2019年高三数学(理科)人教A版一轮课时分层训练51直线与圆、圆与圆的位置关系Word版含解析
直线与圆、圆与圆的位置关系(测)-2019年高考数学(理)---精校解析 Word版
届河南省安阳市第三十五中学高三入门】已知圆与直线个交点，则正实数B. C. 1 D.【解析】圆化为标准方程即，由题意，圆心到直线的距离已知圆，当圆的面积最小时，直线B． C若直线与圆相切，且为锐角，则这条直线的斜率C D．【解析】由题意：，为锐角，所以所以直线已知条件，条件：直线相切，则的（与直线的值是（B. C. D.到直线所以有当时圆心为.届安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等高中十校联盟高三摸底】设直线交于两点，过分别作轴的垂线与轴交于两点若线段的长度为B. C. 或 D. 或届二轮复习测试】已知光线从点射出，经过线段(反射，恰好与圆C对称点，要使反射光线与圆相切，只需使得射线可，而直线的方程为：，直线为：，得，结合图象可知：已知圆，，若圆上存在点，则的最大值为（B. D.，故选届广西南宁市第三中学高三第一次月考】已知圆和两点，，上存在点，则的距离为C整理为的距离为的倾斜角的取值范围是的最小值为与圆已知圆和圆与圆的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为（，则B. C. D.，所以，所以：，再用均值求的最小值；：】过定点的直线：相切于点，则月摸底】已知圆的方程为，点为圆点，过点的直线与圆相交于两点，当最小时，直线的方程为【答案】点在圆垂直时，弦长，直线的斜率，直线的方程为，整理得故答案为已知直角坐标系中的点【答案】的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆①对于圆是圆的一个太极函数；所对应的函数一定是圆④若函数是圆的太极函数，则均为两曲线的对称中心，且能把圆恒过定点为奇函数，，得即，当即时，函数图象与圆有四个交点，已知点:，过点的动直线与圆交于的中点的轨迹方程；时，求的方程及）的方程为的面积为为圆心，为半径的圆，故上，从而的斜率为，故的方程为的距离为，，所以的面积为.的圆心在轴正半轴上，且轴和直线）求圆）若直线相交于两点，点，且为锐角，求实数的取值范围(1)）设圆的方程为，则圆或的取值范围是届高三上期中】已知圆、）若交点为及）若直线过点，求的值．（）））将点代入直线，，解出代入圆，解得的距离代入解出届第一次大考】已知直线，，是上的动点，过点，线段于点的轨迹为）求轨迹且与坐标轴不垂直的直线交曲线两点，若以线段为直径的圆相切，求直线的方程；即到定点到定直线的距离，所以的轨迹是以）依题意设直线的方程为联立，并整理得由抛物线的定义知的中点即因为以线段为直径的圆与直线解得所以直线的方程为，且圆心在直线上，直线【答案】，得，得=.，试求直线:的直线面积的最大值及此时直线，直线的方程为或设直线的方程：到直线的距离为.，则面积的为：，即时取“的方程为或。
2019年高三理科数学一轮复习：直线、圆的位置关系(知识讲解与题型演练)
2019年高三理科数学一轮复习：直线、圆的位置关系（知识讲解与题型演练）自查自纠1．0 d >r 1 两组相同实数解 d <r 两组不同实数解 2．d >R ＋r d ＝R ＋r R －r <d <R ＋r d ＝R －r d <R －r圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是( ) A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．相交过圆心D ．相离解：由题意知圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离d ＝|2×1－2－5|22＋1＝5<6，且2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心．故选B.若直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交，则P (a ，b )与圆x 2＋y 2＝1的关系为( ) A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．以上都有可能解：|a ×0＋b ×0－1|a 2＋b2<1，所以a 2＋b 2>1，所以P (a ，b )在圆外．故选B.已知圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4(a >0)及直线l ：x －y ＋3＝0，当直线l 被C 截得的弦长为23时，则a 等于( )A. 2 B ．2－ 2C.2－1D.2＋1解：依题意⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋1|22＋(3)2＝4.又a >0，所以a ＝2－1.故选C.若圆C 1：x 2＋y 2＝1 与圆 C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则 m ＝________． 解：圆C 1的圆心是原点(0，0)，半径r 1＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ，圆心C 2(3，4)，半径r 2＝25－m ，由两圆相外切，得|C 1C 2|＝r 1＋r 2＝1＋25－m ＝5，所以m ＝9.故填9.已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A ，B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|(其中O 为坐标原点)，则实数a 等于________．解：由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|知OA ⊥OB ，所以由题意可得|a |2＝2，所以a ＝±2.故填±2.类型一 直线与圆的位置关系m 为何值时，直线2x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝5： (1)无公共点； (2)截得的弦长为2；(3)交点处两条半径互相垂直．解：(1)由已知，圆心为O (0，0)，半径r ＝5，圆心到直线2x －y ＋m ＝0的距离d ＝|m |22＋（－1）2＝|m |5，因为直线与圆无公共点，所以d >r ，即|m |5>5， 所以m >5或m <－5.故当m >5或m <－5时，直线与圆无公共点．(2)由已知有r 2－d 2＝12，即5－m 25＝1.得m ＝±25，所以当m ＝±25时，直线被圆截得的弦长为2. (3)由于交点处两条半径互相垂直，所以弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，所以d ＝22r ，即|m |5＝22·5，解得m ＝±522.故当m ＝±522时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直．【点拨】在处理直线与曲线的位置关系时，一般用二者联立所得方程组的解的情况进行判断(即代数方法)，但若曲线是圆，则属例外情形，此时我们一般用圆心到直线的距离与半径的大小关系进行判断(即几何方法)，判断的具体方法详见“考点梳理”栏目．过点A (3，1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________．解：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y －1＝k (x －3)，则圆心到直线l 的距离d ＝|3k －1|1＋k 2，因为直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，所以d ≤1，即|3k －1|1＋k 2≤1，得0≤k ≤ 3.故填[0，3]．类型二 圆的切线已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，点P (2，－1)，过P 点作圆C 的切线P A ，PB ，A ，B 为切点．(1)求P A ，PB 所在直线的方程； (2)求切线P A 的长．解：(1)如图，易知切线P A ，PB 的斜率存在，设切线的斜率为k .由于切线过点P (2，－1)，所以可设切线的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即kx －y －2k －1＝0.又因为圆心C (1，2)，半径r ＝2， 所以由点到直线的距离公式，得 2＝||k －2－2k －1k 2＋（－1）2，解得k ＝7或k ＝－1.故所求切线P A ，PB 的方程分别是x ＋y －1＝0和7x －y －15＝0. (2)连接AC ，PC ，则AC ⊥AP .在Rt △APC 中，||AC ＝2，||PC ＝（2－1）2＋（－1－2）2＝10， 所以||P A ＝|PC |2－|AC |2＝10－2＝2 2.【点拨】求过定点的圆的切线方程时，首先要判断定点在圆上还是在圆外，若在圆上，则该点为切点，切线仅有一条；若在圆外，切线应该有两条；若用切线的点斜式方程，不要忽略斜率不存在的情况．求切线长要利用切线的性质：过切点的半径垂直于切线．(2015·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．解：由直线mx －y －2m －1＝0得m (x －2)－(y ＋1)＝0，故直线过点(2，－1)．当切线与过(1，0)，(2，－1)两点的直线垂直时，圆的半径最大，此时有r ＝1＋1＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.故填(x －1)2＋y 2＝2.类型三 圆的弦长(1)(2015·全国Ⅱ)过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10解：因为k AB ＝－13，k BC ＝3，所以k AB ·k BC ＝－1，即AB ⊥BC ，所以AC 为圆的直径．所以圆心为(1，－2)，半径r ＝|AC |2＝102＝5，圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25.令x ＝0，得y ＝±26－2，所以|MN |＝4 6.故选C.(2)过点(3，1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为____________．解：最短弦为过点(3，1)，且垂直于点(3，1)与圆心(2，2)的连线的弦，易知弦心距d ＝（3－2）2＋（1－2）2＝2，所以最短弦长为l ＝2r 2－d 2＝222－（2）2＝2 2.故填2 2.【点拨】(1)一般来说，直线与圆相交，应首先考虑圆心到直线的距离、弦长的一半、圆的半径构成的直角三角形，由此入手求解．(2)圆O 内过点A 的最长弦即为过该点的直径，最短弦为过该点且垂直于直径的弦．(3)圆锥曲线的弦长公式为1＋k 2·||x 1－x 2，运用这一公式也可解此题，但运算量较大．(1)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( )A. 3B ．2C. 6D ．2 3解：直线方程为y ＝3x ，圆x 2＋y 2－4y ＝0的圆心坐标为(0，2)，半径为2，圆心到直线的距离d ＝2（3）2＋1＝1，所以弦长为2r 2－d 2＝2 3.故选D.(2)(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若|AB |＝23，则|CD |＝________． 解：设AB 的中点为M ，由题意知，圆的半径R ＝23，|AB |＝23，所以|OM |＝|3m －3|m 2＋1＝3，解得m ＝－33，可得l ：x －3y ＋6＝0，由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12解得A (－3，3)，B (0，23)，则AC 的直线方程为y －3＝－3(x ＋3)，BD 的直线方程为y －23＝－3x ，令y ＝0，解得C (－2，0)，D (2，0)，所以|CD |＝4.故填4.类型四 圆与圆的位置关系已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，问：m 为何值时，(1)圆C 1和圆C 2相外切？ (2)圆C 1和圆C 2内含？解：易知圆C 1，C 2的标准方程分别为C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，(1)如果圆C 1与圆C 2相外切，则两圆圆心距等于两圆半径之和，即有（m ＋1）2＋（m ＋2）2＝3＋2，解得m ＝－5或2.故当m ＝－5或2时，圆C 1和圆C 2相外切．(2)如果圆C 1与圆C 2内含，则只可能是较大圆C 1含较小圆C 2，此时两圆圆心距小于两圆半径之差，即（m ＋1）2＋（m ＋2）2<3－2，解得－2<m <－1. 当－2<m <－1时，圆C 1和圆C 2内含．【点拨】与判断直线与圆的位置关系一样，利用几何方法判定两圆的位置关系比用代数方法要简捷些．其具体方法是：利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d 和两圆的半径R 和r ，再根据d 与R ＋r ，d 与R －r 的大小关系来判定(详见“考点梳理”栏目)．(1)(2016·山东)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离解：由垂径定理得⎝⎛⎭⎫a 22＋(2)2＝a 2，解得a 2＝4，所以圆M ：x 2＋(y －2)2＝4，所以圆M 与圆N 的圆心距d ＝（0－1）2＋（2－1）2＝ 2.因为2－1<2<2＋1，所以两圆相交．故选B.(2)两圆(x －2)2＋(y －1)2＝4与(x ＋1)2＋(y －2)2＝1的公切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条解：两圆的圆心距d ＝（2＋1）2＋（1－2）2＝10>1＋2，所以两圆外离，两圆的公切线有4条．故选D.类型五 两圆的公共弦及圆系方程求两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长． 解：联立两圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，两式相减整理得x －2y ＋4＝0，所以两圆公共弦所在直线的方程为x －2y ＋4＝0.下求公共弦长．解法一：设两圆相交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－4，y 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝2.所以|AB |＝（0＋4）2＋（2－0）2＝25，即公共弦长为2 5.解法二：由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径r ＝52，圆心到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1－2×（－5）＋4|1＋（－2）2＝3 5.设公共弦长为2l ，由勾股定理得r 2＝d 2＋l 2，即50＝(35)2＋l 2，解得l ＝5，故公共弦长2l ＝2 5.【点拨】具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫做圆系方程，常见的圆系方程有以下几种：①同心圆系方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)．其中的a ，b 是定值，r 是参数． ②半径相等的圆系方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)．其中r 是定值，a ，b 是参数． ③过直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0交点的圆系方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ(Ax ＋By ＋C )＝0(λ∈R )．④过圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0交点的圆系方程：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C 2，因此应用时注意检验C 2是否满足题意，以防丢解)．当λ＝－1时，圆系方程表示直线l ：(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋(F 1－F 2)＝0.若两圆相交，则l 为两圆相交弦所在直线；若两圆相切，则l 为公切线．若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________．解：由题意⊙O 1与⊙O 在A 处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，所以O 1A ⊥O A.又因为|OA |＝5，|O 1A |＝25，所以|OO 1|＝5.又A ，B 关于OO 1对称，所以AB 为Rt △OAO 1斜边上的高的2倍． 所以|AB |＝2×5×255＝4.故填4. 类型六 圆的综合应用(2015·全国卷Ⅰ)已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M 、N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解：(1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1.因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1.解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入圆C 的方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8.由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1.故圆C 的圆心(2，3)在l 上，所以|MN |＝2.【点拨】处理圆的综合问题，首先考虑数形结合及应用圆的几何性质，在必要时联立方程，涉及的主要问题有：最值(范围)、定值(定点)、弦长(距离、面积)、平行(垂直)及轨迹等问题，注意借助向量工具．已知圆C 过点P (1，1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r >0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ →·MQ →的最小值． 解：(1)设圆心C (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2.将点P 的坐标代入，得r 2＝2. 故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，且PQ →·MQ →＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2.令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，则x ＋y －2＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2，最小值为－2－2＝－4，所以PQ →·MQ →的最小值为－4.1．在解决直线和圆的位置关系问题时，一定要联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征以简化运算；讨论直线与圆的位置关系时，一般不讨论Δ>0，Δ＝0，Δ<0，而用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 之间的关系，即d <r ，d ＝r ，d >r ，分别确定相交、相切、相离． 2．两圆相交，易只注意到d ＜R ＋r 而遗漏掉d ＞R －r .3．要特别注意利用圆的性质，如“垂直于弦的直径必平分弦”“圆的切线垂直于过切点的半径”“两圆相切时，切点与两圆圆心三点共线”等等．可以说，适时运用圆的几何性质，将明显减少代数运算量，请同学们切记．4．涉及圆的切线时，要考虑过切点与切线垂直的半径，过圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外一点M (x 0，y 0)引圆的切线，T 为切点，切线长公式为||MT ＝x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F .5．计算弦长时，要利用半径、弦心距(圆心到弦所在直线的距离)、半弦长构成的直角三角形．当然，不失一般性，圆锥曲线的弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2](A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为弦的两个端点)也应重视．6．已知⊙O 1：x 2＋y 2＝r 2；⊙O 2：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2； ⊙O 3：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.若点M (x 0，y 0)在圆上，则过M 的切线方程分别为 x 0x ＋y 0y ＝r 2；(x －a )(x 0－a )＋(y －b )(y 0－b )＝r 2；x 0x ＋y 0y ＋D ·x 0＋x 2＋E ·y 0＋y2＋F ＝0.若点M (x 0，y 0)在圆外，过点M 引圆的两条切线，切点为M 1，M 2，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程分别为 x 0x ＋y 0y ＝r 2；(x －a )(x 0－a )＋(y －b )(y 0－b )＝r 2； x 0x ＋y 0y ＋D ·x 0＋x 2＋E ·y 0＋y2＋F ＝0.圆x 2＋y 2＝r 2的斜率为k 的两条切线方程分别为 y ＝kx ±r 1＋k 2.掌握这些结论，对解题很有帮助．7．研究两圆的位置关系时，要灵活运用平面几何法、坐标法．两圆相交时可由两圆的方程消去二次项求得两圆公共弦所在的直线方程．8．对涉及过直线与圆、圆与圆的交点的圆的问题，可考虑利用过交点的圆系方程解决问题，它在运算上往往比较简便．1．(2015·安徽)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( ) A ．－2或12B ．2或－12C ．－2或－12D ．2或12解：圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，依题意得圆心(1，1)到直线3x ＋4y ＝b 的距离d ＝|3＋4－b |32＋42＝1，即|b －7|＝5，解得b ＝12或b ＝2.故选D. 2．圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离解：两圆圆心分别为O 1(－2，0)，O 2(2，1)，半径长分别为r 1＝2，r 2＝3.因为||O 1O 2＝[2－（－2）]2＋（1－0）2＝17，3－2<17<3＋2，所以两圆相交．故选B. 3．(2015·广东) 平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0解：设所求直线方程为2x ＋y ＋m ＝0，则圆心到该直线的距离为|m |22＋1＝5，所以|m |＝5，即m ＝±5.故选A.4．(2015·重庆)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( ) A ．2 B ．4 2 C ．6 D ．210解：圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝22，圆心为C (2，1)，半径r ＝2，由直线l 是圆C 的对称轴，可知直线l 过点C ，所以2＋a ×1－1＝0，即a ＝－1，所以A (－4，－1)，于是|AC |2＝40，所以|AB |＝|AC |2－22＝40－4＝6.故选C.5．(2016·武汉模拟)过点P (3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0D ．4x ＋y －3＝0解：如图，令圆心坐标为C (1，0)，易知A (1，1)．又k AB ·k PC ＝－1，且k PC ＝1－03－1＝12，则k AB ＝－2.故直线AB 的方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0.故选A.6．与直线x －y －4＝0和圆x 2＋y 2＋2x －2y ＝0都相切的半径最小的圆的方程是( ) A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝4解：由已知圆的圆心C (－1，1)向直线x －y －4＝0作垂线，垂足为H ，当所求圆的圆心位于CH 上时，所求圆的半径最小，此时所求圆与直线和已知圆都外切．易知垂线CH 的方程为x ＋y ＝0，分别求出垂线x ＋y ＝0与直线x －y －4＝0的交点(2，－2)及与已知圆的交点(0，0)，所以要求的圆的圆心为(1，－1)，半径r ＝ 2.所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.故选C.7．(2016·宁夏模拟)直线y ＝2x ＋3被圆x 2＋y 2－6x －8y ＝0所截得的弦长等于____________． 解：圆的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25，故圆心为(3，4)，半径r ＝5，又直线方程为2x－y ＋3＝0，则圆心到直线的距离为d ＝|2×3－4＋3|4＋1＝5，所以弦长为2r 2－d 2＝2×25－5＝220＝4 5.故填4 5.8．过点(1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝________．解：因为(1－2)2＋(2)2＝3<4，所以点(1，2)在圆(x －2)2＋y 2＝4的内部．当劣弧所对的圆心角最小时，圆心(2，0)与点(1，2)的连线垂直于直线l .因为2－01－2＝－2，所以所求直线l 的斜率k ＝22.故填22. 9．已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＝0.(1)求m 的取值范围；(2)当m ＝4时，若圆C 与直线x ＋ay －4＝0交于M 、N 两点，且CM ⊥CN ，求a 的值． 解：(1)D 2＋E 2－4F ＝4＋16－4m >0，所以m <5.故m 的取值范围为(－∞，5)．(2)因为m ＝4，所以(x －1)2＋(y －2)2＝1，圆心C (1，2)，半径r ＝1. 因为CM ⊥CN ，所以d ＝22，即|1＋2a －4|1＋a2＝22. 化简，得7a 2－24a ＋17＝0，解得a ＝1或a ＝177. 10．已知圆C 的圆心C 在第一象限，且在直线3x －y ＝0上，该圆与x 轴相切，且被直线x －y ＝0截得的弦长为27，直线l ：kx －y －2k ＋5＝0与圆C 相交．(1)求圆C 的标准方程．(2)求出直线l 所过的定点；当直线l 被圆所截得的弦长最短时，求直线l 的方程及最短的弦长．解：(1)设圆心C (a ，b )，a >0，b >0，半径为r ，则b ＝3a ，r ＝3a .圆心C (a ，3a )到直线x －y ＝0的距离d ＝|a －3a |12＋12＝2a ，则(2a )2＋(7)2＝(3a )2，即a 2＝1. 因为a >0，所以a ＝1.因为圆心C (1，3)，半径为3，所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝9.(2)因为直线l ：kx －y －2k ＋5＝0，即(x －2)k －(y －5)＝0，所以直线l 过定点M (2，5)．k CM ＝2，弦长最短时，k l ＝－12. 此时直线l ：x ＋2y －12＝0，|CM |＝5，所以最短弦长为4.已知点P (2，2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求l 的方程及△POM 的面积．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，圆心C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y )．由题设知CM →·MP →＝0，有x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，变形得(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故点O 在线段PM 的垂直平分线上．又点P 在圆N 上，所以ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以直线l 的斜率为－13. 所以直线l 的方程为y ＝－13x ＋83. 又|OM |＝|OP |＝22，点O 到直线l 的距离d ＝83⎝⎛⎭⎫－132＋12＝4105，|PM |＝2|OP |2－d 2＝4105， 所以S △POM ＝12×|PM |×d ＝12×4105×4105＝165. 所以△POM 的面积为165.1．(2016·四川模拟)圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( )A ．2 B.2＋1C.22＋1 D ．22＋1 解：已知圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆上的点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离d 加上半径，因为d ＝|1－1－2|2＝2，半径为1，所以距离的最大值是2＋1.故选B.2．直线y ＝kx ＋2与圆x 2＋y 2＝1没有公共点的充要条件是( )A ．k ∈(－2，2)B ．k ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．k ∈(－3，3)D ．k ∈(－∞，－3)∪(3，＋∞)解：直线y ＝kx ＋2与圆x 2＋y 2＝1没有公共点等价于圆心(0，0)到直线y ＝kx ＋2的距离大于圆的半径，即2k 2＋1>1，解得－3<k < 3.故选C. 3．(2016·深圳模拟)圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解：圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0的标准方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，所以圆心(－1，－2)到直线x ＋y ＋1＝0的距离为|－1－2＋1|2＝2，而22－2＝2，因此圆上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有3个．故选C.4．(2016·深圳模拟)已知圆C 的圆心与点P (－2，1)关于直线y ＝x ＋1对称，直线3x ＋4y －11＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋(y ＋1)2＝18B ．(x －1)2＋y 2＝18C ．(x ＋1)2＋y 2＝18D ．x 2＋(y －1)2＝18解：易知点P (－2，1)关于直线y ＝x ＋1的对称点为(0，－1)，即C (0，－1)，圆心到直线3x＋4y －11＝0的距离d ＝|0－4－11|32＋42＝3，所以半径r ＝32＋32＝32，则圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝18.故选A.5．若圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )内切，则ab 的最大值为( )A. 2 B ．2 C ．4 D ．2 2解：圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋a 2－9＝0(a ∈R )，化为(x －a )2＋y 2＝9，圆心坐标为(a ，0)，半径为3.圆C 2：x 2＋y 2＋2by ＋b 2－1＝0(b ∈R )，化为x 2＋(y ＋b )2＝1，圆心坐标为(0，－b )，半径为1，因为两圆内切，所以a 2＋b 2＝3－1，即a 2＋b 2＝4，ab ≤12(a 2＋b 2)＝2.当且仅当a ＝b ＝±2时取“＝”．所以ab 的最大值为2.故选B.6．(2015·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥B C.若点P 的坐标为(2，0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解：因为A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，所以AC 为圆的直径，故P A →＋PC →＝2PO→＝(－4，0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[－1，1]，PB →＝(x －2，y )，所以P A →＋PB →＋PC →＝(x －6，y )．故|P A →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，所以当x ＝－1时有最大值49＝7，故选B.7．已知点P (0，1)是圆x 2＋y 2－4y ＝0内一点，AB 为过点P 的弦，且弦长为14，则直线AB 的方程为________．解：圆心(0，2)，半径为2.由题意知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，圆心到直线的距离d ＝1k 2＋1.由d 2＋⎝⎛⎭⎫AB 22＝r 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋12＋⎝⎛⎭⎫1422＝4，得k ＝±1.所求直线AB 的方程为x ＋y －1＝0或x －y ＋1＝0.故填x ＋y －1＝0或x －y ＋1＝0.8．(2016·鄂州模拟)点A ，B 分别为圆M ：x 2＋(y －3)2＝1与圆N ：(x －3)2＋(y －8)2＝4上的动点，点C 在直线x ＋y ＝0上运动，则|AC |＋|BC |的最小值为____________．解：由题可知M (0，3)，N (3，8)，令圆M 和圆N 的半径分别为R 1，R 2，则点M 关于直线x ＋y ＝0的对称点设为M ′，可知坐标为(－3，0)，那么|AC |＋|BC |的最小值就是|M ′N |－R 1－R 2＝（－3－3）2＋（0－8）2－3＝7.故填7.9．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，求实数k 的取值范围． 解：圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4，0)．由题意知(4，0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2，即|4k －2|k 2＋1≤2.整理，得3k 2－4k ≤0.解得0≤k ≤43. 故实数k 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，43. 10．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3.故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22. 又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3.(2016·湖南模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝9及点C (2，1)，过点C 的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求直线l 的方程．解：当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝2，则P ，Q 的坐标分别为(2，5)，(2，－5)，所以S △OPQ ＝12×2×25＝2 5. 当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)⎝⎛⎭⎫k ≠12， 则圆心到直线PQ 的距离为d ＝|1－2k |k 2＋1， 且|PQ |＝29－d 2，则S △OPQ ＝12×|PQ |×d ＝12×29－d 2×d ＝（9－d 2）d 2≤⎝⎛⎭⎫9－d 2＋d 222＝92， 当且仅当9－d 2＝d 2，即d 2＝92时，S △OPQ 取得最大值92. 因为25<92，所以S △OPQ 的最大值为92， 此时，由4k 2－4k ＋1k 2＋1＝92，解得k ＝－7或k ＝－1， 则直线l 的方程为x ＋y －3＝0或7x ＋y －15＝0.。
2019年高考数学一轮复习课时分层训练51直线与圆圆与圆的位置关系理北师大版
课时分层训练(五十一) 直线与圆、圆与圆的位置关系A 组 基础达标一、选择题1．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定B [由题意知点在圆外，则a 2＋b 2>1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2<1，故直线与圆相交．]2．(2018·东北三省四市模拟(二))直线x －3y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －3)2＝10相交所得弦长为( ) A.30 B.532C ．4 2D ．33 A [圆心(1,3)到直线的距离为|1－3×3＋3|12＋32＝102，从而得所求弦长为210－⎝⎛⎭⎪⎫1022＝30，故选A.] 3．过点(1，－2)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A ．y ＝－34 B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－14B [圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以(1－1)2＋(－2－0)2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1， 将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.]4．(2018·深圳二调)在平面直角坐标系中，直线y ＝2x 与圆O ：x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，α，β的始边是x 轴的非负半轴，终边分别在射线OA 和OB 上，则tan(α＋β)的值为( )【导学号：79140281】A ．－2 2B ．－ 2C ．0D ．22A [由题可知tan α＝tan β＝2，那么tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－22，故选A.]5．(2017·广东惠州一模)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心在直线ax －by ＋1＝0上，则ab 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，18C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18 B [把圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， ∴圆心的坐标为(－1,2)，半径r ＝2， ∵圆C 的圆心在直线ax －by ＋1＝0上， ∴－a －2b ＋1＝0，即a ＝1－2b ， 则ab ＝b (1－2b )＝－2b 2＋b＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －142＋18，∴当b ＝14时，ab 有最大值，最大值为18，则ab 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，18.故选B.]二、填空题6．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ，B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________________．x ＋y －3＝0 [∵圆C 1的圆心C 1(3,0)，圆C 2的圆心C 2(0,3)，∴直线C 1C 2的方程为x ＋y－3＝0，AB 的中垂线即直线C 1C 2，故其方程为x ＋y －3＝0.]7．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝________.1 [两圆的方程作差易知公共弦所在的直线方程为y ＝1a，如图，由已知得|AC |＝3，|OA |＝2，∴|OC |＝1a＝1，∴a ＝1.]8．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝__________.4 [法一：由圆x 2＋y 2＝12知圆心O (0,0)，半径r ＝23.∴圆心(0,0)到直线x －3y ＋6＝0的距离d ＝61＋3＝3，|AB |＝212－32＝2 3.过C 作CE ⊥BD 于E .如图所示，则|CE |＝|AB |＝2 3. ∵直线l 的方程为x －3y ＋6＝0， ∴k AB ＝33，则∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°. ∴|CD |＝|CE |sin 60°＝|AB |sin 60°＝2332＝4.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，得y 2－33y ＋6＝0，解得y 1＝3，y 2＝23， ∴A (－3，3)，B (0,23)． 过A ，B 作l 的垂线方程分别为y －3＝－3(x ＋3)，y －23＝－3x ，令y ＝0，得x C ＝－2，x D ＝2，∴|CD |＝2－(－2)＝4.] 三、解答题9．已知点P (2＋1,2－2)，M (3,1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4.【导学号：79140282】(1)求过点P 的圆C 的切线方程；(2)求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长． [解] 由题意得圆心C (1,2)，半径r ＝2. (1)∵(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4， ∴点P 在圆C 上．又k PC ＝2－2－22＋1－1＝－1，∴切线的斜率k ＝－1k PC＝1.∴过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝x －(2＋1)，即x －y ＋1－22＝0. (2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4， ∴点M 在圆C 外部．当过点M 的直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝3， 即x －3＝0.又点C (1,2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ， 即此时满足题意，所以直线x ＝3是圆的切线． 当切线的斜率存在时， 设切线方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0， 则圆心C 到切线的距离d ＝|k －2＋1－3k |k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝34.∴切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0. ∵|MC |＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，∴过点M 的圆C 的切线长为|MC |2－r 2＝5－4＝1.10．(2015·全国卷Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. [解] (1)由题设可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1， 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k2＋8. 由题设可得4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1， 所以直线l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2.B 组 能力提升11．(2018·南宁、钦州第二次适应性考试)过动点M 作圆：(x －2)2＋(y －2)2＝1的切线MN ，其中N 为切点，若|MN |＝|MO |(O 为坐标原点)，则|MN |的最小值是( ) A.324B.728 C. 2 D.928B [设圆心C (2,2)，因为|MN |＝|MO |，所以|MN |2＝|MC |2－1＝|MO |2.设M (x ，y )，则(x －2)2＋(y －2)2－1＝x 2＋y 2，化简得4x ＋4y －7＝0，即为点M 的轨迹方程，则|MN |的最小值为|MO |的最小值，即点O 到直线4x ＋4y －7＝0的距离，所以|MN |min ＝|－7|16＋16＝728，故选B.] 12．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上．若PA →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________． [－52，1] [设P (x ，y )，则PA →＝(－12－x ，－y )，PB →＝(－x,6－y )． ∵PA →·PB →≤20，∴(－12－x )·(－x )＋(－y )·(6－y )≤20，即2x －y ＋5≤0.如图，作圆O ：x 2＋y 2＝50，直线2x －y ＋5＝0与⊙O 交于E ，F 两点， ∵P 在圆O 上且满足2x －y ＋5≤0， ∴点P 在EDF 上．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝50，2x －y ＋5＝0得F 点的横坐标为1，又D 点的横坐标为－52，∴P 点的横坐标的取值范围为[－52，1]．]13．已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点，直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧？若能，求出直线l 的方程；若不能，请说明理由.【导学号：79140283】[解] (1)将y ＝kx 代入圆C 的方程x 2＋(y －4)2＝4. 得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0. ∵直线l 与圆C 交于M ，N 两点，∴Δ＝(－8k )2－4×12(1＋k 2)>0，得k 2>3，(*) ∴k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞)． (2)假设直线l 将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧，则劣弧MN 所对的圆心角∠MCN ＝90°，由圆C ：x 2＋(y －4)2＝4知圆心C (0,4)，半径r ＝2. 在Rt△MCN 中，可求弦心距d ＝r ·sin 45°＝2， 故圆心C (0,4)到直线kx －y ＝0的距离|0－4|1＋k2＝2，∴1＋k 2＝8，k ＝±7，经验证k ＝±7满足不等式(*)， 故l 的方程为y ＝±7x .因此，存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝±7x .。
2019年高考数学(理)一轮复习精品资料专题44直线与圆、圆与圆的位置关系(教学案)含解析
2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1．直线与圆的位置关系设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，Ax ＋By ＋C ＝0 消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.2.圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R ，r ，R ＞r ，圆心距为d ，则两圆的位置关系可用下表来表示：位置关系 外离外切相交内切内含几何特征 d ＞R ＋rd ＝R ＋r R －r ＜d ＜R ＋r d ＝R －r d ＜R －r代数特征 无实数解一组实数解 两组实数解一组实数解 无实数解公切线条数4321高频考点一 直线与圆的位置关系问题【例1】 (1)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定 (2)直线y ＝－33x ＋m 与圆x 2＋y 2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m 的取值范围是( ) A ．(3，2) B ．(3，3) C.⎝⎛⎭⎪⎫33，233 D.⎝⎛⎭⎪⎫1，233解析 (1)因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2＞1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b2＜1，故直线与圆O 相交．答案 (1)B (2)D【感悟提升】(1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．(2)已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时，可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式解决．【变式探究】 (1)“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件(2)若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝⎛⎭⎪⎫33，＋∞ 解析 (1)若直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则有|a －3＋4|2＝22，即|a ＋1|＝4，所以a ＝3或－5.但当a ＝3时，直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8一定相切，故“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的充分不必要条件．(2)整理曲线C 1的方程得，(x －1)2＋y 2＝1，知曲线C 1为以点C 1(1，0)为圆心，以1为半径的圆；曲线C 2则表示两条直线，即x 轴与直线l ：y ＝m (x ＋1)，显然x 轴与圆C 1有两个交点，依题意知直线l 与圆相交，故有圆心C 1到直线l 的距离d ＝|m （1＋1）－0|m 2＋1＜r ＝1，解得m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33，又当m ＝0时，直线l 与x 轴重合，此时只有两个交点，应舍去．故选B.答案 (1)A (2)B高频考点二 圆的切线与弦长问题【例2】 (1)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为_ _______.(2)过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ 的长为________.(2)将圆的方程化为标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝5，则圆心为(3，4)，半径长为 5.由题意可设切线的方程为y ＝kx ，则圆心(3，4)到直线y ＝kx 的距离等于半径长5，即|3k －4|k 2＋1＝5，解得k＝12或k ＝112，则切线的方程为y ＝12x 或y ＝112x . 联立切线方程与圆的方程，解得两切点坐标分别为(4，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫45，225，此即为P ，Q 的坐标.由两点间的距离公式得|PQ |＝4. 答案 (1)4π (2)4【举一反三】已知点M (3，1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4. (1)求过M 点的圆的切线方程；(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值；(3)若直线ax －y ＋4＝0与圆相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为23，求a 的值． 解 (1)圆心C (1，2)，半径r ＝2， 当直线的斜率不存在时，方程为x ＝3.由圆心C (1，2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知， 此时，直线与圆相切．当直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由题意知|k －2＋1－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝34.∴圆的切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.故过M 点的圆的切线方程为x ＝3或3x －4y －5＝0.【方法规律】(1)弦长的两种求法①代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.②几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2. (2)圆的切线方程的两种求法①代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k .②几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ，然后令d ＝r ，进而求出k .【变式探究】 (1)过点(3，1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．(2)过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ 的长为________． 解析 (1)设P (3，1)，圆心C (2，2)，则|PC |＝2，由题意知最短的弦过P (3，1)且与PC 垂直，所以最短弦长为222－（2）2＝2 2.(2)将圆的方程化为标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝5，则圆心为(3，4)，半径长为 5.由题意可设切线的方程为y ＝kx ，则圆心(3，4)到直线y ＝kx 的距离等于半径长5，即|3k －4|k 2＋1＝5，解得k＝12或k ＝112，则切线的方程为y ＝12x 或y ＝112x .联立切线方程与圆的方程，解得两切点坐标分别为(4，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫45，225，此即为P ，Q 的坐标，由两点间的距离公式得|PQ |＝4.答案 (1)2 2 (2)4高频考点三 圆与圆的位置关系【例3】(1)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.相离(2)已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1 相外切，则ab 的最大值为( ) A.62 B.32C.94D.2 3(2)由圆C 1与圆C 2相外切，可得（a ＋b ）2＋（－2＋2）2＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝9，根据均值不等式可知ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立. 答案 (1)B (2)C【举一反三】 (1)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离(2)过两圆x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点的圆中面积最小的圆的方程为________． 解析 (1)两圆圆心分别为(－2，0)和(2，1)，半径分别为2和3， 圆心距d ＝42＋1＝17. ∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4x ＋y ＝－1， ①x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0， ②①－②得2x －y ＝0，代入①得x ＝－15或－1，∴两圆两个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25，(－1，－2)．过两交点圆中，以⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，－25，(－1，－2)为端点的线段为直径的圆时，面积最小．∴该圆圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，－65，半径为⎝ ⎛⎭⎪⎫－15＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－25＋222＝255， 圆方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45.答案 (1)B (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋352＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋652＝45规律方法 判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到．【变式探究】 (1)已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相外切，则实数m ＝________．(2)两圆x 2＋y 2－6x ＋6y －48＝0与x 2＋y 2＋4x －8y －44＝0公切线的条数是________．答案 (1)2或－5 (2)2高频考点四 直线与圆的综合问题例4、过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N 两点，则|MN |等于( ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6 D ．10 答案 C解析 由已知，得AB →＝(3，－1)，BC →＝(－3，－9)，则AB →·BC →＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以AB →⊥BC →，即AB ⊥BC ，故过三点A 、B 、C 的圆以AC 为直径，得其方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，令x ＝0得(y ＋2)2＝24，解得y 1＝－2－26，y 2＝－2＋26，所以|MN |＝|y 1－y 2|＝46，选C.【变式探究】已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.【举一反三】(1)过点P (2,4)引圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为__________________； 答案 x ＝2或4x －3y ＋4＝0解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d ＝|k －1＋4－2k |k 2＋－2＝|3－k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，∴所求切线方程为43x －y ＋4－2×43＝0，即4x －3y ＋4＝0.综上，切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.(2)已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程． ①与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； ②与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； ③过切点A (4，－1)．【感悟提升】直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形． (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题． 【变式探究】(1)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．(2)已知圆C 的方程为x 2＋y 2＋ax ＋2y ＋a 2＝0，一定点为A (1,2)，要使过A 点作圆的切线有两条，则a 的取值范围是____________．答案 (1)2 2 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233解析 (1)设P (3,1)，圆心C (2,2)，则|PC |＝2，由题意知最短的弦过P (3,1)且与PC 垂直，所以最短弦长为222－22＝2 2.(2)将圆C 的方程化为标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋(y ＋1)2＝4－3a 24，其圆心坐标为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，－1，半径r ＝4－3a24. 当点A 在圆外时，过点A 可作圆的两条切线， 则|AC |>r ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 22＋＋2>4－3a24， 即a 2＋a ＋9>0，解得a ∈R .又4－3a 2>0时x 2＋y 2＋ax ＋2y ＋a 2＝0才表示圆，故可得a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233.1. （2018年北京卷）在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线的距离，当θ，m变化时，d 的最大值为A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】C 【解析】 P 为单位圆上一点，而直线过点A （2，0），所以d 的最大值为OA+1=2+1=3,选C.2. （2018年全国Ⅲ卷理数）直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是A.B.C.D.【答案】A3. （2018年江苏卷）在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．【答案】3【解析】设，则由圆心为中点得易得，与联立解得点D的横坐标所以.所以，由得或，因为，所以4.（2018年天津卷）已知圆的圆心为C，直线(为参数)与该圆相交于A，B两点，则的面积为___________.【答案】19.【2017江苏，13】在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅≤则点P 的横坐标的取值范围是 ▲ .【答案】52,1⎡⎤-⎣⎦【解析】设(),P x y ，由20PA PB ⋅≤，易得250x y -+≤，由22250{50x y x y -+=+=，可得5:{5x A y =-=-或1:{7x B y ==，由250x y -+≤得P 点在圆左边弧AB 上，结合限制条件5252x -≤≤P 横坐标的取值范围为⎡⎤-⎣⎦．1.【2016高考新课标2理数】圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（ ） （A ）43-（B ）34- （C 3（D ）2 【答案】A【解析】圆的方程可化为22(x 1)(y 4)4-+-=，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：1d ==，解得43a =-，故选A ．2.【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.【答案】（Ⅰ）13422=+y x （0≠y ）（II ）)38,12[（Ⅱ）当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ，),(11y x M ，),(22y x N .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134)1(22y x x k y 得01248)34(2222=-+-+k x k x k .则3482221+=+k k x x ，341242221+-=k k x x . 所以34)1(12||1||22212++=-+=k k x x k MN . 过点)0,1(B 且与l 垂直的直线m ：)1(1--=x k y ，A 到m 的距离为122+k ，所以1344)12(42||22222++=+-=k k k PQ .故四边形MPNQ 的面积 341112||||212++==k PQ MN S . 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.当l 与x 轴垂直时，其方程为1=x ，3||=MN ，8||=PQ ，四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为)38,12[.3.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点(2,4)A（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程；（3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=,求实数t 的取值范围。
2019高三数学人教A版 文一轮教师用书：第8章 第4节 直
第四节直线与圆、圆与圆的位置关系[考纲传真](教师用书独具)1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．(对应学生用书第115页)[基础知识填充]1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离．(2)代数法：联立直线l与圆C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，计算判别式Δ＝b2－4ac，Δ>0⇔相交，Δ＝0⇔相切，Δ<0⇔相离．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)．[1．圆的切线(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是xx0＋yy0＝r2；(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是(x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0－b)＝r2.2．直线被圆截得的弦长弦心距d 、弦长a 的一半12a 及圆的半径r 构成一直角三角形，且有r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2. [基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的必要不充分条件．( ) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( ) (3)如果两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交．( )(4)若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程．( ) [解析] 依据直线与圆、圆与圆的位置关系，只有(4)正确．[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√2．(教材改编)圆(x ＋2)2＋y 2＝4与圆(x －2)2＋(y －1)2＝9的位置关系为( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．相离B [两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17.∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交．]3．(2017·合肥调研)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( ) A ．－2或12 B ．2或－12 C ．－2或－12D ．2或12D [由圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，知圆心(1,1)，半径为1，所以|3×1＋4×1－b |32＋42＝1，解得b ＝2或12.]4．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为__________．2555 [圆心为(2，－1)，半径r ＝2.圆心到直线的距离d ＝|2＋2×(－1)－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－⎝⎛⎭⎪⎫3552＝2555.] 5．(2018·张家口模拟)已知直线12x －5y ＝3与圆x 2＋y 2－6x －8y ＋16＝0相交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 【导学号：79170279】42 [把圆的方程化成标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝9，所以圆心坐标为(3,4)，半径r ＝3，所以圆心到直线12x －5y ＝3的距离d ＝|12×3－5×4－3|122＋(－5)2＝1，则|AB |＝2r 2－d 2＝4 2.](对应学生用书第116页)(y －1)2＝5的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离D ．不确定(2)若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为__________．(3)(2016·全国卷Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________．(1)A (2)x ＋2y －5＝0 (3)4π [(1)法一：∵圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1< 5.故直线l 与圆相交． 法二：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，∵点(1,1)在圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的内部，∴直线l 与圆C 相交． (2)∵以原点O 为圆心的圆过点P (1,2)， ∴圆的方程为x 2＋y 2＝5. ∵k OP ＝2，∴切线的斜率k ＝－12.由点斜式可得切线方程为y－2＝－12(x－1)，即x＋2y－5＝0.(3)圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程是C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，所以圆心C(0，a)，半径r＝a2＋2.|AB|＝23，点C到直线y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距离d＝|0－a＋2a|2，由勾股定理得⎝⎛⎭⎪⎫2322＋⎝⎛⎭⎪⎫|0－a＋2a|22＝a2＋2，解得a2＝2，所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.][规律方法] 1.(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断；(2)注意灵活运用圆的几何性质，联系圆的几何特征，数形结合，简化运算．如“切线与过切点的半径垂直”等．2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．[变式训练1](1)(2018·兰州模拟)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为()A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0(2)(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：x－3y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝__________.【导学号：79170280】(1)B(2)4[(1)依题意知，点(3,1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，且为切点．∵圆心(1,0)与切点(3,1)连线的斜率为12，所以切线的斜率k＝－2.故圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.(2)由圆x2＋y2＝12知圆心O(0,0)，半径r＝2 3.∴圆心(0,0)到直线x－3y＋6＝0的距离d＝61＋3＝3，|AB|＝212－32＝2 3.过C作CE⊥BD于E.如图所示，则|CE|＝|AB|＝2 3.∵直线l 的方程为x －3y ＋6＝0，∴k AB ＝33，则∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°. ∴|CD |＝|CE |sin 60°＝|AB |sin 60°＝2332＝4.]x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切D ．相离(2)(2018·汉中模拟)若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝________.(1)B (2)1 [(1)法一：由⎩⎨⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0得两交点为(0,0)，(－a ，a )．∵圆M 截直线所得线段长度为22，∴a 2＋(－a )2＝2 2.又a >0，∴a ＝2. ∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心M (0,2)，半径r 1＝2. 又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1,1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝(0－1)2＋(2－1)2＝ 2.∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1<|MN |<3，∴两圆相交． 法二：∵x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)⇔x 2＋(y －a )2＝a 2(a >0)， ∴M (0，a )，r 1＝A ．∵圆M 截直线x ＋y ＝0所得线段的长度为22，∴圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d＝a2＝a 2－2，解得a ＝2.以下同法一．(2)方程x2＋y2＋2ay－6＝0与x2＋y2＝4.两式相减得：2ay＝2，则y＝1 a.由已知条件22－(3)2＝1a，即a＝1.][规律方法] 1.圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系．2．若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．3．若两圆相交，则两圆的连心线垂直平分公共弦．[变式训练2](1)圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与圆x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为()A．1 B．2C．3 D．4(2)(2017·山西太原模拟)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝()A．21 B．19C．9 D．－11(1)B(2)C[(1)将两圆x2＋y2－6x＋16y－48＝0与x2＋y2＋4x－8y－44＝0化为标准形式分别为(x－3)2＋(y＋8)2＝112，(x＋2)2＋(y－4)2＝82.因此两圆的圆心和半径分别为O1(3，－8)，r1＝11；Q2(－2,4)，r2＝8.故圆心距|O1O2|＝(3＋2)2＋(－8－4)2＝13.又|r1＋r2|＞|O1O2|＞|r1－r2|，因此两圆相交，公切线只有2条．(2)圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝25－m(m＜25)．从而|C1C2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋25－m＝5，解得m＝9，故选C．](2016·已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．(1)设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x ＝6上，求圆N 的标准方程；(2)设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B ，C 两点，且BC ＝OA ，求直线l 的方程．【导学号：79170281】图8-4-1[解] 圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25， 所以圆心M (6,7)，半径为5.1分(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)． 因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1. 4分 因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.5分(2)因为直线l ∥OA ， 所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ， 即2x －y ＋m ＝0， 则圆心M 到直线l 的距离 d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5.8分因为BC ＝OA ＝22＋42＝25， 而MC 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22，所以25＝(m ＋5)25＋5，解得m＝5或m＝－15.故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0. 12分[规律方法] 1.(1)设出圆N的圆心N(6，y0)，由条件圆M与圆N外切，求得圆心与半径，从而确定圆的标准方程．(2)依据平行直线，设出直线l的方程，根据点到直线的距离公式及勾股定理求解．2．求弦长常用的方法：①弦长公式；②半弦长、半径、弦心距构成直角三角形，利用勾股定理求解(几何法)．[变式训练3]在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：x－3y ＝4相切．(1)求圆O的方程；(2)若圆O上有两点M，N关于直线x＋2y＝0对称，且|MN|＝23，求直线MN 的方程．[解](1)依题意，圆O的半径r等于原点O到直线x－3y＝4的距离，则r＝41＋3＝2.所以圆O的方程为x2＋y2＝4. 5分(2)由题意，可设直线MN的方程为2x－y＋m＝0.则圆心O到直线MN的距离d＝|m|5. 7分由垂径分弦定理，得m25＋(3)2＝22，即m＝±5. 10分所以直线MN的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0. 12分。
直线与圆、圆与圆的位置关系(讲)-2019年高考数学(理)---精校解析 Word版
，圆心距为(特别地，，且倾斜角为相切于点，且，则的面积是B.【答案】半径分别为，直线的方程为.，直线与圆相切的问题，往往用这个结论解题届高三入学摸底】若过点的取值范围是（B D，若对任意与一定圆相切，【答案】【解析】取特殊值，三条直线分别为，这三条直线只与圆都相切，经验证，对任意，直线都与这个圆相切）及直线，当直线被时，则B. C. D.【解析】由题意，得，又因为，所以，且与圆，求【答案】，圆心到直线的距离为和圆两点，若，则D已知直线：与圆交于过的垂线与轴交于两点，则【解析】由，得，代入圆的方程，并整理，得，所以，所以．又直线的倾斜，由平面几何知识知在梯形中，．，（上存在点，使得，则正实数B. C. D..的值．【解析】将配方得：由于两圆相切，故或或.届高考适应性】已知圆截直线所得线段的长度是与圆的位置关系是，则圆心为圆心到直线的距离截直线所得线段的长度是，即则圆心为，半径的圆心为，半径届高考适应性】已知圆，点为直线引两条切线为切点，则直线经过定点C是圆是圆②得，过定点，故选上有且仅有两个点到直线的距离等于的距离为：的距离为当】已知点及圆的方程；两点，当时，求以线段为直径的圆或；的.，..，故圆心必在，所以，使得过点垂直平分弦在平面直角坐标系已知的最小值为（B. C. D.作圆的弦，其中最短的弦长为【答案】圆的圆心坐标为，点作圆的弦，过点垂足为点，则，且，当点与点重合时，大值，此时取最小值，且求过点的切线方程，半径为，当直线的斜率不存在时，过点的方程为到直线的距离知，此时，直线与圆相切；，即由题意知，所以方程为，即，.已知直线上总存在点，使得过点作的圆的两条切线互相垂直，则实数的取值范围是（或 C. D. 或。
高考训练专题9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系(测)-2019年高考数学----精校解析 Word版
届河南省安阳市第三十五中学高三入门】已知圆与直线个交点，则正实数B. C. 1 D.【解析】圆化为标准方程即，由题意，圆心到直线的距离已知圆，当圆的面积最小时，直线B． C若直线与圆相切，且为锐角，则这条直线的斜率C D．【解析】由题意：，为锐角，所以所以直线已知条件，条件：直线相切，则的（与直线的值是（B. C. D.到直线所以有当时圆心为.届安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等高中十校联盟高三摸底】设直线交于两点，过分别作轴的垂线与轴交于两点若线段的长度为B. C. 或 D. 或，解得或，此时届二轮复习测试】已知光线从点射出，经过线段(反射，恰好与圆C已知圆，，若圆上存在点，则的最大值为（B. D.，故选届广西南宁市第三中学高三第一次月考】已知圆和两点，，上存在点，则的距离为C整理为的距离为的倾斜角的取值范围是】过定点的直线：相切于点，则过定点的圆心．过定点与圆：相切于点，则．届高三上期中】已知的方程为交于两点，当 __________月摸底】已知圆的方程为，点为圆点，过点的直线与圆相交于两点，当最小时，直线的方程为【答案】点在圆垂直时，弦长，直线的斜率，直线的方程为，整理得故答案为届学业监测】在平面直角在平面直角坐标系，圆，动点上的两点之间，过点的切线，切点为，若满足，则线段【答案】已知直角坐标系中的点【答案】化简可得关于直线对称，由点切点记为，当取最小值时，外接圆的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆①对于圆是圆的一个太极函数；所对应的函数一定是圆④若函数是圆的太极函数，则均为两曲线的对称中心，且能把圆的圆心在轴正半轴上，且轴和直线）求圆）若直线相交于两点，点，且为锐角，求实数的取值范围(1)届高三上期中】已知圆、）若交点为及）若直线过点，求的值．（））届第一次大考】已知直线，，是上的动点，过点，线段于点的轨迹为）求轨迹且与坐标轴不垂直的直线交曲线两点，若以线段为直径的圆相切，求直线的方程；即到定点到定直线的距离，所以的轨迹是以）依题意设直线的方程为联立，并整理得由抛物线的定义知的中点即因为以线段为直径的圆与直线解得所以直线的方程为，且圆心在直线上，直线【答案】的方程为，得，得=.，试求直线:的直线面积的最大值及此时直线，直线的方程为或，设直线：，联立，则有：，，故直线，设直线的方程：到直线的距离为.，则面积的为：，即时取“的方程为或。
2019年高考数学一轮复习课时分层训练51直线与圆圆与圆的位置关系理北师大版_
课时分层训练(五十一) 直线与圆、圆与圆的位置关系A 组 基础达标一、选择题1．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定B [由题意知点在圆外，则a 2＋b 2>1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2<1，故直线与圆相交．]2．(2018·东北三省四市模拟(二))直线x －3y ＋3＝0与圆(x －1)2＋(y －3)2＝10相交所得弦长为( ) A.30 B.532C ．4 2D ．33 A [圆心(1,3)到直线的距离为|1－3×3＋3|12＋32＝102，从而得所求弦长为210－⎝⎛⎭⎪⎫1022＝30，故选A.] 3．过点(1，－2)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A ．y ＝－34 B ．y ＝－12C ．y ＝－32D ．y ＝－14B [圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，以(1－1)2＋(－2－0)2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1， 将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12.]4．(2018·深圳二调)在平面直角坐标系中，直线y ＝2x 与圆O ：x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，α，β的始边是x 轴的非负半轴，终边分别在射线OA 和OB 上，则tan(α＋β)的值为( )【导学号：79140281】A ．－2 2B ．－ 2C ．0D ．22A [由题可知tan α＝tan β＝2，那么tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－22，故选A.]5．(2017·广东惠州一模)已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心在直线ax －by ＋1＝0上，则ab 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，14B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，18C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18 B [把圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， ∴圆心的坐标为(－1,2)，半径r ＝2， ∵圆C 的圆心在直线ax －by ＋1＝0上， ∴－a －2b ＋1＝0，即a ＝1－2b ， 则ab ＝b (1－2b )＝－2b 2＋b＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －142＋18，∴当b ＝14时，ab 有最大值，最大值为18，则ab 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，18.故选B.]二、填空题6．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ，B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________________．x ＋y －3＝0 [∵圆C 1的圆心C 1(3,0)，圆C 2的圆心C 2(0,3)，∴直线C 1C 2的方程为x ＋y－3＝0，AB 的中垂线即直线C 1C 2，故其方程为x ＋y －3＝0.]7．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝________.1 [两圆的方程作差易知公共弦所在的直线方程为y ＝1a，如图，由已知得|AC |＝3，|OA |＝2，∴|OC |＝1a＝1，∴a ＝1.]8．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝__________.4 [法一：由圆x 2＋y 2＝12知圆心O (0,0)，半径r ＝23.∴圆心(0,0)到直线x －3y ＋6＝0的距离d ＝61＋3＝3，|AB |＝212－32＝2 3.过C 作CE ⊥BD 于E .如图所示，则|CE |＝|AB |＝2 3. ∵直线l 的方程为x －3y ＋6＝0， ∴k AB ＝33，则∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°. ∴|CD |＝|CE |sin 60°＝|AB |sin 60°＝2332＝4.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，得y 2－33y ＋6＝0，解得y 1＝3，y 2＝23， ∴A (－3，3)，B (0,23)． 过A ，B 作l 的垂线方程分别为y －3＝－3(x ＋3)，y －23＝－3x ，令y ＝0，得x C ＝－2，x D ＝2，∴|CD |＝2－(－2)＝4.] 三、解答题9．已知点P (2＋1,2－2)，M (3,1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4.【导学号：79140282】(1)求过点P 的圆C 的切线方程；(2)求过点M 的圆C 的切线方程，并求出切线长． [解] 由题意得圆心C (1,2)，半径r ＝2. (1)∵(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4， ∴点P 在圆C 上．∴切线的斜率k ＝－1k PC＝1.∴过点P 的圆C 的切线方程是y －(2－2)＝x －(2＋1)，即x －y ＋1－22＝0. (2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4， ∴点M 在圆C 外部．当过点M 的直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝3， 即x －3＝0.又点C (1,2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ， 即此时满足题意，所以直线x ＝3是圆的切线． 当切线的斜率存在时， 设切线方程为y －1＝k (x －3)， 即kx －y ＋1－3k ＝0， 则圆心C 到切线的距离d ＝|k －2＋1－3k |k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝34.∴切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0. ∵|MC |＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，∴过点M 的圆C 的切线长为|MC |2－r 2＝5－4＝1.10．(2015·全国卷Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. [解] (1)由题设可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为直线l 与圆C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1， 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1， 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k2＋8. 由题设可得4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1， 所以直线l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在直线l 上，所以|MN |＝2.B 组 能力提升11．(2018·南宁、钦州第二次适应性考试)过动点M 作圆：(x －2)2＋(y －2)2＝1的切线MN ，其中N 为切点，若|MN |＝|MO |(O 为坐标原点)，则|MN |的最小值是( ) A.324B.728 C. 2 D.928B [设圆心C (2,2)，因为|MN |＝|MO |，所以|MN |2＝|MC |2－1＝|MO |2.设M (x ，y )，则(x －2)2＋(y －2)2－1＝x 2＋y 2，化简得4x ＋4y －7＝0，即为点M 的轨迹方程，则|MN |的最小值为|MO |的最小值，即点O 到直线4x ＋4y －7＝0的距离，所以|MN |min ＝|－7|16＋16＝728，故选B.] 12．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，A (－12,0)，B (0,6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上．若PA →·PB →≤20，则点P 的横坐标的取值范围是________． [－52，1] [设P (x ，y )，则PA →＝(－12－x ，－y )，PB →＝(－x,6－y )． ∵PA →·PB →≤20，∴(－12－x )·(－x )＋(－y )·(6－y )≤20，即2x －y ＋5≤0.如图，作圆O ：x 2＋y 2＝50，直线2x －y ＋5＝0与⊙O 交于E ，F 两点， ∵P 在圆O 上且满足2x －y ＋5≤0， ∴点P 在EDF 上．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝50，2x －y ＋5＝0得F 点的横坐标为1，又D 点的横坐标为－52，∴P 点的横坐标的取值范围为[－52，1]．]13．已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点，直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧？若能，求出直线l 的方程；若不能，请说明理由.【导学号：79140283】[解] (1)将y ＝kx 代入圆C 的方程x 2＋(y －4)2＝4. 得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0. ∵直线l 与圆C 交于M ，N 两点，∴Δ＝(－8k )2－4×12(1＋k 2)>0，得k 2>3，(*) ∴k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞)． (2)假设直线l 将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧，则劣弧MN 所对的圆心角∠MCN ＝90°，由圆C ：x 2＋(y －4)2＝4知圆心C (0,4)，半径r ＝2. 在Rt△MCN 中，可求弦心距d ＝r ·sin 45°＝2， 故圆心C (0,4)到直线kx －y ＝0的距离|0－4|1＋k2＝2，∴1＋k 2＝8，k ＝±7，经验证k ＝±7满足不等式(*)， 故l 的方程为y ＝±7x .因此，存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝±7x .。
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课时分层训练(五十一) 直线与圆、圆与圆
的位置关系
(对应学生用书第255页)
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置
关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
B [由题意知点在圆外，则a2＋b2>1，圆心到直线的距离d＝1a2＋b2<1，
故直线与圆相交．]
2．(2018·东北三省四市模拟(二))直线x－3y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－3)2＝10
相交所得弦长为( )
A．30 B．532
C．42 D．33
A [圆心(1,3)到直线的距离为|1－3×3＋3|12＋32＝102，从而得所求弦长为
210－1022＝30，故选A．]
3．过点(1，－2)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB
所在直线的方程为( )
A．y＝－34 B．y＝－12
C．y＝－32 D．y＝－14
B [圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径为1，
以1－12＋－2－02＝2为直径的圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，
将两圆的方程相减得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－12.]
4．(2018·深圳二调)在平面直角坐标系中，直线y＝2x与圆O：x2＋y2＝1
交于A，B两点，α，β的始边是x轴的非负半轴，终边分别在射线OA和OB上，
则tan(α＋β)的值为( ) 【导学号：97190283】
A．－22 B．－2
C．0 D．22
A [由题可知tan α＝tan β＝2，那么tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－22，故
选A．]
5．(2017·广东惠州一模)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心在直线ax
－by＋1＝0上，则ab的取值范围是( )
A．－∞，14 B．－∞，18
C．0，14 D．0，18
B [把圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，
∴圆心的坐标为(－1,2)，半径r＝2，
∵圆C的圆心在直线ax－by＋1＝0上，
∴－a－2b＋1＝0，
即a＝1－2b，
则ab＝b(1－2b)＝－2b2＋b
＝－2b－142＋18，
∴当b＝14时，ab有最大值，最大值为18，
则ab的取值范围是－∞，18.故选B.]
二、填空题
6．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B
两点，则线段AB的中垂线方程为________________．
x＋y－3＝0 [∵圆C1的圆心C1(3,0)，圆C2的圆心C2(0,3)，∴直线C1C2的
方程为x＋y－3＝0，
AB的中垂线即直线C1C2，故其方程为x＋y－3＝0.]
7．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为23，则a＝
________.
1 [两圆的方程作差易知公共弦所在的直线方程为y＝1a，如图，由已知得|AC|
＝3，|OA|＝2，
∴|OC|＝1a＝1，∴a＝1.]
8．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：x－3y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B
两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝__________.
4 [法一：由圆x2＋y2＝12知圆心O(0,0)，半径r＝23.∴圆心(0,0)到直线x
－3y＋6＝0的
距离d＝61＋3＝3，|AB|＝212－32＝23.过C作CE⊥BD于E.
如图所示，则|CE|＝|AB|＝23.
∵直线l的方程为x－3y＋6＝0，
∴kAB＝33，则∠BPD＝30°，从而∠BDP＝60°.
∴|CD|＝|CE|sin 60°＝|AB|sin 60°＝2332＝4.
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 x－3y＋6＝0，x2＋y2＝12，
得y2－33y＋6＝0，解得y1＝3，y2＝23，
∴A(－3，3)，B(0,23)．
过A，B作l的垂线方程分别为
y－3＝－3(x＋3)，y－23＝－3x，令y＝0，
得xC＝－2，xD＝2，∴|CD|＝2－(－2)＝4.]
三、解答题
9．已知点P(2＋1,2－2)，M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
【导学号：97190284】
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
[解] 由题意得圆心C(1,2)，半径r＝2.
(1)∵(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，
∴点P在圆C上．
又kPC＝2－2－22＋1－1＝－1，
∴切线的斜率k＝－1kPC＝1.
∴过点P的圆C的切线方程是y－(2－2)＝x－(2＋1)，即x－y＋1－22＝
0.
(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，
∴点M在圆C外部．
当过点M的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝3，
即x－3＝0.
又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，
即此时满足题意，所以直线x＝3是圆的切线．
当切线的斜率存在时，
设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，
则圆心C到切线的距离d＝|k－2＋1－3k|k2＋1＝r＝2，
解得k＝34.
∴切线方程为y－1＝34(x－3)，即3x－4y－5＝0.
综上可得，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.
∵|MC|＝3－12＋1－22＝5，
∴过点M的圆C的切线长为|MC|2－r2＝5－4＝1.
10．(2015·全国Ⅰ卷)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋
(y－3)2＝1交于M，N两点．