等比数列的性质教学课件PPT
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《等比数列性质》课件
等比数列的性质
等比数列的性质取决于公比的正负情况。
公比为正的情况
1 单调性
2
当公比大于1时，数列呈现递增趋势；当 公比小于1但大于0时，数列呈现递减趋势。
公比为负的情况
极限值
当公比大于1时，数列趋于正无穷；当公 比小于1但大于0时，数列趋于0。Biblioteka 1 单调性2 极限值
无论公比是多少，等比数列都不会出现单 调性。
无论公比是多少，等比数列都不会收敛于 一个确定的极限值。
等比数列的无穷级数
等比数列的无穷级数指的是将数列的所有项相加，即求和。 如果公比的绝对值小于1，那么等比数列的无穷级数将收敛，其和可以通过以下公式计算： S∞ = a1 / (1 - r)
等比数列在几何意义上的应用
等比数列在图形中的应用
等比数列可以用来生成一些有趣的图形，如分形。分形是一种具有自相似性质的图形，无论放大或缩 小，形状都保持一致。
《等比数列性质》PPT课件
什么是等比数列
等比数列是一种数列，其中每一项与前一项的比值保持不变。它可以用以下 的通项公式来表示： an = a1 × r(n-1) 其中，a1表示等比数列的首项，r表示公比，而an表示第n项。
等比数列的通项公式与前n项和公式
等比数列的通项公式允许我们计算数列中的任何一项。而前n项和公式则可以帮助我们计算数列前n项 的和。 通项公式：an = a1 × r(n-1) 前n项和公式：Sn = a1 × (1 - rn) / (1 - r)
黄金分割的生成与应用
黄金分割是一种与等比数列相关的数学概念，在建筑、艺术、自然界等领域中有广泛的应用。它具有 特殊的美学意义。
相关练习题目
等比数列的计算 填空题 选择题 解析题
新教材高中数学第5章数列：第2课时等比数列的性质ppt课件新人教B版选择性必修第三册
2．等比数列的性质 在等比数列{an}中，若 s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N＋)，则 as·at＝ ap·aq . (1)特别地，当 2s＝p＋q(s，p，q∈N＋)时，ap·aq＝ a2s . (2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首 末两项的积，即 a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任意两个实数都有等比中项．
()
(2)在等比数列{an}中，a2·a8＝a10.
()
(3)若{an}，{bn}都是等比数列，则{an＋bn}是等比数列．( )
(4)若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，
则{an}是等比数列． [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
4．在等比数列{an}中，已知 a7a12＝5，则 a8a9a10a11＝________. 25 [∵{an}是等比数列， ∴a8·a11＝a9·a10＝a7·a12， ∴a8a9a10a11＝(a9a10)2＝(a7a12)2＝52＝25.]
合作 探究 释疑 难
等比中项的应用
【例 1】 (1)如果－1，a，b，c，－9 成等比数列，那么( )
0，所以 b＜0，所以 b＝－3，且 a，c 必同号．
所以 ac＝b2＝9.
(2)由题意知 a3 是 a1 和 a9 的等比中项， ∴a23＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，得 a1＝d， ∴aa21＋＋aa43＋＋aa190＝1136dd＝1136.]
由等比中项的定义可知：Ga ＝Gb ⇒G2＝ab⇒G＝± ab.这表明只有 同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个，它们互为 相反数.反之，若 G2＝ab，则Ga ＝Gb ，即 a，G，b 成等比数列.所以 a， G，b 成等比数列⇔G2＝abab≠0.
等比数列的性质PPT
②
由①得 a2＝16q
③
由②得 a22q－1·q＝－128. 将③代入得：q2－2q－8＝0，
∴q＝4 或 q＝－2.
又 a2＝16q，∴q>0，∴q＝4，∴a＝±8.
当 a＝8 时，所求四个数分别为：－4,2,8,32.
当 a＝－8 时，所求四个数分别为：4，－2，－8，－32.
某市2009年新建住房400万平方米，其中250万平方米是中 低价房，预计今年后的若干年内，该市每年新建住房面积平均 比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积比上 一年增加50万平方米，那么到哪一年底
(2)设新建住房面积构成数列{bn}， 由题意可知，{bn}是等比数列， 其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×(1.08)n－1， 由题意可知an>0.85bn， 即250＋(n－1)×50>400×(1.08)n－1×0.85满足上述不等式的 最小正整数n＝6.10分
故到2014年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造 住房面积的比例首次大于85%.12分
则 Sn＝250n＋nn－ 2 1×50＝25n2＋225n， 令 25n2＋225n≥4 750，即 n2＋9n－190≥0， 解得 n≤－19 或 n≥10，而 n 是正整数． ∴n≥10.4 分 故到 2018 年年底，该市历年所建中低价房的累计面积 将首次不少于 4 750 万平方米.6 分
联 (1)若{an}为正项等比数列，则{logaan}为等差数列； 系 (2){an}为等差数列{bn}为等比数列，则{ban}为等比数列.
◎在等比数列{an}中，a5，a9是方程7x2－18x＋7＝0的两个 根，试求a7.
【错解】 因为 a5，a9 是方程 7x2－18x＋7＝0 的两个根，
等比数列的性质 课件
∴q＝2 或 q＝12.
∴qa＝1＝21，，
a1＝4， 或q＝12.
∴an＝2n－1 或 an＝4×12n－1＝23－n.
法二：从而aa11＋ a3＝a3＝ 4，5， 解得 a1＝1，a3＝4，或 a1＝4，a3＝1. 当 a1＝1 时，q＝2；当 a1＝4 时，q＝12. 故 an＝2n－1 或 an＝23－n.
2．等比数列的项的对称性
有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 积(若有中间项则等于中间项的平方)，即 a1·an＝a2·an－1 ＝ak·__a_n_－_k＋_1_
＝a2 n+1 (n 为正奇数)．
2
3．等比数列的“子数列”的性质
若数列{an}是公比为 q 的等比数列，则 (1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公比为 q 的等比数列； (2)奇数项数列{a2n－1}是公比为 q2 的等比数列；偶数项数列{a2n}是公 比为 q2 的等比数列；
∴{an＋1－an}为等比数列，其中首项为 a2－a1＝2a1＋1－a1＝a1＋1＝2， 公比 q＝2. 则 an＋1－an＝2·2n－1＝2n. ∴2an＋1－an＝2n，∴an＝2n－1.
形如 an＋1＝can＋d(c≠1，cd≠0)的递推关系，利用待定系数法可化为 an＋1－1－d c＝can－1－d c，当 a1－1－d c≠0 时，数列an－1－d c为等比 数列．从而把一个非等比数列问题转化为等比数列问题．
[解析] 设第 n 个图形的边长为 an. 由题意知，从第 2 个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长 的13，所以数列{an}是首项为 1，公比为13的等比数列，故 an＝13n－1. 第 1 个图形的边数为 3，因为从第 2 个图形起，每一个图形的边数均 为上一个图形边数的 4 倍，所以第 n 个图形的边数为 3×4n－1.因此， 第 n 个图形的周长13n－1×(3×4n－1)＝3×43n－1.
等比数列课件ppt
02
等比数列的通项公式
等比数列的通项公式推导
01
02
03
定义等比数列
等比数列是一个序列，其 中任意两个相邻项的比值 都相等。
推导通项公式
假设等比数列的首项为 $a_1$，公比为$r$，则第 $n$项$a_n$的通项公式 为$a_n = a_1 times r^{(n-1)}$。
证明通项公式
通过数学归纳法或迭代法 证明通项公式的正确性。
等比数列课件
• 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
等比数列的定义与性质
等比数列的定义
总结词
等比数列是一种特殊的数列，其 中任意两个相邻项之间的比值都 相等。
详细描述
等比数列中，任意两个相邻项的 商是常数，这个常数被称为公比 。在等比数列中，每一项都是前 一项与公比的乘积。
举例说明
通过具体的例子来解释等比数列求和公式的推导过程。
等比数列求和公式的应用
解决实际问题
等比数列求和公式在解决实际问题中有着广泛的应用，如金融、工程、物理等 领域。
举例说明
通过具体的例子来展示等比数列求和公式的应用。
等比数列求和公式的变体
等差数列与等比数列的关系
01
等差数列和等比数列是两种不同的数列，但它们之间存在一定
01
第三组数列是等比数列，因为相 邻两项的比值都是1/2。
02
第四组数列也是等比数列，因为 相邻两项的比值都是1/2。
习题二：等比数列的通项公式
01
题目：已知等比数列的首项为 a，公比为q，求第n项的通项
公式。
02
答案与解析
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等比数列的应用
在数学中的应用
数学建模
等比数列是数学建模中常用的数 学工具，可以用来描述和解决各 种数学问题，如数列求和、数列
极限等。
金融计算
等比数列在金融领域的应用广泛， 如复利计算、贷款还款等，通过等 比数列的公式可以快速准确地计算 出结果。
统计学
在统计学中，等比数列常被用来描 述和预测数据分布，如人口增长、 股票价格波动等。
使用等比数列求和公式可 以大大简化计算过程，提 高计算效率。
推广到其他数列
等比数列求和公式的应用 不仅限于等比数列，还可 以推广到其他类型的数列。
实例解析
实例一
求1,2,4,8,16,...的前n项和。
实例二
求1,3,9,27,81,...的前n项和。
实例三
求2,4,8,16,...的前n项和。
05
通过观察数列1，4，16，64，...可以发现相邻两项的比值分别
为4，4，4，...，所以公比q = 4。
答案2
03
这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
答案与解析
• 解析2：已知等比数列的公比为2，前四项和为1，设第一项为a， 则第二项为2a，第三项为4a，第四项为8a。根据等比数列前n 项和公式S_n = a * (q^n - 1) / (q - 1)，代入n=4, q=2, S_4=1，解得a = 1/3。因此这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
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• 引言 • 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
引言
主题简介
定义
等比数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻 项之间的比值是常数。
在数学中的应用
数学建模
等比数列是数学建模中常用的数 学工具，可以用来描述和解决各 种数学问题，如数列求和、数列
极限等。
金融计算
等比数列在金融领域的应用广泛， 如复利计算、贷款还款等，通过等 比数列的公式可以快速准确地计算 出结果。
统计学
在统计学中，等比数列常被用来描 述和预测数据分布，如人口增长、 股票价格波动等。
使用等比数列求和公式可 以大大简化计算过程，提 高计算效率。
推广到其他数列
等比数列求和公式的应用 不仅限于等比数列，还可 以推广到其他类型的数列。
实例解析
实例一
求1,2,4,8,16,...的前n项和。
实例二
求1,3,9,27,81,...的前n项和。
实例三
求2,4,8,16,...的前n项和。
05
通过观察数列1，4，16，64，...可以发现相邻两项的比值分别
为4，4，4，...，所以公比q = 4。
答案2
03
这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
答案与解析
• 解析2：已知等比数列的公比为2，前四项和为1，设第一项为a， 则第二项为2a，第三项为4a，第四项为8a。根据等比数列前n 项和公式S_n = a * (q^n - 1) / (q - 1)，代入n=4, q=2, S_4=1，解得a = 1/3。因此这四项分别为1/3, 2/3, 4/3, 8/3。
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• 引言 • 等比数列的定义与性质 • 等比数列的通项公式 • 等比数列的求和公式 • 等比数列的应用 • 习题与解答
01
引言
主题简介
定义
等比数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻 项之间的比值是常数。
《等比数列的性质》课件
《等比数列的性质》PPT 课件
欢迎大家来到今天的课程，我们将一起探索等比数列的性质。等比数列是数 学中非常重要的一个概念，它不仅在实际问题中有广泛应用，同时也是计算 机算法分析和音乐学中来自重要基础。什么是等比数列？
等比数列是一种特殊的数列，每一项与前一项的比相等。通项公式为 $a_n = a_1 q^{n-1}$，其中 $a_1$ 为首项，$q$ 为公比。
等比数列的性质
当$q > 1$时，数列为递增数列； 当$0 < q < 1$时，数列为递减数列； 当$q = -1$时，数列为交错数列； 当$q < -1$且$n$为偶数时，数列为单调递增的正数数列。
$\d frac{a_{m }}{a_{n}} = q^{m-n}$
$S_n = \d frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，当$q \neq 1$时成立。 • 公比$q$的取值范围： • 比值公式： • 前$n$项和公式：
等比数列的应用
复利问题、电路中的 应用
等比数列在复利问题以及 电路中能够提供有效的计 算方法和分析工具。
计算机算法的时间复 杂度分析
等比数列可以帮助我们分 析和评估计算机算法的时 间复杂度。
音乐领域中的应用
上下行音程的音高可以用 等比数列来表示，为音乐 理论和演奏提供了重要工 具。
思考题
在一个等比数列中，有两个数 $a$ 和 $b$，它们的乘积等于 $ab^m$。请问，这个数列的公比的取值范 围是多少？
欢迎大家来到今天的课程，我们将一起探索等比数列的性质。等比数列是数 学中非常重要的一个概念，它不仅在实际问题中有广泛应用，同时也是计算 机算法分析和音乐学中来自重要基础。什么是等比数列？
等比数列是一种特殊的数列，每一项与前一项的比相等。通项公式为 $a_n = a_1 q^{n-1}$，其中 $a_1$ 为首项，$q$ 为公比。
等比数列的性质
当$q > 1$时，数列为递增数列； 当$0 < q < 1$时，数列为递减数列； 当$q = -1$时，数列为交错数列； 当$q < -1$且$n$为偶数时，数列为单调递增的正数数列。
$\d frac{a_{m }}{a_{n}} = q^{m-n}$
$S_n = \d frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，当$q \neq 1$时成立。 • 公比$q$的取值范围： • 比值公式： • 前$n$项和公式：
等比数列的应用
复利问题、电路中的 应用
等比数列在复利问题以及 电路中能够提供有效的计 算方法和分析工具。
计算机算法的时间复 杂度分析
等比数列可以帮助我们分 析和评估计算机算法的时 间复杂度。
音乐领域中的应用
上下行音程的音高可以用 等比数列来表示，为音乐 理论和演奏提供了重要工 具。
思考题
在一个等比数列中，有两个数 $a$ 和 $b$，它们的乘积等于 $ab^m$。请问，这个数列的公比的取值范 围是多少？
等比数列求和公式及性质课件PPT
的符号相反。
公比为负数的等比数列求和公式： S = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q)
公比为负数的等比数列具有特殊 的性质，如对称性、周期性等。
公比为1的性质
当公比q=1时，等比 数列退化为等差数列， 各项相等。
公比为1的等比数列 具有特殊的性质，如 对称性、周期性等。
公比为1的等比数列 求和公式：S = n * a_1
研究电磁波的传播特性
在研究电磁波的传播特性时，常常需要用到等比 数列求和公式来求解与波动相关的数学模型。
在经济中的应用
分析股票价格波动
评估投资回报
在股票市场中，股票价格常常呈现一 定的波动规律，利用等比数列求和公 式可以分析股票价格的波动规律。
在投资领域中，利用等比数列求和公 式可以评估投资回报的长期收益，为 投资者提供参考。
4. 在等比数列中，两个相同项之间的项数可以确定为n， 那么这两项之间的所有项的和可以表示为a_n * (q^n - 1) / (q - 1)。
等比数列的通项公式
总结词
等比数列的通项公式是用来表示等比数列中每一项的数学表达式。
详细描述
等比数列的通项公式为a_n = a_1 * q^(n-1)，其中a_1是首项，q是公比，n是 项数。这个公式可以用来计算等比数列中的任何一项，只要知道首项、公比和 项数。
差数列、等比数列的性质、通项公式等。
在物理中的应用
1 2 3
解决与周期性运动相关的问题
等比数列求和公式在物理学中有广泛的应用，如 求解与周期性运动相关的问题，如简谐运动、波 动等。
分析量子力学中的概率幅
在量子力学中，概率幅常常以等比数列的形式出 现，利用等比数列求和公式可以方便地计算出概 率幅之和。
公比为负数的等比数列求和公式： S = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q)
公比为负数的等比数列具有特殊 的性质，如对称性、周期性等。
公比为1的性质
当公比q=1时，等比 数列退化为等差数列， 各项相等。
公比为1的等比数列 具有特殊的性质，如 对称性、周期性等。
公比为1的等比数列 求和公式：S = n * a_1
研究电磁波的传播特性
在研究电磁波的传播特性时，常常需要用到等比 数列求和公式来求解与波动相关的数学模型。
在经济中的应用
分析股票价格波动
评估投资回报
在股票市场中，股票价格常常呈现一 定的波动规律，利用等比数列求和公 式可以分析股票价格的波动规律。
在投资领域中，利用等比数列求和公 式可以评估投资回报的长期收益，为 投资者提供参考。
4. 在等比数列中，两个相同项之间的项数可以确定为n， 那么这两项之间的所有项的和可以表示为a_n * (q^n - 1) / (q - 1)。
等比数列的通项公式
总结词
等比数列的通项公式是用来表示等比数列中每一项的数学表达式。
详细描述
等比数列的通项公式为a_n = a_1 * q^(n-1)，其中a_1是首项，q是公比，n是 项数。这个公式可以用来计算等比数列中的任何一项，只要知道首项、公比和 项数。
差数列、等比数列的性质、通项公式等。
在物理中的应用
1 2 3
解决与周期性运动相关的问题
等比数列求和公式在物理学中有广泛的应用，如 求解与周期性运动相关的问题，如简谐运动、波 动等。
分析量子力学中的概率幅
在量子力学中，概率幅常常以等比数列的形式出 现，利用等比数列求和公式可以方便地计算出概 率幅之和。
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（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。
例3：设 求证：
均为非零实数，
成GP且公比为 d
证：关于 的二次方程 有实根， ∴a, b, c成a 2 q 2 d 2 2aq a aq2 d a 2 q 2 a 2 q 4 0
若数列{an}是公比为q的等比数列,则
(1)当q>1,a1>0或0<q<1,a1<0时, {an}是递增数列; 当q>1, a1<0,或0<q<1,a1>0时, {an}是递减数列; 当q=1时, {an}是常数列; 当q<0时, {an}是摆动数列;
(2)an≠0,且anan+2>0 (3)an=amqn-m(n,m∈N*). (4)当n+m=p+q(n,m,p,q∈N*)时,有anam=apaq, (5)当{an}是有穷数列时,与首末两项等距离的两项 的积都相等,且等于首末两项的积
(6)数列{λ an}(λ 为不等于零的常数)仍是公比为q的 等比数列.
(7)若{bn}是公比为q′的等比数列,则数列{an• bn } 是公比为qq′的等比数列. (8)数列 是公比为 的等比数列.
(9)在{an}中,每隔k(k∈N*)项取出一项,按原来顺序 排列,所得的新数列仍为等比数列,且公比为qk+1.
(10)若m、n、p(m、n、p∈N*)成等差数列时， am , an , a p 成等比数列。
例1：1、在等比数列 。 解：∵ ∴
，已知
，
，求
2、在等比数列 解：
中，
，求该数列前七项之积。
∴前七项之积
3、在等比数列
中，
，求
另解：∵
是
与
的等比中项，
三、判断一个数列是否成GP的方法： 1、定义法，2、中项法，3、通项公式法 例2：已知无穷数列 求证：（1）这个数列成GP （2）这个数列中的任一项是它后面第五项的 （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。 证：（1） （常数） ∴该数列成GP。