均值不等式练习题.doc
(完整版)均值不等式常考题型

均值不等式及其应用一.均值不等式1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”)2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=”) (3)若*,R b a ∈,则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”);若0x <,则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 4.若R b a ∈,,则2)2(222b a b a +≤+(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1x解:(1)y =3x 2+12x2 ≥23x 2·12x2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞)(2)当x >0时,y =x +1x≥2x ·1x=2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1x )≤-2x ·1x=-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式练习题及答案解析

均值不等式练习题及答案解析一.均值不等式1.若a,b?R,则a2?b2?2ab 若a,b?R,则ab2. 若a,b?R*,则a?b2?*?a?b222a?b时取“=”)ab 若a,b?R,则a?b?22aba?b?若a,b?R,则ab??) ?? ?2a?b2注:当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.求最值的条件“一正,二定,三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.应用一:求最值例1:求下列函数的值域y=3x解:y=3x+11y=x+xx13x =∴值域为[,+∞)2x1x· =2; x1x· =-2x1≥22x1当x>0时,y=x+≥x11当x<0时, y=x+= -≤-2xx∴值域为解题技巧:技巧一:凑项例1:已知x?54,求函数y?4x?2?14x?5的最大值。
1解:因4x?5?0,所以首先要“调整”符号,又?x?54,?5?4x?0,?y?4x?2?14x?5不是常数,所以对4x?2要进行拆、凑项,???2?3?1 ??3?1????5?4x?4x?55?4x?当且仅当5?4x?15?4x,即x?1时,上式等号成立,故当x?1时,ymax?1。
评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。
技巧二:凑系数例1. 当时,求y?x的最大值。
解析:由知,,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。
注意到2x??8为定值,故只需将y?x凑上一个系数即可。
当,即x=2时取等号当x=2时,y?x的最大值为8。
32评注:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值。
变式:设0?x?,求函数y?4x的最大值。
322x?3?2x?9解:∵0?x?∴3?2x?0∴y?4x?2?2x?2????222??当且仅当2x?3?2x,即x?3?3???0,?时等号成立。
均值不等式练习题及答案

均值不等式练习题及答案均值不等式练习题及答案均值不等式又名基本不等式、均值定理、重要不等式。
是求范围问题最有利的工具之一,在形式上均值不等式比较简单,但是其变化多样、使用灵活。
尤其要注意它的使用条件。
a2?b21. 若a,b?R,则a?b?2ab 若a,b?R,则ab? 22 2. 若a,b?R,则时取“=”) *a?b?ab2若a,b?R,则a?b?*2ab 2?*a?ba2?b2ab??3. 均值不等式链:若a、b都是正数,则,当且仅当a?b22?ab2时等号成立。
平均数)一、基本技巧技巧1:凑项例已知x?技巧2:分离配凑4,求函数y?4x?2?1的最大值。
x?5 x2?7x?10的值域。
例求y?x?1技巧3:利用函数单调性例求函数y?2的值域。
技巧4:整体代换例已知x?0,y?0,且19??1,求x?y的最小值。
xy典型例题1. 若正实数X,Y 满足2X+Y+6=XY ,则XY 的最小值是a?b?22. 已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差数列,x,c,d,y成等比数列,则的最小值cd是A.0B.1C.D.23. 若不等式x+ax+4≥0对一切x∈平分圆x2+y2-2x-4y-6=0,则2+1的最小值是abA.1B.C.4D.3+225. 已知x>0,y>0,x+2y+3xy=8,则x+2y的最小值是 .6. 已知x,y?R?,且满足xy??1,则xy的最大值为34 ab11?的最小值为 ab1A B C 1 D 7. 设a?0,b?0.3与3的等比中项,则8. 若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是A.428B.C.D.659. 若a?0,b?0,a?b?2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是.①ab?1;②;③ a2?b2?2;④a3?b3?3;⑤11??ab210.设a>b>0,则a?11?的最小值是 abaa?b1234 11.下列命题中正确的是12A、y?x?的最小值是B、y?的最小值是xC、y?2?3x?4x的最大值是2? D值是2?12. 若x?2y?1,则2x?4y的最小值是______ 、y?2?3x?4x的最小均值不等式应用一.均值不等式1.若a,b?R,则a2?b2?2ab 若a,b?R,则ab2. 若a,b?R*,则a?b2*a?b222a?b时取“=”)ab 若a,b?R,则a?b?22aba?b?若a,b?R,则ab??) ?? ?2a?b2注:当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.求最值的条件“一正,二定,三取等”均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.应用一:求最值例1:求下列函数的值域y=3x解:y=3x+11y=x+xx13x =∴值域为[,+∞)2x1x· =2; x1x· =-2x1≥22x1当x>0时,y=x+≥x11当x<0时, y=x+= -≤-2xx∴值域为解题技巧:技巧一:凑项例1:已知x?54,求函数y4x?2?14x?5的最大值。
均值不等式练习题

利用均值不等式求最值的方法一.均值不等式1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=”) (3)若*,R b a ∈,则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”);若0x <,则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”)若0x ≠,则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则22-2a b a b a b b a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 4.若R b a ∈,,则2)2(222b a b a +≤+(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”.(2)求最值的条件“一正,二定,三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用.一、配凑1. 凑系数例1. 当04<<x 时,求y x x =-()82的最大值。
解析:由04<<x 知,820->x ,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。
注意到2828x x +-=()为定值,故只需将y x x =-()82凑上一个系数即可。
y x x x x x x =-=-≤+-=()[()]()821228212282282· 当且仅当282x x=-,即x =2时取等号。
(完整版)基本不等式均值定理练习题

基本不等式(均值定理)练习题 一、选择题 1.若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b 恒成立的个数为( ) ①ab ≤1;②a b 2;+≤③a 2+b 2≥2;④a 3+b 3≥3;⑤11 2.a b+≥ (A)1 (B)2 (C)3 (D)42.已知22b 1m a a 2,n 2b 0,a 2-=+>=≠-()()则m 、n 之间的大小关系是( ) (A)m>n (B)m<n (C)m=n (D)不确定3.设a a a 11x 2x m log x,n log ,p log ,221x+===+其中0<a <1,x >0且x ≠1,则下列结论正确的是( ) (A )m <n <p (B)m <p <n (C)n <m <p (D)n <p <m4.已知不等式1a x y)()9x y++≥(对任意正实数x,y 恒成立,则正实数a 的最小值为( ) (A)8 (B)6 (C)4 (D)25.设a>0,b>0,若3是3a 与3b 的等比中项,则11a b+的最小值为( ) (A)8 (B)4 (C)1 (D)146.若a,b,c>0且a(a+b+c)+bc=423-,则2a+b+c 的最小值为( )()()()()A 3 1 B 3 1 C 23 2 D 232-++-7.设x>y>z,n ∈N *,且11n x y y z x z +≥---恒成立,则n 的最大值是( ) (A)2 (B)3 (C)4 (D)5二、填空题1.在4×+9×=60的两个中,分别填入两自然数,使它们的倒数和最小,应分别填上________和________.2.若正数a,b 满足ab=a+b+3,则ab 的取值范围是__________.3.若对任意x>0,2x a x 3x 1≥++恒成立,则a 的取值范围是__________. 4.函数y=log a (x+3)-1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在直线mx+ny+1=0上,其中mn >0,则12m n+的最小值为_______. 5.若实数满足2=+b a ,则b a 33+的最小值是 .三、解答题 1.若44log log 2x y +=,求11x y +的最小值.并求x,y 的值 2.若+∈R y x ,且12=+y x ,求yx 11+的最小值 3.已知x ,y 为正实数,且x 2+y 22 =1,求x 1+y 2 的最大值.4.已知a >0,b >0,ab -(a +b )=1,求a +b 的最小值。
均值不等式【高考题】

利用一、求最值之杨若古兰创作直接求 例1、若x,y 是负数,则(x +1)2+(y +1)2的最小值是【】2y LXA.3B.7C .4D .922例2、设X ,”R ,a >1,b >1,若a x -b y -3,a +b =23,则1+1的最大值为【】xyA.2B.3C.1D.122练习1.若x >0,则x +2的最小值为.x练习2.设x ,y 为负数,则(x +y )(1+4)的最小值为【】xyA.6B.9C.12D 15练习3.若a >0,b >0,且函数f (x )-4x 3一ax 2-2bx +2在x -1处有极值,则ab 的最大值等于【】A.2B.3C.6D.9练习4.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x 吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,贝1J x -吨. 练习5.求以下函数的值域:(a +b )2的最小值是【】cd A.0B.4C.2D.1 例3、已知a>0,b >0,c >0且a +b +c —1,则(1一1)(1一1)(1一1)最小值为【】abcA.5B.6C.7D.8凑系数例4、若x ,y e R +,且x +4y -1,则x .y 的最大值是. 练习1.已知x ,y E R +,且满足x +y =1,则孙的最大值为. 34练习2.当0<x <4时,求y -x (8-2x )的最大值.凑项例5、若函数f (x )-x +1(x >2)在x -a 处取最小值,则a -【】x -2⑴y-3x 2+2:2⑵ 练习6.已知x >0,y >0, 1 y -x + x x ,a ,b ,y 成等差数列,x , d ,y 成等比数列,则A-1+2B-1+3C-3D-4练习1.已知x <5,求函数尸4,一2+,的最大值.44%—5 练习2.函数,+%(%>3)的最小值为【】%—3A.2B.3C.4D.5练习3.函数2%2+3(%>0)的最小值为【】% A-艰BYCWD-微 两次用不等式例6、已知抽a +log b >1,贝I3a +9b 的最小值为 22例7、已知a >0,b >0,则1+1+2%a 的最小值是【】ab A-2B-2R C-4D-5例8、设a >b >c >0,则2a 2+L -10ac +25c 2的最小值是【aba (a -b ) A-2B-4C-2V 5D-5练习1.设a >b >0,A-1B-2C-3D-4 练习2.设a >b >0,则a 2+1的最小值是【】b (a —b )A-2B-3C-4D-5练习3.设a >b >0,则a +1的最小值是【】 十b (2a -b )A-33/2B-3<3C-232D-33/4222 练习4.设a >2b >0,则(a -b )2+9的最小值是-b (a-2b ) 换元例9、若%2+y 2二4,则%-y 的最大值是-练习1.设a ,b G R ,a 2+2b 2=6,则a +b 的最小值是【】 A--22B--52C--3D--732 例10、设%,y 是实数,且%2+y 2=4,则S =2%y 的最小值是【】%+y -2A --2B--、2C-2-2k D-2(<2+1)练习1.若%2+y2T 盯则最大值是%y —±,%+y -1 练习2.若0<a <1,0<%<y <1,且(log x )(log y )二1则冲【】aa 消元例11、设x ,y ,z 为正实数,满足%.2y +3z =0,则竺的最小值是. xz练习1.已知实数a ,b ,c 〉0满足a +b +c =9,ab +b c +ca=24,,则b 的取值范围为 两次用 11 a 2+—+j aba (a —b ) 的最小值是【例12、已知负数x,y,z满足x2+y2+z2=1,则S=上z的最小值是【】2xyzA.3B.3a+;")C.4D.2(v2+1)练习1.已知负数x,y,z满足x2+y2+z2=1,则S=上的最小值是【】2xyz2A.3B.9C.4D.2c2练习2.已知x,y,z均为负数,则盯+y z的最大值是【】x2+y2+z2A.q初C.2,/2D.2V3练习3.已知实数x,y,z满足x2+y2+z2=1,则尤xy+yz的最大值是全体代换例13、已知〃>0,b>0,a+b=2,贝y=1+4的最小值是【】abA.7B.4C.9D.5例14、函数y=a-(a>0,a01)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,则I—+—的最小值为.mn例15、设a>0,b>0,若4万是3a与3b的等比中项,则1+1的最小值为abA.8B.4C.1D.14、例16、已知a,b,c都是正实数,且满足log(9a+b)=log abb,则使4a+b>c恒成93立的c的取值范围是A.[4,2)B.[0,22)C.[2,23)D.(0,25]练习1.函数klogG+3)」(〃>0且a=1)的图象恒过定点A,若点A在直线a mx+ny+1=0上,其中mn>0,则1+2的最小值为.mn练习2.若x,y e R+,且2x+y=1,则L1的最小值为.xy练习3.已知x>0,y>0,且1+9=1,求x+y的最小值.xy练习4.若x,y e R+且2x+y=1,求11的最小值.+xy练习5.已知a,b,x,y e R+且ab[,求x+y的最小值.+=1xy练习6.已知x>1,x>1,xx2=1000,则上+▲的最小值等于【I1212lg x lg x12A.4B,4<6C,7+2、落D.7—261-33练习7.若0<x<1,a,b为常数,则竺+上的最小值是x 1一x练习8.已知a >b >也,+'>与恒成立,则m 的取值范围是a -bb -ca 一c 练习9.a ,b e(0,+8),a +3b =1,则+_L 最小值为aa33b分离法【分式】例17、已知t >0,则函数y ='2一4t +1的最小值为.t例18、已知x >5,则f (x )=x 2一4x +5有【】 22x -4A.£大值58.最小值50最大值1口.最小值1 练习1.求y =x 2+7x +10(x >_1)的值域.x +1练习2.若x >1,则函数y =x +1+上的最小值为.'xx 2+1放缩法——解不等式例19、设x ,y 为实数,若4x 2+y 2+町=1,则2x +y 的最大值 是.例20已知2+1=2(x >0,y >0),则xy 的最小值是.xy 例21、若a 是1+2b 与1_2b 的等比中项,则2ab 的最大值为【】a +2bA.空B.,翔C.V5D.\;215丁"5"万 练习1.若实数x ,y 满足x 2+y 2+町=1,则x +y 的最大值是. 练习2.若正实数X ,Y 满足2X +Y +6=XY ,则XY 的最小值是 练习3.已知x >0,y >0,x +2y +2町=8,则X +2y 的最小值是【】A.3B.4C.£D.q练习4.已知a >0,b >0,ab -(a +b )=1,求a +b 的最小值.练习5:已知5+2=2(X >0,y >0)恒成立,则xy 的最小值是. Xy 练习6.若直角三角形周长为1,求它的面积最大值. 练习7.若实数X ,y 满足4X +4y =2X +1+2y +1则t=2X +2y 的取值范围是 取平方例22、若a ,b ,c >0且a 2+2ab +2ac +4bc =12,则a +b +c 的最小值是【】A.2x /3B .3C .2D .<3练习1.若a ,b ,c>0且a (a+b+c )+bc =4-2a ,则2a +b +c 的最小值为【】A -<3-1B .\;3+1C .2七3+2D.2,;3-2练习2.已知X ,y 为正实数,3X +2y =10,求函数w =3X +2y 的最值.取平方+解不等式 例23、已知a>0,b>0,c >0且a +b+c =1,则a 2+b 2+c 2最小值为【】A.1B.1C.1D.1结合2单3调性4——5与函数例24、若a ,b e R +,a +b=1,则ab+-1的最小值为【】abA.41B.41C.°1D,2 44224-练习1,求函数丫_%2+5的值域. y _E练习2.求以下函数的最小值,并求取得最小值时工的值. ⑴y _X 2+3X +1,(X >0)(2)y _2X +—,X >3X X -3(3)y _2sin X +—i —,X e (0,兀)sin X练习3.已知0<%<1,求函数y =\X E )的最大值. 练习4.0<X <2,求函数y _.X 2F 的最大值.3 练习5.设a ,b e R +且2a+b_1,S_2ab-4a 2-b 2的最大值是【】A.2-1B.2-1C.2+1D.2+122例25、已知0+b_1,则a 4+b 4的最小值是【】A.1B.£C.1D.1练习1.若实数a ,b ,c 满足2a +2b =2a +b ,2a +2b +2c =2a +b +c ,则c 的最大值是 用另一个公式例26、函数、3+4=7的最大值为.练习1.已知a ,b G R+,a 2+吃=1,,则a 、瓦的最大值是【】2 A.1B.1C.32D.三212例27、已知a 〉0,b >0,c >0且a+b+c =1,则工+_!+_!最小值为【】a 2b 2c 2A.12B.11C.21D.27直接取值【讨论】例28、a 2+b 2-1,b 2+c 2-2,c 2+a 2=2,则ab +bc +ca 的最小值【】A.右一1B.1_、,3C.-1_,运D.1+;32222利用二、恒成立成绩例1、若a ,b e R ,且ab>0,则以下不等式中,恒成立的是【】 A,a 2+b 2>2ab B-a +b>2、/abC 112ba 、C*-+->^=D--+->2ababbab 例2、设a ,b ,c 是互不相等的负数, A*|a -b 1<1a -c 1+1b -c I B,a 2+—>a +1a 2a0*I a -b I +>2D *a+3-a+1<a+2-aa -b例3、设a >0,b>0,则以下不等式中不恒成立的是【••••a 2+b 2+2>2a +2b *I a —b I >a —例4、已知不等式a+y )(i+a )>9对任意正实数羽》恒成立,则正实数a xy的最小值为【】 A.8B.6C.4D.2例5、若直线x +y =1通过点M (cos a ,sin 。
均值不等式的常见题型

均值不等式的常见题型一、基本练习 1、已知:b n m a yx =+=+2222,且ba ≠,则nymx+的最大值为( )(A)ab(B)2b a + (C)222ba + (D)222b a +2、若+∈R y x a ,,,且yx a y x +≤+恒成立,则a 的最小值是( )(A)22(B)2(C)2 (D)13、已知下列不等式:①)(233+∈>+R x x x ;②),(322355+∈+≥+R b a b a b a b a ;③)1(222--≥+b a b a .其中正确的个数是( )(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 4、设+∈R b a ,,则下列不等式中不成立的是( ) (A)4)11)((≥++ba b a (B)ababba 222≥+(C)21≥+abab (D)abba ab ≤+25、设+∈R b a ,且2242,12ba ab S b a --==+的最大值是( )(A)12- (B)212- (C)12+ (D)212+6、若实数b a ,满足2=+b a ,则ba 33+的最小值是( )(A)18 (B)6 (C)32 (D)4327、已知0,0,0a b c >>>且1a b c ++=则14a bc++的最小值是( )A 13.5B 12C 10D 98、已知1,01a b ><<则log log a b b a +的取值范围是( ) A (2,)+∞ B [2,)+∞ C (,2)-∞- D (,2]-∞-9、较难:设0a b c >>>,则221121025()a ac caba ab ++-+-的最小值是( )10、若+∈R y x ,,且12=+y x ,则yx11+的最小值为 .11、若b a b a ≠<<<<且,10,10,则abb a ab b a 2,,2,22++中最大的是 .A .2B .4C .25D .512、若正数b a ,满足3++=b a ab,则ab的取值范围是 .13、已知:x > 0, y > 0,且,191=+yx求 x + y的最小值14、已知:a > 0, b > 0,且4a + b = 30,求ba11+的最小值15、已知:x > 0, y > 0,且2x + 8y – xy = 0,求x+ y 的最小值16、已知:x > 0,y > 0,134=+y x 求x + 3y 的最小值二、典型例题分析1、若+∈R b a ,且1=+b a ,求证:22121≤+++b a2、是否存在常数c ,使得不等式yx y yx x c yx y yx x +++≤≤+++2222对任意正数y x ,恒成立,试证明你的结论. 注:考虑y x =的特殊情况.【课外作业】:1、已知z y x ,,是互不相等的正数且1=++z y x ,求证:81)11)(11)(11(>---zyx2、已知0,0>>b a 且1=+b a ,求425)1)(1(≥++bb aa .3、证明:对于任意实数,,y x 有244)(21y x xy yx +≥+4、若a > b > 0,求)(162b a b a -+的最小值5、已知:x > 0,y > 0,且x + 4y = 1,求xy 的最大值6、已知x > 0,y > 0,且143=+y x ,求xy 的最大值。
均值不等式的应用(习题+标准答案)

均值不等式的应用(习题+答案)————————————————————————————————作者:————————————————————————————————日期:均值不等式应用一.均值不等式1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,,则222b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”)2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=”) (3)若*,R b a ∈,则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”);若0x <,则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 4.若R b a ∈,,则2)2(222b a b a +≤+(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值例1:求下列函数的值域(1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1x解:(1)y =3x 2+12x2 ≥23x 2·12x2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞)(2)当x >0时,y =x +1x≥2x ·1x=2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1x )≤-2x ·1x=-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知54x <,求函数14245y x x =-+-的最大值。
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利用均值不等式求最值的方法均值不等式a b ab a b +≥>>200(,,当且仅当a =b 时等号成立)是一个重要的不等式,利用它可以求解函数最值问题。
对于有些题目,可以直接利用公式求解。
但是有些题目必须进行必要的变形才能利用均值不等式求解。
下面是一些常用的变形方法。
一、配凑1. 凑系数例1. 当04<<x 时,求y x x =-()82的最大值。
解析:由04<<x 知,820->x ,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。
注意到2828x x +-=()为定值,故只需将y x x =-()82凑上一个系数即可。
y x x x x x x =-=-≤+-=()[()]()821228212282282· 当且仅当282x x =-,即x =2时取等号。
所以当x =2时,y x x =-()82的最大值为8。
评注:本题无法直接运用均值不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用均值不等式求最大值。
2. 凑项例2. 已知x <54,求函数f x x x ()=-+-42145的最大值。
解析:由题意知450x -<,首先要调整符号,又()42145x x --·不是定值,故需对42x -进行凑项才能得到定值。
∵x x <->54540, ∴f x x x x x ()()=-+-=--+-+42145541543≤---+=-+=2541543231()x x · 当且仅当54154-=-x x,即x =1时等号成立。
评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。
3. 分离例3. 求y x x x x =+++-271011()≠的值域。
解析:本题看似无法运用均值不等式,不妨将分子配方凑出含有(x +1)的项,再将其分离。
y x x x x x x x x =+++=+++++=++++227101151411415()()() 当x +>10,即x >-1时y x x ≥+++=214159()·(当且仅当x =1时取“=”号)。
当x +<10,即x <-1时y x x ≤-++=521411()·(当且仅当x =-3时取“=”号)。
∴y x x x x =+++271011()≠-的值域为(][)-∞+∞,,19 。
评注:分式函数求最值,通常化成y mg x A g x B A m =++>>()()()00,,g(x)恒正或恒负的形式,然后运用均值不等式来求最值。
二、整体代换例4. 已知a b a b >>+=0021,,,求t a b =+11的最小值。
解法1:不妨将11a b+乘以1,而1用a +2b 代换。
()()()111112a b a ba b +=++·· =+++=++≥+=+12232322322b a a bb a a bb a a b· 当且仅当2b a a b =时取等号,由22121122b a a b a b a b =+=⎧⎨⎪⎩⎪=-=-⎧⎨⎪⎩⎪,得 即a b =-=-⎧⎨⎪⎩⎪21122时,t a b =+11的最小值为322+。
解法2:将11a b+分子中的1用a b +2代换。
a b a a b b b a a b b a a b+++=+++=++≥+2212232322 评注:本题巧妙运用“1”的代换,得到t b a a b =++32,而2b a 与a b 的积为定值,即可用均值不等式求得t a b =+11的最小值。
三、换元例5. 求函数y x x =++225的最大值。
解析:变量代换,令t x =+2,则x t t y t t =-≥=+222021(),则 当t =0时,y =0当t >0时,y t t t t =+≤=121122124· 当且仅当21t t=,即t =22时取等号。
故x y =-=3224时,max 。
评注:本题通过换元法使问题得到了简化,而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题,从而为构造积为定值创造有利条件。
四、取平方例6. 求函数y x x x =-+-<<21521252()的最大值。
解析:注意到2152x x --与的和为定值。
y x x x x x x 222152422152421528=-+-=+--≤+-+-=()()()()() 又y >0,所以022<≤y当且仅当2152x x -=-,即x =32时取等号。
故y max =22。
评注:本题将解析式两边平方构造出“和为定值”,为利用均值不等式创造了条件。
总之,我们利用均值不等式求最值时,一定要注意“一正二定三相等”,同时还要注意一些变形技巧,积极创造条件利用均值不等式。
[练一练]1. 若02<<x ,求y x x =-()63的最大值。
2. 求函数y x x x =-+>133()的最小值。
3. 求函数y x x x =+->2811()的最小值。
4. 已知x y >>00,,且119x y+=,求x y +的最小值。
参考答案:1.3 2. 5 3. 8 4. 49新课标人教A 版高中数学必修五典题精讲(3.4基本不等式)典题精讲例1(1)已知0<x <31,求函数y=x(1-3x)的最大值; (2)求函数y=x+x1的值域. 思路分析:(1)由极值定理,可知需构造某个和为定值,可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数;(2)中,未指出x >0,因而不能直接使用基本不等式,需分x >0与x <0讨论.(1)解法一:∵0<x <31,∴1-3x >0. ∴y=x(1-3x)= 31·3x(1-3x)≤31[2)31(3x x -+]2=121,当且仅当3x=1-3x ,即x=61时,等号成立.∴x=61时,函数取得最大值121. 解法二:∵0<x <31,∴31-x >0. ∴y=x(1-3x)=3x(31-x)≤3[231x x -+]2=121,当且仅当x=31-x,即x=61时,等号成立. ∴x=61时,函数取得最大值121. (2)解:当x >0时,由基本不等式,得y=x+x1≥2x x 1•=2,当且仅当x=1时,等号成立.当x <0时,y=x+x1=-[(-x)+)(1x -]. ∵-x >0,∴(-x)+)(1x -≥2,当且仅当-x=x-1,即x=-1时,等号成立. ∴y=x+x1≤-2. 综上,可知函数y=x+x 1的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞). 绿色通道:利用基本不等式求积的最大值,关键是构造和为定值,为使基本不等式成立创造条件,同时要注意等号成立的条件是否具备.变式训练1当x >-1时,求f(x)=x+11+x 的最小值. 思路分析:x >-1⇒x+1>0,变x=x+1-1时x+1与11+x 的积为常数. 解:∵x >-1,∴x+1>0.∴f(x)=x+11+x =x+1+11+x -1≥2)1(1)1(+•+x x -1=1. 当且仅当x+1=11+x ,即x=0时,取得等号. ∴f(x)min =1.变式训练2求函数y=133224+++x x x 的最小值. 思路分析:从函数解析式的结构来看,它与基本不等式结构相差太大,而且利用前面求最值的方法不易求解,事实上,我们可以把分母视作一个整体,用它来表示分子,原式即可展开.解:令t=x 2+1,则t≥1且x 2=t-1.∴y=133224+++x x x =1113)1(3)1(22++=++=+-+-t t t t t t t t . ∵t≥1,∴t+t 1≥2t t 1•=2,当且仅当t=t1,即t=1时,等号成立. ∴当x=0时,函数取得最小值3.例2已知x >0,y >0,且x 1+y9=1,求x+y 的最小值. 思路分析:要求x+y 的最小值,根据极值定理,应构建某个积为定值,这需要对条件进行必要的变形,下面给出三种解法,请仔细体会.解法一:利用“1的代换”, ∵x 1+y9=1, ∴x+y=(x+y)·(x 1+y 9)=10+y x x y 9+.∵x >0,y >0,∴y x x y 9+≥2yx x y 9•=6. 当且仅当yx x y 9=,即y=3x 时,取等号. 又x 1+y9=1,∴x=4,y=12. ∴当x=4,y=12时,x+y 取得最小值16. 解法二:由x 1+y9=1,得x=9-y y . ∵x >0,y >0,∴y >9. x+y=9-y y +y=y+999-+-y y =y+99-y +1=(y-9)+99-y +10. ∵y >9,∴y-9>0. ∴999-+-y y ≥299)9(-•-y y =6. 当且仅当y-9=99-y ,即y=12时,取得等号,此时x=4.∴当x=4,y=12时,x+y 取得最小值16.解法三:由x 1+y9=1,得y+9x=xy, ∴(x-1)(y-9)=9.∴x+y=10+(x-1)+(y-9)≥10+2)9)(1(--y x =16,当且仅当x-1=y-9时取得等号.又x 1+y9=1, ∴x=4,y=12.∴当x=4,y=12时,x+y 取得最小值16.绿色通道:本题给出了三种解法,都用到了基本不等式,且都对式子进行了变形,配凑出基本不等式满足的条件,这是经常需要使用的方法,要学会观察,学会变形,另外解法二,通过消元,化二元问题为一元问题,要注意根据被代换的变量的范围对另外一个变量的范围的影响.黑色陷阱:本题容易犯这样的错误:x 1+y 9≥2xy 9①,即xy6≤1,∴xy ≥6. ∴x+y≥2xy ≥2×6=12②.∴x+y 的最小值是12. 产生不同结果的原因是不等式①等号成立的条件是x 1=y9,不等式②等号成立的条件是x=y.在同一个题目中连续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同,会导致错误结论.变式训练已知正数a,b,x,y 满足a+b=10,y b x a +=1,x+y 的最小值为18,求a,b 的值. 思路分析:本题属于“1”的代换问题.解:x+y=(x+y)(y b x a +)=a+x ay y bx ++b=10+xay y bx +. ∵x,y >0,a,b >0,∴x+y≥10+2ab =18,即ab =4.又a+b=10,∴⎩⎨⎧==8,2b a 或⎩⎨⎧==.2,8b a 例3求f(x)=3+lgx+xlg 4的最小值(0<x <1). 思路分析:∵0<x <1,∴lgx <0,xlg 4<0不满足各项必须是正数这一条件,不能直接应用基本不等式,正确的处理方法是加上负号变正数.解:∵0<x <1,∴lgx <0,x lg 4<0.∴-xlg 4>0. ∴(-lgx)+(-x lg 4)≥2)lg 4)(lg (xx --=4. ∴lgx+x lg 4≤-4.∴f(x)=3+lgx+xlg 4≤3-4=-1. 当且仅当lgx=x lg 4,即x=1001时取得等号. 则有f(x)=3+lgx+x lg 4 (0<x <1)的最小值为-1. 黑色陷阱:本题容易忽略0<x <1这一个条件.变式训练1已知x <45,求函数y=4x-2+541-x 的最大值. 思路分析:求和的最值,应凑积为定值.要注意条件x <45,则4x-5<0. 解:∵x <45,∴4x-5<0. y=4x-5+541-x +3=-[(5-4x)+x 451-]+3≤-2x x 451)45(-•-+3=-2+3=1. 当且仅当5-4x=x 451-,即x=1时等号成立. 所以当x=1时,函数的最大值是1.变式训练2当x <23时,求函数y=x+328-x 的最大值. 思路分析:本题是求两个式子和的最大值,但是x·328-x 并不是定值,也不能保证是正值,所以,必须使用一些技巧对原式变形.可以变为y=21(2x-3)+328-x +23=-(x x 238223-+-)+23,再求最值. 解:y=21(2x-3)+328-x +23=-(x x 238223-+-)+23, ∵当x <23时,3-2x >0, ∴x x 238223-+-≥x x 2382232-•-=4,当且仅当x x 238223-=-,即x=-21时取等号. 于是y≤-4+23=25-,故函数有最大值25-. 例4如图3-4-1,动物园要围成相同的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成.图3-4-1(1)现有可围36 m 长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大?(2)若使每间虎笼面积为24 m 2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小?思路分析:设每间虎笼长为x m ,宽为y m ,则(1)是在4x+6y=36的前提下求xy 的最大值;而(2)则是在xy=24的前提下来求4x+6y 的最小值.解:(1)设每间虎笼长为x m ,宽为y m ,则由条件,知4x+6y=36,即2x+3y=18.设每间虎笼的面积为S ,则S=xy.方法一:由于2x+3y≥2y x 32⨯=2xy 6,∴2xy 6≤18,得xy≤227,即S≤227. 当且仅当2x=3y 时等号成立.由⎩⎨⎧=+=,1832,22y x y x 解得⎩⎨⎧==.3,5.4y x 故每间虎笼长为4.5 m ,宽为3 m 时,可使面积最大.方法二:由2x+3y=18,得x=9-23y. ∵x >0,∴0<y <6.S=xy=(9-23y)y=23 (6-y)y. ∵0<y <6,∴6-y >0.∴S≤23[2)6(y y +-]2=227. 当且仅当6-y=y,即y=3时,等号成立,此时x=4.5.故每间虎笼长4.5 m,宽3 m 时,可使面积最大.(2)由条件知S=xy=24.设钢筋网总长为l,则l=4x+6y.方法一:∵2x +3y≥2y x 32•=2xy 6=24,∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当2x=3y 时,等号成立.由⎩⎨⎧==,24,32xy y x 解得⎩⎨⎧==.4,6y x 故每间虎笼长6 m ,宽4 m 时,可使钢筋网总长最小. 方法二:由xy=24,得x=y 24. ∴l=4x+6y=y 96+6y=6(y 16+y)≥6×2y y⨯16=48,当且仅当y 16=y ,即y=4时,等号成立,此时x=6. 故每间虎笼长6 m,宽4 m 时,可使钢筋总长最小.绿色通道:在使用基本不等式求函数的最大值或最小值时,要注意:(1)x,y 都是正数;(2)积xy (或x+y )为定值;(3)x 与y 必须能够相等,特别情况下,还要根据条件构造满足上述三个条件的结论.变式训练某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 平方米的三级污水处理池(平面图如图3-4-2所示),由于地形限制,长、宽都不能超过16米,如果池外周壁建造单价为每米400元,中间两道隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,池壁的厚度忽略不计,试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低造价.图3-4-2思路分析:在利用均值不等式求最值时,必须考虑等号成立的条件,若等号不能成立,通常要用函数的单调性进行求解.解:设污水处理池的长为x 米,则宽为x 200米(0<x≤16,0<x200≤16),∴12.5≤x≤16. 于是总造价Q(x)=400(2x+2×x 200)+248×2×x 200+80×200. =800(x+x324)+16 000≥800×2x x 324•+16 000=44 800, 当且仅当x=x324 (x >0),即x=18时等号成立,而18∉[12.5,16],∴Q(x)>44 800. 下面研究Q(x)在[12.5,16]上的单调性.对任意12.5≤x 1<x 2≤16,则x 2-x 1>0,x 1x 2<162<324.Q(x 2)-Q(x 1)=800[(x 2-x 1)+324(1211x x -)] =800×212112)324)((x x x x x x --<0, ∴Q(x 2)>Q(x 1).∴Q(x)在[12.5,16]上是减函数.∴Q(x)≥Q(16)=45 000.答:当污水处理池的长为16米,宽为12.5米时,总造价最低,最低造价为45 000元.问题探究问题某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高.当住第n 层楼时,上下楼造成的不满意度为n.但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随着楼层的升高,环境不满意度降低.设住第n 层楼时,环境不满意程度为n8.则此人应选第几楼,会有一个最佳满意度. 导思:本问题实际是求n 为何值时,不满意度最小的问题,先要根据问题列出一个关于楼层的函数式,再根据基本不等式求解即可.探究:设此人应选第n 层楼,此时的不满意程度为y.由题意知y=n+n8. ∵n+n8≥2248=⨯n n , 当且仅当n=n8,即n=22时取等号. 但考虑到n ∈N *,∴n≈2×1.414=2.828≈3,即此人应选3楼,不满意度最低.。