数学高考(理)二轮专题复习：第一部分专题二函数、不等式、导数1-2-1-含答案
2020届高考数学(理)二轮专题复习： 专题二 函数、不等式、导数 1-2-2 Word版含答案.doc
限时规范训练五 不等式及线性规划限时45分钟，实际用时分值80分，实际得分一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．设0＜a ＜b ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 3＞b 3B.1a ＜1bC ．a b ＞1D ．lg(b －a )＜a解析：选D.∵0＜a ＜b ＜1，∴0＜b －a ＜1－a ，∴lg(b －a )＜0＜a ，故选D. 2．已知a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，则1a ＋4b( )A ．有最小值8B ．有最小值9C ．有最大值8D ．有最大值9解析：选B.因为1a ＋4b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝5＋b a ＋4ab≥5＋2b a ·4a b ＝9，当且仅当b a ＝4a b且a ＋b ＝1，即a ＝13，b ＝23时取“＝”，所以1a ＋4b的最小值为9，故选B.3．对于任意实数a ，b ，c ，d ，有以下四个命题： ①若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；②若a ＞b ，c ＞d ，则a ＋c ＞b ＋d ； ③若a ＞b ，c ＞d ，则ac ＞bd ； ④若a ＞b ，则1a ＞1b.其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选B.①ac 2＞bc 2，则c ≠0，则a ＞b ，①正确； ②由不等式的同向可加性可知②正确； ③需满足a 、b 、c 、d 均为正数才成立；④错误，如：令a ＝－1，b ＝－2，满足－1＞－2，但1－1＜1－2.故选B. 4．已知不等式ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( )A ．{x |2＜x ＜3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13＜x ＜12 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜13或x ＞12解析：选B.∵不等式ax 2－bx －1＞0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13， ∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a ＜0.∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝ba ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3. 5．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥12x 2，则z ＝y －x 的取值范围为( )A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2C ．[－1,2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 解析：选B.作出可行域(图略)，设直线l ：y ＝x ＋z ，平移直线l ，易知当l 过直线3x －y ＝0与x ＋y －4＝0的交点(1,3)时，z 取得最大值2；当l 与抛物线y ＝12x 2相切时，z 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧z ＝y －x ，y ＝12x 2，消去y 得x 2－2x －2z ＝0，由Δ＝4＋8z ＝0，得z ＝－12，故－12≤z ≤2，故选B.6．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是( ) A.92 B.72 C ．22＋12D ．22－12解析：选A.∵a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n＋n2， ∴S n ＋8a n＝n＋n2＋8n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋16n ＋1≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号．∴S n ＋8a n 的最小值是92，故选A.7．一条长为2的线段，它的三个视图分别是长为3，a ，b 的三条线段，则ab 的最大值为( ) A. 5 B. 6 C.52D ．3解析：选C.如图，构造一个长方体，体对角线长为2，由题意知a 2＋x 2＝4，b 2＋y 2＝4，x2＋y 2＝3，则a 2＋b 2＝x 2＋y 2＋2＝3＋2＝5，又5＝a 2＋b 2≥2ab ，所以ab ≤52，当且仅当a ＝b 时取等号，所以选C.8．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12，则x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是( ) A ．[1,5] B ．[2,6] C ．[3,11]D ．[3,10]解析：选C.画出约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，4x ＋3y ≤12的可行域如图阴影部分所示，则x ＋2y ＋3x ＋1＝x ＋1＋2y ＋2x ＋1＝1＋2×y ＋1x ＋1，y ＋1x ＋1的几何意义为过点(x ，y )和(－1，－1)的直线的斜率．由可行域知y ＋1x ＋1的取值范围为k MA ≤y ＋1x ＋1≤k MB ，即y ＋1x ＋1∈[1,5]，所以x ＋2y ＋3x ＋1的取值范围是[3,11]．9．设x ，y 满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，若M ＝3x ＋y ，N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－72，则M －N 的最小值为( )A.12 B ．－12C ．1D ．－1解析：选A.作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A (－1,2)，B (3,2)，当直线3x ＋y －M ＝0经过点A (－1,2)时，目标函数M ＝3x ＋y 取得最小值－1.又由平面区域知－1≤x ≤3，所以函数N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－72在x ＝－1处取得最大值－32，由此可得M －N 的最小值为－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝12.10．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≥43B ．0＜a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0＜a ≤1或a ≥43解析：选D.作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示．其中直线x －y ＝0与直线2x ＋y ＝2的交点是⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，而直线x ＋y ＝a 与x 轴的交点是(a,0)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需a ≥23＋23或0＜a ≤1，所以选D.11．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －10≥0，x ≤4，y ≤3表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 、B ，当∠APB 最大时，cos∠APB ＝( )A.32 B.12 C ．－32D ．－12解析：选B.画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，易知当点P 到点O 距离最小时，∠APB 最大，此时|OP |＝|3×0＋4×0－10|32＋42＝2，又OA ＝1，故∠OPA ＝π6， ∴∠APB ＝π3，∴cos∠APB ＝12.12．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3＜c ≤6 C ．6＜c ≤9D ．c ＞9解析：选C.由0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，得0＜－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ≤3，由－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，得3a －b －7＝0，① 由－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，得 4a －b －13＝0，②由①②，解得a ＝6，b ＝11，∴0＜c －6≤3， 即6＜c ≤9，故选C.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．函数f (x )＝1＋log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，其中mn ＞0，则1m ＋1n的最小值为________．解析：因为log a 1＝0，所以f (1)＝1，故函数f (x )的图象恒过定点A (1,1)． 由题意，点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，所以m ＋n －2＝0，即m ＋n ＝2.而1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ×(m ＋n ) ＝12⎝⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ，因为mn ＞0，所以nm ＞0，m n＞0. 由均值不等式，可得n m ＋m n ≥2×n m ×mn＝2(当且仅当m ＝n 时等号成立)， 所以1m ＋1n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≥12×(2＋2)＝2，即1m ＋1n 的最小值为2.答案：214．设P (x ，y )是函数y ＝2x(x ＞0)图象上的点，则x ＋y 的最小值为________．解析：因为x ＞0，所以y ＞0，且xy ＝2.由基本不等式得x ＋y ≥2xy ＝22，当且仅当x ＝y 时等号成立．答案：2 215．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x ，3x ＋2y ≤15，则w ＝4x ·2y的最大值是________．解析：作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．w ＝4x ·2y ＝22x ＋y，要求其最大值，只需求出2x ＋y ＝t 的最大值即可，由平移可知t ＝2x ＋y 在A (3,3)处取得最大值t ＝2×3＋3＝9，故w ＝4x·2y的最大值为29＝512.答案：51216．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≤1，log 13x ，x ＞1，若对任意的x ∈R ，不等式f (x )≤m 2－34m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．解析：由题意知，m 2－34m ≥f (x )max .当x ＞1时，f (x )＝log 13x 是减函数，且f (x )＜0；当x ≤1时，f (x )＝－x 2＋x ，其图象的对称轴方程是x ＝12，且开口向下，∴f (x )max ＝－14＋12＝14.∴m 2－34m ≥14，即4m 2－3m －1≥0，∴m ≤－14或m ≥1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－14∪[1，＋∞)。
高考数学二轮复习 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第二讲 函数的图象与性质教案 理-
第二讲函数的图象与性质年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018Ⅱ卷函数图象的识别·T3 1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第5～10或第13～15题的位置上，难度一般．主要考查函数的定义域，分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断．2.此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大.函数奇偶性、周期性的应用·T11Ⅲ卷函数图象的识别·T72017Ⅰ卷函数单调性、奇偶性与不等式解法·T5Ⅲ卷分段函数与不等式解法·T152016Ⅰ卷函数的图象判断·T7Ⅱ卷函数图象的对称性·T12函数及其表示授课提示：对应学生用书第5页[悟通——方法结论]求解函数的定义域时要注意三式——分式、根式、对数式，分式中的分母不为零，偶次方根中的被开方数非负，对数的真数大于零．底数大于零且不大于1．解决此类问题的关键在于准确列出不等式(或不等式组)，求解即可．确定条件时应先看整体，后看部分，约束条件一个也不能少．[全练——快速解答]1．(2016·高考全国卷Ⅱ)以下函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A．y＝x B．y＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：函数y ＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．结合选项知，只有函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．应选D.答案：D2．(2018·某某名校联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x －4)，x >2，e x，－2≤x ≤2，f (－x )，x <－2，那么f (－2 017)＝( )A ．1B ．eC ．1eD ．e 2解析：由题意f (－2 017)＝f (2 017)，当x ＞2时，4是函数f (x )的周期，所以f (2 017)＝f (1＋4×504)＝f (1)＝e.答案：B3．函数f (x )＝x －1ln (1－ln x )的定义域为________．解析：由函数解析式可知，x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥01－ln x >0x >01－ln x ≠1，解得1<xf (x )＝x －1ln (1－ln x )的定义域为(1，e)．答案：(1，e)4．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x >0，那么满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值X 围是__________．解析： 当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准那么，列出不等式或不等式组，然后求出解集即可．2．分段函数问题的5种常见类型及解题策略 常见类型 解题策略求函数值弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套〞的函数值，要从最内层逐层往外计算求函数最值 分别求出每个区间上的最值，然后比较大小解不等式根据分段函数中自变量取值X 围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值X 围的大前提求参数 “分段处理〞，采用代入法列出各区间上的方程利用函数性质求值必须依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解函数图象及应用授课提示：对应学生用书第5页[悟通——方法结论]1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法、二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换等．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．(1)(2017·高考全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为( )解析：令函数f (x )＝sin 2x 1－cos x ，其定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z }，又f (－x )＝sin (－2x )1－cos (－x )＝－sin 2x 1－cos x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin 2x1－cos x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；因为f (1)＝sin 2 1－cos 1>0，f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，故排除A 、D ，选C.答案：C(2)(2017·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝1＋x ＋sin xx2的部分图象大致为( )解析：法一：易知函数g (x )＝x ＋sin xx2是奇函数，其函数图象关于原点对称，所以函数y ＝1＋x ＋sin xx2的图象只需把g (x )的图象向上平移一个单位长度，结合选项知选D.法二：当x →＋∞时，sin x x 2→0,1＋x →＋∞，y ＝1＋x ＋sin xx2→＋∞，故排除选项B.当0<x <π2时，y ＝1＋x ＋sin xx2>0，故排除选项A 、C.选D.答案：D由函数解析式识别函数图象的策略[练通——即学即用]1．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )解析：法一：ƒ′(x )＝－4x 3＋2x ，那么ƒ′(x )＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，ƒ(x )单调递增；ƒ′(x )＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞，ƒ(x )单调递减． 应选D.法二：当x ＝1时，y ＝2，所以排除A ，B 选项．当x ＝0时，y ＝2，而当x ＝12时，y ＝－116＋14＋2＝2316＞2，所以排除C 选项．应选D. 答案：D 2．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x 的图象的大致形状是( )解析：∵f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x ，∴f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －x －1cos(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cosx ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项A ，C ，又当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，e x >e 0＝1，21＋ex －1<0，cos x >0，∴f (x )<0，可排除选项D ，应选B.答案：B3．(2018·某某调研)函数f (x )的图象如下图，那么f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x解析：由函数图象可知，函数f (xf (x )＝x －1x，那么当x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，应选A.答案：A函数的性质及应用授课提示：对应学生用书第6页[悟通——方法结论]1．判断函数单调性的一般规律对于选择、填空题，假设能画出图象，一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合运算而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式等较复杂的函数，用导数法；对于抽象函数，一般用定义法．2．函数的奇偶性(1)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．3．记住几个周期性结论(1)假设函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)(a>0)，那么f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．(2)假设函数f(x)满足f(x＋a)＝1f(x)(a>0)，那么f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)解析：由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．答案：D(2)(2017·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．假设f(1)＝－1，那么满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值X围是( )A．[－2,2] B．[－1,1]C．[0,4] D．[1,3]解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.答案：D(3)(2018·高考全国卷Ⅲ)函数ƒ(x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，ƒ(a )＝4，那么ƒ(－a )＝________.解析：∵ƒ(x )＋ƒ(－x )＝ln(1＋x 2－x )＋1＋ln(1＋x 2＋x )＋1＝ln(1＋x 2－x 2)＋2＝2，∴ƒ(a )＋ƒ(－a )＝2，∴ƒ(－a )＝－2. 答案：－21．掌握判断函数单调性的常用方法数形结合法、结论法(“增＋增〞得增、“减＋减〞得减及复合函数的“同增异减〞)、定义法和导数法．2．熟知函数奇偶性的3个特点(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． (2)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称． (3)对于偶函数而言，有f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．3．周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在区间上的问题，转化到区间上求解．4．注意数形结合思想的应用．[练通——即学即用]1．(2018·某某模拟)以下函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝e x＋e －xB ．y ＝ln(|x |＋1)C ．y ＝sin x |x |D ．y ＝x －1x解析：选项A 、B 显然是偶函数，排除；选项C 是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，不符合题意；选项D 中，y ＝x －1x 是奇函数，且y ＝x 和y ＝－1x在(0，＋∞)上均为增函数，故y ＝x －1x在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D 正确．答案：D2．(2018·某某八中摸底)函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，那么以下结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 解析：因为函数f (x ＋2)是偶函数， 所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)， 即函数f (x )的图象关于x ＝2对称． 又因为函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增， 所以函数y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减． 因为f (1)＝f (3)，72>3>52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 答案：B授课提示：对应学生用书第116页一、选择题1．以下四个函数： ①y ＝3－x ；②y ＝2x －1(x >0)；③y ＝x 2＋2x －10；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≤0)，1x(x >0).其中定义域与值域相同的函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①y ＝3－x 的定义域和值域均为R ，②y ＝2x －1(x >0)的定义域为(0，＋∞)，值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，③y ＝x 2＋2x －10的定义域为R ，值域为[－11，＋∞)，④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≤0)，1x(x >0)的定义域和值域均为R ，所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个，应选B.答案：B2．设定义在R 上的奇函数y ＝f (x )满足对任意的x ∈R ，都有f (x )＝f (1－x )，且当x ∈[0，12]时，f (x )＝(x ＋1)，那么f (3)＋f (－32)的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：由于函数f (x )是奇函数，所以f (x )＝f (1－x )⇒f (x )＝－f (x ＋1)⇒f (x ＋1)＝－f (x )⇒f (x ＋2)＝f (x )，所以f (3)＝f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，f (－32)＝f (12)＝32f (3)＋f (－32)＝－1.答案：C3．函数f (x )＝1＋ln ()x 2＋2的图象大致是( )解析：因为f (0)＝1＋ln 2>0，即函数f (x )的图象过点(0，ln 2)，所以排除A 、B 、C ，选D.答案：D4．(2017·高考某某卷)奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．假设a ＝g (－log 2 5.1)，b ＝g (2)，c ＝g (3)，那么a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析：奇函数f (x )在R 上是增函数，当x >0时，f (x )>f (0)＝0，当x 1>x 2>0时，f (x 1)>f (x 2)>0，∴x 1f (x 1)>x 2f (x 2)，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (x )＝xf (x )是偶函数，∴a ＝g (－log 2 5.1)＝g (log 2 5.1)．易知2<log 2 5.1<3,1<2<2，由g (x )在(0，＋∞)上单调递增，得g (2)<g (log 2 5.1)<g (3)，∴b <a <c ，应选C.答案：C5．(2018·某某模拟)函数f (x )＝e xx 的图象大致为( )解析：由f (x )＝e x x ，可得f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e x x2， 那么当x ∈(－∞，0)和x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．又当x <0时，f (x )<0，应选B.答案：B6．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，那么( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，那么f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．答案：D7．(2018·某某模拟)函数f (x )＝ex －1＋4x －4，g (x )＝ln x －1x ，假设f (x 1)＝g (x 2)＝0，那么( )A ．0<g (x 1)<f (x 2)B ．f (x 2)<g (x 1)<0C ．f (x 2)<0<g (x 1)D ．g (x 1)<0<f (x 2) 解析：易知f (x )＝e x －1＋4x －4，g (x )＝ln x －1x在各自的定义域内是增函数，而f (0)＝e －1＋0－4＝1e －4<0，f (1)＝e 0＋4×1－4＝1>0，g (1)＝ln 1－11＝－1<0，g (2)＝ln 2－12＝ln 2e f (x 1)＝g (x 2)＝0，所以0<x 1<1,1<x 2<2，所以f (x 2)>f (1)>0，g (x 1)<g (1)<0，故g (x 1)<0<f (x 2)．答案：D8．函数f (x )＝(x 2－2x )·sin(x －1)＋x ＋1在[－1,3]上的最大值为M ，最小值为m ，那么M ＋m ＝( )A ．4B ．2C ．1D ．0 解析：f (x )＝[(x －1)2－1]sin(x －1)＋x －1＋2，令t ＝x －1，g (t)＝(t 2－1)sin t ＋t ，那么y ＝f (x )＝g (t)＋2，t ∈[－2,2]．显然M ＝g (t)max ＋2，m ＝g (t)min ＋2.又g (t)为奇函数，那么g (t)max ＋g (t)min ＝0，所以M ＋m ＝4，应选A.答案：A9．g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，g (x )，x >0，假设f (2－x 2)>f (x )，那么x 的取值X 围是( ) A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－2,1)D ．(1,2)解析：因为g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，所以当x >0时，－x <0，g (－x )＝－ln(1＋x )，即当x >0时，g (x )＝ln(1＋x )，那么函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0，作出函数f (x )的图象，如图：由图象可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0在(－∞，＋∞)上单调递增． 因为f (2－x 2)>f (x )，所以2－x 2>x ，解得－2<x <1，应选C.答案：C10．(2018·高考全国卷Ⅱ)ƒ(x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )．假设ƒ(1)＝2，那么ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50解析：∵ƒ(x )是奇函数，∴ƒ(－x )＝－ƒ(x )，∴ƒ(1－x )＝－ƒ(x －1)．由ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )，∴－ƒ(x －1)＝ƒ(x ＋1)，∴ƒ(x ＋2)＝－ƒ(x )，∴ƒ(x ＋4)＝－ƒ(x ＋2)＝－[－ƒ(x )]＝ƒ(x )，∴函数ƒ(x )是周期为4的周期函数．由ƒ(x )为奇函数得ƒ(0)＝0.又∵ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )，∴ƒ(x )的图象关于直线x ＝1对称，∴ƒ(2)＝ƒ(0)＝0，∴ƒ(－2)＝0.又ƒ(1)＝2，∴ƒ(－1)＝－2，∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋ƒ(4)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(－1)＋ƒ(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋ƒ(4)＋…＋ƒ(49)＋ƒ(50)＝0×12＋ƒ(49)＋ƒ(50)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＝2＋0＝2.应选C.答案：C11．定义在R 上的函数f (x )对任意0<x 2<x 1都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1，且函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，假设f (2)＝2，那么不等式f (x )－x >0的解集是( )A ．(－2,0)∪(0,2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0,2)D ．(－2,0)∪(2，＋∞) 解析：由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1， 可得[f (x 1)－x 1]－[f (x 2)－x 2]x 1－x 2<0.令F (x )＝f (x )－x ，由题意知F (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，又是奇函数，且F (2)＝0，F (－2)＝0，所以结合图象，令F (x )>0，得x <－2或0<x <2，应选C.答案：C12．(2018·某某三市联考)函数f (x )＝e |x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x ，x ≤4，4e 5－x ，x >4对任意的x ∈[1，m ](m >1)，都有f (x －2)≤g (x )，那么m 的取值X 围是( )A ．(1,2＋ln 2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72＋ln 2 C ．(ln 2,2] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，72＋ln 2 解析：作出函数y 1＝e |x －2|和y ＝g (x )的图象，如下图，由图可知当x＝1时，y 1＝g (1)，又当x ＝4时，y 1＝e 2<g (4)＝4e ，当x >4时，由ex －2≤4e 5－x ，得e 2x －7≤4，即2x －7≤ln 4，解得x ≤72＋ln 2，又m >1，∴1<m ≤72＋ln 2.答案：D二、填空题13．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________.解析：由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12. 答案：－1214．假设函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，那么a ＝________.解析：法一：因为函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )对x ∈R 恒成立，所以－x ·(－x －1)(－x ＋a )＝－x (x －1)(x ＋a )对x ∈R 恒成立，所以x (a －1)＝0对x ∈R 恒成立，所以a ＝1.法二：因为函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，所以－1×(－1－1)×(－1＋a )＝－1×(1－1)×(1＋a )，解得a ＝1.答案：115．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，那么实数a 的取值X 围是________．解析： 当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a ＜12. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 16．如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点，设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，那么对函数y ＝f (x )有以下判断：①函数y ＝f (x )是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)；③函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递减；④函数y ＝f (x )在区间[4,6]上是减函数．其中判断正确的序号是________．解析：如图，从函数y ＝f (x )的图象可以判断出，图象关于y 轴对称，每4个单位图象重复出现一次，在区间[2,3]上，随x 增大，图象是往上的，在区间[4,6]上图象是往下的，所以①②④正确，③错误．答案：①②④。
高三理科数学二轮复习专题能力提升训练：函数、导数、不等式的综合问题(含答案解析).pdf
训练 函数、导数、不等式的综合问题 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(aR)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)等于( )． A. B．－ C. D．－或 2．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为( )． A．1 B. C. D. 3．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，xR，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是( )． A. B. C. D. 4．已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－aln x在(1,2)上为增函数，则a的值等于( )． A．1 B．2 C．0 D. 5．设aR，若函数y＝eax＋3x，xR有大于零的极值点，则( )． A．a＞－3 B． a＜－3 C．a＞－ D．a＜－ 二、填空题(每小题5分，共15分) 6．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于________． 7．函数f(x)＝x3－x2＋ax－5在区间[－1,2]上不单调，则实数a的范围是________． 8．关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________． 三、解答题(本题共3小题，共35分) 9．(11分)已知函数f(x)＝x3－x2＋bx＋a.(a，bR)的导函数f′(x)的图象过原点． (1)当a＝1时，求函数f(x)的图象在x＝3处的切线方程； (2)若存在x＜0，使得f′(x)＝－9，求a的最大值． 10．(12分)已知a，b为常数，且a≠0，函数f(x)＝－ax＋b＋axln x，f(e)＝2(e＝2.718 28…是自然对数的底数)． (1)求实数b的值； (2)求函数f(x)的单调区间； (3)当a＝1时，是否同时存在实数m和M(m＜M)，使得对每一个t[m， M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M；若不存在，说明理由． 11．(12分)已知f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3. (1)求函数f(x)在[t，t＋2](t＞0)上的最小值； (2)对一切的x(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围； (3)证明：对一切x(0，＋∞)，都有ln x＞－.参考答案 1．D [f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，f′(x)的图象开口向上，若图象不过原点，则a＝0时，f(－1)＝，若图象过原点，则a2－1＝0，又对称轴x＝－a＞0，a＝－1，f(－1)＝－.] 2．D [|MN|的最小值，即函数h(x)＝x2－ln x的最小值，h′(x)＝2x－＝，显然x＝是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t＝.] 3．A [因为函数f(x)＝x4－2x3＋3m，所以f′(x)＝2x3－6x2，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，经检验知x＝3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f(3)＝3m－，不等式f(x)＋9≥0恒成立，即f(x)≥－9恒成立，所以3m－≥－9，解得m≥.] 4．B [函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，≥1，得a≥2.又g′(x)＝2x－，依题意g′(x)≥0在x(1,2)上恒成立，得2x2≥a在x(1, 2)上恒成立，有a≤2，a＝2.] 5．B [令f(x)＝eax＋3x，可求得f′(x)＝3＋aeax，若函数在xR上有大于零的极值点，即f′(x)＝3＋aeax＝0有正根．当f′(x)＝3＋aeax＝0成立时，显然有a＜0，此时x＝ln.由x＞0，解得a＜－3，a的取值范围为(－∞，－3)．] 6．解析 由题得f′ (x)＝12x2－2ax－2b＝0，f′(1)＝12－2a－2b＝0，a＋b＝6.a＋b≥2，6≥2，ab≤9，当且仅当a＝b＝3时取到最大值． 答案 9 7．解析 f(x)＝x3－x2＋ax－5，f′(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋a－1，如果函数f(x)＝x3－x2＋ax－5在区间[－1,2]上单调，那么a－1≥0或f′(－1)＝3＋a≤0且f′(2)＝a≤0，a≥1或a≤－3.于是满足条件的a(－3,1)． 答案 (－3,1) 8．解析 由题意知使函数f(x)＝x3－3x2－a的极大值大于0且极小值小于0即可，又f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0得，x1＝0，x2＝2，当x＜0时，f′(x)＞0；当0＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0，所以当x＝0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值＝f(0)＝－a；当x＝2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值＝f(2)＝－4－a，所以，解得－4＜a＜0. 答案 (－4,0) 9．解 由已知，得f′(x)＝x2－(a＋1)x＋b. 由f′(0)＝0，得b＝0，f′(x)＝x(x－a－1)． (1)当a＝1时，f(x)＝x3－x2＋1，f′(x)＝x(x－2)，f(3)＝1， f′(3)＝3. 所以函数f(x)的图象在x＝3处的切线方程为y－1＝3(x－3)， 即3x－y－8＝0. (2)存在x＜0，使得f′(x)＝x(x－a－1)＝－9，－a－1＝－x－＝(－x)＋≥2＝6，a≤－7，当且仅当x＝－3时，a＝－7. 所以a的最大值为－7. 10．解 (1)由f(e)＝2，得b＝2. (2)由 (1)可得f(x)＝－ax＋2＋axln x. 从而f′(x)＝aln x. 因为a≠0，故 当a＞0时，由f′(x)＞0，得x＞1，由f′(x)＜0得， 0＜x＜1； 当a＜0时，由f′(x)＞0，得0＜x＜1，由f′(x)＜0得，x＞1. 综上，当a＞0时，函数f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)；当a＜0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)． (3)当a＝1时，f(x)＝－x＋2＋xln x，f′(x)＝ln x. 由(2)可得，当x在区间内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x1(1，e)ef′(x) －0 ＋f(x)2－单调递减极小值1单调递增2又2－＜2， 所以函数f(x)的值域为[1,2]． 据此可得，若则对每一个t[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)都有公共点； 并且对每一个t(－∞，m)(M，＋∞)，直线y＝t与曲线y＝f(x)都没有公共点． 综上，当a＝1时，存在最小的实数m＝1，最大的实数M＝2，使得对每一个t[m，M]，直线y＝t与曲线y＝f(x)都有公共点． 11．(1)解 f′(x)＝ln x＋1. 当x时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当x时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． 则当0＜t＜t＋2＜时，t无解； 当0＜t＜＜t＋2，即0＜t＜时， [f(x)]min＝f＝－； 当≤t＜t＋2，即t≥时， f(x)在[t，t＋2]上单调递增． 所以[f(x)]min＝f(t)＝tln t.所以[f(x)]min＝ (2)解 2f(x)≥g(x)，即2xln x≥－x2＋ax－3， 则a≤2ln x＋x＋.设h(x)＝2ln x＋x＋(x＞0)， h′(x)＝. 当x(0,1)时，h′(x)＜0，h(x)单调递减； 当x(1，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)单调递增． 所以[h(x)]min＝h(1)＝4.因为对一切x(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立， 所以a≤[h(x)] min＝4.故实数a的取值范围是(－∞，4]． (3)证明 问题等价于证明xln x＞－，x(0，＋∞)． 由(1)可知f(x)＝xln x，x(0，＋∞)的最小值为－， 当且仅当x＝时取得．设m(x)＝－，x(0，＋∞)，则m′(x)＝，易得[m(x)]max＝m(1)＝－. 从而对一切x(0，＋∞)，都有ln x＞－成立．。
2020届高三数学(理)二轮复习专题集训：专题二函数、不等式、导数2.4.1Word版含解析.doc
A 级1π1．已知函数 f(x) ＝ x cos x ，则 f(π)＋ f ′ 2 ＝ ()3 1A ．－πB ．－π2231C ．－ πD ．－ π分析：∵ f ′ (x)＝－ 1 1x 2cos x ＋ x (－ sin x)，∴ f(π)＋ f ′ π 1 2 32 ＝－ ＋ ·(－ 1)＝－ .π π π 答案：C2．已知 m 是实数，函数 f( x)＝ x 2(x － m)，若 f ′ (－ 1)＝－ 1，则函数 f(x)的单一递加区间是()A. －4，0B ． 0，433C. －∞，－ 4， (0，＋∞ )D ． －∞，－ 4∪(0，＋∞ )33分析：由于 f ′ (x)＝ 3x 2－ 2mx ，因此 f ′ (－ 1)＝ 3＋ 2m ＝－ 1，解得 m ＝－ 2.因此 f ′( x)＝ 3x 2＋4x.由 f ′ (x)＝ 3x 2＋ 4x>0，解得 x<－4或 x>0 ，34即 f(x) 的单一递加区间为 －∞，－3 ，(0 ，＋ ∞ )，应选 C.答案： C3．(2017 湖·南省湘中名校高三联考 )设 f(x)＝1－ x 2， x ∈ [ － 1， 1 ，2，则－1f(x)dxx 2－ 1，x ∈ [1， 2]的值为 ()π 4B ． πA. ＋3＋ 32 2π 4πC. ＋3D ． ＋ 344212(x 2－ 1)dx ＝ 1π× 12＋1 3 2π 4，应选分析：－1f( x)dx ＝－1 1－ x 2dx ＋1 x － x |1＝ ＋2323A.答案： A4．若函数 f( x)＝ 2sin x(x ∈ [0，π))的图象在切点P 处的切线平行于函数g(x)＝ 2 x＋ 1x 3的图象在切点 Q 处的切线，则直线PQ 的斜率为 ()8A. 3B ． 27 3 C.3D ． 311分析：由题意得 f ′ (x)＝ 2cos x ，g ′ (x)＝ x 2＋x －2.设 P(x 1，f(x 1))，Q(x 2，g(x 2 ))，又 f ′ (x 1)＝ g ′ (x 2)，即 2cos x 1＝ x 12＋ x － 12，故 4cos 2x 1＝ x 2＋ x －21＋ 2，因此－ 4＋ 4cos 2x 1＝ x 2＋ x －21－ 2，22即－ 4sin2x 1＝ x 12 －x －12 2，因此 sin x 1＝ 0，x 1＝ 0，x 12＝ x － 1 2，x 2＝ 1，故 P(0,0)，Q 1， 8 ，22 2 2 3故 k PQ ＝ 8.3答案： A5．已知偶函数 f(x)(x ≠0)的导函数为 f ′ (x) ，且知足f(1)＝ 0，当 x>0 时， xf ′ (x)<2f(x)，则使得 f(x)>0 建立的 x 的取值范围是 ()A ． (－∞，－ 1)∪(0,1)B ． (－∞，－ 1)∪ (1，＋∞ )C ．( －1,0)∪ (1，＋∞ )D ． (－ 1,0)∪(0,1)分析：依据题意，设函数g(x)＝ f xf ′ x ·x － 2·fx2 (x ≠ 0)，当 x>0时， g ′ (x)＝x 3<0，说x明函数 g(x)在 (0，＋ ∞ )上单一递减，又 f(x) 为偶函数，因此 g(x) 为偶函数，又 f(1) ＝ 0，因此g(1) ＝ 0，故 g(x)在 (－ 1,0)∪(0,1) 上的函数值大于零，即 f(x)在 (－ 1,0)∪ (0,1) 上的函数值大于零．答案： D6．函数 y ＝ x ＋ 2cos x 在区间 0，π上的最大值是 ________． 2π π π分析： y ′ ＝ 1－2sin x ，令 y ′ ＝ 0，且 x ∈ 0， 2 ，得 x ＝ 6，则 x ∈ 0， 6 时， y ′ >0；π ππ π π 上递减，因此当 x ＝ πx ∈，0， 6 上递加，在 ，6 时，函数取最6 2 时， y ′<0，故函数在6 2π大值 6＋ 3.答案：π＋ 367．曲线 y ＝ x 2 与直线 y ＝ x 所围成的关闭图形的面积为________．分析： 如图，暗影部分的面积即为所求，y ＝x 2 ， 得 A(1,1)．由y ＝x ，12 12 13 11故所求面积为 S ＝0 (x － x )dx ＝x－ x|0＝ .236答案：168．设函数f(x)＝ ln1 2－ bx ，若 x ＝ 1 是 f(x)的极大值点，则a 的取值范围为x － ax2____________．分析：∵ f(x)的定义域为 (0，＋ ∞ )， f ′ (x)＝1－ ax － b ，x由 f ′ (1) ＝ 0，得 b ＝ 1－ a.∴ f ′ (x)＝ 1－ ax ＋ a － 1＝ － ax 2＋ 1＋ax － xxx＝－ ax ＋ 1 x － 1 .x①若 a ≥ 0，当 0<x<1 时， f ′ (x)>0 ， f(x)单一递加；当 x>1 时， f ′ (x)<0， f(x)单一递减；因此 x ＝1 是 f(x) 的极大值点．1②若 a<0，由 f ′ (x)＝ 0，得 x ＝ 1 或 x ＝－ .由于 x ＝1 是 f(x) 的极大值点，1因此－ a >1，解得－ 1< a<0.综合①②得 a 的取值范围是 (－ 1，＋ ∞)．答案：(－ 1，＋∞ )ax9． (2017 ·西省高三教课质量检测试题陕 (一 ))已知函数 f(x)＝ ln(x ＋ 1)＋ x ＋ 1(a ∈ R )．(1)当 a ＝ 1 时，求 f(x)的图象在 x ＝0 处的切线方程；(2)当 a<0 时，求 f( x)的极值．分析：(1)当a ＝ 1 时， f(x)＝ ln(x ＋ 1)＋x ，x ＋ 11 1x ＋ 2∴ f ′ (x)＝ x ＋ 1＋ x ＋ 1 2＝ x ＋ 1 2.∵ f(0) ＝ 0， f ′ (0)＝ 2，∴所求切线方程为 y ＝ 2x.(2)f(x)＝ ln(x ＋ 1)＋ ax (x>－ 1)， f ′ (x)＝ x ＋ a ＋ 21，x ＋ 1 x ＋ 1∵ a<0 ，∴当 x ∈ (－ 1，－ a －1) 时， f ′ (x)<0， 当 x ∈ (－ a － 1，＋ ∞)时， f ′ (x)>0 ，函数 f(x)的极小值为 f(－a － 1)＝ a ＋ 1＋ ln( － a)，无极大值．10． (2016 ·京卷北 )设函数 f(x)＝ xe a －x ＋ bx ，曲线y ＝ f(x)在点(2， f(2)) 处的切线方程为y＝(e －1)x ＋ 4.(1)求 a ， b 的值；(2)求 f(x)的单一区间． a － x分析：(1) 由于 f( x)＝ xe ＋ bx ，f 2 ＝ 2e ＋ 2，a －2 2e ＋ 2b ＝ 2e ＋ 2，依题设，即 a －2f ′ 2 ＝ e － 1，－ e ＋ b ＝e － 1.a ＝ 2， 解得b ＝ e.2－x＋ ex.(2)由 (1) 知 f(x)＝ xe由 f ′ (x)＝ e 2 －x (1－ x ＋ e x － 1)及 e 2－ x >0 知， f ′ (x)与 1－ x ＋ e x －1 同号．令 g(x)＝ 1－ x ＋ e x － 1，则 g ′ (x)＝－ 1＋ e x －1.因此， 当 x ∈ (－ ∞ ， 1)时， g ′ (x)<0 ，g(x)在区间 (－ ∞ ， 1)上单一递减；当 x ∈ (1，＋ ∞ )时， g ′ (x)>0 ，g(x)在区间 (1，＋ ∞)上单一递加．故 g(1)＝ 1 是 g(x)在区间 (－ ∞ ，＋ ∞ )上的最小值，进而 g(x)>0，x ∈ (－ ∞ ，＋ ∞ )．综上可知， f ′ (x)>0， x ∈ (－ ∞ ，＋ ∞ )，故 f(x) 的单一递加区间为 (－∞ ，＋ ∞ )．B 级f n － f m1．定义：假如函数 f(x)在 [m ，n]上存在 x 1，x 2(m<x 1<x 2 <n)知足 f ′ (x 1)＝，f ′ (x 2)＝f n － f m.则称函数 f(x)是 [m ，n] 上的“双中值函数”，已知函数f(x)＝ x 3－ x 2＋ a 是 [0，a]n － m上的“双中值函数”，则实数a 的取值范围是 ( )1， 1 B ． 3，3A.3 2211 C. 2，1D ．3，1分析：由于 f(x)＝ x 3－ x 2＋ a ，因此由题意可知， f ′( x)＝ 3x 2－ 2x 在区间 [0， a]上存在x 1， x 2(0< x 1<x 2<a)，知足 f ′ ( x 1)＝ f ′ (x 2)＝f a － f 0＝a 2 －a ，因此方程 3x 2－2x ＝ a 2－ a 在区a － 0间(0 ， a)上有两个不相等的实根．＝ 4－12 － a 2＋ a >0，2221令 g(x)＝ 3x － 2x － a ＋a(0<x<a)，则 g 0 ＝－ a ＋ a>0 ，解得 2<a<1 ，因此实数 a2－ a>0，g a ＝ 2a 的取值范围是1， 1 .2答案：C2． (2017 江·苏卷 )已知函数3 x1 f(x)＝ x －2x ＋ e － x ，此中 e 是自然对数的底数．若 f(a － 1)e＋ f (2a 2)≤ 0，则实数 a 的取值范围是 ________．分析： 易知函数 f(x)的定义域对于原点对称． ∵ f(x)＝x 3－ 2x ＋ e x －e1x ，∴ f(－ x)＝ (－x)3－ 2(－x) ＋e － x － 1－xe31x＝－ x ＋ 2x ＋ x － e ＝－ f(x)，e∴ f(x)为奇函数，又 f ′ (x)＝ 3x 2－ 2＋ e x＋ e 1x ≥ 3x 2 －2＋ 2＝ 3x 2≥ 0(当且仅当 x ＝0 时，取 “ ＝ ” )，进而 f( x) 在 R 上单一递加，因此 f(a － 1)＋ f(2a 2)≤0? f(a － 1)≤ f(－ 2a 2)? － 2a 2≥ a －1，1解得－ 1≤ a ≤ 2.1答案： －1，23．已知函数 f(x) ＝(ax ＋ b)ln x －bx ＋ 3 在 (1， f(1)) 处的切线方程为 y ＝2.(1)求 a ， b 的值； (2) 求函数 f(x)的极值；(3) 若 g(x)＝f(x)＋ kx 在 (1,3)上是单一函数，求k 的取值范围．分析： (1) 由于 f(1) ＝－ b ＋ 3＝ 2，因此 b ＝ 1.又 f ′ (x)＝ b ＋ aln x ＋ a －b ＝ 1＋ aln x ＋ a － 1，x x而函数 f(x)＝ (ax ＋ b)ln x － bx ＋ 3 在 (1，f(1)) 处的切线方程为 y ＝ 2，因此 f ′ (1) ＝ 1＋ a － 1＝ 0，因此 a ＝ 0.(2)由 (1) 得 f(x)＝ ln x － x ＋ 3， f ′( x)＝1x － 1， x>0.令 f ′ (x)＝ 0，得 x ＝1.当 0<x<1 时， f ′ (x)>0 ；当 x>1 时， f ′ (x)<0，因此 f(x)在 (0,1)上单一递加，在 (1，＋ ∞ )上单一递减，故 f(x) 的极大值为 f(1)＝ 2，无极小值．1(3)由 g(x)＝f(x)＋ kx ，则 g(x) ＝ln x ＋( k － 1)x ＋3(x>0)， g ′ (x)＝ x ＋k －1，又 g(x)在 x ∈ (1,3)上是单一函数，若 g(x)为增函数，有 g ′ (x)≥0，即 g ′ (x)＝ 1＋ k － 1≥ 0，即 k ≥ 1－1在 x ∈ (1,3) 上恒建立．x x又 1－1∈ 0， 2 ，因此 k ≥2.x 33若 g(x)为减函数，有 g ′ (x)≤0，即 g ′ (x)＝ 1＋ k － 1≤ 0，即 k ≤ 1－1在 x ∈ (1,3) 上恒建立，x x12又 1－ x ∈ 0， 3 ，因此 k ≤ 0.综上， k 的取值范围为 (－ ∞ ， 0]∪2，＋∞ .31 14． (2017 成·都市第二次诊疗性检测 )已知函数 f(x)＝ a ＋a ln x － x ＋ x ，此中 a>0.(1)若 f(x)在 (0，＋∞ )上存在极值点，求 a 的取值范围；(2)设 a ∈ (1，e]，当 x 1∈ (0,1)， x 2∈ (1，＋∞ )时，记 f(x 2)－ f(x 1)的最大值为M(a)．那么M(a)能否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明原因．－ x －ax － 1(1) f ′ (x)＝ 1 1－ 1 －12a分析：x 2， x ∈(0 ，＋ ∞)．a ＋a xx ＝①当 a ＝ 1 时， f ′ (x)＝－ x － 12x 2 ≤ 0， f(x)在 (0，＋ ∞ )上单一递减，不存在极值点；1②当 a>0 且 a ≠1 时， f ′ (a)＝ f ′ a ＝ 0.经查验 a ，1a 均为 f(x)的极值点．∴ a ∈ (0,1) ∪ (1，＋ ∞ )．1(2)当 a ∈ (1， e]时， 0<a <1< a.由(1) 知，11 . 当 f ′ (x)>0 时， <x<a ；当 f ′ (x)<0 时， x>a 或 x<a a11∴ f(x)在 0， a 上单一递减，在 a ， a 上单一递加，在 (a ，＋ ∞) 上单一递减．1∴对 ? x 1∈(0,1) ，有 f(x 1)≥ f；对 ? x 2∈ (1，＋ ∞ )，有 f(x 2)≤f(a)．∴ [f(x 2 )－f(x 1 )]max ＝ f(a)－ f 1a.∴ M(a)＝ f(a)－ f 1a111 1 1＝ a ＋a ln a － a ＋ a － a ＋ a ln a － a ＋ a＝ 211， a ∈ (1， e]．a ＋a ln a － a ＋a1 ln a ＋2 a ＋ 1 1 ＋2 1 M ′ (a)＝ 2 1－ 2a a －1－ 2 aa1＝ 2 1－ a 2 ln a ， a ∈ (1， e]．∴ M ′ (a)>0，即 M (a)在 (1，e]上单一递加．114∴ M(a)max ＝ M(e) ＝ 2 e ＋ e ＋ 2 － e＝ e .e∴ M(a)存在最大值4e.。
高考数学二轮复习第1部分专题二函数不等式导数1_2_3导数的简单应用课件文
(2)设曲线 y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为 y＝2x，则
a＝( D )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：y′＝a－x＋1 1，当 x＝0 时，y′＝a－1＝2， ∴a＝3，故选 D.
(3)已知曲线 y＝x＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线 y＝ax2＋(a＋ 2)x＋1 相切，则 a＝________.
解析：通解：令 f(x)＝x＋ln x，求导得 f′(x)＝1＋1x，f′(1)＝ 2，又 f(1)＝1，所以曲线 y＝x＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为 y－1 ＝2(x－1)，即 y＝2x－1.设直线 y＝2x－1 与曲线 y＝ax2＋(a＋2)x ＋1 的切点为 P(x0，y0)，则 y′|x＝x0＝2ax0＋a＋2＝2，得 a(2x0＋ 1)＝0，
∈R 都有 f′(x)＜12，则不等式 f(x2)＞x2＋2 1的解集为( C )
A．(1,2)
B．(0,1)
CБайду номын сангаас(－1,1)
D．(1，＋∞)
解析：令 g(x)＝f(x)－12(x＋1)，∴g′(x)＝f′(x)－12＜0，故 g(x) 在(－∞，＋∞)上单调递减且 g(1)＝0.令 g(x)＞0，则 x＜1，f(x2)＞ x2＋2 1⇔f(x2)－x2＋2 1＞0⇔g(x2)＞0⇔x2＜1⇔－1＜x＜1.故选 C.
解得 x20＝1，又 x0＞0， ∴x0＝1. 又∵点 P 在曲线 y＝1x(x＞0)上， ∴y0＝1，故点 P 的坐标为(1,1)． 答案：(1,1)
2．(2017·高考天津卷)已知 a∈R，设函数 f(x)＝ax－ln x 的图 象在点(1，f(1))处的切线为 l，则 l 在 y 轴上的截距为________．
【2020最新】数学高考(理)二轮专题复习：第一部分专题二函数、不等式、导数1-2-1-含答案
教学资料范本【2020最新】数学高考（理）二轮专题复习：第一部分专题二函数、不等式、导数1-2-1-含答案编辑：__________________时间：__________________一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)1．函数y＝的定义域是( )A．(－1，＋∞)B．[－1，＋∞)C．(－1,2)∪(2，＋∞)D．[－1,2)∪(2，＋∞)解析：选C.由题意知，要使函数有意义，需，即－1＜x＜2或x＞2，所以函数的定义域为(－1,2)∪(2，＋∞)．故选C.2．设函数f：R→R满足f(0)＝1，且对任意，x，y∈R都有f(xy＋1)＝f(x)f(y)－f(y)－x＋2，则f(2 017)＝( )A．0 B．1C．2 016 D．2 018解析：选D.令x＝y＝0，则f(1)＝f(0)f(0)－f(0)＋2＝1×1－1＋2＝2，令y＝0，则f(1)＝f(x)f(0)－f(0)－x＋2，将f(0)＝1，f(1)＝2代入，可得f(x)＝1＋x，所以f(2 017)＝2 018.故选D.3．若函数f(x)满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”，则f(x)的解析式可以是( )A．f(x)＝(x－1)2B．f(x)＝exC．f(x)＝D．f(x)＝ln(x＋1)解析：选C.根据条件知，f(x)在(0，＋∞)上单调递减．对于A，f(x)＝(x－1)2在(1，＋∞)上单调递增，排除A；对于B，f(x)＝ex在(0，＋∞)上单调递增，排除B；对于C，f(x)＝在(0，＋∞)上单调递减，C正确；对于D，f(x)＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D.4．已知函数f(x)＝2x＋1(1≤x≤3)，则( )A．f(x－1)＝2x＋2(0≤x≤2)B．f(x－1)＝2x－1(2≤x≤4)C．f(x－1)＝2x－2(0≤x≤2)D．f(x－1)＝－2x＋1(2≤x≤4)解析：选 B.因为f(x)＝2x＋1，所以f(x－1)＝2x－1.因为函数f(x)的定义域为[1,3]，所以1≤x－1≤3，即2≤x≤4，故f(x－1)＝2x －1(2≤x≤4)．5．若函数y＝f(x)的定义域是[0,2 018]，则函数g(x)＝的定义域是( )A．[－1,2 017]B．[－1,1)∪(1,2 017]C．[0,2 019]D．[－1,1)∪(1,2 018]解析：选B.要使函数f(x＋1)有意义，则0≤x＋1≤2 018，解得－1≤x≤2 017，故函数f(x＋1)的定义域为[－1，2 017]，所以函数g(x)有意义的条件是，解得－1≤x＜1或1＜x≤2 017.故函数g(x)的定义域为[－1,1)∪(1,2 017]．6．下列函数为奇函数的是( )A．y＝x3＋3x2B．y＝ex＋e－x2C．y＝xsin xD ．y ＝log23－x3＋x解析：选D.依题意，对于选项A ，注意到当x ＝－1时，y ＝2；当x ＝1时，y ＝4，因此函数y ＝x3＋3x2不是奇函数．对于选项B ，注意到当x ＝0时，y ＝1≠0，因此函数y ＝不是奇函数．对于选项C ，注意到当x ＝－时，y ＝；当x ＝时，y ＝，因此函数y ＝xsin x 不是奇函数．对于选项D ，由＞0得－3＜x ＜3，即函数y ＝log2的定义域是(－3,3)，该数集是关于原点对称的集合，且log2＋log2＝log21＝0，即log2＝－log2，因此函数y ＝log2是奇函数．综上所述，选D.7．设函数f(x)＝ln(1＋x)＋mln(1－x)是偶函数，则( ) A ．m ＝1，且f(x)在(0,1)上是增函数 B ．m ＝1，且f(x)在(0,1)上是减函数 C ．m ＝－1，且f(x)在(0,1)上是增函数 D ．m ＝－1，且f(x)在(0,1)上是减函数解析：选B.因为函数f(x)＝ln(1＋x)＋mln(1－x)是偶函数，所以f ＝f ，则(m －1)ln 3＝0，即m ＝1，则f(x)＝ln(1＋x)＋ln(1－x)＝ln(1－x2)，在(0,1)上，当x 增大时，1－x2减小，ln(1－x2)减小，即f(x)在(0,1)上是减函数，故选B.8．若关于x 的不等式4ax －1＜3x －4(a ＞0，且a≠1)对于任意的x ＞2恒成立，则a 的取值范围为( )A. B.⎝⎛⎦⎥⎤0，12 C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)解析：选B.不等式4ax －1＜3x －4等价于ax －1＜x －1.令f(x)＝ax－1，g(x)＝x－1，当a＞1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图1所示，由图知不满足条件；当0＜a＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图2所示，则f(2)≤g(2)，即a2－1≤×2－1，即a≤，所以a的取值范围是，故选B.9．已知函数y＝a＋sin bx(b＞0且b≠1)的图象如图所示，那么函数y＝logb(x－a)的图象可能是( )解析：选C.由三角函数的图象可得a＞1，且最小正周期T＝＜π，所以b＞2，则y＝logb(x－a)是增函数，排除A和B；当x＝2时，y＝logb(2－a)＜0，排除D，故选C.10．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(－∞，0]时，f(x)为减函数，若a＝f(20.3)，b＝f(log4)，c＝f(log25)，则a，b，c的大小关系是( )A．a＞b＞c B．c＞b＞aC．c＞a＞b D．a＞c＞b解析：选B.函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(－∞，0]时，f(x)为减函数，∴f(x)在[0，＋∞)为增函数，∵b＝f(log4)＝f(－2)＝f(2)，1＜20.3＜2＜log25，∴c＞b＞a，故选B.11．已知函数f(x)＝x－4＋，x∈(0,4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则函数g(x)＝a|x＋b|的图象为( )解析：选A.∵x∈(0,4)，∴x＋1＞1，∴f(x)＝x－4＋＝x＋1＋－5≥2－5＝1，当且仅当x＝2时取等号，此时函数f(x)有最小值1.∴a＝2，b＝1，∴g(x)＝2|x＋1|＝，此函数可以看成由函数y＝的图象向左平移1个单位得到，结合指数函数的图象及选项可知A正确．故选A.12．若函数f(x)＝1＋＋sin x在区间[－k，k](k＞0)上的值域为[m，n]，则m＋n的值是( )A．0 B．1C．2 D．4解析：选D.∵f(x)＝1＋＋sin x＝1＋2·＋sin x＝2＋1－＋sin x＝2＋＋sin x.记g(x)＝＋sin x，则f(x)＝g(x)＋2，易知g(x)为奇函数，g(x)在[－k，k]上的最大值a与最小值b互为相反数，∴a＋b＝0，故m＋n＝4.(a＋2)＋(b＋2)＝a＋b＋4＝4.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝log2x－1，则f＝________.解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f＝－f＝－＝.答案：3214．若函数f(x)＝(a＞0，且a≠1)的值域是(－∞，－1]，则实数a的取值范围是________．解析：当x≤2时，f(x)＝－x2＋2x－2＝－(x－1)2－1，f(x)在(－∞，1)上递增，在(1,2]上递减，∴f(x)在(－∞，2]上的最大值是－1， 又f(x)的值域是(－∞，－1]，∴当x ＞2时， logax≤－1，故0＜a ＜1，且loga2≤－1， ∴≤a＜1，故答案为. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，115．已知函数f(x)在实数集R 上具有下列性质：①直线x ＝1是函数f(x)图象的一条对称轴；②f(x＋2)＝－f(x)；③当1≤x1＜x2≤3时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)＜0，则f(2 015)、f(2 016)、f(2 017)从大到小的顺序为______________．解析：由f(x ＋2)＝－f(x)得f(x ＋4)＝f(x)，所以f(x)的周期是4，所以f(2 015)＝f(3)，f(2 016)＝f(0)，f(2 017)＝f(1)．因为直线x ＝1是函数f(x)图象的一条对称轴，所以f(0)＝f(2)．由1≤x1＜x2≤3时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)＜0，可知当1≤x≤3时，函数f(x)单调递减，所以f(1)＞f(2)＞f(3)，即f(2 017)＞f(2 016)＞f(2 015)．答案：f(2 017)＞f(2 016)＞f(2 015)16．已知函数f(x)＝若f(x1)＝f(x2)＝f(x3)(x1，x2，x3互不相等)，且x1＋x2＋x3的取值范围为(1,8)，则实数m 的值为________．解析：作出f(x)的图象，如图所示，可令x1＜x2＜x3，则由图知点(x1,0)，(x2,0)关于直线x ＝－对称，所以x1＋x2＝－1.又1＜x1＋x2＋x3＜8，所以2＜x3＜9.结合图象可知点A 的坐标为(9,3)，代入函数解析式，得3＝log2(9－m)，解得m ＝1. 答案：1。
高考数学理科二轮复习讲义专题一 第1讲 函数与导数 不等式
第1讲 函数图象与性质及函数与方程高考定位 1.高考仍会以分段函数、二次函数、指数函数、对数函数为载体，考查函数的定义域、函数的最值与值域、函数的奇偶性、函数的单调性，或者综合考查函数的相关性质.2.对函数图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题.3.以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理、数形结合思想，这是高考考查函数的零点与方程的根的基本方式．真 题 感 悟1．(2015·安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln xD ．y ＝x 2＋1解析 由于y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 是非奇非偶函数；y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点；只有y ＝cos x 是偶函数又有零点． 答案 A2．(2015·全国Ⅱ卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧1＋log 2（2－x ），x ＜1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析 因为－2＜1，log 212＞log 28＝3＞1，所以f (－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝1＋log 24＝3，f (log 212)＝1212log 2-＝122log 2×2－1＝12×12＝6，故f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9，故选C.答案 C3．(2015·北京卷)如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( )A ．{x |－1＜x ≤0}B ．{x |－1≤x ≤1}C ．{x |－1＜x ≤1}D ．{x |－1＜x ≤2}解析 如图，由图知：f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1<x ≤1}．答案 C4．(2015·山东卷)已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1) 的定义域和值域都是[－1，0]，则a ＋b ＝________．解析 当a ＞1时，f (x )＝a x ＋b 在定义域上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，方程组无解；当0＜a ＜1时，f (x )＝a x ＋b 在定义域上为减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－2.∴a ＋b ＝－32.答案 －32考 点 整 合1．函数的性质(1)单调性：证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论．可以用来比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性；(2)奇偶性：①若f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (－x )；②若f (x )是奇函数，0在其定义域内，则f (0)＝0；③奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；(3)周期性：①若y ＝f (x )对x ∈R ，f (x ＋a )＝f (x －a )或f (x －2a )＝f (x )(a ＞0)恒成立，则y ＝f (x )是周期为2a 的周期函数；②若y ＝f (x )是偶函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为2|a |的周期函数；③若y ＝f (x )是奇函数，其图象又关于直线x ＝a 对称，则f (x )是周期为4|a |的周期函数；④若f (x ＋a )＝－f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫或f （x ＋a ）＝1f （x ），则y ＝f (x )是周期为2|a |的周期函数．2．函数的图象对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换． 3．函数的零点与方程的根 (1)函数的零点与方程根的关系函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标． (2)零点存在性定理 注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一； ②不满足条件时，也可能有零点.热点一 函数性质的应用[微题型1] 单一考查函数的奇偶性、单调性、对称性【例1－1】 (1)(2015·全国Ⅰ卷)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________． (2)(2015·济南三模)已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1＞1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)C ．sin x ＞sin yD ．x 3＞y 3(3)设f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋2，x ＜1，－ax ＋6，x ≥1(a ∈R )的图象关于直线x ＝1对称，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．3解析(1)f(x)为偶函数，则ln(x＋a＋x2)为奇函数，所以ln(x＋a＋x2)＋ln(－x＋a＋x2)＝0，即ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1.(2)∵a x＜a y，0＜a＜1，∴x＞y，∴x3＞y3.(3)由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，得f(0)＝f(2)，即2＝－2a＋6，解得a＝2.故选C. 答案(1)1(2)D(3)C探究提高第(3)小题将对称问题转化为点的对称，从而很容易地解决问题，本题也可借助于图象的斜率解决．[微题型2]综合考查函数的奇偶性、单调性、周期性【例1－2】(1)(2015·湖南卷)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是()A．奇函数，且在(0，1)上是增函数B. 奇函数，且在(0，1)上是减函数C. 偶函数，且在(0，1)上是增函数D．偶函数，且在(0，1)上是减函数(2)(2015·文登模拟)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0.若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________．解析(1)易知函数定义域为(－1，1)，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，又f(x)＝ln 1＋x1－x＝ln⎝⎛⎭⎪⎫－1－2x－1，由复合函数单调性判断方法知，f(x)在(0，1)上是增函数，故选A.(2)∵f(x)是偶函数，∴图象关于y轴对称．又f(2)＝0，且f(x)在[0，＋∞)单调递减，则f(x)的大致图象如图所示，由f(x－1)＞0，得－2＜x－1＜2，即－1＜x＜3.答案(1)A(2)(－1，3)探究提高函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．【训练1】(2015·天津卷)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为()A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．c＜a＜b D．c＜b＜a解析因为函数f(x)＝2|x－m|－1为偶函数可知，m＝0，所以f(x)＝2|x|－1，当x＞0时，f(x)为增函数，log0.53＝－log23，∴log25＞|log0.53|＞0，∴b＝f(log25)＞a＝f(log0.53)＞c＝f(2m)，故选C.答案 C热点二函数图象与性质的融合问题[微题型1]函数图象的识别【例2－1】(1)(2015·安徽卷)函数f(x)＝ax＋b（x＋c）2的图象如图所示，则下列结论成立的是()A．a>0，b>0，c<0 B．a<0，b>0，c>0 C．a<0，b>0，c<0 D．a<0，b<0，c<0(2)(2014·江西卷)在同一直角坐标系中，函数y＝ax2－x＋a2与y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)的图象不可能的是()解析 (1)函数定义域为{x |x ≠－c }，结合图象知－c ＞0，∴c ＜0；令x ＝0，得f (0)＝bc 2，又由图象知f (0)＞0，∴b ＞0；令f (x )＝0，得x ＝－b a ，结合图象知－ba ＞0，∴a ＜0.故选C.(2)当a ＝0时，两个函数的解析式分别为y ＝－x ，y ＝x ，故选项D 中的图象是可能的．当a ≠0时，二次函数y ＝ax 2－x ＋a 2的对称轴方程为x ＝12a ，三次函数y ＝a 2x 3－2ax 2＋x ＋a (a ∈R )的导数为y ′＝3a 2x 2－4ax ＋1＝(3ax －1)(ax －1)，令y ′＝0，得其极值点为x 1＝13a ，x 2＝1a .由于13a ＜12a ＜1a (a ＞0)，或者13a ＞12a ＞1a (a ＜0)，即三次函数的极值点在二次函数的对称轴两侧，选项A 、C 中的图象有可能，选项B 中的图象不可能． 答案 (1)C (2)B探究提高 识图时，可从图象与x 轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．在探究两个函数的图象位置关系时，要善于根据函数解析式中字母的变化研究函数性质的变化，从而确定两个函数图象的可能位置关系． [微题型2] 函数图象的应用【例2－2】 (1)已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＞a ＞bB ．c ＞b ＞aC ．a ＞c ＞bD ．b ＞a ＞c(2)(2015·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a <1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，1B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1 解析 (1)由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象本身关于直线x ＝1对称，所以a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，当x 2＞x 1＞1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)＜0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b ＞a ＞c .选D.(2)设g (x )＝e x (2x －1)，y ＝ax －a ，由题知存在唯一的整数x 0，使得g (x 0)在直线y ＝ax －a 的下方，因为g ′(x )＝e x (2x ＋1)，所以当x <－12时，g ′(x )<0，当x >－12时，g ′(x )>0，所以当x ＝－12时，[g (x )]min ＝－2e －12，当x ＝0时，g (0)＝－1，当x ＝1时，g (1)＝e>0，直线y ＝a (x －1)恒过(1，0)，则满足题意的唯一整数x 0＝0， 故－a >g (0)＝－1，且g (－1)＝－3e －1≥－a －a ，解得32e ≤a <1，故选D.答案 (1)D (2)D探究提高 (1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质．(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究．【训练2】 (2015·泰安诊断)已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|＜g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A ．有最小值－1，最大值1B ．有最大值1，无最小值C ．有最小值－1，无最大值D ．有最大值－1，无最小值解析 由题意得，利用平移变化的知识画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图，而h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|f （x ）|，|f （x ）|≥g （x ），－g （x ），|f （x ）|＜g （x ），故h (x )有最小值－1，无最大值． 答案 C热点三 以函数零点为背景的函数问题 [微题型1] 函数零点个数的求解【例3－1】 (2015·广东卷)设a 为实数，函数f (x )＝(x －a )2＋|x －a |－a (a －1)． (1)若f (0)≤1，求a 的取值范围； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当a ≥2时，讨论f (x )＋4x 在区间(0，＋∞)内的零点个数．解 (1)f (0)＝a 2＋|a |－a 2＋a ＝|a |＋a ，因为f (0)≤1，所以|a |＋a ≤1，当a ≤0时，|a |＋a ＝－a ＋a ＝0≤1，显然成立； 当a >0时，则有|a |＋a ＝2a ≤1， 所以a ≤12，所以0<a ≤12， 综上所述，a 的取值范围是a ≤12.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－（2a －1）x ，x ≥a ，x 2－（2a ＋1）x ＋2a ，x <a .对于u 1＝x 2－(2a －1)x ，其对称轴为x ＝2a －12＝a －12<a ，开口向上，所以f (x )在(a ，＋∞)上单调递增；对于u 2＝x 2－(2a ＋1)x ＋2a ，其对称轴为x ＝2a ＋12＝a ＋12>a ，开口向上，所以f (x )在(－∞，a )上单调递减，综上，f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(－∞，a )上单调递减．(3)由(2)得f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，在(0，a )上单调递减，所以f (x )min ＝f (a )＝a －a 2. (ⅰ)当a ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－2，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ≥2，x 2－5x ＋4，x <2，令f (x )＋4x ＝0，即f (x )＝－4x (x >0)，因为f (x )在(0，2)上单调递减，所以f (x )>f (2)＝－2， 而y ＝－4x 在(0，2)上单调递增，y <f (2)＝－2， 所以y ＝f (x )与y ＝－4x 在(0，2)无交点．当x ≥2时，f (x )＝x 2－3x ＝－4x ，即x 3－3x 2＋4＝0，所以x 3－2x 2－x 2＋4＝0，所以(x －2)2(x ＋1)＝0，因为x ≥2，所以x ＝2，即当a ＝2时，f (x )＋4x 有一个零点x ＝2. (ⅱ)当a >2时，f (x )min ＝f (a )＝a －a 2，当x ∈(0，a )时，f (0)＝2a >4，f (a )＝a －a 2，而y ＝－4x 在x ∈(0，a )上单调递增， 当x ＝a 时，y ＝－4a ，下面比较f (a )＝a －a 2与－4a 的大小，因为a －a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a ＝－（a 3－a 2－4）a＝－（a －2）（a 2＋a ＋2）a <0，所以f (a )＝a －a 2<－4a .结合图象不难得当a >2时，y ＝f (x )与y ＝－4x 有两个交点，综上，当a ＝2时，f (x )＋4x 有一个零点x ＝2；当a >2时，y ＝f (x )与y ＝－4x 有两个零点． 探究提高 在解决函数与方程问题中的函数的零点问题时，要学会掌握转化与化归思想的运用．如本题直接根据已知函数求函数的零点个数难度很大，也不是初等数学能轻易解决的，所以遇到此类问题的第一反应就是转化已知函数为熟悉的函数，再利用数形结合求解． [微题型2] 由函数零点(或方程根)的情况求参数【例3－2】(2015·天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2－|x |，x ≤2，（x －2）2，x ＞2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R ，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，74 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，74 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2 解析 记h (x )＝－f (2－x )在同一坐标系中作出f (x )与h (x )的图象如图，直线AB ：y ＝x －4，当直线l ∥AB 且与f (x )的图象相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ′，y ＝（x －2）2，解得b ′＝－94，－94－(－4)＝74，同理，y 轴左侧也有相同的情况．所以曲线h (x )向上平移74个单位后，y 轴左右各有2个交点，所得图象与f (x )的图象有四个公共点，平移2个单位时，两图象有无数个公共点，因此，当74＜b ＜2时，f (x )与g (x )的图象有四个不同的交点，即y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点．选D.答案 D探究提高 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解． (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解． 【训练3】 (2015·德州模拟)已知函数f (x )＝1x ＋2－m |x |有三个零点，则实数m 的取值范围为________．解析 函数f (x )有三个零点等价于方程1x ＋2＝m |x |有且仅有三个实根．∵1x ＋2＝m |x |⇔1m ＝|x |(x ＋2)，作函数y ＝|x |(x ＋2)的图象，如图所示，由图象可知m 应满足0＜1m ＜1，故m ＞1. 答案 (1，＋∞)1．解决函数问题忽视函数的定义域或求错函数的定义域，如求函数f (x )＝1x ln x 的定义域时，只考虑x ＞0，忽视ln x ≠0的限制．2．函数定义域不同，两个函数不同；对应关系不同，两个函数不同；定义域和值域相同，也不一定是相同的函数．3．如果一个奇函数f (x )在原点处有意义，即f (0)有意义，那么一定有f (0)＝0.4．奇函数在两个对称的区间上有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上有相反的单调性． 5．函数的图象和解析式是函数关系的主要表现形式，它们的实质是相同的，在解题时经常要互相转化．在解决函数问题时，尤其是较为繁琐的(如分类讨论求参数的取值范围等)问题时，要注意充分发挥图象的直观作用．6．不能准确把握基本初等函数的形式、定义和性质．如讨论指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的单调性时，不讨论底数的取值；忽视a x ＞0的隐含条件；幂函数的性质记忆不准确等． 7．判断函数零点个数的方法有：(1)直接求零点；(2)零点存在性定理；(3)数形结合法． 8．对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.一、选择题1．(2015·广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋e x B ．y ＝x ＋1x C ．y ＝2x ＋12xD ．y ＝1＋x 2解析 令f (x )＝x ＋e x ，则f (1)＝1＋e ，f (－1)＝－1＋e －1，即f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，所以y ＝x ＋e x 既不是奇函数也不是偶函数，而B ，C ，D 依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A. 答案 A2．函数f (x )＝log 2x －1x 的零点所在的区间为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2)D ．(2，3)解析 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数． f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 212－112＝－1－2＝－3＜0，f (1)＝log 21－11＝0－1＜0， f (2)＝log 22－12＝1－12＝12＞0，f (3)＝log 23－13＞1－13＝23＞0，即f (1)·f (2)＜0， ∴函数f (x )＝log 2x －1x 的零点在区间(1，2)内． 答案 C3．(2014·山东卷)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2)D ．(2，＋∞)解析 由f (x )＝g (x )，∴|x －2|＋1＝kx ，即|x －2|＝kx －1，所以原题等价于函数y ＝|x －2|与y ＝kx －1的图象有2个不同交点． 如图：∴y ＝kx －1在直线y ＝x －1与y ＝12x －1之间， ∴12＜k ＜1，故选B. 答案 B4．(2015·山东卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B ．[0，1] C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．[1，＋∞)解析 当a ＝2时，f (a )＝f (2)＝22＝4＞1，f (f (a ))＝2f (a )，∴a ＝2满足题意，排除A ，B 选项；当a ＝23时，f (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×23－1＝1，f (f (a ))＝2f (a )，∴a ＝23满足题意，排除D 选项，故答案为C. 答案 C5．(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x .将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为( )解析 当点P 沿着边BC 运动，即0≤x ≤π4时，在Rt △POB 中，|PB |＝|OB |tan ∠POB ＝tan x ，在Rt △P AB 中，|P A |＝|AB |2＋|PB |2＝4＋tan 2x ，则f (x )＝|P A |＋|PB |＝4＋tan 2x ＋tan x ，它不是关于x 的一次函数，图象不是线段，故排除A 和C ； 当点P 与点C 重合，即x ＝π4时，由上得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝4＋tan 2π4＋tan π4＝5＋1，又当点P 与边CD的中点重合，即x ＝π2时，△P AO 与△PBO 是全等的腰长为1的等腰直角三角形，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝|P A |＋|PB |＝2＋2＝22，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，故又可排除D.综上，选B.答案 B 二、填空题6．(2015·福建卷)若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________．解析 由题意f (x )的图象如图，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，∴1＜a ≤2.答案 (1，2]7．(2015·青州模拟)若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－a ，x ≤0，ln x ，x ＞0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．解析 当x ＞0时，由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1. 因为函数f (x )有两个不同的零点，则当x ≤0时， 函数f (x )＝2x －a 有一个零点，令f (x )＝0得a ＝2x ， 因为0＜2x ≤20＝1，所以0＜a ≤1， 所以实数a 的取值范围是0＜a ≤1. 答案 (0，1]8．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对∀x ∈R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)成立．当x 1，x 2∈[0，2]，且x 1≠x 2时，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0，给出下列命题：①f (2)＝0；②直线x ＝－4是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－4，4]上有四个零点； ④f (2 014)＝0.其中所有正确命题的序号为________．解析 令x ＝－2，得f (－2＋4)＝f (－2)＋f (2)，解得f (－2)＝0，因为函数f (x )为偶函数，所以f (2)＝0，①正确；因为f (－4＋x )＝f (－4＋x ＋4)＝f (x )，f (－4－x )＝f (－4－x ＋4)＝f (－x )＝f (x )，所以f (－4＋x )＝f (－4－x )，即x ＝－4是函数f (x )的一条对称轴，②正确；当x 1，x 2∈[0，2]，且x 1≠x 2时，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0，说明函数f (x )在[0，2]上是单调递减函数，又f (2)＝0，因此函数f (x )在[0，2]上只有一个零点，由偶函数知函数f (x )在[－2，0]上也只有一个零点，由f (x ＋4)＝f (x )，知函数的周期为4，所以函数f (x )在(2，4]与[－4，－2)上也单调，因此，函数在[－4，4]上只有2个零点，③错；对于④，因为函数的周期为4，即有f (2)＝f (6)＝f (10)＝…＝f (2 014)＝0，④正确． 答案 ①②④ 三、解答题9．定义在[－1，1]上的奇函数f (x )，已知当x ∈[－1，0]时，f (x )＝14x －a2x (a ∈R )． (1)写出f (x )在[0，1]上的解析式； (2)求f (x )在[0，1]上的最大值．解 (1)∵f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数， ∴f (0)＝0，∴a ＝1，∴当x ∈[－1，0]时，f (x )＝14x －12x . 设x ∈[0，1]，则－x ∈[－1，0]， ∴f (－x )＝14－x －12－x ＝4x －2x ， ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝2x －4x . ∴f (x )在[0，1]上的解析式为f (x )＝2x －4x . (2)f (x )＝2x －4x ，x ∈[0，1]，令t ＝2x，t ∈[1，2]，g (t )＝t －t 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，∴g (t )在[1，2]上是减函数，∴g (t )max ＝g (1)＝0，即x ＝0，f (x )max ＝0.10．(2015·太原模拟)已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)在区间[2，3]上有最大值5，最小值2.(1)求a ，b 的值；(2)若b ＜1，g (x )＝f (x )－2m x 在[2，4]上单调，求m 的取值范围． 解 (1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . ①当a ＞0时，f (x )在[2，3]上为增函数， 故⎩⎨⎧f （3）＝5，f （2）＝2⇒⎩⎨⎧9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2⇒⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0. ②当a ＜0时，f (x )在[2，3]上为减函数，故⎩⎨⎧f （3）＝2，f （2）＝5⇒⎩⎨⎧9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5⇒⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝3. 故⎩⎨⎧a ＝1，b ＝0或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝3.(2)∵b ＜1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2， g (x )＝x 2－2x ＋2－2m x ＝x 2－(2＋2m )x ＋2.若g (x )在[2，4]上单调，则2＋2m 2≤2或2m ＋22≥4， ∴2m ≤2或2m ≥6，即m ≤1或m ≥log 26. 故m 的取值范围是(－∞，1]∪[log 26，＋∞)．11．已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x (x ＞0)．(1)若g (x )＝m 有实根，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 解 (1)∵x ＞0，∴g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ， 等号成立的条件是x ＝e.故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e ，则g (x )＝m 就有实根．故m ∈[2e ，＋∞)．(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )＝f (x )中函数g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e 2x (x ＞0)的大致图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2.其对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2. 故当m－1＋e2＞2e，即m＞－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．。
2020届高考数学(理)二轮专题复习： 专题二 函数、不等式、导数 1-2-3 Word版含答案.doc
限时规范训练六 导数的简单应用限时45分钟，实际用时分值81分，实际得分一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)1．设函数f (x )＝x 24－a ln x ，若f ′(2)＝3，则实数a 的值为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－2解析：选B.f ′(x )＝x 2－a x ，故f ′(2)＝22－a2＝3，因此a ＝－4.2．曲线y ＝e x在点A 处的切线与直线x －y ＋3＝0平行，则点A 的坐标为( ) A ．(－1，e －1) B ．(0,1) C ．(1，e)D ．(0,2)解析：选B.设A (x 0，e x 0)，y ′＝e x，∴y ′|x ＝x 0＝e x 0.由导数的几何意义可知切线的斜率k＝e x 0.由切线与直线x －y ＋3＝0平行可得切线的斜率k ＝1. ∴e x 0＝1，∴x 0＝0，∴A (0,1)．故选B.3．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为 ( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B.⎝⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：选D.若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1＝0有两根，故Δ＝(－4c )2－12＞0，从而c ＞32或c ＜－32. 4．已知f (x )＝a ln x ＋12x 2(a ＞0)，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2都有f x 1－f x 2x 1－x 2≥2恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(0,1)D ．(0,1]解析：选A.由条件可知在定义域上函数图象的切线斜率大于等于2，所以函数的导数f ′(x )＝a x＋x ≥2.可得x ＝a 时，f ′(x )有最小值2.∴a ≥1.5．若定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )＞k ＞1，则下列结论中一定错误的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k＜1kB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＞1k －1C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＜1k －1D ．f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＞k k －1解析：选C.构造函数g (x )＝f (x )－kx ＋1，则g ′(x )＝f ′(x )－k ＞0，∴g (x )在R 上为增函数． ∵k ＞1，∴1k －1＞0，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＞g (0)． 而g (0)＝f (0)＋1＝0， ∴g ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－k k －1＋1＞0，即f ⎝⎛⎭⎪⎫1k －1＞k k －1－1＝1k －1，所以选项C 错误，故选C.6．由曲线y ＝x 2，y ＝x 围成的封闭图形的面积为( ) A.16 B.13 C.23D ．1解析：选 B.由题意可知所求面积(如图中阴影部分的面积)为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎫23x 32－13x 310＝13.所以选B.二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2016·高考全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.解析：直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ln x ＋2，y ＝ln(x ＋1)均相切，设切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由y ＝ln x ＋2得y ′＝1x ，由y ＝ln(x ＋1)得y ′＝1x ＋1，∴k ＝1x 1＝1x 2＋1，∴x 1＝1k ，x 2＝1k－1，∴y 1＝－ln k ＋2，y 2＝－ln k .即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k，－ln k ＋2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k－1，－ln k ，∵A 、B 在直线y ＝kx ＋b 上， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2－ln k ＝k ·1k ＋b ，－ln k ＝k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＋b解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1－ln 2，k ＝2.答案：1－ln 28．已知函数f (x )＝－12x 2－3x ＋4ln x 在(t ，t ＋1)上不单调，则实数t 的取值范围是________．解析：由题意得，f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴t ＞0， ∴f ′(x )＝－x －3＋4x＝0在(t ，t ＋1)上有解，∴x 2＋3x －4x＝0在(t ，t ＋1)上有解，∴x 2＋3x －4＝0在(t ，t ＋1)上有解，由x 2＋3x －4＝0得x ＝1或x ＝－4(舍去)，∴1∈(t ，t ＋1)，∴t ∈(0,1)，故实数t 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)9．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则实数b 的最大值是________．解析：函数的定义域是x ＋2＞0，即x ＞－2，而f ′(x )＝－x ＋bx ＋2＝－x 2－2x ＋bx ＋2.因为x＋2＞0，函数f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，即－x 2－2x ＋b ≤0在x ∈(－1，＋∞)上恒成立，得b ≤x 2＋2x 在x ∈(－1，＋∞)上恒成立，令g (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，x ∈(－1，＋∞)，g (x )＞g (－1)＝－1，所以b ≤－1.所以b 的最大值为－1.答案：－1三、解答题(本题共3小题，每小题12分，共36分) 10．已知f (x )＝2x ＋3－x ＋2x ＋1.(1)求证：当x ＝0时，f (x )取得极小值；(2)是否存在满足n ＞m ≥0的实数m ，n ，当x ∈[m ，n ]时，f (x )的值域为[m ，n ]？若存在，求m ，n 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：由已知得f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 当x ＞－12时，f ′(x )＝2－2－x ＋2x ＋2＝8x 2＋8x ＋x ＋x ＋2.设F (x )＝8x 2＋8x ＋2ln(2x ＋1)，则f ′(x )＝F xx ＋2.当x ＞－12时，y ＝8x 2＋8x ＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－122－2是单调递增函数，y ＝2ln(2x ＋1)也是单调递增函数．∴当x ＞－12时，F (x )＝8x 2＋8x ＋2ln(2x ＋1)单调递增．∴当－12＜x ＜0时，F (x )＜F (0)＝0，当x ＞0时，F (x )＞F (0)＝0.∴当－12＜x ＜0时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，当x ＞0时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．∴当x ＝0时，f (x )取得极小值．(2)由(1)知f (x )在[0，＋∞)上是单调递增函数，若存在满足n ＞m ≥0的实数m ，n ，当x ∈[m ，n ]时，f (x )的值域为[m ，n ]，则f (m )＝m ，f (n )＝n ，即f (x )＝x 在[0，＋∞)上有两个不等的实根m ，n .∴2x 2＋7x ＋3－ln(2x ＋1)＝0在[0，＋∞)上有两个不等的实根m ，n . 设H (x )＝2x 2＋7x ＋3－ln(2x ＋1)，则 H ′(x )＝8x 2＋18x ＋52x ＋1.当x ＞0时，2x ＋1＞0,8x 2＋18x ＋5＞0， ∴H ′(x )＝8x 2＋18x ＋52x ＋1＞0.∴H (x )在[0，＋∞)上是单调递增函数，即当x ≥0时，H (x )≥H (0)＝3. ∴2x 2＋7x ＋3－ln(2x ＋1)＝0在[0，＋∞)上没有实数根． ∴不存在满足条件的实数m ，n .11．(2017·河南郑州质量检测)设函数f (x )＝12x 2－m ln x ，g (x )＝x 2－(m ＋1)x .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当m ≥0时，讨论函数f (x )与g (x )图象的交点个数．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝x 2－mx，当m ≤0时，f ′(x )＞0，所以函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间． 当m ＞0时，f ′(x )＝x ＋mx －mx，当0＜x ＜m 时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减；当x ＞m 时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．综上，当m ≤0时，函数f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间；当m ＞0时，函数f (x )的单调递增区间是(m ，＋∞)，单调递减区间是(0，m )．(2)令F (x )＝f (x )－g (x )＝－12x 2＋(m ＋1)x －m ln x ，x ＞0，问题等价于求函数F (x )的零点个数，当m ＝0时，F (x )＝－12x 2＋x ，x ＞0，有唯一零点；当m ≠0时，F ′(x )＝－x －x －m x，当m ＝1时，F ′(x )≤0，函数F (x )为减函数，注意到F (1)＝32＞0，F (4)＝－ln 4＜0，所以F (x )有唯一零点．当m ＞1时，0＜x ＜1或x ＞m 时，F ′(x )＜0；1＜x ＜m 时，F ′(x )＞0，所以函数F (x )在(0,1)和(m ，＋∞)上单调递减，在(1，m )上单调递增，注意到F (1)＝m ＋12＞0，F (2m ＋2)＝－m ln(2m ＋2)＜0，所以F (x )有唯一零点．当0＜m ＜1时，0＜x ＜m 或x ＞1时，F ′(x )＜0；m ＜x ＜1时，F ′(x )＞0，所以函数F (x )在(0，m )和(1，＋∞)上单调递减，在(m,1)上单调递增，易得ln m ＜0， 所以F (m )＝m2(m ＋2－2ln m )＞0，而F (2m ＋2)＝－m ln(2m ＋2)＜0，所以F (x )有唯一零点．综上，函数F (x )有唯一零点，即两函数图象有一个交点． 12．(2017·河南洛阳模拟)已知函数f (x )＝ln x －a x ＋x －1，曲线y ＝f (x )在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12处的切线平行于直线y ＝10x ＋1.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设直线l 为函数g (x )＝ln x 的图象上任意一点A (x 0，y 0)处的切线，在区间(1，＋∞)上是否存在x 0，使得直线l 与曲线h (x )＝e x也相切？若存在，满足条件的x 0有几个？解：(1)∵函数f (x )＝ln x －a x ＋x －1，∴f ′(x )＝1x＋2a x －2，∵曲线y ＝f (x )在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12处的切线平行于直线y ＝10x ＋1， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2＋8a ＝10，∴a ＝1，∴f ′(x )＝x 2＋1x x －2.∵x ＞0且x ≠1，∴f ′(x )＞0，∴函数f (x )的单调递增区间为(0,1)和(1，＋∞)． (2)存在且唯一，证明如下：∵g (x )＝ln x ，∴切线l 的方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1 ①，设直线l 与曲线h (x )＝e x相切于点(x 1，e x 1)， ∵h ′(x )＝e x，∴e x 1＝1x 0，∴x 1＝－ln x 0，∴直线l 的方程也可以写成y －1x 0＝1x 0(x ＋ln x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0x 0＋1x 0②，由①②得ln x 0－1＝ln x 0x 0＋1x 0，∴ln x 0＝x 0＋1x 0－1.证明：在区间(1，＋∞)上x 0存在且唯一． 由(1)可知，f (x )＝ln x －x ＋1x －1在区间(1，＋∞)上单调递增， 又f (e)＝－2e －1＜0，f (e 2)＝e 2－3e 2－1＞0，结合零点存在性定理，说明方程f (x )＝0必在区间(e ，e 2)上有唯一的根，这个根就是所求的唯一x 0.。
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限时规范训练四 函数的图象与性质 限时40分钟，实际用时
分值80分，实际得分
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．函数y ＝
x ＋x －2
的定义域是( )
A ．(－1，＋∞)
B ．[－1，＋∞)
C ．(－1,2)∪(2，＋∞)
D ．[－1,2)∪(2，＋∞)
解析：选C.由题意知，要使函数有意义，需⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －2≠0
x ＋1＞0，即－1＜x ＜2或x ＞2，所以函数
的定义域为(－1,2)∪(2，＋∞)．故选C.
2．设函数f ：R→R 满足f (0)＝1，且对任意，x ，y ∈R 都有f (xy ＋1)＝f (x )f (y )－f (y )－x ＋2，则f (2 017)＝( )
A ．0
B ．1
C ．2 016
D ．2 018
解析：选D.令x ＝y ＝0，则f (1)＝f (0)f (0)－f (0)＋2＝1×1－1＋2＝2，
令y ＝0，则f (1)＝f (x )f (0)－f (0)－x ＋2，将f (0)＝1，f (1)＝2代入，可得f (x )＝1＋x ，所以f (2 017)＝2 018.故选D.
3．若函数f (x )满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＞f (x 2)”，则f (x )的解析式可以是( )
A ．f (x )＝(x －1)2
B ．f (x )＝e x
C ．f (x )＝1
x
D ．f (x )＝ln(x ＋1)
解析：选C.根据条件知，f (x )在(0，＋∞)上单调递减． 对于A ，f (x )＝(x －1)2
在(1，＋∞)上单调递增，排除A ； 对于B ，f (x )＝e x
在(0，＋∞)上单调递增，排除B ； 对于C ，f (x )＝1
x
在(0，＋∞)上单调递减，C 正确；
对于D ，f (x )＝ln(x ＋1)在(0，＋∞)上单调递增，排除D. 4．已知函数f (x )＝2x ＋1(1≤x ≤3)，则( ) A ．f (x －1)＝2x ＋2(0≤x ≤2)
B ．f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4)
C ．f (x －1)＝2x －2(0≤x ≤2)
D ．f (x －1)＝－2x ＋1(2≤x ≤4)
解析：选B.因为f (x )＝2x ＋1，所以f (x －1)＝2x －1.因为函数f (x )的定义域为[1,3]，所以1≤x －1≤3，即2≤x ≤4，故f (x －1)＝2x －1(2≤x ≤4)．
5．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2 018]，则函数g (x )＝f x ＋x －1
的定义域是( ) A ．[－1,2 017]
B ．[－1,1)∪(1,2 017]
C ．[0,2 019]
D ．[－1,1)∪(1,2 018]
解析：选B.要使函数f (x ＋1)有意义，则0≤x ＋1≤2 018，解得－1≤x ≤2 017，故函数f (x
＋1)的定义域为[－1，2 017]，所以函数g (x )有意义的条件是⎩
⎪⎨
⎪⎧
－1≤x ≤2 017x －1≠0，解得－1≤x
＜1或1＜x ≤2 017.
故函数g (x )的定义域为[－1,1)∪(1,2 017]． 6．下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x 3
＋3x 2
B ．y ＝e x ＋e －x
2
C ．y ＝x sin x
D ．y ＝log 23－x
3＋x
解析：选D.依题意，对于选项A ，注意到当x ＝－1时，y ＝2；当x ＝1时，y ＝4，因此函数y ＝x 3
＋3x 2
不是奇函数．对于选项B ，注意到当x ＝0时，y ＝1≠0，因此函数y ＝e x ＋e
－x
2
不是奇函
数．对于选项C ，注意到当x ＝－π2时，y ＝π2；当x ＝π2时，y ＝π
2，因此函数y ＝x sin x 不是奇
函数．对于选项D ，由3－x
3＋x
＞0得－3＜x ＜3，
即函数y ＝log 23－x
3＋x 的定义域是(－3,3)，该数集是关于原点对称的集合，且log 2
3－－x
3＋－x ＋log 23－x 3＋x ＝log 21＝0，即log 23－－x 3＋－x ＝－log 23－x
3＋x
，
因此函数y ＝log 23－x 3＋x
是奇函数．综上所述，选D.
7．设函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，则( ) A ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是增函数 B ．m ＝1，且f (x )在(0,1)上是减函数 C ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是增函数 D ．m ＝－1，且f (x )在(0,1)上是减函数
解析：选B.因为函数f (x )＝ln(1＋x )＋m ln(1－x )是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，
则(m －1)ln
3＝0，即m ＝1，则f (x )＝ln(1＋x )＋ln(1－x )＝ln(1－x 2
)，在(0,1)上，当x 增大时，1－x 2
减小，ln(1－x 2
)减小，即f (x )在(0,1)上是减函数，故选B.
8．若关于x 的不等式4a x －1
＜3x －4(a ＞0，且a ≠1)对于任意的x ＞2恒成立，则a 的取值范
围为( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12 B.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12 C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞)
解析：选B.不等式4a x －1
＜3x －4等价于a
x －1
＜3
4
x －1. 令f (x )＝a
x －1
，g (x )＝3
4
x －1，当a ＞1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图1所
示，由图知不满足条件；当0＜a ＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图2所示，则
f (2)≤
g (2)，即a 2－1≤34×2－1，即a ≤12
，所以a 的取值范围是⎝
⎛⎦
⎥⎤
0，12
，故选B.
9．已知函数y ＝a ＋sin bx (b ＞0且b ≠1)的图象如图所示，那么函数y ＝log b (x －a )的图象可能是( )。