB ，PE ，BE ．图(2)是点P 从点A 匀速运动到点C 时，△PBE 的面积y 随AP 的长度x 变化的关系图象(当点P 在BE 上时，令y =0)，则菱形ABCD 的边长为()A.5B.6C.23D.258.(23-24九年级下·山东淄博·期中)如图1，点P 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A →C →B 以1cm/s 的速度匀速运动到点B ，点P 运动时△P AD 的面积y cm 2 随时间x (s )变化的关系如图2，则a 的值为()A.254B.253C.9D.1929.(2024·甘肃·中考真题)如图1，动点P 从菱形ABCD 的点A 出发，沿边AB →BC 匀速运动，运动到点C 时停止．设点P 的运动路程为x ，PO 的长为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，当点P 运动到BC 中点时，PO 的长为()A.2B.3C.5D.2210.(23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习)在菱形ABCD 中，∠ABC =60°，P 是直线BD 上一动点，以AP 为边向右侧作等边△APE ，(A 、P ，E 按逆时针排列)，点E 的位置随点P 的位置变化而变化．(1)如图1，当点P 在线段BD 上，且点E 在菱形ABCD 内部或边上时，连接CE ，则BP 与CE 的数量关系是，BC 与CE 的位置关系是；(2)①如图2，当点P 在线段BD 上，且点E 在菱形ABCD 外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；②在①的条件下，连接BE ，若AB =2，∠APD =75°，直接写出BE 的长；(3)当点P 在直线BD 上时，其他条件不变，连接BE ．若AB =23，BE =219，请直接写出△APE 的面积．【考点三利用菱形的性质与判定解决旋转问题】11.(2024·河南·三模)如图，菱形OABC 的顶点O (0,0)，A (-1,0)，∠B =60°，若菱形OABC 绕点O 顺时针旋转90°后得到菱形OA 1B 1C 1，依此方式，绕点O 连续旋转2024次得到菱形OA 2024B 2024C 2024，那么点C 2024的坐标是()A.32,12B.12,-32C.-32,-12D.-12,32【变式训练】12.(2024九年级·全国·竞赛)在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，边长为2cm ，现将菱形ABCD 绕其外一点O影部分的面积为cm2．13.如图①，菱形ABCD和菱形AEFG有公共顶点A，点E，G分别落在边AB，AD上，连接DF，BF．(1)求证：DF=BF；(2)将菱形AEFG绕点A按逆时针方向旋转．设旋转角∠BAE=α0°≤α≤180°，且AB=6，AE= 3，∠DAB=∠GAE=60°．①如图②，当α=90°时，则线段DF的长度是多少？②连接BD，当△DFB为直角三角形时，则旋转角α的度数为多少度？14.(23-24八年级下·湖北武汉·期中)在菱形ABCD和菱形BEFG中，∠ABC=∠EBG=60°,AB=6,BE=2．(1)如图1，若点E、G分别在边AB、BC上，点F在菱形ABCD内部，连接DF，直接写出DF的长度为；(2)如图2，把菱形BEFG绕点B顺时针旋转α°(0<α<360)，连接DF、CG，判断DF与CG的数量关系，并给出证明；(3)如图3，①把菱形BEFG继续绕点B顺时针旋转，连接GD,O为DG的中点，连接CO、EO，试探究CO与EO的关系；②直接写出菱形BEFG绕B点旋转过程中CO的取值范围．【考点四利用菱形的性质与判定解决最值问题】15.(23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中)如图，菱形ABCD的周长为8，∠DAC=30°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．【变式训练】16.(2024九年级下·全国·专题练习)如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B=45°，BC=23，则GH的最小值是．17.(23-24八年级下·安徽合肥·期末)菱形ABCD中，∠B=60°，E是BC中点，连接AE,DE，点F是DE上一动点，G为AF中点，连接CG．(1)∠BAE=；(2)若AB=2，则CG的最小值为．18.(2024八年级下·全国·专题练习)如图，菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，点P为AD边上任意一点(不包括端点)，连结AC，过点P作PQ∥AC，交边CD于点Q，点R线段AC上的一点．(1)若点R为菱形ABCD对角线的交点，PQ为△ACD的中位线，求PR+QR的值；(2)当PR+QR的值最小时，请确定点R的位置，并求出PR+QR的最小值；(3)当PR+QR的值最小，且PR+QR+PQ的值最小时，在备用图中作出此时点P，Q的位置，写作法并写出PR+QR+PQ的最小值．【考点五利用菱形的性质与判定解决新定义型问题】19.(22-23八年级下·江苏苏州·期末)定义：如果三角形有两个内角的差为90°，那么称这样的三角形为“准直角三角形”．(1)已知△ABC是“准直角三角形”，∠C>90°，若∠A=40°，则∠B=°．(2)如图，在菱形ABCD中，∠B>90°，AB=5，连接AC，若△ABC正好为一个准直角三角形，求菱形ABCD的面积．【变式训练】20.(23-24九年级下·山东威海·期中)【理解新定义】若一个四边形具备一组对角互补和一组邻边相等，则称该四边形为“补等四边形”．如正方形和筝形，它们都具备这样的特征，所以称为补等四边形．【解决新问题】(1)如图Ⅰ，点E，F分别在菱形ABCD的边CD，AD上，CE=DF，∠A=60°．四边形BEDF是否为补等四边形？(填“是”或“否”)(2)如图Ⅱ，在△ABC中，∠B>90°．∠ACB的平分线和边AB的中垂线交于点D，中垂线交边AC于点G，连接DA，DB．四边形ADBC是否为补等四边形？若是，进行证明；若不是，说明理由．21.(22-23八年级下·浙江宁波·期末)我们定义：以已知菱形的对角线为边且有一条边与已知菱形的一条边共线的新菱形称为已知菱形的伴随菱形．如图1，在菱形ABCD中，连接AC，在AD的延长线上取点E 使得AC=AE，以CA、AE为边作菱形CAEF，我们称菱形CAEF是菱形ABCD的“伴随菱形”．(1)如图2，在菱形ABCD中，连接AC，在BC的延长线上作CA=CF，作∠ACF的平分线CE交AD的延长线于点E，连接FE．求证：四边形AEPC为菱形ABCD的“伴随菱形”．(2)①如图3，菱形AEFC为菱形ABCD的“伴随菱形”，过C作CH垂直AE于点H，对角线AC、BD相交于点O．连接EO若EO=2CH，试判断ED与BD的数量关系并加以证明．②在①的条件下请直接写出CHED的值．22.(22-23八年级下·安徽合肥·期末)定义：在三角形中，若有两条中线互相垂直，则称该三角形为中垂三角形．(1)如图(a)，△ABC是中垂三角形，BD,AE分别是AC,BC边上的中线，且BD⊥AE于点O，若∠BAE=45°，求证：△ABC是等腰三角形．(2)如图(b)，在中垂三角形ABC中，AE,BD分别是边BC,AC上的中线，且AE⊥BD于点O，求证：AC2+BC2=5AB2．(3)如图(c)，四边形ABCD是菱形，对角线AC,BD交于点O，点M,N分别是OA,OD的中点，连接BM,CN并延长，交于点E．求证：△BCE是中垂三角形；解题技巧专题：菱形中折叠、动点、旋转、最值、新定义型问题目录【考点一利用菱形的性质与判定解决折叠问题】 1【考点二利用菱形的性质与判定解决动点与函数图象问题】 5【考点三利用菱形的性质与判定解决旋转问题】 10【考点四利用菱形的性质与判定解决最值问题】 16【考点五利用菱形的性质与判定解决新定义型问题】 21【典型例题】【考点一利用菱形的性质与判定解决折叠问题】1.(2024九年级下·江苏南京·专题练习)如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，BC 上，沿EF 翻折后，点B 落在边CD 上的G 处，若EG ⊥CD ，BE =4，DG =3，则AE 的长为．【答案】914【分析】此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．作BH ⊥CD 交DC 的延长线于点H ，因为EG ⊥CD ，所以BH ∥EG ，由四边形ABCD 是菱形，得AB ∥CD ，AB =BC =CD ，则四边形BEGH 是平行四边形，所以GH =BE =4，由折叠得GE =BE =4，则BH =GE =4，所以DH =DG +GH =3+4=7，由勾股定理得42+7-AB 2=AB 2，求得AB =6514，所以AE =AB -BE =6514-4=914，于是得到问题的答案．【详解】解：作BH ⊥CD 交DC 的延长线于点H ，则∠H =90°，∵EG ⊥CD ，∴BH ∥EG ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AB =BC =CD ，∴BE ∥GH ，∴四边形BEGH 是平行四边形，∴GH =BE =4，由折叠得GE =BE =4，∵DG =3，∴DH =DG +GH =3+4=7，∵BH 2+CH 2=BC 2，CH =7-CD =7-AB ，∴42+7-AB 2=AB 2，解得AB =6514，∴AE =AB -BE =6514-4=914，故答案为：914．【变式训练】2.(2024·广东东莞·二模)如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点B 落在AD 边的点F 处，折痕为CE ，若∠D =80°，则∠BCF 的度数是．【答案】80°/80度【分析】此题考查了菱形的性质，折叠的性质，等边对等角和平行线的性质，首先根据平行的性质得到BC =CD ，由折叠得BC =CF ，然后求出CF =CD ，然后根据等边对等角和平行线的性质求解即可．【详解】∵四边形ABCD 是菱形∴BC =CD由折叠可得，BC =CF∴CF =CD∴∠CFD =∠D =80°∵四边形ABCD 是菱形∴AD ∥BC∴∠BCF =∠DFC =80°．故答案为：80°．3.(23-24八年级下·江苏无锡·期中)如图，在菱形ABCD 中，AB =8，∠A =120°，M 是CD 上，DM =3，N 是点AB 上一动点，四边形CMNB 沿直线MN 翻折，点C 对应点为E ，当AE 最小时，AN =．【答案】7【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，解决本题的关键是确定点E在AM上时，AE的值最小．作AH⊥CD于H，如图，根据菱形的性质可求得AH=32AD=83，DH=CH=8，在Rt△AHM中，利用勾股定理计算出AM=7，再根据两点间线段最短得到当点E在AM上时，AE的值最小，然后证明AN=AM即可．【详解】解：作AH⊥CD于H，如图，∵菱形ABCD的边AB=8，∠A=120°，∴AD=AB=CD=8，AB∥CD，∴∠D=180°-∠BAD=60°，∴∠DAH=30°，∴DH=12AD=4，AH=AD2-DH2=43，∵DM=3，∴HM=1，MC=CD-DM=5，在Rt△AHM中，AM=AH2+HM2=7，∵四边形CMNB沿直线MN翻折，点C对应点为E，，∴ME=MC=10，∵AE+ME≥AM，∴AE≥AM-ME，∴当点E在AM上时，AE的值最小，由折叠的性质得∠AMN=∠CMN，而AB∥CD，∴∠ANM=∠CMN，∴∠AMN=∠ANM，∴AN=AM=7．故答案为：7．4.(23-24八年级下·河北邢台·期中)如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°．(1)∠C=°．(2)点E在BC边上，将菱形纸片ABCD沿DE折叠，点C对应点为点C ，且DC 是AB的垂直平分线，则∠DEC的大小为°．【答案】6075【分析】本题考查菱形的性质，垂直平分线的定义．(1)直接根据菱形的对角相等即可求解；(2)如图，由垂直平分线的定义得到∠1=90°，从而∠ADC =30°，由菱形的性质得到∠CDC =∠1=90°，从而由折叠有∠CDE=∠C DE=12∠CDC =45°，因此∠ADE=75°，再根据菱形的对边平行即可求解．【详解】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴∠C=∠A=60°．故答案为：60(2)如图，∵C D 是AB 的垂直平分线，∴∠1=90°，∴∠ADC =90°-∠A =90°-60°=30°，∵在菱形ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠CDC =∠1=90°，由折叠可得∠CDE =∠C DE =12∠CDC =12×90°=45°，∴∠ADE =∠ADC +∠C DE =30°+45°=75°，∵在菱形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠DEC =∠ADE =75°．故答案为：755.(2024·云南曲靖·二模)如图，已知在△ABC 中，∠ACB =90°，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，点E 为AC 上一点，连接BE ，交CD 于点G ，△BFE 是△BCE 沿BE 折叠所得，且点C 的对应点F 恰好落在AB 上，连接FG ．(1)求证：四边形CEFG 为菱形；(2)若AC =8，BC =6，求DG 的长．【答案】(1)见解析(2)GD =1.8．【分析】(1)推出CG =EF ，CG ∥EF ，进而推出四边形CEFG 是平行四边形，并根据EC =EF 证得四边形CEFG 是菱形；(2)首先利用勾股定理求出AB ，设CG =x ，然后用x 表示出AE 和EF ，再在Rt △AEF 中，利用勾股定理构建方程，求出x ，进一步计算即可求解．【详解】(1)证明：∵CD ⊥AB ，△BFE 是△BCE 沿BE 折叠所得，∴∠BFE =∠BCE =90°，∠CEG =∠FEG ，EC =EF ，∴CD ∥EF ，∴∠CGE =∠FEG ，∴∠CGE =∠CEG ，∴CE =CG ，∴CG =EF ，∵CG ∥EF ，∴四边形CEFG 是平行四边形，∵EC =EF ，∴平行四边形CEFG 是菱形；(2)解：∵AC =8，BC =6，∠ACB =90°，22∵四边形CEFG 是菱形，∴EF =FG =CE =CG =x ，∴AE =8-x ，∵△BFE 是△BCE 沿BE 折叠所得，∴BF =BC =6，∴AF =AB -BF =10-6=4，∵在Rt △AEF 中，EF 2+AF 2=AE 2，∴x 2+42=8-x 2，解得：x =3，即CG =3．∵CD ⊥AB ，∴S △ABC =12AC ×BC =12AB ×CD ，∴CD =4.8，∴GD =4.8-3=1.8．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定和性质以及勾股定理的应用，灵活运用各性质进行推理论证是解题的关键．【考点二利用菱形的性质与判定解决动点与函数图象问题】6.(2024·北京朝阳·二模)如图1，在菱形ABCD 中，∠B =60°，P 是菱形内部一点，动点M 从顶点B 出发，沿线段BP 运动到点P ，再沿线段P A 运动到顶点A ，停止运动．设点M 运动的路程为x ，MA MC=y ，表示y 与x 的函数关系的图象如图2所示，则菱形ABCD 的边长是()A.43B.4C.23D.2【答案】C【分析】首先根据题意作图，然后由图象判断出点P 在对角线BD 上，BP =4，BP +AP =6，设AO =x ，则AB =2AO =2x ，利用勾股定理求解即可．【详解】如图所示，由图象可得，当x 从0到4时，MA MC=y =1∴MA =MC∵四边形ABCD 是菱形∴点P 在对角线BD 上∴由图象可得，BP =4，BP +AP =6∵在菱形ABCD 中，∠B =60°，∴∠ABD =30°，AC ⊥BD∴设AO =x ，则AB =2AO =2x∴PO =BP -BO =4-3x∴BO =AB 2-AO 2=3x∴在Rt △APO 中，AP 2=AO 2+PO 2∴22=x 2+4-3x 2解得x =3，负值舍去∴AB =2x =23∴菱形ABCD 的边长是23．故选：C ．【点睛】此题考查了动点函数图象问题，菱形的性质，勾股定理，含30°角直角三角形的性质等知识，解题的关键是根据图象正确分析出点P 在对角线BD 上．【变式训练】7.(2024·广东深圳·三模)如图(1)，点P 为菱形ABCD 对角线AC 上一动点，点E 为边CD 上一定点，连接PB ，PE ，BE ．图(2)是点P 从点A 匀速运动到点C 时，△PBE 的面积y 随AP 的长度x 变化的关系图象(当点P 在BE 上时，令y =0)，则菱形ABCD 的边长为()A.5B.6C.23D.25【答案】A 【分析】根据图象可知，当x =0时，即点P 与点A 重合，此时S △ABE =12，进而求出菱形的面积，当x =8时，此时点P 与点C 重合，即AC =8，连接BD ，利用菱形的性质，求出边长，即可得出结果．本题考查菱形的性质和动点的函数图象．熟练掌握菱形的性质，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键．【详解】解：由图象可知：当x =0时，即点P 与点A 重合，此时S △ABE =12，∴S 菱形ABCD =2S △ABE =24，当x =8时，此时点P 与点C 重合，即AC =8，连接BD ，交AC 于点O ，则：BD ⊥AC ,OA =OC =4,OB =OD ，∴S 菱形ABCD =12AC ⋅BD =24，∴BD =6，∴OB =OD =3，∴AB =OA 2+OB 2=5，∴菱形ABCD 的边长为5；故选A ．8.(23-24九年级下·山东淄博·期中)如图1，点P 从菱形ABCD 的顶点A 出发，沿A →C →B 以1cm/s 的速度匀速运动到点B ，点P 运动时△P AD 的面积y cm 2 随时间x (s )变化的关系如图2，则a 的值为()A.254B.253C.9D.192【答案】B【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，动点问题的函数图象，过点C 作CE ⊥AD ，根据函数图象求出菱形的边长为a ，再根据图像的三角形的面积可得CE =8，再利用菱形的性质和勾股定理列方程可求a 即可．【详解】解：如图所示，过点C 作CE ⊥AD 于E ，∵在菱形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =BC ，∴当点P 在边BC 上运动时，y 的值不变，∴AD =BC =10+a -10=a ，即菱形的边长是a ，∴12⋅AD ⋅CE =4a ，即CE =8．当点P 在AC 上运动时，y 逐渐增大，∴AC =10，∴AE =AC 2-CE 2=102-82=6．在Rt △DCE 中，DC =a ,DE =a -6,CE =8，∴a 2=82+a -6 2，解得a =253．故选：B ．9.(2024·甘肃·中考真题)如图1，动点P 从菱形ABCD 的点A 出发，沿边AB →BC 匀速运动，运动到点C 时停止．设点P 的运动路程为x ，PO 的长为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，当点P 运动到BC 中点时，PO 的长为()A.2B.3C.5D.22【答案】C 【分析】结合图象，得到当x =0时，PO =AO =4，当点P 运动到点B 时，PO =BO =2，根据菱形的性质，得∠AOB =∠BOC =90°，继而得到AB =BC =OA 2+OB 2=25，当点P 运动到BC 中点时，PO 的长为12BC=5，解得即可．本题考查了菱形的性质，图象信息题，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质是解题的关键．【详解】结合图象，得到当x=0时，PO=AO=4，当点P运动到点B时，PO=BO=2，根据菱形的性质，得∠AOB=∠BOC=90°，故AB=BC=OA2+OB2=25，当点P运动到BC中点时，PO的长为12BC=5，故选C．10.(23-24八年级下·江苏苏州·阶段练习)在菱形ABCD中，∠ABC=60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，(A、P，E按逆时针排列)，点E的位置随点P的位置变化而变化．(1)如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是，BC与CE的位置关系是；(2)①如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；②在①的条件下，连接BE，若AB=2，∠APD=75°，直接写出BE的长；(3)当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE．若AB=23，BE=219，请直接写出△APE的面积．【答案】(1)BP=CE，CE⊥BC；(2)①仍然成立，见解析；②20-83(3)73或313【分析】(1)连接AC，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明△BAP≌△CAE即可证得结论；(2)①(1)中的结论成立，用(1)中的方法证明△BAP≌△CAE即可；②根据已知得出DP=AD，进而根据①可得BP=CE，根据CE⊥BC，勾股定理，即可求解；(3)分两种情形：当点P在BD的延长线上时或点P在线段DB的延长线上时，连接AC交BD于点O，由∠BCE=90°，根据勾股定理求出CE的长即得到BP的长，再求AO、PO、PD的长及等边三角形APE的边长可得结论．【详解】(1)解：如图1，连接AC，延长CE交AD于点H，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°；∴AP=AE，∠P AE=60°，∴∠BAP=∠CAE=60°-∠P AC，∴△BAP≌△CAE SAS，∴BP=CE；∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABP=1∠ABC=30°，2∴∠ABP=∠ACE=30°，∵∠ACB=60°，∴∠BCE=60°+30°=90°，∴CE⊥BC；故答案为：BP=CE，CE⊥BC；(2)(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD仍然成立，理由如下：如图2中，连接AC，设CE与AD交于H，∵菱形ABCD，∠ABC=60°，∴△ABC和△ACD都是等边三角形，∴AB=AC，∠BAD=120°，∠BAP=120°+∠DAP，∵△APE是等边三角形，∴AP=AE，∠P AE=60°，∴∠CAE=60°+60°+∠DAP=120°+∠DAP，∴∠BAP=∠CAE，∴△ABP≌△ACE SAS，∴BP=CE，∠ACE=∠ABD=30°，∴∠DCE=30°，∵∠ADC=60°，∴∠DCE+∠ADC=90°，∴∠CHD=90°，∴CE⊥AD；∴(1)中的结论：BP=CE，CE⊥AD仍然成立；②如图所示，∵△ABP≌△ACE SAS，∴CE=BP，∵∠APD=75°,∠ADB=30°∴∠DAP=75°=∠APD，∴DA=DP=2，∵BD=2BO=23AO=3AB=23∴BP=CE=BD-DP=23-2∵CE⊥AD，AD∥BC∴CE⊥BC∴BE=BC2+CE2=22+23-22=20-83故答案为：20-83．(3)如图3中，当点P在BD的延长线上时，连接AC交BD于点O，连接CE，BE，作EF⊥AP于F，∵四边形ABCD是菱形，∵∠ABC =60°，AB =23，∴∠ABO =30°，∴AO =12AB =3，OB =3AO =3，∴BD =6，由(2)知CE ⊥AD ，∵AD ∥BC ，∴CE ⊥BC ，∵BE =219，BC =AB =23，∴CE =(219)2-(23)2=8，由(2)知BP =CE =8，∴DP =2，∴OP =5，∴AP =OA 2+OP 2=(3)2+52=27，∵△APE 是等边三角形，∴S △AEP =34×27 2=73，如图4中，当点P 在DB 的延长线上时，同法可得AP =OA 2+OP 2=(3)2+112=231，∴S △AEP =34×231 2=313．【点睛】此题考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来．【考点三利用菱形的性质与判定解决旋转问题】11.(2024·河南·三模)如图，菱形OABC 的顶点O (0,0)，A (-1,0)，∠B =60°，若菱形OABC 绕点O 顺时针旋转90°后得到菱形OA 1B 1C 1，依此方式，绕点O 连续旋转2024次得到菱形OA 2024B 2024C 2024，那么点C 2024的坐标是()A.32,12B.12,-32C.-32,-12D.-12,32【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、菱形的性质，含30°直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，根据题意得到旋转的规律是解题的关键．根据题意得到点C 2024与点C 重合，在菱形中算出C 点坐标，即可解答．【详解】解：作CD ⊥OA 于D ，则∠CDO =90°，∵四边形OABC 是菱形，O 0,0 ,A -1,0 ，∴∠AOC =∠B =60°,OC =OA =1∴∠OCD =30°∴OD =12OC =12,CD =3OD =32∴点C 的坐标为-12,32，若菱形绕点O 顺时针旋转90°后得到菱形OA 1B 1C 1，依此方式，绕点O 连续旋转2024次得到菱形OA 2024B 2024C 2024，则菱形OABC 绕点O 连续旋转2024次，旋转4次为一周，旋转2024次为2024÷4=506(周)，∴绕点O 连续旋转2024次得到菱形OA 2024B 2024C 2024与菱形OABC 重合，∴点C 2024与C 重合，∴点C 2024的坐标为-12,32，故选：D ．【变式训练】12.(2024九年级·全国·竞赛)在菱形ABCD 中，∠ABC =120°，边长为2cm ，现将菱形ABCD 绕其外一点O按顺时针方向分别旋转90°、180°、270°后，得到如图的图形，每相邻两个菱形有一个顶点重合，则图中阴影部分的面积为cm 2．【答案】12-43【分析】连接AC 、OB ，交点为点E ，则OB 为AC 的中垂线，S △AOD =12×AE ×OD =12×3×3-1 =3-32cm 2 ，计算即可．【详解】如图，连接AC 、OB ，交点为点E ，则OB 为AC 的中垂线，∴点D 在OB 上，由已知条件易得BE =DE =12AB =1cm ,AE =OE =3cm ，∴OD =3-1cm ，∴S =1×AE ×OD =1×3×3-1 =3-3cm 2 ，∴所求面积为8×3-32=12-43cm2．故答案为：12-43．13.如图①，菱形ABCD和菱形AEFG有公共顶点A，点E，G分别落在边AB，AD上，连接DF，BF．(1)求证：DF=BF；(2)将菱形AEFG绕点A按逆时针方向旋转．设旋转角∠BAE=α0°≤α≤180°，且AB=6，AE= 3，∠DAB=∠GAE=60°．①如图②，当α=90°时，则线段DF的长度是多少？②连接BD，当△DFB为直角三角形时，则旋转角α的度数为多少度？【答案】(1)证明见解析(2)①33；②30°或90°【分析】(1)连接AF，根据菱形的性质，可得到△GAF≅△EAF，从而得到∠GAF=∠EAF，进而得到△DAF ≅△BAF，即可求证；(2)①连接AF，EG，BD，AC，BD与AC交于点O，AF交EG于点P，根据旋转的性质和菱形的性质可得AF∥OD，△ABD和△AEG是等边三角形，从而得到AF=OD，进而得到四边形AODF是平行四边形，即可求解；②分两种情况讨论：∠BDF=90°和∠BFD=90°，利用矩形的性质、等边三角形的判定与性质求解即可得．【详解】(1)证明：连接AF，∵四边形AEFG是菱形，∴AE=EF=FG=GA，在△GAF和△EAF中，AG=AEGF=EFAF=AF，∴△GAF≅△EAF SSS，∵四边形ABCD 是菱形，∴AD =AB ，在△DAF 和△BAF 中，AD =AB∠DAF =∠BAF AF =AF，∴△DAF ≅△BAF SAS ，∴DF =BF ．(2)解：①如图，连接AF ，EG ，BD ，AC ，BD 与AC 交于点O ，AF 交EG 于点P ，由(1)得当菱形AEFG 没有旋转时，AC 平分∠BAD ，AF 平分∠EAG ，∴此时点A 、F 、C 三点共线，∴当菱形AEFG 绕点A 按逆时针方向旋转时，∠FAC =α，∴当α=90°时，∠FAC =∠BAE =90°，在菱形ABCD 中，AB =AD ，OD =12BD ,OA =12AC ，BD ⊥AC ，∠DAO =12∠BAD =30°，∴∠AOD =90°∴∠DOA +∠FAC =180°，∴AF ∥OD ，在菱形AEFG 中，∠EAF =12∠EAG =30°，AE =AG ，AP =12AF ,PE =12EG ，∵∠DAB =∠GAE =60°．∴△ABD 和△AEG 是等边三角形，∴BD =AB =6，EG =AE =3，∴OD =3,EP =32，∴AP =AE 2-EP 2=32，OA =AD 2-OD 2=33∴AF =3，∴AF =OD ，∴四边形AODF 是平行四边形，∴DF =OA =33；②由①得四边形AODF 是平行四边形，∵∠FAC =90°，∴四边形AODF 是矩形，∴∠BDF =90°，即△DFB 为直角三角形，∴此时旋转角α的度数为90°；如图，当点F 在AD 上时，由①得AF =3，∴AF=DF，∵△ABD为等边三角形，∴BF⊥AD，即∠BFD=90°，∴此时△DFB为直角三角形，∵∠EAF=1∠EAG=30°，2∴∠BAE=∠BAD-∠EAF=30°，即此时旋转角α的度数为30°；综上所述，当△DFB为直角三角形时，旋转角α的度数为30°或90°．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，图形旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，图形旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．14.(23-24八年级下·湖北武汉·期中)在菱形ABCD和菱形BEFG中，∠ABC=∠EBG=60°,AB=6,BE=2．(1)如图1，若点E、G分别在边AB、BC上，点F在菱形ABCD内部，连接DF，直接写出DF的长度为；(2)如图2，把菱形BEFG绕点B顺时针旋转α°(0<α<360)，连接DF、CG，判断DF与CG的数量关系，并给出证明；(3)如图3，①把菱形BEFG继续绕点B顺时针旋转，连接GD,O为DG的中点，连接CO、EO，试探究CO与EO的关系；②直接写出菱形BEFG绕B点旋转过程中CO的取值范围．【答案】(1)43(2)FD=3CG，证明见解析(3)OE=3OC,2≤OC≤4【分析】(1)连接AC,EG,BF,DB，AC,BD交于点O，EG,BF交于点H，根据菱形的性质，证明B,F,D三点共线，求出BD,BF的长，用BD-BF即可求出DF的长度；(2)过点D作DM∥FG，过点G作GM∥DF，过点C作CN⊥MG，得到四边形DMGF为平行四边形，证明△CDM≌△CBG，得到CM=CG,∠DCM=∠BCG，进而求出∠MCG=∠BCG+∠BCM=∠DCM+∠BCM=∠DCB=120°，利用等腰三角形的性质结合30度角的直角三角形的性质，即可得出结论；(3)①延长CO至点H，使OC=OH，连接AC,AH,HE,HG，延长BA，交CH于点Q，先证明△DOC≌△GOH，推出四边形AHGB为平行四边形，再证明△HAC≌△EBC，推出△CHE为等边三角形，利用等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质，即可得出结论；②三角形的三边关系，求出CE的范围，进而求出OC的范围即可．【详解】(1)解：连接AC,EG,BF,DB，AC,BD交于点O，EG,BF交于点H，∵菱形ABCD ，菱形EBGF ，∴∠ABD =∠CBF =12∠ABC =30°,∠EBF =∠GBF =12∠EBG =30°，AC ⊥BD ,EG ⊥BF ,BD =2OB ,BF =2HB ，∵点E 、G 分别在边AB 、BC 上，∴∠ABD =∠ABF =30°，∴B ,F ,D 三点共线，∵BE =2,∠EBF =30°，∴HE =12BE =1，BH =3HE =3，∴BF =2BH =23，同理：BD =2OB =23OA =2×32AB =63，∴DF =BD -BF =43；故答案为：43；(2)FD =3CG ，证明如下：过点D 作DM ∥FG ，过点G 作GM ∥DF ，过点C 作CN ⊥MG ，则：四边形DMGF 为平行四边形，∴DF =MG ，DM =GF ，∵菱形ABCD ，菱形EBGF ，∠ABC =∠EBG =60°，∴AD ∥BC ,BE ∥GF ，∠ADB =∠ABC =∠EBG =60°，CD =BC ,BG =GF =DM∴BE ∥DM ，∠1=∠2，∠DCB =180°-∠ADC =120°，∴∠3=∠DMN ，∵∠1=∠ADM +∠DMN ,∠2=∠3+∠CBE∴∠ADM =∠CBE ，∴∠CDA +∠ADM =∠CBE +∠EBG ，即：∠CDM =∠CBG ，又∵CD =BC ,BG =DM ，∴△CDM ≌△CBG ，∴CM =CG ,∠DCM =∠BCG ，∴∠MCG =∠BCG +∠BCM =∠DCM +∠BCM =∠DCB =120°，∴∠CMG =∠CGM =12180°-120° =30°，∵CN ⊥MG ，∴DF =MG =2NG ，CN =12CG ，∴NG=CG2-CN2=3CG，2∴DF=3CG；(3)①延长CO至点H，使OC=OH，连接AC,AH,HE,HG，延长BA，交CH于点Q，∵O是DG的中点，∴OD=OG，又∵∠DOC=∠HOG，∴△DOC≌△GOH，∴GH=CD，∠OCD=∠OHG，∴CD∥HG，∵菱形ABCD，∴AB∥CD,AD∥BC,AB=BC=CD=DA,∠ADC=∠ABC=60°，∴AB∥HG，GH=CD=AB，△ABC为等边三角形，∴四边形AHGB为平行四边形，∠BAC=∠ACB=60°，AC=AB=BC，∴AH∥BG,AH=BG，∠CAQ=180°-∠CAB=120°，∴∠HAQ=∠ABG，∵BG=BE，∴AH=BE，∵∠CBE=∠ABC+∠ABG+∠EBG=120°+∠ABG，∠HAC=∠HAQ+∠CAQ=∠HAQ+120°，∴∠CBE=∠HAC，又∵AH=BE，AC=BC，∴△HAC≌△EBC，∴CH=CE，∠HCA=∠ECB，∴∠HCE=∠HCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=60°，∴△CHE为等边三角形，∵OC=OH，∠HEC=60°，∴OE⊥OC，∠CEO=30°，∴OC=1CE，2∴OE=3OC；②∵BC=AB=6,BE=2，∴BC-BE≤CE≤BC+BE，即：4≤CE≤8，∵OC=1CE，2∴2≤OC≤4．【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理，三角形的三边关系等知识点，综合性强，难度大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键．【考点四利用菱形的性质与判定解决最值问题】15.(23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中)如图，菱形ABCD的周长为8，∠DAC=30°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．【答案】3【分析】此题考查轴对称确定最短路线问题，菱形的性质，等边三角形的判定与性质连接BD ，DE ，根据菱形的性质可得，△ABD 是等边三角形，再证明△ADP ≌△ABP ，可得PD =PB ，从而得到PE +PB 的最小值为DE 的长，再由E 是AB 的中点，可得DE ⊥AB ,AE =12AB =1，然后根据勾股定理可得DE =3，即可求解．【详解】解：如图，连接BD ，DE ，∵四边形ABCD 是菱形，周长为8，∠DAC =30°，∴∠DAB =2∠DAC =60°，∠DAP =∠BAP ，AB =AD =2，∴△ABD 是等边三角形，在△ADP 和△ABP 中，∵AP =AP ，∠DAP =∠BAP ，AB =AD ，∴△ADP ≌△ABP ，∴PD =PB ，∴PE +PB =PE +PD ≥DE ，即PE +PB 的最小值为DE 的长，∵E 是AB 的中点，∴DE ⊥AB ,AE =12AB =1，∴DE =AD 2-AE 2=3，即PE +PB 的最小值为3．故答案为：3．【变式训练】16.(2024九年级下·全国·专题练习)如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，连接AE ，EF ，G ，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ．若∠B =45°，BC =23，则GH 的最小值是．【答案】62【分析】连接AF ，利用三角形中位线定理，可知GH =12AF ，当AF ⊥BC 时，AF 最小，求出AF 最小值即可求出．【详解】解：连接AF ，如图，∵四边形ABCD 是菱形，∵G ，H 分别为AE ，EF 的中点，∴GH 是△AEF 的中位线，∴GH =12AF ，当AF ⊥BC 时，则∠AFB =90°，AF 最小，GH 得到最小值，∵∠B =45°，∴△ABF 是等腰直角三角形，∴AF 2+BF 2=AB 2，即2AF 2=AB 2，∴AF =6，∴GH =62，故答案为：62．【点睛】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．17.(23-24八年级下·安徽合肥·期末)菱形ABCD 中，∠B =60°，E 是BC 中点，连接AE ,DE ，点F 是DE 上一动点，G 为AF 中点，连接CG ．(1)∠BAE =；(2)若AB =2，则CG 的最小值为．【答案】30°2217【分析】(1)连接AC ，证明△ABC 为等边三角形，三线合一，即可得出结果；(2)取AD 的中点I ，AE 的中点H ，连接HG ,IG ，CH ,CI ，根据三角形的中位线定理，推出点G 在IH 上运动，当CG ⊥HG 时，CG 最小，进行求解即可．【详解】解：(1)连接AC ，∵菱形ABCD ，∴AB =BC ，∵∠B =60°，∴△ABC 为等边三角形，∴∠BAC =60°，∵E 是BC 中点，∴AE 平分∠BAC ，∴∠BAE =12∠BAC =30°；故答案为：30°；(2)取AD 的中点I ，AE 的中点H ，连接HG ,IG ，CH ,CI则：IG ∥DF ，HG ∥DF ，∴I ,G ,H 三点共线，。
2023年九年级中考数学一轮专题练习 图形的平移、折叠和旋转(含解析)
2023年中考数学一轮专题练习 ——图形的平移、折叠和旋转5一、单选题（本大题共12小题）1. （重庆市2022年）下列北京冬奥会运动标识图案是轴对称图形的是（ ） A ． B ．C ．D ．2. （浙江省台州市2022年）如图是战机在空中展示的轴对称队形．以飞机B ，C 所在直线为x 轴、队形的对称轴为y 轴，建立平面直角坐标系．若飞机E 的坐标为(40，a )，则飞机D 的坐标为（ ）A ．(40,)a -B ．(40,)a -C ．(40,)a --D ．(,40)a - 3. （浙江省嘉兴市2022年）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm 的正方形ABCD 沿对角线BD 方向平移1cm 得到正方形A B C D ''''，形成一个“方胜”图案，则点D ，B ′之间的距离为（ ）A ．1cmB ．2cmC ．－1)cmD ．(2－1)cm4. （浙江省杭州市2022年）如图，在平面直角坐标系中，已知点P(0，2)，点A(4，2)．以点P为旋转中心，把点A按逆时针方向旋转60°，得点B．在1M⎛⎫⎪⎪⎝⎭，()21M-，()31,4M，4112,2M⎛⎫⎪⎝⎭四个点中，直线PB经过的点是（）A．1M B．2M C．3M D．4M5. （四川省德阳市2022年）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．6. （四川省广安市2022年）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE + PF的最小值是（）A．2 B．C．1.5 D7. （黑龙江省省龙东地区2022年）下列图形是汽车的标识，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．8. （北京市2022年）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．59. （福建省2022年）如图，现有一把直尺和一块三角尺，其中90ABC ∠=︒，60CAB ∠=︒，AB ＝8，点A 对应直尺的刻度为12.将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得△ABC 移动到A B C '''，点A '对应直尺的刻度为0，则四边形ACC A ''的面积是（ ）A ．96B ．C ．192D ． 10. （广东省2022年）在平面直角坐标系中，将点()1,1向右平移2个单位后，得到的点的坐标是（ ）A ．()3,1B ．()1,1-C ．()1,3D ．()1,1- 11. （广西百色市2022年）如图，在△ABC 中，点A （3，1），B （1，2），将△ABC 向左平移2个单位，再向上平移1个单位，则点B 的对应点B ′的坐标为（ ）A ．（3，-3）B ．（3，3）C ．（－1，1）D ．（－1，3） 12. （浙江省金华市2022年）如图是一张矩形纸片ABCD ，点E 为AD 中点，点F 在BC 上，把该纸片沿EF 折叠，点A ，B 的对应点分别为A B A E '''，，与BC 相交于点G ，B A ''的延长线过点C ．若23BF GC =，则AD AB的值为（ ）A ．B ．C ．207D ．83二、填空题（本大题共6小题）13. （浙江省丽水市2022年）三个能够重合的正六边形的位置如图．已知B 点的坐标是(，则A 点的坐标是 ．14. （浙江省台州市2022年）如图，△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A′B′C′，且BB′⊥BC，则阴影部分的面积为2cm．15. （山东省潍坊市2022年）如图，在直角坐标系中，边长为2个单位长度的正方形ABCO绕原点O逆时针旋转75︒，再沿y轴方向向上平移1个单位长度，则点B''的坐标为．16. （浙江省台州市2022年）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6．折叠该菱形，使点A落在边BC上的点M处，折痕分别与边AB，AD交于点E，F．当点M与点B 重合时，EF的长为；当点M的位置变化时，DF长的最大值为．17. （浙江省丽水市2022年）一副三角板按图1放置，O 是边()BC DF 的中点，12cm BC =．如图2，将ABC 绕点O 顺时针旋转60︒，AC 与EF 相交于点G ，则FG 的长是 cm ．18. （山东省潍坊市2022年）小莹按照如图所示的步骤折叠A 4纸，折完后，发现折痕AB ′与A 4纸的长边AB 恰好重合，那么A 4纸的长AB 与宽AD 的比值为 ．三、解答题（本大题共9小题）19. （浙江省丽水市2022年）如图，将矩形纸片折叠，使点B 与点D 重合，点A 落在点P 处，折痕为．(1)求证：PDE CDF △≌△；(2)若4cm,5cm CD EF ==，求BC 的长．20. （浙江省丽水市2022年）如图，在66⨯的方格纸中，点A ，B ，C 均在格点上，试按要求画出相应格点图形．ABCDEF(1)如图1，作一条线段，使它是AB 向右平移一格后的图形；(2)如图2，作一个轴对称图形，使AB 和AC 是它的两条边；(3)如图3，作一个与ABC 相似的三角形，相似比不等于1．21. （黑龙江省省龙东地区2022年）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为()1,1A -，()2,5B -，()5,4C -．(1)将ABC 先向左平移6个单位，再向上平移4个单位，得到111A B C △，画出两次平移后的111A B C △，并写出点1A 的坐标；(2)画出111A B C △绕点1C 顺时针旋转90°后得到221A B C △，并写出点2A 的坐标；(3)在（2）的条件下，求点1A 旋转到点2A 的过程中所经过的路径长（结果保留π）． 22. （四川省广安市2022年）数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形， 下图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形或中心对称图形，请画出4种不同的设计图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形）23. （黑龙江省2022年）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，△ABC与△DEF的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题．（1）在图中画出点O的位置；（2）将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；（3）在网格中画出格点M，使A1M平分∠B1A1C124. （黑龙江省齐齐哈尔市2022年）综合与实践数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．如图①，在矩形ABCD中，点E、F、G分别为边BC、AB、AD的中点，连接EF、DF，H为DF的中点，连接GH．将△BEF绕点B旋转，线段DF、GH和CE的位置和长度也随之变化．当△BEF绕点B顺时针旋转90°时，请解决下列问题：(1)图②中，AB=BC，此时点E落在AB的延长线上，点F落在线段BC上，连接AF，猜想GH与CE之间的数量关系，并证明你的猜想；(2)图③中，AB=2，BC=3，则GHCE=；(3)当AB=m , BC=n时．GHCE=．(4)在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线AC，并沿对角线AC剪开，得△ABC （如图④)．点M、N分别在AC、BC上，连接MN，将△CMN沿MN翻折，使点C的对应点P落在AB的延长线上，若PM平分∠APN，则CM长为．25. （黑龙江省省龙东地区2022年）ABC和ADE都是等边三角形．(1)将ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有PA PB PC+=（或PA PC PB+=）成立；请证明．(2)将ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；(3)将ADE 绕点A 旋转到图③的位置时，连接BD ，CE 相交于点P ，连接PA ，猜想线段PA 、PB 、PC 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．26. （北京市2022年）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(,),.M a b N 对于点P 给出如下定义：将点P 向右(0)a ≥或向左(0)a <平移a 个单位长度，再向上(0)b ≥或向下(0)b <平移b 个单位长度，得到点P'，点P'关于点N 的对称点为Q ，称点Q 为点P 的“对应点”．(1)如图，点(1,1),M 点N 在线段OM 的延长线上，若点(2,0),P -点Q 为点P 的“对应点”．①在图中画出点Q ；②连接,PQ 交线段ON 于点.T 求证：1;2NT OM = (2)O 的半径为1，M 是O 上一点，点N 在线段OM 上，且1(1)2ON t t =<<，若P 为O 外一点，点Q 为点P 的“对应点”，连接.PQ 当点M 在O 上运动时直接写出PQ 长的最大值与最小值的差（用含t 的式子表示）27. （河南省2022年）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断操作一：对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平； 操作二：在AD 上选一点P ，沿BP 折叠，使点A 落在矩形内部点M 处，把纸片展平，连接PM ，BM ．根据以上操作，当点M 在EF 上时，写出图1中一个30°的角： ．(2)迁移探究小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝ °，∠CBQ＝ °；②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．(3)拓展应用在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．参考答案1. 【答案】C【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．【详解】A.不是轴对称图形，故A错误；B.不是轴对称图形，故B错误；C.是轴对称图形，故C正确；D.不是轴对称图形，故D错误．故选：C．2. 【答案】B【分析】直接利用关于y轴对称，纵坐标相同，横坐标互为相反数，进而得出答案．【详解】解：根据题意，点E与点D关于y轴对称，∵飞机E的坐标为(40，a)，∴飞机D的坐标为(-40，a)，故选：B．3. 【答案】D【分析】-′求解即可．先求出BD，再根据平移性质求得BB'=1cm，然后由BD BB【详解】解：由题意，BD=，由平移性质得BB'=1cm，∴点D，B′之间的距离为DB'=BD BB-′=（1）cm，故选：D．4. 【答案】B【分析】根据含30°角的直角三角形的性质可得B（2，PB的解析式，依次将M1，M2，M3，M4四个点的一个坐标代入y+2中可解答．【详解】解：∵点A（4，2），点P（0，2），∴PA ⊥y 轴，PA =4，由旋转得：∠APB =60°，AP =PB =4，如图，过点B 作BC ⊥y 轴于C ，∴∠BPC =30°，∴BC =2，PC∴B （2，2+2设直线PB 的解析式为：y =kx +b ，则222k b b ⎧+=+⎪⎨=⎪⎩∴2k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴直线PB 的解析式为：y =x +2，当y =0+2=0，x∴点M 1（-0）不在直线PB 上，当x y =-3+2=1，∴M 2（-1）在直线PB 上，当x =1时，y =+2，∴M 3（1，4）不在直线PB 上，当x =2时，y ，∴M 4（2，112）不在直线PB 上． 故选：B ．5. 【答案】A【分析】根据轴对称和中心对称的定义逐项判断即可．轴对称图形是把一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合；中心对称图形是把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形重合．【详解】A 、既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；B 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；C 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；D 、是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；故选：A ．6. 【答案】A【分析】取AB 中点G 点，根据菱形的性质可知E 点、G 点关于对角线AC 对称，即有PE =PG ，则当G 、P 、F 三点共线时，PE +PF =PG +PF 最小，再证明四边形AGFD 是平行四边形，即可求得FG =AD ．【详解】解：取AB 中点G 点，连接PG ，如图，∵四边形ABCD 是菱形，且边长为2，∴AD =DC =AB =BC =2，∵E 点、G 点分别为AD 、AB 的中点，∴根据菱形的性质可知点E 、点G 关于对角线AC 轴对称，∴PE =PG ，∴PE +PF =PG +PF ，即可知当G 、P 、F 三点共线时，PE +PF =PG +PF 最小，且为线段FG ，如下图，G 、P 、F 三点共线，连接FG ，∵F 点是DC 中点，G 点为AB 中点，∴， 1122DF DC AB AG ===∵在菱形ABCD 中，，∴，∴四边形AGFD 是平行四边形，∴FG =AD =2，故PE +PF 的最小值为2，故选：A ．7. 【答案】C【分析】根据中心对称图形的定义判断即可．【详解】解：∵是轴对称图形，也是中心对称图形， ∴不符合题意；∵是轴对称图形，不是中心对称图形∴不符合题意；∵不是轴对称图形，是中心对称图形∴符合题意；∵是轴对称图形，不是中心对称图形∴不符合题意；故选C ．8. 【答案】D【分析】根据题意，画出该图形的对称轴，即可求解．【详解】解∶如图，DC AB ∥DF AG ∥一共有5条对称轴．故选：D9. 【答案】B【分析】根据直尺与三角尺的夹角为60°，根据四边形ACC A ''的面积为sin602sin60AA AC AB AA ⋅'︒︒⋅'=，即可求解．【详解】解：依题意ACC A ''为平行四边形，∵90ABC ∠=︒，60CAB ∠=︒，AB ＝8，12AA '=．2AC AB ∴=∴平行四边形ACC A ''的面积=sin602sin60AA AC AB AA ''⋅︒=︒⋅2812=⨯⨯=故选B10. 【答案】A【分析】把点()1,1的横坐标加2，纵坐标不变，得到()3,1，就是平移后的对应点的坐标．【详解】解：点()1,1向右平移2个单位长度后得到的点的坐标为()3,1．故选A ．11. 【答案】D【分析】根据图形的平移性质求解．【详解】解：根据图形平移的性质，B ′（1-2，2+1），即B ′（-1，3）；故选：D ．12. 【答案】A【分析】令BF =2x ，CG =3x ，FG =y ，易证CGA CFB ''△∽△，得出CG A G CF B F'='，进而得出y =3x ，则AE =4x ，AD =8x ，过点E 作EH ⊥BC 于点H ，根据勾股定理得出EH =，最后求出AD AB的值． 【详解】解：过点E 作EH ⊥BC 于点H ，又四边形ABCD 为矩形，∴∠A =∠B =∠D =∠BCD =90°，AD =BC ，∴四边形ABHE 和四边形CDEH 为矩形，∴AB =EH ，ED =CH ， ∵23BF GC =， ∴令BF =2x ，CG =3x ，FG =y ，则CF =3x +y ，2B F x '=，， 由题意，得==90CA G CB F ''︒∠∠，又GCA '∠为公共角，∴CGA CFB ''△∽△， ∴CG A GCF B F '='， 则53232x yx x y x-=+，整理，得()()30x y x y +-=，解得x =-y （舍去），y =3x ，∴AD =BC =5x +y =8x ，EG =3x ，HG =x ，在Rt △EGH 中EH 2+HG 2=EG 2，则EH 2+x 2=(3x )2，解得EH=， EH=-(舍)，∴AB=，∴ADAB ==．故选：A ．13.【答案】3A【分析】 52x y A G -'=如图，延长正六边形的边BM 与x 轴交于点E ，过A 作AN x ⊥轴于N ，连接AO ，BO ，证明,BOE AON 可得,,A O B 三点共线，可得,A B 关于O 对称，从而可得答案．【详解】解：如图，延长正六边形的边BM 与x 轴交于点E ，过A 作AN x ⊥轴于N ，连接AO ，BO ，∴ 三个正六边形，O 为原点，,120,BM MO OH AH BMO OHA,BMO OHA ≌,OB OA 11209030,18012030,2MOE BMO MOB60,90,BOE BEO同理：120303060,906030,AON OAN,BOE AON,,A O B ∴三点共线，,A B ∴关于O 对称，3,3.A故答案为：3.A14. 【答案】8【分析】根据平移的性质即可求解．【详解】解：由平移的性质S △A ′B ′C ′=S △ABC ，BC =B ′C ′，BC ∥B ′C ′，∴四边形B ′C ′CB 为平行四边形，∵BB ′⊥BC ，∴四边形B ′C ′CB 为矩形，∵阴影部分的面积=S △A ′B ′C ′+S 矩形B ′C ′CB -S △ABC=S 矩形B ′C ′CB=4×2=8(cm 2)．故答案为：8．15.【答案】(1)【分析】连接OB ，OB '由题意可得∠BOB '=75°，可得出∠COB '=30°，可求出B '的坐标，即可得出点B ''的坐标．【详解】解：如图：连接OB ，OB '，作B M '⊥y 轴∵ABCO 是正方形，OA =2∴∠COB =45°，OB=∵绕原点O 逆时针旋转75︒∴∠BOB '=75°∴∠COB '=30°∵=OB =∴，∴∵沿y 轴方向向上平移1个单位长度∴故答案为：16. 【答案】6-【分析】当点M 与点B 重合时，EF垂直平分AB ，利用三角函数即可求得EF的长；【详解】解：当点M 与点B 重合时，由折叠的性质知EF 垂直平分AB ，∴AE =EB =12AB =3， OB 'MB 'MO =B '(B ''(1)(1)在Rt △AEF 中，∠A =60°，AE =3，tan60°=EF AB， ∴EF =3当AF 长取得最小值时，DF 长取得最大值，由折叠的性质知EF 垂直平分AM ，则AF =FM ，∴FM ⊥BC 时，FM 长取得最小值，此时DF 长取得最大值，过点D 作DG ⊥BC 于点C ，则四边形DGMF 为矩形，∴FM =DG ，在Rt △DGC 中，∠C =∠A =60°，DC =AB =6，∴DG =DC sin60°∴DF 长的最大值为AD -AF =AD -FM =AD -DG =6-3故答案为：36-317. 【答案】3【分析】BC 交EF 于点N ，由题意得，=90EDF BAC ∠=∠︒，60DEF ∠=︒，30DFE ∠=︒，=45ABC ACB ∠=∠︒，BC =DF =12，根据锐角三角函数即可得DE ，FE ，根据旋转的性质得ONF △是直角三角形，根据直角三角形的性质得3ON =，即3NC =，根据角之间的关系得CNG △是等腰直角三角形，即3NG NC ==cm ，根据90FNO FED ∠=∠=︒，30NFO DFE ∠=∠=︒得FON FED △∽△，即ON FN DE DF=，解得FN = 【详解】解：如图所示，BC 交EF 于点N ，由题意得，=90EDF BAC ∠=∠︒，60DEF ∠=︒，30DFE ∠=︒，=45ABC ACB ∠=∠︒，BC =DF =12，在Rt EDF 中，12tan tan 60DF DE EDF ===∠︒12sin sin 60DF EF EDF ===∠︒∵△ABC 绕点O 顺时针旋转60°，∴60BOD NOF ∠=∠=︒，∴90NOF F ∠+∠=︒，∴18090FNO NOF F ∠=︒-∠-∠=︒，∴ONF △是直角三角形， ∴132ON OF ==（cm ）， ∴3NC OC ON =-=（cm ），∵90FNO ∠=︒，∴18090GNC FNO ∠=︒-∠=︒，∴NGC 是直角三角形，∴18045NGC GNC ACB ∠=-∠-∠=︒，∴CNG △是等腰直角三角形，∴3NG NC ==cm ，∵90FNO FED ∠=∠=︒，30NFO DFE ∠=∠=︒，∴FON FED △∽△， 即ON FN DE DF=，12FN =，FN =∴3FG FN NG =-=（cm ），故答案为：3．18. 1【分析】判定△AB ′D ′是等腰直角三角形，即可得出AB ′=AD ，再根据AB ′= AB ，再计算即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D =∠B =∠DAB =90°，由操作一可知：∠DAB ′=∠D ′AB ′=45°，∠AD ′B ′=∠D =90°，AD =AD ′，∴△AB ′D ′是等腰直角三角形，∴AD =AD ′= B ′D ′，由勾股定理得AB ′=，又由操作二可知：AB ′=AB ，∴=AB ，∴AB AD=， ∴A 4纸的长AB 与宽AD：1．故答案为：：1．19. 【答案】(1)证明见解析 (2)163cm 【分析】（1）利用ASA 证明即可；（2）过点E 作EG ⊥BC 交于点G ，求出FG 的长，设AE =x ，用x 表示出DE 的长，在Rt △PED 中，由勾股定理求得答案．(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，∠A =∠B =∠ADC =∠C =90°，由折叠知，AB =PD ，∠A =∠P ，∠B =∠PDF =90°，∴PD =CD ，∠P =∠C ，∠PDF =∠ADC ，∴∠PDF -∠EDF =∠ADC -∠EDF ,∴∠PDE =∠CDF ，在△PDE 和△CDF 中，P C PD CDPDE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩, ∴PDE CDF △≌△（ASA ）；(2)如图，过点E 作EG ⊥BC 交于点G ，∵四边形ABCD 是矩形,∴AB =CD =EG =4cm ，又∵EF =5cm ，∴3GF =,设AE =x ，∴EP =x ，由PDE CDF △≌△知，EP =CF =x ，∴DE =GC =GF +FC =3+x ，在Rt △PED 中，222PE PD DE +=,即()22243x x +=+， 解得，76x =， ∴BC =BG +GC = 77163663++=cm ． 20. 【答案】(1)画图见解析(2)画图见解析(3)画图见解析【分析】（1）分别确定A ，B 平移后的对应点C ，D ，从而可得答案；（2）确定线段AB ，AC 关于直线BC 对称的线段即可；（3）分别计算ABC 的三边长度，再利用相似三角形的对应边成比例确定DEF 的三边长度，再画出DEF 即可．(1)解：如图，线段CD 即为所求作的线段，(2)如图，四边形ABDC 是所求作的轴对称图形，(3)如图，如图，DEF 即为所求作的三角形，由勾股定理可得：221310,2,ABAC 而2,BC = 同理：2226210,22,DF DE 而4,EF 1,2AB AC BC DF DE EF .ABC DFE ∽21. 【答案】(1)见解析；()15,3A -(2)见解析；()22,4A(3)点1A 旋转到点2A 所经过的路径长为5π2【分析】（1）根据题目中的平移方式进行平移，然后读出点的坐标即可；（2）先找出旋转后的对应点，然后顺次连接即可；（3）根据旋转可得点1A 旋转到点2A 为弧长，利用勾股定理确定圆弧半径，然后根据弧长公式求解即可．(1)解：如图所示△A 1B 1C 1即为所求，()15,3A -；(2)如图所示△A 2B 2C 2即为所求，；(3)∵ ∴点旋转到点所经过的路径长为． 22. 【答案】见解析【分析】根据轴对称图形的定义、中心对称图形的定义画出图形即可 ()22,4A 115AC 1A 2A 90π55π1802⨯=【详解】解：如下图所示：23. 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）作图见解析；【分析】（1）连接对应点B 、F ，对应点C 、E ，其交点即为旋转中心的位置；（2）利用网格结构找出平移后的点的位置，然后顺次连接即可；（3）根据网格结构的特点作出即可．【详解】解：（1）如图所示，连接BF ，CE 交于点O ，点O 即为所求．（2）如图所示，△A 1B 1C 1为所求；（3）如图所示，点M 即为所求．理由：连接11,B M C M ，根据题意得：111111A B AC B M C M ====∴四边形111A B MC 菱形，∴A 1M 平分∠B 1A 1C 1．24. 【答案】(1)12GH CE =，证明见解析 (2)13GH CE = (3)2GH m CE n =(4)【分析】（1）先证明△ABF ≌△CBE ，得AF =CE ，再根据中位线性质得GH =12AF ，等量代换即可； （2）连接AF ，先证明△ABF ∽△CBE ，得到AF ：CE 的比值，再根据中位线性质得GH =12AF ，等量代换即可； （3）连接AF ，先证明△ABF ∽△CBE ，用含m 、n 的代数式表达出AF ：CE 的比值，再根据中位线性质得GH =12AF ，等量代换即可； （4）过M 作MH ⊥AB 于H ，根据折叠性质得∠C =∠MPN ，根据角平分线证明出∠C =∠PMH ，设CM =PM =x ，HM =y ，根据三角函数定义找到x 、y 之间的关系，再利用△AHM ∽△ABC ，得到CM BC H AM A =，代入解方程即可． (1) 解：12GH CE =，理由如下： ∵AB =BC ，四边形ABCD 为矩形，∴四边形ABCD 为正方形，∴∠ABC =∠CBE =90°，∵E 、F 为BC ，AB 中点，∴BE =BF ，∴△ABF ≌△CBE ，∴AF =CE ，∵H 为DF 中点，G 为AD 中点，∴GH =12AF ， ∴12GH CE =． (2) 解：13GH CE =， 连接AF ，如图所示，由题意知，BF =12AB =1，BE =12BC =32， ∴， 由矩形ABCD 性质及旋转知，∠ABC =∠CBE =90°，∴△ABF ∽△CBE ，∴AF ：CE =2:3，∵G 为AD 中点，H 为DF 中点，∴GH =， ∴． 故答案为：． (3)解：， 连接AF ，如图所示，23AB BF BC BE ==12AF 13GH CE =132GH m CE n=由题意知，BF ==，BE ==， ∴， 由矩形ABCD 性质及旋转知，∠ABC =∠CBE =90°，∴△ABF ∽△CBE ，∴AF ：CE =m ：n ，∵G 为AD 中点，H 为DF 中点，∴GH =， ∴． 故答案为：． (4)解：过M 作MH ⊥AB 于H ，如图所示，由折叠知，CM =PM ，∠C =∠MPN ，12AB 2m 12BC 2n AB BF m BC BE n==12AF 2GH m CE n =2mn∵PM 平分∠APN ，∴∠APM =∠MPN ，∴∠C =∠APM ，∵AB =2，BC =3，∴AC设CM =PM =x ，HM =y ，由知，， 即，∵HM ∥BC ，∴△AHM ∽△ABC ，∴， 即，， ∴，解得：x， 故答案为：． 25. 【答案】(1)证明见解析(2)图②结论：PB PA PC =+，证明见解析(3)图③结论：PA PB PC +=【分析】（1）由△ABC 是等边三角形，得AB =AC ，再因为点P 与点A 重合，所以PB =AB ，PC =AC ，PA =0，即可得出结论；（2）在BP 上截取BF CP =，连接AF ，证明BAD CAE ≌（SAS ），得ABD ACE ∠=∠，再证明CAP BAF ≌△△（SAS ），得CAP BAF ∠=∠，AF AP =，然后证明AFP 是等边三角形，得PF AP =，即可得出结论；（3）在CP 上截取CF BP =，连接AF ，证明BAD CAE ≌（SAS ），得ABD ACE ∠=∠，再证明BAP CAF ≌△△（SAS ），得出CAF BAP ∠=∠，AP AF =，然后证明AFP 是等边三角形，得PF AP =，即可得出结论：PA PB PF CF PC +=+=．(1)证明：∵△ABC 是等边三角形，∴AB =AC ，∵点P 与点A 重合，∴PB =AB ，PC =AC ，PA =0，sin sin C APM ∠=∠AB HM AC PM =y x =y =C M BC H AM A =3y =3y =3=∴PA PB PC +=或PA PC PB +=；(2)解：图②结论：PB PA PC =+证明：在BP 上截取BF CP =，连接AF ，∵ABC 和ADE 都是等边三角形， ∴AB AC =，AD AE =，60BAC DAE ∠=∠=︒ ∴BAC CAD DAE CAD ∠+∠=∠+∠， ∴BAD CAE ∠=∠，∴BAD CAE ≌（SAS ），∴ABD ACE ∠=∠，∵AC =AB ，CP =BF ，∴CAP BAF ≌△△（SAS ），∴CAP BAF ∠=∠，AF AP =， ∴CAP CAF BAF CAF ∠+∠=∠+∠， ∴60FAP BAC ∠=∠=︒，∴AFP 是等边三角形，∴PF AP =，∴PA PC PF BF PB +=+=；(3)解：图③结论：PA PB PC +=，理由：在CP 上截取CF BP =，连接AF ，∵ABC 和ADE 都是等边三角形，∴AB AC =，AD AE =，60BAC DAE ∠=∠=︒∴BAC BAE DAE BAE ∠+∠=∠+∠，∴BAD CAE ∠=∠，∴BAD CAE ≌（SAS ），∴ABD ACE ∠=∠，∵AB =AC ，BP =CF ，∴BAP CAF ≌△△（SAS ），∴CAF BAP ∠=∠，AP AF =，∴BAF BAP BAF CAF ∠+∠=∠+∠，∴60FAP BAC ∠=∠=︒，∴AFP 是等边三角形，∴PF AP =，∴PA PB PF CF PC +=+=，即PA PB PC +=．26. 【答案】(1)见解析(2)42t -【分析】（1）①先根据定义和(1,1)M 求出点P'的坐标，再根据点P'关于点N 的对称点为Q 求出点Q 的坐标；②延长ON 至点()3,3A ，连接AQ ，利用AAS 证明ΔΔAQT OPT ≅，得到12TA TO OA ==，再计算出OA ，OM ，ON ，即可求出12NT ON OT OM =-==； （2）连接PO 并延长至S ，使OP OS =，延长SQ 至T ，使ST OM =，结合对称的性质得出NM 为Δ'P QT 的中位线，推出1=2NM QT ，得出()12221SQ ST TQ t t =-=--=-，则()()max min 2PQ PQ PS QS PS QS QS -=+--=．(1)解：①点Q 如下图所示．∵点(1,1)M ，∴点(2,0)P -向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点P'， ∴()'1,1P -，∵点P'关于点N 的对称点为Q ，()2,2N ，∴点Q 的横坐标为：()2215⨯--=，纵坐标为：2213⨯-=，∴点()5,3Q ，在坐标系内找出该点即可；②证明：如图延长ON 至点()3,3A ，连接AQ ，∵ //AQ OP ，∴AQT OPT ∠=∠，在ΔAQT 与ΔOPT ∠中，AQT OPT ATQ OTP AQ OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ΔΔAQT OPT AAS ≅， ∴12TA TO OA ==， ∵ ()3,3A ，(1,1)M ，(2,2)N ，∴OA ==OMON =∴12TO OA ==∴NT ON OT =-= ∴12NT OM =； (2)解：如图所示，连接PO 并延长至S ，使OP OS =，延长SQ 至T ，使ST OM =，∵(,)M a b ，点P 向右(0)a ≥或向左(0)a <平移a 个单位长度，再向上(0)b ≥或向下(0)b <平移b 个单位长度，得到点P'，∴'1PP OM ==，∵点P'关于点N 的对称点为Q ，∴'NP NQ =，又∵OP OS =，∴OM ∥ST ，∴NM 为Δ'P QT 的中位线，∴//NM QT ，1=2NM QT ， ∵1NM OM ON t =-=-，∴222TQ NM t ==-，∴()12221SQ ST TQ t t =-=--=-，在ΔPQS 中，PS QS PQ PS QS -<<+，结合题意，max PQ PS QS =+，min PQ PS QS =-，∴()()max min 242PQ PQ PS QS PS QS QS t -=+--==-，即PQ 长的最大值与最小值的差为42t -．27. 【答案】(1)BME ∠或ABP ∠或PBM ∠或MBC ∠(2)①15，15；②MBQ CBQ ∠=∠，理由见解析 (3)4011AP =cm 或24cm 13【分析】（1）根据折叠的性质，得12BE BM =，结合矩形的性质得30BME ∠=︒，进而可得30ABP PBM MBC ∠=∠=∠=︒； （2）根据折叠的性质，可证()Rt Rt HL BQM BQC ∆≅∆，即可求解；（3）由（2）可得QM QC =，分两种情况：当点Q 在点F 的下方时，当点Q 在点F 的上方时，设AP PM x ==，分别表示出PD ，DQ ，PQ ，由勾股定理即可求解．(1) 解：12AE BE AB AB BM ===， 12BE BM =∴ 90BEM ∠=︒∵30BME ∠=︒∴60MBE ∠=︒∴ABP PBM ∠=∠∵30ABP PBM MBC ∠=∠=∠=︒∴(2)∵四边形ABCD 是正方形∴AB =BC ，∠A =∠ABC =∠C =90°由折叠性质得：AB =BM ，∠PMB =∠BMQ =∠A =90°∴BM =BC①BM BC BQ BQ ==∵，∴()Rt Rt HL BQM BQC ∆≅∆MBQ CBQ ∠=∠∴30MBC15MBQ CBQ ∠=∠=︒∴②BM BC BQ BQ ==∵，()Rt Rt HL BQM BQC ∆≅∆∴MBQ CBQ ∠=∠∴(3)当点Q 在点F 的下方时，如图，1cm 4cm 8cm FQ DF FC AB ====∵，，8413(cm)QC CD DF FQ =--=--=∴，DQ =DF +FQ =4+1=5(cm) 由（2）可知，QM QC =设8AP PM x PD x ===-，，222PD DQ PQ +=∴，即()()222853x x -+=+ 解得：4011x =∴40cm 11AP =； 当当点Q 在点F 的上方时，如图，1cm 4cm 8cm FQ DF FC AB ====∵，， 5QC =∴cm ，DQ =3cm ， 由（2）可知，QM QC =设8AP PM x PD x ===-，，222PD DQ PQ +=∴，即()()222835x x -+=+ 解得：2413x =∴24cm 13AP =．。
中考数学《旋转》专题练习含答案解析
旋转一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，所给的图案由△ABC绕点O顺时针旋转（）前后的图形组成的．A．45°、90°、135°B．90°、135°、180°C．45°、90°、135°、180°、225° D．45°、180°、225°3．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A．B．C．1﹣D．1﹣4．如图，P是等边三角形ABC内一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比为5：6：7，则以PA，PB，PC为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是（）A．2：3：4 B．3：4：5C．4：5：6 D．以上结果都不对5．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．菱形B．等腰梯形C．等边三角形D．等腰直角三角形6．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣3，2）二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）7．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是．8．如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，△ABC按逆时针方向旋转一个角度后，成为△ACD，则旋转中心是点、旋转角是．9．如图，设P是等边三角形ABC内任意一点，△ACP′是由△ABP旋转得到的，则PA PB+PC（选填“＞”、“=”、“＜”）10．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BE+DF=EF，则∠EAF=度．11．如图，O是等边△ABC内一点，将△AOB绕A点逆时针旋转，使得B，O两点的对应分别为C，D，则旋转角为度，图中除△ABC外，还有等边三形是△．12．如图，Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，以P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到△DEF，图中通过旋转得到的三角形还有．三、解答题13．已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．14．如图，正方形ABCD的边长为1，AB，AD上各有一点P，Q，如果△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数．15．有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD=8cm，∠ADB=30°．（1）请直接写出AF的长；（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求△AFK的面积（保留根号）．旋转参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）1．下列图形中，你认为既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：既是中心对称图形又是轴对称图形的只有A．故选A．【点评】掌握好中心对称与轴对称的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象沿对称轴折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．2．如图，所给的图案由△ABC绕点O顺时针旋转（）前后的图形组成的．A．45°、90°、135°B．90°、135°、180°C．45°、90°、135°、180°、225° D．45°、180°、225°【考点】旋转的性质．【专题】计算题．【分析】根据旋转的性质，把旋转后的图形看作为正八边形，依次得到旋转的角度．【解答】解：把△ABC绕点O顺时针旋转45°，得到△HEF；顺时针旋转180°，得到△ADC；顺时针旋转225°，得到△HGF；故选D．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．3．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A．B．C．1﹣D．1﹣【考点】旋转的性质；正方形的性质．【分析】设B′C′与CD的交点为E，连接AE，利用“HL”证明Rt△AB′E和Rt△ADE全等，根据全等三角形对应角相等∠DAE=∠B′AE，再根据旋转角求出∠DAB′=60°，然后求出∠DAE=30°，再解直角三角形求出DE，然后根据阴影部分的面积=正方形ABCD的面积﹣四边形ADEB′的面积，列式计算即可得解．【解答】解：如图，设B′C′与CD的交点为E，连接AE，在Rt△AB′E和Rt△ADE中，，∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL），∴∠DAE=∠B′AE，∵旋转角为30°，∴∠DAB′=60°，∴∠DAE=×60°=30°，∴DE=1×=，∴阴影部分的面积=1×1﹣2×（×1×）=1﹣．故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形，利用全等三角形求出∠DAE=∠B′AE，从而求出∠DAE=30°是解题的关键，也是本题的难点．4．如图，P是等边三角形ABC内一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比为5：6：7，则以PA，PB，PC为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是（）A．2：3：4 B．3：4：5C．4：5：6 D．以上结果都不对【考点】旋转的性质；三角形内角和定理；等边三角形的性质．【专题】计算题．【分析】将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，则AP′=AP，∠P′AP=60°，得到△AP′P是等边三角形，PP′=AP，所以△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC；再由∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，得到∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，这样可分别求出∠PP′C=∠AP′C﹣∠AP′P=∠APB ﹣∠AP′P=100°﹣60°=40°，∠P′PC=∠APC﹣∠APP′=140°﹣60°=80°，∠PCP′=180°﹣（40°+80°）=60°，即可得到答案．【解答】解：如图，将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，∵AP′=AP，∠P′AP=60°，∴△AP′P是等边三角形，∴PP′=AP，∵P′C=PB，∴△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC，∵∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，∴∠PP′C=∠AP′C﹣∠AP′P=∠APB﹣∠AP′P=100°﹣60°=40°，∠P′PC=∠APC﹣∠APP′=140°﹣60°=80°，∠PCP′=180°﹣（40°+80°）=60°，∴∠PP′C：∠PCP′：∠P′PC=2：3：4．故选A．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质．5．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．菱形B．等腰梯形C．等边三角形D．等腰直角三角形【考点】中心对称图形．【分析】旋转180°后与原图重合的图形是中心对称图形．【解答】解：菱形，等腰梯形，等边三角形，等腰直角三角形都是轴对称图形；菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故选A．【点评】运用轴对称和中心对称图形概念，找出符合条件的图形．【链接】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．6．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（2，3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣3，2）【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）”解答．【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（2，﹣3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，3）．故选B．【点评】关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）7．在平面直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，延长OP1到点P2，使OP2=2OP1再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3的坐标是（﹣1，）．【考点】坐标与图形变化﹣旋转．【专题】压轴题．【分析】已知将点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，则OP1=1，P1点的坐标是（．则P2的坐标是；再将点P2绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P3，则点P3与P2关于y轴对称，因而点P3的坐标就很容易求出．【解答】解：∵点P0绕着原点O按逆时针方向旋转60°得点P1，∴P1点的坐标是（，∴P2的坐标是，又∵点P3与P2关于y轴对称，∴点P3的坐标是（﹣1，）．【点评】解决本题的关键是正确理解题目，按题目的叙述一定要把各点的大致位置确定，正确地作出图形．8．如图所示，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，△ABC按逆时针方向旋转一个角度后，成为△ACD，则旋转中心是点A、旋转角是∠CAD，是90°．【考点】旋转的性质．【分析】确定图形的旋转时首先要确定旋转前后的对应点，即可确定旋转中心．【解答】解：旋转中心是点A、旋转角是∠CAD，是90°．【点评】本题主要考查了旋转的定义，正确确定旋转中的对应点，是确定旋转中心，旋转角的前提．9．如图，设P是等边三角形ABC内任意一点，△ACP′是由△ABP旋转得到的，则PA＜PB+PC（选填“＞”、“=”、“＜”）【考点】旋转的性质；三角形三边关系；等边三角形的判定．【分析】此题只需根据三角形的任意两边之和大于第三边和等边三角形的性质，进行分析即可．【解答】解：根据三角形的三边关系，得：BC＜PB+PC．又AB=BC＞PA，∴PA＜PB+PC．【点评】本题结合旋转主要考查了三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．10．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BE+DF=EF，则∠EAF=45度．【考点】旋转的性质；正方形的性质．【分析】根据BE+DF=EF，则延长FD到G，使DG=BE，则FG=EF，可以认为是把△ABE 绕点A逆时针旋转90度，得到△ADG，根据旋转的定义即可求解．【解答】解：如图：延长FD到G，使DG=BE，则FG=EF，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG又∴AF=AF，GF=EF∴△AGF≌△AEF∴∠EAF=∠GAF=×90°=45°．【点评】本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点﹣旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．11．如图，O是等边△ABC内一点，将△AOB绕A点逆时针旋转，使得B，O两点的对应分别为C，D，则旋转角为60度，图中除△ABC外，还有等边三形是△AOD．【考点】旋转的性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定．【分析】根据旋转的性质及全等三角形的性质作答．【解答】解：∵将△AOB绕A点逆时针旋转，使得B，O两点的对应分别为C，D，∴△AOB≌△ADC，∴OA=AD，∠BAO=∠DAC，∴∠BAO+∠OAC=∠DAC+∠OAC=∠BAC=60°，即∠OAD=60°，所以旋转角为60°．∵OA=AD，∠OAD=60°，∴△AOD为等边三角形．【点评】此题主要考查了图形旋转的性质：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．12．如图，Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，以P为中心，把这个三角形按逆时针方向旋转90°得到△DEF，图中通过旋转得到的三角形还有△EPQ．【考点】旋转的性质．【分析】旋转中心是P，旋转方向为逆时针，旋转角是90度，已确定，再通过观察发现全等三角形，判断是否符合本题的旋转规律．【解答】解：根据旋转的性质可知，旋转中心是P，旋转角是90度，图中通过旋转得到的三角形还有△EPQ．【点评】本题考查旋转两相等的性质，即对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．三、解答题13．已知：正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N．当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时（如图1），易证BM+DN=MN．（1）当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时（如图2），线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）BM+DN=MN成立，证得B、E、M三点共线即可得到△AEM≌△ANM，从而证得ME=MN．（2）DN﹣BM=MN．证明方法与（1）类似．【解答】解：（1）BM+DN=MN成立．证明：如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，则可证得E、B、M三点共线（图形画正确）．∴∠EAM=90°﹣∠NAM=90°﹣45°=45°，又∵∠NAM=45°，∴在△AEM与△ANM中，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴ME=MN，∵ME=BE+BM=DN+BM，∴DN+BM=MN；（2）DN﹣BM=MN．在线段DN上截取DQ=BM，在△ADQ与△ABM中，∵，∴△ADQ≌△ABM（SAS），∴∠DAQ=∠BAM，∴∠QAN=∠MAN．在△AMN和△AQN中，∴△AMN≌△AQN（SAS），∴MN=QN，∴DN﹣BM=MN．【点评】本题考查了旋转的性质，解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量．14．如图，正方形ABCD的边长为1，AB，AD上各有一点P，Q，如果△APQ的周长为2，求∠PCQ的度数．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】简单的求正方形内一个角的大小，首先从△APQ的周长入手求出PQ=DQ+BP，然后将△CDQ逆时针旋转90°，使得CD、CB重合，然后利用全等来解．【解答】解：如图所示，△APQ的周长为2，即AP+AQ+PQ=2①，正方形ABCD的边长是1，即AQ+QD=1，AP+PB=1，∴AP+AQ+QD+PB=2②，①﹣②得，PQ﹣QD﹣PB=0，∴PQ=PB+QD．延长AB至M，使BM=DQ．连接CM，△CBM≌△CDQ（SAS），∴∠BCM=∠DCQ，CM=CQ，∵∠DCQ+∠QCB=90°，∴∠BCM+∠QCB=90°，即∠QCM=90°，PM=PB+BM=PB+DQ=PQ．在△CPQ与△CPM中，CP=CP，PQ=PM，CQ=CM，∴△CPQ≌△CPM（SSS），∴∠PCQ=∠PCM=∠QCM=45°．【点评】熟练掌握正方形的性质，会运用正方形的性质进行一些简单的运算．15．有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD=8cm，∠ADB=30°．（1）请直接写出AF的长；（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求△AFK的面积（保留根号）．【考点】锐角三角函数的定义；旋转的性质．【专题】操作型．【分析】（1）根据旋转的性质可知△AFM≌△ADB，则AF=AD=BD•cos∠ADB=8×=4cm；（2）当△AFK为等腰三角形时，由于AM＜AF，那么A不能是等腰△AFK的顶点，则分两种情况：①K为顶点，即AK=FK时；②F为顶点，即AF=FK．针对每一种情况，利用三角形的面积公式，可分别求出△AFK的面积．【解答】解：（1）AF=；（2）△AFK为等腰三角形时，分两种情况：①当AK=FK时，如图．过点K作KN⊥AF于N，则KN⊥AF，AN=NF=AF=2cm．在直角△NFK中，∠KNF=90°，∠F=30°，∴KN=NF•tan∠F=2cm．∴△AFK的面积=×AF×KN=；②当AF=FK时，如图．过点K作KP⊥AF于P．在直角△PFK中，∠KPF=90°，∠F=30°，∴KP=KF=2cm．∴△AFK的面积=×AF×KP=12cm2．【点评】本题考查旋转的性质，旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．注意（2）中需分情况讨论△AFK为等腰三角形时的不同分类，不要漏解．。
中考数学压轴题之旋转(中考题型整理,突破提升)及详细答案
在△ DAG 与△ DCG 中， ∵ AD=CD，∠ ADG=∠ CDG，DG=DG， ∴ △ DAG≌ △ DCG． ∴ AG=CG． 在△ DMG 与△ FNG 中， ∵ ∠ DGM=∠ FGN，FG=DG，∠ MDG=∠ NFG， ∴ △ DMG≌ △ FNG． ∴ MG=NG 在矩形 AENM 中，AM=EN． 在 Rt△ AMG 与 Rt△ ENG 中， ∵ AM=EN， MG=NG， ∴ △ AMG≌ △ ENG． ∴ AG=EG ∴ EG=CG． （3）（1）中的结论仍然成立．
4．如图（1）所示，将一个腰长为 2 等腰直角△ BCD 和直角边长为 2、宽为 1 的直角△ CED 拼在一起．现将△ CED 绕点 C 顺时针旋转至△ CE’D’，旋转角为 a． （1）如图（2），旋转角 a=30°时，点 D′到 CD 边的距离 D’A=______．求证：四边形 ACED′ 为矩形； （2）如图（1），△ CED 绕点 C 顺时针旋转一周的过程中，在 BC 上如何取点 G，使得 GD’=E’D；并说明理由．
【答案】（1）详见解析；（2）FE·sin( －90°) 【解析】 【分析】 (1)由四边形 ABCD 是平行四边形得 AF∥ BE，所以∠ FAE=∠ BEA，由折叠的性质得 ∠ BAE=∠ FAE，∠ BEA=∠ FEA,所以∠ BAE=∠ FEA，故有 AB∥ FE，因此四边形 ABEF 是平行四 边形，又 BE=EF,因此可得结论； (2)根据点 M 在线段 BE 上和 EC 上两种情况证明∠ ENG＝90°－ ，利用菱形的性质得到
最新九年级数学中考复习：旋转综合压轴题(角度问题)含答案
2023年九年级数学中考复习：旋转综合压轴题（角度问题）1．如图① ，在①ABC 中，AB =AC =4，①BAC =90°，AD ①BC ，垂足为D ．(1)S △ABD = ．（直接写出结果）(2)如图①，将①ABD 绕点D 按顺时针方向旋转得到①A′B′D ，设旋转角为α (α<90°)，在旋转过程中： 探究一：四边形APDQ 的面积是否随旋转而变化？说明理由； 探究二：当α=________时，四边形APDQ 是正方形．2．如图，在等腰Rt ABC 和等腰Rt CDE 中，90ACB DCE ∠=∠=︒．(1)观察猜想：如图1，点E 在BC 上，线段AE 与BD 的关系是_________；(2)探究证明：把CDE △绕直角顶点C 旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由； (3)拓展延伸：把CDE △绕点C 在平面内转动一周，若10AC BC ==，5CE CD ==，AE 、BD 交于点P 时，连接CP ，直接写出BCP 最大面积_________．3．如图1，在Rt △ABC 中，①A =90°，AB =AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD =AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．(1)观察猜想：图1中，请判断线段PM 与PN 的数量关系和位置关系，并说明理由；(2)探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD =3，AB =7，请直接写出△PMN 面积的最大值．4．如图1，①ABC 为等腰直角三角形，①BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 在AB 边上，点E 在AC 边上，AD ＝AE ，连接DE ，取BC 边的中点O ，连接DO 并延长到点F ，使OF ＝OD ，连接CF ． （1）请判断①CEF 的形状，并说明理由；（2）将（1）中①ADE 绕点A 旋转，连接CE ，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请仅就图2所示情况给出证明，若不成立，请说明理由；（3）若AB ＝6，AD ＝4，将①ADE 由图1位置绕点A 旋转，当点B ，E ，D 三点共线时，请直接写出①CEF 的面积．5．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 是AB 外一动点，连接AD ，把AD 绕点A 逆时针旋转90°，得到AE ，连接CE ，DE ，BC 与DE 交于点F ，且AB BD ⊥．（1）如图1，若CB =6CE =，求DE 的长；（2）如图2，若点H 、G 分别为线段CF 、AE 的中点，连接HG ，求证：12HG BF =；（3）如图3，在（2）的条件下，若CE =4CF =，将BDF 绕点F 顺时针旋转角3(060)αα︒<≤︒，得到B D F ''，连接B G '，取B G '中点Q ，连接BQ ，当线段BQ 最小时，请直接写出BQB '的面积．6．如图1，矩形ABCD 中，15,20AB BC ==，将矩形ABCD 绕着点A 顺时针旋转，得到矩形BEFG ．（1）当点E 落在BD 上时，则线段DE 的长度等于________； （2）如图2，当点E 落在AC 上时，求BCE 的面积；（3）如图3，连接AE CE AG CG 、、、，判断线段AE 与CG 的位置关系且说明理由，并求22CE AG +的值；（4）在旋转过程中，请直接写出BCE ABG S S +△△的最大值．7．在平面直角坐标系中，O 为原点，点(4,0)A -，点(0,3),B ABO 绕点B 顺时针旋转，得A BO ''△，点A O 、旋转后的对应点为A O ''、，记旋转角为α．（1）如图①，90α=︒，边OA 上的一点M 旋转后的对应点为N ，当1OM =时，点N 的坐标为_____； （2）90α=︒，边OA 上的一点M 旋转后的对应点为N ，当O M BN '+取得最小值时，在图①中画出点M 的位置，并求出点N 的坐标．（3）如图①，P 为AB 上一点，且:2:1PA PB =，连接PO PA ''、，在ABO 绕点B 顺时针旋转一周的过程中，PO A ''的面积是否存在最大值和最小值，若存在，请求出；若不存在，请说明理由．8．如图1，①ABC 和①DEC 均为等腰三角形，且①ACB =①DCE =90°，连接BE ，AD ，两条线段所在的直线交于点P .（1）线段BE 与AD 有何数量关系和位置关系，请说明理由． （2）若已知BC =12，DC =5，①DEC 绕点C 顺时针旋转， ①如图2，当点D 恰好落在BC 的延长线上时，求AP 的长；①在旋转一周的过程中，设①P AB 的面积为S ，求S 的最值．9．如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=，过点D 作DE AB ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ．()1如图1，连接AC 分别交DE 、DF 于点M 、N ，求证：13MN AC =； ()2如图2，将EDF 以点D 为旋转中心旋转，其两边'DE 、'DF 分别与直线AB 、BC 相交于点G 、P ，连接GP ，当DGP 的面积等于10．如图1，一副直角三角板满足AB=BC ，AC=DE ，①ABC=①DEF=90°，①EDF=30°操作：将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上，再将三角板DEF 绕点E 旋转，并使边DE 与边AB 交于点P ，边EF 与边BC 于点Q ． 探究一：在旋转过程中， （1）如图2，当1CEEA=时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明； （2）如图3，当2CEEA=时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并说明理由； （3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当CEm EA=时，EP 与EQ 满足的数量关系式为 ，其中m 的取值范围是 ．（直接写出结论，不必证明） 探究二：若2CEEA=且AC=30cm ，连接PQ ，设△EPQ 的面积为S （cm 2），在旋转过程中： （1）S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由． （2）随着S 取不同的值，对应△EPQ 的个数有哪些变化，求出相应S 的值或取值范围．11．如图1，在①ABC中，①BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，CD①DE，且CD＝DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF．(1)请直接写出①ADF的度数及线段AD与DF的数量关系；(2)将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转，①如图2，（1）中①ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由；①如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范围．12．已知点E是正方形ABCD的边AB上一点，AB＝BE＝2．以BE为边向右侧作正方形BEFG，将正方形BEFG绕点B顺时针旋转α度(0≤α≤90°)，连结AE，CG（如图）．(1)求证：①ABE①①CBG．(2)当点E在BD上时，求CG的长．(3)当90∠时，正方形BEFG停止旋转，求在旋转过程中线段AE扫过的面积．（参考数据：AEB=︒sin28︒≈，sin62︒≈tan28︒≈tan62︒≈）13．如图，矩形ABCD 中，5,6,==AB BC BCG 为等边三角形．点E ，F 分别为,AD BC 边上的动点，且EF AB ∥，P 为EF 上一动点，连接BP ，将线段BP 绕点B 顺时针旋转60︒至BM ，连接,,,PA PC PM GM ．(1)求证：=GM PC ；(2)当,,PB PC PE 三条线段的和最小时，求PF 的长；(3)若点E 以每秒2个单位的速度由A 点向D 点运动，点P 以每秒1个单位的速度由E 点向F 点运动．E ，P 两点同时出发，点E 到达点D 时停止，点P 到达点F 时停止，设点P 的运动时间为t 秒． ①求t 为何值时，AEP △与CFP 相似； ①求BMP 的面积S 的最小值．14．如图1，在Rt ABC 中，90,5∠=︒==C AC BC ，点D 是边BC 上的一点，且BD =，过点D 做BC 边的垂线，交AB 边于点E ，将BDE 绕点B 顺时针方向旋转，记旋转角为()0360αα︒≤<︒．(1)【问题发现】当0α=︒时，AECD的值为________，直线,AE CD 相交形成的较小角的度数为________； (2)【拓展探究】试判断：在旋转过程中，（1）中的两个结论有无变化？请仅就图2的情况给出证明； (3)【问题解决】当BDE 旋转至A ，D ，E 三点在同一条直线上时，请直接写出ACD △的面积．15．在中Rt ABC △中．90ABC ∠=︒，AB BC =，点E 在射线CB 上运动．连接AE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°得到EF ，连接CF ．(1)如图1，点E在点B的左侧运动；①当2BE=，BC=EAB∠=_________°；①猜想线段CA，CF与CE之间的数量关系为_________．(2)如图2，点E在线段CB上运动时，第（1）间中线段CA，CF与CE之间的数量关系是否仍然成立如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出它们之间新的数量关系．=，以A，E，C，F为顶点的四边形面积为y，请直接写出(3)点E在射线CB上运动，BC=，设BE xy与x之间的函数关系式（不用写出x的取值范围）．16．如图，在①ABC中，AB＝，①A＝45°，AC＝C作直线平行AB，将①ABC绕点A顺时针旋转得到①AB C''（点B，C的对应点分别为B'，C'），射线AB'，AC'分别交直线l于点P、Q．(1)如图1，求BC的长；(2)如图2，当点C为PQ中点时，求tan①APQ；(3)如图3，当点P，Q分别在线段AB'，AC'上时，试探究四边形PQC B''的面积是否存在最大值．若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由．17．已知Rt△ABC中，AC＝BC，①C＝90°，D为AB边的中点，①EDF＝90°，①EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F．(1)如图1，当①EDF 绕D 点旋转到DE ①AC 于E 时，易证S △DEF ＋S △CEF 与S △ABC 的数量关系为__________；(2)如图2，当①EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明； (3)如图3，这种情况下，请猜想S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 的数量关系，不需证明．18．面直角坐标系中，O 为原点，点(12,0)A ，点(0,5)B ，线段AB 的中点为点C ．将ABO 绕着点B 逆时针旋转，点O 对应点为1O ，点A 的对应点为1A ．(1)如图①，当点1O 恰好落在AB 上时， ①此时1CO 的长为__________；①点P 是线段OA 上的动点，旋转后的对应点为1P ，连接11,BP PO ，试求11BP PO +最小时点P 的坐标； (2)如图①，连接11,CA CO ，则在旋转过程中，11CAO △的面积是否存在最大值？若存在，直接写出最大值，若不存在，说明理由．19．如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，5AB =，3sin 5A =．点P 从点A 出发，以每秒4个单位长度的速度向终点B 匀速运动，过点P 作PD AB ⊥交折线AC ，CB 于点D ，连结BD ，将DBP 绕点D 逆时针旋转90︒得到DEF ．设点P 的运动时间为t （秒）．(1)用含t 的代数式表示线段PD 的长． (2)当点E 落在AB 边上时，求AD 的长． (3)当点F 在ABC 内部时，求t 的取值范围．(4)当线段DP 将ABC 的面积分成1:2 的两部分时，直接写出t 的值．20．如图1，在Rt ABC △中，90B ∠=︒，AB BC =，AO 是BC 边上的中线，点D 是AO 上一点，DE EO ⊥，E 是垂足，DEO 可绕着点O 旋转，点F 是点E 关于点O 的对称点，连接AD 和CF ．(1)问题发现：如图2，当1ADDO=时，则下列结论正确的是_______．（填序号）①BE CF =；①点F 是OC 的中点：①AO 是BAC ∠的角平分线；①AD ．(2)数学思考：将图2中DEO 绕点O 旋转，如图3，则AD 和CF 具有怎样的数量关系？请给出证明过程；(3)拓展应用：在图1中，若ADx DO=，将DEO 绕着点O 旋转． ①则AD =_______CF ；①若4AB =，1x =，在DEO 旋转过程中，如图4，当点D 落在AB 上时，连结BE ，EC ，求四边形ABEC 的面积．答案21．(1)4(2)四边形APDQ 的面积不会随旋转而变化，理由见详解；当45α=︒时，四边形APDQ 是正方形．22．(1)AE BD =，AE BD ⊥； (2)结论仍成立23．(1)PM =PN ，PM ①PN ． (2)△PMN 是等腰直角三角形． (3)S △PMN 最大=25224．（1） ①CEF 是等腰直角三角形；（2）成立，（3）18-18+25．（1）（3）8 26．(1)10；(2)42；(3) AE ①CG 221250CE AG =+；(4)30027．（1）（-3，4）；（2）N （-3，92）；（3）最大值为283，最小值为8328．（1）BE =AD ，BE 与AD 互相垂直，（2）①AP =8413；①最小47，最大72 29．（2）顺时针或逆时针旋转60.30．探究一：（1）EP=EQ ；证明见解析；（2）1:2，（3）EP ：EQ=1：m ，①0＜（1）当50cm 2；当75cm 2．（2）50＜S≤62.5时，这样的三角形有2个；当S=50或62.5＜S≤75时，这样的三角形有一个．31．(1)①ADF =45°，AD (2)①成立，；①1≤S △ADF ≤4.32．(3)3145S π=33．(3)①73；①34．，45︒；(2)无变化(3)121235．(1)①30；①AC +CF CE ；(2)CA -CF；(3)当点E 在点B 左侧运动时，y =21322x +；当点E 在点B 右侧运动时，y 32+．36．(3)存在；21-37．(1)S △DEF ＋S △CEF ＝12S △ABC(2)上述结论S △DEF ＋S △CEF ＝12S △ABC 成立(3)S △DEF －S △CEF ＝12S △ABC38．(1)①1.5 ①20,07⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2)存在最大值，最大值为6939．(1)3t (2)258 (3)355374t ≤≤40．(1)①①①(2)AD =，①465。
2019-2020年中考数学专题复习题型九折叠旋转问题含解析(最新整理)
2019-2020 年中考数学专题复习题型九折叠旋转问题含解析1.（xx 贵州安顺第7 题）如图，矩形纸片ABCD 中，AD=4cm，把纸片沿直线AC 折叠，点B 落在E 处，AE 交DC 于点O，若AO=5cm，则AB 的长为（）A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm【答案】C．2.（xx 湖南张家界第 14 题）如图，在正方形ABCD 中，AD=，把边BC 绕点B 逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP 并延长交CD 于点E，连接P C，则三角形PCE 的面积为．【答案】．3.（xx·湖北荆门·3分）两个全等的三角尺重叠放在△ACB 的位置，将其中一个三角尺绕着点C 按逆时针方向旋转至△DCE 的位置，使点A 恰好落在边DE 上，AB 与CE 相交于点F．已知∠ACB=∠DCE=90°，∠B=30°，AB=8cm，则CF= 2 cm．4.（xx 甘肃兰州第 14 题）如图，在正方形和正方形中，点在上，，将正方形绕点顺时针旋转，得到正方形，此时点在上，连接，则( )A. B. C. D.【答案】AA5.（xx 浙江嘉兴第16 题）一副含和角的三角板和叠合在一起，边与重合，（如图1），点为边的中点，边与相交于点，此时线段的长是．现将三角板绕点按顺时针方向旋转（如图2），在从到的变化过程中，点相应移动的路径长共为．（结果保留根号）【答案】12－12．12－18．6.(xx 辽宁沈阳第16 题)如图，在矩形中，,将矩形绕点按顺时针方向旋转得到矩形，点落在矩形的边上，连接，则的长是.【答案】.7.（xx 年重庆A4 分）如图，矩形ABCD 中，连接BD，∠DBC 的角平分线BE 交DC 于点E，现把△BCE 绕点B 逆时针旋转，记旋转后的△BCE 为，当射线和射线都与线段AD 相交时，设交点分别F，G，若△BFD 为等腰三角形，则线段DG 长为▲ .【答案】.8.（xx 年上海4 分）已知在△ABC 中，．将△ABC 绕点A 旋转，使点B 落在原△ABC 的点C 处，此时点C 落在点D处．延长线段AD，交原△ABC 的边BC 的延长线于点E，那么线段DE 的长等于▲．【答案】.9.（xx 年福建福州4 分）如图，在中，=90°，，将绕点C逆时针转60°，得到△MNC，则BM的长是▲．【答案】.10.（xx 江苏无锡第10 题）如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED，连CE，则线段CE 的长等于（ D ）A．2 B． C． D．11.（xx 新疆乌鲁木齐第 9 题）如图，在矩形中，点在上，点在上，把这个矩形沿折叠后，使点恰好落在边上的点处，若矩形面积为且，则折痕的长为（ C ）A．B． C. D．12.（xx 重庆A 卷第18 题）如图，正方形ABCD 中，AD=4，点E 是对角线AC 上一点，连接DE，过点E 作EF⊥ED，交AB 于点F，连接DF，交AC 于点G，将△EFG 沿EF 翻折，得到△EFM，连接DM，交EF 于点N，若点F 是AB 的中点，则△EMN 的周长是．13.(xx 河南第 15 题)如图，在中，，，点，分别是边，上的动点，沿所在的直线折叠，使点的对应点始终落在边上. 若为直角三角形，则的长为．【答案】1 或.14.（xx 江苏苏州第18 题）如图，在矩形中，将绕点按逆时针方向旋转一定角度后，的对应边交边于点．连接、，若，，则（结果保留根号）．【答案】.15.（xx 海南第 17 题）如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=5，点E 在DC 上，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的点F 处，那么cos∠EFC 的值是．【答案】.16.（xx·黑龙江齐齐哈尔·3分）如图，在边长为2 的菱形ABCD 中，∠A=60°，点M 是AD 边的中点，连接MC，将菱形ABCD 翻折，使点A 落在线段CM 上的点E 处，折痕交AB 于点N，则线段EC 的长为﹣1 ．17.（xx·吉林·3分）在三角形纸片ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，点D（不与B，C 重合）是BC 上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为 3a（用含a的式子表示）．18.（xx 河南）如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB=3，点E 为射线BC 上一个动点，连接AE，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点B′处，过点B′作AD 的垂线，分别交AD，BC 于点M，N．当点B′为线段MN 的三等分点时，BE 的长为或．19.（xx 年河南3 分）如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，AE=3，点F 是边BC 上不与点B、C 重合的一个动点，把△EBF 沿EF 折叠，点B 落在B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为▲．【答案】16 或.20.（xx 年江苏泰州3 分）如图，矩形中，AB=8，BC=6，P 为AD 上一点，将△ABP 沿BP 翻折至△EBP，PE 与CD 相交于点O，且OE=OD，则AP 的长为▲．【答案】.21.（xx 湖北鄂州第8 题3 分）如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=12，点E 是BC 的中点，连接AE，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点F 处，连接FC，则sin∠ECF =（）A.B．C．D．【答案】D.22.（xx•四川自贡,第10 题4 分）如图，在矩形中，,是边的中点，是线段边上的动点，将△沿所在直线折叠得到△, 连接,则的最小值是（ A ）B'A DEB F CA.B.6 C. D.423.（xx•绵阳第 12 题，3 分）如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD：DB=1：2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为E F，点E，F 分别在A C 和B C 上，则C E：CF=（B ）A.B．C．D．24.（xx•四川省内江市，第 14 题，5分）如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，∠C=90°，E 为CD 上一点，分别以EA，EB 为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D 恰好落在AB 边的点F 处．若AD=2，BC=3，则EF 的长为．25.（xx•浙江滨州,第17 题4 分）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10,8），则点E的坐标为.【答案】（10,3）“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
中考数学折叠,旋转问题专题含答案
【经典例题1】如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG：OC＝3：5，AB＝8．（1）求⊙O的半径；（2）点E为圆上一点，∠ECD＝15°，将沿弦CE翻折，交CD于点F，求图中阴影部分的面积．【解析】（1）连接AO，如右图1所示，∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，AB＝8，∴AG＝＝4，∵OG：OC＝3：5，AB⊥CD，垂足为G，∴设⊙O的半径为5k，则OG＝3k，∴（3k）2+42＝（5k）2，解得，k＝1或k＝﹣1（舍去），∴5k＝5，即⊙O的半径是5；（2）如图2所示，将阴影部分沿CE翻折，点F的对应点为M，∵∠ECD＝15°，由对称性可知，∠DCM＝30°，S阴影＝S弓形CBM，连接OM，则∠MOD＝60°，∴∠MOC＝120°，过点M作MN⊥CD于点N，∴MN＝MO•sin60°＝5×，∴S阴影＝S扇形OMC﹣S△OMC＝＝，即图中阴影部分的面积是：．练习1-1如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB 的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（）A．AC＝CD B．+＝C．OD⊥AB D．CD平分∠ACB 【解析】A、过D作DD'⊥BC，交⊙O于D'，连接CD'、BD'，由折叠得：CD＝CD'，∠ABC＝∠CBD'，∴AC＝CD'＝CD，故①正确；B、∵AC＝CD'，∴，由折叠得：，∴＝，故②正确；C、∵D为AB的中点，∴OD⊥AB，故③正确；D、延长OD交⊙O于E，连接CE，∵OD⊥AB，∴∠ACE＝∠BCE，∴CD不平分∠ACB，故④错误；故选：D．练习1-2如图，AB是⊙O的弦，点C在上，点D是AB的中点．将在沿AC 折叠后恰好经过点D，若⊙O的半径为2，AB＝8．则AC的长是（）A．6B．C．2D．4【解析】如图，延长BO交⊙O于E，连接AE，OA，OD，OC，BC，作CH⊥AB 于H．∵AD＝DB，∴OD⊥AB，∴∠ADO＝90°，∵OA＝2，AD＝DB＝4，∴OD＝＝2，∵BE是直径，∴∠BAE＝90°，∵AD＝DB，EO＝OB，∴OD∥AE，AE＝2OD＝4，∴AE＝AD，∴＝，∴＝，∴∠CAE＝∠CAH＝45°，∴∠BOC＝2∠CAB＝90°，∴BC＝OC＝2，∵CH⊥AB，∴∠CAH＝∠ACH＝45°，∴AH＝CH，设AH＝CH＝x，则BH＝8﹣x，在Rt△BCH中，∵CH2+BH2＝BC2，∴x2+（8﹣x）2＝（2）2，∴x＝6或2（舍弃），在Rt△ACH中，∵AC＝，∴AC＝6．故选：A．练习1-3在扇形AOB中，∠AOB＝75°，半径OA＝12，点P为AO上任一点（不与A、O重合）．（1）如图1，Q是OB上一点，若OP＝OQ，求证：BP＝AQ．（2）如图2，将扇形沿BP折叠，得到O的对称点O'．①若点O'落在上，求的长．②当BO'与扇形AOB所在的圆相切时，求折痕的长．（注：本题结果不取近似值）【解析】（1）证明：∵BO＝AO，∠O＝∠O，OP＝OQ，∴△BOP≌△AOQ（SAS）．∴BP＝AQ．（2）解：①如图1，点O'落在上，连接OO'，∵将扇形沿BP折叠，得到O的对称点O'，∴OB＝O'B，∵OB＝OO'，∴△BOO'是等边三角形，∴∠O'OB＝60°．∵∠AOB＝75°，∴∠AOO'＝15°．∴的长为．②BO'与扇形AOB所在的圆相切时，如图2所示，∴∠OBO'＝90°．∴∠OBP＝45°．过点O作OC⊥BP于点C，∵OA＝OB＝12，∠COB＝∠OBP＝45°，∴．又∵∠AOB＝75°，∠COB＝45°，∴∠POC＝30°，∴．∴．∴折痕的长为．旋转类【经典例题2】如图1，在锐角△ABC中，AB=5，AC=42，∠ACB=45∘. 计算：求BC的长；操作：将图1中的△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1.如图2，当点C1在线段CA的延长线上时。
2023年中考数学一轮专题练习 ——图形的平移、折叠和旋转(含解析)
2023年中考数学一轮专题练习——图形的平移、折叠和旋转1一、单选题（本大题共10小题）1. （湖南省永州市2022年）剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟.下列剪纸图形中，是中心对称图形的有（）①②③④A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④2. （湖南省湘西州2022年）下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A．B．C．D．3. （湖南省益阳市2022年）如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④4. （2022年西藏）如图，在菱形纸片ABCD中，E是BC边上一点，将△ABE沿直线AE翻折，使点B落在B'上，连接DB'．已知∠C＝120°，∠BAE＝50°，则ADB'∠的度数为（）A．50°B．60°C．80°D．90°5. （2022年西藏）下列图形中是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ． 6. （黑龙江省大庆市2022年）如图，将平行四边形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点A 落在E 处．若156∠=︒，242∠=︒，则A ∠的度数为( )A ．108︒B ．109︒C ．110︒D ．111︒7. （广东省河源市2021）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ． 8. （辽宁省抚顺本溪辽阳市2022年）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．9. （江苏省无锡市2022年）雪花、风车…．展示着中心对称的美，利用中心对称，可以探索并证明图形的性质，请思考在下列图形中，是中心对称图形但不一定是轴对称图形的为（ ）A ．扇形B ．平行四边形C ．等边三角形D ．矩形10. （江苏省扬州市2022年）如图，在ABC ∆中，AB AC <，将ABC 以点A 为中心逆时针旋转得到ADE ，点D 在BC 边上，DE 交AC 于点F ．下列结论：①；②平分；③，其中所有正确结论的序号是（ ）AFE DFC △△DA BDE ∠CDF BAD ∠=∠A．①②B．②③C．①③D．①②③二、填空题（本大题共6小题）11. （湖南省湘西州2022年）在平面直角坐标系中，已知点P（﹣3，5）与点Q（3，m ﹣2）关于原点对称，则m＝_____．12. （湖南省益阳市2022年）如图，将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，使A的对应点A′满足AA′＝13AC，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是_____．13. （湖北省仙桃2021）在平面直角坐标系中，点A（a，2）与点B（6，b）关于原点对称，则ab= ．14. （湖南省永州市2022年）如图，图中网格由边长为1的小正方形组成，点A为网格线的交点.若线段OA绕原点O顺时针旋转90°后，端点A的坐标变为______．15. （辽宁省盘锦市2022年）如图，四边形ABCD为矩形，3AB AD==，点E为边BC上一点，将DCE沿DE翻折，点C的对应点为点F，过点F作DE的平行线交AD 于点G，交直线BC于点H．若点G是边AD的三等分点，则FG的长是．16. （黑龙江省大庆市2022年）如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边,AB BC 上的两个动点，且正方形ABCD 的周长是周长的2倍，连接分别与对角线交于点M ，N ．给出如下几个结论：①若，则；②；③若，则；④若，则．其中正确结论的序号为 ．三、解答题（本大题共7小题）17. （湖南省湘潭市2022年）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点的坐标分别为()1,1A -，()4,0B -，()2,2C -．将ABC 绕原点O 顺时针旋转90︒后得到111A B C △．BEF ,DE DF AC 2,3AE CF ==4EF =180EFN EMN ∠+∠=︒2,3AM CN ==4MN =2,3MN BE AM==4EF=(1)请写出1A 、1B 、1C 三点的坐标：1A ，1B ，1C(2)求点B 旋转到点1B 的弧长．18. （江苏省无锡市2022年）如图，已知四边形ABCD 为矩形AB =4BC =，点E 在BC 上，CE AE =，将△ABC 沿AC 翻折到△AFC ，连接EF ．(1)求EF 的长；(2)求sin ∠CEF 的值．19. （江苏省常州市2022年）如图，点A 在射线OX 上，OA a =．如果OA 绕点O 按逆时针方向旋转(0360)<≤︒n n 到OA '，那么点A '的位置可以用(),︒a n 表示．(1)按上述表示方法，若3a =，37n =，则点A '的位置可以表示为 ；(2)在（1）的条件下，已知点B 的位置用()3,74︒表示，连接A A '、A B '．求证：A A A B ''=．20. （吉林省2022年）图①，图②均是44⨯的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点A ，B ，C 均在格点上．请在给定的网格中按要求画四边形．(1)在图①中，找一格点D ，使以点A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是轴对称图形；(2)在图②中，找一格点E ，使以点A ，B ，C ，E 为顶点的四边形是中心对称图形． 21. （辽宁省抚顺本溪辽阳市2022年）在ABC 中，90,BAC AB AC ∠=︒=，线段AB 绕点A 逆时针旋转至AD （AD 不与AC 重合），旋转角记为α，DAC ∠的平分线AE 与射线BD 相交于点E ，连接EC ．(1)如图①，当20α=︒时，AEB ∠的度数是 ；(2)如图②，当090α︒<<︒时，求证：2BD CE +=；(3)当0180,2AE CE α︒<<︒=时，请直接写出BD ED的值． 22. （湖北省荆州市2022年）如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，点O 是边AB 上一个动点（不与点A 重合），连接OD ，将△OAD 沿OD 折叠，得到△OED ；再以O 为圆心，OA 的长为半径作半圆，交射线AB 于G ，连接AE 并延长交射线BC 于F ，连接EG ，设OA ＝x ．(1)求证：DE 是半圆O 的切线；(2)当点E 落在BD 上时，求x 的值；(3)当点E 落在BD 下方时，设△AGE 与△AFB 面积的比值为y ，确定y 与x 之间的函数关系式；(4)直接写出．．．．：当半圆O 与△BCD 的边有两个交点时，x 的取值范围． 23. （江西省2022年）问题提出：某兴趣小组在一次综合与实践活动中提出这样一个问题：将足够大的直角三角板()90,60PEF P F ∠=︒∠=︒的一个顶点放在正方形中心O 处，并绕点O 逆时针旋转，探究直角三角板PEF 与正方形ABCD 重叠部分的面积变化情况（已知正方形边长为2）．(1)操作发现：如图1，若将三角板的顶点P 放在点O 处，在旋转过程中，当OF 与OB 重合时，重叠部分的面积为 ；当OF 与BC 垂直时，重叠部分的面积为 ；一般地，若正方形面积为S ，在旋转过程中，重叠部分的面积1S 与S 的关系为 ；(2)类比探究：若将三角板的顶点F 放在点O 处，在旋转过程中，,OE OP 分别与正方形的边相交于点M ，N ．①如图2，当BM CN =时，试判断重叠部分OMN 的形状，并说明理由；②如图3，当CM CN =时，求重叠部分四边形OMCN 的面积（结果保留根号）；(3)拓展应用：若将任意一个锐角的顶点放在正方形中心O 处，该锐角记为GOH ∠（设GOH α∠=），将GOH ∠绕点O 逆时针旋转，在旋转过程中，GOH ∠的两边与正方形ABCD 的边所围成的图形的面积为2S ，请直接写出2S 的最小值与最大值（分别用含α的式子表示），（参考数据：sin15tan152︒=︒=︒=参考答案1. 【答案】A【分析】根据中心对称图形的定义判断即可；【详解】解：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；∴是中心对称图形的是：①②③；故选：A．【点睛】本题主要考查中心对称图形的定义，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．2. 【答案】C【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：C．【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．3. 【答案】B【分析】根据旋转的性质可得，BC＝B′C′，∠C′AB′＝∠CAB＝20°，∠AB′C′＝∠ABC ＝30°，再根据旋转角的度数为50°，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可．【详解】解：①∵△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，∴BC＝B′C′．故①正确；②∵△ABC绕A点逆时针旋转50°，∴∠BAB′＝50°．∵∠CAB＝20°，∴∠B′AC＝∠BAB′﹣∠CAB＝30°．∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°，∴∠AB′C′＝∠B′AC．∴AC∥C′B′．故②正确；③在△BAB′中，AB＝AB′，∠BAB′＝50°，∴∠AB′B＝∠ABB′＝1（180°﹣50°）＝65°．2∴∠BB′C′＝∠AB′B+∠AB′C′＝65°+30°＝95°．∴CB′与BB′不垂直．故③不正确；④在△ACC′中，AC ＝AC ′，∠CAC ′＝50°，∴∠ACC ′＝12（180°﹣50°）＝65°．∴∠ABB ′＝∠ACC ′．故④正确．∴①②④这三个结论正确．故选：B ．【点睛】此题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，还考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定等知识．熟练掌握旋转的性质是解题的关键．4. 【答案】C【分析】由翻折的性质知∠BAE =B AE '∠=50°，AB '=AB ，再由菱形的性质得∠BAD =120°，AB '=AD ，最后利用三角形内角和定理可得答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∠C =120°，∴∠BAD =∠C =120°，AB =AD ，∵将△ABE 沿直线AE 翻折，使点B 落在B '上，∴∠BAE =B AE '∠=50°，AB '=AB ，∴BAB ∠'=100°，AB '=AD ，∴DAB '∠=20°，∴AB D '∠=ADB '∠=（180°-20°）÷2=80°，故选：C ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，翻折的性质，三角形内角和定理等知识，求出DAB '∠=20°是解题的关键． 5. 【答案】B【分析】直接利用轴对称图形的定义进行判断．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【详解】解：A ，C ，D 选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；B 选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；故选：B ．【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．6. 【答案】C【分析】先根据平行四边形的性质，得出AB CD ，根据平行线的性质，得出156ABE ∠=∠=︒，根据折叠得出1282ABD ABE ∠=∠=︒，根据三角形内角和得出∠A 的度数即可．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB CD ，156ABE ∴∠=∠=︒，根据折叠可知，ABD EBD ∠=∠， ∴11562822ABD ABE ∠=∠=⨯︒=︒， 242∠=︒，∴1802110A ABD ∠=︒-∠-∠=︒，故C 正确．故选：C ．7. 【答案】D【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义，即可求解．在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形．【详解】解：A 、既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C 、既不是中心对称图形，又不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D 、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；故选：D ．8. 【答案】D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项判断即可．【详解】A ．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B ．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；C ．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；D ．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；故选：D ．9. 【答案】B【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A 、扇形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；B 、平行四边形不一定是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；C 、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：B．10. 【答案】D【分析】根据旋转的性质可得对应角相等，对应边相等，进而逐项分析判断即可求解．【详解】解：∵将以点为中心逆时针旋转得到，∴，，，，故①正确；，，，，，∴DA平分BDE∠，故②正确；ADE ABC≌，BAC DAE∴∠=∠，，AFE DFC△△，CAE CDF∴∠=∠，CDF BAD∠=∠∴，故③正确故选D11. 【答案】【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即求关于原点的对称点时，横、纵坐标都变成原数的相反数．【详解】解：根据、两点关于原点对称，则横、纵坐标均互为相反数，，，故答案为：3-．【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内两点关于原点对称时横、纵坐标均互为相反数这一特征，熟练掌握该特征是解题的关键．12. 【答案】4【分析】由正方形边长为3，可求AC＝，则AA′＝AC，由平移可得重叠部分是正方形，根据正方形的面积公式可求重叠部分面积．【详解】解：∵正方形ABCD的边长为3，ABC A ADEADE ABC≌E C∴∠=∠AFE DFC∠=∠∴AFE DFC△△ADE ABC≌AB AD∴=ABD ADB∴∠=∠ADE ABC∠=∠ADB ADE∴∠=∠BAD CAE∴∠=∠3-P Q25m∴-=-3m∴=-13∴AC＝，∴AA′＝13 AC∴A′C＝2由题意可得重叠部分是正方形，∴重叠部分的正方形的边长为，∴S重叠部分＝4．故答案为：4．【点睛】本题考查了正方形的性质，平移的性质，关键是灵活运用这些性质解决问题．13. 【答案】12【分析】根据关于原点对称的两点坐标关系：横、纵坐标均互为相反数，即可求出a和b的值，从而求出结论．【详解】解：∵点A（a，2）与点B（6，b）关于原点对称，∴a=-6，b=-2∴ab=12故答案为：12．14. 【答案】()2,2-【分析】根据题意作出旋转后的图形，然后读出坐标系中点的坐标即可．【详解】解：线段OA绕原点O顺时针旋转90°后的位置如图所示，∴旋转后的点A的坐标为（2，-2），故答案为：（2，-2）．【点睛】题目主要考查图形的旋转，点的坐标，理解题意，作出旋转后的图形读出点的坐标是解题关键．15. 【分析】 过点E 作EM GH ⊥于点M ，根据题意可得四边形HEDG 是平行四边形，证明HE FE =，等面积法求得ME ，勾股定理求得HM ，可得HF 的长，进而即可求解．【详解】①如图，过点E 作EM GH ⊥于点M ，DE GH ∥，AD BC ∥∴四边形HEDG 是平行四边形113HE GD AD ∴=== 折叠 ∴FED CED ∠=∠90MED ∠=︒即90FEM FED ∠+∠=︒90CED HEM ∴∠+∠=︒HEM FEM ∴∠=∠90,EMF EMH ME ME ∠=∠=︒=HEM FEM ∴≌HM MF ∴=，1EF HE ==1EF EC ∴==四边形ABCD 是矩形90,C DC AB ∴∠=︒==Rt EDC 中，DE =GH DE ∴==ME HG ⊥，HG DE ∥ 1122DEF DEC S ME DE S DC EC ∴=⨯==⨯DC EC ME DE ⨯∴===Rt HME中，HM =2FG HG HF HG HM ∴=-=-==②如图，当113AG AD ==时，同理可得312HE GD AD AG ==-=-=，2EC EF HE ===，DE ∴=DC EC ME DE ⨯∴==RtHME中，HM ===2FG HF HG HM HG ∴=-=-=故答案为：16. 【答案】②【分析】根据已知条件可得，即可判断①，进而推出，导角可得②正确，作于点，连接，证明是直角三角形，勾股定理验证③，证明，即可判断④求解．【详解】解：∵正方形的周长是周长的2倍，∴，，①若，则，故①不正确；如图，在的延长线上取点，使得，=+EF AE FC 45EDF ∠=︒DG EF ⊥G ,GM GN GMN 30BEF MNG ∠=∠=︒ABCD BEF BE BF EF AB BC ++=+∴=+EF AE FC 2,3AE CF ==5EF =BA H AH CF =四边形是正方形，，，，，，，，，，，，，，，，，即，故②正确；如图，作于点，连接，则，，，，同理可得，ABCD 90DAH DAE DCF ∴∠=∠=∠=︒AD CD =ADH CDF ∴≌CDF ADH ∴∠=∠HD DF =H DFC ∠=∠EF AE CF AE AH EH =+=+=DE DE =DHE DFE ∴≌()SSS HDE FDE ∴∠=∠H EFD ∠=∠HED FED ∠=∠90CDF ADF ADH ADF HDF ∠+∠=∠+∠=∠=︒45EDF HDE ∴∠=∠=︒H DFC DFE ∠=∠=∠45EMN HED EAM DEF ∠=∠+∠=︒+∠41805DE EFN EMN F DF EDF DEF C DFC ∴∠+∠=∠+∠︒+∠=∠+∠=+︒180EFN EMN ∠+∠=︒DG EF ⊥G ,GM GN 90DGE DAE ∠=∠=︒AED GED ∠=∠DE DE =AED GED ∴≌GDF CDF ≌，关于对称轴，关于对称，,GM AM GN CN ∴==，45,45EGM EAM NGF NCF ∠=∠=︒∠=∠=︒，180454590MGN ∴∠=︒-︒-︒=︒，是直角三角形，③若，，，故③不正确，，若， 即， ，，，又CFN EFN ∠=∠，AME CFN ∴∠=∠，22AEM CFN ∴∠=∠，即AMG CFG ∠=∠，GMN BFE ∴∠=∠，30BEF MNG ∴∠=∠=︒，cos cos cos30BE BEF GNM EF ∴∠==∠=︒= 3BE =，EF ∴== 故④不正确．故答案为：②．17. 【答案】(1)（1，1）；（0，4）；（2，2）(2)2π【分析】（1）将△ABC 绕着点O 按顺时针方向旋转90°得到△A 1B 1C 1，点A 1，B 1，C 1的坐标即为点A ，B ，C 绕着点O 按顺时针方向旋转90°得到的点，由此可得出结果． （2）由图知点B 旋转到点1B 的弧长所对的圆心角是90º，OB =4，根据弧长公式即可计算求出．(1),AG DG CF ADE GDE GDF CDF ∴==∠=∠∠=∠，,A G ∴DE ,C G DF GMN ∴2,3AM CN ==∴2,3GM GN ==4MN ∴≠MG AM =2,3MN BE AM==sin MNG ∠=12MG MN =30MNG ∴∠=︒180EFN EMN ∠+∠=︒180EMN AME ∠+∠=︒解：将△ABC 绕着点O 按顺时针方向旋转90°得到△A 1B 1C 1，点A 1，B 1，C 1的坐标即为点A ，B ，C 绕着点O 按顺时针方向旋转90°得到的点，所以A 1（1，1）；B 1（0，4）；C 1（2，2）(2)解：由图知点B 旋转到点1B 的弧长所对的圆心角是90度，OB =4，∴点B 旋转到点1B 的弧长=904180π⨯⨯=2π 18. 【答案】(2)【分析】(1)先由Rt ABE ∆可求得AE 的长度，再由角度关系可得90FAE ∠=，即可求得EF 的长;(2)过F 作FM CE ⊥于M ，利用勾股定理列方程，即可求出EM 的长度，同时求出FM 的长度，得出答案.(1)设BE x =，则4EC x =-，∴4AE EC x ==-，在Rt ABE ∆中，222AB BE AE +=，∴(()2224x x +=-， ∴1x =，∴1BE =，3AE CE ==，∵AE EC =，∴12∠=∠，∵90ABC ∠=，∴902CAB ∠=-∠，∴901CAB ∠=-∠，由折叠可知，∴，∴，∴，在中，.FAC BAC ∆≅∆901FAC CAB ∠=∠=-∠AF AB ==190FAC ∠+∠=90FAE ∠=Rt FAE ∆EF =(2)过F 作FM ⊥BC 于M ，∴∠FME =∠FMC =90°，设EM =a ,则EC =3-a ，在中， ，在中，，∴，∴， ∴， ∴， ∴， ∴19. 【答案】(1)(3,37°)Rt FME222FM FE EM =-Rt FMC 222FM FC MC =-2222FE EM FC MC -=-()222243a a -=--53a =53EM =FM sin FM CEF EF ∠===(2)见解析【分析】（1）根据点的位置定义，即可得出答案；（2）画出图形，证明△AOA ′≌△BOA ′（SAS ），即可由全等三角形的性质，得出结论．(1)解：由题意，得A ′(a ,n °)， ∵a=3,n=37，∴A′(3,37°)，故答案为：(3,37°)； (2)证明：如图，∵()3,37A '︒，B (3,74°)，∴∠AOA ′=37°，∠AOB =74°，OA = OB =3，∴∠A ′OB =∠AOB -∠AOA ′=74°-37°=37°，∵OA ′=OA ′，∴△AOA ′≌△BOA ′（SAS ），∴A ′A =A ′B ．20. 【答案】(1)图见解析(2)图见解析【分析】（1）以所在直线为对称轴，找出点的对称点即为点，再顺次连接点即可得；（2）根据点平移至点的方式，将点进行平移即可得点，再顺次连接点即可得．(1)解：如图①，四边形ABCD 是轴对称图形．AC B D ,,,A B C D B A C E ,,,A B C E(2)解：先将点B 向左平移2格，再向上平移1个可得到点A ，则将点C 按照同样的平移方式可得到点E ，如图②，平行四边形ABCE 是中心对称图形．21. 【答案】(1)45︒(2)见解析(3)2或2【分析】（1）根据旋转的性质可知AB AD =，当20α=︒时可根据等腰三角形的性质计算ADB ∠的角度，再由90BAC ∠=︒，AE 是DAC ∠的平分线可知35DAE ∠=︒，由三角形外角的性质，通过AEB ADB DAE ∠=∠-∠即可得出答案；（2）延长DB 到F ，使BF CE =，连接AF ，先证明ADE ACE △≌△，可推导DEA CEA ∠=∠、ADE ACE ∠=∠、DE CE ∠=，再由已知条件及等腰三角形的性质推导45DEA CEA ∠=∠=︒，然后证明ABF ACE ≌△△，推导90=︒∠FAE ，在Rt AFE 中，由三角函数可计算EF ，即可证明2BD CE +=；（3）分两种情况讨论：①当090α︒<<︒时，借助（2）可知2)BD CE =，再求BD ED的值即可；②当90180α︒≤<︒时，在线段BD 上取点F ，使得BF CE =，结合（2）中ADE ACE △≌△，可知DE CE =、ADE ACE ∠=∠，易证明ABF ACE ≌△△，可推导BAF CAE ∠=∠、AE AF =、90EAF ∠=︒， 45AEF AFE ∠=∠=︒，在Rt AFE 中，由三角函数可计算EF =，即可推导2)BD CE =，再求BD ED 的值即可． (1)解：由旋转可知，AB AD =，当20α=︒时， 可知180180208022ABD ADB α︒-︒-︒∠=∠===︒， ∵90BAC ∠=︒，AE 是DAC ∠的平分线，∴90203522BAC DAE α∠-︒-︒∠===︒， ∴803545AEB ADB DAE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为：45︒；(2)证明：延长DB 到F ，使BF CE =，连接AF ．∵AB AC =，AD AB =，∴AD AC =，∵AE 平分DAC ∠，∴DAE CAE ∠=∠，∵AE AE =，∴ADE ACE △≌△，∴DEA CEA ∠=∠，ADE ACE ∠=∠，DE CE ∠=，∵AB AD =，∴ABD ADB ∠=∠，∵180ADE ADB ∠+∠=︒，∴180ACE ABD ∠+∠=︒，∵90BAC ∠=︒，∴360()3601809090BEC ACE ABD BAC ∠=︒-∠+∠-∠=︒-︒-︒=︒，∵DEA CEA ∠=∠ ∴190452DEA CEA ∠=∠=⨯︒=︒， ∵180ABF ABD ∠+∠=︒，180ACE ABD ∠+∠=︒，∴ABF ACE ∠=∠，∵AB AC =，BF CE =，∴ABF ACE ≌△△，∴AF AE =，45AFB AEC ∠=∠=︒，∴180180454590FAE AFB DEA ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，在Rt AFE 中，90=︒∠FAE ， ∵cos AE AEF EF ∠=，∴cos cos 45AE AE EF AEF ===∠︒，∵2EF BF BD DE CE BD CE BD CE =++=++=+，∴2BD CE +=；(3)①当090α︒<<︒时，由（2）可知，DE CE =，2BD CE +，∴2BD CE =-，当2AE CE =时，可知222)BD CE CE CE =-=，∴2BD ED ===； ②当90180α︒≤<︒时，如下图，在线段BD 上取点F ，使得BF CE =，由（2）可知，ADE ACE △≌△，∴DE CE =，ADE ACE ∠=∠，∵AB AC =，∴ABF ADE =∠∠，∴ABF ACE ∠=∠，∵BF CE =，∴()ABF ACE SAS △≌△，∴BAF CAE ∠=∠，AE AF =，∴90EAF CAF CAE CAF BAF BAC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒， ∴180452EAF AEF AFE ︒-∠∠=∠==︒， 在Rt AFE 中，cos AE AEF EF ∠=，∴cos cos 45AE AE EF AEF ===∠︒，∴2BD BF EF DE CE CE CE =++=++，当2AE CE =时，可知222)BD CE CE CE =+=，∴2BD ED ==．综上所述，当0180,2AE CE α︒<<︒=时，2BD ED =或2BD ED=． 22. 【答案】(1)见详解(2)32(3)2293(0)4362x y x x =<<+ (4)332x <≤或2548x <≤ 【分析】（1）根据切线的判定定理求解即可；（2）如图，在Rt OEB ∆，根据勾股定理列方程求解即可；（3）先证DAO AEG ∆∆∽，求出AE ，然后证明AEG ABF ∆∆∽，根据相似三角形面积比等于相似比的平方即可求解；（4）结合图形，分情况讨论即可求出x 的取值范围．(1)证明：在矩形ABCD 中，90DAB ∠=︒，△OED 是△OAD 沿OD 折叠得到的，90OED DAB ∴∠=∠=︒，即OE DE ⊥，∴ DE 是半圆O 的切线；(2) 解：△OED 是△OAD 沿OD 折叠得到的，3,DE AD OA OE x ∴====，4OB AB OA x ∴=-=-，在Rt DAB ∆中，5DB =，532EB DB DE ∴=-=-=，在Rt OEB ∆中，222OE EB OB +=，()22224x x ∴+=-，解得32x =， 答：x 的值为32．(3)解：在Rt DAO ∆中，DO△OED 是△OAD 沿OD 折叠得到的，AE OD ∴⊥，AG 是O 的直径，90AEG ∴∠=︒，即AE EG ⊥，OD EG ∴∥，90DAO AEG ∠=∠=︒AOD EGA ∴∠=∠，DAO AEG ∴∆∆∽，DO DA AG AE∴= ，3,AE AE ==， 90,AEG ABC EAG BAF ∠=∠=︒∠=∠，AEG ABF ∴∆∆∽，2AGEAFB S AE S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，即()222949x y x ==+ ⎪ ⎪⎝⎭， 229436x y x ∴=+ （302x <<）(4)解：由（2）知，当E 在DB 上时， 32x =， 如图，当点E 在DC 上时， 3x = ，∴当332x <≤时，半圆O 与△BCD 的边有两个交点； 当半圆O 经过点C 时，半圆O 与△BCD 的边有两个交点，连接OC ，在Rt OBC ∆中，4,,3OB x OC x BC =-==，222OB BC OC +=，()22243x x ∴-+= ，解得258x =， ∴当2548x ≤≤时，半圆O 与△BCD 的边有两个交点；综上所述，当半圆O 与△BCD 的边有两个交点时，x 的取值范围为：332x <≤或2548x <≤． 23. 【答案】(1)1,1， (2)①OMN 是等边三角形，理由见解析；1 (3)tan ,1tan 4522αα⎛⎫-︒- ⎪⎝⎭ 【分析】（1）如图1，若将三角板的顶点P 放在点O 处，在旋转过程中，当OF 与OB 重合时，OE 与OC 重合，此时重叠部分的面积=△OBC 的面积=14正方形ABCD 的面积=1；当OF 与BC 垂直时，OE ⊥BC ，重叠部分的面积=14正方形ABCD 的面积=1；一般地，若正方形面积为S ，在旋转过程中，重叠部分的面积S 1与S 的关系为S 1=14S ．利用全等三角形的性质证明即可；（2）①结论：△OMN 是等边三角形．证明OM =ON ，可得结论；②如图3中，连接OC ，过点O 作OJ ⊥BC 于点J ．证明△OCM ≌△OCN （SAS ），推出∠COM =∠CON =30°，解直角三角形求出OJ ，即可解决问题；（3）如图4-1中，过点O 作OQ ⊥BC 于点Q ，当BM =CN 时，△OMN 的面积最小，即S 2最小．如图4-2中，当CM =CN 时，S 2最大．分别求解即可．(1)如图1，若将三角板的顶点P 放在点O 处，在旋转过程中，当OF 与OB 重合时，OE 与OC 重合，此时重叠部分的面积=△OBC 的面积=14正方形ABCD 的面积=1； 当OF 与BC 垂直时，OE ⊥BC ，重叠部分的面积=14正方形ABCD 的面积=1； 一般地，若正方形面积为S ，在旋转过程中，重叠部分的面积S 1与S 的关系为S 1=14S ．114S S =理由：如图1中，设OF交AB于点J，OE交BC于点K，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥BC于点N．∵O是正方形ABCD的中心，∴OM=ON，∵∠OMB=∠ONB=∠B=90°，∴四边形OMBN是矩形，∵OM=ON，∴四边形OMBN是正方形，∴∠MON=∠EOF=90°，∴∠MOJ=∠NOK，∵∠OMJ=∠ONK=90°，∴△OMJ≌△ONK（AAS），∴S△PMJ=S△ONK，∴S四边形OKBJ=S正方形OMBN=14S正方形ABCD，∴S1=14 S．故答案为：1，1，S1=14 S．(2)①如图2中，结论：△OMN是等边三角形．理由：过点O作OT⊥BC，∵O是正方形ABCD的中心，∴BT=CT，∵BM=CN，∴MT=TN，∵OT⊥MN，∴OM=ON，∵∠MON=60°，∴△MON是等边三角形；②如图3中，连接OC，过点O作OJ⊥BC于点J．∵CM=CN，∠OCM=∠OCN，OC=OC，∴△OCM≌△OCN（SAS），∴∠COM=∠CON=30°，∴∠OMJ=∠COM+∠OCM=75°，∵OJ⊥CB，∴∠JOM=90°-75°=15°，∵BJ=JC=OJ=1，∴JM=OJ•tan15°=2∴CM=CJ-MJ=1-（2-，∴S四边形OMCN=2×12×CM×OJ=．(3)如图4，将HOG∠沿翻折得到，则，此时则当在上时，比四边形的面积小，设，则当最大时，最小，，即时，最大，此时垂直平分，即，则OM ON=如图5中，过点O作OQ⊥BC于点Q，OM ON=，OQ MN⊥∴BM=CN∴当BM=CN时，△OMN的面积最小，即S2最小．在Rt△MOQ中，MQ=OQ•tan2α=tan2α，∴MN=2MQ=2tan2α，∴S2=S△OMN=12×MN×OQ=tan2α．如图6中，同理可得，当CM=CN时，S2最大．OH HOG'∠MON M ON'≌,M N BC 2S NOM C',=M C a CN b'=MNMS'2SMNMS'211222a bab+⎛⎫=≤ ⎪⎝⎭M C NC'=MNMS'OC M N'ON OM'=,,OC OC OCN OCM CN CM =∠=∠=则△COM ≌△CON ，∴∠COM =2α， ∵∠COQ =45°，∴∠MOQ =45°-2α， QM =OQ •tan （45°-2α）=tan （45°-2α）， ∴MC =CQ -MQ =1-tan （45°-2α）， ∴S 2=2S △CMO =2×12×CM ×OQ =1-tan （45°-2α）．。
初三复习 数学几何中折叠问题 4大类 分类 含答案
初中数学中的折叠问题折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。
本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。
其实对于折叠问题，我们要明白：1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系．4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．一、矩形中的折叠1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC，BD为折痕，折叠后BG和BH在同一条直线上，∠CBD= 度．BC、BD是折痕，所以有∠ABC = ∠GBC，∠EBD = ∠HBD则∠CBD = 90°折叠前后的对应角相等2．如图所示，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A′处，再过点A′折叠使折痕DE∥BC，若AB=4，AC=3，则△ADE的面积是．沿BC折叠，顶点落在点A’处，根据对称的性质得到BC垂直平分AA’，即AF = 12AA’，又DE∥BC，得到△ABC ∽△ADE，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出三角形ADE的面积= 24对称轴垂直平分对应点的连线3．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，求AG 的长．由勾股定理可得BD = 5，由对称的性质得△ADG ≌ △A ’DG ，由A ’D = AD = 3，AG ’ = AG ，则A ’B = 5 – 3 = 2，在Rt △A ’BG 中根据勾股定理，列方程可以求出AG 的值根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可4．把矩形纸片ABCD 沿BE 折叠，使得BA 边与BC 重合，然后再沿着BF 折叠，使得折痕BE 也与BC 边重合，展开后如图所示，则∠DFB 等于（ ）根据对称的性质得到∠ABE=∠CBE ，∠EBF=∠CBF ，据此即可求出∠FBC 的度数，又知道∠C=90°，根据三角形外角的定义即可求出∠DFB = 112.5°注意折叠前后角的对应关系5．如图，沿矩形ABCD 的对角线BD 折叠，点C 落在点E 的位置，已知BC=8cm ，AB=6cm ，求折叠后重合部分的面积． ∵点C 与点E 关于直线BD 对称，∴∠1 = ∠2 ∵AD ∥BC ，∴∠1 = ∠3∴∠2 = ∠3 ∴FB = FD设FD = x ，则FB = x ，FA = 8 – x在Rt △BAF 中，BA 2 + AF 2 = BF 2∴62 + (8 - x)2 = x 2 解得x = 254所以，阴影部分的面积S △FBD = 12 FD ×AB = 12 ×254 ×6 = 754cm2重合部分是以折痕为底边的等腰三角形6．将一张矩形纸条ABCD 按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°，则∠1= 度；△EFG 的形状 三角形．∵四边形CDFE 与四边形C ’D ’FE 关于直线EF 对称∴∠2 = ∠3 = 64°∴∠4 = 180° - 2 × 64° = 52° ∵AD ∥BC321F E D C B A54132G D‘FC‘DAGA'CA B D∴∠1 = ∠4 = 52°∠2 = ∠5又∵∠2 = ∠3∴∠3 = ∠5∴GE = GF∴△EFG是等腰三角形对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰△GEF7．如图，将矩形纸片ABCD按如下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕EF（如图①）；延CG折叠，使点B落在EF上的点B′处，（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′处，（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC′，GH（如图⑥）．（1）求图②中∠BCB′的大小；（2）图⑥中的△GCC′是正三角形吗？请说明理由．（1）由对称的性质可知：B’C=BC，然后在Rt△B′FC中，求得cos∠B’CF= 12，利用特殊角的三角函数值的知识即可求得∠BCB’= 60°；（2）首先根据题意得：GC平分∠BCB’，即可求得∠GCC’= 60°，然后由对称的性质知：GH是线段CC’的对称轴，可得GC’= GC，即可得△GCC’是正三角形．理清在每一个折叠过程中的变与不变8．如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为四边形BCFE与四边形B′C′FE关于直线EF对称，则①②③④这四个三角形的周长之和等于正方形ABCD的周长折叠前后对应边相等9．如图，将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠，使点B落在边AD的中点G处，求四边形BCFE的面积设AE = x，则BE = GE = 4 - x，在Rt△AEG中，根据勾股定理有：AE2 + AG2 = GE2即：x2 + 4 = (4 - x)2解得x = 1.5，BE = EG = 4 – 1.5 = 2.5∵∠1 + ∠2 = 90°，∠2 + ∠3 = 90°∴∠1 = ∠3又∵∠A = ∠D = 90°∴△AEG ∽△DGP∴AEDG=EGGP，则1.52=2.5GP，解得GP =103PH = GH – GP = 4 - 103=23∵∠3 = ∠4，tan∠3 = tan∠1 = 3 4∴tan∠4 = 34，FHPH=34，FH =34×PH =34×23=12∴CF = FH = 1 2∴S梯形BCFE = 12(12+52)×4 = 6注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等10．如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在边AD上不与A、D 重合．MN为折痕，折叠后B’C’与DN交于P．(1)连接BB’，那么BB’与MN的长度相等吗？为什么？(2)设BM=y，AB’=x，求y与x的函数关系式；(3)猜想当B点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC’B’面积最小？并验证你的猜想．(1)BB’ = MN过点N作NH∥BC交AB于点H），证△ABB’≌△HNM(2)MB’ = MB = y，AM = 1 – y，AB’ = x在Rt△ABB’中BB’ = AB2 + AB'2= 1 + x2因为点B与点B’关于MN对称，所以BQ = B’Q，则BQ = 12 1 + x2由△BMQ∽△BB’A得BM×BA = BQ×BB’PC'NB CA DMB'QPHC'NB CA DMB'∴y = 12 1 + x2× 1 + x2=12(1 + x2)(3) 梯形MNC′B′的面积与梯形MNCB的面积相等由(1)可知，HM = AB’ = x，BH = BM – HM = y – x，则CN = y - x∴梯形MNCB的面积为：12(y – x + y) ×1 = 12(2y - x)= 12(2×12(1 + x2) – x)= 12(x -12)2 +38当x = 12时，即B点落在AD的中点时，梯形MNC’B’的面积有最小值，且最小值是38二、纸片中的折叠11．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（）∵∠α= ∠1，∠2 = ∠1∴∠α= ∠2∴2∠α+∠ABE=180°，即2∠α+30°=180°，解得∠α=75°．题考查的是平行线的性质，同位角相等，及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角为180度的性质，注意△EAB是以折痕AB为底的等腰三角形12．如图，将一宽为2cm的纸条，沿BC，使∠CAB=45°，则后重合部分的面积为作CD⊥AB，∵CE∥AB，∴∠1=∠2，根据翻折不变性，∠1=∠BCA，故∠2=∠BCA．∴AB=AC．又∵∠CAB=45°，∴在Rt△ADC中，AC = 2 2 ，AB = 2 2S△ＡＢＣ＝12AB×CD = 2 2a2130°BEFACD在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片）折叠，折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形ABC13．将宽2cm 的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是如图，作QH ⊥PA ，垂足为H ，则QH=2cm ， 由平行线的性质，得∠DPA=∠PAQ=60° 由折叠的性质，得∠DPA =∠PAQ ， ∴∠APQ=60°，又∵∠PAQ=∠APQ=60°， ∴△APQ 为等边三角形， 在Rt △PQH 中，sin ∠HPQ = HQPQ∴32 = 2PQ ，则PQ = 433注意掌握折叠前后图形的对应关系．在矩形（纸片）折叠问题中，会出现“平行线+角平分线”的基本结构图形，即有以折痕为底边的等腰三角形APQ14．如图a 是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的∠CFE 的度数是（ ）图c 图b图aCDGFEC GDFEFBCAEBB∵AD ∥BC ，∴∠DEF=∠EFB=20°，在图b 中，GE = GF ，∠GFC=180°-2∠EFG=140°， 在图c 中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°，本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b ∠GFC=140°，图c 中的∠CFE=∠GFC-∠EFG15．将一张长为70 cm 的长方形纸片ABCD ，沿对称轴EF 折叠成如图的形状，若折叠后，AB 与CD 间的距离为60cm ，则原纸片的宽AB 是（ ）设AB=xcm ．右图中，AF = CE = 35，EF = x根据轴对称图形的性质，得AE=CF=35-x （cm ）． 则有2（35-x ）+x=60， x=10．16．一根30cm 、宽3cm 的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反面），为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P 的长度相等，则最初折叠时，求MA 的长将折叠这条展开如图，根据折叠的性质可知，两个梯形的上底等于纸条宽，即3cm ， 下底等于纸条宽的2倍，即6cm ， 两个三角形都为等腰直角三角形， 斜边为纸条宽的2倍，即6cm ，故超出点P 的长度为（30-15）÷2=7.5， AM=7.5+6=13.5GEFD AE FD B C A B C 60cm三、三角形中的折叠17．如图，把Rt △ABC （∠C=90°），使A ，B 两点重合，得到折痕ED ，再沿BE 折叠，C 点恰好与D 点重合，则CE ：AE=18．在△ABC 中，已知AB=2a ，∠A=30°，CD 是AB 边的中线，若将△ABC 沿CD 对折起来，折叠后两个小△ACD 与△BCD 重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC 的面积的14 ．（1）当中线CD 等于a 时，重叠部分的面积等于 ；（2）有如下结论（不在“CD 等于a ”的限制条件下）：①AC 边的长可以等于a ；②折叠前的△ABC 的面积可以等于32a 2；③折叠后，以A 、B 为端点的线段AB 与中线CD 平行且相等．其中， 结论正确（把你认为正确结论的代号都填上，若认为都不正确填“无”）． (1)∵CD = 12 AB∴∠ACB = 90°∵AB = 2a ，BC = a ，∴AC = 3a ∴S △ABC = 12 ×AC ×BC = 32a 2∴重叠部分的面积为：14×32a 2 = 38a 2(2)若AC = a ，如右图∵AD = a ，∴∠2 = 180°- 30°2 = 75°∠BDC = 180°- 75°= 105° ∴∠B'DC = 105°∴∠3 = 105°- 75°= 30° ∴∠1 = ∠3 ∴AC ∥B'D∴四边形AB'DC 是平行四边形∴重叠部分△CDE 的面积等于△ＡＢＣ的面积的14若折叠前△ABC 的面积等于32a 2 过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则 12 ×AB ×CH = 32a 2 B'CDAB231EB'CDBACH =32a 又tan ∠1 =CH AH∴AH = 32a∴BH = 12a则tan ∠B =CHBH，得∠B = 60° ∴△CBD 是等边三角形 ∴∠2 = ∠4∴∠3 = ∠4，AD ∥CB 2又CB 2 = BC = BD = a ，∴CB 2 = AD ∴四边形ADCB 2是平行四边形则重叠部分△CDE 的面积是△ABC 面积的14(3)如右图，由对称的性质得，∠3 = ∠4，DA = DB 3 ∴∠1 = ∠2又∵∠3 + ∠4 = ∠1 +∠2 ∴∠4 = ∠1 ∴AB 3∥CD注意“角平分线+等腰三角形”的基本构图，折叠前后图形之间的对比，找出相等的对应角和对应边19．在△ABC 中，已知∠A=80°，∠C=30°，现把△CDE 沿DE 进行不同的折叠得△C ′DE ，对折叠后产生的夹角进行探究：（1）如图（1）把△CDE 沿DE 折叠在四边形ADEB 内，则求∠1+∠2的和； （2）如图（2）把△CDE 沿DE 折叠覆盖∠A ，则求∠1+∠2的和；（3）如图（3）把△CDE 沿DE 斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C 的关系．（1）根据折叠前后的图象全等可知，∠1=180°-2∠CDE ，∠2=180°-2∠CED ，再根据三角形内角和定理比可求出答案；（2）连接DG ，将∠ADG+∠AGD 作为一个整体，根据三角形内角和定理来求；3241EHB 2DABC3412B 3DA BC在第一次折叠中可得到∠EAD = ∠FAD在第二次折叠中可得到EF是AD的垂直平分线，则AD⊥EF∴∠AEF = ∠AFE∴△AEF是等腰三角形(1)由折叠可知∠AEB = ∠FEB，∠DEG = ∠BEG而∠BEG = 45°+ ∠α因为∠AEB + ∠BEG + ∠DEG = 180°所以 45°+ 2（45°+∠α）= 180°∠α = 22.5°由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关。