北京市西城区2013届高三第二次模拟数学理科

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北京2013西城高三数学一模理科试题及答案

北京市西城区2013年高三一模试卷高三数学（理科） 2013.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知全集U =R ，集合{|02}A x x =<<，2{|10}B x x =->，那么U A B = ð （A ）{|01}x x << （B ）{|01}x x <≤ （C ）{|12}x x << （D ）{|12}x x ≤<2．若复数i2ia +的实部与虚部相等，则实数a = （A ）1- （B ）1 （C ）2- （D ）23．执行如图所示的程序框图．若输出y ==θ （A ）π6 （B ）π6- （C ）π3 （D ）π3-4．从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A ，B ，C ，D 四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事A 工作，则不同的工作分配方案共有（A ）60种（B ）72种（C ）84种（D ）96种 5．某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（A ）6 （B ）12+（C ）12+ （D ）24+6．等比数列{}n a 中，10a >，则“13a a <”是“36a a <”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7．已知函数22()log 2log ()f x x x c =-+，其中0c >．若对于任意的(0,)x ∈+∞，都有()1f x ≤，则c 的取值范围是（A ）1(0,]4 （B ）1[,)4+∞ （C ）1(0,]8 （D ）1[,)8+∞8．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 为底面ABCD上的动点，1PE AC ⊥于E ，且PA PE =，则点P 的轨迹是（A ）线段（B ）圆弧（C ）椭圆的一部分（D ）抛物线的一部分第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知曲线C 的参数方程为2cos 12sin x y =⎧⎨=+⎩αα（α为参数），则曲线C 的直角坐标方程为．10．设等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和是n S ．若23S S =，0k S =，则k =______．11．如图，正六边形ABCDEF 的边长为1，则AC DB ⋅=______．12．如图，已知AB 是圆O 的直径，P 在AB 的延长线上，PC切圆O 于点C ，CD OP ⊥于D ．若6CD =，10CP =，则圆O 的半径长为______；BP =______．13．在直角坐标系xOy 中，点B 与点(1,0)A -关于原点O 对称．点00(,)P x y 在抛物线24y x =上，且直线AP 与BP 的斜率之积等于2，则0x =______．14．记实数12,,,n x x x 中的最大数为12max{,,,}n x x x ，最小数为12min{,,,}n x x x .设△ABC 的三边边长分别为,,a b c ，且a b c ≤≤，定义△ABC 的倾斜度为max{,,}min{,a b ca tbc a b =⋅,}b cc a．（ⅰ）若△ABC 为等腰三角形，则t =______；（ⅱ）设1a =，则t 的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()sin cos f x x a x =-的一个零点是π4．（Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）设()()()cos g x f x f x x x =⋅-+，求()g x 的单调递增区间． 16．（本小题满分13分）某班有甲、乙两个学习小组，两组的人数如下：现采用分层抽样的方法（层内采用简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名同学进行学业检测．（Ⅰ）求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率；（Ⅱ）记X 为抽取的3名同学中男同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，面CDEF 为正方形，面ABCD 为等腰梯形，AB //CD ，BC AB 2=，60ABC ︒∠=，AC FB ⊥．（Ⅰ）求证：⊥AC 平面FBC ；（Ⅱ）求BC 与平面EAC 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段ED 上是否存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ？证明你的结论．18．（本小题满分13分）已知函数()ln f x ax x =-，()e 3axg x x =+，其中a ∈R ．（Ⅰ）求)(x f 的极值；（Ⅱ）若存在区间M ，使)(x f 和()g x 在区间M 上具有相同的单调性，求a 的取值范围． 19．（本小题满分14分）如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．当直线AB 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60︒．（Ⅰ）求该椭圆的离心率；（Ⅱ）设线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点．记△GFD 的面积为1S ，△OED （O 为原点）的面积为2S ，求12S S 的取值范围． 20．（本小题满分13分）已知集合*12{|(,,,),,1,2,,}(2)n n i S X X x x x x i n n ==∈=≥N ．对于12(,,,)n A a a a = ，12(,,,)n n B b b b S =∈ ，定义1122(,,,)n n AB b a b a b a =---；1212(,,,)(,,,)()n n a a a a a a =∈R λλλλλ；A 与B 之间的距离为1(,)||ni i i d A B a b ==-∑．（Ⅰ）当5n =时，设5(1,2,1,2,)A a =，(2,4,2,1,3)B =．若(,)7d A B =，求5a ；（Ⅱ）（ⅰ）证明：若,,n A B C S ∈，且0∃>λ，使AB BC λ=，则(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=；（ⅱ）设,,n A B C S ∈，且(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=．是否一定0∃>λ，使AB BC λ=？说明理由；（Ⅲ）记(1,1,,1)n I S =∈ ．若A ，n B S ∈，且(,)(,)d I A d I B p ==，求(,)d A B 的最大值．北京市西城区2013年高三一模试卷高三数学（理科）参考答案及评分标准2013.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1． B ； 2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．C ； 6．B ； 7．D ； 8．A ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．22230x y y +--=； 10．5； 11．32-12．152，5； 13．1+ 14．1，．注：12、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，得π()04f =， ………………1分即 ππsincos 04422a -=-=， ………………3分解得 1a =． ………………5分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 ()sin cos f x x x =-． ………………6分()()()cos g x f x f x x x =⋅-+(sin cos )(sin cos )2x x x x x =--- ………………7分22(cos sin )2x x x =- ………………8分cos 22x x =+ ………………9分π2sin(2)6x =+． ………………10分由 πππ2π22π262k x k -≤+≤+，得 ππππ36k x k -≤≤+，k ∈Z ． ………………12分所以 ()g x 的单调递增区间为ππ[π,π]36k k -+，k ∈Z ． ………………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，甲、乙两组的学生人数之比为 (35):(22)2:1++=， ……………1分所以，从甲组抽取的学生人数为2323⨯=；从乙组抽取的学生人数为1313⨯=．………2分设“从甲组抽取的同学中恰有1名女同学”为事件A ， ………………3分则 113528C C 15()C 28P A ⋅==，故从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率为1528．………5分（Ⅱ）解：随机变量X 的所有取值为0,1,2,3． ………………6分21522184C C 5(0)C C 28P X ⋅===⋅， 111213525221218484C C C C C 25(1)C C C C 56P X ⋅⋅⋅==+=⋅⋅， 211113235221218484C C C C C 9(2)C C C C 28P X ⋅⋅⋅==+=⋅⋅， 21322184C C 3(3)C C 56P X ⋅===⋅．……………10分所以，随机变量X 的分布列为:………………11分5259350123285628564EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………13分 17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为BC AB 2=，60ABC ︒∠=，在△ABC 中，由余弦定理可得 BC AC 3=，所以 BC AC ⊥． ………………2分又因为AC FB ⊥，所以⊥AC 平面FBC ． ………………4分（Ⅱ）解：因为⊥AC 平面FBC ，所以FC AC ⊥．因为FC CD ⊥，所以⊥FC 平面ABCD ． ………………5分所以,,CA CF CB 两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系xyz C -． ………………6分在等腰梯形ABCD 中，可得 CB CD =．设1BC =，所以11(0,0,0),(0,1,0),,0),,1)22C A BDE --．所以 )1,21,23(-=，)0,0,3(=，)0,1,0(=．设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.CE CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以10,20.y z -+== 取1z =，得=n (0,2,1)． ………………8分设BC 与平面EAC 所成的角为θ，则||sin |cos ,|5||||CB CB CB ⋅=〈〉==θn n n ，所以 BC 与平面EAC 所成角的正弦值为552． ………………9分（Ⅲ）解：线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ．证明如下： ………………10分假设线段ED 上存在点Q ，设 ),21,23(t Q - )10(≤≤t ，所以),21,23(t CQ -=．设平面QBC 的法向量为=m ),,(c b a ，则有0,0.CB CQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 所以0,10.2b b tc =⎧-+= 取 1=c ，得=m )1,0,32(t -． ………………12分要使平面EAC ⊥平面QBC ，只需0=⋅n m ， ………………13分即002110⨯+⨯+⨯=，此方程无解．所以线段ED 上不存在点Q ，使平面EAC ⊥平面QBC ． ………………14分 18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：()f x 的定义域为(0,)+∞， ………………1分且 11()ax f x a x x-'=-=． ………………2分 ① 当0a ≤时，()0f x '<，故()f x 在(0,)+∞上单调递减．从而)(x f 没有极大值，也没有极小值． ………………3分② 当0a >时，令()0f x '=，得1x a=． ()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调减区间为(0,)a ；单调增区间为(,)a+∞．从而)(x f 的极小值为1()1ln f a a=+；没有极大值． ………………5分（Ⅱ）解：()g x 的定义域为R ，且 ()e 3axg x a '=+． ………………6分 ③ 当0a >时，显然 ()0g x '>，从而()g x 在R 上单调递增．由（Ⅰ）得，此时()f x 在1(,)a+∞上单调递增，符合题意． ………………8分 ④ 当0a =时，()g x 在R 上单调递增，()f x 在(0,)+∞上单调递减，不合题意．……9分⑤ 当0a <时，令()0g x '=，得013ln()x a a=-． ()g x 和()g x '的情况如下表：当30a -≤<时，00x ≤，此时()g x 在0(,)x +∞上单调递增，由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，不合题意． ………………11分当3a <-时，00x >，此时()g x 在0(,)x -∞上单调递减，由于()f x 在(0,)+∞上单调递减，符合题意．综上，a 的取值范围是(,3)(0,)-∞-+∞ ． ………………13分 19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，当直线AB 经过椭圆的顶点(0,)b 时，其倾斜角为60︒． ………………1分设 (,0)F c -，则tan 60bc︒==………………2分将 b =代入 222a b c =+，解得 2a c =．………………3分所以椭圆的离心率为 12c e a ==． ………………4分（Ⅱ）解：由（Ⅰ），椭圆的方程可设为2222143x y c c+=． ………………5分设11(,)A x y ，22(,)B x y ．依题意，直线AB 不能与,x y 轴垂直，故设直线AB 的方程为()y k x c =+，将其代入2223412x y c +=，整理得 222222(43)84120k x ck x k c c +++-=． ………………7分则 2122843ck x x k -+=+，121226(2)43cky y k x x c k +=++=+，22243(,)4343ck ck G k k -++． ………………8分因为 GD AB ⊥，所以 2223431443Dckk k ck x k +⨯=---+，2243D ck x k -=+． ………………9分因为 △GFD ∽△OED ，所以 2222222212222243()()||434343||()43ck ck ck S GD k k k ck S OD k ---++++==-+ ………………11分 222242222242(3)(3)99999()ck ck c k c k ck c k k++===+>． ………………13分所以12S S 的取值范围是(9,)+∞． ………………14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当5n =时，由51(,)||7iii d A B a b ==-=∑，得 5|12||24||12||21||3|7a -+-+-+-+-=，即 5|3|2a -=．由 *5a ∈N ，得 51a =，或55a =． ………………3分（Ⅱ）（ⅰ）证明：设12(,,,)n A a a a = ，12(,,,)n B b b b = ，12(,,,)n C c c c = ．因为 0∃>λ，使 AB BC λ=，所以 0∃>λ，使得 11221122(,,)((,,)n n n n b a b a b a c b c b c b ---=--- λ,,，即 0∃>λ，使得 ()i i i i b a c b λ-=-，其中1,2,,i n = ．所以 i i b a -与(1,2,,)i i c b i n -= 同为非负数或同为负数． ………………5分所以 11(,)(,)||||n n iiiii i d A B d B C a b b c ==+=-+-∑∑1(||||)niiiii b a c b ==-+-∑1||(,)ni i i c a d A C ==-=∑． ………………6分（ⅱ）解：设,,n A B C S ∈，且(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=，此时不一定0∃>λ，使得AB BC λ=． ………………7分反例如下：取(1,1,1,,1)A = ，(1,2,1,1,,1)B = ，(2,2,2,1,1,,1)C ，则 (,)1d A B =，(,)2d B C =，(,)3d A C =，显然(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=．因为(0,1,0,0,,0)AB = ，(1,0,1,0,0,,0)BC =，所以不存在>0λ，使得AB BC λ=． ………………8分（Ⅲ）解法一：因为 1(,)||niii d A B b a ==-∑，设(1,2,,)i i b a i n -= 中有()m m n ≤项为非负数，n m -项为负数．不妨设1,2,,i m = 时0i i b a -≥；1,2,,i m m n =++ 时，0i i b a -<．所以 1(,)||niii d A B b a ==-∑12121212[()()][()()]m m m m n m m n b b b a a a a a a b b b ++++=+++-+++++++-+++因为 (,)(,)d I A d I B p ==，所以11(1)(1)n n iii i a b ==-=-∑∑，整理得 11n niii i a b ===∑∑．所以 12121(,)||2[()]niim m i d A B b a b bb a a a ==-=+++-+++∑ ．……………10分因为 121212()()m n m m n b b b b b b b b b +++++=+++-+++ ()()1p n n m p m ≤+--⨯=+；又 121m a a a m m +++≥⨯= ，所以 1212(,)2[()]m m d A B b b b a a a =+++-+++ 2[()]2p m m p ≤+-=．即 (,)2d A B p ≤．…12分对于 (1,1,,1,1)A p =+ ，(1,1,1,,1)B p =+ ，有 A ，n B S ∈，且(,)(,)d I A d I B p ==，(,)2d A B p =．综上，(,)d A B 的最大值为2p ． ……………13分解法二：首先证明如下引理：设,x y ∈R ，则有 ||||||x y x y +≤+．证明：因为 ||||x x x -≤≤，||||y y y -≤≤，所以 (||||)||||x y x y x y -+≤+≤+，即 ||||||x y x y +≤+．所以 11(,)|||(1)(1)|n niiiii i d A B b a b a ===-=-+-∑∑1(|1||1|)niii b a =≤-+-∑11|1||1|2nni i i i a b p ===-+-=∑∑． ……………11分上式等号成立的条件为1i a =，或1i b =，所以 (,)2d A B p ≤． ……………12分对于 (1,1,,1,1)A p =+ ，(1,1,1,,1)B p =+ ，有 A ，n B S ∈，且(,)(,)d I A d I B p ==，(,)2d A B p =．综上，(,)d A B 的最大值为2p ． ……………13分。

2013年北京市西城区高考数学二模试卷(理科)(附答案解析)

2013年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 设全集U＝{0, 1, 2, 3, 4}，A＝{0, 1, 2, 3}，B＝{2, 3, 4}，则∁U(A∩B)等于（）A.⌀B.{0, 1}C.{0, 1, 4}D.{0, 1, 2, 3, 4}2. 在复平面内，复数z1的对应点是Z1(1, 1)，z2的对应点是Z2(1, −1)，则z1⋅z2=()A.1B.2C.−iD.i3. 在极坐标系中，圆心为(1,π2)，且过极点的圆的方程是（）A.ρ＝2sinθB.ρ＝−2sinθC.ρ＝2cosθD.ρ＝−2cosθ4. 如图所示的程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”的值，则判断框内可以填入（）A.k≤10B.k≤16C.k≤22D.k≤345. 设a=212，b=313，c=log32，则（）A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.c<a<b6. 对于直线m，n和平面α，β，使m⊥α成立的一个充分条件是（）A.m⊥n，n // αB.m // β，β⊥αC.m⊥β，n⊥β，n⊥αD.m⊥n，n⊥β，β⊥α7. 已知正六边形ABCDEF的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是（）A.√34B.√32C.√3D.2√38. 已知函数f(x)＝x−[x]，其中[x]表示不超过实数x的最大整数．若关于x的方程f(x)＝kx+k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是（）A.[−1,−12)∪(14,13] B.(−1,−12]∪[14,13)C.[−13,−14)∪(12,1] D.(−13,−14]∪[12,1)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．如图是甲，乙两组各6名同学身高（单位：cm）数据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为x¯甲和x¯乙，则x¯甲________x¯乙．（填入：“>”，“=”，或“<”）(2x−1)5的展开式中x3项的系数是________．（用数字作答）在△ABC中，BC=2，AC=√7，B=π3，则AB=________；△ABC的面积是________．如图，AB是半圆O的直径，P在AB的延长线上，PD与半圆O相切于点C，AD⊥PD．若PC=4，PB=2，则CD=________．在等差数列{a n}中，a2=5，a1+a4=12，则a n=________；设b n=1a n2−1(n∈N∗)，则数列{b n}的前n项和S n=________．已知正数a，b，c满足a+b=ab，a+b+c=abc，则c的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．如图，在直角坐标系xOy中，角α的顶点是原点，始边与x轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且α∈(π6,π2)．将角α的终边按逆时针方向旋转π3，交单位圆于点B．记A(x1, y1)，B(x2, y2)．(Ⅰ)若x1=13，求x2；(Ⅱ)分别过A，B作x轴的垂线，垂足依次为C，D．记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2．若S1＝2S2，求角α的值．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球奖励10元，摸到白球或黄球奖励5元，摸到黑球不奖励．（1）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；（2）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望．如图1，四棱锥P−ABCD中，PD⊥底面ABCD，面ABCD是直角梯形，M为侧棱PD上一点．该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示．（1）证明：BC⊥平面PBD；（2）证明：AM // 平面PBC；（3）线段CD上是否存在点N，使AM与BN所成角的余弦值为√34？若存在，找到所有符合要求的点N，并求CN的长；若不存在，说明理由．如图所示，椭圆C:x2+y2m=1(0<m<1)的左顶点为A，M是椭圆C上异于点A的任意一点，点P与点A关于点M对称．（1）若点P的坐标为(95, 4√35)，求m的值；（2）若椭圆C上存在点M，使得OP⊥OM，求m的取值范围．已知函数f(x)=23x3−2x2+(2−a)x+1，其中a∈R．（1）若a=2，求曲线y=f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；（2）求f(x)在区间[2, 3]上的最大值和最小值．已知集合S n={(x1, x2, ..., x n)|x1, x2, ..., x n是正整数1, 2, 3, ..., n的一个排列}(n≥2)，函数g(x)={1,x>0−1,x<0.对于(a1, a2,…a n)∈S n，定义：b i=g(a i−a1)+g(a i−a2)+...+g(a i−a i−1)，i∈{2, 3, ..., n}，b1=0，称b i为a i的满意指数．排列b1，b2，…，b n为排列a1，a2，…，a n的生成列；排列a1，a2，…，a n为排列b1，b2，…，b n的母列．（1）当n=6时，写出排列3，5，1，4，6，2的生成列及排列0，−1，2，−3，4，3的母列；（2）证明：若a1，a2，…，a n和a′1，a′2，…，a′n为S n中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（3）对于S n中的排列a1，a2，…，a n，定义变换τ：将排列a1，a2，…，a n从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：一定可以经过有限次变换τ将排列a1，a2，…，a n变换为各项满意指数均为非负数的排列．参考答案与试题解析2013年北京市西城区高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】利用两个集合的交集的定义求出A∩B，再利用补集的定义求出∁U(A∩B)．【解答】∵A∩B＝{0, 1, 2, 3}∩{2, 3, 4}＝{ 2, 3 }，全集U＝{0, 1, 2, 3, 4}，∴∁U(A∩B)＝{0, 1, 4}，2.【答案】B【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】利用复数的几何意义可得z1=1+i，z2=1−i，再利用复数的乘法运算法则即可得出．【解答】解：∵在复平面内，复数z1的对应点是Z1(1, 1)，z2的对应点是Z2(1, −1)，∴z1=1+i，z2=1−i，∴z1⋅z2=(1+i)(1−i)=12−i2=1+1=2．故选B．3.【答案】A【考点】圆的极坐标方程【解析】先在直角坐标系下求出圆心在(1,π2)，且过极点的圆的直角坐标方程，再利用直角坐标与极坐标的互化公式化成极坐标方程即可．【解答】∵在极坐标系中，圆心在(1,π2)，且过极点的圆的直角坐标方程是：x2+(y−1)2＝1，即x2+y2−2y＝0，它的极坐标方程为：ρ＝2sinθ．4.【答案】C【考点】程序框图【解析】由程序运行的过程看这是一个求几个数的乘积的问题，验算知2×3×5×9×17五个数的积故程序只需运行5次．运行5次后，k值变为33，即可得答案．【解答】解：由题设条件可以看出，此程序是一个求几个数的连乘积的问题，第一次乘入的数是2，由于程序框图表示求算式“2×3×5×9×17”之值，以后所乘的数依次为3，5，9，17，2×3×5×9×17五个数的积故程序只需运行5次，运行5次后，k值变为33，故判断框中应填k<33，或者k≤22．故选C．5.【答案】D【考点】不等式的概念与应用【解析】通过a，b的6次方，判断a与b的大小，判断c的大小范围，即可判断大小关系．【解答】解：因为a=212=√2>1，b=313，因为a6=8，b6=9，所以b>a，因为c=log32∈(0, 1)，所以b>a>c．故选D．6.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断空间中直线与平面之间的位置关系空间中平面与平面之间的位置关系【解析】根据题意，结合正方体模型，对每一选支进行逐一判定，不正确的只需取出反例，正确的简单说明一下即可．【解答】解：A、“m⊥n，n // α”，如正方体中AB⊥BC，BC // 平面A′B′C′D′，但AB与平面A′B′C′D′不垂直，故推不出m⊥α，故A不正确；B 、“m // β，β⊥α”，如正方体中A′C′ // 面ABCD ，面ABCD ⊥面BCC′B′，但A′C′与平面BCC′B′不垂直．推不出m ⊥α，故B 不正确；C 、根据m ⊥β，n ⊥β，得m // n ，又n ⊥α，根据线面垂直的判定，可得m ⊥α，故D 正确；D 、“m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α”，如正方体中AD′⊥AB ，AB ⊥面BCC′B′，面ABCD ⊥面BCC′B′，但AD′与面BCC′B′不垂直，故推不出m ⊥α，故D 不正确．故选：C ． 7. 【答案】 B【考点】抛物线的求解【解析】如图，设正六边形ABCDEF 的顶点A 、B 、C 、F 在抛物线y 2=2px 上．根据抛物线的对称性，设A(x 1, 1)，F(x 2, 2)，由抛物线方程和正六边形的性质建立关于x 1、x 2和p 的方程组，解之可得2p =√3，由此即可得到抛物线焦点到准线的距离．【解答】解：由题意，设正六边形ABCDEF 的顶点A 、B 、C 、F 在抛物线y 2=2px 上，设A(x 1, 1)，F(x 2, 2)，可得{x 1+√3=x 2①2px 1=1②2px 2=4③，由②、③消去p 得x 2=4x 1，代入①可得x 1+√3=4x 1，所以x 1=√33，代入②得2p =√3，根据抛物线的性质，可得焦点到准线的距离是p =√32故选：B8. 【答案】B【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】由已知中函数f(x)＝x −[x]，可画出满足条件的图象，结合y ＝kx +k 表示恒过A(−1, 0)点斜率为k 的直线，数形结合可得方程f(x)＝kx +k 有3个相异的实根．则函数f(x)＝x −[x]与函数f(x)＝kx +k 的图象有且仅有3个交点，进而得到实数k 的取值范围．【解答】函数f(x)＝x −[x]的图象如下图所示：y ＝kx +k 表示恒过A(−1, 0)点斜率为k 的直线若方程f(x)＝kx +k 有3个相异的实根．则函数f(x)＝x −[x]与函数f(x)＝kx +k 的图象有且仅有3个交点由图可得：当y ＝kx +k 过(2, 1)点时，k =13，当y ＝kx +k 过(3, 1)点时，k =14，当y ＝kx +k 过(−2, 1)点时，k ＝−1，当y ＝kx +k 过(−3, 1)点时，k =−12，则实数k 满足 14≤k <13或−1<k ≤−12．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．【答案】 >【考点】茎叶图【解析】由茎叶图，分别确定出甲、乙两班同学身高数，通过计算平均数比较出大小．【解答】解：由茎叶图，甲班平均身高为(151+153+165+167+170+172)÷6=163 乙班平均身高为(150+161+162+163+164+172)÷6=162<163．则 x ¯甲>x ¯乙．故答案为：>．【答案】 80【考点】二项式定理的应用【解析】先求得二项展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于3，求得r 的值，即可求得(2x −1)5的展开式中x 3项的系数．【解答】解：在(2x −1)5的展开式中，通项公式为T r+1=C 5r⋅(2x)5−r ⋅(−1)r ，令5−r =3，求得r =2，故(2x −1)5的展开式中x 3项的系数是C 52⋅23⋅(−1)2=80，故答案为80．【答案】 3,3√32 【考点】正弦定理三角形求面积【解析】根据余弦定理AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC cos B，建立关于边AB的方程，解之即可得到边AB的值，再由正弦定理关于面积的公式，代入题中数据即可求出△ABC的面积．【解答】解：∵在△ABC中，BC=2，AC=√7，B=π3，∴由余弦定理，得AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cosπ3，即7=AB2+22−2×2×AB cosπ3，化简整理得AB2−2AB−3=0，可得AB=3（舍去−1）根据正弦定理，得△ABC的面积为S=12BC⋅AB sin B=12×2×3×sinπ3=3√32故答案为：3，3√32【答案】125【考点】与圆有关的比例线段【解析】由PD与半圆O相切于点C及切割线定理得PC2=PB⋅PA，OC⊥PD．再利用AD⊥PD得到OC // AD．利用平行线分线段成比例即可得出．【解答】解：设圆的半径为R．连接OC．∵PD与半圆O相切于点C，∴PC2=PB⋅PA，OC⊥PD．．∵PC=4，PB=2，∴42=2×(2+2R)，解得R=3．又∵AD⊥PD，∴OC // AD．∴PCCD =POOA．∴4CD =2+33，解得CD=125．故答案为125．【答案】2n+1,n4(n+1)【考点】等差数列的性质【解析】由条件利用等差数列的通项公式求得首项和公比，即可得到等差数列{a n}的通项公式．把数列{b n}的通项公式求出来，再用裂项法进行数列求和．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则由a2=5，a1+a4=12可得{a1+d=52a1+3d=12，解得{a1=3d=2，故a n=3+(n−1)2=2n+1．∵b n=1a n2−1=14n(n+1)=14[1n−1n+1]，∴数列{b n}的前n项和S n=14[1−12+12−13+13−14+...+1n−1n+1]=14[1−1n+1]=n4(n+1)，故答案为2n+1，n4(n+1)．【答案】(1,43]【考点】基本不等式【解析】由正数a，b，c满足a+b=ab，利用基本不等式即可得出ab≥4．由a+b+c=abc，变形为c=1+1ab−1即可得出．【解答】解：∵正数a，b，c满足a+b=ab，∴ab≥2√ab，化为√ab(√ab−2)≥0，∴√ab≥2，∴ab≥4，当且仅当a=b=2时取等号，∴ab∈[4, +∞)．∵a+b+c=abc，∴ab+c=abc，∴c=abab−1=ab−1+1ab−1=1+1ab−1．∵ab≥4，∴1<1+1ab−1≤43，∴1<1+1ab−1≤43．∴c的取值范围是(1,43]．故答案为(1,43]．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．【答案】（1）由三角函数定义，得x1＝cosα，x2=cos(α+π3)．因为α∈(π6,π2)，cosα=13，所以sinα=√1−cos2α=2√23．所以x2=cos(α+π3)=12cosα−√32sinα=1−2√66．（2）依题意得y1＝sinα，y2=sin(α+π3)．所以S1=12x1y1=12cosα⋅sinα=14sin2α，S2=12|x2|y2=12[−cos(α+π3)]⋅sin(α+π3)=−14sin(2α+2π3)．依题意S1＝2S2得sin2α=−2sin(2α+2π3)，即sin2α＝−2[sin2αcos2π3+cos2αsin2π3]＝sin2α−√3cos2α，整理得cos2α＝0．因为 π6<α<π2，所以 π3<2α<π，所以 2α=π2，即 α=π4．【考点】任意角的三角函数两角和与差的三角函数【解析】(Ⅰ)由三角函数定义，得 x 1＝cos α=13，由此利用同角三角函数的基本关系求得sin α的值，再根据x 2=cos (α+π3)，利用两角和的余弦公式求得结果．(Ⅱ)依题意得 y 1＝sin α，y 2=sin (α+π3)，分别求得S 1 和S 2 的解析式，再由S 1＝2S 2 求得cos 2α＝0，根据α的范围，求得α的值．【解答】（1）由三角函数定义，得 x 1＝cos α，x 2=cos (α+π3)．因为 α∈(π6,π2)，cos α=13，所以 sin α=√1−cos 2α=2√23．所以 x 2=cos (α+π3)=12cos α−√32sin α=1−2√66．（2）依题意得 y 1＝sin α，y 2=sin (α+π3)．所以 S 1=12x 1y 1=12cos α⋅sin α=14sin 2α， S 2=12|x 2|y 2=12[−cos (α+π3)]⋅sin (α+π3)=−14sin (2α+2π3)．依题意S 1＝2S 2 得 sin 2α=−2sin (2α+2π3)，即sin 2α＝−2[sin 2αcos 2π3+cos 2αsin2π3]＝sin 2α−√3cos 2α，整理得 cos 2α＝0．因为 π6<α<π2，所以 π3<2α<π，所以 2α=π2，即 α=π4．【答案】（1）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ，则共有基本事件：1+C 31⋅C 11+C 31⋅C 21⋅C 11+C 31⋅C 21⋅C 11⋅C 11=16个，则A 事件包含基本事件的个数为C 31⋅C 21⋅C 11=6个，则 P(A)=616=38，故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为38，（2）解：随机变量X 的所有取值为0，5，10，15，20．P(X =0)=14，P(X =5)=A 22A 42=16，P(X =10)=1A 42+A 22A 43=16，P(X =15)=A 43˙=16，P(X =20)=A 33A 44=14．所以，随机变量X 的分布列为：EX =0×14+5×16+10×16+15×16+20×14=10．【考点】离散型随机变量及其分布列离散型随机变量的期望与方差【解析】（1）1名顾客摸球3次停止摸奖的情况有C 31⋅C 21⋅C 11种，基本事件的个数为1+C 31⋅C 11+C 31⋅C 21⋅C 11+C 31⋅C 21⋅C 11⋅C 11，然后代入等可能事件的概率公式可求（2）随机变量X 的所有取值为0，5，10，15，20．，分别求出X 取各个值时的概率即可求解随机变量X 的分布列及期望【解答】（1）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件A ，则共有基本事件：1+C 31⋅C 11+C 31⋅C 21⋅C 11+C 31⋅C 21⋅C 11⋅C 11=16个，则A 事件包含基本事件的个数为C 31⋅C 21⋅C 11=6个，则 P(A)=616=38，故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为38，（2）解：随机变量X 的所有取值为0，5，10，15，20． P(X =0)=14，P(X =5)=A 22A 42=16，P(X =10)=1A 42+A 22A 43=16，P(X =15)=A 43˙=16，P(X =20)=A 33A 44=14．所以，随机变量X 的分布列为：EX =0×14+5×16+10×16+15×16+20×14=10．【答案】（1）证明：由俯视图可得，BD 2+BC 2=CD 2， ∴ BC ⊥BD ．又∵ PD ⊥平面ABCD ， ∴ BC ⊥PD ， ∵ BD ∩PD =D ， ∴ BC ⊥平面PBD ．（2）证明：取PC 上一点Q ，使PQ:PC =1:4，连接MQ ，BQ ．由左视图知 PM:PD =1:4，∴ MQ // CD ，MQ =14CD ．在△BCD 中，易得∠CDB =60∘，∴ ∠ADB =30∘．又 BD =2，∴ AB =1，AD =√3．又∵ AB // CD ，AB =14CD ，∴ AB // MQ ，AB =MQ ．∴ 四边形ABQM 为平行四边形， ∴ AM // BQ ．∵ AM ⊄平面PBC ，BQ ⊂平面PBC ， ∴ 直线AM // 平面PBC ．（3）解：线段CD 上存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为√34．证明如下：∵ PD ⊥平面ABCD ，DA ⊥DC ，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ． ∴ D(0,0,0),A(√3，0，0)，B(√3,1,0)，C(0,4,0)，M(0,0,3)．设 D(0,0,0),A(√3，0，0)，B(√3,1,0)，C(0,4,0)，M(0,0,3)，其中N(0, t, 0)．∴ AM →=(−√3,0,3)，BN →=(−√3,t −1,0)．要使AM 与BN 所成角的余弦值为√34，则有 |AM →||BN →|˙=√34， ∴ |3|⋅=√34，解得 t =0或2，均适合N(0, t, 0)．故点N 位于D 点处，此时CN =4；或CD 中点处，此时CN =2，有AM 与BN 所成角的余弦值为√34．【考点】直线与平面垂直的判定异面直线及其所成的角直线与平面平行的判定【解析】（1）利用俯视图和勾股定理的逆定理可得BC ⊥BD ，利用线面垂直的性质定理可得BC ⊥PD ，再利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）取PC 上一点Q ，使PQ:PC =1:4，连接MQ ，BQ ．利用左视图和平行线分线段成比例的判定和性质即可得出MQ // CD ，MQ =14CD ．再利用平行四边形的判定和性质定理即可得出AM // BQ ，利用线面平行的判定定理即可证明．（3）通过建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量所成的角的夹角公式即可得出．【解答】（1）证明：由俯视图可得，BD 2+BC 2=CD 2， ∴ BC ⊥BD ．又∵ PD ⊥平面ABCD ， ∴ BC ⊥PD ，∵ BD ∩PD =D ， ∴ BC ⊥平面PBD ．（2）证明：取PC 上一点Q ，使PQ:PC =1:4，连接MQ ，BQ ．由左视图知 PM:PD =1:4，∴ MQ // CD ，MQ =14CD ．在△BCD 中，易得∠CDB =60∘，∴ ∠ADB =30∘．又 BD =2，∴ AB =1，AD =√3．又∵ AB // CD ，AB =14CD ， ∴ AB // MQ ，AB =MQ ．∴ 四边形ABQM 为平行四边形， ∴ AM // BQ ．∵ AM ⊄平面PBC ，BQ ⊂平面PBC ， ∴ 直线AM // 平面PBC ．（3）解：线段CD 上存在点N ，使AM 与BN 所成角的余弦值为√34．证明如下： ∵ PD ⊥平面ABCD ，DA ⊥DC ，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ． ∴ D(0,0,0),A(√3，0，0)，B(√3,1,0)，C(0,4,0)，M(0,0,3)．设 D(0,0,0),A(√3，0，0)，B(√3,1,0)，C(0,4,0)，M(0,0,3)，其中N(0, t, 0)． ∴ AM →=(−√3,0,3)，BN →=(−√3,t −1,0)．要使AM 与BN 所成角的余弦值为√34，则有 |AM →||BN →|˙=√34， ∴ |3|⋅=√34，解得 t =0或2，均适合N(0, t, 0)．故点N 位于D 点处，此时CN =4；或CD 中点处，此时CN =2，有AM 与BN 所成角的余弦值为√34．【答案】解：（1）依题意，M 是线段AP 的中点，因为A(−1, 0)，P(95，4√35)，所以点M 的坐标为(25，2√35)．由于点M 在椭圆C 上，所以 425+1225m =1，解得 m =47．（2）设M(x 0, y 0)(−1<x 0<1)，则 x 02+y 02m=1，①因为 M 是线段AP 的中点，所以 P(2x 0+1, 2y 0)．因为 OP ⊥OM ，所以OP →⊥OM →，所以OP →⋅OM →=0，即 x 0(2x 0+1)+2y 02=0．②由①，②消去y 0，整理得 m =2x 02+x 02x 02−2．所以 m =1+12(x 0+2)+6x 0+2−8≤12−√34，当且仅当 x 0=−2+√3时，上式等号成立．所以m 的取值范围是(0,12−√34]．【考点】圆锥曲线的综合问题椭圆的定义【解析】（1）由题意知M 是线段AP 的中点，由中点坐标公式可得M 坐标，代入椭圆方程即可得到m 值；（2）设M(x 0, y 0)(−1<x 0<1)，则 x 02+y 02m =1，①由中点坐标公式可用M 坐标表示P 点坐标，由OP ⊥OM得OP →⋅OM →=0②，联立 ①②消去y 0，分离出m 用基本不等式即可求得m 的范围；【解答】解：（1）依题意，M 是线段AP 的中点，因为A(−1, 0)，P(95，4√35)，所以点M 的坐标为(25，2√35)．由于点M 在椭圆C 上，所以425+1225m=1，解得 m =47．（2）设M(x 0, y 0)(−1<x 0<1)，则 x 02+y 02m=1，①因为 M 是线段AP 的中点，所以 P(2x 0+1, 2y 0)．因为 OP ⊥OM ，所以OP →⊥OM →，所以OP →⋅OM →=0，即 x 0(2x 0+1)+2y 02=0．②由①，②消去y 0，整理得 m =2x 02+x 02x 02−2．所以 m =1+12(x 0+2)+6x 0+2−8≤12−√34，当且仅当 x 0=−2+√3时，上式等号成立．所以m 的取值范围是(0,12−√34]．【答案】（1）解：f(x)的定义域为R ，且 f ′(x)=2x 2−4x +2−a ，当a =2时，f(1)=−13，f ′(1)=−2，所以曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为 y +13=−2(x −1)，即 6x +3y −5=0．（2）解：方程f ′(x)=0的判别式为△=(−4)2−4×2×(2−a)=8a ．（1）当a ≤0时，f ′(x)≥0，所以f(x)在区间(2, 3)上单调递增，所以f(x)在区间[2, 3] 上的最小值是f(2)=73−2a ；最大值是f(3)=7−3a ．（2）当a >0时，令f ′(x)=0，得 x 1=1−√2a2，或x 2=1+√2a2．f(x)和f ′(x)的情况如下：故f(x)的单调增区间为(−∞,1−√2a2)，(1+√2a2，+∞)；单调减区间为(1−√2a2，1+√2a2)． ①当0<a ≤2时，x 2≤2，此时f(x)在区间(2, 3)上单调递增，所以f(x)在区间[2, 3] 上的最小值是f(2)=73−2a ；最大值是f(3)=7−3a ．②当2<a <8时，x 1<2<x 2<3，此时f(x)在区间(2, x 2)上单调递减，在区间(x 2, 3)上单调递增，所以f(x)在区间[2, 3]上的最小值是 f(x 2)=53−a −a √2a 3．因为 f(3)−f(2)=143−a ，所以当2<a ≤143时，f(x)在区间[2, 3]上的最大值是f(3)=7−3a ；当143<a <8时，f(x)在区间[2, 3]上的最大值是f(2)=73−2a ．③当a ≥8时，x 1<2<3≤x 2，此时f(x)在区间(2, 3)上单调递减，所以f(x)在区间[2, 3]上的最小值是f(3)=7−3a ；最大值是f(2)=73−2a ．综上可得，当a ≤2时，f(x)在区间[2, 3]上的最小值是73−2a ，最大值是7−3a ；当2<a ≤143时，f(x)在区间[2, 3]上的最小值是53−a −a √2a 3，最大值是7−3a ；当143<a <8时，f(x)在区间[2, 3]上的最小值是53−a −a √2a 3，最大值是73−2a ；当a ≥8时，f(x)在区间[2, 3]上的最小值是7−3a ，最大值是73−2a ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程导数求函数的最值【解析】（1）求导数，把a =2代入可得f(1)=−13，f ′(1)=−2，由点斜式可写直线的方程，化为一般式即可；（2）由△=8a ，分a ≤0，当a >0两大类来判断，其中当a >0时，又需分0<a ≤2，2<a <8，a ≥8，三种情形来判断，综合可得答案．【解答】（1）解：f(x)的定义域为R ，且 f ′(x)=2x 2−4x +2−a ，当a =2时，f(1)=−13，f ′(1)=−2，所以曲线y =f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程为 y +13=−2(x −1)，即 6x +3y −5=0．（2）解：方程f ′(x)=0的判别式为△=(−4)2−4×2×(2−a)=8a ．（1）当a ≤0时，f ′(x)≥0，所以f(x)在区间(2, 3)上单调递增，所以f(x)在区间[2, 3] 上的最小值是f(2)=73−2a ；最大值是f(3)=7−3a ．（2）当a >0时，令f ′(x)=0，得 x 1=1−√2a2，或x 2=1+√2a2．f(x)和f ′(x)的情况如下：故f(x)的单调增区间为(−∞,1−√2a2)，(1+√2a2，+∞)；单调减区间为(1−√2a2，1+√2a2)． ①当0<a ≤2时，x 2≤2，此时f(x)在区间(2, 3)上单调递增，所以f(x)在区间[2, 3]上的最小值是f(2)=73−2a ；最大值是f(3)=7−3a ．②当2<a <8时，x 1<2<x 2<3，此时f(x)在区间(2, x 2)上单调递减，在区间(x 2, 3)上单调递增，所以f(x)在区间[2, 3]上的最小值是 f(x 2)=53−a −a √2a 3．因为 f(3)−f(2)=143−a ，所以当2<a ≤143时，f(x)在区间[2, 3]上的最大值是f(3)=7−3a ；当143<a <8时，f(x)在区间[2, 3]上的最大值是f(2)=73−2a ．③当a ≥8时，x 1<2<3≤x 2，此时f(x)在区间(2, 3)上单调递减，所以f(x)在区间[2, 3]上的最小值是f(3)=7−3a ；最大值是f(2)=73−2a ．综上可得，当a ≤2时，f(x)在区间[2, 3]上的最小值是73−2a ，最大值是7−3a ；当2<a ≤143时，f(x)在区间[2, 3]上的最小值是53−a −a √2a 3，最大值是7−3a ；当143<a <8时，f(x)在区间[2, 3]上的最小值是53−a −a √2a 3，最大值是73−2a ；当a ≥8时，f(x)在区间[2, 3]上的最小值是7−3a ，最大值是73−2a ．【答案】（1）解：当n=6时，排列3，5，1，4，6，2的生成列为0，1，−2，1，4，−3；排列0，−1，2，−3，4，3的母列为3，2，4，1，6，5．（2）证明：设a1，a2，…，a n的生成列是b1，b2，…，b n；a′1，a′2，…，a′n的生成列是与b′1，b′2，…，b′n，从右往左数，设排列a1，a2，…，a n与a′1，a′2，…，a′n第一个不同的项为a k与a′k，即：a n=a′n，a n−1= a′n−1，…，a k+1=a′k+1，a k≠a′k．显然b n=b′n，b n−1=b′n−1，…，b k+1=b′k+1，下面证明：b k≠b′k．由满意指数的定义知，a i的满意指数为排列a1，a2，…，a n中前i−1项中比a i小的项的个数减去比a i大的项的个数．由于排列a1，a2，…，a n的前k项各不相同，设这k项中有l项比a k小，则有k−l−1项比a k大，从而b k=l−(k−l−1)=2l−k+1．同理，设排列a′1，a′2，…，a′n中有l′项比a′k小，则有k−l′−1项比a′k大，从而b′k=2l′−k+1．因为a1，a2，…，a k与a′1，a′2，…，a′k是k个不同数的两个不同排列，且a k≠a′k，所以l≠l′，从而b k≠b′k．所以排列a1，a2，…，a n和a′1，a′2，…，a′n的生成列也不同．（3）证明：设排列a1，a2，…，a n的生成列为b1，b2，…，b n，且a k为a1，a2，…，a n中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以b1≥0，b2≥0，…，b k−1≥0，b k≤−1．进行一次变换τ后，排列a1，a2，…，a n变换为a k，a1，a2，…a k−1，a k+1，…，a n，设该排列的生成列为b′1，b′2，…，b′n．所以(b′1, b′2,…,b′n)−(b1+b2+...+b n)=[g(a1−a k)+g(a2−a k)+...+g(a k−1−a k)]−[g(a k−a1)+g(a k−a2)+...+g(a k−a k−1)]=−2[g(a k−a1)+g(a k−a2)+...+g(a k−a k−1)]=−2b k≥2．因此，经过一次变换τ后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加2．因为a i的满意指数b i≤i−1，其中i=1，2，3，…，n，所以，整个排列的各项满意指数之和不超过1+2+3+...+(n−1)=n(n−1)2，即整个排列的各项满意指数之和为有限数，所以经过有限次变换τ后，一定会使各项的满意指数均为非负数．【考点】等差数列与等比数列的综合【解析】（1）由b i=g(a i−a1)+g(a i−a2)+...+g(a i−a i−1)，g(x)={1,x>0−1,x<0及“生成列”与“母列”的定义可求得当n=6时排列3，5，1，4，6，2的生成列及排列0，−1，2，−3，4，3的母列；（2）设a1，a2，…，a n的生成列是b1，b2，…，b n；a′1，a′2，…，a′n的生成列是与b′1，b′2，…，b′n，从右往左数，设排列a1，a2，…，a n与a′1，a′2，…，a′n第一个不同的项为a k与a′k，由满意指数的定义可知a i的满意指数，从而可证得且a k≠a′k，于是可得排列a1，a2，…，a n和a′1，a′2，…，a′n的生成列也不同．（3）设排列a1，a2，…，a n的生成列为b1，b2，…，b n，且a k为a1，a2，…，a n中从左至右第一个满意指数为负数的项，⇒b1≥0，b2≥0，…，b k−1≥0，b k≤−1，经过一次变换τ后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加2，利用a i的满意指数b i≤i−1，可知整个排列的各项满意指数之和不超过1+2+3+...+(n−1)=n(n−1)2，从而可使结论得证．【解答】（1）解：当n=6时，排列3，5，1，4，6，2的生成列为0，1，−2，1，4，−3；排列0，−1，2，−3，4，3的母列为3，2，4，1，6，5．（2）证明：设a1，a2，…，a n的生成列是b1，b2，…，b n；a′1，a′2，…，a′n的生成列是与b′1，b′2，…，b′n，从右往左数，设排列a1，a2，…，a n与a′1，a′2，…，a′n第一个不同的项为a k与a′k，即：a n=a′n，a n−1= a′n−1，…，a k+1=a′k+1，a k≠a′k．显然b n=b′n，b n−1=b′n−1，…，b k+1=b′k+1，下面证明：b k≠b′k．由满意指数的定义知，a i的满意指数为排列a1，a2，…，a n中前i−1项中比a i小的项的个数减去比a i大的项的个数．由于排列a1，a2，…，a n的前k项各不相同，设这k项中有l项比a k小，则有k−l−1项比a k大，从而b k=l−(k−l−1)=2l−k+1．同理，设排列a′1，a′2，…，a′n中有l′项比a′k小，则有k−l′−1项比a′k大，从而b′k=2l′−k+1．因为a1，a2，…，a k与a′1，a′2，…，a′k是k个不同数的两个不同排列，且a k≠a′k，所以l≠l′，从而b k≠b′k．所以排列a1，a2，…，a n和a′1，a′2，…，a′n的生成列也不同．（3）证明：设排列a1，a2，…，a n的生成列为b1，b2，…，b n，且a k为a1，a2，…，a n中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以b1≥0，b2≥0，…，b k−1≥0，b k≤−1．进行一次变换τ后，排列a1，a2，…，a n变换为a k，a1，a2，…a k−1，a k+1，…，a n，设该排列的生成列为b′1，b′2，…，b′n．所以(b′1, b′2,…,b′n)−(b1+b2+...+b n)=[g(a1−a k)+g(a2−a k)+...+g(a k−1−a k)]−[g(a k−a1)+g(a k−a2)+...+g(a k−a k−1)]=−2[g(a k−a1)+g(a k−a2)+...+g(a k−a k−1)]=−2b k≥2．因此，经过一次变换τ后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加2．因为a i的满意指数b i≤i−1，其中i=1，2，3，…，n，所以，整个排列的各项满意指数之和不超过1+2+3+...+(n−1)=n(n−1)2，即整个排列的各项满意指数之和为有限数，所以经过有限次变换τ后，一定会使各项的满意指数均为非负数．第21页共22页◎第22页共22页。

2013西城高三期末理科数学含答案

北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2013.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x x x =∈-+>R ，则A B =U （）（A ）1(0,)2（B ）(1,1)- （C ）1(,1)(,)2-∞-+∞U （D ）(,1)(0,)-∞-+∞U2．在复平面内，复数5i2i-的对应点位于（）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．在极坐标系中，已知点(2,)6P π，则过点P 且平行于极轴的直线的方程是（）（A ）sin 1=ρθ （B ）sin =ρθ（C ）cos 1=ρθ （D ）cos =ρθ4．执行如图所示的程序框图．若输出15S =，① 处可以填入（）（A ）2k < （B ）3k < （C ）4k <（D ）5k <5．已知函数()cos f x x b x =+，其中b 为常数．那么“0b =”是“()f x 为奇函数”的（）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件6．已知,a b 是正数，且满足224a b <+<．那么22a b +的取值范围是（）（A ）416(,)55 （B ）4(,16)5 （C ）(1,16) （D ）16(,4)57六条棱的长度中，最大的是（）（A ）（B ）（C ）（D ）8．将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（）（A ）221 （B ）463 （C ）121 （D ）263二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线，则实数k = _____10．如图，Rt △ABC 中，90ACB ︒∠=，3AC =，4BC =．以AC 为直径的圆交AB 于点D ，则BD = ；CD =______．11．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，63k S =，则k =______．12．已知椭圆 22142x y +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 在该椭圆上．若12||||2PF PF -=，则△12PF F 的面积是______．13．已知函数π()sin(2)6f x x =+，其中π[,]6x a ∈-．当3a π=时，()f x 的值域是______；若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范围是______．14．已知函数()f x 的定义域为R ．若∃常数0c >，对x ∀∈R ，有()()f x c f x c +>-，则称函数()f x 具有性质P ．给定下列三个函数：①()2x f x =； ②()sin f x x =； ③3()f x x x =-．其中，具有性质P 的函数的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）在△ABC 21cos 2B B =-．（Ⅰ）求角B 的值；（Ⅱ）若2BC =，4A π=，求△ABC 的面积． 16．（本小题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，PD PA =，⊥PA 平面PDC ，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）求证：PB // 平面EAC ；（Ⅱ）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（Ⅲ）求二面角B AC E --的余弦值． 17．（本小题满分13分）生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：（Ⅰ）试分别估计元件A ，元件B 为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A ，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元 .在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望；（ⅱ）求生产5件元件B 所获得的利润不少于140元的概率． 18．（本小题满分13分）已知函数2()xf x x b=+，其中b ∈R ．（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设0b >．若13[,]44x ∃∈，使()1f x ≥，求b 的取值范围． 19．（本小题满分14分）如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ．过点(2,0)P 的直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，直线AF ，BF 分别与抛物线交于点M ，N ．（Ⅰ）求12y y 的值；明：12k k 为定（Ⅱ）记直线MN 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k .证值．20．（本小题满分13分）如图，设A 是由n n ⨯个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,3,,)i j n =L 表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.记(,)S n n 为所有这样的数表构成的集合．对于(,)A S n n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之积，()j cA为A 的第j 列各数之积．令11()()()n ni j i j l A r A c A ===+∑∑．（Ⅰ）请写出一个(4,4)A S ∈，使得()0l A =；（Ⅱ）是否存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =？说明理由；（Ⅲ）给定正整数n ，对于所有的(,)A S n n ∈，求()l A 的取值集合．北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准 2013.1 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．C ； 6．B ； 7．C ； 8．B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1-； 10．165，125； 11．6； 12； 13．1[,1]2-，[,]62ππ； 14．①③．注：10、13题第一问2分，第二问3分;14题结论完全正确才给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15．（本小题满分13分）21cos 2B B =-，所以 2cos 2sin B B B =．………………3分因为0B <<π，所以 sin 0B >，从而 tan B =， (5)分所以 π3B =． ………………6分解法二：依题意得2cos 21B B +=，所以 2sin(2)16B π+=，即 1sin(2)62B π+=． ………………3分因为 0B <<π，所以 132666B πππ<+<，所以 5266B ππ+=．………………5分所以 π3B =． ………………6分（Ⅱ）解法一：因为 4A π=，π3B =，根据正弦定理得 sin sin AC BCB A=， ……………7分所以 sinsin BC BAC A⋅==． ………………8分因为 512C A B π=π--=， ………………9分所以 5sin sinsin()1246C πππ==+=， ………………11分所以 △ABC 的面积1sin 2S AC BC C =⋅=． ………………13分解法二：因为 4A π=，π3B =，根据正弦定理得 sin sin AC BCB A=， ……………7分所以 sin sin BC BAC A⋅==． ………………8分根据余弦定理得 2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅， ………………9分化简为 2220AB AB --=，解得 1AB = ………………11分所以 △ABC 的面积1sin 2S AB BC B =⋅=． ………………13分 16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接BD 与AC 相交于点O ，连结因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 因为 E 为棱PD 中点．所以 EO PB //． ………………3分因为 ⊄PB 平面EAC ，⊂EO 平面EAC ，所以直线PB //平面EAC ． ………………4分（Ⅱ）证明：因为⊥PA 平面PDC ，所以CD PA ⊥． ………………5分因为四边形ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥，所以⊥CD 平面PAD ． ………………7分所以平面PAD ⊥平面ABCD ． ………………8分（Ⅲ）解法一：在平面PAD 内过D 作直线Dz AD ⊥．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以Dz ⊥平面ABCD ．由,,Dz DA DC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -． …………9分设4AB =，则(0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(2,0,2),(1,0,1)D A B C P E ．所以 )1,0,3(-=EA ，)0,4,4(-=AC ．设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.EA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n 所以 ⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x取1=x ，得(1,1,3)=n ． ………………11分易知平面ABCD 的法向量为(0,0,1)=v ． ………………12分所以 |||cos ,|||||11⋅==〈〉n v n v n v ． ………………13分由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角，所以二面角B AC E --的余弦值为11113-． ………………14分解法二：取AD 中点M ，BC 中点N ，连结PM ，MN ．因为ABCD 为正方形，所以CD MN //．由（Ⅱ）可得⊥MN 平面PAD ．因为PD PA =，所以⊥PM AD ．由,,MP MA MN 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz M -． ………………9分设4=AB ，则(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,0,2),(1,0,1)A B C D P E ---．所以 )1,0,3(-=，)0,4,4(-=．设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.EA AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u rn n 所以 ⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x 取1=x ，得=n )3,1,1(． ………………11分易知平面ABCD 的法向量为=v )1,0,0(． ………………12分所以|||cos ,|||||11⋅==〈〉n v n v n v ． ………………13分由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角，所以二面角B AC E --的余弦值为11113-． ………………14分 17．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：元件A 为正品的概率约为4032841005++=． ………………1分元件B 为正品的概率约为4029631004++=． ………………2分（Ⅱ）解：（ⅰ）随机变量X 的所有取值为90,45,30,15-． ………………3分433(90)545P X ==⨯=； 133(45)5420P X ==⨯=； 411(30)545P X ==⨯=； 111(15)5420P X =-=⨯=． ………………7分所以，随机变量X 的分布列为:………………8分 3311904530(15)66520520EX =⨯+⨯+⨯+-⨯=． ………………9分（ⅱ）设生产的5件元件B 中正品有n 件，则次品有5n -件. 依题意，得 5010(5)140n n --≥，解得 196n ≥．所以 4n =，或5n =． ………………11分设“生产5件元件B 所获得的利润不少于140元”为事件A ，则 445531381()C ()()444128P A =⨯+=． ………………13分 18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：① 当0b =时，1()f x x=．故()f x 的单调减区间为(,0)-∞，(0,)+∞；无单调增区间． ………………1分② 当0b >时，222()()b x f x x b -'=+． ………………3分令()0f x '=，得1x =，2x =()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调减区间为(,-∞，)+∞；单调增区间为(． ………………5分③ 当0b <时，()f x 的定义域为{|D x x =∈≠R ．因为222()0()b x f x x b -'=<+在D 上恒成立，故()f x 的单调减区间为(,-∞，(，)+∞；无单调增区间．………………7分（Ⅱ）解：因为0b >，13[,]44x ∈，所以 ()1f x ≥ 等价于 2b x x ≤-+，其中13[,]44x ∈． ………………9分设2()g x x x =-+，()g x 在区间13[,]44上的最大值为11()24g =．………………11分则“13[,]44x ∃∈，使得 2b x x ≤-+”等价于14b ≤．所以，b 的取值范围是1(0,]4． ………………13分 19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，设直线AB 的方程为2x my =+． ………………1分将其代入24y x =，消去x ，整理得 2480y my --=． ………………4分从而128y y =-． ………………5分（Ⅱ）证明：设33(,)M x y ，44(,)N x y ．则221234341121222234123123444444y y y y y y k x x y y k x x y y y y y y y y ----+=⨯=⨯=---+-． ..................7分设直线AM 的方程为1x ny =+，将其代入24y x =，消去x ，分整理得 2440y ny --=． (9)10分所以 134y y =-． ………………同理可得 244y y =-． ………………11分故112121223412444k y y y y y yk y y y y ++===--+-+． ………………13分由（Ⅰ）得122k k =，为定值． ………………14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求．………………3分（Ⅱ）解：不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． ………………4分证明如下：假设存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =．因为(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}j c A ∈- (19,19)i j ≤≤≤≤，所以1()r A ，2()r A ，L ，9()r A ，1()c A ，2()c A ，L ，9()c A 这18个数中有9个1，9个1-．令129129()()()()()()M r A r A r A c A c A c A =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅L L ．一方面，由于这18个数中有9个1，9个1-，从而9(1)1M =-=-． ①另一方面，129()()()r A r A r A ⋅⋅⋅L 表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m ）；129()()()c A c A c A ⋅⋅⋅L 也表示m ，从而21M m ==． ②①、②相矛盾，从而不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． ………………8分（Ⅲ）解：记这2n 个实数之积为p ．一方面，从“行”的角度看，有12()()()n p r A r A r A =⋅⋅⋅L ；另一方面，从“列”的角度看，有12()()()n p c A c A c A =⋅⋅⋅L ．从而有1212()()()()()()n n r A r A r A c A c A c A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅L L ． ③ ………………10分注意到(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}j c A ∈- (1,1)i n j n ≤≤≤≤．下面考虑1()r A ，2()r A ，L ，()n r A ，1()c A ，2()c A ，L ，()n c A 中1-的个数：由③知，上述2n 个实数中，1-的个数一定为偶数，该偶数记为2(0)k k n ≤≤；则1的个数为22n k -，所以()(1)21(22)2(2)l A k n k n k =-⨯+⨯-=-． ………………12分对数表0A ：1ij a =(,1,2,3,,)i j n =L ，显然0()2l A n =．将数表0A 中的11a 由1变为1-，得到数表1A ，显然1()24l A n =-．将数表1A 中的22a 由1变为1-，得到数表2A ，显然2()28l A n =-．依此类推，将数表1k A -中的kk a 由1变为1-，得到数表k A ．即数表k A 满足：11221(1)kk a a a k n ====-≤≤L ，其余1ij a =．所以 12()()()1k r A r A r A ====-L ，12()()()1k c A c A c A ====-L ．所以()2[(1)()]24k l A k n k n k =-⨯+-=-．由k 的任意性知，()l A 的取值集合为{2(2)|0,1,2,,}n k k n -=L ．……………13分 2020-2-8。

2013年北京高三(二模)数学(理)分类汇编系列三解析版12程序框图

【解析分类汇编系列三：北京2013（二模）数学理】12：程序框图一、选择题1 ．（2013北京西城高三二模数学理科）如图所示的程序框图表示求算式“235917⨯⨯⨯⨯”之值,则判断框内可以填入（） A ．10k ≤ B ．16k ≤ C ．22k ≤ D ．34k ≤【答案】C第一次循环，满足条件，2,3S k ==;第二次循环，满足条件，23,5S k =⨯=;第三次循环，满足条件，235,9S k =⨯⨯=;第四次循环，满足条件，2359,17S k =⨯⨯⨯=;第五次循环，满足条件，235917,33S k =⨯⨯⨯⨯=，此时不满足条件输出。

所以条件应满足1733k <<，即当22k ≤，满足，所以选C.2 ．（2013北京朝阳二模数学理科试题）执行如图所示的程序框图.若输出的结果是16,则判断框内的条件是（）A ．6n >?B ．7n ≥?C ．8n >?D ．9n >?【答案】C第一次循环，1,3S n ==，不满足条件，循环。

第二次循环，134,5S n =+==，不满足条件，循环。

第三次循环，459,7S n =+==，不满足条件，循环。

第四次循环，9716,9S n =+==，满足条件，输出。

所以判断框内的条件是8n >，选C.3．（2013北京顺义二模数学理科）执行如图所示的程序框图,输出的s 值为（）A ．10-B ．3-C ．4D ．5【答案】A第一次运行，满足条件循环211,2s k =-==。

第二次运行，满足条件循环2120,3s k =⨯-==。

第三次运行，满足条件循环2033,4s k =⨯-=-=。

第四次运行，满足条件循环2(3)410,5s k =⨯--=-=。

此时不满足条件，输出10s =-，选A.4．（2013北京东城高三二模数学理科）阅读程序框图,运行相应的程序,当输入x 的值为25-时,输出x 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D若输入x 的值为25-时，则14x =-=，循环11x ==，此时不满足条件，输出3114x =⨯+=，选D.二、填空题5．（2013北京昌平二模数学理科）执行如图所示的程序框图,若①是6i <时,输出的S 值为_________;若①是2013i <时,输出的S 值为_________.【答案】5；2013若①是6i <时。

2013年北京高三(二模)数学(理)分类汇编系列三解析版9圆锥曲线

【解析分类汇编系列三：北京2013（二模）数学理】9：圆锥曲线一、选择题1 ．（2013北京东城高三二模数学理科）过抛物线24yx =焦点的直线交抛物线于A ,B 两点,若10AB =,则AB 的中点到y 轴的距离等于（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D抛物线24y x =的焦点（1，0），准线为l ：1x =-，设AB 的中点为 E ，过 A 、E 、B 分别作准线的垂线，垂足分别为 C 、F 、D ，EF 交纵轴于点H ，如图所示：则由EF 为直角梯形的中位线知522AC BD ABEF +===，所以1514EH EF =-=-=,即则B 的中点到y轴的距离等于4．选D.2．（2013北京朝阳二模数学理科试题）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线22y x =+有公共点,则此双曲线的离心率的取值范围是（）A ．[3,)+∞B ．(3,)+∞C ．(1,3]D ．(1,3)【答案】A双曲线的渐近线为b y x a =±，不妨取b y x a =，代入抛物线得22bx x a=+，即220b x x a -+=，要使渐近线与抛物线22y x =+有公共点，则2()80ba∆=-≥，即228b a ≥，又22228b c a a =-≥，所以229c a ≥，所以29,3e e ≥≥。

所以此双曲线的离心率的取值范围是[3,)+∞，选A.3 ．（2013北京海淀二模数学理科）双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ,且2F 恰为抛物线24y x =的焦点,设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ,若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形,则双曲线C 的离心率为（）AB ．1C ．1D ．2+【答案】B抛物线的焦点为(1,0)，即2(1,0)F ,所以双曲线中1c =。

双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，（不妨设在第一象限）若12AF F ∆是以1AF 为底边的等腰三角形，则抛物线的准线过双曲线的左焦点。

北京市西城区2013届高考一模数学理试题(WORD解析版)

北京市西城区2013届高三下学期(4月)一模数学(理)试卷2013.4第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合{|02}A x x =<<，2{|10}B x x =->，那么U A B = ð （A ）{|01}x x << （B ）{|01}x x <≤（C ）{|12}x x <<（D ）{|12}x x ≤<【答案】B【解析】2{|10}={11}B x x x x x =->><-或，所以{|11U B x x =-≤≤ð，所以{01}U A B x x =<≤ ð，选B.2．若复数i2ia +的实部与虚部相等，则实数a = （A ）1- （B ）1（C ）2-（D ）2【答案】A 【解析】i ()112i 2222a a i i ai a i ++-===---，因为i 2i a +的实部与虚部相等，所以122a=-，即1a =-，选A.3．执行如图所示的程序框图．若输出3y =-，则输入角=θ （A ）π6 （B ）π6-（C ）π3（D ）π3-【答案】D【解析】由题意知sin ,4tan ,42y πθθππθθ⎧<⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪⎩。

因为31y =-<-，所以只有tan 3θ=-，因为42ππθ≤≤，所以3πθ=-，选D.4．从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A ，B ，C ，D 四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事A 工作，则不同的工作分配方案共有（A ）60种（B ）72种（C ）84种（D ）96种【答案】B【解析】若选甲不选乙，则有133318C A =种。

若选乙不选甲，则有133318C A =种。

若选甲，乙都选，则有21332336C C A =种，所以共有72种，选B.5．某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（A ）63+ （B ）123+ （C ）1223+ （D ）2423+ 【答案】C【解析】由三视图可知，正三棱柱的高为2，底面边长为2，所以底面积为213222322⨯⨯⨯=，侧面积为32212⨯⨯=，所以正三棱柱的表面积是1223+，选C.6．等比数列{}n a 中，10a >，则“13a a <”是“36a a <”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由13a a <得211a a q <，且30a >，解得21q >，即1q >或1q <-。

2013年北京高三(二模)数学(理)分类汇编系列三解析版11概率与统计

【解析分类汇编系列三：北京2013（二模）数学理】11：概率与统计一、选择题1 ．（2013北京东城高三二模数学理科）如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图,其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100] ,则图中x 的值等于（）A ．0.754B ．0.048C ．0.018D ．0.012【答案】C 成绩在[)8090，的矩形的面积为10.0061030.01100.0541010.720.18-⨯⨯-⨯-⨯=-=，所以100.18x =，解得0.018x =，选C.2 ．（2013北京丰台二模数学理科）已知变量,x y 具有线性相关关系,测得(,)x y 的一组数据如下:(0,1),(1,2),(2,4),(3,5),其回归方程为ˆ 1.4yx a =+,则a 的值是_______. 【答案】0.9样本数据的平均数1(123) 1.54x =++=，1(1245)34y =+++=，即回归直线过点(1.5,3)，代入回归直线得3 1.4 1.5a =⨯+，解得0.9a =。

3（2013北京西城区二模数学理科试题右图是甲，乙两组各6据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为x 甲和x 乙，则 x 甲______x 乙．（填入：“>”，“=”，或“<”）【答案】>由茎叶图，甲班平均身高为1160(57101279)16031636++++--=+=，乙班平均身高为1160(12341210)16021626+++++-=+=，所以x 甲>x 乙。

4．（2013北京丰台二模数学理科）在平面区域01,01x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩内任取一点(,)P x y ,若(,)x y 满足2x y b +≤的概率大于14,则b 的取值范围是（）A ．(,2)-∞B ．(0,2)C ．(1,3)D ．(1,)+∞【答案】D其构成的区域D 如图所示的边长为1的正方形，面积为S 1=1，满足2x y b +≤所表示的平面区域是以原点为直角坐标顶点，以b 为直角边长的直角三角形，其面积为221224b b S b =⨯⨯=，所以在区域D 内随机取一个点，则此点满足2x y b +≤的概率22414b bP ==,由题意令2144b >，解得1b >,选D ．5 ．（2013北京海淀二模数学理科）如图,在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω. 向正方形内随机撒豆子,若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ,则图形Ω面积的估计值为（）A ．ma nB ．na mC ．2ma n D ．2na m【答案】C设图形Ω面积的为S ,则由实验结果得2S m a n=，解2maS n =,所以选C.6．（2013北京昌平二模数学理科）在区间[]0,π上随机取一个数x,则事件“1tan cos 2x x ≥g ”发生的概率为（）A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】C 由1tan cos 2x x ≥g 得1sin 2x ≥，解得566x ππ≤≤，所以事件“1tan cos 2x x ≥g ”发生的概率为52663πππ-=，选C. 二、填空题7 ．（2013北京朝阳二模数学理科试题）将一个质点随机投放在关于,x y 的不等式组3419,1,1x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所构成的三角形区域内,则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是_______.【答案】112π-画出关于,x y 的不等式组3419,1,1x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所构成的三角形区域，如图．。

2013年北京西城高考二模数学(文)

2013年北京西城高考二模数学（文）一、选择题（共8小题；共40分）1. 复数 ______A. B. C. D.2. 已知向量，．若与共线，则实数 ______A. B. C. D.3. 给定函数：①；②；③；④，其中奇函数是______A. ①B. ②C. ③D. ④4. 若双曲线的离心率是，则实数 ______A. B. C. D.5. 如图所示的程序框图表示求算式“ ”之值，则判断框内可以填入______A. B. C. D.6. 对于直线，和平面，，使成立的一个充分条件是______A. ，B. ，C. ，，D. ，，7. 已知函数．若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是______A. B. C. D.8. 已知集合的非空子集具有性质：当时，必有，则具有性质的集合的个数是______A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共30分）9. 已知直线，．若，则实数 ______．10. 如图是甲，乙两组各名同学身高（单位：）数据的茎叶图．记甲，乙两组数据的平均数依次为甲和乙，则甲______乙．（填入：" "，" "，或" "）11. 在中，，，，则 ______，的面积是______．12. 设，随机取自集合，则直线与圆有公共点的概率是______．13. 已知命题函数在上单调递增；命题不等式的解集是．若且为真命题，则实数的取值范围是______．14. 在直角坐标系中，已知两定点，．动点满足则点构成的区域的面积是______；点构成的区域的面积是______．三、解答题（共6小题；共78分）15. 已知等比数列的各项均为正数，，．（1）求数列的通项公式；（2）设．证明：为等差数列，并求的前项和．16. 如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且．将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点．记，．（1）若，求；（2）分别过，作轴的垂线，垂足依次为，．记的面积为，的面积为．若，求角的值．17. 如图，在四棱锥中，底面，面为正方形，为侧棱上一点，为上一点．该四棱锥的正（主）视图和侧（左）视图如图所示．（1）求四面体的体积；（2）证明：平面；（3）证明：平面平面．18. 已知函数，其中．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）求在区间上的最大值和最小值．19. 如图，椭圆（）的左顶点为，是椭圆上异于点的任意一点，点与点关于点对称．（1）若点的坐标为，求的值；（2）若椭圆上存在点，使得，求的取值范围．20. 已知集合是正整数的一个排列（），函数对于，定义：，，称为的满意指数．排列为排列的生成列．（1）当时，写出排列的生成列；（2）证明：若和为中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（3）对于中的排列，进行如下操作：将排列从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列．证明：新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加．答案第一部分1. A2. A3. D4. B5. C6. C7. B8. B第二部分9.10.11. ；12.13.14. ；第三部分15. （1）设等比数列的公比为，依题意．因为，，两式相除得，解得，舍去．所以．所以数列的通项公式为．（2）由（1）得．因为，所以数列是首项为，公差为的等差数列．所以．16. （1）由三角函数定义，得，．因为，，所以．所以．（2）依题意得，．所以，．依题意得，整理得．因为，所以，所以，即．17. （1）由左视图可得为的中点，所以的面积为．因为平面，所以四面体的体积为．（2）取中点，连接，．为的中点，所以，．又因为，，所以，．所以四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面，所以直线平面．（3）因为平面，所以．因为面为正方形，所以．所以平面．因为平面，所以．因为，为中点，所以．所以平面因为，所以平面．因为平面，所以平面平面．18. （1）的定义域为，且．当时，，，所以曲线在点处的切线方程为，即．（2）方程的判别式为．（1）当时，，所以在区间上单调递增，所以在区间上的最小值是；最大值是．（2）当时，令，得或．和的情况如下：故的单调增区间为；单调减间为．①当时，，此时在区间上单调递增，所以在区间上的最小值是；最大值是．②当时，，此时在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在区间上的最小值是．因为，所以，当时，在区间上的最大值是；当时，在区间上的最大值是．③当时，，此时在区间上单调递减，所以在区间上的最小值是；最大值是．综上，当时，在区间上的最小值是，最大值是；当时，在区间上的最小值是，最大值是；当时，在区间上的最小值是，最大值是；当时，在区间上的最小值是，最大值是．19. （1）依题意，是线段的中点，因为，，所以点的坐标为．由点在椭圆上，所以，解得．（2）设，则，显然不是右顶点，故因为是线段的中点，所以．因为，所以由消去，整理得，，所以当且仅当时，上式等号成立．所以的取值范围是．20. （1）当时，排列的生成列为．（2）设的生成列是；的生成列是．从右往左数，设排列与第一个不同的项为与，即：，，，，．显然，，，，下面证明：．由满意指数的定义知，的满意指数为排列中前项中比小的项的个数减去比大的项的个数．由于排列的前项各不相同，设这项中有项比小，则有项比大，从而．同理，设排列中有项比小，则有项比大，从而．因为与是个不同数的两个不同排列，且，所以，从而．所以排列和的生成列也不同．（3）设排列的生成列为，且为中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以．依题意进行操作，排列变为排列，设该排列的生成列为，所以所以，新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加．。

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2013北京西城区高三二模数学理科一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项 1. 设集合{1,2,3,4,5}U =，{1,2,3}A =，{3,4,5}B =，则C U ()A B 等于A ．{1,2,3,4,5}B ．{1,2,4,5} √C ．{1,2,5}D ．{3}2. “ln 1x >”是“1x >”的A ．充分不必要条件 √B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3. 若0b a <<，则下列不等式中正确的是A ．11ab>B ．a b >C ．2b a ab+> √ D ．a b ab +>4. 如图，三棱柱111ABC A B C -的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱1AA ⊥底面ABC ，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为AB． √ C． D ．45. 数列{}n a 满足11a =，23a =，1(2)n n a n a λ+=-（1,2,n = ），则3a 等于A ．15 √B ．10C ．9D ．56. 在数列{}n a 中，11a =，1n n a a n -=+，2n ≥．为计算这个数列前10项的和，现给出该问题算法的程序框图（如图所示），则图中判断框（1）处合适的语句是A ．8i ≥B ．9i ≥C ．10i ≥ √D ．11i ≥正（主）视图ABCA 1B 1C 17. 设集合{129}S = ，，，，集合123{,,}A a a a =是S 的子集，且123,,a a a 满足123a a a <<，326a a -≤，那么满足条件的子集A 的个数为A ． 78B ．76C ．84D ．83 √8. 如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，且2AB AD =. 设DAB θ∠=，(0,)2πθ∈，以A ，B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以C ，D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ，则A ．随着角度θ的增大，1e 增大，12e e 为定值B ．随着角度θ的增大，1e 减小，12e e 为定值 √C ．随着角度θ的增大，1e 增大，12e e 也增大D ．随着角度θ的增大，1e 减小，12e e 也减小二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9. 某区高二年级的一次数学统考中，随机抽取200名同学的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：第一组，成绩大于等于50分且小于60分；第二组，成绩大于等于60分且小于70分；……第五组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.则这200名同学中成绩大于等于80分且小于90分的学生有______名.10. 在261()x x+的展开式中，常数项是______.（结果用数值表示）11. 如图，ABC ∆是圆的内接三角形，PA 切圆于点A ，PB 交圆于点D .若60ABC ∠=，1PD =，8BD =，则PAC∠=________,PA =________.12. 圆1,:2x C y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（θ为参数）的半径为______, 若圆C 与直线0x y m -+=相切，则m =______.13. 设,,a b c 为单位向量，,a b 的夹角为60，则()++⋅a b c c 的最大值为_____.B14. 已知函数()e ln xf x a x =+的定义域是D ，关于函数()f x 给出下列命题：①对于任意(0,)a ∈+∞，函数()f x 是D 上的减函数； ②对于任意(,0)a ∈-∞，函数()f x 存在最小值；③存在(0,)a ∈+∞，使得对于任意的x D ∈，都有()0f x >成立； ④存在(,0)a ∈-∞，使得函数()f x 有两个零点．其中正确命题的序号是_____．（写出所有正确命题的序号）②、④三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）如图，在四边形ABCD 中，3AB =，2AD BC CD ===，60A =. （Ⅰ）求sin ABD ∠的值；（Ⅱ）求BCD ∆的面积.16.（本小题满分13分）一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片.（Ⅰ）若从盒子中有放回的取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到的卡片上数字为偶数的概率；（Ⅱ）若从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当取到一张记有偶数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数X 的分布列和期望.17.（本小题满分13分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，1A D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱12AA =.（Ⅰ）求证：1//C D 平面11ABB A ；（Ⅱ）求直线1BD 与平面11A C D 所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角11D A C A --的余弦值.ADD 1A 1B 1C 1A BCD18.（本小题满分13分）已知0a ≥，函数2()f x x ax =+．设1(,)2ax ∈-∞-，记曲线()y f x =在点11(,())M x f x 处的切线为l ，l 与x 轴的交点是2(,0)N x ，O 为坐标原点．（Ⅰ）证明：21212x x x a=+；（Ⅱ）若对于任意的1(,)2ax ∈-∞-，都有916aOM ON ⋅> 成立，求a 的取值范围．19.（本小题满分14分）如图，椭圆22:14y C x +=短轴的左右两个端点分别为,A B ，直线:1l y kx =+与x 轴、y 轴分别交于两点,E F ，与椭圆交于两点,C D ，.（Ⅰ）若CE FD =，求直线l 的方程；（Ⅱ）设直线,AD CB 的斜率分别为12,k k ，若12:2:1k k =，求k 的值.20.（本小题满分14分）在数列{}n a 和{}n b 中，nn a a =，(1)n b a n b =++，1,2,3,n = ，其中2a ≥且a ∈*N ，b ∈R .（Ⅰ）若11a b =，22a b <，求数列{}n b 的前n 项和；（Ⅱ）证明：当2,a b =={}n b 中的任意三项都不能构成等比数列；（Ⅲ）设123{,,,}A a a a = ，123{,,,}B b b b = ，试问在区间[1,]a 上是否存在实数b 使得C A B =≠∅ .若存在，求出b 的一切可能的取值及相应的集合C ；若不存在，试说明理由.北京市西城区2010年抽样测试参考答案高三数学试卷（理科）2010.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B A C B A C D B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.4010.1511.60 ，312.，3或1-13.114. ②④注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分.14题②④选对一个命题得两分，选出错误的命题即得零分.三、解答题：（本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.）15、解：（Ⅰ）已知60A= ，由余弦定理得2222cos7BD AB AD AB AD A=+-⋅=，解得BD=…………………3分由正弦定理，sin sinAD BDABD A=∠，所以sin sinADABD ABD∠=. …………………5分27==. …………………7分（Ⅱ）在BCD∆中，2222cosBD BC CD BC CD C=+-⋅，所以744222cos C=+-⨯⨯，1cos8C=，…………………9分因为(0,)C∈π，所以sin8C=，…………………11分所以，BCD∆的面积1sin24S BC CD C=⋅⋅=. …………………13分16、解：（Ⅰ）设A表示事件“有放回地抽取3次卡片，每次抽取一张，恰有两次取到的卡片上数字为偶数”，由已知，每次取到的卡片上数字为偶数的概率为25，…………………2分A BCD则2232336()()55125P A C =⨯=. …………………5分（Ⅱ）依题意，X 的可能取值为1,2,3,4. …………………6分2(1)5P X ==， …………………7分323(2)5410P X ⨯===⨯， …………………9分3221(3)5435P X ⨯⨯===⨯⨯， …………………10分3211(4)54310P X ⨯⨯===⨯⨯， …………………11分所以X 的分布列为X 1 2 3 4P25 310 15 110…………………12分2311()12342510510E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. …………………13分 17、（Ⅰ）证明：四棱柱1111ABCD A B C D -中，11//BB CC ，又1CC ⊄面11ABB A ，所以1//CC 平面11ABB A ， …………………2分ABCD 是正方形，所以//CD AB ，又CD ⊄面11ABB A ，所以//CD 平面11ABB A ， …………………3分所以平面11//CDD C 平面11ABB A ，所以1//C D 平面11ABB A . …………………4分（Ⅱ）解：ABCD 是正方形，AD CD ⊥，因为1A D ⊥平面ABCD ，所以1A D AD ⊥，1A D CD ⊥，如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -，. …………………5分在1ADA ∆中，由已知可得1A D =所以11(0,0,0),(0,(1,0,0),(1,1,D A A C -，11(1,(1,1,0)B D B -，1(2,BD =--， ………6分因为1A D ⊥平面ABCD ，所以1A D ⊥平面1111A B C D ，111A D B D ⊥，又1111B D A C ⊥，1所以11B D ⊥平面11A C D ，…………………7分所以平面11A C D 的一个法向量为(1,1,0)=n ， …………………8分设1BD与n 所成的角为β，则113cos 4BD BD β⋅===- n n ， …………………9分所以直线1BD 与平面11A C D 所成角的正弦值为34. …………………10分（Ⅲ）解：设平面11A C A 的法向量为(,,)a b c m =，则1110,0A C A A ⋅=⋅=m m ,所以0a b -+=，0a -=，令c =m =， …………………12分设二面角11D A C A --的大小为α，则cos 7α⋅===m n m n.所以二面角11D A C A --7. …………………13分18、解：（Ⅰ）对()f x 求导数，得()2f x x a '=+，故切线l 的斜率为12x a +， …………………2分由此得切线l 的方程为21111()(2)()y x ax x a x x -+=+-． …………………4分令0y =，得22111211122x ax x x x x ax a+=-+=++. …………………5分（Ⅱ）由2211111(,),(,0)2x M x x ax N x a++，得3112x OM ON x a⋅=+. …………6分所以0a =符合题意， ………………7分当0a >时，记3111()2x g x x a=+，1(,)2ax ∈-∞-．对1()g x 求导数，得211121(43)()(2)x x a g x x a +'=+, …………………8分令1()0g x '=，得13(,)42aax =-∈-∞-. 当1(,)ax ∈-∞-时，1()g x '的变化情况如下表：所以，函数1()g x 在(,)4-∞-上单调递减，在(,)42--上单调递增，……10分从而函数1()g x 的最小值为2327()432a g a -=. …………………11分依题意22793216aa >， …………………12分解得23a >，即a 的取值范围是2(,)3+∞. …………………13分综上，a 的取值范围是2(,)3+∞或0a =.19、解：（Ⅰ）设1122(,),(,)C x y D x y ，由2244,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩得22(4)230k x kx ++-=， 222412(4)1648k k k ∆=++=+，12224kx x k -+=+，12234x x k -=+， …………………2分由已知1(,0),(0,1)E F k-，又CE FD = ，所以11221(,)(,1)x y x y k---=- …………………4分所以121x x k --=，即211x x k +=-， …………………5分所以2214k k k-=-+，解得2k =±， …………………6分符合题意，所以，所求直线l 的方程为210x y -+=或210x y +-=. …………………7分（Ⅱ）2121y k x =+，1211y k x =-，12:2:1k k =，所以2112(1)2(1)1y x y x -=+， …………………8分平方得22212212(1)4(1)y x y x -=+， …………………9分又221114y x +=，所以22114(1)y x =-，同理22224(1)y x =-，代入上式，计算得2112(1)(1)4(1)(1)x x x x --=++，即121235()30x x x x +++=，…………………12分所以231030k k -+=，解得3k =或13k =， …………………13分因为2112(1)2(1)1y x y x -=+，12,(1,1)x x ∈-，所以12,y y 异号，故舍去13k =，所以3k =. …………………14分20、解：（Ⅰ）因为11a b =，所以1a a b =++，1b =-， …………………1分由22a b <，得2210a a --<，所以11a <<+， …………………3分因为2a ≥且a ∈*N ，所以2a =， …………………4分所以 31n b n =-，{}n b 是等差数列，所以数列{}n b 的前n 项和2131()222n n n S b b n n =+=+. …………………5分（Ⅱ）由已知3n b n =+3m +3n，3t +成等比数列，其中,,m n t ∈*N ，且彼此不等，则2(3(3n m t +=++， …………………6分所以29292n mt ++=+++，所以233(2n mt m t n -=+-，若20m t n +-=，则2330n mt -=，可得m t =，与m t ≠矛盾； ………7分若20m t n +-≠，则2m t n +-为非零整数，(2m t n +- 所以233n mt -为无理数，与233n mt -是整数矛盾. …………………9分所以数列{}n b 中的任意三项都不能构成等比数列. （Ⅲ）设存在实数[1,]b a ∈，使C A B =≠∅ ，设0m C ∈，则0m A ∈，且0m B ∈，设0()tm a t =∈*N ，0(1)()m a s b s =++∈*N ，则(1)ta a sb =++，所以1t a b s a -=+，因为,,a t s ∈*N ，且2a ≥，所以ta b -能被1a +整除. …………………10分（1）当1t =时，因为[1,]b a ∈， [0,1]a b a -∈-，所以1a b s a -=∉+*N ； …………………11分（2）当2()t n n =∈*N 时，22212[(1)1](1)(1)1n n n n a b a b a C a b -=+--=++-++- ，由于[1,]b a ∈，所以1[0,1]b a -∈-，011b a ≤-<+，所以，当且仅当1b =时，ta b -能被1a +整除. …………………12分（3）当21()t n n =+∈*N 时，212121121[(1)1](1)(1)1n n n n a b a b a C a b ++++-=+--=++++-- ，由于[1,]b a ∈，所以1[2,1]b a +∈+，所以，当且仅当11b a +=+，即b a =时，ta b -能被1a +整除. ……13分综上，在区间[1,]a 上存在实数b ，使C A B =≠∅ 成立，且当1b =时，2{,}n C y y a n ==∈*N ；当b a =时，21{,}n C y y a n +==∈*N . …………14分。