2019艺体生文化课-数学(文科)课件：第七章 第2节 等比数列

4.(2018广州综合测试(一))已知等比数列{an}的各项都为正数,且
1 a3, 2
a5,a4成等差数列,则
a3 a4

a5 a6
的值是
()
A. 5 1 2
B. 5 1 2
C. 3 5 2
D. 3 5 2
【答案】 A
【解析】设等比数列{an
}的公比为q,由a3
,
1 2
a5
,
a4成等差数列
A.21
B.42
C.63
D.84
【答案】 B 【解析】 a1 3, a1 a3 a5 21,3 3q2 3q4 21.1 q2 q4 7. 解得q2 2或q2 3(舍去). a3 a5 a7 q2 (a1 a3 a5 ) 2 21 42.故选B.
将n 2代入得, a3 3a2 ,所以, a3 12.
从而b1 1,b2 2,b3 4.
【例2】 (2018新课标Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,
设 bn

an n
.
(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;
(2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列.
其前n项和Sn

a1(1 qn ) 1 q

2 (3n 1) 31

3n
1.
.
【答案】 2n 1
【解析】 设等比数列的公比为q,
则有
a1 a1q3 a12q3 8

9
,
解得 aq121或 aq1128.又{an}为递增数列,所以aq121,
所以Sn
1 2n
1 2

2n
1.
11.(2015新课标Ⅰ卷)数列{an}中a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项 和,若Sn=126,则n= .
【解析】 由点(an
2
,
an
2 1
)在直线x

9y

0上, 得an2

9an
2 1

0,
即(an 3an1)(an 3an1) 0, 又数列{an}各项均为正数, 且a1 2,
an
3an1

0, an
3an1

0,即 an an1
3,
数列{an}是首项a1 2,公比q 3的等比数列,
14.已知数列:1
1 2
,
2
1 4
,
3
1 8
,...,
(n

1 2n
),
...,
则其前n项和关于n的表达式
为
.
【答案】
n(n 1) 2

1 2n
1
【解析】 设所求的前n项和为Sn ,
则Sn

(1
2
3
n)

(1 2

1 4

1 2n
)

n(n 1) 2

1 2
(1

1 2n
1 1
)
2
n(n 1) 1 2 2n 1.
15.(2018湖北七市(州)联考)在各项都为正数的数列{an}中,首项
a1=2,且点(an2,an-12)在直线x-9y=0上,则数列{an}的前n项和Sn等于( )
A.3n 1
B.1 (3)n
2
【答案】 A
C.1 3n 2
D. 3n2 n 2
6.(2017新课标Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下
问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问
尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中
的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯 ( )
A.1盏
B.3盏
C.5盏
D.9盏
【答案】 B
【解析】 每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列, 记为{an },
13.在正项等比数列{an}中,lga3+lga6+lga9=6,则a1a11的值是 ( )
A.10000 B.1000
C.100
D.10
【答案】A 【解析】这题要用到等比数列的性质: a1a11 a62 a3a9. 若{an}为等比数列, 且m n p q,则am an ap aq. 所以lg a3 lg a6 lg a9 lg(a3 a6 a9 ) lg a63 3lg a6 6, 所以a6 102 , 而a1a11 a62 104 10000.故选A.
【答案】 5 【解析】 由等比数列的等积性可知a32 a2a4 a1a5 4, 又等比数列{an}的各项均为正数,所以a3 2, 原式 log2 a35 5 log2 a3 5.
10.已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的
前n项和Sn=

n2 2
n.
【例2】 (2018新课标Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,
设 bn

an n
.
(1)求b1,b2,b3;
【解析】 (1)由条件可得an1

2(n 1) n
an .
将n 1代入得, a2 4a1,而a1 1, 所以, a2 4.
A.12
B.18
C.36
D.24
【答案】 B 【解析】 a3 a5 a7 a3 (1 q2 q4 ) 6(1 q2 q4 ) 78 1 q2 q4 13 q2 3, 所以a5 a3q2 6 3 18.故选B.
3.在等比数列{an}中,若a4,a8是方程x2-4x+3=0的两根,则a6的值是( )
【解析】 (1)设{an
}的公比为q,
依题意,
得
a1q a1q
3 ,
4 81
解得
aq131.
因此, an 3n1.
(2)设bn=log3an,求数列{bn}的前n项和Sn.
(2)因为bn log3 an n 1,
所以数列{bn}的前n项和Sn

n(b1 bn ) 2Fra bibliotek由条件可得
an1 n 1

2an n
,即bn1

2bn
, 又b1

1,
所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.
(3)求{an}的通项公式.
(3)由(2)可得 an n
2n1, 所以an
n 2n1.
专题训练
1.在等比数列{an}中,a1=8,a4=a3a5,则a7=
A. 1
【答案】 6
【解析】 a1 2, an1 2an , 数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,
Sn

2(1 2n ) 1 2
126,2n

64, n

6.
12.(2015新课标Ⅱ卷)已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则
a3+a5+a7= ( )
A. 3
B. 3
C. 3
D. 3
【答案】 B
【解析】 等比数列{an}中,若a4 , a8是方程x2 4x 3 0的两根,?
所以解得
a4 a8

1 3
或
a4 a8
3得q4 1

a8 a4
3或 1 ,q2 3

3或 3 , 3
故a6 a4q2 3.选B.
4.等比数列的前n项和:
当q=1 时,Sn=na1;
当q≠1时, (1)Sn

a1(1 qn ) 1 q
;
(2)Sn

a1 anq 1 q
.
5.等比数列的性质: 等积性:若项数m,n,p,q满足m+n=p+q,则am·an=ap·aq.
精选例题
【例1】 在等比数列{an}中,a2=3,a5=81. (1)求an;
5 1, 2
5.一个等比数列前n项的和为48,前2n项的和为60,则前3n项的和 为 ()
A.63
B.75
C.83
D.108
【答案】 A
【解析】 在等比数列中, Sn 48, S2n 60, S2n Sn 12, 因为Sn , S2n Sn , S3n S2n也成等比数列, 所以122 48(S3n 60), 解得S3n 63.选A.
第七章 数列
第2节 等比数列
知识梳理
1.等比数列的概念:
在数列{an}中,满足
an1 an

q(an≠0),q为常数,则称数列{an}为等
比数列,常数q称为等比数列的公比.
2.等比数列的通项公式: (1)an=a1qn-1; (2)an=amqn-m(m∈N*).
3.等比中项: 如果三个数a,G,b成等比数列,那么G=± ab 叫做a与b的等比中项.
8.(2012新课标Ⅱ卷)等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公 比q= .
【答案】 2 【解析】 在等比数列{an}中, S3 3S2 0,即4a1 4a2 a3 0, 4 4q q2 0,(q 2)2 0,q 2.
9.(2014广东)等比数列{an}的各项均为正数,且a1a5=4,则 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5= .