20121108_考研高数冲刺班笔记-张宇
考研高数精品笔记
(二)性质：1.∫aaf (x )dx =02.∫ba f (x )dx =‒∫ab f (x )dx 3.∫ba kf (x )dx =k ∫ba f (x )dx4.∫ba [f 1(x )±f 2(x )]=∫ba f 1(x )dx ±∫ba f 2(x )dx 5.∫ba f (x )dx =∫ca f (x )dx +∫bc f (x )dx6.若f(x)≥0，x [a,b]，则∈∫ba f (x )dx ≥07.若f(x)≥g(x) ，x [a,b]，则∈∫ba f (x )dx ≥∫ba g (x )dx8.m ≤f(x)≤M ，x [a,b]，则m(b-a)≤≤M(b-a)∈ ∫ba f (x )dx (三)基本定理1.积分中值定理：f(x)在[a,b]连续，则在[a,b]中存在一点，使得ξ∫ba f (x )dx =f (ξ)(b ‒a)常把f(称为积分平均值。
ξ) 2.变限积分：函数变上限φ(x )=∫xa f (t )dt φ'(x)=f(x)变下限φ(x )=∫b x f (t )dtφ'(x)=‒f(x)φ(x )=∫u(x)af (t )dtφ'(x)=f[u (x )]∙u'(x)φ(x )=∫bv(x)f (t )dt φ'(x)=‒f[v (x )]∙v'(x)φ(x )=∫u(x)v (x)f (t )dt φ'(x)=f [u (x )]∙u '(x )‒f[v (x )]∙v'(x )3.牛顿-莱布尼茨公式:F’(x)=f(x)则∫ba f (x )dx =F (x )|ba =F (b )‒F(a)第3节反常积分（广义积分）定积分：（1）有限区间。
（2）区间内有界。
(一)无穷区间上的广义积分，若极限存在，称广义积分是收敛的。
若极限不∫+∞a f (x )dx =lim b→+∞∫ba f (x )dx存在，称广义积分是发散的。
3、张宇考研数学概率论与数理统计讲义强化班(无水印文字版)-41页
张宇考研数学概率论与数理统计强化讲义
【注】
犉（狓）＝△ 犘｛犡 ≤狓｝＝ 犘｛－ ∞ ≤ 犡 ≤狓｝
狓
∫ ＝ 犳（狋）ｄ狋（连） －∞
４犡～犉（狓）＜狆犳犻（狓→）分→布概律率密度
＝ ∑狆犻．（离） 狓犻≤狓
烄① 单调不减；
（１）犉（狓）是某个狓 的分布函数 烅②犉（－ ∞）＝０，犉（＋ ∞）＝１；
③
烆犘（犃１犃２犃３）＝ 犘（犃１）犘（犃２）犘（犃３）．④
【注】若只满足 ①②③，称犃１，犃２，犃３ 两两独立．
【例】［取自《张宇概率论与数理统计９讲》Ｐ２３，例１．３３］
将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：犃１ ＝ ｛掷第一次出现正面｝，犃２ ＝ ｛掷第二次出
现正面｝，犃３ ＝ ｛正反面各出现一次｝，犃４ ＝ ｛正面出现两次｝，则事件（ ）．
【例２】［取自《张宇考研数学闭关修炼一百题·习题分册》Ｐ４２，８１］ 要验收一批乐器，共１００件，从中随机地取３件来测试（设３件乐器的测试是相互独立 的），如果３件中任意一件经测试被认为音色不纯，这批乐器就被拒绝接收．设一件音色不 纯的乐器经测试被查出的概率为０．９５，而 一 件 音 色 纯 的 乐 器 经 测 试 被 误 认 为 不 纯 的 概 率 为０．０１．如 果 已 知 这１００件 乐 器 中 有４件 是 音 色 不 纯 的 ，问 这 批 乐 器 被 接 收 的 概 率 是 多少？ 【分析】
④（犡，犢）的犉（狓，狔），犳（狓，狔）； ⑤犣 ＝犵（犡，犢）的犉犣（狕），犳犣（狕）；
⑥犘｛（犡，犢）∈犇｝＝ 犳（狓，狔）ｄσ． 犇
（３）求数字特征． （４）狀→ ∞ 时的若干重要概率规律． （５）估计与评价．
—１—
张宇考研数学概率论与数理统计强化讲义
张宇高数讲义
(
x)
=
⎧⎪ x 2 ⎨
cos
1 x2
,
⎪⎩0,
x≠0。 x=0
则在 (−∞, + ∞) 内下列正确的是：
( A) f ( x)不连续且不可微，F ( x)可微，且为f ( x)的原函数 ( B) f ( x)不连续，不存在原函数 ，因而F ( x)不是f ( x)的原函数 (C ) f ( x)和 F ( x)均为可微函数，且 F ( x)为f ( x)的一个原函数 ( D) f ( x)连续，且F′( x) = f ( x)
故
原式
=
lim
x→0
tan
x− x3
sin
x
=
lim
x→0
tan x
x
⋅
1
−
cos x2
x
=
1
.
2
【例
5】求
⎡
lim
x→∞
⎢⎣
x
−
x2
ln⎜⎛1 ⎝
+
1 x
⎟⎠⎞⎥⎦⎤
解
令
x
=
1 t
解：可以验证 x = 0 为 f ( x) 的第二类间断点，因为：
lim
x→0
f
(x)
=
0+
lim
x→0
2 x
sin
1 x2
，故
x
=
0
为
f
( x) 的第二类振荡间断点，可能存在原函数。
又：
F′(0)
=
lim
x2
cos
1 x2
−0
=
0,
故F ( x)可微。即：
x→0 x − 0
张宇高数笔记
张宇高数笔记(总13页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一章节 极限与连续数列收敛（有极限），则：①任何子列都收敛，反之就不是收敛数列。
②它的极限存在且唯一。
③它是有界的。
（收敛一定有界，但有界不一定收敛，可能振荡） ④它有保号性。
数列极限存在的解题手段： ①夹逼法。
②定积分定义法。
③对于给定递推式的数列求极限：（1）用单调有界证明极限存在，然后让等式两边极限相等解出A 。
（2）先斩后奏解出A ，然后用压缩映象原理列出|x x −x |<k |x x −1−x |，其中0<k <1④对于未给出递推式的数列求极限：根据题设条件得出x x +1和x x 的递推关系，然后用③的方法。
⑤充分运用题目中给出的函数关系式：（1）x x +1=x (x x )，x (ξ)=x ；则x x +1−x x =x (x x )−x (x x −1)，|x x +1−x |=|x (x x )−x (x )|（2）任何|x ′(x )|≤k 的函数，都可由拉氏定理得|x (x 1)−x (x 2)|≤x |x 1−x 2|（3）若知x (x )的单调性，可把x x +1和x x 的大小判断转化为对x (x x +1)和x (x x )的判断。
（4）若给出x x +1=x (x x )，x ′(x )和x 0的初值，则用拉氏定理:|x x +1−x 0|=|x (x x )−x (x 0)|=|x′(x )(x x −x 0)|≤A |(x x −x 0)|压缩映象⑥对于累加型数列x x =∑x (x ,x )x x =1求极限，常用无穷项相加放缩的方式夹逼出来。
函数极限存在（设为A ），则：①左右极限都为A 。
（证明题证极限存在的思路） ②唯一性、有界性、保号性。
③∀ε>0,∃δ>0,当0<|x −x 0|<δ时，有|f (x )−A |<ε此定义在广义上，ε可以为任何形式，但必须满足“可以任意小”。
张宇数学基础班笔记
张宇数学基础班笔记一、 三种层次层次一：感知——形式上 层次二：再现——本质上注1：2013年人数众多、题目特别难注2：洛必达法则在两种情况下要慎用：（狠下功夫） （1） f(x)/g(x)时，f 、g 为抽象函数 （2） f(x)/g(x)时，f 、g 含参数（半抽象）注3：洛必达法则的证明及其使用前提、拉格朗日中值定理的证明之类的题要注意注4：有限个无穷小的和是无穷小；有限个无穷小的积是无穷小。
无限个无穷小的 和不一定是无穷小；无限个无穷小的积也不一定是无穷小。
（到此为止）层次三：融通——解题能力（听课听得懂、看书看得懂，都不算解题能力，应该是在无任何提示的情况下独立做对题目）1. 泰勒公式：碰上此类难背的工具——具体学、不抽象学、不单纯背书。
用泰勒公式解决A+/-B 型函数的极限计算——泰勒公式是等价替换的精确化；等价替换是近似代换，泰勒公式是精确代换。
——泰勒公式：事不过三，只记两项。
SinX=X-1/6（(X)的三次方）o(X 的m 次方)——代表任何一个X 的m 次方的高阶无穷小arcsinX-arctanX=1/2(X3)sinX-tanX=-1/2(X3) 注意：lim （A+B ）=limA+limB ——后验逻辑（极限计算：能不能拆？拆了再说。
）注意：通法——目标：干掉f （x ）去掉抽象函数，分母相同时直接（2）式－（1）式 练习：SinX+X~2X二、三、 真题——好又多（1987-2001-2012：一、二、三、四）四、大纲——不能拘泥大纲五、特点（高数）1．注意：答题纸跟草稿纸非常像，一定小心。
不要塞进草稿纸2．高等数学难度加大，远远高于线代、概率。
重点在高数。
3．重心前移：在二重积分及其以前。
4．数学二的真题最有价值——最好的习题：数学二、四。
5．必备资料：（1）教材：高等数学：同济大学第六版（2）辅导书：（很好）概率：陈希孺院士、高数18讲（3）真题：2013考研数学历年真题分析与演练第二讲高等数学考试内容分析1.关于函数：(1)复合——分段函数的复合(2)（必考）考察函数的微分或者积分形式下的四个性质：奇偶性、单调性、周期性、有界性。
张宇高数30讲笔记
张宇高数30讲笔记
张宇高数30讲是一套备受学生欢迎的高等数学教学视频，这里我将为你提供一些关于张宇高数30讲的笔记。
1. 张宇高数30讲的内容涵盖了高等数学的基础知识和重要概念，包括函数、极限、导数、微分、积分等。
这些知识是高等数学学习的基础，对于理解和掌握高等数学的其他分支如微积分、线性代数等都非常重要。
2. 在函数部分，张宇讲解了函数的定义、性质、图像和常见函数的特点。
他通过举例和图示的方式生动地解释了函数的概念，帮助学生建立起对函数的直观理解。
3. 极限是高等数学中的重要概念，张宇在讲解极限时注重深入浅出，通过一些典型的极限例题，帮助学生理解极限的概念和计算方法。
4. 在导数和微分部分，张宇详细介绍了导数的定义和性质，以及一些常见函数的导数计算方法。
他还讲解了微分的概念和应用，如泰勒展开等。
5. 积分是高等数学中的另一个重要概念，张宇在讲解积分时着
重讲解了定积分和不定积分的概念、性质和计算方法。
他通过一些
实例和练习题，帮助学生掌握积分的基本技巧。
6. 在整个教学过程中，张宇注重培养学生的解题思维和方法，
他强调理论与实践的结合，通过一些典型例题和考点分析，帮助学
生掌握解题的技巧和方法。
7. 张宇高数30讲的教学风格幽默风趣，讲解深入浅出，容易
理解。
他善于用生动的语言和具体的例子解释抽象的数学概念，帮
助学生建立起对数学的兴趣和信心。
总结起来，张宇高数30讲是一套内容丰富、讲解详细、教学风
格幽默的高等数学教学视频。
通过学习这套视频，学生可以全面掌
握高等数学的基础知识和解题技巧，为后续的学习打下坚实的基础。
考研数学冲刺高数知识点梳理
考研数学冲刺高数知识点梳理第一章函数、极限与连续1、函数的有界性2、极限的定义(数列、函数)3、极限的性质(有界性、保号性)4、极限的计算(重点)(四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、泰勒公式、重要极限、单侧极限、夹逼定理及定积分定义、单调有界必有极限定理)5、函数的连续性6、间断点的类型7、渐近线的计算第二章导数与微分1、导数与微分的定义(函数可导性、用定义求导数)2、导数的计算(“三个法则一个表”：四则运算、复合函数、反函数，基本初等函数导数表;“三种类型”：幂指型、隐函数、参数方程;高阶导数)3、导数的应用(切线与法线、单调性(重点)与极值点、利用单调性证明函数不等式、凹凸性与拐点、方程的根与函数的零点、曲率(数一、二))第三章中值定理1、闭区间上连续函数的性质(最值定理、介值定理、零点存在定理)2、三大微分中值定理(重点)(罗尔、拉格朗日、柯西)3、积分中值定理4、泰勒中值定理5、费马引理第四章一元函数积分学1、原函数与不定积分的定义2、不定积分的计算(变量代换、分部积分)3、定积分的定义(几何意义、微元法思想(数一、二))4、定积分性质(奇偶函数与周期函数的积分性质、比较定理)5、定积分的计算6、定积分的应用(几何应用：面积、体积、曲线弧长和旋转面的面积(数一、二)，物理应用：变力做功、形心质心、液体静压力)7、变限积分(求导)8、广义积分(收敛性的判断、计算)第五章空间解析几何(数一)1、向量的运算(加减、数乘、数量积、向量积)2、直线与平面的方程及其关系3、各种曲面方程(旋转曲面、柱面、投影曲面、二次曲面)的求法第六章多元函数微分学1、二重极限和二元函数连续、偏导数、可微及全微分的定义2、二元函数偏导数存在、可微、偏导函数连续之间的关系3、多元函数偏导数的计算(重点)4、方向导数与梯度5、多元函数的极值(无条件极值和条件极值)6、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线第七章多元函数积分学(除二重积分外，数一)1、二重积分的计算(对称性(奇偶、轮换)、极坐标、积分次序的选择)2、三重积分的计算(“先一后二”、“先二后一”、球坐标)3、第一、二类曲线积分、第一、二类曲面积分的计算及对称性(主要关注不带方向的积分)4、格林公式(重点)(直接用(不满足条件时的处理：“补线”、“挖洞”)，积分与路径无关，二元函数的全微分)5、高斯公式(重点)(不满足条件时的处理(类似格林公式))6、斯托克斯公式(要求低;何时用：计算第二类曲线积分，曲线不易参数化，常表示为两曲面的交线)7、场论初步(散度、旋度)第八章微分方程1、各类微分方程(可分离变量方程、齐次方程、一阶线性微分方程、伯努利方程(数一、二)、全微分方程(数一)、可降阶的高阶微分方程(数一、二)、高阶线性微分方程、欧拉方程(数一)、差分方程(数三))的求解2、线性微分方程解的性质(叠加原理、解的结构)3、应用(由几何及物理背景列方程)第九章级数(数一、数三)1、收敛级数的性质(必要条件、线性运算、“加括号”、“有限项”)2、正项级数的判别法(比较、比值、根值，p级数与推广的p级数)3、交错级数的莱布尼兹判别法4、绝对收敛与条件收敛5、幂级数的收敛半径与收敛域6、幂级数的求和与展开7、傅里叶级数(函数展开成傅里叶级数，狄利克雷定理)小提示：目前本科生就业市场竞争激烈，就业主体是研究生，在如今考研竞争日渐激烈的情况下，我们想要不在考研大军中变成分母，我们需要：早开始+好计划+正确的复习思路+好的辅导班（如果经济条件允许的情况下）。
2012海天考研张宇强化班高等数学下(18讲的部分)
2012年张宇考研数学高等数学（下）强化班内部讲义先修课程（高等数学复习导学班）视频地址：新浪微博——宇哥考研：/zhangyumaths 【本讲义参考文献】《考研数学高等数学18讲》，张宇 编著. 中国书籍出版社 《考研数学题源探析经典1000题》，张宇 编著. 北京理工大学出版社第9讲 多元函数微分学从本讲开始进入多元函数的体系，本讲内容是考研绝对的重点，一般会在每年的考试中出至少一个小题（4分）和一个大题（10分左右），有时结合其他知识出综合题.本讲我们只讲多元函数微分学的公共考点，有三个，分别为：1）五个基本概念；2）多元函数微分法；3）多元函数的极值与最值问题。
第一节 多元微分学的五个基本概念1、极限存在性定义 设二元函数f (x , y )定义在区域D 上,点P 0(x 0, y 0)在D 内或者在D 的边界上，如果存在常数A , 对于任给的正数ε，总存在正数δ, 只要点(,)P x y D ∈满足00<PP δ=<，恒有| f (x ,y )−A |<ε 成立, 则称A 为函数f (x , y )当(x , y )→(x 0, y 0)时的极限, 记为0lim (,)x x y y f x y A →→=.这极限也称为二重极限.这里有两点说明.第一，二元函数的极限怎么计算？在考研中这个要求不高.举个例子.【例1】设222222,0(,)0 0xy x y x y f x y x y ⎧+≠00lim (,)x y ⎪+=⎨⎪+=⎩，求f x y →→．【解】因为220|(,)|0xyf x y x y ≤+，由夹逼准则，． 0lim (,)0x y f x y →→=第二，所谓二元函数的极限（二重极限）存在，是指以任何方式趋于时，相应的极限值都为同一个常数),(y x P ),(00y x P A （你是否还记得，在一元函数的极限计算中我们就反复强调：“极限若存在，必唯一”）．故，如果以不同方式趋于时，函数趋于不同的值，则可以判定该函数在点的极限值不存在．在考研中这个要求也不高.再举个例子. ),(y x P ),(00y x P ),0y (0x 【例2】设22),(y x xyy x f +=，试证极限不存在． ),(lim 0y x f y x →→【证】这个证明过程比较经典,请记住.当沿着直线),(y x P kx y =趋于点时，有)0,0(=+→=→2200lim y x xy kx y x 2222201lim k kx k x kx x +=+→，结果随的变化而变化，故二重极限不存在． k )y x ,(lim 00y x f →→2. 连续性如果000lim (,)(,)x x y y f x y f x y →→=，则称f (x , y )在点(x 0, y 0)处连续.注意，验证二元函数f (x , y )在某一点(x 0, y 0)是否连续是考研的重点，但是如果不连续，对于多元函数是不讨论间断点的分类的.3. 偏导数存在性（重要！重要！）定义 设函数z = f (x , y )在点(x 0, y 0)的某邻域内有定义, 若极限xy x f y x x f x Δ−Δ+→Δ),(),(lim00000存在, 则称此极限为函数z = f (x , y )在点(x 0, y 0)处对x 的偏导数, 记作00y y x x x z==∂∂, 00y y x x x f ==∂∂, 00x x x y y z ==′, 或00(,)x f x y ′. 于是，00000000000(,)(,)(,)(,'(,)limlim x x x x 0)f x x y f x y f x y f x y f x y x x Δ→→+Δ−−==Δ−x 00000000000(,)(,)(,)(,)'(,)limlim y y y y f x y y f x y f x y f x y f x y y y Δ→→+Δ−−==Δ−y 高阶偏导数 如果函数z =f (x , y )在区域D 内的偏导数(,)x f x y ′、(,)y f x y ′仍具有偏导数, 则它们的偏导数称为函数z =f (x , y )的二阶偏导数. 按照对变量求导次序的不同有如下四个二阶偏导数：22((,)xx z zf x y x x x ∂∂∂′′==∂∂∂, 2((,xy z z )f x y y x x y ∂∂∂′′==∂∂∂∂, 2()(,)yx z z f x y x y y x ∂∂∂′′==∂∂∂∂, 22()(,)yyz zf x y y y y∂∂∂′′==∂∂∂. 其中(,)xyf x y ′′、(,)yx f x y ′′称为二阶混合偏导数.同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数. 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.4. 可微定义 如果函数z = f (x , y )在点(x , y )的全增量Δz = f (x +Δx , y +Δy )−f (x , y ) 可表示为() (z A x B y o ρρΔ=Δ+Δ+=,其中A 、B 不依赖于Δx 、Δy 而仅与x 、y 有关, 则称函数z =f (x , y )在点(x , y )可微, 而称A Δx +B Δy 为函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分, 记作dz , 即dz =A Δx +B Δy .在第三讲中，我们已经详细阐述了一元函数可微的深刻涵义，二元函数的可微概念也是如此（请注意对比，加深理解）.（1）写出全增量；000(,)(,z f x x y y f x y =++− 0)（2）写出线性增量A x B y + ，其中0000'(,),'(,)x y A f x y B f x y ==； （3）作极限limx y Δ→Δ→若该极限等于0，则(,)z f x y =在00(,)x y 点可微，否则，就不可微.用形式简单的“线性增量A x B y + ”去代替形式复杂的“全增量z ”，且其误差“()z A x B y −+ ”是o，这就是说，用简单的代替了复杂的，且产生的误差可以忽略不计，这就是可微的真正涵义。