2019艺体生文化课-数学(文科)课件：第七章 第2节 等比数列
4.(2018广州综合测试(一))已知等比数列{an}的各项都为正数,且
1 a3, 2
a5,a4成等差数列,则
a3 a4
a5 a6
的值是
()
A. 5 1 2
B. 5 1 2
C. 3 5 2
D. 3 5 2
【答案】 A
【解析】设等比数列{an
}的公比为q,由a3
,
1 2
a5
,
a4成等差数列
A.21
B.42
C.63
D.84
【答案】 B 【解析】 a1 3, a1 a3 a5 21,3 3q2 3q4 21.1 q2 q4 7. 解得q2 2或q2 3(舍去). a3 a5 a7 q2 (a1 a3 a5 ) 2 21 42.故选B.
将n 2代入得, a3 3a2 ,所以, a3 12.
从而b1 1,b2 2,b3 4.
【例2】 (2018新课标Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,
设 bn
an n
.
(2)判断数列{bn}是否为等比数列,并说明理由;
(2){bn}是首项为1,公比为2的等比数列.
其前n项和Sn
a1(1 qn ) 1 q
2 (3n 1) 31
3n
1.
.
【答案】 2n 1
【解析】 设等比数列的公比为q,
则有
a1 a1q3 a12q3 8
9
,
解得 aq121或 aq1128.又{an}为递增数列,所以aq121,
所以Sn
1 2n
1 2
2n
1.
11.(2015新课标Ⅰ卷)数列{an}中a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项 和,若Sn=126,则n= .
【解析】 由点(an
2
,
an
2 1
)在直线x
9y
0上, 得an2
9an
2 1
0,
即(an 3an1)(an 3an1) 0, 又数列{an}各项均为正数, 且a1 2,
an
3an1
0, an
3an1
0,即 an an1
3,
数列{an}是首项a1 2,公比q 3的等比数列,
14.已知数列:1
1 2
,
2
1 4
,
3
1 8
,...,
(n
1 2n
),
...,
则其前n项和关于n的表达式
为
.
【答案】
n(n 1) 2
1 2n
1
【解析】 设所求的前n项和为Sn ,
则Sn
(1
2
3
n)
(1 2
1 4
1 2n
)
n(n 1) 2
1 2
(1
1 2n
1 1
)
2
n(n 1) 1 2 2n 1.
15.(2018湖北七市(州)联考)在各项都为正数的数列{an}中,首项
a1=2,且点(an2,an-12)在直线x-9y=0上,则数列{an}的前n项和Sn等于( )
A.3n 1
B.1 (3)n
2
【答案】 A
C.1 3n 2
D. 3n2 n 2
6.(2017新课标Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下
问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问
尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中
的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯 ( )
A.1盏
B.3盏
C.5盏
D.9盏
【答案】 B
【解析】 每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列, 记为{an },
13.在正项等比数列{an}中,lga3+lga6+lga9=6,则a1a11的值是 ( )
A.10000 B.1000
C.100
D.10
【答案】A 【解析】这题要用到等比数列的性质: a1a11 a62 a3a9. 若{an}为等比数列, 且m n p q,则am an ap aq. 所以lg a3 lg a6 lg a9 lg(a3 a6 a9 ) lg a63 3lg a6 6, 所以a6 102 , 而a1a11 a62 104 10000.故选A.
【答案】 5 【解析】 由等比数列的等积性可知a32 a2a4 a1a5 4, 又等比数列{an}的各项均为正数,所以a3 2, 原式 log2 a35 5 log2 a3 5.
10.已知数列{an}是递增的等比数列,a1+a4=9,a2a3=8,则数列{an}的
前n项和Sn=
n2 2
n.
【例2】 (2018新课标Ⅰ卷)已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,
设 bn
an n
.
(1)求b1,b2,b3;
【解析】 (1)由条件可得an1
2(n 1) n
an .
将n 1代入得, a2 4a1,而a1 1, 所以, a2 4.
A.12
B.18
C.36
D.24
【答案】 B 【解析】 a3 a5 a7 a3 (1 q2 q4 ) 6(1 q2 q4 ) 78 1 q2 q4 13 q2 3, 所以a5 a3q2 6 3 18.故选B.
3.在等比数列{an}中,若a4,a8是方程x2-4x+3=0的两根,则a6的值是( )
【解析】 (1)设{an
}的公比为q,
依题意,
得
a1q a1q
3 ,
4 81
解得
aq131.
因此, an 3n1.
(2)设bn=log3an,求数列{bn}的前n项和Sn.
(2)因为bn log3 an n 1,
所以数列{bn}的前n项和Sn
n(b1 bn ) 2Fra bibliotek由条件可得
an1 n 1
2an n
,即bn1
2bn
, 又b1
1,
所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.
(3)求{an}的通项公式.
(3)由(2)可得 an n
2n1, 所以an
n 2n1.
专题训练
1.在等比数列{an}中,a1=8,a4=a3a5,则a7=
A. 1
【答案】 6
【解析】 a1 2, an1 2an , 数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,
Sn
2(1 2n ) 1 2
126,2n
64, n
6.
12.(2015新课标Ⅱ卷)已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则
a3+a5+a7= ( )
A. 3
B. 3
C. 3
D. 3
【答案】 B
【解析】 等比数列{an}中,若a4 , a8是方程x2 4x 3 0的两根,?
所以解得
a4 a8
1 3
或
a4 a8
3得q4 1
a8 a4
3或 1 ,q2 3
3或 3 , 3
故a6 a4q2 3.选B.
4.等比数列的前n项和:
当q=1 时,Sn=na1;
当q≠1时, (1)Sn
a1(1 qn ) 1 q
;
(2)Sn
a1 anq 1 q
.
5.等比数列的性质: 等积性:若项数m,n,p,q满足m+n=p+q,则am·an=ap·aq.
精选例题
【例1】 在等比数列{an}中,a2=3,a5=81. (1)求an;
5 1, 2
5.一个等比数列前n项的和为48,前2n项的和为60,则前3n项的和 为 ()
A.63
B.75
C.83
D.108
【答案】 A
【解析】 在等比数列中, Sn 48, S2n 60, S2n Sn 12, 因为Sn , S2n Sn , S3n S2n也成等比数列, 所以122 48(S3n 60), 解得S3n 63.选A.
第七章 数列
第2节 等比数列
知识梳理
1.等比数列的概念:
在数列{an}中,满足
an1 an
q(an≠0),q为常数,则称数列{an}为等
比数列,常数q称为等比数列的公比.
2.等比数列的通项公式: (1)an=a1qn-1; (2)an=amqn-m(m∈N*).
3.等比中项: 如果三个数a,G,b成等比数列,那么G=± ab 叫做a与b的等比中项.
8.(2012新课标Ⅱ卷)等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+3S2=0,则公 比q= .
【答案】 2 【解析】 在等比数列{an}中, S3 3S2 0,即4a1 4a2 a3 0, 4 4q q2 0,(q 2)2 0,q 2.
9.(2014广东)等比数列{an}的各项均为正数,且a1a5=4,则 log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5= .
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§3.1等比数列+第2课时+等比数列的性质PPT-(原创)北师大版(2019)数学-选择性必修第二册
a1>0
q的范围
0<q<1
q＝1
{an}的
单调性
递减数列
____
常数列
______
a1<0
q>1
0<q<1
递增数列
递增数列
____
____
q＝1
q>1
常数列
______
递减数列
____
探究点2
等比数列的图象
观察数列
(1)
1，2，4，8，16，…
公比 q=2
公比 q=
(3) 4，4，4，4，4，4，4，…
(2)若{an}，{bn}是项数相同的等பைடு நூலகம்数列，公比分别是p和q，那么{anbn}
p
pq
与{ }也都是等比数列，公比分别为______和________．
q
1
(3)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，{ }，
{an
1
2}都是等比数列，且公比分别是________________．
2
8
比数列，则这 3 个数的积为________．
1
【解析】设插入的 3 个数依次为 a，b，c，即 ，
2
a，b，c，8 成等比数列．由等比数列的性质可得
1
1
2
b ＝ac＝ ×8＝4，因为 a ＝ b>0，所以 b=2,所
2
2
2
以公比 q=2，所以 a=1,c=4.所以这三个数的积为
8.
探究点3 等比数列项的运算性质
8
a1q·a1q4= 27
又数列各项均为负数，则
2019年高考数学等比数列(文科)含解析
所以Vn＝ ·3n＋1＋ ，
Tn＝ ·3n＋1＋ ＋ .
一、选择题
1．(2018·四川成都南充高中模拟)已知等比数列的前3项为x,3x＋3,6x＋6，则其第4项的值为()
A．－24 B．－24或0
C．12或0 D．24
答案：A
解析：由x,3x＋3,6x＋6成等比数列，得(3x＋3)2＝x(6x＋6)．解得x1＝－3或x2＝－1(此时a2＝a3＝0，不合题意，舍去)．故这个等比数列的首项为－3，公比为2，所以an＝－3·2n－1，所以数列的第4项为a4＝－24.故选A.
7．(2018·河南百校质检)在各项均为正数的等比数列{an}中，若2a4＋a3－2a2－a1＝8，则2a5＋a4的最小值为()
A．12 B．12
C．12 D．16
答案：C
解析：因为2a4＋a3－2a2－a1＝8，所以由题意知等比数列{an}中，an>0，且公比q>0，且2a1q3＋a1q2－2a1q－a1＝8，所以a1(2q＋1)＝ (q>1)，所以2a5＋a4＝a1q3(2q＋1)＝ ＝ ，设 ＝x(0<x<1)，引入函数y＝ － ＝x－x3，由y′＝1－3x2＝0，得x＝－ (舍去)或x＝ .所以当x∈ 时，y′>0；当x∈ 时，y′<0.所以函数y＝x－x3的减区间为 ，增区间为 .所以当x＝ 时，函数有最大值ymax＝ ，所以2a5＋a4的最小值为 ＝12 .
11．(2018·衡水一模)已知在数列{an}中，an＝－4n＋5，等比数列{bn}的公比q满足q＝an－an－1(n≥2)，且b1＝a2，则|b1＋|b2|＋…＋|bn|＝________.
答案：4n－1
解析：由题意知，q＝a2－a1＝－4，b1＝a2＝－3，所以|bn|＝|－3×(－4)n－1|＝3·4n－1，所以|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝3＋3×4＋3×42＋…＋3×4n－1＝3× ＝4n－1.
Tn＝ ·3n＋1＋ ＋ .
一、选择题
1．(2018·四川成都南充高中模拟)已知等比数列的前3项为x,3x＋3,6x＋6，则其第4项的值为()
A．－24 B．－24或0
C．12或0 D．24
答案：A
解析：由x,3x＋3,6x＋6成等比数列，得(3x＋3)2＝x(6x＋6)．解得x1＝－3或x2＝－1(此时a2＝a3＝0，不合题意，舍去)．故这个等比数列的首项为－3，公比为2，所以an＝－3·2n－1，所以数列的第4项为a4＝－24.故选A.
7．(2018·河南百校质检)在各项均为正数的等比数列{an}中，若2a4＋a3－2a2－a1＝8，则2a5＋a4的最小值为()
A．12 B．12
C．12 D．16
答案：C
解析：因为2a4＋a3－2a2－a1＝8，所以由题意知等比数列{an}中，an>0，且公比q>0，且2a1q3＋a1q2－2a1q－a1＝8，所以a1(2q＋1)＝ (q>1)，所以2a5＋a4＝a1q3(2q＋1)＝ ＝ ，设 ＝x(0<x<1)，引入函数y＝ － ＝x－x3，由y′＝1－3x2＝0，得x＝－ (舍去)或x＝ .所以当x∈ 时，y′>0；当x∈ 时，y′<0.所以函数y＝x－x3的减区间为 ，增区间为 .所以当x＝ 时，函数有最大值ymax＝ ，所以2a5＋a4的最小值为 ＝12 .
11．(2018·衡水一模)已知在数列{an}中，an＝－4n＋5，等比数列{bn}的公比q满足q＝an－an－1(n≥2)，且b1＝a2，则|b1＋|b2|＋…＋|bn|＝________.
答案：4n－1
解析：由题意知，q＝a2－a1＝－4，b1＝a2＝－3，所以|bn|＝|－3×(－4)n－1|＝3·4n－1，所以|b1|＋|b2|＋…＋|bn|＝3＋3×4＋3×42＋…＋3×4n－1＝3× ＝4n－1.
2019艺体生文化课学案点金-数学(文科)课件：第七章 第4节 数列求和
第七章 数列
第4节 数列求和
知识梳理
数列求和常用方法: 1.公式法:直接用等差、等比数列的求和公式求和.
2.裂项相消法:(常见形式)
1
1 n2
n
(n
1 1)n
1 n 1
1; n
2
1 4n2 1
(2n
1 1)(2n
1)
1 2
(2n11
1 2n
1
);
3
1
1) 5
( 2
1 n 1
2
1 n 1
)]
1 2
(1
2
1 n 1
)
n 2n
. 1
3.(裂项相消法)(2013新课标Ⅰ卷,文)已知等差数列{an}的前n项和 Sn满足S3=0,S5=-5. (1)求{an}的通项公式;
例如:Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn. (将上式两边乘数列{bn}的公比q,再相减.)
4.分组求和法:常见形式:当数列cn=an+bn,其中{an}为等差数 列,{bn}为等比数列,则可以用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
精选例题
【例1】 (裂项相消法)(2013新课标卷)等差数列{an}中,a7=4, a19=2a9. (1)求{an}的通项公式;
n2n12,
则Sn
3 22
4 23
n 1 2n
n2 2 n1
,①
1 2
Sn
3 23
4 24
n 2
1
n1
n2 2 n2
第4节 数列求和
知识梳理
数列求和常用方法: 1.公式法:直接用等差、等比数列的求和公式求和.
2.裂项相消法:(常见形式)
1
1 n2
n
(n
1 1)n
1 n 1
1; n
2
1 4n2 1
(2n
1 1)(2n
1)
1 2
(2n11
1 2n
1
);
3
1
1) 5
( 2
1 n 1
2
1 n 1
)]
1 2
(1
2
1 n 1
)
n 2n
. 1
3.(裂项相消法)(2013新课标Ⅰ卷,文)已知等差数列{an}的前n项和 Sn满足S3=0,S5=-5. (1)求{an}的通项公式;
例如:Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn. (将上式两边乘数列{bn}的公比q,再相减.)
4.分组求和法:常见形式:当数列cn=an+bn,其中{an}为等差数 列,{bn}为等比数列,则可以用分组求和法求数列{cn}的前n项和.
精选例题
【例1】 (裂项相消法)(2013新课标卷)等差数列{an}中,a7=4, a19=2a9. (1)求{an}的通项公式;
n2n12,
则Sn
3 22
4 23
n 1 2n
n2 2 n1
,①
1 2
Sn
3 23
4 24
n 2
1
n1
n2 2 n2
2019高中数学《等比数列》PPT课件
数学语言：an : an-1 = q
(q是常数且不为0,n≥2，n∈N*）
问：数列a, a, a, a, …(a∈R)是否为等比数列？ 如果是,a必须满足什么条件？
(1) a＝0; 它只是等差数列。 (2) a≠0; 它既是等差数列又是等比数列。
判断以下数列是不是等比数列：
（1） 1 ，3 ，9 ，27 ，…… ；
5.性质 (若m+n=p+q)
am
an
ap
aq
am an ap aq
作业： P53
1,2,5/8。
练习册
2n 3n 6n
是
( 1)n 2
( 1)n 3
(1)n 6
是
结论：如果an bn是项数相同的等
比数列，那么an bn也是等比数列．
证明：设数列an的公比为p，bn 的公比为
q，那么数列an b 与为a1ba11(ppnq1)n．b1qn1 与 a1pn b1qn ，即 a1b1(pq)n1
是 列
an bn
也一定是等比数列吗？
知识拓展
一、通项公式的推广
an am qnm
二、等比数列的性质
1、若m, n, p, q N ,且m n p q,
则a m a n a p aq
2、an
.an1
...a2
.a1仍
为等比数
列
其
公
比
为1 q
因为
a b n1 n1 a b1 1(pq)n pq,
an bn
a b1 1 (pq)n1
它是一个与n无关的常数，所以是一个以pq
等比数列的概念(第二课时)课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
现出任意性.
知识梳理
知识梳理
判定与证明等比数列的方法
a
*且n≥2，q为不为0的常数)；
q
1.定义法： n ＝____(n∈N
an－1
*且n≥2)；
an－1an＋1
2.等比中项法：a2n＝________(n∈N
a1qn－1 a1·qn ＝A·qn(A≠0).
3.通项公式法：an＝_______＝
q
即
（
2 n 2),
则当n 2时，
2,
an 1 1
bn 1 an 1 1
an 1 1
an 1 1
∴ 数列{ + 1}是首项为2，公比为2的等比数列.
（2）解：由（1）知等比数列{ + 1}的首项为2，公比为2，
∴ + 1＝2 × 2−1 ＝2，∴ ＝2 − 1.
n
是否一定是等比数列？ 如果数列{an }是各项均为正的等比数 列，
那么数列{log b an }是否一定是等差数列？
b an1
a n1 -a n
d
b
b
b an
➯
性质1：数列{an}是等差数列
⇔数列{b a n }是等比数列.
an1
logb a n1 logb an logb
logb q
1
又 S2＝3(a2－1)，
1
1
即 a1＋a2＝3(a2－1)，得 a2＝4.
典例分析
(2)求证：数列{an}是等比数列.
当n≥2时，
1
1
an＝Sn－Sn－1＝3(an－1)－3(an－1－1)，
1
1
高中数学 等比数列课件(完整版).ppt
演示课件
数列 定义 公差（比）
等差数列 an+1-an=d d 叫公差
等比数列
an1 an q
q叫公比
定义变形
an+1=an+d
an+1=an q
通项公式 一般形式
an= a1+(n-1)d
an=am+(n-m)d
d an am nm
演示课件
an=a1qn-1
an=amqn-m
qnm an am
因此a5 120 120 51 2.51010
答：到第5代大约可以得到
an a1 • qn1
这种新品种的种子 2.5 1010 演粒示.课件
例 :某种电讯产品自投放市场以来，经过三次降
价，单价由原来的174元降到58元. 这种电讯产品平
均每次降价的百分率大约是多少（精确到1%）？
解：设平均每次降价的百分率是x，
或
a
d
27 4 9 2
这四个数为3，6，12，18
或 75，45，27，9 4 4 演示课件 4 4
方法三设前一个数为a,则第四个为21-a 第二个数为b,则第三个为18-b
b
a 18 b 21 a
b2 2(18
b)
a b
3或 6
a b
75 4 45 4
这四个数为3，6，12，18
n1
3
2
●
1
●
●●●
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
演示课件
10
9 数列：4，4，4，4，4，4，4，…
8 7
an 4
6
5
4
● ● ●● ●●● ● ● ●
数列 定义 公差（比）
等差数列 an+1-an=d d 叫公差
等比数列
an1 an q
q叫公比
定义变形
an+1=an+d
an+1=an q
通项公式 一般形式
an= a1+(n-1)d
an=am+(n-m)d
d an am nm
演示课件
an=a1qn-1
an=amqn-m
qnm an am
因此a5 120 120 51 2.51010
答：到第5代大约可以得到
an a1 • qn1
这种新品种的种子 2.5 1010 演粒示.课件
例 :某种电讯产品自投放市场以来，经过三次降
价，单价由原来的174元降到58元. 这种电讯产品平
均每次降价的百分率大约是多少（精确到1%）？
解：设平均每次降价的百分率是x，
或
a
d
27 4 9 2
这四个数为3，6，12，18
或 75，45，27，9 4 4 演示课件 4 4
方法三设前一个数为a,则第四个为21-a 第二个数为b,则第三个为18-b
b
a 18 b 21 a
b2 2(18
b)
a b
3或 6
a b
75 4 45 4
这四个数为3，6，12，18
n1
3
2
●
1
●
●●●
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
演示课件
10
9 数列：4，4，4，4，4，4，4，…
8 7
an 4
6
5
4
● ● ●● ●●● ● ● ●
等比数列的概念 课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
答案：由三个数 a ，G ，b 组成等比数列，那么 G 叫做与的等比中项.此时，
G2 = ab.
探究新知
问题2
你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
追问1 回忆一下，等差数列通项公式的推导过程，类比猜想，等比数列如
何推导通项公式？
答案： a2 = a1 q ， a3 = a2 q = a1 q q = a1 q2 ， a4 = a3 q = a1 q2 q = a1 q3 ，
⋯⋯
由此可得， an = a1 qn−1 n ≥ 2 .又 a1 = a1 q0 = a1 q1−1 ，
这就是说，当n = 1时上式也成立.
因此，首项为a1 ，公比为q的等比数列 an 的通项公式为an = a1 qn−1 .
探究新知
问题2
你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
追问2 除了归纳法以外，我们还可以用什么方法同样推导出等差数列的通
比都等于9.
探究新知
探究
9，92 ，93 ， ⋯ ，910 .
100，1002 ，1003 ， ⋯ ，10010 .
5，52 ，53 ， ⋯ ，510 .
1
2
1
1
1
1
， 4， 4 ， 4 ， 16 ，⋯.
2，4，8，16，32，64，⋯.
1 + ， 1 + 2 ， 1 + 3 ， 1 + 4 ， 1 + 5 .
的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？
下面请看几个问题中的数列.
1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列：
9，92 ，93 ， ⋯ ，910 ；
100，1002 ，1003 ， ⋯ ，10010 ；
2019艺体生文化课学案点金-数学(文科)课件：第七章 第3节 数列通项
第七章 数列
第3节 数列通项
知识梳理
常用的求通项公式方法: 1.公式法:若给出的数列为等差或等比数列,可以直接利用等差
或等比数列的通项公式求解;
2.知Sn求an:利用公式an=Sn-Sn-1 (n≥2);
3.累加、累乘法: (1)如果数列满足an+1-an=f(n)的形式,用累加法; (2)如果数列满足 an1 =g(n)的形式,用累乘法;
所以an1 2an 1可以变为: (an1 1) 2 (an 1), 设bn an 1,则bn1 an1 1,b1 a1 1 2, 所以bn1 2bn (等比数列, 公比为2), 所以bn b1·2n1 2·2n1 2n , 所以an 1 2n , 即an 2n 1.
【解析】 (1)当n 1时, a1 S1 1,
当n
2时, an
Sn
Sn 1
3n2 2
n
3(n
1)2 2
n
1
3n
2,
又当n 1时, a1 1, 符合an ,an 3n 2.
【例1】 (公式法)(2014江西) 3n2 n
已知数列{an}的前n项和Sn= 2 ,n∈N*. (2)证明:对任意n>1,都有m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.
(2)设bn=log3an,求数列{bn}的前n项和Sn.
(2)bn log3 an log3 3n1 n 1,
所以Sn
01 23
(n 1)
n(n 1) . 2
2.(2016新课标Ⅲ卷)已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,
an2-(2an+1-1)an-2an+1=0.
第3节 数列通项
知识梳理
常用的求通项公式方法: 1.公式法:若给出的数列为等差或等比数列,可以直接利用等差
或等比数列的通项公式求解;
2.知Sn求an:利用公式an=Sn-Sn-1 (n≥2);
3.累加、累乘法: (1)如果数列满足an+1-an=f(n)的形式,用累加法; (2)如果数列满足 an1 =g(n)的形式,用累乘法;
所以an1 2an 1可以变为: (an1 1) 2 (an 1), 设bn an 1,则bn1 an1 1,b1 a1 1 2, 所以bn1 2bn (等比数列, 公比为2), 所以bn b1·2n1 2·2n1 2n , 所以an 1 2n , 即an 2n 1.
【解析】 (1)当n 1时, a1 S1 1,
当n
2时, an
Sn
Sn 1
3n2 2
n
3(n
1)2 2
n
1
3n
2,
又当n 1时, a1 1, 符合an ,an 3n 2.
【例1】 (公式法)(2014江西) 3n2 n
已知数列{an}的前n项和Sn= 2 ,n∈N*. (2)证明:对任意n>1,都有m∈N*,使得a1,an,am成等比数列.
(2)设bn=log3an,求数列{bn}的前n项和Sn.
(2)bn log3 an log3 3n1 n 1,
所以Sn
01 23
(n 1)
n(n 1) . 2
2.(2016新课标Ⅲ卷)已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1,
an2-(2an+1-1)an-2an+1=0.
【公开课课件】等比数列的概念课件-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
2
12
所以a a4 a8，所以a8
3.
48
2
6
小结：
1） 根据已知条件建立 关于 a1和q的方程组，求出等比数列的基本量 a1和q ，
再进一步解决问题.这时最基本也是最常规的一种方法.
2)充分利用各项之间的关系，灵活运用等比数列的各项性质直接求出
或 a1 ，再解决问题.这种运算带有一定的技巧性，能够简化运算.
d 64
q
3)写出这个数列中的各项.
3)由(2)知这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48.
例3. 数列{an}共有5项,前三项成等比数列,后三项成等差数列,第3
项等于80,第2项与第4项的和等于136,第1项与第5项的和等于132.求
出这个数列.
, , , , ,...
④
3.在营养和生存空间没有限制的情况下,某
种细菌每20min就通过分裂繁殖一代,那么一
个这种细菌从第1次分裂开始,各次分裂产生
的后代个数依次是
2,4,8,16,32,64,…
⑤
新知探究
这几个问题中的数列：
（1） 9,92,93,...,910;
思考3：用数学符号语言（递推公式）怎样表示等比数列的定义呢？
an 1
an
q
q ( n 2) 或
an
an 1
1、等比数列的每一项都不为0，即an≠0。
2、公比q≠0
思考4：等比数列的公比可以为0吗？它的任意一项可以为0吗？
课堂互动
不是
观察并判断下列数列是否是等比数列,若是，说出公比.
a1 x
数 f ( x)
12
所以a a4 a8，所以a8
3.
48
2
6
小结：
1） 根据已知条件建立 关于 a1和q的方程组，求出等比数列的基本量 a1和q ，
再进一步解决问题.这时最基本也是最常规的一种方法.
2)充分利用各项之间的关系，灵活运用等比数列的各项性质直接求出
或 a1 ，再解决问题.这种运算带有一定的技巧性，能够简化运算.
d 64
q
3)写出这个数列中的各项.
3)由(2)知这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48.
例3. 数列{an}共有5项,前三项成等比数列,后三项成等差数列,第3
项等于80,第2项与第4项的和等于136,第1项与第5项的和等于132.求
出这个数列.
, , , , ,...
④
3.在营养和生存空间没有限制的情况下,某
种细菌每20min就通过分裂繁殖一代,那么一
个这种细菌从第1次分裂开始,各次分裂产生
的后代个数依次是
2,4,8,16,32,64,…
⑤
新知探究
这几个问题中的数列：
（1） 9,92,93,...,910;
思考3：用数学符号语言（递推公式）怎样表示等比数列的定义呢？
an 1
an
q
q ( n 2) 或
an
an 1
1、等比数列的每一项都不为0，即an≠0。
2、公比q≠0
思考4：等比数列的公比可以为0吗？它的任意一项可以为0吗？
课堂互动
不是
观察并判断下列数列是否是等比数列,若是，说出公比.
a1 x
数 f ( x)
高二数学必修教学课件等比数列
在无穷递缩等比数列中，极限思想被 用于推导求和公式。当公比的绝对值 小于1时，随着项数的增加，后面的 项会逐渐趋近于0，因此整个数列的 和可以看作是一个有限数。这个有限 数就是无穷递缩等比数列的求和结果 。
要点三
典型例题
通过举例说明极限思想在无穷递缩等 比数列中的应用，包括利用极限思想 推导求和公式、判断无穷递缩等比数 列的和是否存在以及求解与无穷递缩 等比数列相关的问题等方法。
额和每期还款额。
放射性物质衰变
介绍放射性物质衰变中的等比数列 问题，通过具体例子展示如何利用 等比数列的概念和公式计算放射性 物质的半衰期和剩余量。
生物繁殖问题
介绍生物繁殖中的等比数列问题， 通过具体例子展示如何利用等比数 列的概念和公式计算生物种群数量 的增长趋势。
05
等比数列拓展知02
03
复利概念引入
通过介绍银行储蓄中的复 利计算方式，引出等比数 列的概念。
复利公式推导
根据复利的定义，推导出 等比数列求和公式，并给 出具体计算步骤。
实例分析
通过具体例子，展示如何 利用复利公式计算储蓄收 益，并讨论不同储蓄期限 和利率对收益的影响。
增长率问题中指数增长模型建立
指数增长现象描述
02
等比数列求和公式与应用
等比数列求和公式推导
等比数列求和公式
对于等比数列 {a_n}，其前 n 项和 S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n = a_1(1 q^n) / (1 - q)，其中 a_1 是首项，q 是公比，n 是项数。
推导过程
通过错位相减法，将等比数列的和转化为等比数列的差，进而得到求和公式。
注意事项
在使用错位相减法时，需要注意公比 q 是否等于 1。当 q = 1 时，等比数列变为等差数 列，不能直接使用错位相减法。
要点三
典型例题
通过举例说明极限思想在无穷递缩等 比数列中的应用，包括利用极限思想 推导求和公式、判断无穷递缩等比数 列的和是否存在以及求解与无穷递缩 等比数列相关的问题等方法。
额和每期还款额。
放射性物质衰变
介绍放射性物质衰变中的等比数列 问题，通过具体例子展示如何利用 等比数列的概念和公式计算放射性 物质的半衰期和剩余量。
生物繁殖问题
介绍生物繁殖中的等比数列问题， 通过具体例子展示如何利用等比数 列的概念和公式计算生物种群数量 的增长趋势。
05
等比数列拓展知02
03
复利概念引入
通过介绍银行储蓄中的复 利计算方式，引出等比数 列的概念。
复利公式推导
根据复利的定义，推导出 等比数列求和公式，并给 出具体计算步骤。
实例分析
通过具体例子，展示如何 利用复利公式计算储蓄收 益，并讨论不同储蓄期限 和利率对收益的影响。
增长率问题中指数增长模型建立
指数增长现象描述
02
等比数列求和公式与应用
等比数列求和公式推导
等比数列求和公式
对于等比数列 {a_n}，其前 n 项和 S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n = a_1(1 q^n) / (1 - q)，其中 a_1 是首项，q 是公比，n 是项数。
推导过程
通过错位相减法，将等比数列的和转化为等比数列的差，进而得到求和公式。
注意事项
在使用错位相减法时，需要注意公比 q 是否等于 1。当 q = 1 时，等比数列变为等差数 列，不能直接使用错位相减法。