江苏省海安高级中学高一数学试卷(27)

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江苏省海安高级中学2019_2020学年高一数学月月考试题

江苏省海安高级中学2019-2020学年高一数学12月月考试题一、选择题：(本大题共13小题，每小题4分，其中1-10题为单选题，11-13为多选题.） 1．已知集合A ={x |-1≤x ≤3}，B ={x ∈Z|x 2<5}，则A ∩B=( )A ．{0，1}B ．{-1，0，1，2}C ．{0，1，2}D ．{-2，-1，0，1，2} 2．函数f (x 24x-x +1)的定义域为 ( )A ．[12-，2]B ．[12-，2)C ．(12-，2]D ．(12-，2)3.2πsin()=3-（） A. 3B. 12-3 D.124．向量a =(1，x +1)，b =(1- x ，2)，a ⊥b ，则(a +b )∙(a -b )=( ) A ．-15 B ．15 C ．-20 D ．20 5. 已知a =log 52，b =log 73，c =125，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a < b < cB ．a < c < bC ．b < a < cD ．c < b < a6．已知将函数f (x )=sin(2ωx +π6)(ω>0)的图象向左平移π3个单位长度得到函数g (x )的图象，若函数g (x )图象的两条相邻的对称轴间的距离为π2，则函数g (x )的—个对称中心为( ) A ．(-π6，0) B ．(π6，0) C ．(-π12，0) D ．(π12，0)7．如图，已知△ABC 与△AMN 有一个公共顶点A ，且MN 与BC 的交点O 平分 BC,若AB mAM =uu u r uuu r ，AC nAN =uuu r uuu r，则m n +的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．6 8．已知函数f (x )=log a x (a >0，a ≠1)的图象经过点2，12).若函数g (x )的定义域为R ，当x ∈[-2，2]时，有g (x )=f (x )，且函数g (x +2)为偶函数，则下列结论正确的是：( )A ．g (π)<g (3)<g 2．g (π)<g 2)<g (3) C ．g 2g (3)<g (π)D ．g 2)<g (π)<g (3)9．已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数且(1)()f x f x +=-，则(1)(2)(3)(4)(5)(6)f f f f f f +++++=（）A ．4B ．0C ．3D ．210．对于实数a ，b 定义运算“⊗”:22,b a a ba b b a a b-<⎧⊗=⎨-⎩≥，设f (x )=(2x -3)⊗(x -3)，若关于x 的方程f (x )=k (k ∈R)恰有三个互不相同的实根x 1，x 2，x 3则x 1x 2x 3取值范围为( )A ．(0，3)B ．(-1，0)C ．(-∞，0)D ．(-3，0)11．下列四个说法中，错误的选项有（）.A ．若函数()f x 在(,0]-∞,(0,)+∞上都是单调增函数，则函数()f x 在R 上是单调增函数B ．已知函数的解析式为2y x =，它的值域为[1,4]，这样的函数有无数个 C ．把函数22xy =的图像向右平移2个单位长度，就得到了函数222x y -=的图像 D ．若函数()f x 为奇函数，则一定有(0)0f = 12．下列命题中，正确的是（）.A.已知非零向量,a b rr 满足4a b =r r ，且()2b a b ⊥+r r r ，则a r 与b r 的夹角为56π.B.若,,a b c v v v是平面内三个非零向量，则()()a b c a b c ⋅=⋅v v v v v v ；C.若(sin a θ=v，(b =v ，其中3,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则a b ⊥v v； D.若O 是ABC ∆所在平面上一定点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u v u u u v u u uv u u u v ，()0,λ∈+∞，则直线AP 一定经过ABC ∆的内心. 13．函数()()()2a xb f x x b c-=-+()0,,0a b R c ≠∈>，()()2g x m f x n =-⎡⎤⎣⎦()0mn >，下列结论：A.函数()f x 的图像关于x 轴上某点成中心对称；B.函数()f x 在R 上单调递增；C.存在实数q p ,，使得()p f x q ≤≤对于任意的实数x 恒成立；D.关于x 的方程()0g x =的解集可能为{}4,2,0,3--．正确结论为( ) 二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共20分． 14. 函数()f x =的单调递减区间为 ▲ ．15.已知角θ的终边过点(3,4)-，则cos θ=_____▲______.16.已知函数(21),(1)()1log ,(01)3a a x x f x x x ->⎧⎪=⎨-<≤⎪⎩，当120,0x x >>且12x x ≠时，()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围是 ▲ ．17.已知函数()()sin f x x ωϕ=+(016ω<<，02πϕ-<<),()04f π-=,对任意x R ∈恒有()()4f x f π≤且()f x 在区间(,)3216ππ上单调，则ϕ=____,ω的可能值有__________．三、解答题（本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 18．已知实数a 为常数，U =R ，设集合A ={x |31x x -+＞0}，B ={x |y=}，C ={x |x 2﹣(4+a )x +4a ≤0}．（1）求A ∩B ；（2）若∁U A ⊆C ，求a 的取值范围．19．设a =(x ，1)，b =(2，-1)，c =(x -m ，m -1)(x ∈R ，m ∈R).（1）若a 与b 的夹角为钝角，求x 的取值范围；（2）解关于x 的不等式|a +c |<|a -c |.20．我国西部某省4A 级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数()f x 与第x 天近似地满足()88f x x=+（千人），且参观民俗文化村的游客人均消费()g x 近似地满足()g 14322x x =--（元）．(1)求该村的第x 天的旅游收入()p x ,并求最低日收入为多少？（单位：千元，130x ≤≤，*N x ∈）；(2)若以最低日收入的20%作为每一天的纯收入计量依据，并以纯收入的5%税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？21．已知函数())f x x ϕ=+02πϕ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的图象过点(0,1).（1）求724f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）利用五点作图作出函数在一个周期内的图像；（3）当5,248x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，方程()f x k =恰有两个不同的实数解，求实数k 的取值范围.22．对于函数f 1(x )，f 2(x )，h (x )，如果存在实数a ，b 使得h (x )=af 1(x )+bf 2(x )，，那么称h (x )为f 1(x )，f 2(x )，的生成函数. （1）给出函数f 1(x )=lg 10x，f 2(x )=lg(10x )，h (x )=lg x ，h (x )是否为f 1(x )，f 2(x )的生成函数？并说明理由.（2）设f 1(x )=log 2x ，f 2(x )=log 12x ，a =2，b =1，生成函数.若不等式3h 2(x )+2h (x )+t >0在x∈[2，4]上恒成立，求实数t 的取值范围.23．已知函数()2327mx n h x x +=+为奇函数，()13x mk x -⎛⎫ ⎪⎝⎭=，其中m n R ∈、.(1)若函数()h x 的图像过点()1,1A ，求实数m 和n 的值； (2)若3m =，试判断函数()()()11f x h x k x =+在[3,)x ∈+∞上的单调性并证明； (3)设函数()()(),39,3h x x g x k x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩若对每一个不小于3的实数1x ，都恰有一个小于3的实数2x ，使得()()12g x g x =成立，求实数m 的取值范围.阶段测试（二）一、选择题：(本大题共13小题，每小题4分，其中1-10题为单选题，11-13为多选题.） 1． B 2． D 3. A 4． A 5. A 6．D 7． C 8. C 9． B 10． D 11． ACD 12． CD 13． AC三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分． 14. (],3-∞- ． 15. ________35___. 16. 10,3⎛⎤⎥⎝⎦．17 ϕ=__4π-__, ____3,7,11______．三、解答题（本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 18．解：(1)()()[)3,,1,2,A B =+∞⋃-∞-=+∞则[)2,A B ⋂=+∞. (2) []1,3U C A =-，当[]{}[]4,4,;4,4;4,,4a C a a C a C a >===<=因为∁U A ⊆C ,则4,1a a <⎧⎨≤-⎩解得1a ≤-.19．解：（1）依题意得0a b •<r r 且,a b r r 不反向共线，即210,2x x -<⎧⎨≠-⎩解得12x <且 2.x ≠- （2）依题意得0a c •<r r ，即210x mx m -+-=当2,m =不等式的解集为空集；当2m >，不等式的解集为()1,1m -；当2m <不等式的解集为()1,1m -.20．解：(1)依据题意，有()()()()8g 814322x f x x x p x ⎛⎫=⋅=+⋅-- ⎪⎝⎭(130x ≤≤,*N x ∈) 即()**9688976,122,N 132081312,2230,N x x x xp x x x x x ⎧++≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-++<≤∈⎪⎩，1当*122,N x x ≤≤∈时，()96889769761152x p x x =++≥= (当且仅当11x =时，等号成立) ．因此，()()p 111152min p x == (千元) ．2当*2230,N x x <≤∈时，()132081312p x xx =-++．易知函数132081312xy x =-++ 在(]22,30上单调递减，于是，()()301116min p x p == (千元) ．又11521116>，所以，日最低收入为1116千元．(2)该村两年可收回的投资资金为111620%5%301228035.2⨯⨯⨯⨯⨯=(千元)= 803.52 (万元)．因为803.52万元> 800万元，所以，该村两年内能收回全部投资资金． 21．【详解】（1）由题知()01fϕ==，∴cosϕ=，又02πϕ-<<，∴4πϕ=-，∴772242442fπππ⎛⎫⎛⎫=⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2)作图略（3）∵5,2,24843x xπππππ⎡⎤⎡⎤∈-∴-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦当2,043xππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦即在区间,248ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上f(x)为增函数; []20,,4xππ-∈即在区间5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上f(x)为减函数，又242fπ⎛⎫-=⎪⎝⎭，8fπ⎛⎫=⎪⎝⎭58fπ⎛⎫=⎪⎝⎭∴当方程()f x k=恰有两个不同实根时，2k∈⎣.22．解:(1)由题意得lg lg lg(10)()lg10xx a b x a b x b a=+=++-由1a bb a+=⎧⎨-=⎩解得1212ab⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以h(x)是f1(x)，f2(x)的生成函数.（2）由题意得,2()log xh x=,令[]2log,1,2xm m=∈即232t m m>--在[]1,2m∈上恒成立解得5t>-.23．解;()1()2327mx nh xx+=+Q为奇函数()()h x h x ∴-=-，即22()327327mx n mx nx R x x -++=+∈-+恒成立，0n ∴=()h x Q 的图像过点()1,1A()11,h ∴=130m n+= 30,0m n ∴==()2有题意知()393x f x x x-=++，()f x 在[)3,+∞上单调递增证明：任取123x x ≤≤，则()()12331212129933x x f x f x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()1221123312933x x x x x x x x ----=+-123x x ≤≤Q210x x ∴->，129x x >，1233x x -<-()()21121290x x x x x x -∴-<123333x x --<()()12f x f x ∴<，函数()f x 在区间[3,)+∞上单调递增；()3当3x ≥时，()()2273273mx mg x h x x x x===++当3x <时，()()1993x mg x k x -⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭① 当0m ≤时， 3x ∀≥，()211111027327(3)mx mg x x h x x x ===≤++不满足条件()()2213,9903x mx g x k x -⎛⎫∀<==⋅> ⎪⎝⎭，舍；②当0 3m <<时，3x ∀≥，()211111()0,27327183mx m m g h x x x x x ⎛⎤===∈ ⎥+⎝⎦+ 23,0,x x m ∀<-≥()()(]221990,93x mg x k x -⎛⎫==⋅∈ ⎪⎝⎭由题可知(]0,0,918m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即918m ≤，162m ≤ 03m ∴<<③当3m ≥时，3x ∀≥，()211111()0,27327183mx m m g h x x x x x ⎛⎤===∈ ⎥+⎝⎦+23,30,x x m m ∀<->-≥()()32211990,933x mm g x k x --⎛⎤⎛⎫⎛⎫==⋅∈⋅ ⎥ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎥⎝⎦ 由题可知310,0,9183m m -⎛⎤⎛⎤⎛⎫∈⋅ ⎥ ⎪⎥ ⎝⎦⎝⎭⎥⎝⎦，即5318mm -<令()5318xxH x -=-单调递减，()60H = 5318x x-<，可得6m < 36m ∴≤< 综上:()0,6m ∈。

江苏省海安高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷

江苏省海安高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知向量a ⃑=(2,3)，b ⃑⃑=(x,−6)，若a ⃑//b ⃑ ，则实数x =（） A ．9 B ．4C ．−9D ．−42．计算2(1−i )2的结果是（）A ．2iB ．−2iC ．iD ．−i3．已知sin(α+π4)=45，α∈(π4,π2)，则cosα=（） A ．√210B ．3√210C ．√22D ．7√2104．已知轮船A 和轮船B 同时离开C 岛，A 船沿北偏东30°的方向航行，B 船沿着正北方向航行．若A 船的航行速度为40nmile/h ，1h 后，B 船测得A 船位于B 船的北偏东45°的方向上，则此时A ，B 两船的距离是（） A ．20√2nmileB ．20√3nmileC ．20√5nmileD ．20√6nmile5．在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =√3，AA 1=1，则AD 1与A 1C 1所成角的余弦值为（） A ．14B ．√24C ．√34D ．√646．在锐角△ABC 中，C =π6，AC =4，则BC 的取值范围是（） A ．(0,8√33) B ．(2√3,8√33) C ．(2√3,+∞)D ．(4,8√33) 7．在平行四边形ABCD 中，AB =3,AD =4,AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =−6,DC ⃑⃑⃑⃑⃑ =3DM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，则MA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =（） A ．16B ．14C ．12D ．108．已知0<α<π2,0<β<π2，且sin(2α+β)=4sinβ，10tan α2=√3(1−tan 2α2)，则α+β的值为（） A ．π6B ．5π6C ．2π3D ．π3二、多选题9．下列关于向量的说法正确的是（） A ．若a ∥b ⃑ ，b ⃑ ∥c ，则a ∥cB ．若单位向量a ,b ⃑ 夹角为θ，则向量a 在向量b ⃑ 上的投影向量为cosθb ⃑C ．若a 与b ⃑ 不共线，且sa +tb ⃑ =0⃑ ，那么s =t =0 D ．若a →⋅c →=b →⋅c →且c ≠0⃑ ，则a =b⃑ 10．对于△ABC 有如下命题，其中正确的是（）A ．若sin 2A +sin 2B +cos 2C <1，则△ABC 为钝角三角形B ．若B =π3，a =2√3，且△ABC 有两解，则b 的取值范围是(√3,2√3)C ．在锐角△ABC 中，不等式sinA >cosB 恒成立D ．在△ABC 中，若B =60°，b 2=ac ，则△ABC 必是等边三角形11．如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =4，BC =BB 1=2，E,F 分别为棱AB,A 1D 1的中点，则下列说法中正确的有（）A ．直线CF 与A 1B 为相交直线 B ．异面直线DB 1与CE 所成角为90°C ．若P 是棱C 1D 1上一点，且D 1P =1，则E 、C 、P 、F 四点共面 D ．平面CEF 截该长方体所得的截面可能为六边形三、填空题12．已知圆台下底面的半径为4cm ，高为4cm ，母线长为2√5cm ，则圆台的体积为 cm 3． 13．计算：tan12°−√3(4cos 212°−2)sin12°= .14．设a ,b ⃑ ,c 都是单位向量，且a ⋅b ⃑ =0，则(c −a )⋅(c −b⃑ )的最小值为．四、解答题15．在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知a (sinB +cosB )=c ． (1)求A ；(2)若c =√2，a =√5，求△ABC 的面积．16．如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，若P 为棱BB 1的中点，(1)判断平面D 1PC 与平面ABCD 是否相交．如果相交，在图1作出这两个平面的交线，并说明理由；(2)如图2，求证：DB 1//平面PAC ．17．已知向量a ⃑=(√3sinx,cosx)，b ⃑⃑=(cosx,cosx )，函数f(x)=2a ⃑⋅b ⃑⃑−1．（1）求函数f(x)的最小正周期及最小值；（2）若f (x2)=14，求sin (2x −π6)的值．18．已知△OAB 的两个顶点分别为原点O 和A (4,3)，且∠AOB =90°，OB =OA ． (1)求点B 的坐标；(2)若点B 落在第二象限，OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,2)，点P 是直线OM 上的一个动点，当PA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅PB ⃑⃑⃑⃑⃑ 取最小值时，求OP⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标，并求cos∠APB 的值． 19．在路边安装路灯，灯柱AB 与地面垂直（满足∠BAD =90°），灯杆BC 与灯柱AB 所在平面与道路垂直，且∠ABC =120°，路灯C 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知∠ACD =60°，路宽AD =12m ．设灯柱高AB =ℎ(m )，∠ACB =θ(30°≤θ≤45°)．(1)当θ=30°时，求四边形ABCD 的面积；(2)求灯柱的高ℎ（用θ表示）；(3)若灯杆BC与灯柱AB所用材料相同，记此用料长度和为S，求S关于θ的函数表达式，并求出S的最小值．。

江苏省海安高级中学高一上学期期中考试数学试题(创新班)Word版含答案

2019～2020学年度第一学期期中考试高一数学（创新班）试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}π,4k A x x k ∈Z ＝＝，集合{}ππB x x ＝-＜＜，则A B I 中元素的个数为（） A ．3 B ．5 C ．7 D ．92．设3log 2x ＝，则33223333x x x x ----的值为（） A ．2110 B ．2110- C ．1710 D ．13103．幂函数()231m y m m x -=--在定义域内为偶函数，则m ＝（）A ．－1B ．2C ．－1或2D ．14．函数()(ln f x x +＝，若()()2540f a f b +++＝，则2a b +＝（）A ．－1B ．1C ．－9D ．95．若等差数列{}n a 的公差d ≠0，且222268101216a a d a a +++＝，则{}n a 的前17项的和17S ＝（）A ．17B ．18C ．30D ．326．已知15αβ+o ＝，则1tan tan tan tan 1tan tan tan tan αβαβαβαβ---++-＝（）A B 2 C ．2 D 7．函数()422x f x x +-＝的零点与()g x 的零点之差的绝对值不超过14，则()g x 的解析式可能是（）A ．()41g x x -＝B ．()()21g x x -＝C ．()e 1x g x -＝D ．()()1ln 2g x x -＝ 8．将函数2x y ＝的图像向右平移t 个单位长度，所得图像对应的函数解析式为23xy ＝，则t 的值为（）A ．12B ．2log 3C ．3log 2D 9．设()f x 是定义在R 上的函数，若存在两个不相等实数1x 、2x ∈R ，使得122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭＝ ()()122f x f x +，则称函数()f x 为“创新函数”．则下列函数不是“创新函数”的是（）①()1,0,0,0,x x f x x ⎧≠⎪⎨⎪⎩＝＝ ②()f x x x ＝ ③()22f x x -＝ ④()21x f x -＝A ．①B ．②C ．③D ．④10．已知函数()22x f x x++＝，x ∈R ，则不等式()()2223f x x f x --＜的解集为（） A ．()1,2 B ．()1,3 C ．()0,2 D ．(31,2⎤⎥⎦11．已知直线x ＝2，x ＝4与函数lg y x ＝的图像交于A ，B 两点，与函数ln y x ＝的图像交于C ，D 两点，则直线AB 与CD 的交点的横坐标（）A ．大于0B ．等于0C ．小于0D ．不确定12．已知点O 是△ABC 内一点，满足2OA OB mOC +u u u r u u u r u u u r ＝，且47AOB ABC S S △△＝，则实数m 为（） A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在指定的位置上．13．已知实数a ，b ，c ，d 满足23a ＝，35b =，57c ＝，716d ＝，则abcd ＝ ▲ ． 14．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ．若{}n a,均为公差为d 的等差数列，则n S ＝▲ ． 15．已知向量a 与b 的夹角为60o ，且1＝a ，2＝b ，实数k 满足a ＋k b 与k a ＋b 的夹角为钝角，则k 的取值范围为 ▲ ．16．已知x ＞0且x ≠1，y ＞0且y ≠1，方程组58log log 4log 5log 81x y x y +⎧⎪⎨-⎪⎩＝＝的解为11x x y y ⎧⎨⎩＝＝或22x x y y ⎧⎨⎩＝＝，则()1212lg x x y y ＝▲ ．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）设集合{}2320A x x x -+＝＝，集合()(){}222150B x x a x a +++-＝＝（a ∈R ）．（1）若{}1A B I ＝，求实数a 的值；（2）若A B A U ＝，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分12分）“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益()g x 与投入x （单位：万元）满足()6g x ＝，乙城市收益()h x 与投入x （单位：万元）满足()124h x x +＝，设甲城市的投入为x （单位：万元），两个城市的总收益为()f x （单位：万元）（1）求()f x 及定义域；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？19．（本小题满分12分）在三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()()sin sin a c A C -+＝ ()sin sin b A B -．（1）求角C 的大小；（2）若2CB m ＝， 2CA m＝，O 为△ABC 的外心，且CO CB CA αβ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r ＝，求αβ+的最大值．20．（本小题满分12分）设函数()22x x f x k --⋅＝在定义域具有奇偶性．（1）求k 的值；（2）已知()()442x x g x mf x -+-＝在区间[)1,+∞上的最小值为－2，求m 的值．21．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 与公比为正数的等比数列{}n b 满足1122b a ＝＝，2310a b +＝，327a b +＝．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若()()11n n n c a b ++＝，求数列{}n c 的前n 项和n S ；（3）若()()111n n n n n n b A a b a b ++++⋅+＝，数列{}n A 的前n 项和n T ，且n T λ＞恒成立，求λ的最小值．22．（本小题满分12分）对于定义域为R 的奇函数()f x 同时满足下列三个条件： ① 对任意的x ∈R ，都有()()2f x f x +＝-； ② ()11f ＝③ 对任意m ，[]0,1n ∈且m ≤n ，都有()()()()12m n f a f m a f n +-⋅+⋅＝成立，其中 0＜a ＜1．（1）求a 的值；（2）求()()()201920202021234f f f ++的值．参考答案1-5 CAACA6-10 DABDA11-12 BD13. 414.15.16. 617.18.19.22.。

江苏省海安高级中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题

江苏省海安高级中学 2024-2025 学年高三上学期 9 月月考数
学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 A = {0,1, 2,3} ， B = {x log2 x £ 1} ，则 A I B = （）
(2)若 y = 2x 是四边形 AF1BF2 的等线，求四边形 AF1BF2 的面积;
(3)设
uuur OG
=
1 3
uuur OP
，点
G
的轨迹为曲线
G
，证明:
G
在点
G
处的切线
n
为△AF1F2
的等线
试卷第51 页，共33 页
参考答案：
E
:
x2 a2
-
y2 b2
= 1(a
> 0,b > 0) 的左、右焦点分别为 F1, F2, E 的离心率为 2，点 P 为 E 右支上一动
点，直线 m 与曲线 E 相切于点 P ，且与 E 的渐近线交于 A, B 两点，当 PF2 ^ x 轴时，直线
y = 1为 VPF1F2 的等线.
(1)求 E 的方程;
16．设数列{an} 的各项均为正整数．
(1)数列
{an
}
满足
a1 21
+
a2 22
+L+
an-1 2n-1
+
an 2n
= n ，求数列{an} 的通项公式；
(2)若
{an
}
是等比数列，且
ì í î
an n
ü ý þ
是递减数列，求公比

江苏省海安高级中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷(含答案)

江苏省海安高级中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题1．下列关系中正确的是( )A.π∈QB.{}0∅⊆C.{}(){}0,10,1⊆D.(){}(){},,a b b a = 2．设a ,b ∈R ,则“2a >且1b >”是“3a b +>且2ab >”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 3．已知13a a -+=,则1122a a -+=( )A.5B.4．已知函数()2411f x x -=+,则函数()y f x =的解析式是( )A.()222f x x x =++,0x ≥B.()222f x x x =++,1x ≥-C.()222f x x x =-+,0x ≥D.()222f x x x =-+,1x ≥-5．已知()13A x f x x ⎧==⎨-⎩,{}28150B x x x =-+≤．则A B =( ) A.[2,5] B.[3,5] C.(3,5] D.(2,)+∞6．若两个正实数x ,y 满足x y xy +=且存在这样的x ,y 使不等式248x y m m +<+有解,则实数m 的取值范围是( )A.()1,9-B.()9,1-C.()(),91,-∞-+∞D.()(),19,-∞-+∞ 7．中国的5G 技术领先世界,5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,它表示在受噪声干扰的信道中,最大信息传递速率C 取决于信通带宽信噪比比较大时,公式中真数中的1可以忽略不计,按照香农公式,由于技术提升,带宽W（附：lg50.6990≈）A.22%B.33%C.44%D.55%8．若函数()5,1,,1x x a x f x a x x ⎧+-≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的单调函数,则实数a 的取值范围为( ) A.[]3,2-- B.[]3,1-- C.[)2,0- D.()0,+∞二、多项选择题9．设0a b c >>>,则( )A.ac bc >B.c a c b -<-C.2ab c >D.11a c b c -->10．下列命题正确的是( )A.集合{},,a b c 有6个非空子集B.m ∃∈NC.“4m <”是“3m <”的必要不充分条件D.已知23a <<,21b -<<-则2a b +的范围为225a b <+<11．下列命题中为真命题的是( )1>的解集为[]0,3; B.若函数2()4f x x ax =-++有两零点,一个大于2,另一个小于1-,则a 的取值范围是(0,3);C.函数()f x =2()1g x x =-为同一个函数;D.若()f x 的定义域为[2,2]-,则(21)f x -的定义域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 12．早在西元前6世纪,毕达哥拉斯学派已经知道算中项,几何中项以及调和中项.毕达哥拉斯哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项,其中,算术中项,几何中项的()0,02a b a b +≤>>叫做基本不等式,下列与基本不等式有关的命题中正确的是( )A.若0a >,0b >,2a b +=14b ≥B.若实数0a >,0b >满足21a b +=,则24a b +C.若0a >,b >b +=D.若0a >,0b >,a b +=三、填空题13．命题“1x ∀≥,21x ≥”的否定为__________.14．已知集合{}240A x x =-=,{}20B x ax =-=,若x A ∈是x B ∈的必要不充分条件,则实数a 的所有可能取值构成的集合为__________．15．已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞,且满足1()25f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()f x 的最小值为___________．16．若对任意x ∈R ,2222224x ax bx c x x +≤++≤-+ 恒成立,则ab 的最大值为_________．四、解答题17．数学运算是指在明晰运算对象的基础上依据运算法则解决数学问题的素养,因为运算,数的威力无限;没有运算,数就只是个符号．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算．lg8lg16lg9lg 27⎫+⎪⎭的值;（2）已知x ,y ,z 为正数,若346x y ==18．已知集合()(){}110A x x a x a =---+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,{}13B x x =-≤≤.（1）若2a =,求A B ;（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.19．已知函数()f x =()2,2x ∈-,满足条件()00f =,且12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求a ,b 的值;（2）用单调性定义证明：函数()f x 在区间()2,2-上单调递增;（3）若()()1210f a f a +-->,求实数a 的取值范围.20．函数2(3)f x x ax =++（1）当[2,2]x ∈-时()f x a ≥恒成立,求实数a 的取值范围;（2）当[4,6]a ∈时()0f x ≥恒成立,求实数x 的取值范围;21．某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案,要求奖金y （单位：万元）随投资收益x （单位：万元）的增加而增加,奖金不超过90万元,同时奖金不超过投资收益的20%.即假定奖励方案模拟函数为()y f x =时,该公司对函数模型的基本要求是：当[]25,1600x ∈时,①()f x 是增函数;②()90f x ≤恒成立;③()f x ≤(1)现有两个奖励函数模型：①1()1015f x x =+;②()6f x =.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？(2)已知函数()10(2)f x a =≥符合公司奖励方案函数模型要求,求实数a 的取值范围.22．已知定义在R 的函数()f x 满足：①对x ∀,y ∈R ,()()()1f x y f x f y +=+-;②当0x >时,()1f x <;③()12f =-.（1）求()0f ,判断并证明()f x 的单调性;（2）若[]1,1x ∃∈-,使得()225f x m am ≤--,对[]11a ∀∈-，成立,求实数m 的取值范围; （3）解关于x 的不等式()()()226f ax f a x <++.参考答案1．答案：B解析：π是无理数,所以A 选项错误.空集是任何集合的子集,所以B 选项正确.集合{}0,1与集合(){}0,1的元素不相同,所以没有包含关系,所以C 选项错误. ()(),,a b b a ≠,所以D 选项错误.故选：B.2．答案：A解析：若2a >且1b >,由不等式的同向可加性可得3a b +>,由不等式的同向同正可乘性可得2ab >,所以“2a >且1b >”可以推出“3a b +>且2ab >”,即充分性成立;反之,若6a =,b =3b +>且2ab >”,所以 “3a b +>且2ab >”不可以推出“2a >且1b >”,即必要性不成立;所以“2a >且1b >”是“3a b +>且2ab >”的充分不必要条件. 故选：A.3．答案：D 解析：易知11220a a -+>,而211212)(25a a a a --+=++= 故1122a a -+故选：D.4．答案：B解析：()()224211111f x x x ⎡⎤-=+=-++⎣⎦,且211x -≥-,所以()()221122f x x x x =++=++,1x ≥-. 故选：B.5．答案：C解析：由30240x x -≠⎧⎨-≥⎩解得2x ≥且3x ≠,所以[)()2,33,A =+∞.由()()2815350x x x x -+=--≤,解得35x ≤≤,所以[]3,5B =,所以A B =(3,5].故选：C.6．答案：C解析：由x y+=11y +=, 则()11444559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭, 即()min 49x y +=,则289m m +>,则()(),91,m ∈-∞-+∞,故选：C.7．答案：C解析：由题意可知：C 大约增加了222100022120%log 4000log 1000 1.2log 40001 1.2log 400010.4lg 40001log 1000log 1000W W W -=-=-=- 0.4(32lg 2)10.20.8(1lg5)0.4408=+-=+-≈,故选：C. 8．答案：A解析：函数()5,1,1x x a x f x a x x ⎧+-≤⎪=⎨>⎪⎩, 当1a =-时,()15,11,1x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨->⎪⎩, 当1x ≤时,()25f x x x =-+-,函数图像的对称轴为x =排除B 、C; 当1a =时,()15,11,1x x x f x x x ⎧+-≤⎪=⎨>⎪⎩, 当()1,1x ∈-时,25fx x x =+-（）,函数图像对称轴为x =故选：A ．9．答案：BD解析：因为0a b c >>>,故ac bc <,故A 错误,而a b -<-,故c a c b -<-,故B 正确.<c b>即11a c b c -->,故D 正确. 取2a b ==,3c =-此时0a b c >>>,但2ab c <,故C 错误. 故选：BD.10．答案：BCD解析：集合{},,a b c 非空子集的个数为3217-=,故A 错误; 当m =1=∈N ,符合题意,故B 正确;由条件可得34m m <⇒<,反之,不成立,所以“4m <”是“3m <”的必要不充分条件,故C 正确;因为23a <<,21b -<<-则426a <<,所以225a b <+<,故D 正确; 故选：BCD.11．答案：BCD1>,等价于()21011x x x -≠⎧⎪⎨+>-⎪⎩,解得01x <<或13x <<,故A 错误;对于B 选项,由()24f x x ax =-++有两个零点,一个大于2,一个小于-1,则()()1020f f ->⎧⎪⎨>⎪⎩,即3020a a -+>⎧⎨>⎩,解得0<<3a ,故B 正确; 对于C 选项,由()422111x f x x x -==-+,定义域为R ,而()21g x x =-的定义域为R ,所以它们是同一函数,故C 正确;对于D 选项,由()f x 的定义域为[]22-,,2212x ∴-≤-≤,解得1322x -≤≤,所以函数()21f x -的定义域为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,故D 正确. 故选：BCD.12．答案：ACD解析：对于A 选项：因为0a >,0b >,21a b +=()1112222422b a a b b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭=2a =时,等号成立,故正确; 对于B 选项： 21a b +=22222221(2)4442(4)a b a b ab a b a b ∴=+=++=+++≤,224a b ≥∴+a b ==对于C 选项：原式()()11111111131213331b b b b b b b b b a ⎛⎫=+=+=+=+-+ ⎪-+--⎝⎭+ 131133b b b b -⎛⎫=+++≥ ⎪-⎝⎭=2=时取等号）．故正确; 对于D 选项．令22a m b n +=⎧⎨+=⎩,则22a mb n =-⎧⎨=-⎩,由4a b +=,得8m n +=,()()22222444442m n b m n b m n m n m --=+=+-++-=++()411111222222n m m n n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝, =m =时,等号成立,故正确; 故选：ACD.13．答案：1x ∃≥,使得21x <解析：根据全称命题的否定为特称命题,所以命题“1x ∀≥,21x ≥”的否定为“1x ∃≥,使得21x <”.故答案为：1x ∃≥,使得21x <. 14．答案：{}1,0,1-解析：依题意,{}{}2|402,2A x x =-==-,若0a =,则B =∅,满足x A ∈是x B ∈的必要不充分条件.当0a ≠时,2|B x x a ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭,由于x A ∈是x ∈=2=-, 解得1a =或1a =-, 综上所述,a 的所有可能取值构成的集合为{}1,0,1-. 故答案为：{}1,0,1-.15．答案：解析：因为1()25f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()1524x f f x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭两式联立得()2f x x x =+得()2f x x x =+≥()0x x =>,即x =()f x 的最小值为故答案为：解析：令1x =,则44a b c ≤++≤,故4a b c ++=,对任意x ∈R ,222x ax bx c +≤++,则2(2)20ax b x c +-+-≥恒成立, 222(2)4(2)(2)4(2)(2)0b a c a c a c a c ∴∆=---=+---=-+≤ 2c a ∴=+,此时22b a =-,211(22)2(1)2()22ab a a a a a ∴=-=-=--+≤当a =1=,c =此时()()2222333224310222x x ax bx c x x x -+-++=-+=-≥成立,解析：（1）原式lg33lg 24lg 2lg317lg 2172lg 22lg33lg32lg 26lg312⎛⎫=+=⨯= ⎪⎝⎭; （2）由题意知,令346x y z a ===,则0a >,所以3log x a =,4log y a =,6log z a=,4463log log ln ln 6ln ln 3ln 6ln 3ln 2log log ln 4ln ln 4ln ln 4ln 42ln 2a a y a a x a a a a =-=⨯-⨯=-==18．答案：（1）{|13}x x -≤≤（2）[0,2]解析：（1）2a =时,集合{|[(1)][(1)]0}{|13}A x x a x a x x =---+<=<<, {|13}B x x =-≤≤．{|13}A B x x ∴=-≤≤;（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件,则A B ⊆, 集合{|[(1)][(1)]0}{|11}A x x a x a x a x a =---+<=-<<+≠∅, ∴1113a a -≥-⎧⎨+≤⎩,解得02a ≤≤,∴实数a 的取值范围是[0,2]．19．答案：（1）1,0a b == （2）证明见解析（3）1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭ 解析：（1）因为()f x =()00f =,12217f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,所以20412142b a b ⎧=⎪⎪⎪+⎨=⎪⎪⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎩10a b ==,所以1a =,0b =. （2）由（1）得()f x =1x ∀,()22,2x ∈-且12x x <,有()()()()()()221221121222221212444444x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-==++++由于1222x x -<<<,210x x ∴->,1240x x -<,()()120f x f x ∴-<即()()12f x f x <, 所以函数()f x 在区间()2,2-上单调递增.（3）由()()1210f a f a +-->得()()121f a f a +>- 又函数()f x 在区间()2,2-上单调递增,所以2122212121a a a a -<+<⎧⎪-<-<⎨⎪+>-⎩,解得3122a a a -<<⎧⎪⎪-<<⎨⎪<⎪⎩112a <<,所以实数a 的取值范围是1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭.20．答案：(1)[7,2]--(2)(,3[36,)x ∈-∞---++∞解析：（1）①当22a-<-,即4a >时()()min 2423f xf a a =-=-+≥,所以a ≤②当222a -≤-≤,即44a -≤≤时()22min3242a a a f x f a ⎛⎫=-=-+≥ ⎪⎝⎭,所以24120a a +-≤,解得62a -≤≤此时[]4,2a ∈- ③当22a ->,即4a <-时()()min 2423f x f a a ==++≥,所以7a ≥-．此时[)7,4a ∈--综上所述：实数a 的取值范围是[]7,2-- （2）令()23h a x a x =⋅++所以()()2244306630h x x h x x ⎧=++≥⎪⎨=++≥⎪⎩解得3133x x x x ≤-≥-⎧⎪⎨≤-≥-⎪⎩或所以[(),336,x ∈-∞--++∞21．答案：(1)函数模型：②()6f x =符合公司要求; (2)522a ≤≤．解析：(1)对于函数模型：①1()1015f x x =+,验证条件③：当30x =时()12f x =，而65x=，即()f x ≤对于函数模型：②()6f x =,当[]25,1600x ∈时,条件①()f x 是增函数满足;max ()624067490f x ∴==⨯-=<,满足条件②;对于条件③：记()6(251600)5xg x x =-≤≤则21()515g x =--（）[]5,40x∈,∴时,()2max 1()551=105g x =----≤ ()f x ∴≤故函数模型： ②()6f x =符合公司要求. (2) 2a≥,∴函数()10f x =符合条件①;由函数()10f x=符合条件②,得10401090a -=⨯-≤,解得：a ≤由函数()10f x=符合条件③,得10≤[]25,1600∈恒成立,即a ≤+[]25,1600∈恒成立.5≥50x =时等号成立, ∴a ≤综上所述,实数a 的取值范围52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦．22．答案：（1）()01f =,()f x 单调递减区间为R ,无单调递增区间; （2）(][),33,-∞-+∞;（3）2a >时,解集为()2,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭;02a <<时,解集为()2,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭;0a =时,解集为(),1-∞;0a <时,解集为2,1a ⎛⎫⎪⎝⎭.解析：（1）令0x y ==,得()()()0001f f f =+-,解得：()01f =; 令12x x <,即210x x ->,则()()()()()()()()21211121112111f x f x f x x x f x f x x f x f x f x x -=-+-=-+--=--, 因为0x >时,()1f x <,所以12x x <时,()()()212110f x f x f x x -=--<, 所以()f x 在R 上的单调递减;故()f x 单调递减区间为R ,无单调递增区间. （2）由（1）知,[]1,1x ∈-时,()f x 单调递减, 又()12f =-,则[]1,1x ∈-时,()()min 12f x f ==-;因为[]1,1x ∃∈-,使得()225f x m am ≤--,对[]1,1a ∀∈-成立, 所以()2min 25f x m am ≤--,则2252m am --≥-, 即对[]1,1a ∀∈-,2230m am --≥成立; 设()[]()2231,1g a am m a =-+-∈-, 则对[]1,1a ∀∈-,()0g a ≥恒成立,即()()221230,1230,g m m g m m ⎧-=+-≥⎪⎨=--≥⎪⎩解得：3m ≥或3m ≤-;故实数m 的取值范围为(][),33,-∞-+∞.（3）令y x =-,得()()()01f f x f x =+--,又知()01f =,即()()2f x f x +-=,所以()()2f x f x =--;因为()12f =-,所以()()1214f f -=-=,()()()21117f f f -=-+--=; 不等式()()()226f ax fa x <++等价于()()()226f ax f a x -+<,即()()()()()()2222268f ax f a x f ax f a x ⎡⎤---+<⇒⎣⎦+-+<; 又因为()()()1f x y f x f y +=+-,所以()()()1f x f y f x y +=++, 故()()2218f ax a x -++<,则()()()2272f ax a x f -+<=-; 因为()f x 在R 上单调递减,所以()222ax a x -+>-, 即()2220ax a x -++>⇒()()210ax x -->,①2a >时,201a <<,解得1x >或x <②0a <<1>,解得x >1<;③0a =时,解得1x <;④a <0<<1x <<;综上所述：不等式()()()226f ax fa x <++的解集为：2a >时,解集为()2,1,a ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭;02a <<时,解集为()2,1,a⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭;0a =时,解集为(),1-∞;0a <时,解集为2,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭.。

2024届江苏省南通市海安县海安高级中学数学高一下期末检测模拟试题含解析

2024届江苏省南通市海安县海安高级中学数学高一下期末检测模拟试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．长方体共顶点的三个相邻面面积分别为2,3,6，这个长方体的顶点在同一个球面上，则这个球的表面积为（） A ．6πB ．8πC ．12πD ．24π2．在等腰梯形ABCD 中，2AB DC =，点E 是线段BC 的中点，若AE AB AD λμ=+，则(λμ+= ) A ．52B ．54C ．12D ．143．在平行四边形ABCD 中，()()1.2,2,0A B -,()2,3AC =-,则点D 的坐标为（） A ．()6,1B ．()6,1--C ．()0,3-D ．()0,34．如图，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB 等于（）A ．56B ．3C ．52D ．65．在区间[1,5]内任取一个实数，则此数大于2的概率为（）A ．25B ．12C ．35D ．346．已知点(2,3),(3,2)A B ---，直线l 方程为10kx y k -++-=，且直线l 与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围为（）A ．34k ≥或 4k ≤- B ．34k ≥或 14k ≤- C ．344k -≤≤D ．344k ≤≤ 7．设R a ∈，若关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[]1,2上有解，则（） A ．2a ≤B ．2a ≥C ．52a ≥D ．52a ≤8．在ABC 中，若sin sin sin 34A B Ck ==，则下列结论错误的是（） A ．当5k =时，ABC 是直角三角形 B ．当3k =时，ABC 是锐角三角形 C ．当2k =时，ABC 是钝角三角形D ．当1k =时，ABC 是钝角三角形9．已知a ，b ，c 满足,0c b a ac <<<且，那么下列选项一定正确的是（） A ．22ca ac >B ．ac bc >C ．22ab cb >D ．ab ac >10．已知点O 是边长为2的正三角形ABC 的中心，则OB OC ⋅=（） A ．16-B ．23-C ．12-D ．56-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

江苏省海安高级中学高一数学试卷(27)

江苏省海安高级中学高一数学试卷（）编制：一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则AB AD ⋅=u u u r u u u r▲ ．【答案】1522．已知向量()1,3=-a ，则与a 反向的单位向量是 ▲ ．【答案】31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭3．若()π3sin 25θ+=，则cos2θ= ▲ ．【答案】725- 4．在△ABC 中，若sin sin sin a A b B c C +<，则△ABC 的形状是 ▲ ．【答案】钝角三角形5．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin c a C =，bc ＝4，则△AB C的面积等于 ▲ ．【答案】16．如图，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，AB ＝2，AD ＝DC ＝1，P 是线段BC 上一动点，Q 是线段DC 上一动点，DQ DC λ=u u u r u u u r ，()1CP CB λ=-u u u r u u u r ，则AP AQ ⋅u u u r u u u r的取值范围是▲ ．【答案】[0,2]7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，若222sin sin sin 3sin sin A C B A C +-=，则角B 为 ▲ ．【答案】30°8．若5π3π,42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1sin 21sin 2θθ-+可化简为 ▲ ．【答案】2cos θ9．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且7453n n A n B n +=+，则使得n nab 为整数的正整数n 的个数是 ▲ ．【答案】510．将正奇数按下表的规律填在5列的数表中，则第20行第3列的数字与第20行第2列数字的和为 ▲ ．【答案】31211．正方形1S 和2S 内接于同一个直角三角形ABC 中，如图所示，设A α∠=，若1441S =，2440S =，则sin2α= ▲ ．【答案】11012．已知函数()()10,0f x ax x a x =+>>在x ＝2时取得最小值，则a ＝ ▲ ．【答案】1413．已知二次函数()24f x ax x c =-+的值域是[)0,+∞，则19a c +的最小值是 ▲ ．【答案】314．如果关于x 的不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(),a b 和()11,b a，那么称这两个不ABCDEFS 1αABCPNF S 2αMQ等式为“对偶不等式”．如果不等式220x x θ-⋅+<与不等式224sin 210x x θ+⋅+<为“对偶不等式”，且()π,π2θ∈，那么θ= ▲ ．【答案】5π6二、解答题：本大题共6小题，计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知平面向量()1,x =a ，()23,x x =+-b ，x ∈R ．（1）若a ⊥b ，求x 的值；（2）若a ∥b ，求|a －b |的值．【答案】（1）x ＝－1或x ＝3；（2）2或 16．（本小题满分14分）已知函数()2cos sin cos f x x x x =+，x ∈R ．（1）求()π6f 的值；（2）若3sin 5α=，且()π,π2α∈，求()π224f α+．【答案】（1；（217．（本小题满分14分）设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且()2cos cos b A C =．（1）求角A 的大小；（2）若角π6B =，BC 边上的中线AM ，求△ABC 的面积．【答案】（1）π6；（218．（本小题满分16分）设函数()2f x x a =-，a ∈R ．（1）若不等式()1f x <的解集为{}13x x <<，求a 的值；（2）若存在0x ∈R ，使()003f x x +<，求a 的取值范围．【答案】（1）a ＝1；（2）32a <19．（本小题满分16分）某校要建一个面积为450平方米的矩形球场，要求球场的一面利用旧墙，其他各面用钢筋网围成，且在矩形一边的钢筋网的正中间要留一个3米的进出口（如图）．设矩形的长为x 米，钢筋网的总长度为y 米．（1）列出y 与x 的函数关系式，并写出其定义域；（2）问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？（3）若由于地形限制，该球场的长和宽都不能超过25米，问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网的总长度最小？【答案】（1）()90030150y x x x=+-<< （2）长为30米，宽为15米，所用的钢筋网的总长度最小. （3）长为25米，宽为18米时，所用的钢筋网的总长度最小 20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足()22n n S a n n *=-∈N ．（1）求数列{}n a 的通项n a ；（2）若数列{}n b 满足()2log 2n n b a =+，n T 为数列2n n b a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和，求证：12n T ≥．【答案】（1）122n n a +=-；。

江苏省南通市海安高级中学高一下学期3月线上考试数学试题(解析版)

江苏省南通市海安高级中学高一下学期3月线上考试数学试题一、单选题1．某地区对当地3000户家庭的2018年所的年收入情况调查统计，年收入的频率分布直方图如图所示，数据（单位：千元）的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，则年收入不超过6万的家庭大约为（）A．900户B．600户C．300户D．150户【答案】A【解析】先计算年收入不超过6万的家庭的频率,再根据样本估计总体的方法求解即可. 【详解】由频率分布直方图可得,年收入不超过6万的家庭的频率为（0.005+0.010）×20＝0.3.可得年收入不超过6万的家庭大约为3000×0.3＝900户.故选：A.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的应用,属于基础题.2．计算sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒的结果为（）A．12B．12-C．32D．3【答案】B【解析】先用诱导公式将sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒化为cos47cos73+sin43sin17-︒︒︒︒，然后用余弦的差角公式逆用即可. 【详解】sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒cos43cos17+sin43sin17=-︒︒︒︒1cos 43cos17sin 43sin17)co (s 602=︒︒-︒︒=-︒--=故选：B 【点睛】本题考查诱导公式和和角的三角函数公式的应用，属于基础题.3．已知向量a ，b 满足a =（x ，1），b =（1，﹣2），若a ∥b ，则a 2b +（） A ．（4，﹣3） B ．（0，﹣3） C ．（32，﹣3） D ．（4，3）【答案】C【解析】根据a =（x ，1），b =（1，﹣2），且a ∥b ，求得向量a 的坐标，再求a 2b +的坐标. 【详解】因为a =（x ，1），b =（1，﹣2），且a ∥b ，所以21x -= ，所以12x =- ，所以a =（12-，1），所以a 32,32⎛⎫+=- ⎪⎝⎭b . 故选：C 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4．已知某种商品的广告费支出x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间有如下对应数据：根据上表可得回归方程y bx a =+，计算得7b =，则当投入10万元广告费时，销售额的预报值为 A ．75万元 B ．85万元 C ．99万元D ．105万元【答案】B【解析】分析：根据表中数据求得样本中心(,)x y ，代入回归方程ˆ7ˆyx a =+后求得ˆa ，然后再求当10x =的函数值即可．详解：由题意得11(24568)5,(3040506070)5055x y =++++==++++=， ∴样本中心为(5,50)．∵回归直线ˆ7ˆyx a =+过样本中心(5,50)， ∴ˆ5075a=⨯+，解得ˆ15a =， ∴回归直线方程为ˆ715yx =+．当10x =时，710158ˆ5y=⨯+=，故当投入10万元广告费时，销售额的预报值为85万元．故选B ．点睛：本题考查回归直线过样本中心这一结论和平均数的计算，考查学生的运算能力，属容易题．5．已知函数f （x ）＝3x +x ，g （x ）＝log 3x +x ，h （x ）＝x 3+x 的零点分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小顺序为（） A ．a ＞b ＞c B ．b ＞c ＞aC ．c ＞a ＞bD ．b ＞a ＞c【答案】B【解析】分别求解三个函数的零点满足的关系式,再数形结合利用函数图像的交点比较大小即可. 【详解】f （x ）＝3x +x ＝0,则x ＝﹣3x ,g （x ）＝log 3x +x ,则x ＝﹣log 3x ,h （x ）＝x 3+x ,则x ＝﹣x 3,∵函数f （x ）,g （x ）,h （x ）的零点分别为a ,b ,c , 作出函数y ＝﹣3x ,y ＝﹣log 3x ,y ＝﹣x 3,y ＝x 的图象如图, 由图可知：b ＞c ＞a ,故选：B. 【点睛】本题主要考查了函数零点的运用以及数形结合求解函数值大小的问题,属于中档题. 6．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg /mL ．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（）（参考数据：lg 0.2≈﹣0.7，1g 0.3≈﹣0.5，1g 0.7≈﹣0.15，1g 0.8≈﹣0.1） A ．1 B ．3C ．5D ．7【答案】C【解析】根据题意先探究出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型0.70.2x ≤ 求解.【详解】因为1小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg /mL , x 小时后血液中酒精含量为（1-30%）x mg /mL 的，由题意知100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，所以()3002%1.x-<，0.70.2x <，两边取对数得，lg 0.7lg 0.2x < ，lg 0.214lg 0.73x >= ，所以至少经过5个小时才能驾驶汽车.【点睛】本题主要考查了指数不等式与对数不等式的解法，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于基础题.7．已知ω＞0，0＜φ＜π，直线4x π=和54x π=是函数f （x ）＝sin （ωx +φ）图象的两条相邻的对称轴，若将函数f （x ）图象上每一点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标变为原来的2倍，则得到的图象的函数解析式是（） A ．224y sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．1224y sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．y ＝2cos2xD ．1228y sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】A【解析】根据题意先求得()()sin f x x ωϕ=+的周期,再根据三角函数图像变换的方法求解析式即可. 【详解】 ∵直线4x π=和54=x π是函数f （x ）＝sin （ωx +φ）图象的两条相邻的对称轴, ∴周期T ＝2×（544ππ-）＝2π,即22ππω=,得ω＝1, 则f （x ）＝sin （x +φ）,由五点对应法得4π+φ2π=,得φ4π=,即f （x ）＝sin （x 4π+）,若将函数f （x ）图象上每一点的横坐标变为原来的12倍,得到y ＝sin （2x 4π+）, 然后纵坐标变为原来的2倍,得到y ＝2sin （2x 4π+）,故选：A. 【点睛】本题主要考查了根据函数性质求解参数以及三角函数变换的方法等.属于中档题.8．已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若222c a b -=，且c =a -的取值范围是（）A ．(1,0)-B ．(1-C ．(D ．【解析】分析：利用222c a b -=求得,4C π=由正弦定理a 转化为A 、B 的表达式，利用三角形内角和定理华为同一个角的三角函数，即可得到2a -的取值范围.详解：由题，222c a b -=，可得222cos ,0,22a b c C C ab π+-==<<,4C π∴=由正弦定理可得2,2sin ,2sin sin sin sin c b ab B a A C B A===∴==，且3,44A B B πππ=--=-则32sin 2sin 4a A B B B π⎛⎫==- ⎪⎝⎭B B B B =30,4B π<<2cos 1,12B B ∴-<<-<< 故选B.点睛：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变形的应用，属于基础题． 9．已知函数f （x ）＝x 2+bx ，若f （f （x ））的最小值与f （x ）的最小值相等，则实数b 的取值范围是（） A ．[0，2]B ．[﹣2，0]C ．（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）D ．（﹣∞，0]∪[2，+∞）【答案】D【解析】先求得()f x 的最小值,再根据二次函数对称轴与值域的关系列出不等式求解即可. 【详解】由于f （x ）＝x 2+bx ,x ∈R.则当x 2b =-时,f （x ）min 24b =-, 又函数y ＝f （f （x ））的最小值与函数y ＝f （x ）的最小值相等,则函数y 必须要能够取到最小值,即242b b-≤-,得到b ≤0或b ≥2,所以b的取值范围为{b|b≥2或b≤0}.故选：D.【点睛】本题主要考查了二次函数的性质运用,需要分析到对称轴满足的关系式,属于常考题. 10．给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；③半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面；④棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形．其中正确命题的序号是（）A．①②④B．①②③C．②③D．③【答案】D【解析】根据常见几何体的性质逐个判定即可.【详解】对于①,棱柱的侧棱都相等,侧面都是平行四边形,但不一定是全等平行四边形,所以①错误；对于②,用一个平行于底面的平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是棱台,所以②错误；对于③,半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫做球面,③正确；对于④,棱台的侧棱延长后交于一点,但侧面不一定是等腰梯形,所以④错误.综上知,正确的命题序号是③.故选：D.【点睛】本题主要考查了常见几何体的性质判定,属于基础题.二、多选题11．抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A,“向上的点数是1,2”为事件B,“向上的点数是1,2,3”为事件C,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D,则下列关于事件A，B，C，D判断正确的有（）A．A与B是互斥事件但不是对立事件B．A与C是互斥事件也是对立事件C．A与D是互斥事件D．C与D不是对立事件也不是互斥事件【答案】AD【解析】根据互斥事件的定义以及对立事件的定义逐个判定即可. 【详解】抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事件A ,“向上的点数是1,2”为事件B , “向上的点数是1,2,3”为事件C ,“向上的点数是1,2,3,4”为事件D ,在A 中,A 与B 不能同时发生,但能同时不发生,是互斥事件但不是对立事件,故A 正确；在B 中,A 与C 是对立事件,故B 错误；在C 中,A 与D 能同时发生,不是互斥事件,故C 错误；在D 中,C 与D 能同时发生,不是对立事件也不是互斥事件,故D 正确. 故选：AD. 【点睛】本题主要考查了互斥与对立事件的判定,属于基础题. 12．下列说法中正确的有（）A ．设正六棱锥的底面边长为1，侧棱长为B ．用斜二测法作△ABC 的水平放置直观图得到边长为a 的正三角形，则△ABC 面积2 C ．三个平面可以将空间分成4，6，7或者8个部分 D ．已知四点不共面，则其中任意三点不共线．【答案】ACD【解析】对A,根据题意求出底面积与高再求体积判定即可. 对B,根据斜二测画法前后面积的关系求解判断即可. 对C,分析这三个平面的位置关系再逐个讨论即可. 对D,利用反证法证明即可. 【详解】对于A,正六棱锥的底面边长为1,则S 底面积＝6•12⨯1×1×sin60°=；则棱锥的高h ==2,所以该棱锥的体积为V 13=S 底面积h 13=2=正确；对于B,水平放置直观图是边长为a 的正三角形,直观图的面积为S ′12=⨯a 2×sin60°2=,则原△ABC 的面积为S ＝′＝2a 2=a 2,所以B 错误；对于C,若三个平面互相平行,则可将空间分为4部分；若三个平面有两个平行,第三个平面与其它两个平面相交,则可将空间分为6部分；若三个平面交于一线,则可将空间分为6部分；若三个平面两两相交且三条交线平行（联想三棱柱三个侧面的关系）,则可将空间分为7部分；若三个平面两两相交且三条交线交于一点（联想墙角三个墙面的关系）,则可将空间分为8部分；所以三个平面可以将空间分成4,6,7或8部分,C 正确；对于D,四点不共面,则其中任意三点不共线,否则是四点共面,所以D 正确；综上知,正确的命题序号是ACD. 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查了立体几何中的基本性质与空间中线面的关系问题,属于基础题. 13．下列函数()f x 对任意的正数1x ，2x ，3x 满足123123()()()()f x x x f x f x f x ++≤++的有（）A ．()42sin f x x =+B ．()f x =C ．()xf x e =D ．()ln(1)f x x =+【答案】ABD【解析】根据四个选项中的函数证明不等式123123()()()()f x x x f x f x f x ++≤++成立或举反例说明不成立(举反例时中让123x x x ==)．【详解】A ．123123()42sin()6f x x x x x x ++=+++≤，123123()()()42sin 42sin 42sin 6f x f x f x x x x ++=+++++≥，A 正确；B ．2123123x x x x x x =+++>++，B 正确；C ．1231x x x ===时，1233x x x e e e e e ++=>++，C 错；D ．123123122313123123(1)(1)(1)11x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++=+++++++>+++，∴123123123ln[(1)(1)(1)]ln(1)ln(1)ln(1)ln(1)x x x x x x x x x +++=+++++>+++，D 正确．故选：ABD ．【点睛】本题考查正弦函数、幂函数、指数函数、对数函数的性质，对于函数的性质123123()()()()f x x x f x f x f x ++≤++，正确的需进行证明，错误的可举一反例说明．三、填空题14．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量(),a m n =与向量()1,1b =-的夹角为θ，则θ为锐角的概率是__________．【答案】512【解析】连掷两次骰子分别得到点数m ,n ,所组成的向量(m ,n )的个数共有36种由于向量(m ,n )与向量(1,−1)的夹角θ为锐角,∴(m ,n )⋅(1,−1)>0，即m >n ，满足题意的情况如下：当m =2时，n =1；当m =3时，n =1，2；当m =4时，n =1，2，3；当m =5时，n =1，2，3，4；当m =6时，n =1，2，3，4，5；共有15种，故所求事件的概率为：1553612= . 15．若等腰△ABC 的周长为3，则△ABC 的腰AB 上的中线CD 的长的最小值为_____【解析】画图利用三角形三边的关系以及余弦定理分析求解即可. 【详解】如图所示,设腰长AB ＝2x ,则BC ＝3﹣4x ＞0,解得0＜x34＜；由中线长定理可得：2CD2+2x2＝（2x）2+（3﹣4x）2,化为：CD2＝9（x23-）212+；∴x23=时,CD取得最小值为1222=.2.【点睛】本题主要考查了利用三角形三边之间的关系与余弦定理求解线段长度的最值问题等,需要建立关于所求线段的等式再根据函数的最值分析.属于常考题.16．用一张长为12，宽为8的铁皮围成圆柱形的侧面，则这个圆柱的体积为_____；半径为R的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高是_____．【答案】288π或192π3【解析】①根据底面周长等于铁皮的边长,进而求得底面半径,再计算体积即可.②根据圆锥底面周长等于扇形弧长列式求解即可.【详解】①若圆柱的底面周长为12,则底面半径为r6π=,高为h＝8,此时圆柱的体积为V＝π•r2•h288π=；若圆柱的底面周长为8cm,则底面半径为r′4π=,h′＝12,此时圆柱的体积V＝π•r′2•h′192π=；所以圆柱的体积为288π或192π；②半径为R的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒,所以底面圆的半径r满足2πr＝πR,即2r＝R；所以该圆锥筒的轴截面是边长为R的等边三角形,则其高为h ==. 故答案为：(1)288π或192π. 【点睛】本题主要考查了圆柱与圆锥的体积与周长等的关系,属于常考题.17．对于函数y ＝f （x ），若在其定义域内存在x 0，使得x 0f （x 0）＝1成立，则称函数f （x ）具有性质M ．（1）下列函数中具有性质M 的有____ ①f （x ）＝﹣x +2②f （x ）＝sin x （x ∈[0，2π]） ③f （x ）＝x 1x+，（x ∈（0，+∞）） ④f （x）=（2）若函数f （x ）＝a （|x ﹣2|﹣1）（x ∈[﹣1，+∞））具有性质M ，则实数a 的取值范围是____．【答案】①②④ a 12≤-或a ＞0 【解析】（1）①因为f （x ）＝﹣x +2，若存在，则()0021x x -+=，解一元二次方程即可.②若存在，则00sin 1x x =，即00sin 10x x -=，再利用零点存在定理判断.③若存在，则00011x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，直接解方程.④若存在，则1x =，即10x -=，令()01f x x =-，再利用零点存在定理判断.（2）若函数f （x ）＝a （|x ﹣2|﹣1）（x ∈[﹣1，+∞））具有性质M ，则ax （|x ﹣2|﹣1）=1，x ∈[﹣1，+∞）有解，将问题转化：当2x ≥ 时，213a x x=- 有解，当12x -≤< 时，21a x x=-+ 有解，分别用二次函数的性质求解.【详解】（1）①因为f （x ）＝﹣x +2，若存在，则()0021x x -+=，即200210x x -+=，所以01x = ，存在.②因为f （x ）＝sin x （x ∈[0，2π]），若存在，则00sin 1x x =，即00sin 10x x -=，令()00sin 1f x x x =-，因为()πππ⎛⎫=-<=->⎪⎝⎭1sin 110,sin 10222f f ，所以存在01,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. ③因为f （x ）＝x 1x+，（x ∈（0，+∞）），若存在，则00011x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()000,x =∉+∞，所以不存在. ④因为f （x）（x ∈（0，+∞）），若存在，则1x =，即10x -=，令()1f x x =-，因为()1110,11022f f ⎛⎫=-<=-> ⎪⎝⎭，所以存在01,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭. （2）若函数f （x ）＝a （|x ﹣2|﹣1）（x ∈[﹣1，+∞））具有性质M ，则ax （|x ﹣2|﹣1）=1，x ∈[﹣1，+∞）有解，当2x ≥ 时，213a x x=- 有解，令2239()3[2,)24g x x x x ⎛⎫=-=--∈-+∞ ⎪⎝⎭ ，所以1(,](0,)2a ∈-∞-+∞ .当12x -≤< 时，21a x x=-+ 有解，令22111()[2,]244g x x x x ⎛⎫=-+=--+∈- ⎪⎝⎭ ，所以1(,](0,4]2a ∈-∞- .综上：实数a 的取值范围是a 12≤-或a ＞0. 故答案为：(1). ①②④ (2). a 12≤-或a ＞0【点睛】本题主要考查了函数的零点，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.四、解答题18．某校有教师400人，对他们进行年龄状况和学历的调查，其结果如下：(1)若随机抽取一人，年龄是35岁以下的概率为35，求,x y ； (2)在35-55岁年龄段的教师中，按学历状况用分层抽样的方法，抽取一个样本容量为5的样本，然后在这5名教师中任选2人，求两人中至多有1人的学历为本科的概率. 【答案】（1）20；（2）710【解析】分析：（1）(1)由由古典概型概率公式8034005x +=，解得160x =,故()4001608060404020y =-++++=；（2）由分层抽样的规律可知，需学历为研究生的2人，记为12,A A ，学历为本科的3人，记为的123,,B B B ，列举可得总的基本事件，找出符合题意得基本事件，由古典概型公式可得. 详解：(1)由已知可知8034005x +=，解得160x =, 故()4001608060404020y =-++++=.(2)由分层抽样的规则可知，样本中学历为硕士的人数为4052100⨯=人，记为12,A A , 学历为本科的人数为6053100⨯=人.记为123,,B B B , 从中任选2人所有的基本事件为121112132121222312|,|,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B A B B B1323,,,?B B B B 共10个，设“至多有1人的学历为本科”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为1211121321|,|,,,,,,,,A A A B A B A B A B 2223,,,A B A B ，共7个.所以()710P A =. 点睛：本题主要考查分层抽样的应用以及古典概型概率公式的应用，属于中档题. 总体中个体差异明显，层次分明适合分层抽样，其主要性质是，每个层次，抽取的比例相同. 19．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2bacosB c =-．（1）求角A ；（2）若△ABC 外接圆的面积为4π，且△ABC 的面积S =△ABC 的周长．【答案】（1）3A π=．（2）6+．【解析】(1)根据正弦定理边化角,再利用三角函数和差角公式化简求解即可.(2)利用正弦定理可得a =,再结合面积公式与余弦定理求解b c +即可. 【详解】解：（1）法一：已知2bacosB c =-,由正弦定理得2sin A cos B ＝2sin C ﹣sin B ＝2sin （A +B ）﹣sin B ,可得：2cos A sin B ﹣sin B ＝0,可得：sin B （2cos A ﹣1）＝0, ∵sin B ≠0, ∴12cosA =, ∵A ∈（0,π）, ∴3A π=. 法二：已知2b acosB c =-,由余弦定理得22222a cb ba c ac +-⋅=-,可得：a 2＝b 2+c 2﹣bc又a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A , ∴12cosA =, ∵A ∈（0,π）, ∴3A π=. （2）由△ABC 外接圆的面积为πR 2＝4π,得到R ＝2,由正弦定理知23243a a R sinA ===, ∴23a =. ∵△ABC 的面积1232S bcsinA ==,可得bc ＝8. 法一：由余弦定理得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝（b +c ）2﹣3bc ,即12＝（b +c ）2﹣24 从而b +c ＝6,故△ABC 的周长为623a b c ++=+.法二：由余弦定理得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝b 2+c 2﹣bc ,即b 2+c 2＝20从而42b c =⎧⎨=⎩或24b c =⎧⎨=⎩, 故△ABC 的周长为623a b c ++=+. 【点睛】本题主要考查了正余弦定理与面积公式等在解三角形中的运用,属于中档题.20．如图，在空间四边形ABCD 中，,E F 分别是,AB AD 的中点，,G H 分别在,BC CD 上，且::1:2BG GC DH HC ==.（1）求证：,,,E F G H 四点共面；（2）设EG 与FH 交于点P ，求证：,,P A C 三点共线. 【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）利用三角形的中位线平行于第三边；平行线分线段成比例定理，得到EF 、GH 都平行于BD ，利用平行线的传递性得到EF ∥GH ，据两平行线确定以平面得证．（2）利用分别在两个平面内的点在两个平面的交线上，得证．试题解析：证明：（1）因为,E F 分别为,AB AD 的中点，所以EFBD .在BCD ∆中，BG DHGC HC=，所以GHBD ，所以EF GH .所以,,,E F G H 四点共面.（2）因为EG FH P ⋂=，所以P EG ∈，又因为EG ⊂平面ABC ，所以P ∈平面ABC ，同理P ∈平面ADC ，所以P 为平面ABC 与平面ADC 的一个公共点. 又平面ABC 平面ADC AC =. 所以P AC ∈，所以,,P A C 三点共线. 21．已知奇函数f （x ）222x b x +=+，函数g （θ）＝cos 2θ+2sinθ32-，θ∈[m ，56π]．m ，b ∈R ．（1）求b 的值；（2）判断函数f （x ）在[0，1]上的单调性，并证明；（3）当x ∈[0，1]时，函数g （θ）的最小值恰为f （x ）的最大值，求m 的取值范围．【答案】（1）b ＝0；（2）在[0，1]上的单调递增，证明见解析；（3）566ππ≤<m 【解析】（1）根据函数f （x ）222x bx +=+为奇函数，令f （0）＝0求解.（2）函数f （x ）在[0，1]上的单调递增，再利用函数的单调性定义证明.（3）根据（2）知，函数f （x ）在[0，1]上的单调递增，得到()()114max f x f ==．即g （θ）的最小值为14，再令t ＝sinθ，转化为二次函数求解. 【详解】（1）因为函数f （x ）222x bx +=+为R 上的奇函数，所以f （0）＝0，解得b ＝0．（2）函数f （x ）在[0，1]上的单调递增．证明：设1201x x ≤≤≤则：f （x 2）﹣f （x 1）()21122122222121()1112112(1)(1)x x x x x x x x x x --⎛⎫=-=⨯⎪++++⎝⎭，因为1201x x ≤≤≤，所以x 2﹣x 1＞0，1﹣x 1x 2＞0，所以()21122221()1102(1)(1)x x x x x x --⨯++＞，即f （x 2）> f （x 1），所以函数f （x ）在[0，1]上的单调递增．（3）由（2）得：函数f （x ）在[0，1]上的单调递增，所以()()114max f x f ==．所以g （θ）的最小值为14．令t ＝sinθ，所以y 2122=-+-t t 的最小值为14，令211224=-+-=t t解得13,22==t t所以1322≤≤t ，即112sin θ≤≤，所以5,66ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 又因为θ∈[m ，56π]．m ，b ∈R ，所以566ππ≤<m ．【点睛】本题主要考查了函数的基本性质，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于难题.22．一走廊拐角处的横截面如图所示，已知内壁FG 和外壁BC 都是半径为1m 的四分之一圆弧，AB,DC 分别与圆弧BC 相切于B,C 两点，EF //AB,GH //CD,且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m.（1）若水平放置的木棒MN 的两个端点M ,N 分别在外壁CD 和AB 上，且木棒与内壁圆弧相切于点P,设CMN (rad ),θ∠=试用θ表示木棒MN 的长度f ();θ （2）若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处，求木棒长度的最大值．【答案】（1）)20(cos sin 1)cos (sin 2)(πθθθθθθ<<-+=f ；（2）224-．【解析】试题分析：（1）如图，设圆弧FG 所在的圆的圆心为Q ，过Q 点作CD 垂线，垂足为点T ，且交MN 或其延长线与于S ，并连接PQ ，再过N 点作TQ 的垂线，垂足为W ．在NWS Rt ∆中用NW 和SNW ∠表示出NS ，在QPS Rt ∆中用PQ 和PQS ∠表示出QS ，然后分别看S 在线段TG 上和在线段GT 的延长线上分别表示出TS=QT-QS ，然后在STM Rt ∆中表示出MS ，利用MN=NS+MS 求得MN 的表达式和)(θf 的表达式．（2）设出)21(,cos sin ≤<=+t t θθ，则θθcos sin 可用t 表示出，然后可得)(θf 关于t 的表达式，对函数进行求导，根据t 的范围判断出导函数与0的大小，进而就可推断出函数的单调性；然后根据t 的范围求得函数的最小值．试题解析：⑴如图，设圆弧FG 所在的圆的圆心为Q ，过Q 点作CD 的垂线，垂足为点T ，且交MN 或其延长线于S ，并连结PQ ，再过点N 作TQ 的垂线，垂足为W ，在NWS Rt ∆中，因为NW=2，θ=∠SNW ，所以θcos 2=NS ，因为MN 与圆弧FG 切于点P ，所以MN PQ ⊥，在QPS Rt ∆中，因为PQ=1，PQS ∠θ=，所以θθcos 12,cos 1-=-=QS QT QS ， ①若M 在线段TD 上，即S 在线段TG 上，则TS=QT-QS ，在STM Rt ∆中，θθsin sin QSQT TS MS -==，因此θsin QSQT NS MS NS MN -+=+=．②若M 在线段CT 上，即若S 在线段GT 的延长线上，则TS=QS-QT ，在STM Rt ∆中，θθsin sin QTQS TS MS -==，因此θθsin sin QSQT NS QT QS NS MS NS MN -+=--=+=．．0)(<'t g 恒成立，所以一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处，则其长度的最大值为224-．【考点】解三角形的实际应用．23．已知函数y ＝f 1（x ），y ＝f 2（x ），定义函数f （x ）()()()()()()112212f x f x f x f x f x f x ⎧≤⎪=⎨⎪⎩，，＞．（1）设函数f 1（x ）＝x +3，f 2（x ）＝x 2﹣x ，求函数y ＝f （x ）的解析式；（2）在（1）的条件下，g （x ）＝mx +2（m ∈R ），函数h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）有三个不同的零点，求实数m 的取值范围；（3）设函数f 1（x ）＝x 2﹣2，f 2（x ）＝|x ﹣a |，函数F （x ）＝f 1（x ）+f 2（x ），求函数F （x ）的最小值．【答案】（1）()231313x x x f x x x x +≤-≥⎧=⎨--⎩，或，＜＜；（2）()40113⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭，，；（3）()2914211[]2229142mina a F x a a a a ⎧---⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪-⎪⎩，＜，，＞【解析】（1）根据函数f （x ）()()()()()()112212f x f x f x f x f x f x ⎧≤⎪=⎨⎪⎩，，＞的定义，两个函数中取小的.（2）函数h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）有三个不同的零点，即方程f （x ）＝g （x ）有三个不同的实数根，因为函数()f x 是分段函数，分类讨论，分别用一次方程和二次方程求解.（3）根据题意F （x ）2219241924x a x a x a x a ⎧⎛⎫+--≥⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+- ⎪⎪⎝⎭⎩，，＜．按照二次函数函数定区间动的类型，讨论对称轴与区间端点值间的关系求最值.【详解】（1）∵f 1（x ）＝x +3，()22f x x x =-，当f 1（x ）≤f 2（x ），即x ≥3或x ≤﹣1时，f （x ）＝x +3，当f 1（x ）＞f 2（x ），即﹣1＜x ＜3时，()2f x x x =-，综上：()231313x x x f x x x x +≤-≥⎧=⎨--⎩，或，＜＜．（2）函数h （x ）＝f （x ）﹣g （x ）有三个不同的零点，即方程f （x ）＝g （x ）有三个不同的实数根，因为函数()231313x x x f x x x x +≤-≥⎧=⎨--⎩，或，＜＜，函数g （x ）＝mx +2（m ∈R ），所以当x ≤﹣1或x ≥3时，mx +2＝x +3恰有一个实数解，所以11103m x ⎛⎤-=∈ ⎥⎝⎦，或[)1110m x-=∈-，，解得，[)40113m ⎛⎤∈⋃ ⎥⎝⎦，，．当﹣1＜x ＜3时，mx +2＝x 2﹣x 恰有两个不同的实数解，即当﹣1＜x ＜3时x 2﹣（m +1）x ﹣2=0恰有两个不同的实数解，设函数h （x ）＝x 2﹣（m +1）x ﹣2，由题意可得()()010301132h h m ∆⎧⎪-⎪⎪⎨⎪+⎪-⎪⎩＞＞＞＜＜，所以2(1)8004335m m m m ⎧++⎪⎪⎪⎨⎪⎪-⎪⎩＞＞＜＜＜，解得403m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，综上，m 的取值范围为()40113⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭，，．（3）F （x ）＝f 1（x ）+f 2（x ）＝x 2+|x ﹣a |﹣222221924221924x a x a x x a x a x x a x a x a x a ⎧⎛⎫+--≥⎪ ⎪⎧+--≥⎪⎝⎭==⎨⎨-+-⎩⎛⎫⎪-+- ⎪⎪⎝⎭⎩，，，＜，＜． ①若a 12＞，则函数F （x ）在12⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，上是单调减函数，在12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上是单调增函数，此时，函数F （x ）的最小值为1924F a ⎛⎫=-⎪⎝⎭； ②若1122a -≤≤，则函数F （x ）在（﹣∞，a ）上是单调减函数，在（a ，+∞）上是单调增函数，此时，函数F （x ）的最小值为F （a ）＝a 2﹣2；③若12a -＜，则函数F （x ）在12⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，上是单调减函数，在12⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上是单调增函数，此时，函数F （x ）的最小值为1924F a ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭；综上：()2914211[]2229142min a a F x a a a a ⎧---⎪⎪⎪=--≤≤⎨⎪⎪-⎪⎩，＜，，＞．【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，还考查了分类讨论，运算求解的能力，属于难题.。

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江苏省海安高级中学高一数学试卷（）
编制：
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．在正三角形ABC 中，D 是BC 上的点，AB ＝3，BD ＝1，则AB AD ⋅=u u u r u u u r
▲ ．【答案】152
2．已知向量()
1,3=-a ，则与a 反向的单位向量是 ▲ ．【答案】31,2⎛⎫
- ⎪⎝⎭
3．若()
π3sin 25θ+=，则cos2θ= ▲ ．
【答案】725
- 4．在△ABC 中，若sin sin sin a A b B c C +<，则△ABC 的形状是 ▲ ．【答案】钝角三角形
5．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin c a C =，bc ＝4，则△AB C
的面积等于 ▲ ．【答案】1
6．如图，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，AB ＝2，AD ＝DC ＝1，P 是线段BC 上一动点，
Q 是线段DC 上一动点，DQ DC λ=u u u r u u u r ，()1CP CB λ=-u u u r u u u r ，则AP AQ ⋅u u u r u u u r
的取值范围是
▲ ．
【答案】[0,2]
7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 的对边，若222sin sin sin 3sin sin A C B A C +-=，则角B 为 ▲ ．【答案】30°
8．若5π3π,42θ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦1sin 21sin 2θθ-+可化简为 ▲ ．
【答案】2cos θ
9．已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且7453n n A n B n +=
+，则使得n n
a
b 为整数的正整数n 的个数是 ▲ ．【答案】5
10．将正奇数按下表的规律填在5列的数表中，则第20行第3列的数字与第20行第2列数
字的和为 ▲ ．
【答案】312
11．正方形1S 和2S 内接于同一个直角三角形ABC 中，如图所示，设A α∠=，若1441S =，
2440S =，则sin2α= ▲ ．
【答案】110
12．已知函数()()10,0f x ax x a x =+>>在x ＝2时取得最小值，则a ＝ ▲ ．
【答案】14
13．已知二次函数()24f x ax x c =-+的值域是[)0,+∞，则19a c +的最小值是 ▲ ．
【答案】3
14．如果关于x 的不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(),a b 和()
11,b a
，那么称这两个不
A
B
C
D
E
F
S 1
α
A
B
C
P
N
F S 2
α
M
Q
等式为“对偶不等式”．如果不等式220x x θ-⋅+<与不等式224sin 210x x θ+⋅+<为“对偶不等式”，且()
π,π2
θ∈，那么θ= ▲ ．
【答案】5π6
二、解答题：本大题共6小题，计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
已知平面向量()1,x =a ，()23,x x =+-b ，x ∈R ．（1）若a ⊥b ，求x 的值；（2）若a ∥b ，求|a －b |的值．
【答案】（1）x ＝－1或x ＝3；（2）2或 16．（本小题满分14分）
已知函数()2cos sin cos f x x x x =+，x ∈R ．（1）求()
π6
f 的值；
（2）若3sin 5α=，且()π,π2α∈，求()
π224f α+．
【答案】（1；（2
17．（本小题满分14分）
设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且()
2cos cos b A C =．（1）求角A 的大小；
（2）若角π6B =，BC 边上的中线AM ，求△ABC 的面积．
【答案】（1）π6；（2
18．（本小题满分16分）
设函数()2f x x a =-，a ∈R ．
（1）若不等式()1f x <的解集为{}13x x <<，求a 的值；（2）若存在0x ∈R ，使()003f x x +<，求a 的取值范围．【答案】
（1）a ＝1；（2）32a <
19．（本小题满分16分）
某校要建一个面积为450平方米的矩形球场，要求球场的一面利用旧墙，其他各面用钢筋网围成，且在矩形一边的钢筋网的正中间要留一个3米的进出口（如图）．设矩形的长为x 米，钢筋网的总长度为y 米．
（1）列出y 与x 的函数关系式，并写出其定义域；（2）问矩形的长与宽各为多少米时，所用的钢筋网
的总长度最小？
（3）若由于地形限制，该球场的长和宽都不能超过25米，问矩形的长与宽各为多少米
时，所用的钢筋网的总长度最小？
【答案】（1）()900
30150y x x x
=
+-<< （2）长为30米，宽为15米，所用的钢筋网的总长度最小. （3）长为25米，宽为18米时，所用的钢筋网的总长度最小 20．（本小题满分16分）
已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且满足()
22n n S a n n *=-∈N ．（1）求数列{}n a 的通项n a ；
（2）若数列{}n b 满足()2log 2n n b a =+，n T 为数列2n n b a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和，求证：12n T ≥．
【答案】（1）122n n a +=-；。