高二新课程数学《2.1.1合情推理》导学案(新人教A版)选修2-2
高中数学 第二章《2.1.1. 1合情推理》教案 新人教A版选修2-2
"福建省长乐第一中学2014高中数学第二章《2.1.1. 1合情推理》教案新人教A版选修2-2 "1．教学目标：(1)知识与技能：掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。
(2)过程与方法：通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。
(3)情感、态度与价值观：感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。
2．教学重点：归纳推理及方法的总结。
3．教学难点：归纳推理的含义及其具体应用。
4．教具准备：与教材内容相关的资料。
5．教学设想：提供一个舞台, 让学生展示自己的才华，这将极大地调动学生的积极性，增强学生的荣誉感，培养学生独立分析问题和解决问题的能力，体现了“自主探究”，同时，也锻炼了学生敢想、敢说、敢做的能力。
6．教学过程：学生探究过程：(2)皇冠明珠追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠—“歌德巴赫猜想”。
世界近代三大数学难题之一。
哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。
1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。
如6＝3＋3，12＝5＋7等等。
公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。
(b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。
这就是着名的哥德巴赫猜想。
欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。
叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。
从提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功。
当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 =5 + 13, . . . . 等等。
高二数学 教案 2.1.1合情推理导学案人教版_选修2-2 2.1.1合情推理(三)
（2）较大的金属片不能放在较小的金属片上面.
试推测：把n个金属片从1号针移到3号针，最少需要移动多少次？
◆反馈练习
1．如图所示，面积为 的平面凸四边形的第 条边的边长记为 ，此四边形内任一点 到第 条边的距离记为 ，若 ，则. 类比以上性质,体积为 的三棱锥的第 个面的面积记为 , 此三棱锥内任一点 到第 个面的距离记为 ,若 , 则 ( )
第03课时类比推理的理解，知道合情推理的方法和步骤，提升思维水平。
学习过程
一、学前准备
1.三角形的面积为 ， 为
三角形的边长， 为三角形内切圆的半径，利用类
比推理，得到四面体的体积为______________
____________________________________________
2．已知数列 满足 ， （ ），则 的值为， 的值为．
3．（课本P98A4）任取一个正整数，反复进行下述两种运算：
（1）若是奇数，就是该数乘以3再加上1；
（2）若是偶数，就将该数除以2。
你能据此作出什么猜想？
课后作业
1．（课本P98A1）根据下列图案中的圆圈的排列规则，猜想第（5）个图形由多少个圆圈组成，是怎样排列的；第n个图形有多少个圆圈
2．费马猜想：
法国数学家费马观察到
都是质数，于是他大胆提出了猜想。
请提出你的猜想：
二、新课导学
◆探究新知（预习教材P75～P77，找出疑惑之处）
1．归纳推理和类比推理统称为合情推理，合情推理的推理过程大致是什么？
◆应用示例
例1．（课本P75例4）看图2.1-2所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.
(新课标)高中数学《2.1.1合情推理》导学案2 新人教a版选修1-2
§2.1.1 合情推理（2）1. 结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义;2. 能利用类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.3038 1.已知 0(1,2,,)i a i n >=，考察下列式子：111()1i a a ⋅≥；121211()()()4ii a a a a ++≥； 123123111()()()9iii a a a a a a ++++≥. 我们可以归纳出，对12,,,n a a a 也成立的类似不等式为 . 2. 猜想数列1111,,,,13355779--⨯⨯⨯⨯的通项公式是 .二、新课导学 ※ 学习探究鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理.新知：类比推理就是由两类对象具有和其中 ，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由 到的推理. ※ 典型例题例1 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.例2 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.新知： 和都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行 ，然后提出 的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.※ 动手试试练 1. 如图，若射线OM ，ON 上分别存在点12,M M 与点12,N N ，则三角形面积之比11221122OM N OM N S OM ON S OM ON ∆∆=∙.若不在同一平面内的射线OP ，OQ 上分别存在点12,P P ，点12,Q Q 和点12,R R ，则类似的结论是什么？练 2. 在ABC ∆中，不等式1119A B C π++≥成立；在四边形ABCD 中，不等式1111162A B C D π+++≥成立；在五边形ABCDE 中，不等式11111253A B C D E π++++≥成立.猜想，在n 边形12n A A A 中，有怎样的不等式成立？三、总结提升 ※ 学习小结1．类比推理是由特殊到特殊的推理.2. 类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质得出一个命题（猜想）.3. 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真，但合情推理常常帮我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法.※ 知识拓展试一试下列题目： 1. 南京∶江苏A. 石家庄∶河北B. 渤海∶中国C. 泰州∶江苏D. 秦岭∶淮河 2. 成功∶失败A. 勤奋∶成功B. 懒惰∶失败C. 艰苦∶简陋D. 简单∶复杂 3.面条∶食物A.苹果∶水果B.手指∶身体C.菜肴∶萝卜D.食品∶巧克力※ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1.下列说法中正确的是（ ）. A.合情推理是正确的推理 B.合情推理就是归纳推理C.归纳推理是从一般到特殊的推理D.类比推理是从特殊到特殊的推理2. 下面使用类比推理正确的是（ ）. A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =” B.“若()a b c ac bc +=+”类推出 “()a b c ac bc ⋅=⋅”C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a bc c c+=+ （c≠0）” D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n（b ） 3. 设)()(,sin )('010x f x f x x f ==，'21()(),,f x f x ='1()()n n f x f x +=，n ∈N，则2007()f x = （ ）. A.sin x B.－sin x C.cos x D.－cos x4. 一同学在电脑中打出如下若干个圆若将此若干个圆按此规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前2006个圆中有 个黑圆.5. 在数列1，1，2，3，5，8，13，x ，34，55……中的x 的值是 .1. 在等差数列{}n a 中，若100a =，则有 *121219(19,)n n a a a a a a n n N -+++=+++<∈成立，类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若91b =，则存在怎样的等式？2. 在各项为正的数列{}n a 中，数列的前n 项和n S 满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n a a S 121（1） 求321,,a a a ；（2） 由（1）猜想数列{}n a 的通项公式；（3） 求n S。
高中数学 第二章 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理学案 新人教A版选修2-2
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……学习资料专题2．1.1 合情推理学习目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．知识点一归纳推理思考(1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．(2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体．以上属于什么推理？答案属于归纳推理．梳理(1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．(2)特征：由部分到整体，由个别到一般的推理．知识点二类比推理思考科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等．由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在．他们使用了什么样的推理？答案类比推理．梳理(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．(2)特征：由特殊到特殊的推理．知识点三合情推理思考归纳推理与类比推理有何区别与联系？答案区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假．梳理(1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．通俗地说，合情推理就是合乎情理的推理．(2)推理的过程从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想1．类比推理得到的结论可作为定理应用．( ×)2．由个别到一般的推理为归纳推理．( √)3．在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( ×)类型一归纳推理命题角度1 数、式中的归纳推理例1 (1)观察下列等式：1＋1＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，…照此规律，第n个等式可为_____________________________________________________．(2)已知f(x)＝x1－x，设f1(x)＝f(x)，f n(x)＝f n－1(f n－1(x))(n>1，且n∈N*)，则f3(x)的表达式为________，猜想f n(x)(n∈N*)的表达式为________．考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案(1)(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(2)x1－4xx1－2n－1x解析(1)观察规律可知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为(n＋1)，(n＋n)，右边为连续奇数之积乘以2n ，则第n 个等式为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1)． (2)∵f (x )＝x 1－x ，∴f 1(x )＝x1－x .又∵f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f 1(f 1(x ))＝x1－x1－x 1－x ＝x1－2x ，f 3(x )＝f 2(f 2(x ))＝x1－2x 1－2×x1－2x＝x1－4x， f 4(x )＝f 3(f 3(x ))＝x1－4x 1－4×x1－4x＝x1－8x， f 5(x )＝f 4(f 4(x ))＝x1－8x 1－8×x1－8x＝x1－16x， ∴根据前几项可以猜想f n (x )＝x1－2n －1x .引申探究在本例(2)中，若把“f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))”改为“f n (x )＝f (f n －1(x ))”，其他条件不变，试猜想f n (x ) (n ∈N *)的表达式． 解 ∵f (x )＝x 1－x ，∴f 1(x )＝x1－x .又∵f n (x )＝f (f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x1－x1－x 1－x ＝x1－2x ，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x1－2x 1－x1－2x＝x1－3x， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x1－3x 1－x1－3x＝x1－4x.因此，可以猜想f n (x )＝x1－nx.反思与感悟 (1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； ②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征； ③提炼出等式(或不等式)的综合特点； ④运用归纳推理得出一般结论．(2)数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和． ①通过已知条件求出数列的前几项或前n 项和；②根据数列中的前几项或前n 项和与对应序号之间的关系求解； ③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式．跟踪训练1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，满足S n ＝6－2a n ＋1(n ∈N *)． (1)求a 2，a 3，a 4的值； (2)猜想a n 的表达式． 考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在数列中的应用解 (1)因为a 1＝3，且S n ＝6－2a n ＋1(n ∈N *)， 所以S 1＝6－2a 2＝a 1＝3，解得a 2＝32，又S 2＝6－2a 3＝a 1＋a 2＝3＋32，解得a 3＝34，又S 3＝6－2a 4＝a 1＋a 2＋a 3＝3＋32＋34，解得a 4＝38.(2)由(1)知a 1＝3＝320，a 2＝32＝321，a 3＝34＝322，a 4＝38＝323，…，猜想a n ＝32n －1(n ∈N *)．命题角度2 图形中的归纳推理例2 有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A ．26B ．31C ．32D ．36 考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在图形中的应用 答案 B解析 有菱形纹的正六边形的个数如下表：由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B. 反思与感悟 归纳推理在图形中的应用策略跟踪训练2 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋2考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在图形中的应用 答案 C解析 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，所以第n 个“金鱼”图需要的火柴棒的根数为a n ＝8＋(n －1)×6＝6n ＋2. 类型二 类比推理命题角度1 数列中的类比推理例3 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列． 考点 类比推理的应用题点 等差数列与等比数列之间的类比 答案T 8T 4 T 12T 8解析 由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项的和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的积成等比数列．下面证明该结论的正确性： 设等比数列{b n }的公比为q ，首项为b 1， 则T 4＝b 41q 6，T 8＝b 81q1＋2＋…＋7＝b 81q 28，T 12＝b 121q 1＋2＋…＋11＝b 121q 66， T 16＝b 161q1＋2＋…＋15＝b 161q 120， ∴T 8T 4＝b 41q 22，T 12T 8＝b 41q 38， T 16T 12＝b 41q 54， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫T 8T 42＝T 12T 8·T 4，⎝ ⎛⎭⎪⎫T 12T 82＝T 8T 4·T 16T12，故T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列． 反思与感悟 已知等差数列与等比数列有类似的性质，在类比过程中也有一些规律，如下表所示的部分结论(其中d ，q 分别是公差和公比)：跟踪训练3 若数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则有数列b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n(n ∈N *)也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列{c n }是等比数列，且c n >0，则有数列d n ＝________(n ∈N *)也是等比数列． 考点 类比推理的应用题点 等差数列与等比数列之间的类比 答案nc 1c 2c 3…c n解析 数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则有数列b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n(n ∈N *)也是等差数列．类比猜想：若数列{c n }是各项均为正数的等比数列，则当d n ＝nc 1c 2c 3…c n 时，数列{d n }也是等比数列．命题角度2 几何中的类比推理例4 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比解如题图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类似地，如图所示，在四面体P－DEF中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°.设S1，S2，S3和S分别表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面积，相对于直角三角形的两条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是类比勾股定理的结构，我们猜想S2＝S21＋S22＋S23成立．反思与感悟(1)类比推理的一般步骤(2)中学阶段常见的类比知识点：等差数列与等比数列，向量与实数，空间与平面，圆与球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下跟踪训练4 在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α，β，cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想并证明．考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比 解 在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ， 则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫g l2 ＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l2＝1.1．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇等于( ) A.r 22 B.l 22 C.lr2D ．不可类比考点 类比推理的应用 题点 平面曲线的类比 答案 C解析 扇形的弧类比三角形的底边，扇形的半径类比三角形的高，则S 扇＝lr2.2．如图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子的颜色为( )A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在图形中的应用 答案 A解析 由题图知，三白二黑周而复始相继排列，根据36÷5＝7余1， 可得第36颗应与第1颗珠子的颜色相同，即白色． 3．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于( )A ．28B ．76C ．123D ．199考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 C解析 利用归纳法：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝3＋1＝4，a 4＋b 4＝4＋3＝7，a 5＋b 5＝7＋4＝11，a 6＋b 6＝11＋7＝18，a 7＋b 7＝18＋11＝29，a 8＋b 8＝29＋18＝47，a 9＋b 9＝47＋29＝76，a 10＋b 10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间上，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________． 考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比 答案 1∶8解析 设两个正四面体的体积分别为V 1，V 2， 则V 1∶V 2＝13S 1h 1∶13S 2h 2＝S 1h 1∶S 2h 2＝1∶8.5．按照图1、图2、图3的规律，第10个图中圆点的个数为________．考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在图形中的应用 答案 40解析图1中的点数为4＝1×4，图2中的点数为8＝2×4，图3中的点数为12＝3×4，…，所以图10中的点数为10×4＝40.1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向． 2．合情推理的过程概括为从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想一、选择题1．下面使用类比推理，得出的结论正确的是( )A ．若“a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比出“a ＋bc ＝a c ＋bc(c ≠0)” D ．“(ab )n＝a n b n”类比出“(a ＋b )n＝a n＋b n” 考点 类比推理的应用题点 类比推理的方法、形式和结论 答案 C解析 显然A ，B ，D 不正确，只有C 正确．2.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A. B ．△ C.D ．○考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在图形中的应用 答案 A解析 观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．3．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111…A．1 111 110 B．1 111 111C．1 111 112 D．1 111 113考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案 B解析由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1 111 111.4．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一平面的两个平面互相平行．则其中正确的结论是( )A．①② B．②③C．③④ D．①④考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案 B解析根据立体几何中线面之间的位置关系及有关定理知，②③是正确的结论．5．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于( )A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案 D解析由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．6．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，根据以上式子可以猜想：1＋122＋132＋…＋12 0172小于( ) A.4 0312 017 B.4 0322 017 C.4 0332 017D.4 0342 017考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 C解析 观察可以发现，第n (n ≥2)个不等式左端有n ＋1项，分子为1，分母依次为12,22,32，…，(n ＋1)2；右端分母为n ＋1，分子成等差数列，首项为3，公差为2，因此第n 个不等式为1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1，所以当n ＝2 016时不等式为1＋122＋132＋…＋12 0172<4 0332 017. 7．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体A －BCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体A －BCD 的体积为V ，则R 等于( ) A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比 答案 C解析 设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和． 则四面体的体积为V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，∴R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.8．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n 个图形中顶点的个数为( )A ．(n ＋1)(n ＋2)B ．(n ＋2)(n ＋3)C ．n 2D ．n考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在图形中的应用 答案 B解析 由已知中的图形我们可以得到： 当n ＝1时，顶点共有12＝3×4(个)， 当n ＝2时，顶点共有20＝4×5(个)， 当n ＝3时，顶点共有30＝5×6(个)， 当n ＝4时，顶点共有42＝6×7(个)， …，则第n 个图形共有顶点(n ＋2)(n ＋3)个， 故选B. 二、填空题 9．观察下列等式： 12＝1； 12－22＝－3； 12－22＋32＝6； 12－22＋32－42＝－10； …；照此规律，第n 个等式为________． 考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2解析 12＝1， 12－22＝－(1＋2)， 12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)， …，12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1(1＋2＋3＋…＋n ) ＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2.10．我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是________． 考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比答案 表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体和球中，球的体积最大解析 平面图形与立体图形的类比：周长→表面积，正方形→正方体，面积→体积，矩形→长方体，圆→球．11．二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3；四维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，则猜想其四维测度W ＝________. 考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 2πr 4解析 ∵二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l .三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S .∴四维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，猜想其四维测度W ，则W ′＝V ＝8πr 3，∴W＝2πr 4.12．如图(甲)是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(乙)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列{a n }的通项公式为a n ＝________.考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案n解析 根据OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1和图(乙)中的各直角三角形，由勾股定理，可得a 1＝OA 1＝1，a 2＝OA 2＝OA 21＋A 1A 22＝12＋12＝2，a 3＝OA 3＝OA 22＋A 2A 23＝(2)2＋12＝3，…，故可归纳推测出a n ＝n .13．圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)在点P (x 0，y 0)处切线的方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y－b )＝r 2，由此类比，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)在点P (x 0，y 0)处的切线方程为______________．考点 类比推理的应用 题点 平面曲线之间的类比 答案x 0x a 2＋y 0y b 2＝1 解析 类比过圆上一点的切线方程，可合情推理：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)在点P (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝1.三、探究与拓展14．正整数按下表的规律排列，则上起第2 017行，左起第2 018列的数应为( )A ．2 016×2 017B ．2 017×2 018C ．2 018×2 019D ．2 019×2 020考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数阵(表)中的应用 答案 B解析 由给出的排列规律可知，第一列的每个数为所在行数的平方，而第一行的数则满足列数减1的平方再加1，根据题意，左起第2 018列的第一个数为2 0172＋1，由连线规律可知，上起第2 017行，左起第2 018列的数应为2 0172＋2 017＝2 017×2 018. 15．已知在Rt△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，有1AD2＝1AB2＋1AC 2成立．那么在四面体A －BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确，并给出理由． 考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比解 类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想在四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2.猜想正确．理由如下：如图所示，连接BE ，并延长交CD 于F ，连接AF .∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，∴AB⊥平面ACD.而AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴1AE2＝1AB2＋1AF2.在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴1AF2＝1AC2＋1AD2.∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2，故猜想正确．。
高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理学案新人教A选修2_220190320313
2．1.1 合情推理1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理．2.了解合情推理在数学发现中的作用．1．归纳推理和类比推理1.归纳推理的特点（1）归纳推理是由几个已知的特殊对象，归纳出一般性的结论，该结论超越了前提所包含的范围.如著名的哥德巴赫猜想、费马猜想等.（2）由归纳推理得到的结论带有猜测的性质，所以“前提真而结论假”的情况是有可能发生的，结论是否正确，需要经过逻辑证明和实践检验.因此，归纳推理不能作为数学证明的工具.（3）一般地，如果归纳的个别对象越多，越具有代表性，那么得到的一般性结论也就越可靠.2.类比推理的特点（1）类比推理是从人们已经掌握了的事物的属性，推测正在研究的事物的属性，即以原有认识作基础，类比出新的结果.（2）由类比推理得到的结论也具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，类比推理同归纳推理一样也不能作为数学证明的工具.（3）如果类比的两类对象的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的结论就越可靠.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）归纳推理是由一般到一般的推理过程.（ ） （2）归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确.（ ） （3）类比推理得到的结论可以作为定理应用.（ ） 答案：（1）× （2）√ （3）×某学生通过计算发现：21－1＝12能被12整除，32－1＝2×22能被22整除，43－1＝7×32能被32整除.由此猜想当n∈N *时，（n ＋1）n －1能被n 2整除.该学生的推理是（ ）A.类比推理B.归纳推理C.演绎推理D.上述都不正确解析：选B.该学生的推理是从个别到一般的推理，所以是归纳推理.下列平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的为（ ） A.三角形 B.梯形 C.平行四边形 D.矩形答案：C各项都为正数的数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，…，猜想数列{a n }的通项公式为 Ｗ.答案：a n ＝n （n ＋1）2探究点1 数与式的推理[学生用书P45]（1）给出下面的等式： 1×9＋2＝11， 12×9＋3＝111， 123×9＋4＝1 111， 1 234×9＋5＝11 111， 12 345×9＋6＝111 111， …猜想123 456×9＋7等于（ ）A.1 111 110B.1 111 111C.1 111 112D.1 111 113（2）观察下列式子： 1＋12＋13>1， 1＋12＋13＋…＋17>32， 1＋12＋13＋…＋115>2， …则仿照上面的规律，可猜想此类不等式的一般形式为 Ｗ.【解析】 （1）由几组数据观察可知，等号左边变化的依次为1和2，12和3，123和4，1 234和5，12 345和6，等号右边依次为2个1，3个1，4个1，5个1，6个1，因此猜测当等号左边为123 456和7时，对应等号右边为7个1.（2）观察式子可得规律：不等号的左侧是1＋12＋13＋…＋12n ＋1－1，共（2n ＋1－1）项的和；不等号的右侧是n ＋12（n ∈N *）.故猜想此类不等式的一般形式为1＋12＋13＋…＋12n ＋1－1>n ＋12（n ∈N *）.【答案】 （1）B（2）1＋12＋13＋…＋12n ＋1－1>n ＋12（n ∈N *）由已知数、式进行归纳推理的步骤（1）要注意所给几个等式（或不等式）中项数和次数等方面的变化规律. （2）要注意所给几个等式（或不等式）中结构形式的特征. （3）提炼出等式（或不等式）的综合特点. （4）运用归纳推理得出一般结论.已知：f （x ）＝x1－x，设f 1（x ）＝f （x ），f n （x ）＝f n －1（f n －1（x ））（n >1，且n ∈N *），则f 3（x ）＝ ，猜想f n （x ）＝ （n ∈N *）.解析：因为f （x ）＝x1－x，所以f1（x）＝x1－x.又因为f n（x）＝f n－1（f n－1（x）），所以f2（x）＝f1（f1（x））＝x1－x1－x1－x＝x1－2x，f3（x）＝f2（f2（x））＝x1－2x1－2×x1－2x＝x1－4x，f4（x）＝f3（f3（x））＝x1－4x1－4×x1－4x＝x1－8x，f5（x）＝f4（f4（x））＝x1－8x1－8×x1－8x＝x1－16x，所以根据前几项可以猜想f n（x）＝x1－2n－1x.答案：x1－4xx1－2n－1x探究点2 几何图形中的归纳推理[学生用书P45]（1）用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n（n∈N*）个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A.6n－2B.8n－2C.6n＋2D.8n＋2（2）如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有n（n>1，n∈N*）个点，每个图形总的点数记为a n，则a6＝，a n＝（n>1，n∈N*）.【解析】（1）观察易知第1个“金鱼”图需要火柴棒8根，而第2个“金鱼”图比第1个“金鱼”图多的部分需要火柴棒6根，第3个“金鱼”图比第2个“金鱼”图多的部分需要火柴棒6根，…，由此可猜测第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数比第（n－1）个“金鱼”图需要火柴棒的根数多6，即各个“金鱼”图需要火柴棒的根数组成以8为首项，6为公差的等差数列{a n}，易求得通项公式为a n＝6n＋2（n∈N*）.（2）依据图形特点，可知第5个图形中三角形各边上各有6个点，因此a6＝3×6－3＝15.由n＝2，3，4，5，6的图形特点归纳得a n＝3n－3（n>1，n∈N*）.【答案】（1）C （2）15 3n－3归纳推理在图形中的应用策略1.把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点可以排成一个正三角形（如图所示）.则第七个三角形数是（）A.27B.28C.29D.30解析：选B.把1，3，6，10，15，21，…依次记为a1，a2，…，则可以得到a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，a6－a5＝6，所以a7－a6＝7，即a7＝a6＋7＝28.2.图（1）是棱长为1的小正方体，图（2）（3）是由这样的小正方体摆放而成的.按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层、第2层、第3层…将第n层的小正方体的个数记为S n.解答下列问题：（1）按照要求填表：（2）S 10＝ ；（3）S n ＝ （n ∈N *）.解析：第1层：1个；第2层：3个，即（1＋2）个；第3层：6个，即（1＋2＋3）个；第4层：10个，即（1＋2＋3＋4）个；…，由此猜想，第n 层的小正方体的个数为上一层的小正方体的个数加上n ，所以S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2（n ∈N *），S 10＝55.答案：（1）10 （2）55 （3）n （n ＋1）2探究点3 类比推理及其应用[学生用书P46]（1）若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则有S 2n －1＝（2n －1）a n ，类似地，若T n 是等比数列{b n }的前n 项积，则有T 2n －1＝ Ｗ.（2）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.设a ，b ，c 分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.【解】 （1）T 2n －1＝b 1·b 2·b 3·…·b 2n －1＝b 2n －1n.故填b 2n －1n.（2）如题图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°.设a ，b ，c 分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2.类似地，如图所示，在四面体PDEF 中，∠PDF ＝∠PDE ＝∠EDF ＝90°.设S 1，S 2，S 3和S 分别表示△PDF ，△PDE ，△EDF 和△PEF 的面积，相应于直角三角形的两条直角边a ，b 和1条斜边c ，图中的四面体有3个“直角面”S 1，S 2，S 3和1个“斜面”S .于是，类比勾股定理的结构，我们猜想S 2＝S 21＋S 22＋S 23.若本例（2）中“由勾股定理，得c 2＝a 2＋b 2”换成“cos 2A ＋cos 2B ＝1”，则在空间中，给出四面体性质的猜想.解：如图，在Rt △ABC 中，cos 2A ＋cos 2B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＝a 2＋b2c 2＝1.于是把结论类比到四面体PA ′B ′C ′中，我们猜想，四面体PA ′B ′C ′中，若三个侧面PA ′B ′，PB ′C ′，PC ′A ′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.类比推理的一般步骤1.下面使用类比推理正确的是（ ）A.“若a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类推出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B.“若（a ＋b ）c ＝ac ＋bc ”类推出“（a ·b ）c ＝ac ·bc ”C.“若（a ＋b ）c ＝ac ＋bc ”类推出“a ＋bc ＝a c ＋bc（c ≠0）” D.“（ab ）n＝a n b n”类推出“（a ＋b ）n＝a n＋b n”解析：选C.A 错，因为类比的结论a 可以不等于b ；B 错，类比的结论不满足分配律；C 正确；D 错，乘法类比成加法是不成立的.2.已知△ABC 的边长分别为a ，b ，c ，内切圆半径为r ，用S △ABC 表示△ABC 的面积，则S△ABC＝12r （a ＋b ＋c ）.类比这一结论有：若三棱锥A BCD 的内切球半径为R ，则三棱锥的体积V A BCD ＝ Ｗ.解析：内切圆半径r ――→类比内切球半径R ，三角形的周长：a ＋b ＋c ――→类比三棱锥各面的面积和：S △ABC ＋S △ACD ＋S △BCD ＋S △ABD ，三角形面积公式系数12 ――→类比三棱锥体积公式系数13.所以类比得三棱锥体积V A BCD ＝13R （S △ABC ＋S △ACD ＋S △BCD ＋S △ABD ）.答案：13R （S △ABC ＋S △ACD ＋S △BCD ＋S △ABD ）——————————————————————————————————————1.观察数列1，5，14，30，x ，…，则x 的值为（ ） A.22 B.33 C.44D.55解析：选D.观察归纳得出，从第2项起，每一项都等于它的前一项与它本身项数的平方的和，即a n ＝a n －1＋n 2，所以x ＝30＋52＝55.2.将奇数1，3，5，7，9，11，…，进行如下分组：{1}，{3，5}，{7，9，11}，…，试观察每组内各数之和，则第n 组内各数的和等于（ ）A.n 2B.n 3C.n 4D.n （n ＋1）解析：选B.每组内各数的和分别为1，23，33，…，显然B 正确.3.命题“在平行四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →”，据此，运用类比推理在平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中可得出结论 Ｗ.解析：根据类比推理的原则，平行四边形类比为平行六面体，对角线AC →类比为体对角线AC ′→，AB →＋AD →可类比成AB →＋AD →＋AA ′→，故结论为AC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→.答案：AC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→4.下面是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“连线”表示化学键，按图中结构，知第n 个图有 个原子，有 个化学键.解析：第1，2，3个图形中，原子的个数依次为6，6＋4，6＋4×2，所以第n 个图形有6＋4×（n －1）＝4n ＋2个原子.第1，2，3个图形中，化学键的个数依次为6，6＋5，6＋5×2，所以第n 个图形中化学键的个数为6＋5×（n －1）＝5n ＋1.答案：4n ＋2 5n ＋1[A 基础达标]1.给出下列三个类比结论：①类比a x·a y＝a x＋y，则有a x÷a y＝a x－y；②类比log a（xy）＝log a x＋log a y，则有sin（α＋β）＝sin αsin β；③类比（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），则有（xy）z＝x（yz）.其中结论正确的个数是（）A.0B.1C.2D.3解析：选C.根据指数的运算法则知a x÷a y＝a x－y，故①正确；根据三角函数的运算法则知：sin（α＋β）≠sin αsin β，②不正确；根据乘法结合律知：（xy）z＝x（yz），③正确.2.观察：（x2）′＝2x，（x4）′＝4x3，（cos x）′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义域在R上的函数f（x）满足f（－x）＝f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（－x）等于（）A.f（x）B.－f（x）C.g（x）D.－g（x）解析：选D.通过观察可归纳推理出一般结论：若f（x）为偶函数，则导函数g（x）为奇函数.故选D.3.已知数列：1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，则该数列的第k（k∈N*）项为（）A.a k＋a k＋1＋…＋a2kB.a k－1＋a k＋…＋a2k－1C.a k－1＋a k＋…＋a2kD.a k－1＋a k＋…＋a2k－2解析：选D.由已知数列的前4项归纳可得，该数列的第k项是从以1为首项，a为公比的等比数列的第k项a k－1开始的连续k项的和，故该数列的第k项为a k－1＋a k＋…＋a2k－2.4.观察下列各式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是（）A.n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（3n－2）＝n2B.n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（3n－2）＝（2n－1）2C.n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（3n－1）＝n2D.n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（3n－1）＝（2n－1）2解析：选B.可以发现：第一个式子的第一个数是1，第二个式子的第一个数是2，…，故第n个式子的第一个数是n；第一个式子中有1个数相加，第二个式子中有3个数相加，…，故第n个式子中有2n－1个数相加；第一个式子的结果是1的平方，第二个式子的结果是3的平方，故第n个式子应该是2n－1的平方，故可以得到n＋（n＋1）＋（n＋2）＋…＋（3n －2）＝（2n－1）2.5.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算的，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种，如图，当表示一个多位数时，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，遇零则置空.例如6 613用算筹表示就是，则8 335用算筹可表示为（）A. B.C. D.解析：选B.由题意，知8 335用算筹可表示为.6.我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是Ｗ.解析：平面图形与立体图形的类比：周长→表面积，正方形→正方体，面积→体积，矩形→长方体，圆→球.答案：表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体和球中，球的体积最大7.根据图中5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有个点.解析：观察图形的变化规律可得：图（2）从中心点向两边各增加1个点，图（3）从中心点向三边各增加2个点，图（4）从中心点向四边各增加3个点，如此，第n个图从中心点向n边各增加（n－1）个点，易得答案：1＋n·（n－1）＝n2－n＋1.答案：n2－n＋18.将全体正整数排成一个三角形数阵（如图）：按照以上排列的规律，第n （n ≥3，n ∈N *）行从左向右的第3个数为 Ｗ. 解析：前（n －1）行共有正整数1＋2＋…＋（n －1）＝n 2－n2（个），因此第n 行第3个数是全体正整数中第⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62.答案：n 2－n ＋629.如图所示为m 行m ＋1列的士兵方阵（m ∈N *，m ≥2）.（1）写出一个数列，用它表示当m 分别是2，3，4，5，…时，方阵中士兵的人数； （2）若把（1）中的数列记为{a n }，归纳该数列的通项公式； （3）求a 10，并说明a 10表示的实际意义； （4）已知a n ＝9 900，问：a n 是数列的第几项？解：（1）当m ＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m ＝3，4，5，…时的士兵人数分别为12，20，30，…，故所求数列为6，12，20，30，….（2）因为a 1＝2×3，a 2＝3×4，a 3＝4×5，…，所以猜想a n ＝（n ＋1）（n ＋2），n ∈N *. （3）a 10＝11×12＝132，a 10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.（4）令（n ＋1）（n ＋2）＝9 900，解得n ＝98，即a n 是数列的第98项，此时方阵为99行100列.10.观察下列两个等式：①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34；②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34.由上面两个等式的结构特征，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想. 解：由①②知若两角差为30°，则它们的相关形式的函数运算式的值均为34.猜想：sin 2α＋cos 2（α＋30°）＋sin αcos （α＋30°）＝34.下面进行证明：左边＝1－cos 2α2＋1＋cos （2α＋60°）2＋sin αcos （α＋30°）＝1－cos 2α2＋1＋cos 2αcos 60°－sin 2αsin 60°2＋ sin α（cos αcos 30°－sin αsin 30°）＝12－12cos 2α＋12＋14cos 2α－34sin 2α＋34sin 2α－1－cos 2α4＝34＝右边. 故sin 2α＋cos 2（α＋30°）＋sin αcos （α＋30°）＝34.[B 能力提升]11.如图，椭圆的中心在坐标原点，F 为其左焦点，当FB →⊥AB →时，椭圆的离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”可得“黄金双曲线”的离心率为（ ）A.5＋12B.5－12C.5－1D.5＋1解析：选A.设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1（a >0，b >0）.F （－c ，0），B （0，b ），A （a ，0），则FB →＝（c ，b ），AB →＝（－a ，b ）.因为FB →⊥AB →，所以FB →·AB →＝－ac ＋b 2＝0.又b 2＝c 2－a 2，所以c 2－ac －a 2＝0，即e 2－e －1＝0，解得e ＝1±52.又e >1，所以e ＝1＋52.故选A.12.如图，直角坐标系中每个单元格的边长为1，由下往上的6个点1，2，3，4，5，6的横纵坐标x i ，y i （i ＝1，2，3，4，5，6）分别对应数列{a n }（n ∈N *）的前12项，如下表所示：按如此规律下去，则a 2 017＋a 2 018＋a 2 019的值为 Ｗ.解析：由题图，知a 1＝x 1＝1，a 3＝x 2＝－1，a 5＝x 3＝2，a 7＝x 4＝－2，…，则a 1＋a 3＝a 5＋a 7＝…＝a 2 017＋a 2 019＝0.又a 2＝y 1＝1，a 4＝y 2＝2，a 6＝y 3＝3，…，则a 2 018＝y 1 009＝1 009，所以a 2 017＋a 2 018＋a 2 019＝1 009.答案：1 009 13.观察下面两式：（1）tan 10°·t an 20°＋tan 20°·tan 60°＋tan 60°·tan 10°＝1； （2）tan 5°·tan 10°＋tan 10°·tan 75°＋tan 75°·tan 5°＝1. 分析上面两式的共同特点，写出反映一般规律的等式，并证明你的结论. 解：猜想：如果α＋β＋γ＝π2，α，β，γ都不为π2，则tan αtan β＋tan β tan γ＋tan γtan α＝1. 证明如下：因为α＋β＋γ＝π2，所以α＋β＝π2－γ，所以tan （α＋β）＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－γ＝1tan γ， 所以tan αtan β＋tan β tan γ＋tan γtan α ＝tan αtan β＋（tan α＋tan β）tan γ＝tan αtan β＋tan （α＋β）（1－tan αtan β）tan γ ＝tan αtan β＋（1－tan αtan β）1tan γtan γ＝tan αtan β＋1－tan αtan β＝1. 14.（选做题）已知f （x ）＝13x＋3，分别求f （0）＋f （1），f （－1）＋f （2），f （－2）＋f （3），然后归纳猜想一般性结论，并证明你的结论.解：f （x ）＝13x ＋3，所以f （0）＋f （1）＝130＋3＋131＋3＝33，f （－1）＋f （2）＝13－1＋3＋132＋3＝33， f （－2）＋f （3）＝13－2＋3＋133＋3＝33.归纳猜想一般性结论：f （－x ）＋f （x ＋1）＝33.证明如下：f（－x）＋f（x＋1）＝13－x＋3＋13x＋1＋3＝3x1＋3·3x＋13x＋1＋3＝3·3x3＋3x＋1＋13x＋1＋3＝3·3x＋13＋3x＋1＝3·3x＋13（1＋3·3x）＝33.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
2019版高中数学 第二章 合情推理与演绎推理 2.1.1 合情推理学案 新人教A版选修2-2
2．1.1 合情推理学习目标 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情推理在数学发现中的作用．知识点一归纳推理思考(1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．(2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体．以上属于什么推理？答案属于归纳推理．梳理(1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．(2)特征：由部分到整体，由个别到一般的推理．知识点二类比推理思考科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等．由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在．他们使用了什么样的推理？答案类比推理．梳理(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．(2)特征：由特殊到特殊的推理．知识点三合情推理思考归纳推理与类比推理有何区别与联系？答案区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理．联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假．梳理(1)定义：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．通俗地说，合情推理就是合乎情理的推理．(2)推理的过程从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想1．类比推理得到的结论可作为定理应用．( ×)2．由个别到一般的推理为归纳推理．( √)3．在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( ×)类型一归纳推理命题角度1 数、式中的归纳推理例1 (1)观察下列等式：1＋1＝2×1，(2＋1)(2＋2)＝22×1×3，(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5，…照此规律，第n个等式可为_____________________________________________________．(2)已知f(x)＝x1－x，设f1(x)＝f(x)，f n(x)＝f n－1(f n－1(x))(n>1，且n∈N*)，则f3(x)的表达式为________，猜想f n(x)(n∈N*)的表达式为________．考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案(1)(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(2)x1－4xx1－2n－1x解析(1)观察规律可知，左边为n项的积，最小项和最大项依次为(n＋1)，(n＋n)，右边为连续奇数之积乘以2n ，则第n 个等式为(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )＝2n×1×3×…×(2n －1)． (2)∵f (x )＝x 1－x ，∴f 1(x )＝x1－x .又∵f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f 1(f 1(x ))＝x1－x1－x 1－x ＝x1－2x ，f 3(x )＝f 2(f 2(x ))＝x1－2x 1－2×x1－2x＝x1－4x， f 4(x )＝f 3(f 3(x ))＝x1－4x 1－4×x1－4x＝x1－8x， f 5(x )＝f 4(f 4(x ))＝x1－8x 1－8×x1－8x＝x1－16x， ∴根据前几项可以猜想f n (x )＝x1－2n －1x .引申探究在本例(2)中，若把“f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))”改为“f n (x )＝f (f n －1(x ))”，其他条件不变，试猜想f n (x ) (n ∈N *)的表达式． 解 ∵f (x )＝x 1－x ，∴f 1(x )＝x1－x .又∵f n (x )＝f (f n －1(x ))，∴f 2(x )＝f (f 1(x ))＝x1－x1－x 1－x ＝x1－2x ，f 3(x )＝f (f 2(x ))＝x1－2x 1－x1－2x＝x1－3x， f 4(x )＝f (f 3(x ))＝x1－3x 1－x1－3x＝x1－4x.因此，可以猜想f n (x )＝x1－nx.反思与感悟 (1)已知等式或不等式进行归纳推理的方法①要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； ②要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征； ③提炼出等式(或不等式)的综合特点； ④运用归纳推理得出一般结论．(2)数列中的归纳推理：在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和． ①通过已知条件求出数列的前几项或前n 项和；②根据数列中的前几项或前n 项和与对应序号之间的关系求解； ③运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式．跟踪训练1 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，满足S n ＝6－2a n ＋1(n ∈N *)． (1)求a 2，a 3，a 4的值； (2)猜想a n 的表达式． 考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在数列中的应用解 (1)因为a 1＝3，且S n ＝6－2a n ＋1(n ∈N *)， 所以S 1＝6－2a 2＝a 1＝3，解得a 2＝32，又S 2＝6－2a 3＝a 1＋a 2＝3＋32，解得a 3＝34，又S 3＝6－2a 4＝a 1＋a 2＋a 3＝3＋32＋34，解得a 4＝38.(2)由(1)知a 1＝3＝320，a 2＝32＝321，a 3＝34＝322，a 4＝38＝323，…，猜想a n ＝32n －1(n ∈N *)．命题角度2 图形中的归纳推理例2 有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )A ．26B ．31C ．32D ．36 考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在图形中的应用 答案 B解析 有菱形纹的正六边形的个数如下表：由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B. 反思与感悟 归纳推理在图形中的应用策略跟踪训练2 用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2D ．8n ＋2考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在图形中的应用 答案 C解析 归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，所以第n 个“金鱼”图需要的火柴棒的根数为a n ＝8＋(n －1)×6＝6n ＋2. 类型二 类比推理命题角度1 数列中的类比推理例3 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列． 考点 类比推理的应用题点 等差数列与等比数列之间的类比 答案T 8T 4 T 12T 8解析 由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项的和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的积成等比数列．下面证明该结论的正确性： 设等比数列{b n }的公比为q ，首项为b 1， 则T 4＝b 41q 6，T 8＝b 81q1＋2＋…＋7＝b 81q 28，T 12＝b 121q 1＋2＋…＋11＝b 121q 66， T 16＝b 161q1＋2＋…＋15＝b 161q 120， ∴T 8T 4＝b 41q 22，T 12T 8＝b 41q 38， T 16T 12＝b 41q 54， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫T 8T 42＝T 12T 8·T 4，⎝ ⎛⎭⎪⎫T 12T 82＝T 8T 4·T 16T12，故T 4，T 8T 4，T 12T 8，T 16T 12成等比数列． 反思与感悟 已知等差数列与等比数列有类似的性质，在类比过程中也有一些规律，如下表所示的部分结论(其中d ，q 分别是公差和公比)：跟踪训练3 若数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则有数列b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n(n ∈N *)也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列{c n }是等比数列，且c n >0，则有数列d n ＝________(n ∈N *)也是等比数列． 考点 类比推理的应用题点 等差数列与等比数列之间的类比 答案nc 1c 2c 3…c n解析 数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，则有数列b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n(n ∈N *)也是等差数列．类比猜想：若数列{c n }是各项均为正数的等比数列，则当d n ＝nc 1c 2c 3…c n 时，数列{d n }也是等比数列．命题角度2 几何中的类比推理例4 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想．考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比解如题图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2＝a2＋b2.类似地，如图所示，在四面体P－DEF中，∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°.设S1，S2，S3和S分别表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面积，相对于直角三角形的两条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是类比勾股定理的结构，我们猜想S2＝S21＋S22＋S23成立．反思与感悟(1)类比推理的一般步骤(2)中学阶段常见的类比知识点：等差数列与等比数列，向量与实数，空间与平面，圆与球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下跟踪训练4 在长方形ABCD中，对角线AC与两邻边所成的角分别为α，β，cos2α＋cos2β＝1，则在立体几何中，给出类比猜想并证明．考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比 解 在长方形ABCD 中，cos 2α＋cos 2β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＝a 2＋b 2c 2＝c2c 2＝1.于是类比到长方体中，猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为α，β，γ， 则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.证明如下：cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n l 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫g l2 ＝m 2＋n 2＋g 2l 2＝l 2l2＝1.1．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇等于( ) A.r 22 B.l 22 C.lr2D ．不可类比考点 类比推理的应用 题点 平面曲线的类比 答案 C解析 扇形的弧类比三角形的底边，扇形的半径类比三角形的高，则S 扇＝lr2.2．如图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排起来，那么第36颗珠子的颜色为( )A ．白色B ．黑色C ．白色可能性大D ．黑色可能性大考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在图形中的应用 答案 A解析 由题图知，三白二黑周而复始相继排列，根据36÷5＝7余1， 可得第36颗应与第1颗珠子的颜色相同，即白色． 3．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10等于( )A ．28B ．76C ．123D ．199考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 C解析 利用归纳法：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝3＋1＝4，a 4＋b 4＝4＋3＝7，a 5＋b 5＝7＋4＝11，a 6＋b 6＝11＋7＝18，a 7＋b 7＝18＋11＝29，a 8＋b 8＝29＋18＝47，a 9＋b 9＝47＋29＝76，a 10＋b 10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．4．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间上，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________． 考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比 答案 1∶8解析 设两个正四面体的体积分别为V 1，V 2， 则V 1∶V 2＝13S 1h 1∶13S 2h 2＝S 1h 1∶S 2h 2＝1∶8.5．按照图1、图2、图3的规律，第10个图中圆点的个数为________．考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在图形中的应用 答案 40解析图1中的点数为4＝1×4，图2中的点数为8＝2×4，图3中的点数为12＝3×4，…，所以图10中的点数为10×4＝40.1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向． 2．合情推理的过程概括为从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想一、选择题1．下面使用类比推理，得出的结论正确的是( )A ．若“a ·3＝b ·3，则a ＝b ”类比出“若a ·0＝b ·0，则a ＝b ”B ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比出“(a ·b )c ＝ac ·bc ”C ．“若(a ＋b )c ＝ac ＋bc ”类比出“a ＋bc ＝a c ＋bc(c ≠0)” D ．“(ab )n＝a n b n”类比出“(a ＋b )n＝a n＋b n” 考点 类比推理的应用题点 类比推理的方法、形式和结论 答案 C解析 显然A ，B ，D 不正确，只有C 正确．2.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )A. B ．△ C.D ．○考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在图形中的应用 答案 A解析 观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．3．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111123×9＋4＝1 1111 234×9＋5＝11 11112 345×9＋6＝111 111…A．1 111 110 B．1 111 111C．1 111 112 D．1 111 113考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案 B解析由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即1 111 111.4．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一平面的两个平面互相平行．则其中正确的结论是( )A．①② B．②③C．③④ D．①④考点类比推理的应用题点平面几何与立体几何之间的类比答案 B解析根据立体几何中线面之间的位置关系及有关定理知，②③是正确的结论．5．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于( )A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)考点归纳推理的应用题点归纳推理在数对(组)中的应用答案 D解析由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．6．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，根据以上式子可以猜想：1＋122＋132＋…＋12 0172小于( ) A.4 0312 017 B.4 0322 017 C.4 0332 017D.4 0342 017考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 C解析 观察可以发现，第n (n ≥2)个不等式左端有n ＋1项，分子为1，分母依次为12,22,32，…，(n ＋1)2；右端分母为n ＋1，分子成等差数列，首项为3，公差为2，因此第n 个不等式为1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1，所以当n ＝2 016时不等式为1＋122＋132＋…＋12 0172<4 0332 017. 7．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2Sa ＋b ＋c，类比这个结论可知：四面体A －BCD 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球半径为R ，四面体A －BCD 的体积为V ，则R 等于( ) A.VS 1＋S 2＋S 3＋S 4B.2VS 1＋S 2＋S 3＋S 4C.3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4D.4VS 1＋S 2＋S 3＋S 4考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比 答案 C解析 设四面体的内切球的球心为O ，则球心O 到四个面的距离都是R ，所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和． 则四面体的体积为V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)R ，∴R ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.8．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n 个图形中顶点的个数为( )A ．(n ＋1)(n ＋2)B ．(n ＋2)(n ＋3)C ．n 2D ．n考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在图形中的应用 答案 B解析 由已知中的图形我们可以得到： 当n ＝1时，顶点共有12＝3×4(个)， 当n ＝2时，顶点共有20＝4×5(个)， 当n ＝3时，顶点共有30＝5×6(个)， 当n ＝4时，顶点共有42＝6×7(个)， …，则第n 个图形共有顶点(n ＋2)(n ＋3)个， 故选B. 二、填空题 9．观察下列等式： 12＝1； 12－22＝－3； 12－22＋32＝6； 12－22＋32－42＝－10； …；照此规律，第n 个等式为________． 考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2解析 12＝1， 12－22＝－(1＋2)， 12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)， …，12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1(1＋2＋3＋…＋n ) ＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2.10．我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是________． 考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比答案 表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体和球中，球的体积最大解析 平面图形与立体图形的类比：周长→表面积，正方形→正方体，面积→体积，矩形→长方体，圆→球．11．二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3；四维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，则猜想其四维测度W ＝________. 考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 2πr 4解析 ∵二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l .三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S .∴四维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，猜想其四维测度W ，则W ′＝V ＝8πr 3，∴W＝2πr 4.12．如图(甲)是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(乙)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列{a n }的通项公式为a n ＝________.考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案n解析 根据OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1和图(乙)中的各直角三角形，由勾股定理，可得a 1＝OA 1＝1，a 2＝OA 2＝OA 21＋A 1A 22＝12＋12＝2，a 3＝OA 3＝OA 22＋A 2A 23＝(2)2＋12＝3，…，故可归纳推测出a n ＝n .13．圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)在点P (x 0，y 0)处切线的方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y－b )＝r 2，由此类比，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)在点P (x 0，y 0)处的切线方程为______________．考点 类比推理的应用 题点 平面曲线之间的类比 答案x 0x a 2＋y 0y b 2＝1 解析 类比过圆上一点的切线方程，可合情推理：椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)在点P (x 0，y 0)处的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb2＝1.三、探究与拓展14．正整数按下表的规律排列，则上起第2 017行，左起第2 018列的数应为( )A ．2 016×2 017B ．2 017×2 018C ．2 018×2 019D ．2 019×2 020考点 归纳推理的应用题点 归纳推理在数阵(表)中的应用 答案 B解析 由给出的排列规律可知，第一列的每个数为所在行数的平方，而第一行的数则满足列数减1的平方再加1，根据题意，左起第2 018列的第一个数为2 0172＋1，由连线规律可知，上起第2 017行，左起第2 018列的数应为2 0172＋2 017＝2 017×2 018. 15．已知在Rt△ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，有1AD2＝1AB2＋1AC 2成立．那么在四面体A －BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，说明猜想是否正确，并给出理由． 考点 类比推理的应用题点 平面几何与立体几何之间的类比解 类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想在四面体A －BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD 2.猜想正确．理由如下：如图所示，连接BE ，并延长交CD 于F ，连接AF .∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，∴AB⊥平面ACD.而AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴1AE2＝1AB2＋1AF2.在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴1AF2＝1AC2＋1AD2.∴1AE2＝1AB2＋1AC2＋1AD2，故猜想正确．。
新人教A版高中数学(选修2-2)2.1《合情推理与演绎推理》word学案
课题:合情推理（一） 时间：2010.03●学习目标： 知识与技能：（1）了解归纳推理的含义（2）掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。
过程与方法：由部分到整体，由个别到一般，通过“自主、合作与探究”掌握归纳推理的方法和步骤，实现“一切以学生为中心”的理念。
（3）情感态度、价值观：感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。
●学习重点：归纳推理及方法的总结。
●学习难点：归纳推理的含义及其具体应用。
●教具准备：辅助课件 ●学习过程： 一.问题情境 (1)原理初探 ①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！” ②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？ ③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？ 从而引入两则小典故：A ：一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？B ：修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”。
④思考：整个过程对你有什么启发？ ⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。
(2)皇冠明珠追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠 — “歌德巴赫猜想”。
世界近代三大数学难题之一。
哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。
1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。
如6＝3＋3，12＝5＋7等等。
公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想: (a) 任何一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。
(b) 任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。
这就是着名的哥德巴赫猜想。
欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。
人教版高中数学选修2-2学案：2.1.1合情推理(二)
2.1.1合情推理(二)【学习目标】1.结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义;2.能利用类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.【新知自学】知识回顾：1.归纳推理就是由某些事物的 ,推出该类事物的 的推理，或者由的推理.简言之，归纳推理是由的推理.2.归纳推理的思维过程大致是：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论.3.归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）. 新知梳理：问题1：鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；问题2：地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在.以上都是类比思维，即类比推理.2.类比推理就是由两类对象具有和其中 ，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由 到的推理.3. 和 都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行 ，然后提出 的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠. 对点练习：）.A.合情推理是正确的推理B.合情推理就是归纳推理C.归纳推理是从一般到特殊的推理D.类比推理是从特殊到特殊的推理2. 下面使用类比推理正确的是（ ）.A.“若33a b ⋅=⋅,则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅,则a b =”B.“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ⋅=⋅”C.“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a b c c c+=+ （c≠0）” D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n （b ）:4．三角形的面积为()2S a b c r =++⋅，,,a b c 为三角形的边长，r 为三角形内切圆的半径，利用类比推理，得到四面体的体积为_____ _________.【合作探究】典例精析：.变式练习：.22200()()x x y y r -+-=例2. 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.变式练习： 三角形 四面体三角形的两边之和大于第三边三角形的中位线平行且等于第三边的一半三角形的面积为1()2S a b c r =++（r 为三角形内切圆的半径）规律总结：1．类比推理是由特殊到特殊的推理.2. 类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质得出一个命题（猜想）.3. 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真，但合情推理常常帮我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法.【课堂小结】【当堂达标】1.若数列{a n }是等差数列，对于)(121n n a a a nb +++=Λ，则数列{}n b 也是等差数列. 类比上述性质，若数列{}nc 是各项都为正数的等比数列，对于0>nd ，则n d = 时，数列{}n d 也是等比数列.2. 在ABC ∆中，不等式1119A B C π++≥成立；在四边形ABCD 中，不等式1111162A B C D π+++≥成立；在五边形ABCDE 中，不等式11111253A B C D E π++++≥成立.猜想，在n 边形12n A A A L 中，有怎样的不等式成立？3.如图，若射线OM ，ON 上分别存在点12,M M 与点12,N N ，则三角形面积之比11221122OM N OM N S OM ON S OM ON ∆∆=•.若不在同一平面内的射线OP ，OQ 上分别存在点12,P P ，点12,Q Q 和点12,R R ，则类似的结论是什么？【课时作业】1.线段AB 两端点的坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则线段AB 的中点坐标为1212(,)22x x y y G ++,类比得：三角形ABC 三顶点坐标为112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则三角形ABC 的重心G 的坐标为 .2.在等差数列{}n a 中，若100a =，则有*121219(19,)n n a a a a a a n n N -+++=+++<∈L L 且成立。
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§2.1.1 合情推理（1）
学习目标
1.
结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认
识归纳推理在数学发现中的作用.
学习过程
一、课前准备
（预习教材P28~ P30，找出疑惑之处）
在日常生活中我们常常遇到这样的现象：
（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨；
（2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.
以上例子可以得出推理是
的思维过程.
二、新课导学
学习探究
探究任务：归纳推理
问题1:哥德巴赫猜想：观察 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7,
20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜想：
.
问题2：由铜、铁、铝、金等金属能导电，归纳出
.
新知：归纳推理就是由某些事物的 ,推出该类事物的
的推理，或者由
的推理.简言之，归纳推理是由
的推理.
典型例题
例1 观察下列等式：1+3=4=，
1+3+5=9=，
1+3+5+7=16=，
1+3+5+7+9=25=，
……
你能猜想到一个怎样的结论？
变式：观察下列等式：1=1
1+8=9，
1+8+27=36，
1+8+27+64=100，
……
你能猜想到一个怎样的结论？
例2已知数列的第一项，且，试归纳出这个数列的通项公式.
变式：在数列{}中，（），试猜想这个数列的通项公式.
动手试试
练1. 应用归纳推理猜测的结果.
练2. 在数列{}中，，（）,试猜想这个数列的通项公式.
三、总结提升
学习小结
1．归纳推理的定义.
2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中
推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.
知识拓展
1.费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对，，，，的观察，发现
其结果都是素数，提出猜想：对所有的自然数，任何形如的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉
发现不是素数，推翻费马猜想.
2.四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色
工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家
着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯
在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完
成证明.
学习评价
当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1.下列关于归纳推理的说法错误的是（ ）.
A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程
B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程
C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确
D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能
2.若，下列说法中正确的是（ ）.
A.可以为偶数 B.一定为奇数
C.一定为质数 D.必为合数
3.已知，猜想的表达式为（ ）.
A. B.
C. D.
4.，经计算得猜测当时，有__________________________.
5. 从中得出的一般性结论是_____________ .
课后作业
1. 对于任意正整数n，猜想与的大小关系.
2. 已知数列{}的前n项和，，满足，计算并猜想的表达式.
§2.1.1 合情推理（2）
学习目标
1. 结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义;
2. 能利用类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.
学习过程
一、课前准备
（预习教材，找出疑惑之处）
1.已知，考察下列式子：；；
. 我们可以归纳出，对也成立的类似不等式为 .
2. 猜想数列的通项公式是 .
二、新课导学
学习探究
鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球上有生命，火
星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，
温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理.
新知：类比推理就是由两类对象具有
和其中 ，推出另一类对象也具有这些特征的推理.
简言之，类比推理是由 到
的推理.
典型例题
例1 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.
类比
角度
实数的加法 实数的乘法
运算
结果
运算律
逆运算
单位元
变式：找出圆与球的相似之处，并用圆的性质类比球的有关性质.
圆的概念和性质 球的类似概念和性质
圆的周长
圆的面积
圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦
与圆心距离相等的弦长相等，与圆心距离不等
的两弦不等，距圆心较近的弦较长
以点为圆心，r为半径的圆的方程为
例2 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.
变式：用三角形的下列性质类比出四面体的有关性质.
三角形 四面体
三角形的两边之和大于第三边
三角形的中位线平行且等于第三边的一半
三角形的面积为（r为三角形内切圆的半径）
新知： 和 都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进
行 ，然后提出 的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获
得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.
动手试试
练1. 如图，若射线OM，ON上分别存在点与点，则三角形面积之比.若不在同一平面内的射
线OP，OQ上分别存在点，点和点，则类似的结论是什么？
练2. 在中，不等式成立；在四边形ABCD中，不等式成立；在五边形ABCDE中，不等式成
立.猜想，在n边形中，有怎样的不等式成立？
三、总结提升
学习小结
1．类比推理是由特殊到特殊的推理.
2. 类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推
测另一类事物的性质得出一个命题（猜想）.
3. 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真，但合情推理常常帮我们猜测和
发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法.
知识拓展
试一试下列题目：
1. 南京∶江苏
A. 石家庄∶河北 B. 渤海∶中国
C. 泰州∶江苏 D. 秦岭∶淮河
2. 成功∶失败
A. 勤奋∶成功 B. 懒惰∶失败
C. 艰苦∶简陋 D. 简单∶复杂
3.面条∶食物
A.苹果∶水果 B.手指∶身体
C.菜肴∶萝卜 D.食品∶巧克力
学习评价
当堂检测
（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1.下列说法中正确的是（ ）.
A.合情推理是正确的推理
B.合情推理就是归纳推理
C.归纳推理是从一般到特殊的推理
D.类比推理是从特殊到特殊的推理
2. 下面使用类比推理正确的是（ ）.
A.“若,则”类推出“若,则”
B.“若”类推出
“”
C.“若” 类推出“ （c≠0）”
D.“” 类推出“
3. 设，
，n∈N，则（ ）.
A. B.－
C. D.－
4. 一同学在电脑中打出如下若干个圆
若将此若干个圆按此规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前2006个圆中有 个
黑圆.
5. 在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55……中的x的值是 .
课后作业
1. 在等差数列中，若，则有
成立，类比上述性质，在等比数列中，若，则存在怎样的等式？
2. 在各项为正的数列中，数列的前n项和满足（1） 求；（2） 由（1）猜想数列的通项公式；
（3） 求