中考数学复习指导：例谈概率与非概率知识的交汇
中考数学概率知识点归纳
中考数学概率知识点归纳一天天积累，一点点努力，一步步前进，一滴滴汇聚，终于到了中考这一天。
放松心情，面带微笑，保持信心，你必将拥有灿烂的人生。
祝中考顺利!下面是小编给大家带来的中考数学概率知识点，欢迎大家阅读参考，我们一起来看看吧!中考数学概率知识点：随机事件1.随机事件的定义.2·计算简单事件概率的方法，重点学习了两种随机事件概率的计算方法，第一种，只涉及一步实验的随机事件发生的概率，如根据概率的大小与面积的关系，对一类概率模型进行的计算;第二种，通过列表法、列举法、树形图来计算涉及两步或两步以上实验的随机事件发生的概率，如配紫色，对游戏是否公平的计算.3·利用频率估计概率，分为如下两种情况：第一种，利用实验的方法进行概率估算;第二种，利用模拟实验的方法进行概率估算.如利用计算器产生随机数来模拟实验的方法.4.体会大量重复实验中的频率与事件发生的概率之间的关系，通过设计简单的概率模型.重在对事件发生可能性的刻画，来帮助人们在不确定的情境中做出合理的决策，如通过理解什么是游戏对双方公平，用概率的语言说明游戏的公平性，并能按要求设计游戏的概率模型.中考数学备考知识点：随机事件发生的可能性随机事件发生的可能性一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。
对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小。
要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样。
所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题。
中考数学知识点总结：概率统计的9个考点考点1：确定事件和随机事件考核要求：(1)理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，知道确定事件与必然事件、不可能事件的关系;(2)能区分简单生活事件中的必然事件、不可能事件、随机事件。
考点2：事件发生的可能性大小，事件的概率考核要求：(1)知道各种事件发生的可能性大小不同，能判断一些随机事件发生的可能事件的大小并排出大小顺序;(2)知道概率的含义和表示符号，了解必然事件、不可能事件的概率和随机事件概率的取值范围;(3)理解随机事件发生的频率之间的区别和联系，会根据大数次试验所得频率估计事件的概率。
(名师整理)最新数学中考复习《概率》考点精讲课件
2.下列说法中，正确的是( A ) A．不可能事件发生的概率为 0 B．随机事件发生的概率为21 C．概率很小的事件不可能发生 D．投掷一枚质地均匀的硬币 100 次，正面朝上的次数一定为 50 次
6
3．列举法求概率：试验中，可能出现的结果只有有限个，且 各种结果出现的可能性大小相等．
常见的形式有：直接列举法、列表法和画树状图法． (1)直接列举法：适用于单一因素进行的试验．特点：简单、 直接．
13
例题精讲
知识点 1 随机事件
(改编)小伟掷质地均匀的骰子，骰子六个面分别刻有 1 到 6 的点数．则
以下说法正确的是( C )
①出现的点数大于 0，这是必然事件；
②会出现 7 点，这是必然事件；
③出现的点数是 4，这是随机事件；
④投掷 6 次，必有一次的点数是 6.
A．①②③
B．②③④
C．①③
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中考集训
1．一个不透明的袋中，装有 2 个黄球、3 个红球和 5 个白球，它
们除颜色外都相同．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率是( A )
A．12
B．13
C．130
D．15
29
2．某个密码锁的密码由三个数字组成，每个数字都是 0～9 这
十个数字中的一个，只有当三个数字与所设定的密码及顺序完全
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(1)请用列表或画树状图的方法表示出上述游戏中两数之和的
所有可能的结果； 解：根据题意，列表如下．
和乙 678 9
甲 3 9 10 11 12 4 10 11 12 13 5 11 12 13 14
由表格可知两数之和共有 12 种等可能的情况．
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(2)分别求出李燕和刘凯获胜的概率． 解：由(1)可知，两数之和共有 12 种等可能的情况，其中和小 于 12 的情况有 6 种，和大于 12 的情况有 3 种， ∴李燕获胜的概率为162＝12， 刘凯获胜的概率为132＝14.
中考数学概率题型知识点归纳
中考数学概率题型知识点归纳概率是中考数学中的一个重要知识点，它与我们的日常生活息息相关，能够帮助我们理解和预测各种随机现象。
下面就为大家归纳一下中考数学中常见的概率题型及相关知识点。
一、概率的基本概念1、随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件。
2、必然事件在一定条件下，必然会发生的事件称为必然事件。
3、不可能事件在一定条件下，不可能发生的事件称为不可能事件。
4、概率表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率。
概率通常用 P（事件）来表示。
二、概率的计算1、古典概型如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么某个事件 A 发生的概率为 P（A）＝事件 A 包含的结果数÷所有可能的结果数。
例如：一个袋子里装有 5 个红球和 3 个白球，从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是多少？总共有 8 个球，摸到红球的可能性有 5 种，所以摸到红球的概率为5÷8 ＝ 5/8 。
2、列表法和树状图法当一次试验要涉及两个或两个以上因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法或树状图法。
例如：同时抛掷两枚质地均匀的硬币，求出现“一正一反”的概率。
我们可以通过列表法：｜第一枚硬币｜正｜正｜反｜反｜｜｜｜｜｜｜｜第二枚硬币｜正｜反｜正｜反｜共有 4 种等可能的结果，其中“一正一反”的结果有 2 种，所以概率为 2÷4 ＝ 1/2 。
或者通过树状图法：｀｀｀第一枚硬币／＼正反／＼／＼正反正反｀｀｀同样可以得出“一正一反”的概率为 1/2 。
3、几何概型如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。
例如：在一个边长为 4 的正方形内随机取一点，求该点到正方形顶点的距离小于 2 的概率。
此时，点到正方形顶点的距离小于2 的区域是以正方形顶点为圆心，以 2 为半径的四分之一圆，其面积为π×2²×1/4 ＝π。
中考数学知识点梳理第27讲 概率
一、知识清单梳理
知识点一：概率内容
关键点拨
1.概率及公式
定义Байду номын сангаас
表示一个事件发生的可能性大小的数．
例：设有12只型号相同的杯子，其中一等品7只，二等品3只，三等品2只，则从中任意取出一只是二等品的概率是 .
概率公式
P(A)＝ (m表示试验中事件A出现的次数，n表示所有等可能出现的结果的次数)．
(1)一步完成：直接列举法，运用概率公式计算；
(2)两步完成：列表法、画树状图法；
(3)两步以上：画树状图法
树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件.
知识点三：几何概率的计算*
5.几何概率的计算方法
求出阴影区域面积与总面积之比即为该事件发生的概率.
2.用频率可以估计概率
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)＝p＝ .
例：在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则摸到白球的概率为0.7.
3.事件的类型及其概率
几何概率的考查一般结合特殊三边形、四边形或圆的基本性质，不一定把具体的面积求出来，只需要求出比值即可.
事件类型
概率
例：下列4个事件：①异号两数相加，和为负数；②异号两数相减，差为正数；③异号两数相乘，积为正数；④异号两数相除，商为负数．其中必然事件是④，不可能事件是③．
确定性事件
1或0
必然事件
1
不可能事件
0
不确定性事件(随机事件)
0<P(A)<1
中考数学一轮复习课件 概 率
【答案】 (1)画树状图如图所示:
则 P,Q 之间电流通过的概率是3.
4
(2)用树状图表示所有可能结果:
则 P,Q 之间电流通过的概率是7.
8
考点三用频率估计概率
典例3 (2020·合肥包河区二模)在一个不透明的袋子中装有3个
白球和若干个红球,这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机
【答案】 (1)小张被安排从最左边的一个通道进入的概率 P＝1.
4
(2)不合理. 理由:设A表示一等奖的金蛋,B,C,D,E表示二等奖的金蛋,则小 张和小李各砸一个金蛋的情况用树状图表示如下:
由树状图可知,小张获得一等奖的概率为1 ,
5
小李获得一等奖的概率为 4 ＝ 1,所以小张、小李获得一等奖的
用频率估计概率:一般地,在大量重复试验中,如果事件 A 发生的频率 m 稳定于某个常数 p 附近,那么事件 A 发生的概率 P(A)＝⑤ p
n 几何概型:计算公式为 P(A)＝ 构成事件 A 的区域长度(面积或者时间等)
全部结果所构成的区域长度(面积或者时间等)
统计与概率综合
考点一确定事件和随机事件 典例1 (2020·内蒙古通辽)下列事件中是不可能事件的是( ) A.守株待兔 B.瓮中捉鳖 C.水中捞月 D.百步穿杨 【解析】A项,守株待兔是随机事件,故此选项不合题意;B项,瓮中 捉鳖是必然事件,故此选项不合题意;C项,水中捞月是不可能事件, 故此选项符合题意;D项,百步穿杨是随机事件,故此选项不合题意. 【答案】 C
概率
确定事件 必然事件:在一定条件下,肯定会发生的事件
事件的分类
不可能事件:在一定条件下,肯定不会发生的事件
初中数学中的概率知识点梳理
初中数学中的概率知识点梳理概率是数学中一个非常重要的概念，也是我们日常生活中经常会用到的。
在初中数学中，概率是一个比较复杂的知识点，涵盖了多个概念和方法。
本文将从初中数学中的概率知识点进行梳理和总结，帮助大家更好地理解和掌握这一知识。
首先，我们来了解一些基本概念。
概率的基本定义是指某个事件在所有可能事件中发生的相对频率。
例如，掷硬币时正面向上的概率是1/2，也就是说，正面向上的可能性是50%。
概率的取值范围在0至1之间，表示发生的可能性。
其次，我们需要了解一些统计实验中的基本概念。
统计实验是指可以在相同条件下重复进行并且结果不确定的实验。
例如，投掷一颗骰子可以看作是一个统计实验。
在统计实验中，事件是指某个结果，样本空间是指所有可能的结果的集合。
接下来，我们来讨论一些常用的概率计算方法。
首先是加法法则，用于计算两个事件的并集的概率。
如果事件A和事件B是两个互不相容的事件，那么它们的并集的概率可以通过将它们的概率相加来计算。
例如，投掷一颗骰子，事件A为出现奇数点数，事件B为出现小于4的点数，那么事件A和事件B的并集的概率为1/2 + 1/3 = 5/6。
另一个常用的方法是条件概率。
条件概率是指在给定其他事件已经发生的条件下，某一事件发生的概率。
条件概率可以通过用事件的概率除以给定的条件下事件的概率来计算。
例如，从一副扑克牌中抽取一张牌，事件A为抽到红桃，事件B 为抽到的是A，那么事件A在事件B发生的条件下的概率为1/4。
另外，我们还要了解乘法法则和独立事件的概念。
乘法法则是用于计算两个事件同时发生的概率。
如果事件A和事件B是两个相互独立的事件，那么它们同时发生的概率可以通过将它们的概率相乘来计算。
例如，从一副扑克牌中抽两张牌，第一张抽到红桃的概率是1/4，第二张抽到黑桃的概率是1/2，那么两张牌都是红桃和黑桃的概率为1/4 * 1/2 = 1/8。
概率还可以通过频率的方法进行估算。
频率是指某个事件在一系列重复实验中发生的次数与总实验次数的比值。
中考数学复习 第17课时 概率
第17课时概率【课标要求】【知识考点】必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件确定事件不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件1．概率初步随机事件：在一定条件下，有可能发生，也有可能不发生的事件概率：表示随机事件发生的可能性的大小的数值叫做概率，必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率在0和1之间用列举法求概率：用列表或画树形图把所有可能的结果一一列举出来，然后再求事件的概率的方法用频率估计概率：利用多次重复试验，通过统计试验结果去估计概率2.总之，任何事件E发生的概率P(E)都是0和1之间（也包括0和1）的数，即0≤P(E)≤1.【中考试题】一．选择题1.（2020四川凉山）下列说法正确的是（ ）A ．随机抛掷一枚均匀的硬币，落地后反面一定朝上.B ．从1，2，3，4，5中随机取一个数，取得奇数的可能性较大.C ．某彩票中奖率为，说明买100张彩票，有36张中奖.D ．打开电视，中央一套正在播放新闻联播.2.（2010福建泉州）下列事件为必然事件的是（ ）A ．打开电视机，它正在播广告B ．抛掷一枚硬币，一定正面朝上C ．投掷一枚普通的正方体骰子，掷得的点数小于7D ．某彩票的中奖机会是1%，买1张一定不会中奖3．（2020•江苏徐州）下列事件中属于随机事件的是（ ）A 、抛出的篮球会落下B 、从装有黑球，白球的袋里摸出红球C 、367人中有2人是同月同日出生D 、买1张彩票，中500万大奖 4．（2020年，3分）同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子（骰子每个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6）．下列事件中是必然事件的是（ ）A ．两枚骰子朝上一面的点数和为6B ．两枚骰子朝上一面的点数和不小于2C ．两枚骰子朝上一面的点数均为偶数D ．两枚骰子朝上一面的点数均为奇数 5．（2020年，3分）下列事件中，属于不可能事件的是（ ）A ．某个数的绝对值小于0B ．某个数的相反数等于它本身0036C ．某两个数的和小于0D ．某两个负数的积大于0 6．如图，甲为四等分数字转盘，乙为三等分数字转盘．同时自由转动两个转盘，当转盘停止转动后(若指针指在边界处则重转)，两个转盘指针指向数字之和不超过4的概率是（ ）A ．65 B ． 31 C ． 32 D ． 217．在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球2个，摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是（ ） A ． 12B ．13C ． 16D ．18 8．（2020江苏连云港）已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为，下列说法正确的是（ ）A ．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上B ．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上C ．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现下面朝上50次D ．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的9.（2020•江苏宿迁）如图，将一个可以自由旋转的转盘等分成甲、乙、丙、丁四个扇形区域，若指针固定不变，转动这个转盘一次（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止），则指针指在甲区域内的概率是（ ）A ．1B ．C ．D ． 10.（2020•广东汕头）在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为（ ）12213141A、B、 C、D、11.（2020•贺州）在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中黄球1个，红球1个，白球2个，“从中任意摸出2个球，它们的颜色相同”这一事件是（）A、必然事件B、不可能事件C、随机事件D、确定事件12.（2020•柳州）袋子中装有2个红球和4个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机从袋子中摸出1个球，则这个球是红球的概率是（）A、B、C、D、13.（2020湖州）下列事件中，必然事件是（）A．掷一枚硬币，正面朝上B．a是实数，|a|≥0C．某运动员跳高的最好成绩是20.1米D．从车间刚生产的产品中任意抽取一个，是次品14.（2020黑龙江大庆）某商场为促销开展抽奖活动，让顾客转动一次转盘，当转盘停止后，只有指针指向阴影区域时，顾客才能获得奖品，下列有四个大小相同的转盘可供选择，使顾客获得奖品可能性最大的是（）A、B、C、D、15.（2020山东滨州）四张质地、大小、背面完全相同的卡片上,正面分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形四个图案.现把它们的正面向下随机摆放在桌面上,从中任意抽出一张,则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为( )A. B. C. D. 1 16.（2020•临沂）如图，A 、B 是数轴上两点．在线段AB 上任取一点C ，则点C 到表示﹣1的点的距离不大于2的概率是（）A 、 B 、 C 、 D 、 17.（2020年四川省绵阳市）抛掷一个质地均匀且六个面上依次刻有1-6的点数的正方体型骰子，如图．观察向上的一面的点数，下列情况属必然事件的是（ ）A 、出现的点数是7B 、出现的点数不会是0C 、出现的点数是2D 、出现的点数为奇数18.（2020四川遂宁）一幅扑克牌（不含大小王），任意抽取一张，抽中方块的概率是（ ）A 、B 、C 、D 、 19.（2020福建省漳州市）下列事件中，属于必然事件的是（ ）A 、打开电视机，它正在播广告B 、打开数学书，恰好翻到第50页C 、抛掷一枚均匀的硬币，恰好正面朝上D 、一天有24小时 20.（2020•湖南张家界）下列事件中，不是必然事件的是（ ）A 、对顶角相等B 、内错角相等C 、三角形内角和等于180°D 、等腰梯形是轴对称图形 1412341223344521521314121.下列事件是必然事件的是（ ）A 、抛掷一次硬币，正面朝上B 、任意购买一张电影票，座位号恰好是“7排8号”C 、某射击运动员射击一次，命中靶心D 、13名同学中，至少有两名同学出生的月份相同22.下列说法正确的是（ ）A 、要调查人们对“低碳生活”的了解程度，宜采用普查方式B 、一组数据3，4，4，6，8，5的众数和中位数都是3C 、必然事件的概率是100%，随机事件的概率是50%D 、若甲组数据的方差S 甲2=0.128，乙组数据的方差S 乙2=0.036；则乙组数据比甲组数据稳定23.（2020贵州毕节）为备战中考，同学们积极投入复习，李红书包里装有语文试卷3张、数学试卷2张、英语试卷1张、其它学科试卷3张，从中任意抽出一张试卷，恰好是数学试卷的概率是( )A ．B ．C ．D ． 24.（2020浙江绍兴）在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为（ ）A ．2B ．4C ．12D ．16 412191923225.（2020福建省三明市）有5张形状、大小、质地均相同的卡片，背面完全相同，正面分别印有等边三角形、平行四边形、菱形、等腰梯形和圆五种不同的图案．将这5张卡片洗匀后正面朝下放在桌面上，从中随机抽出一张，抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为（）A、 B、 C、 D、26．（2020湖南常德）在某校艺体节的乒乓球比赛中，李东同学顺利进入总决赛，且个人技艺高超，有同学预测“李东夺冠的可能性是80%”，对该同学的说法理解正确的是（）A．李东夺冠的可能性较 B. 李东和他的对手比赛10局时，他一定会赢8局C．李东夺冠的可能性较大 D. 李东肯定会赢27.（2020广东省茂名）如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的直径为分米，若在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆子落在正方形ABCD内的概率是（）A、 B、C、D、28.（2020广东深圳）如图是两个可以自由转动的转盘，转盘各被等分成三个扇形，并分别标上1，2，3和6，7，8这6个数字．如果同时转动两个转盘各一次（指针落在等分线上重转），转盘停止后，则指针指向的数字和为偶数的概率是（）A、 B、 C、 D、1525354522π2π12π2π12294913二．填空题1.（2020盐城）“任意打开一本200页的数学书，正好是第35页”，这是事件（选填“随机”或“必然”）．2．（2010年，3分）在猜一商品价格的游戏中，参与者事先不知道该商品的价格，主持人要求他从图8的四张卡片中任意拿走一张，使剩下的卡片从左到右连成一个三位数，该数就是他猜的价格．商品的价格是360元，那么他一次就能猜中的概率是．3.（2020重庆江津区）在一个袋子里装有10个球，其中6个红球，3个黄球，1个绿球，这些球除颜色外，形状、大小、质地等完全相同，充分搅匀后，在看不到球的条件下，随机从这个袋子中摸出一球，不是红球的概率是4.（2020四川广安）在一只不透明的口袋中放人只有颜色不同的白球6个，黑球4个，黄球个，搅匀后随机从中摸取—个恰好是黄球的概率为，则放人的黄球总数＝_____________．5.（2020四川凉山）如图，有三个同心圆，由里向外的半径依次是2cm，4cm，6cm将圆小球，四，并将该．8.（2020重庆）有四张正面分别标有数字－3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a，则使关于x的分式方程＋2＝有正整数解的概率为．9.（2020•贺州）在4张完全相同的卡片上分别画上图①、②、③、④．在看不见图形的情况下随机抽取一张，卡片上的图形是中心对称图形的概率是10.（2020山东菏泽）从﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取一个数，作为关于x的一元二次方程x2﹣x+k=0中的k值，则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是n13n12axx--12x-图811.（2020福建福州）已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为3：7．如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，则落在陆地上的概率是．12.（2020山东烟台）如图，在两个同心圆中，四条直径把大圆分成八等份，若往圆面投掷飞镖，则飞镖落在黑色区域的概率是 .13.(2020四川雅安)随意掷一枚正方体骰子，均落在图中的小方格内（每个方格除颜色外完全相同），那么这枚骰子落在阴影小方格中的概率为；14.（2020湖州）某校对初三（2）班40名学生体育考试中“立定跳远”项目的得分情况进行了统计，结果如下表，得分10分9分8分7分6分以下人数（人）20 12 5 2 1“立定跳远”得分恰好是10分的概率是（第15题15.（2020黑龙江省黑河）中国象棋红方棋子按兵种不同分布如下：1个帅，5个兵，“士、象、马、车、炮”各两个，将所有棋子反面朝上放在棋盘中，任取一个不是士、象、帅的概率 ．16.（2020湖南衡阳）某一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒．当你抬头看信号灯时，是黄灯的概率是 ．17.（2020湖南长沙）在某批次的l00件产品中，有3件是不合格产品，从中任意抽取一件检验，则抽到不合格产品的概率是___________．18.（2020年湖南省湘潭市）端午节吃粽子是中华民族的习惯．今年农历五月初五早餐时，小明妈妈端上一盘子，其中有3个肉馅粽子和7个豆沙馅粽子，小明从中任意拿出一个，恰好拿到肉馅粽子的概率是19.（2020湖南益阳）在﹣1，1，2这三个数中任选2个数分别作为P 点的横坐标和纵坐标，过P 点画双曲线y ＝，该双曲线位于第一．三象限的概率是 ．20.（2020辽宁阜新）掷一枚均匀的正方体，6个面上分别标有数字1，2，3，4，4，6，随意掷出这个正方体，朝上的数字不小于“3”的概率为 ．三．解答题1．(2020年昆明6分)某商场开展购物抽奖活动，抽奖箱中有3个形状、大小和质地等完全相同的小球，分别标有数字1、2、3．顾客从中随机摸出一个小球，然后放回箱中，再随机摸出一个小球．(1)利用树形图法或列表法(只选其中一种)，表示摸出小球可能出现的所有结果；(2)若规定：两次摸出的小球的数字之积为9，则为一等奖；数字之积为6，则为二等奖；数字之积为2或4，则为三等奖．请你分别求出顾客抽中一等奖、二等奖、三等奖的概率．k x2.（2020甘肃兰州7分）今年起，兰州市将体育考试正式纳入中考考查科目之一，其等级作为考生录取的重要依据之一。
2025年中考数学一轮复习++课件：第三十四讲+概率初步
面印有豫剧经典剧目人物的三背面朝上洗匀,从中随机抽取一张,放回洗匀后,再从中随机抽取一张,两次抽取
的卡片正面相同的概率为( D )
1
A.
9
1
B.
6
1
C.
5
1
D.
3
2.(2024·山西中考)一个不透明的盒子里装有一个红球、一个白球和一个绿球,这些
球除颜色外都相同.从中随机摸出一个球,记下颜色后不放回,再从中随机摸出一个
D.从《西游记》《红楼梦》《三国演义》《水浒传》这四本书中随机抽取一本是
《三国演义》
2.(2024·武汉中考)小美和小好同学做“石头、剪刀、布”的游戏,两人同时出相同
的手势,这个事件是( A )
A.随机事件
B.不可能事件
C.必然事件
D.确定性事件
【名师点金】
判断确定事件的方法
(1)事件肯定会发生,是确定事件;事件根本不会发生,也是确定事件;
∴抽中C卡片的概率是 .
答案:
(2)四张卡片内容中是化学变化的有:A,D,
画树状图如图:
共有12种等可能的结果,
其中小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有:AD,DA,共2种,
∴小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为 = .
【跟踪训练】
1.(2024·临沂中考)豫剧是国家级非物质文化遗产,因其雅俗共赏,深受大众喜爱.正
(3)列表为:
甲
甲
乙
乙,甲
丙
丙,甲
乙
丙
甲,乙
甲,丙
乙,丙
丙,乙
由表格可知共有6种等可能结果,其中抽中甲的有4种,
故甲被抽中的概率为 = .
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例谈概率与非概率知识的交汇
例谈概率与非概率知识的交汇
新课标实施以来，概率问题成为新增的一道亮丽的风景，成为中考必考知识点之一，同
时新考纲也强调：“在考试中创设比较新颖的问题情境，构造有一定深度和广度的数学问题，
要注重问题的多样化，体现思维的发散性”，以及“从学科的整体高度和思维价值的高度考虑
问题，在知识网络交汇点设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度”等等。从而
在近年的中考试题中，为了考查概率的意义，出现了一类以非概率知识为载体的概率题型，
其形式活泼、格调清新，不由得使人眼前为之一亮.现采撷数例，供读者学习鉴赏.
一、概率与实数的交汇
例1.在5张卡片上分别写有实数722，2，2π，3.14，27，从中随机抽取一张卡片，
抽到无理数的概率是
解析:本题考查了无理数的概念和计算概率的能力,它主要考查运用列举法计算事件发生
的概率,从五张不透明的卡片中抽取一张,有5种可能情况,其中抽到无理数卡片的情况有3种,
所以概率是.53正确判断27,2,2π是无理数为解题关键.
例2.从1～4这4个数中任取一个数作分子，从2～4这3个数中任取一个数作分母，组
成一个分数，则出现分子、分母互质的分数的概率为______.
解析：依条件列表分析如下：
分子
分母
1 2 3 4
2 1/2 2/2 3/2 4/2
3 1/3 2/3 3/3 4/3
4 1/4 2/4 3/4 4/4
在3×4=12个分数中，分子、分母互质的分数有12、32、13、23、43、14、34共7个，
因此分子、分母互质的分数的概率为
7
12
.
评注：用列表法分析出可组成12个分数与正确理解“分子、分母互质的分数”的意义都
是解题的关键.
二、概率与方程的交汇
例3.在一个不透明的口袋中装有红、白、黑三种颜色的小球若干个，它们只有颜色不同，
其中有白球2个、黑球1个．已知从中任意摸出1个球得白球的概率为12．
⑴求口袋口有多少个红球；⑵求从袋中一次摸出2个球，得一红一白的概率．要求画出
树状图．
分析: ⑴根据列举法求概率列方程；⑵通过画树状图求概率.
解：⑴设袋中有x个红球，据题意得21212x=++，解得1x=．∴袋中有红球1个．
⑵画树状图如图：
P∴（摸得一红一白）41123==
．
三、概率与函数的交汇
例4.已知函数5−=xy，令21=x、1、23、2、25、3、27、4、29、5，可得函数图象
上的十个点．在这十个点中随机取两个点
),(
11yxP、),(22
yxQ，则P、Q
两点在同一反比
例函数图象上的概率是（ ）
（A）
91 （B）454 （C）457 （D）5
2
解析：由已知条件可得这十个点的坐标为：（21，29−）、（1，－4）、（23，
2
7
−
）、
（2，－3）、（25，25−）、（3，－2）、（27，23−）、（4，－1）、（29、
2
1
−
）、
（5，0）
其中，在同一反比例函数图象上的点为：（21，29−）与（29、
2
1
−
）；（1，－4）
与（4，－1）；（23，27−）与（27，
2
3
−
）；（2，－3）与（3，－2）这4组.则从10个
点中随机取出两个点共有：45种取法。于是，可知， P（P、Q两点在同一反比例函数图象
上）=454，故选
B
评注：本题以一次函数图象上的点是否满足二次函数解析为背景，创设的一道概率题，
考查了函数值的意义，以及点在反比例函数图象上所满足的条件与概率之间的关系，既生动
白
1
白
2
红
黑
白2 红 黑 白1 红 黑 白2 白1 白2 白
1
黑
红
第一个球
第二个球
又有趣。
例5.抛掷红、蓝两枚六面编号分别为1～6（整数）的质地均匀的正方体骰子，将红色
和蓝色骰子正面朝上的编号分别作为二次函数
y=x
2
+mx+n的一次项系数m和常数项n的值。
（1）问这样可以得到多少个不同形式的二次函数？（只需写出结果）
（2）请求出抛掷红、蓝骰子各一次，得到的二次函数图象顶点恰好在x轴上的概率是
多少？并说明理由。
解析：（1）可以得到6×6=36个不同形式的二次函数。
（2）
y=x
2
+mx+n=4)2(22mnmx−++
∵二次函数图象顶点在x轴上，∴042=−mn ∴m=n4=2n（其中n，m为1～
6
的整数）
根据上式可知，当n取1～6中的完全平方数时，上式才有可能成立。
∴n的值只能取完全平方数1和4。
通过计算可知，当n=1，m=2和n=4，m=4满足
0
4
2
=−mn
由此抛掷红、蓝骰子各一次，得到的二次函数图象顶点在轴上的概率是：
362=18
1
评注：本题把抛掷骰子与二次函数相结合，设置概率问题情境，同时考查了二次函数的
意义、性质、概率的计算方法，具有一定的综合性。
四、概率与几何的交汇
例6.在“等边三角形、正方形、等腰梯形、正五边形、矩形、正六边形”中，任取其中一
个图形，恰好既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率为
______.
解析：在所给的6个图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的有：正方形、矩形、
正六边形，共3个.故所求概率为
31
62
=
.
评注：这也是一道直接根据概率的意义就可以求解的概率问题，但若是对“中心对称图
形”与“轴对称图形”两个概念的意义含混不清，则也难以解答
.
例7.在一次数学活动中，黑板上画着如图所示的图形，活动前老师
在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式：
①ABDC=②ABEDCE∠=∠ ③AEDE=④
AD
∠=∠
A
D
E
B
C
小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的纸片中随机抽取另一张．请
结合图形解答下列两个问题：
（1）当抽得①和②时，用①，②作为条件能判定BEC△是等腰三角形吗？说说你的
理由；
（2）请你用树状图或表格表示抽取两张纸片上的等式所有可能出现的结果（用序号表
示），并求以已经抽取的两张纸片上的等式为条件，使BEC△不能．．构成等腰三角形的概率．
分析: （1）根据角角边可判定ABEDCE△≌△,从而得到BE=CE. （2）通过画树状
图分析抽取的两张纸片上的等式可能出现的结果,分析不能构成等腰三角形的情况,即可求出
所求概率
.
解：（1）能．
理由：由ABDC=，ABEDCE=∠∠，AEBDEC=∠∠，
得ABEDCE△≌△．BECE∴=，BEC∴△是等腰三角形．
（2）树状图：
所有可能出现的结果（①②）（①③）（①④）（②①）（②③）（②④）（③①）（③②）
（③④）（④①）（④②）（④③）
.
由树状图可以看出，抽取的两张纸片上的等式可能出现的结果有12种，它们出现的可
能性相等，不能构成等腰三角形的结果有4种，所以使BEC△不能构成等腰三角形的概率
为13．
五、概率与物理知识的交汇
例8.如图．电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭
合开关D或同时闭合开关A，B，C都可使小灯泡发光
.
(1)任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于＿＿＿；
(2)任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率.
解析：（1）任意闭合A、B、C、D四个开关中的一个开关，只有闭合开关D，小灯泡
① ② ③ ④ ② ① ③ ④ ③ ① ② ④ ④ ① ② ③ 开始 后抽取的纸片序号 先抽取的纸片序号
才发光，所以，任意闭合其中一个开关，小灯泡发光的概率是
1
4
.
（2）正确画出树状图（或列表）
.
任意闭合其中的两个开关的情况共有12种，其中能使小灯泡发光的情况有6种，所以，
小灯泡发光的概率是
1
2
.
评注：此题是一道以物理中的电学知识为背景来计算概率的数学问题.用树形图正确分
析出任意闭合其中两个开关共有12种等可能情形与能使小灯泡发光的情况有6种都是求解
第（2）小题的关键
.