江苏省海安高级中学高一第二学期期中试卷及答案201204
江苏省海安高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
江苏省海安高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知向量a ⃑=(2,3)，b ⃑⃑=(x,−6)，若a ⃑//b ⃑ ，则实数x =（ ） A ．9 B ．4C ．−9D ．−42．计算2(1−i )2的结果是（ ）A ．2iB ．−2iC ．iD ．−i3．已知sin(α+π4)=45，α∈(π4,π2)，则cosα=（ ） A ．√210B ．3√210C ．√22D ．7√2104．已知轮船A 和轮船B 同时离开C 岛，A 船沿北偏东30°的方向航行，B 船沿着正北方向航行．若A 船的航行速度为40nmile/h ，1h 后，B 船测得A 船位于B 船的北偏东45°的方向上，则此时A ，B 两船的距离是（ ） A ．20√2nmileB ．20√3nmileC ．20√5nmileD ．20√6nmile5．在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =√3，AA 1=1，则AD 1与A 1C 1所成角的余弦值为（ ） A ．14B ．√24C ．√34D ．√646．在锐角△ABC 中，C =π6，AC =4，则BC 的取值范围是（ ） A ．(0,8√33) B ．(2√3,8√33) C ．(2√3,+∞)D ．(4,8√33) 7．在平行四边形ABCD 中，AB =3,AD =4,AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =−6,DC ⃑⃑⃑⃑⃑ =3DM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，则MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =（ ） A ．16B ．14C ．12D ．108．已知0<α<π2,0<β<π2，且sin(2α+β)=4sinβ，10tan α2=√3(1−tan 2α2)，则α+β的值为（ ） A ．π6B ．5π6C ．2π3D ．π3二、多选题9．下列关于向量的说法正确的是（ ） A ．若a ∥b ⃑ ，b ⃑ ∥c ，则a ∥cB ．若单位向量a ,b ⃑ 夹角为θ，则向量a 在向量b ⃑ 上的投影向量为cosθb ⃑C ．若a 与b ⃑ 不共线，且sa +tb ⃑ =0⃑ ，那么s =t =0 D ．若a →⋅c →=b →⋅c →且c ≠0⃑ ，则a =b⃑ 10．对于△ABC 有如下命题，其中正确的是（ ）A ．若sin 2A +sin 2B +cos 2C <1，则△ABC 为钝角三角形B ．若B =π3，a =2√3，且△ABC 有两解，则b 的取值范围是(√3,2√3)C ．在锐角△ABC 中，不等式sinA >cosB 恒成立D ．在△ABC 中，若B =60°，b 2=ac ，则△ABC 必是等边三角形11．如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =4，BC =BB 1=2，E,F 分别为棱AB,A 1D 1的中点，则下列说法中正确的有（ ）A ．直线CF 与A 1B 为相交直线 B ．异面直线DB 1与CE 所成角为90°C ．若P 是棱C 1D 1上一点，且D 1P =1，则E 、C 、P 、F 四点共面 D ．平面CEF 截该长方体所得的截面可能为六边形三、填空题12．已知圆台下底面的半径为4cm ，高为4cm ，母线长为2√5cm ，则圆台的体积为 cm 3． 13．计算：tan12°−√3(4cos 212°−2)sin12°= .14．设a ,b ⃑ ,c 都是单位向量，且a ⋅b ⃑ =0，则(c −a )⋅(c −b⃑ )的最小值为 ．四、解答题15．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知a (sinB +cosB )=c ． (1)求A ；(2)若c =√2，a =√5，求△ABC 的面积．16．如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，若P 为棱BB 1的中点，(1)判断平面D 1PC 与平面ABCD 是否相交．如果相交，在图1作出这两个平面的交线，并说明理由；(2)如图2，求证：DB 1//平面PAC ．17．已知向量a ⃑=(√3sinx,cosx)，b ⃑⃑=(cosx,cosx )，函数f(x)=2a ⃑⋅b ⃑⃑−1． （1）求函数f(x)的最小正周期及最小值； （2）若f (x2)=14，求sin (2x −π6)的值．18．已知△OAB 的两个顶点分别为原点O 和A (4,3)，且∠AOB =90°，OB =OA ． (1)求点B 的坐标；(2)若点B 落在第二象限，OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,2)，点P 是直线OM 上的一个动点，当PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑ 取最小值时，求OP⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标，并求cos∠APB 的值． 19．在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直（满足∠BAD =90°），灯杆BC 与灯柱AB 所在平面与道路垂直，且∠ABC =120°，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知∠ACD =60°，路宽AD =12m ．设灯柱高AB =ℎ(m )，∠ACB =θ(30°≤θ≤45°)．(1)当θ=30°时，求四边形ABCD 的面积；(2)求灯柱的高ℎ（用θ表示）；(3)若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同，记此用料长度和为S，求S关于θ的函数表达式，并求出S的最小值．。
海安高级中学高一下学期期中考试生物试卷
海安高级中学2011-2012学年度第二学期期中考试高一生物试卷第Ⅰ卷一、选择题：每小题只有一个选项最符合题意(本题包括35小题，每小题2分，共70分)1．如右图所示的细胞名称是A．精细胞B．卵细胞C．初级精母细胞D．次级精母细胞2．动物卵巢中有10个卵原细胞,经过两次连续的细胞分裂,可以形成的卵细胞和极体是A．10个卵细胞和10个极体B．10个卵细胞和40个极体C．40个卵细胞D．10个卵细胞和30个极体3．人体细胞中含有同源染色体的是A．精细胞B．卵细胞C．口腔上皮细胞D．极体4．下图为高等动物进行有性生殖的3个生理过程示意图,则图中的①②③分别为A．有丝分裂、减数分裂、受精作用B．受精作用、减数分裂、有丝分裂C．有丝分裂、受精作用、减数分裂D．减数分裂、受精作用、有丝分裂5．下列四组杂交实验中,能判断显性和隐性关系的是①红花⨯白花→红花②非甜玉米⨯非甜玉米301→非甜玉米+101甜玉米③盘状南瓜⨯球状南瓜→盘状南瓜、球状南瓜④牛的黑毛⨯白毛98→黑毛+102白毛A．①和②B．②和③C．②和④D．①和④6.具有100个碱基对的一个DNA分子片段，含有40个胸腺嘧啶，若连续复制3次，则需游离的胞嘧啶脱氧核苷酸数是A.180个B.240个C.420个D.480个7．下列各组性状中,属于相对性状的是A．兔的长毛和短毛B．玉米的黄粒与圆粒C．鸡的长腿和毛腿D．马的白毛和羊的黑毛8．人类多指是由显性基因(A)控制的一种常见畸形,对此不正确的叙述是A．亲代之一的基因型为AA,其子女均患多指B．亲代之一含有A基因,其子女有可能出现多指C．双亲均为Aa,其子女均患多指D．双亲均为Aa,其子女患多指的概率是3/49．如图是一个白化病(由基因a控制)家族的遗传系谱图,Ⅰ1、Ⅰ3的基因型和Ⅲ1为白化病患者的概率分别是A．AA、Aa和1/16 B．Aa、Aa和1/9 C．Aa、AA和1/4 D．Aa、Aa和1/6410．小麦抗锈病对易染病为显性。
江苏省海安高级中学11-12学年度高一下期中考试英语试题
江苏省海安高级中学2011-2012学年度第二学期期中考试高一英语试卷命题、校对徐国进第I卷(选择题三部分共85分)第一部分听力(共两节，满分20分)第一节(共5小题；每小题1分，满分5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项，并标在试卷的相应位置。
听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. How did the man feel about the field trip?A. Interested.B. Surprised.C. Satisfied.2. What colour of suit did the man wear yesterday?A. Brown.B. Green.C. Grey.3. What will the speakers buy next?A. A jacket.B. A watch.C. A handbag.4. How many pets does the woman have in all?A. Two.B. Three.C. Five.5. What are the speakers mainly talking about?A. Losing weight.B. Playing games.C. Keeping healthy.第二节(共15小题；每小题1分，满分15分)听下面5段对话或独白。
每段对话或独白后有几个小题, 从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项, 并标在试卷的相应位置。
听每段对话或独白前, 你将有5秒钟的时间阅读各个小题；听完后, 各小题将给出5秒钟的作答时间。
每段对话或独白读两遍。
请听第6段材料，回答第6至7题。
6. Why is the woman unwilling to live in India?A. She doesn' t want to be far away from home.B. She thinks India is not beautiful.C. She worries about the language.7. What will the man miss if he moves to a foreign country?A. His family.B. His pet.C. His friends.请听第7段材料，回答第8至10题。
江苏省南通市海安高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试语文试题
江苏省南通市海安高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试语文试题一、现代文阅读阅读下面的文字，完成下面各小题。
材料一：《文选》由南朝梁武帝太子萧统组织当时文人集体编选，选录从周秦以迄齐梁130多位作家的作品，是我国现存最早的文学总集，影响深远。
王羲之《兰亭集序》书法和文采兼善，后世流传甚广，萧统却弃而不选，后世学者为此众说纷纭。
自班固《汉书》宣扬“汉承尧运”以来，正统论成为史学家们聚讼不已的大问题。
西周宗法社会所形成的以洛阳为中心的天下意识，是北方文化的重要内涵，并构成地域与政权合法性登合的现实意义。
南北对峙，南北孰为正统的争论从未中断，而彰显正统的重要方式，就是尊崇儒学——在思想文化上标榜己方为正统。
对于偏安江左的梁朝士人来说，他们不得不面临与消解传统北方文化中心与僻处江南之间的地理错位，要化解这种尴尬，就要争求思想文化之正统，《文选》及梁武帝时期多项学术文化工程的集中推进，即为此。
《文选》“序”类一共入选9篇序文，其中就有颜延之和王融同题的《三月三日曲水诗序》。
二者都为帝王组织下的文人集会所作，决定了文章是为歌功颂德、美颂盛世而作。
从集会地点来看，颜王二序所涉地点从字面上分别为“乐游苑”“芳林园”，实际都在南朝都城建康，但是作者无一例外地都只字不提“建康”“金陵”。
在创作心理上，作者均是将当时的都城建康比附为长安、洛阳，这正体现了一种“北方文化中心”意识，充满对皇权的美颂。
而王羲之《兰亭集序》所涉地点“会稽山阴之兰亭”，是非常具体的江南地名，没有任何政治蕴含和历史想象。
《兰亭集序》的内容，前半部分描绘士人欢聚场景，后半部分由欢乐现实转向对生命无常的思考，并说“一死生为虚诞，齐彭殇为妄作”，这正是士人对个体生命意义的思索和追寻。
因此，无论是从创作背景、序文内容还是地名所体现的价值指向来看，《兰亭集序》都不符合帝王期待的儒家诗教价值标准；而内容旨在美颂、形式典雅华美的颜、王二序，正契合了喜游宴赋诗、招揽文士和组织文学活动的梁武帝父子在政治、文化和心理等方面的多重需求。
江苏省海安高级中学2004-2005学年度第二学期期中考试
江苏省海安高级中学2004-2005学年度第二学期期中考试高一化学试卷(普通班)(满分150分，考试时间100分钟)可能用到的相对原子质量：H ：1 He ：4 C ：12 N ：14 O ：16 F ：19 Ne ：20 Na ：23Mg ：24 Al ：27 Si ：28 P ：31 S ：32 Cl ：35.5 Ar ：40 I ：127第Ⅰ卷（选择题，共72分）一、选择题(本题包括8小题，每小题4分，共32分，每小题只有一个选项符合题意)1．目前我国许多城市和地区定期公布空气质量报告，在空气质量报告中，一般不涉及（ ）A ．SO 2B 。
NO 2C ．CO 2D ．可吸入颗粒物2．以前媒体报道北京发生过一个大学生用浓硫酸伤害动物园黑熊的事件，这一违背社会公德的行为受到了人们的普遍谴责，从化学的角度看，浓硫酸伤害黑熊最主要表现了它的 （ ）A ．强酸性B ．吸水性C ．催化性D ．脱水性 3．几种单核微粒具有相同的核电荷数，则 （ ）A ．一定是同位素B ．一定是同种原子C ．一定是同种元素D ．一定质量数相等 4．下列说法正确的是 （ ）A ．凡是核外电子数目相同的原子，一定是同种原于。
B ．由35C1和37C1两种原子组成的单质是纯净物。
C ．Na +、Mg 2+、A13+的还原性依次减弱。
D ．最外层电子数为2的原子一定属于IIA 元素 5．A 、B 分别为第三、四两周期同一主族的不同元素的原子，它们原子核内的质子数等于中子数。
①若A 为ⅡA 族，其质量数为x ，则B 的质子数为y 。
②若A 为ⅣA 族，其质子数为m ，则B 的质量数为n ，则y 和n 的值是 （ ）A ．(2x +18)和(2m+18) B ．(2x +8)和(2m+18) C ．(2x +8)和(2m+36) D ．(2x +18)和(2m+36) 6．下列说法不正确的是 （ ）A ．离子化合物中各原子间不都以离子键结合B ．共价化合物中各原于间都以共价键结合C ．非极性分子中，一定含有非极性键D ．以极性键结合起来的分子不一定是极性分子7．阿系元素钍(Th)原子可蜕变为另一元素的原子，并释放出α粒子，2324902Th Z α−−→+，关于Z元素的下列推论正确的是（）A．Z的硫酸盐难溶于水B．Z是超铀元素，具有放射性C．Z单质不能与水反应D．Z的最高价氧化物对应的水化物呈酸性8．下列各组离子在无色溶液中能大量共存的是（）A．Na+、HS-、Cu2+、C1-B．HS-、Na+、OH-、K+C．K+、CO32-、Br-、OH-D．H+、C1-、Na+、SO32-二．选择题(本题包括10小题，每小题4分，共40分，每小题有1~2个选项符合题意) 9．利用化学变化的递变规律，常可对某些物质的化学性质作出合理的推测，请判断下列各项的推测合理的是（）A．己知红热的铜丝能在氯气中燃烧，推测红热的铁丝也能在氯气中燃烧。
江苏省海安高级中学高一数学下学期期中试题(含解析)
江苏省海安高级中学高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题（每题5分，共50分）1.若集合2{|52},{|90},A x x B x x A B =-<<=-<⋂=求（ ） A. {|32}x x -<<B. {|52}x x -<<C. {|33}x x -<<D.{|53}x x -<<【答案】A 【解析】 【分析】利用集合交集运算性质即可解得. 【详解】{|52},A x x =-<<2{|90}={|-33}B x x x x =-<<<所以{|32}A B x x ⋂=-<< 故选A【点睛】本题主要考查集合的运算性质,属于基础题.2.已知,m n R ∈，i 是虚数单位，若(1)(1)mi i n +-=，则m ni +的值为（ ） A. 1【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算性质,分别求出m,n,然后求解复数的模. 【详解】()()11mi i n +-=()11m m i n ∴++-=11m n m +=⎧∴⎨=⎩ 21n m =⎧∴⎨=⎩12m ni i +=+=故选D【点睛】本题考查复数运算性质和复数模的计算,属于基础题,解题时要准确计算.3.若向量(0,2)m =-，(3,1)n =，则与2m n +共线的向量可以是（ ）A. 1)-B. (-C. (1)-D.(1,-【答案】B 【解析】 【分析】先利用向量坐标运算求出向量2m n +,然后利用向量平行的条件判断即可. 【详解】()()0,2,3,1m n =-=()23,3m n ∴+=- (()333-=-故选B【点睛】本题考查向量的坐标运算和向量平行的判定,属于基础题,在解题中要注意横坐标与横坐标对应,纵坐标与纵坐标对应,切不可错位.4.将函数24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移12π单位后，所得图象对应的函数解析式为（ ）A. 5212y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ B. 5212y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. 212y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D. 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】先将函数2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭中x 换为x-12π后化简即可.【详解】2sin 2()124y x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭化解为2sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选D【点睛】本题考查三角函数平移问题,属于基础题目,解题中根据左加右减的法则,将x 按要求变换.5.设实数，y 满足的约束条件10200xy x y y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则z x y =+的取值范围是（ ）A. [1,1]-B. [1,2]-C. [1,3]-D. [0,4]【答案】C 【解析】 【分析】先画出可行域的几何图形,再根据z x y =+中z 的几何意义(直线在y 轴上的截距)求出z 的范围.【详解】如图:做出满足不等式组的10200x y x y y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的可行域,由图可知在A(1,2)处取得最大值3,在点B(-1,0)处取得最小值-1;故选C【点睛】本题主要考查线性规划问题中的截距型问题,属于基础题型,解题中关键是准确画出可行域,再结合z 的几何意义求出z 的范围.6.若函数22,0()(),0x x x f x a R x ax x ⎧+≥=∈⎨-<⎩为偶函数，则下列结论正确的是（ ） A. ()()()20f a f a f >> B. ()()()02f a f f a >> C. ()()()20f a f a f >> D. ()()()20f a f f a >>【答案】C 【解析】 【分析】函数()()22,0,0x x x f x a R x ax x ⎧+≥=∈⎨-<⎩为偶函数,则有f(-1)=f(1),可解得a=1,函数在区间(),0-∞ 单调递减,在区间()0,∞+单调递增,故自变量距离0越远函数值越大,即可求解.【详解】因为函数()()22,0,0x x x f x a R x ax x ⎧+≥=∈⎨-<⎩为偶函数所以f(-1)=f(1),解得a=1又因为函数在(),0-∞ 单调递减,在()0,∞+单调递增 所以()()()20f a f a f >> 故选C【点睛】本题考查了分段函数的奇偶性和单调性的应用,属于中等难度题目,解题中关键是利用偶函数的性质求解a 的值,其次是利用偶函数的单调性比较大小(先减后增,离原点越远函数值越大,先增后减,离原点越远越小).7.已知圆()2229x y -+=的圆心为C ，过点()2,0M -且与x 轴不重合的直线l 交圆A 、B 两点，点A 在点M 与点B 之间。
2022-2023学年江苏省南通市海安高级中学高一(下)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省南通市海安高级中学高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设x ∈R ，则“ln （x ﹣2）＜1”是“x ＞2”的（ ）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分又不必要2．已知集合A ＝{x ||x ﹣1|＜1}，B ＝{x |x ＜1或x ≥4}，则A ∪（∁R B ）＝（ ） A ．{x |1＜x ＜2} B ．{x |0＜x ＜4}C ．{x |1≤x ＜2}D ．{x |0＜x ≤4}3．已知复数z 满足1+√3iz=3+4i ，则|z|=（ ）A ．2√55B ．√105C ．√25D ．254．如图，梯形A 1B 1C 1D 1是一水平放置的平面图形ABCD 在斜二测画法下的直观图．若A 1D 1平行于y 1轴，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1=34C 1D 1=3，A 1D 1=1，则平面图形ABCD 的面积是（ ）A ．14B ．7C ．7√2D ．14√25．已知sin θ﹣5cos θ＝0，则cos 4θ−sin 4θsin 2θ−sin2θ=（ ）A ．−85B ．85C ．−83D ．836．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，E 为CD 中点，AE 与BD 交于点F ，若FE →=14AC →+mBD →，则m ＝（ ） A ．14B ．34C ．112D ．167．已知α∈(π4，π2)，a ＝（sin α）sin α，b ＝（sin α）tan α，c ＝（tan α）sin α，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b8．如图，河边有一座塔OP ，其高为20m ，河对面岸上有A ，B 两点与塔底在同一水平面上，由塔顶部测得A ，B 两点的俯角分别为45°和30°，而且A ，B 两点分别与塔底部O 连线成150°角，则A ，B 两点的距离为（ ）A ．20mB ．10√3mC ．20√7mD ．10√42m二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知复数z ＝3+4i ，则（ ） A ．z 的共轭复数是3﹣4i B ．z 2对应的点在第二象限C ．z =izD ．若复数z 0满足|z 0﹣z |＝1，则|z 0|的最大值是610．已知向量a →=(−2，2)，b →=(2，1)，c →=(λ，1)，下列结论正确的是（ ） A ．若(a →+2b →)⊥c →，则λ＝2 B ．若a →=tb →+c →，则λ+t ＝﹣3C ．若向量12a →+b →与向量2b →+c →的夹角为锐角，则λ的取值范围为λ＞﹣10且λ≠﹣5D ．|a →+μb →|的最小值为6√5511．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，若将f （x ）的图象向右平移m （m ＞0）个单位长度后得到函数g （x ）＝A sin （ωx ﹣2φ）的图象，则m 的值可以是（ ）A ．π4B ．π3C ．4π3D ．9π412．已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面为正方形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝2，平面α过点A 且与侧棱PB ，PC ，PD 的交点分别为E ，F ，G ，若直线PC ⊥平面α，则（ ） A ．直线BD ∥平面αB ．直线EG ⊥直线AFC ．直线P A 与平面α所成的角为45°D ．截面四边形AEFG 的面积为4√33三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在平面直角坐标系中，已知A （2，0），B （﹣1，0），C ，D 为y 轴上两个动点，且|CD |＝2，则AC →⋅BD →的最小值为 ．14．如图，在四面体ABCD 中，BD ＝2√2，AC ＝2，M ，N 分别为BC ，AD 的中点，MN ＝1，则异面直线AC 与BD 所成的角是 ．15．设f(x)=cosxcos(30°−x)，则f （28°）+f （29°）+f （30°）+f （31°）+f （32°）＝ ．16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝90°，则cb−b 2b 2+c 2的最大值为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）设向量a →=(2cosα，2sinα)，b →=(cosβ，sinβ)（α∈R ，β∈R ），且|a →−b →|=√7． （1）求向量a →与b →的夹角；（2）若|ta →−b →|=√3|a →+tb →|，求实数t 的值．18．（12分）已知函数f(x)=√3sin(ωx)cos(ωx)−cos 2(ωx)+12(ω＞0)且函数f （x ）相邻两个对称轴之间的距离为π2．（1）求f （x ）的解析式及最小正周期；（2）若方程f(x)=35在（0，π）上的解为x 1，x 2，求cos （x 1﹣x 2）．19．（12分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1、DB 的中点． （Ⅰ）求证：EF ∥平面ABC 1D 1； （Ⅱ）求证：EF ⊥B 1C ．20．（12分）某市计划新修一座城市运动公园，设计平面如图所示：其为五边形ABCDE 其中三角形ABE区域为球类活动场所；四边形BCDE 为文艺活动场所．其中AB ，BC ，CD ，DE ，EA 为运动小道（不考虑宽度），∠BCD ＝∠CDE ＝120°，∠BAE ＝60°，DE ＝2BC ＝2CD ＝6千米． （1）求小道BE 的长度；（2）设∠ABE ＝x ，试用x 表示△ABE 的面积，并求x 为何值时，球类活动场所△ABE 的面积最大值，并求出最大值．21．（12分）已知向量a →=(cosωx ，1)，b →=(−√3sinωx ，1)(ω＞0)，f(x)=2a →⋅(a →−b →)−2，且f （x ）的最小正周期为π．（1）求f （x ）在[0，π]上的单调递增区间；（2）将f （x ）的图象上的点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍，再把整个图象向左平移23π个单位得到g （x ）的图象，已知A （﹣2，2），B （2，5），则在g （x ）上是否存在一点Q ，使得QA →⊥QB →，若存在，求出Q 的坐标，若不存在，说明理由．22．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD ⊥BC ，垂足为D （D 在边BC 上且异于端点），设AD ＝h ，且满足b +c ＝a +h ． （1）若ℎ=12a ，求tan A 2的值； （2）求tan A2的最小值．2022-2023学年江苏省南通市海安高级中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设x ∈R ，则“ln （x ﹣2）＜1”是“x ＞2”的（ ）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分又不必要解：由ln （x ﹣2）＜1，得到0＜x ﹣2＜e ，即2＜x ＜e +2，所以ln （x ﹣2）＜1时，能得出x ＞2，当x ＞2时，不妨取x ＝e 3+2， 此时ln （x ﹣2）＝lne 3＝3＞1，故x ＞2时，得不出ln （x ﹣2）＜1， 所以“ln （x ﹣2）＜1”是“x ＞2”的充分不必要条件． 故选：A ．2．已知集合A ＝{x ||x ﹣1|＜1}，B ＝{x |x ＜1或x ≥4}，则A ∪（∁R B ）＝（ ） A ．{x |1＜x ＜2}B ．{x |0＜x ＜4}C ．{x |1≤x ＜2}D ．{x |0＜x ≤4}解：由题意可得：A ＝{x ||x ﹣1|＜1}＝{x |0＜x ＜2}，∁R B ＝{x |1≤x ＜4}， 所以A ∪（∁R B ）＝{x |0＜x ＜4}． 故选：B ． 3．已知复数z 满足1+√3i z=3+4i ，则|z|=（ ）A ．2√55B ．√105C ．√25D ．25解：由已知可得，z =1+√3i3+4i =(1+√3i)(3−4i)(3+4i)(3−4i)=3+4√3+(3√3−4)i 25=3+4√325+3√3−425i ， 所以，z =3+4√325−3√3−425i ，所以，|z|=√(3+4√325)2+(−3√3−425)2=25． 故选：D ．4．如图，梯形A 1B 1C 1D 1是一水平放置的平面图形ABCD 在斜二测画法下的直观图．若A 1D 1平行于y 1轴，A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1=34C 1D 1=3，A 1D 1=1，则平面图形ABCD 的面积是（ ）A ．14B ．7C ．7√2D ．14√2解：根据直观图画法的规则，直观图中A 1D 1平行于y 轴，A 1D 1＝1， 可知原图中AD ∥Oy ，从而得出AD ⊥DC ，且AD ＝2A 1D 1＝2，直观图中A 1B 1∥C 1D 1，A 1B 1=34C 1D 1=3，可知原图中AB ∥CD ，AB =34CD =3， 即四边形ABCD 上底和下底边长分别为3，4，高为2，如图，故其面积S =12×(3+4)×2=7． 故选：B ．5．已知sin θ﹣5cos θ＝0，则cos 4θ−sin 4θsin 2θ−sin2θ=（ ）A ．−85B ．85C ．−83D ．83解：由sin θ﹣5cos θ＝0，得到tan θ＝5， 故cos 4θ−sin 4θsin 2θ−sin2θ=(cos 2θ+sin 2θ)(cos 2θ−sin 2θ)sin 2θ−2sinθcosθ=cos 2θ−sin 2θsin 2θ−2sinθcosθ=1−tan 2θtan 2θ−2tanθ=1−2525−10=−85．故选：A ．6．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，E 为CD 中点，AE 与BD 交于点F ，若FE →=14AC →+mBD →，则m ＝（ ） A ．14B ．34C ．112D ．16解：画出图形，如图所示：因为平行四边形ABCD 中，E 为CD 中点， 所以△ABF ∽△EDF ，AF EF=BF DF=AB DE=2，又BO ＝OD ，设OF ＝nFD ，则BF DF=OB+OF DF=BO DF+OF DF=DO DF+n =DF+OF DF+n =1+n +n =2，解得n =12，则FE →=12AF →=12(AO →+OF →)=12(12AC →+16BD →)=14AC →+112BD →，故m =112．故选：C ．7．已知α∈(π4，π2)，a ＝（sin α）sin α，b ＝（sin α）tan α，c ＝（tan α）sin α，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b解：因为α∈(π4，π2)，则0＜√22＜sinα＜1，tanα＞1，即sin α＜tan α，且y ＝（sin α）x 在定义域内单调递减，则（sin α）tan α＜（sin α）sin α＜（sin α）0＝1，即b ＜a ＜1， 又因为c ＝（tan α）sin α＞1，所以b ＜a ＜c ． 故选：B ．8．如图，河边有一座塔OP ，其高为20m ，河对面岸上有A ，B 两点与塔底在同一水平面上，由塔顶部测得A ，B 两点的俯角分别为45°和30°，而且A ，B 两点分别与塔底部O 连线成150°角，则A ，B 两点的距离为（ ）A ．20mB ．10√3mC ．20√7mD ．10√42m解：在直角三角形P AO 中，∠P AO ＝45°，可得AO ＝PO ＝20， 在直角三角形PBO 中，∠PBO ＝30°，可得BO =POtan30°=20√3，且∠AOB ＝150°，可得AB 2＝AO 2+BO 2﹣2AO •BO cos ∠AOB ＝400+400×3﹣2×20×20√3×（−√32）＝2800，可得AB ＝20√7． 故选：C ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．已知复数z ＝3+4i ，则（ ） A ．z 的共轭复数是3﹣4i B ．z 2对应的点在第二象限C ．z =izD ．若复数z 0满足|z 0﹣z |＝1，则|z 0|的最大值是6解：对于选项A ，由复数z ＝3+4i ，得z 的共轭复数是3﹣4i ，故选项A 正确；对于选项B ，由复数z ＝3+4i ，得z 2＝（3+4i ）2＝9+24i +（4i ）2＝9+24i ﹣16＝﹣7+24i ， 所以z 2对应的点为（﹣7，24）在第二象限．故选项B 正确；对于选项C ，z =3−4i ，iz ＝i （3+4i ）＝3i +4i 2＝﹣4+3i ，故选项C 错误； 对于选项D ，解法一：因为|z|=√32+42=5，利用复数模的三角不等式得|z 0﹣z |≤|z 0|+|z |＝1+5＝6． 解法二：如图，因为z ＝3+4i 在复平面上对应的点为A （3，4），|z 0﹣z |＝1表示在复平面上z 0对应的点到（3，4）的距离等于1，所以z 0表示的点的轨迹为圆心在（3，4），半径等于1的圆． 因为P A ＝1，OA =|z|=√32+42=5，所以当z 0对应的点在P 处时，|z 0|的最大值为OP ＝P A +OA ＝1+5＝6，故选项D 正确． 故选：ABD ．10．已知向量a →=(−2，2)，b →=(2，1)，c →=(λ，1)，下列结论正确的是（ ） A ．若(a →+2b →)⊥c →，则λ＝2 B ．若a →=tb →+c →，则λ+t ＝﹣3C ．若向量12a →+b →与向量2b →+c →的夹角为锐角，则λ的取值范围为λ＞﹣10且λ≠﹣5D ．|a →+μb →|的最小值为6√55解：向量a →=(−2，2)，b →=(2，1)，c →=(λ，1)，a →+2b →=(2，4)，(a →+2b →)⊥c →，则2λ+4＝0，解得λ＝﹣2，A 错误； tb →+c →=(2t +λ，t +1)，则由向量相等的条件可知，{2t +λ=−2t +1=2，解得t ＝1，λ＝﹣4，即λ+t ＝﹣3，B 正确；12a →+b →=(1，2)，2b →+c →=(4+λ，3)，依题意，(12a →+b →)⋅(2b →+c →)=λ+10＞0，解得λ＞﹣10且向量12a →+b →与向量2b →+c →不共线，当向量12a →+b →与2b →+c →共线时，2（4+λ）＝3，解得λ=−52，所以λ的取值范围为λ＞﹣10且λ≠−52，C 错误；a →+μb →=(2μ−2，μ+2)，则|a →+μb →|=√(2μ−2)2+(μ+2)2=√5(μ−25)2+365≥6√55，当且仅当μ=25时取等号，所以|a →+μb →|的最小值为6√55，D 正确．故选：BD ．11．已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，若将f （x ）的图象向右平移m （m ＞0）个单位长度后得到函数g （x ）＝A sin （ωx ﹣2φ）的图象，则m 的值可以是（ ）A ．π4B ．π3C ．4π3D ．9π4解：根据函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象， 可得A ＝2，14⋅2πω=5π12−π6，∴ω＝2．再根据五点法作图，可得2×5π12+φ＝π，∴φ=π6，f （x ）＝2sin （2x +π6）．将f （x ）的图象向右平移m （m ＞0）个单位长度后得到函数g （x ）＝A sin （ωx ﹣2φ）＝2sin （2x −π3）＝2sin （2x ﹣2m +π6） 的图象， ∴﹣2m +π6=−π3+2k π，k ∈Z ．故令k ＝0，可得m 的值为π4；令k ＝﹣2，可得m =9π4． 故选：AD ．12．已知四棱锥P ﹣ABCD 的底面为正方形，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝AB ＝2，平面α过点A 且与侧棱PB ，PC ，PD 的交点分别为E ，F ，G ，若直线PC ⊥平面α，则（ ） A ．直线BD ∥平面αB ．直线EG ⊥直线AFC ．直线P A 与平面α所成的角为45°D ．截面四边形AEFG 的面积为4√33解：由P A ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，则P A ⊥BD ，由P ﹣ABCD 的底面为正方形，则AC ⊥BD ， 又P A ∩AC ＝A ，P A ，AC ⊂面P AC ，故BD ⊥面P AC ， 因为PC ⊂面P AC ，故BD ⊥PC ，由平面α过点A 且与侧棱PB ，PC ，PD 的交点分别为E ，F ，G ，若直线PC ⊥平面α， 所以PC ⊥EG ，故BD ∥EG ，因为BD ⊄平面α，EG ⊂平面α，故BD ∥面α，A 正确；因为BD ⊥面P AC ，则EG ⊥面P AC ，AF ⊂面P AC ，所以EG ⊥AF ，B 正确； 由PC ⊥平面α，即PF ⊥面AEFG ，故∠P AF 为直线P A 与平面α所成角的平面角， 因为AF ⊂面AEFG ，则PF ⊥AF ，而AC =√AB 2+BC 2=2√2， 因为AC ⊂底面ABCD ，则P A ⊥AC ，所以PC =√PA 2+AC 2=2√3， 综上，12PA ⋅AC =12AF ⋅PC ，故AF =2√63，则cos ∠PAF =AF PA =√63， 显然，∠P AF 不为45°，C 错误；因为BC ⊂底面ABCD ，则P A ⊥BC ，又AB ⊥BC ， 由AB ∩P A ＝A ，AB ，P A ⊂面P AB ，所以BC ⊥面P AB ， 而PB ⊂面P AB ，故BC ⊥PB ，由EF ⊂面AEFG ，则PF ⊥EF ，故Rt △PBC ～Rt △PFE ，即PF PB=PE PC，同理可证：PFPD=PG PC，而PB =PD =2√2，则PE ＝PG ，由上知：PF =√PA 2−AF 2=2√33，则PE =PC⋅PF PB =2√3×2√3322=√2，即PE =PG =√2，综上，△PBD 中有PEPB=PG PD=EG BD =12，则EG =12BD =12×2√2=√2， 所以截面四边形AEFG 的面积为12AF ⋅EG =12×2√63×√2=2√33，D 错误． 故选：AB ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在平面直角坐标系中，已知A （2，0），B （﹣1，0），C ，D 为y 轴上两个动点，且|CD |＝2，则AC →⋅BD →的最小值为 ﹣3 ．解：设C （0，a ），D （0，b ），由|CD |＝2，则|a ﹣b |＝2，不妨设a ＞b ，则a ＝b +2，又AC →=(−2，a)，BD →=(1，b)，则AC →⋅BD →=ab ﹣2＝b 2+2b ﹣2＝（b ﹣1）2﹣3， 当b ＝1时，AC →⋅BD →取最小值﹣3． 故答案为：﹣3．14．如图，在四面体ABCD 中，BD ＝2√2，AC ＝2，M ，N 分别为BC ，AD 的中点，MN ＝1，则异面直线AC 与BD 所成的角是 45° ．解：取CD 的中点E ，连接ME ，NE ，因为M 为BC 的中点，N 为AD 的中点，所以NE ∥AC 且NE =12AC ，ME ∥BD 且ME =12BD ， 所以∠NEM 即为异面直线AC 与BD 所成的角或其补角， 又BD =2√2，AC =2，MN =1，所以NE =1，ME =√2，所以ME 2＝MN 2+NE 2，所以∠MNE ＝90°， 所以△MNE 为等腰直角三角形，所以∠NEM ＝45°； 故答案为：45°． 15．设f(x)=cosxcos(30°−x)，则f （28°）+f （29°）+f （30°）+f （31°）+f （32°）＝ 5√32．解：因为f(x)+f(60°−x)=cosx cos(30°−x)+cos(60°−x)cos[30°−(60°−x)]=cosx cos(30°−x)+cos(60°−x)cos[−(30°−x)]=cosx cos(30°−x)+cos(60°−x)cos(30°−x)=cosx+12cosx+√32sinx cos(30°−x)=32cosx+√32sinx cos(30°−x)=√3cos(30°−x)cos(30°−x)=√3， 即f(x)+f(60°−x)=√3，令x ＝28°，可得f(28°)+f(32°)=√3；令x ＝29°，可得f(29°)+f(31°)=√3； 令x ＝30°，可得f(x)=cos30°cos0°=√32； 所以f(28°)+f(29°)+f(30°)+f(31°)+f(32°)=2√3+√32=5√32． 故答案为：5√32． 16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝90°，则cb−b 2b 2+c2的最大值为 √2−12． 解：因为A ＝90°，所以C ＝90°﹣B ，可得sin C ＝sin （90°﹣B ）＝cos B ， 由正弦定理可得cb−b 2b 2+c 2=sinCsinB−sin 2B sin 2B+sin 2C=sinBcosB−sin 2B sin 2B+cos 2B=12sin2B −12(1−cos2B)=sin2B+cos2B−12=√2sin(2B+π4)−12， 因为B ∈(0，π2)，则2B +π4∈(π4，5π4)，当2B +π4=π2，即B =π8时，cb−b 2b 2+c 2取到最大值√2−12．故答案为：√2−12． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）设向量a →=(2cosα，2sinα)，b →=(cosβ，sinβ)（α∈R ，β∈R ），且|a →−b →|=√7． （1）求向量a →与b →的夹角；（2）若|ta →−b →|=√3|a →+tb →|，求实数t 的值．解：（1）由题意可得：|a →|＝2，|b →|＝1，因为|a →−b →|=√7， 则(a →−b →)2=a →2−2a →⋅b →+b →2=5−2a →⋅b →=7，解得a →⋅b →=−1， 可得cos〈a →，b →〉=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=−12，又〈a →，b →〉∈[0，π]，所以向量a →与b →的夹角为2π3；（2）由（1）可得：|a →|=2，|b →|=1，a →⋅b →=−1，若|ta →−b →|=√3|a →+tb →|，即(ta →−b →)2=√3(a →+tb →)2， 则t 2a →2−2ta →⋅b →+b →2=3(a →2+2ta →⋅b →+t 2b →2)，即4t 2+2t +1＝3（4﹣2t +t 2），整理得t 2+8t ﹣11＝0，解得t =−4±3√3， 所以实数t 的值为−4±3√3．18．（12分）已知函数f(x)=√3sin(ωx)cos(ωx)−cos 2(ωx)+12(ω＞0)且函数f （x ）相邻两个对称轴之间的距离为π2．（1）求f （x ）的解析式及最小正周期；（2）若方程f(x)=35在（0，π）上的解为x 1，x 2，求cos （x 1﹣x 2）． 解：（1）因为f(x)=√3sin(ωx)cos(ωx)−cos 2(ωx)+12=√32sin2ωx −1+cos2ωx 2+12=√32sin2ωx −12cos2ωx =sin(2ωx −π6)， 又函数f （x ）相邻两个对称轴之间的距离为π2，所以T =π=2π|2ω|，又ω＞0，则ω＝1， 所以f(x)=sin(2x −π6)，最小正周期为π；（2）由题意可得sin(2x 1−π6)=35＞0，同理可得sin(2x 2−π6)=35＞0， 当0＜x ＜π时，则−π6＜2x −π6＜11π6，所以0＜2x 1−π6＜π，0＜2x 2−π6＜π， 令2x −π6=π2，得x =π3，因为f(x 1)=f(x 2)=35，所以点（x 1，f （x 1））、（x 2，f （x 2））关于直线x =π3对称， 所以x 1+x 2=2π3， 所以cos(x 1−x 2)=cos[x 1−(2π3−x 1)]=cos(2x 1−2π3)=cos[(2x 1−π6)−π2]=sin(2x 1−π6)=35． 19．（12分）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为DD 1、DB 的中点． （Ⅰ）求证：EF ∥平面ABC 1D 1； （Ⅱ）求证：EF ⊥B 1C ．证明：（Ⅰ）连接BD 1，在△DD 1B 中，E 、F 分别为D 1D ，DB 的中点，则EF ∥D 1BD 1B ⊂平面ABC 1D 1EF 不包含于平面ABC 1D 1}⇒EF ∥平面ABC 1D 1； （Ⅱ）根据题意可知：B 1C ⊥ABB 1C ⊥BC 1AB ，B 1C ⊂平面ABC 1D 1AB ∩BC 1=B}⇒B 1C ⊥面ABC 1D 1BD 1⊂面ABC 1D 1} ⇒B 1C ⊥BD 1EF ∥BD 1}⇒EF ⊥B 1C ．20．（12分）某市计划新修一座城市运动公园，设计平面如图所示：其为五边形ABCDE 其中三角形ABE 区域为球类活动场所；四边形BCDE 为文艺活动场所．其中AB ，BC ，CD ，DE ，EA 为运动小道（不考虑宽度），∠BCD ＝∠CDE ＝120°，∠BAE ＝60°，DE ＝2BC ＝2CD ＝6千米． （1）求小道BE 的长度；（2）设∠ABE ＝x ，试用x 表示△ABE 的面积，并求x 为何值时，球类活动场所△ABE 的面积最大值，并求出最大值．解：（1）如图，连接BD ，在△BCD 中，BC ＝CD =DE2=3千米， ∠BCD ＝∠CDE ＝120°，由余弦定理得：BD 2＝BC 2+CD 2﹣2BC •CD cos ∠BCD ＝27， ∴BD ＝3√3． ∵BC ＝CD ，∴∠CDB ＝∠CBD ＝30°， 又∠CDE ＝120°，∴∠BDE ＝∠CDE ﹣∠CDB ＝120°﹣30°＝90°，在Rt △BDE 中，所以BE =√BD 2+DE 2=√(3√3)2+62=3√7． （2）∵∠ABE ＝x ，∵∠BAE ＝60°，∴∠AEB ＝120°﹣x ． 在△ABE 中，由正弦定理，得AB sin∠AEB =AE sin∠ABE=BE sin∠BAE=√7√32=2√21，∴AB ＝2√21 sin （120°﹣x ），AE ＝2√21sin x ．∴S △ABE =12|AB ||AE |sin 60°=12×2√21×2√21×√32sin （120°﹣x ）sin x ＝21√3×{−12[cos （120°﹣x +x ）﹣cos （120°﹣x ﹣x ）]} =21√32cos （120°﹣2x ）+21√34∵0＜x ＜120°，∴﹣120°＜2x ﹣120°＜120°． ∴当x ＝60°时，S △ABE 取得最大值为21√32+21√34=63√34． 即球类活动场所△ABE 面积的最大值为63√34km 2．21．（12分）已知向量a →=(cosωx ，1)，b →=(−√3sinωx ，1)(ω＞0)，f(x)=2a →⋅(a →−b →)−2，且f （x ）的最小正周期为π．（1）求f （x ）在[0，π]上的单调递增区间；（2）将f （x ）的图象上的点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍，再把整个图象向左平移23π个单位得到g （x ）的图象，已知A （﹣2，2），B （2，5），则在g （x ）上是否存在一点Q ，使得QA →⊥QB →，若存在，求出Q 的坐标，若不存在，说明理由．解：（1）由题意可知f(x)=2a →⋅(a →−b →)−2=2(cosωx ，1)⋅(√3sinωx +cosωx ，0)−2=2√3sinωxcosωx +2cos 2ωx −2=2(√32sin2ωx +12sin2ωx)=2sin(2ωx +π6)−1，因为f （x ）的最小正周期为π，所以π=2π2ω，得ω＝1，所以f(x)=2sin(2x +π6)−1，由−π2+2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ，解得kπ−π3≤x ≤kπ+π6，所以f （x ）单调递增区间为[−π3+kπ，π6+kπ]，k ∈Z ， 又因为x ∈[0，π]，所以0≤x ≤π6和2π3≤x ≤π，所以f （x ）在[0，π]上的单调增区间为[0，π6]，[2π3，π]．（2）将f(x)=2sin(2x +π6)−1的图象纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍，得到y =2sin(12x +π6)−1，再把整个图象向左平移23π个单位得到g(x)=2cos 12x −1，设Q(x ，2cos 12x −1)，A （﹣2，2），B （2，5），则QA →=(−2−x ，3−2cos 12x)，QB →=(2−x ，6−2cos 12x)， 则QA →⋅QB →=x 2−4+4cos 212x −18cos 12x +18，若x 2−4+4cos 212x −18cos 12x +18=0，即4cos 212x −18cos 12x +18=4−x 2，整理得：4(cos 12x −94)2=254−x 2，因为−1≤cos 12x ≤1，所以−134≤cos 12x −94≤−54， 所以2516≤(cos 12x −94)2≤16916，所以254≤4(cos 12x −94)2≤1694，而254−x 2≤254，所以254−x 2=254，x ＝0，此时y ＝1，则在g （x ）上存在一点Q （0，1），使得QA →⊥QB →．22．（12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AD ⊥BC ，垂足为D （D 在边BC 上且异于端点），设AD ＝h ，且满足b +c ＝a +h ． （1）若ℎ=12a ，求tan A 2的值； （2）求tan A 2的最小值．解：（1）在△ABC 中，可得12bcsinA =12aℎ，所以bc =aℎsinA =a 22sinA ，又b +c =a +ℎ=3a2， 由余弦定理可得cosA =b 2+c 2−a 22bc =(b+c)2−2bc−a 22bc =94a 2−a 22bc−1=54a 2a 2sinA−1=54sinA −1，即54sinA −cosA =1，所以54×2sinA 2⋅cosA 2−2cos2A 2+1=1，又A ∈（0，π），所以A 2∈(0，π2)，故cos A2≠0， 所以52sinA2=2cos A2，得到tan A 2=45． （2）由b +c ＝a +h ，结合（1）可得cosA =b 2+c 2−a 22bc =(b+c)2−a 2−2bc 2bc =(a+ℎ)2−a 22aℎsinA−1=(1+ℎ2a)sinA −1， 所以1+ℎ2a =cosA+1sinA =2cos 2A2−1+12sin A 2cos A 2=1tan A 2， 如图，过点C 作CE ⊥BC ，使得CE ＝2h ，连接AE ，BE ，取CE的中点H，易得CH∥AD且CH＝AD，所以AH⊥CE，故AC＝AE，在Rt△BCE中，BE=√a2+4ℎ2，又a+h＝b+c＝AB+AE≥BE，即a+ℎ≥√a2+4ℎ2，解得0＜ℎa≤23，则1+ℎ2a=1tan A2∈(1，43]，所以tan A2∈[34，1)，所以tan A2的最小值为34．。
海安高级中学高一下学期期中考试数学试题
2012-2013学年第二学期期中考试试题卷高一数学 2013.4本试卷分填空题和解答题两部分．考生作答时，将答案答在答题卷上，在本试卷上答题无效．本卷满分160分,考试时间为120分钟． 注意事项：1． 答题前，考生先将自已的姓名、学校、考试号填写在答题卷规定区域内；2． 填空题和解答题均使用0.5毫米的黑色中性签字笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚，作图可用2B 铅笔；3． 请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效． 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1. 在ABC ∆中，设角B A ,所对边分别为b a ,，若bBa A cos sin =，则角=B ． 2. 在等差数列{}n a 中，若1120,a =则21S = ．3. 已知关于x 的不等式ax －1x ＋1＞0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞，则a ＝________. 4.已知等比数列{}n a 公比0>q ，若32=a ，21432=++a a a ，则345____.a a a ++= 5. 在△ABC 中，若a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则边c ＝________. 6.“远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？”答曰： 盏．7. 右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 .8. 设动点),(y x P 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+00502402y x y x y x ,则y x z 25+=的最大值是 ．9. 0a <,0b <,则22b a p a b=+与q a b =+的大小关系为 ． 10. 已知正项等比数列{}n a 满足:5672a a a +=,若存在两项n m a a ,使得14a a a n m =,则n m 41+的最小值为 ．11．ABC ∆中，已知cos cos a b c B c A -=-，则三角形的 形状为_____________． 12．已知圆内接四边形ABCD 中，2,6,4,AB BC AD CD ====则四边形ABCD 的面积为________．7第题图13．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若nnS S 2)(*∈N n 是非零常数，则称该数列为“和等比数列”.若数列{}n C 是首项为1C ，公差为d （0≠d ）的等差数列，且数列{}n C 是“和等比数列”，则d 与1C 的关系式为_________________．14.已知圆心角为120°的扇形AOB 的半径为1，C 为弧AB 的中点，点D ，E 分别在半径OA ，OB 上．若CD 2＋CE 2＋DE 2＝269，则OD ＋OE 的最大值是________． 二、解答题（本大题共6小题，满分90分） 15. （本题满分14分)解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0（0a >）.16.（本题满分14分)在△ABC 中，A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，b cos B 是a cos C ，c cos A 的等差中项． (1)求B 的大小；(2)若a ＋c ＝10，b ＝2，求△ABC 的面积．17.（本题满分15分)对任意函数(),f x x D ∈，可按流程图构造一个数列发生器， 其工作原理如下：①输入数据0x D ∈，经数列发生器输出10()x f x =；②若1x D ∉，则数列发生器结束工作；若1x D ∈，则将1x 反馈回输入端再输出21()x f x =,并且依此规律继续下去.现定义42()1x f x x -=+.(1)若输入04965x =，则由数列发生器产生数列{}n x ，请写出数列{}n x 的所有项；(2)若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据0x 的值；（3）若输入0x 时，产生的无穷数列{}n x 满足：对任意正整数n ，均有1n n x x +<，求0x 的 取值范围.18.（本题满分15分）设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，数列{b n }满足b n ＝a na n ＋m (m ∈N *)．(1)若b 1，b 2，b 8成等比数列，试求m 的值；(2)是否存在m ，使得数列{b n }中存在某项b t 满足b 1，b 4，b t (t ∈N *，t ≥5)成等差数列？ 若存在，请指出符合题意的m 的个数；若不存在，请说明理由．19．（本题满分16分）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元。
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江苏省海安高级中学2011—2012学年度第二学期中考试高一数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．．．． 1．在等差数列{}n a 中，已知11a =，2d =，则第3项3a = ▲ . 2．一元二次不等式()()230x x --<的解集为 ▲ . 3．在ABC ∆中，1a =，45C =，c A = ▲ .4．在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1AD 与平面ABCD 所成的角是 ▲ . 5．两个数9k +和6k -的等比中项为2k ，则k = ▲ .6．长、宽、高分别为4、3、2的长方体的外接球的表面积为 ▲ .7．在等差数列{}n a 中，已知第1项到第10项的和为310，第11项到第20项的和为910，则第21项到第30项的和为 ▲ .8．圆锥平行于底面的截面面积是底面积的一半，则此截面分圆锥的高为上、下两段的比为▲ .9．不等式22210x x k -+->对一切实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是 ▲ . 10．设,αβ为两个不重合的平面，,,l m n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若,,,m n l m l n αα⊂⊂⊥⊥，则l α⊥；②若//,,l m m n αα⊥⊥，则//l n ；③若//,l αβα⊂，则//l β；④若//,l l αβ⊥，则αβ⊥．其中正确命题的序号是 ▲ ．11．在ABC ∆中，,,AB AC BC 边上的高分别为111,,234，则cos A = ▲ .12．若关于x 的方程9310x x a +⋅+=有实数解，则实数a 的取值范围为 ▲ . 13．设0x ≥，则当x = ▲ 时，函数()()231x x y x ++=+取得最小值．14．在ABC ∆中，角A 、B 、C 对应的边分别为a 、b 、c ，若1AB AC BA BC ⋅=⋅=，那么c = ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定的区域．．．．．．．．内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本大题满分14分）设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且4cos 5B =，2b =.（1）当30A =时，求a 的值；（2）当ABC ∆的面积为3时，求a c +的值. 16．（本大题满分14分）如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB= AD =2． （1）证明：面BDD 1 B 1⊥面ACD 1；（2）若E 是BC 1的中点，P 是AC 的中点，F 是A 1C 1上的点， C 1F =mF A 1，试求m 的值，使得EF ∥D 1P ．EABCDA 1B 1C 1D 1 FP第16题17．（本大题满分15分）已知正数x 、y 满足2x y k +=．（1）当2k =时，求22log log x y +的最大值，并求出取得最大值时的x 、y 的值；（2）若11x y +的最小值为(21，求实数k 的值．18．（本大题满分15分）如图所示，为了测量河对岸电视塔AB 的高度，某人在河岸边上选取了,C D 且500CD =（米），现测得,,60BCD BDC ACB αβ∠=∠=∠=︒，其中3cos ,tan 25αβ==．求：（1）sin CBD ∠的值； （2）电视塔AB 的高．19．（本大题满分16分）已知二次函数()21122f x x x =-，数列{}n a 的前n 项积为n T ，且()45f n n T ⎛⎫= ⎪⎝⎭，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()5n f a 是n b 与n a 的等差中项，试问数列{}n b 中第几项的值最小？求出这个最小值．20．（本大题满分16分）已知每项均是正整数的有穷数列:A 123,,,,n a a a a ，且常数n *∈N ，其中等于i 的项有i k 个()1,2,3,i =，设数列{}j b ，其中12jjb k k k =+++()1,2,3,j =，设数列{}m c ，其中()121,2,3,m m c b b b nm m =+++-=．（1）若数列:1,2,1,4A ，求数列{}m c 的前5项的和； （2）若100n =，且数列12100:,,,A a a a 中最大的项为50， 试比较m c 与1m c +的大小；（3）若数列12100:,,,A a a a 满足12100200a a a +++=，求数列{}m c 中的最小值.【参考答案】 1．5 2．()2,3 3．30 4．45 5．3 6．29π 7． 15108．)1:19．k >k < 10．②④ 11． 14-12．2a ≤-13114．15.【解】（1）因为4cos 5B =，所以3sin 5B =.由正弦定理sin sin a b A B =，可得103sin30a =所以53a =. （2）因为ABC ∆的面积1sin 2S ac B =，3sin 5B =，所以3310ac =，10ac =. 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得222284165a c ac a c =+-=+-，即2220a c +=.所以2()220a c ac +-=，2()40a c +=，所以，a c +=16.证明（1）：在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB= AD =2，故四边形ABCD 是正方形，AP ⊥DP ， 又∵D 1D ⊥面ABCD ，AP ⊆面ABCD∴D 1D ⊥AP ，D 1D ∩DP=D ∴AP ⊥面BDD 1B 1 ∵AP ⊆面AD 1C∴面BDB 1D 1⊥面ACD 1 解（2）：记A 1C 1与B 1D 1的交点为Q ，连BQ ，∵P 是AC 的中点，∴D 1P ∥BQ ，要使得EF ∥D 1P ，则必有EF ∥BQ 在△QBC 1中，E 是BC 1的中点， F 是QC 1上的点，EF ∥BQ ∴F 是QC 1的中点，即3C 1F =F A 1，故所求m 的值是13．17.【解】（1）因为x ，y都是正数，所以22x y =+≥ 当且仅当21x y ==，即11,2x y ==时取“=”号.于是12xy ≤，从而222log log log 1x y xy +=≤-所以当11,2x y ==时，22log log x y +取得最大值1-.（2）(222111133x y x y y k k x x y kx ky kx ky k x y k++⎛⎫+=+=+=++≥+ ⎪⎝⎭所以1k =.18.【解】（1）3cos ,5αα=为锐角，4sin 5α∴=ββ,2tan = 锐角，51cos ,52sin ==∴ββsin sin()sin cos cos sin CBD αβαβαβ∠=+=+4355==（2）在BCD ∆中，由sin sin BC CD D CBD=∠得sin 500sin CD BC D CBD =⋅=∠AB =答：电视塔高为【解】（1）221245n n n n T a a a -⎛⎫== ⎪⎝⎭,2(1)(1)211214(2)5n n n n T a a a n -----⎛⎫==≥ ⎪⎝⎭,114(2)5n n n n T a n T --⎛⎫∴==≥ ⎪⎝⎭,又111a T ==满足上式. 所以14()5n n a n N -*⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭.（2）若5()n f a 是n b 与n a 的等差中项, 则25()n n n f a b a ⨯=+,从而21110()22n n n n a a b a -=+, 得2239565()55n n n n b a a a =-=--.因为14()5n n a n N -*⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭是n 的减函数, 所以当35n a ≥, 即3()n n N *≤∈时, n b 随n 的增大而减小, 此时最小值为3b ;当35n a <, 即4()n n N *≥∈时, n b 随n 的增大而增大, 此时最小值为4b .又343355a a -<-, 所以34b b <,即数列{}n b 中3b 最小, 且2223442245655125b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⎢⎥-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．20.【解】（1）根据题设中有关字母的定义，12342,1,0,1,0(5,6,7)j k k k k k j ======12342,213,2103,4,4(5,6,7,)m b b b b b m ==+==++====11212312341234512345412423,434,444,45 4.c b c b b c b b b c b b b b c b b b b b =-⨯=-=+-⨯=-=++-⨯=-=+++-⨯=-=++++-⨯=-则1517c c ++=-（2） 一方面，11100m m m c c b ++-=-，根据j b 的含义知1100m b +≤，故10m m c c +-≤，即 1m m c c +>， ① 当且仅当1100m b +=时取等号.因为123100,,,,a a a a 中最大的项为50，所以当50m ≥时必有100m b =，所以12495051c c c c c >>>===即当149m <<时，有1m m c c +>； 当49m ≥时，有1m m c c +=. （III ）设M 为{}12100,,,a a a 中的最大值.由（II ）可以知道，m c 的最小值为M c . 下面计算M c 的值.123100M M c b b b b M =++++-1231(100)(100)(100)(100)M b b b b -=-+-+-++-233445()()()()M M M M k k k k k k k k k k =----+----+----++-23[2(1)]M k k M k =-+++-12312(23)()M M k k k Mk k k k =-++++++++123100()M a a a a b =-+++++ 123100()100a a a a =-+++++，∵123100200a a a a ++++= ， ∴100M c =-，∴m c 最小值为100-.。