灵宝实验高中高三数学(文科)周末测试(5)

第1页，共4页外………内………灵宝实验高中高三数学（文科）周末测试（5）命题人 李海青 宋丹丹 2018.9.15一、选择题（共 12 小题 ，每小题 5 分 ，共 60 分 ）1.sin300∘+tan600∘的值是 （ ） A.−√32B.√32C.−12+√3D.12+√32.复数z =(2+i)21−i（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知命题p:∀x >0，总有(x +1)e x >1，则￢p 为（ ） A.∃x 0≤0，使得(x 0+1)e x 0≤1 B.∃x 0>0，使得(x 0+1)e x 0≤1 C.∀x >0，总有(x +1)e x ≤1 D.∀x ≤0，总有(x +1)e x ≤14.已知角α的终边落在直线y =−3x 上，则cos(π+2α)的值是（ ） A.35 B.45C.±35D.±455.已知集合A ={x|12<2x ≤2}，B ={x|ln(x −12)≤0}，则A ∩(∁R B)=( ) A.⌀B.(−1, 12]C.[12, 1)D.(−1, 1]6.函数f(x)=a x−1−2(a >0, a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx −ny −1=0上，其中m >0，n >0，则1m +2n 的最小值为（ ） A.4 B.5C.6D.3+2√27.如图，正方形中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点．那么EF →=( )A.12AB →−13AD →B.14AB →−12AD →C.13AB →+12DA →D.12AB →−23AD →8.已知奇函数f(x)在R 上是增函数．若a =−f(log 215)，b =f(log 24.1)，c =f(20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.a <b <c B.b <a <c C.c <b <aD.c <a <b9.函数f(x)=21−|x|的图象是（ ） A.B.C.D.10.f(x)是R 上以2为周期的奇函数，当x ∈(0, 1)时f(x)=log 21|x−1|，则f(x)在x ∈(3, 4)时是（ ）A.减函数且f(x)>0B.减函数且f(x)<0C.增函数且f(x)>0D.增函数且f(x)<011.已知定义在R 上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)<f(x)，且f(x +2)为偶函数，f(4)=1，则不等式f(x)<e x 的解集为（ ） A.(−2, +∞) B.(0, +∞) C.(1, +∞) D.(4, +∞)12.已知函数f(x)={|log 2x|,0<x <2sin(π4x),2≤x ≤10，若存在实数x 1，x 2，x 3，x 4 满足f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=f(x 4)，且x 1<x 2<x 3<x 4，则(x 3−1)⋅(x 4−1)⋅的取值范围是（ ）A.(20, 32)B.(9, 21)C.(8, 24)D.(15, 25) 二、填空题（共 4 小题 ，每小题 5 分 ，共 20 分 ）13.已知幂函数f(x)=x 2+m 是定义在区间[−1, m]上的奇函数，则f(m +1)=________．14.已知向量a →=(2, 4)，b →=(1, 1)，若向量b →⊥(a →+λb →)，则实数λ的值是________．15.函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A, ω>0, |φ|<π2)的图象如图所示，则tanφ=________．第2页，共4页16.如图所示，在塔底B测得山顶C的仰角为60∘，在山顶测得塔顶A的仰角为45∘，已知塔高AB=20米，则山高DC=________米．三、解答题（共 7 小题，每小题 12 分，共 84 分）17.已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C的对边．(1)若△ABC面积S△ABC=√32，c=2，A=60∘，求a、b的值；(2)若a=ccosB，且b=csinA，试判断△ABC的形状．18.设命题p：实数x满足x2−4ax+3a2<0，其中a>0；命题q：实数x满足|x−3|≤1．(1)若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．19.已知ω>0，平面向量m→=(2sinωx, √3)，n→=(2cos(ωx+π3)，1)，函数f(x)=m→⋅n→的最小正周期是π．( I)求f(x)的解析式和对称轴方程；( II)求f(x)在[−π4,π6]上的值域．20.已知函数f(x)=2x3+ax2+b在点M(1, 3)处的切线与直线x−6y−3=0垂直．(1)求a，b的值；(2)求函数f(x)的单调区间和极值．21.已知函数f(x)=3ax−2x2+lnx，a为常数．(1)当a=1时，求f(x)的���调区间；(2)若函数f(x)在区间[1, 2]上为单调函数，求a的取值范围．22.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C:ρ2=122+cos2θ，直线l:2ρcos(θ−π6)=√3．(1)写出直线l的参数方程；(2)设直线l与曲线C的两个交点分别为A、B，求|AB|的值．23.已知关于x的不等式|x−2|−|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．(1)求M的值；(2)正数a，b，c满足a+2b+c=M，求证：1a+b+1b+c≥1．答案1.B2.B3.B4.B5.B6.D7.D8.C9.C10.D11.B12.B13.814.−315.√316.10(3+√3)17.解：(1)∵S△ABC=12bcsinA=√32，∴12b⋅2sin60∘=√32，得b=1，由余弦定理得：a2=b2+c2−2bccosA=12+22−2×1×2⋅cos60∘=3，所以a=√3．(2)由余弦定理得：a=c⋅a2+c2−b22ac，∴a2+b2=c2，所以∠C=90∘；在Rt△ABC中，sinA=ac ，所以b=c⋅ac=a，所以△ABC是等腰直角三角形．18.解：(1)由x2−4ax+3a2<0得(x−3a)(x−a)<0当a=1时，1<x<3，即p为真时实数x的取值范围是1<x<3．由|x−3|≤1，得−1≤x−3≤1，得2≤x≤4，即q为真时实数x的取值范围是2≤x≤4，第3页，共4页若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是2≤x <3．(2)由x 2−4ax +3a 2<0得(x −3a)(x −a)<0，¬p 是¬q 的充分不必要条件，即¬p ⇒¬q ，且¬q ⇒¬p ，设A ={x|¬p}，B ={x|¬q}，则A ⊊B ， 又A ={x|¬p}={x|x ≤a 或x ≥3a}，B ={x|¬q}={x|x >4 或 x <2}， 则3a >4且a <2，其中a >0， 所以实数a 的取值范围是43<a <2．19.解：( I)向量m →=(2sinωx, √3)，n →=(2cos(ωx +π3)，1)， 则函数f(x)=m →⋅n →=4sinωxcos(ωx +π3)+√3 =4sinωx(12cosωx −√32sinωx)+√3=2sinωxcosωx −2√3sin 2ωx +√3 =sin2ωx +√3cos2ωx =2sin(2ωx +π3)，由ω>0得f(x)的最小正周期是T =2π2ω=π， 解得ω=1，所以函数f(x)=2sin(2x +π3)； 由2x +π3=π2+kπ，k ∈Z ， 解得f(x)的对称轴方程为x =π12+kπ2，k ∈Z ；( II)∵x ∈[−π4,π6]， ∴2x ∈[−π2, π3]， ∴2x +π3∈[−π6,2π3]，∴sin(2x +π3)∈[−12, 1]， 2sin(2x +π3)∈[−1, 2]，∴f(x)在[−π4,π6]上的值域是[−1, 2]．20.解：(1)f′(x)=6x 2+2ax ．依题意可得f(1)=3，f′(1)=−6，∴{2+a +b =36+2a =−6，解得{a =−6b =7；(2)由(1)得f(x)=2x 3−6x 2+7，f′(x)=6x 2−12x =6x(x −2)x ，f(x)，f′(x)变化如下： 极大值为f(x)极大值=f(0)=7，极小值为f(x)极小值=f(2)=−1．21.解：(1)当a =1时，f(x)=3x −2x 2+lnx ，则f(x)的定义域是(0, +∞) ∵f′(x)=3−4x +1x =−4x 2+3x+1x=−(4x+1)(x−1)x．∴由f′(x)>0，得0<x <1；由f′(x)<0，得x >1；∴f(x)在(0, 1)上是增函数，在(1, +∞)上是减函数．(2)∵f′(x)=3a −4x +1x ． 若函数f(x)在区间[1, 2]上为单调函数，则f′(x)≥0，或f′(x)≤0在区间[1, 2]上恒成立．∴3a −4x +1x ≥0，或3a −4x +1x ≤0在区间[1, 2]上恒成立． 即3a ≥4x −1x ，或3a ≤4x −1x 在区间[1, 2]上恒成立． 设ℎ(x)=4x −1x ， ∵ℎ′(x)=4+1x 2>0∴ℎ(x)=4x −1x 在区间[1, 2]上是增函数． ℎ(x)max =ℎ(2)=152，ℎ(x)min =ℎ(1)=3∴只需3a ≥152，或3a ≤3．∴a ≥52，或a ≤1．22.解：(1)直线l 的直角坐标方程为√3x +y =√3，与y 轴相交于(0, √3)，∴直线l 的参数方程为{x =−12ty =√3+√32t（t 为参数）． …(2)曲线C 的直角坐标方程为x 24+y 26=1，把直线l 的参数方程代入椭圆方程可得：3t 2+8t −8=0， ∴t 1+t 2=−83，t 1t 2=−83，第4页，共4页∴|AB|=|t 1−t 2|=√649−4×(−83)=4√103． … 23.解：(1)由绝对值不等式得|x −2|−|x +3|≥≤|x −2−(x +3)|=5， 若不等式|x −2|−|x +3|≥|m +1|有解， 则满足|m +1|≤5，解得−6≤m ≤4．∴M =4．(2)由(1)知正数a ，b ，c 满足足a +2b +c =4，即14[(a +b)+(b +c)]=1 ∴1a+b+1b+c =14[(a +b)+(b +c)](1a+b +1b+c )=14(1+1+b+ca+b +a+bb+c )≥14(2+2√b+ca+b ⋅a+bb+c )≥14×4=1， 当且仅当b+ca+b =a+b b+c即a +b =b +c =2，即a =c ，a +b =2时，取等号．∴1a+b +1b+c ≥1成立．。