空间直角坐标系整理
空间直角坐标系
长度：使用直角坐标 系中的坐标值计算
面积：使用直角坐标 系中的坐标值计算
体积：使用直角坐标 系中的坐标值计算
角度：使用直角坐标 系中的坐标值计算
距离：使用直角坐标 系中的坐标值计算
相似性：使用直角坐 标系中的坐标值计算
平移：沿某个方向移动一定距 离不改变形状的大小和方向
旋转：绕某个轴旋转一定角 度改变形状的位置和方向
向量的坐标表示应用：向量的坐标表示方法在物理、工程、计算机科学等领域有着广泛的应 用。
向量的模：向量的长度表示为向量的平方和的平方根
向量的数量积：两个向量的点积表示为两个向量的坐标乘积的和
向量的坐标表示方法：用三个坐标值表示向量每个坐标值对应一个坐标轴
向量的数量积的坐标表示方法：用两个向量的坐标乘积的和表示向量的数量积每个坐标乘积 对应一个坐标轴
平移：沿坐标轴方 向移动保持原点位 置不变
旋转和平移的复合 ：先旋转后平移或 先平移后旋转
旋转和平移的逆操 作：旋转和平移的 逆操作可以恢复原 坐标系
空间直角坐标系的 表示方法
空间直角坐标 系：由三个互 相垂直的坐标 轴组成通常用x、
y、z表示
点的坐标表示： 用三个数字表 示分别对应x、 y、z轴上的坐
感谢您的观看
汇报人：
示。
单位长度：平面直角坐标系中 的单位长度是固定的通常用1表
示。
空间直角坐标系是 三维的平面直角坐 标系是二维的
空间直角坐标系中的点 可以用三个坐标表示平 面直角坐标系中的点可 以用两个坐标表示
空间直角坐标系中 的点可以通过投影 变换转换为平面直 角坐标系中的点
平面直角坐标系中 的点可以通过升维 变换转换为空间直 角坐标系中的点
坐标轴：x轴、y轴、z 轴分别代表三个方向 的坐标。
空间直角坐标系
解: D( 0, 0, 2),
C( 0, 4, 0), A( 3, 0, 2), 过点 A 的 x 轴的垂面 AB 交 x 轴于点 A, 得 x 坐标为 3;
z
2 D
A
3A O
x
C B
C
4y
B
过点 A 的 y 轴的垂面 AO 交 y 轴于原点,
得 y 坐标为 0;
过点 A 的 z 轴的垂面 AC 交 z 轴于点 D,
得 z 坐标为 2.
例1. 如图, 在长方体 OABC-DABC中, |OA|=3,
|OC|=4, |OD|=2. 写出 D, C, A, B 四点的坐标.
解: D( 0, 0, 2),
C( 0, 4, 0), A( 3, 0, 2), B( 3, 4, 2). 过点 B 的 x 轴的垂面 BA
o
y
y
o
o
y
x
x
课本中采用的是右手直角坐标系, (如图)
二、点的坐标
点P的坐标: P (x, y, z), z 过点P作 x 轴的垂面,
与 x 轴交点的坐标
就是点P的 x 坐标; 过点P作 y 轴的垂面,
z
P● (x, y, z)
与 y 轴交点的坐标
o
y
y
就是点P的 y 坐标;
x
过点P作 z 轴的垂面, x
N22( 1,
1 2
,
12),
N24(
1 2
,
1,
1 2
),
N14( 1, 1, 1 ),
N21(
1 2
,
0,
1 2
),
N23( 0,
(整理)空间直角坐标系
【本讲教育信息】一、教学内容：空间直角坐标系，包括：1、空间直角坐标系的建立；2、空间直角坐标系中点的坐标；3、空间两点间的距离公式二、学习目标1、通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；2、通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式；3、经历空间直角坐标系刻画点的过程，了解类比思维，经历用代数方法刻画几何位置的过程；4、通过在几何体中建立空间直角坐标系，进一步培养空间观念和空间想象能力；进一步了解解析几何的本质思想。
三、知识要点一）空间直角坐标系的建立1、空间物体位置的描述以上图为例：一只小蚂蚁站在水泥构件O点处，在A、B、C、D、E处放有食物，如何告诉小蚂蚁食物的位置？——可以结合放有食物的各点与O点的相对位置，用方位（东、西、南、北、上、下）及需要走过的距离来描述。
如：自O点出发，向东爬过5格，再向上爬过3格，再向北爬2格，即可取到放在B 处的食物。
2、建立空间直角坐标系：将平面直角坐标系的x轴（横轴）和y轴（纵轴）放置在水平面上，过原点O作一条与xOy平面垂直的z轴（竖轴），这样就建立了三个维度的空间直角坐标系，如图：——右手系：符合右手螺旋法则，若顺着z轴看，从x轴到y轴是沿顺时针方向。
3、空间直角坐标系：空间直角坐标系中，O为坐标原点，x，y，z轴统称为坐标轴。
坐标轴确定的平面称为坐标平面，x，y轴确定的平面记作xOy平面，y，z轴确定的平面记作yOz平面，x，z轴确定的平面记作xOz平面.二）空间直角坐标系中点的坐标：1、空间中点的坐标：P（x，y，z），确定方法：由P作PP＇⊥坐标平面xOy，则P＇点是平面xOy上的点，其坐标为（x，y，O），这样就确定了P的横坐标x和纵坐标y.若PP＇与z轴正半轴在平面xOy同侧，则z=|PP＇|；若PP＇与z轴正半轴在平面xOy异侧，则z=－|PP＇|，这样就确定了P点的竖坐标z。
空间直角坐标系
3.数量积不满足消去律
1.下列命题成立吗?
①若 a b a c ,则 b c
②若 a b k
,则 a
k b
③ ( a b) c a (b c )
2 ,ab 2 , 2. 已知 a 2 2 , b 2 135 则 a 与b 的夹角大小为_____.
角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、
DC的中点。求下列向量的数量积：
A F E D G C
(1) AB AC;(2) AD BD; (3)GF AC ;(4) EF BC.
4.如图，在空间四边形 ABCD 中，B AB 2 ， BC 3 ， BD 2 3 ， CD 3 ， ABD 30 ， ABC 60 ， 求 AB 与 CD 的夹角的余弦值
D' A' O B' z C'
A C 与 D B 相交于点P
写出点P的坐标。
C y x A
B
中点坐标公式
x1 x2 y1 y2 平面：P1 P2 的中点 ( , ) 2 2
类比
猜想
x1 x2 y1 y2 z1 z2 空间：P1 P2 的中点 ( , , ) 2 2 2
3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任 1 1 意一点O， OM xOA ＋ OB ＋ OC ,则x 3 3 的值为： D
A. 1
B. 0
C. 3
4.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点 O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？ 2 1 2 (1) OP OA OB OC ; 5 5 5
预备知识
数轴Ox上的点M
M x
空间直角坐标系
从空间某一点O引三条互相垂直的射线 从空间某一点 引三条互相垂直的射线Ox、Oy、Oz. 引三条互相垂直的射线 并取定长度单位和方向， 并取定长度单位和方向，就建立了空间直角坐标系 .其 其 点称为坐标原点 数轴Ox, Oy, Oz称为坐标轴，每两 坐标原点， 称为坐标轴 中O 点称为坐标原点，数轴 称为坐标轴， 个坐标轴所在的平面Oxy、Oyz、Ozx叫做坐标平面 叫做坐标平面 个坐标轴所在的平面 叫做坐标平面. 三个坐标轴的正方向符合右手系 右手系. 三个坐标轴的正方向符合右手系 z 竖轴
2
解得x = 9或x = −1.
所以点P的坐标为（9，0，0）或（－1，0，0）。
12
例3 在xoy平面内的直线x+y=1上确定一点M，使M到 点N（6，5，1）的距离最小。 解 由已知，可设M（x，1－x，0），则
MN = ( x − 6) 2 + (1 − x − 5) 2 + (0 − 1) 2
射线AB， 分别为x轴 轴的正半轴， 射线 ，AD,AA分别为 轴，Y轴，z轴的正半轴，建立空间 分别为 轴 轴的正半轴 直角坐标系，求各顶点坐标。 直角坐标系，求各顶点坐标。
z
A’ B’ O C’ D’
o A
D C
Cy
x
B
7
回顾与复习
长方体的对角线公式 已知长方体的长、宽、高分别为a，b，c
D1 A1 D C b A a B B1 C1 c
P (3,−2,5), P2 (6,0,−1) 两点间 1
11
例2 给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，
使它与点P0 (4,1,2)的距离为 30。
解 设点P的坐标是( x,0,0),由题意，0 P = 30 , P
空间直角坐标系
空间直角坐标系4．3．1空间直角坐标系主要概念：空间直角坐标系----从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴Ox、Oy、Oz，这样的坐标系叫做空间直角坐标系O-xyz，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴。
坐标平面----通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面。
右手直角坐标系----在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。
空间直角坐标系中的坐标----对于空间任一点M，作出M点在三条坐标轴Ox轴、Oy 轴、Oz轴上的射影，若射影在相应数轴上的坐标依次为x、y、z，则把有序实数对(x, y, z)叫做M点在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x, y, z)，其中x叫做点M的横坐标，y 叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标。
一、重点难点本节教学重点是建立空间直角坐标系，难点是用空间直角坐标系刻画点的位置和根据点的位置表示出点的坐标。
二、教材解读如果把坐标法理解为通过某一特定系统中的若干数量来决定空间位置的方法，那么战国时代魏人石申用距度（或入宿度）和去极度两个数据来表示恒星在天球上位置的星表，可以说是一种球面坐标系统的坐标法。
古希腊的地理学家和天文学家也广泛地使用球面坐标法。
西晋人裴秀（223－271）提出“制图六体”，在地图绘制中使用了相当完备的平面网络坐标法。
用坐标法来刻划动态的、连结的点，是它沟通代数与几何而成为解析几何的主要工具的关键。
阿波罗尼在<<圆锥曲线论>>中，已借助坐标来描述曲线。
十四世纪法国学者奥雷斯姆用“经度”和“纬度”(相当于纵坐标和横坐标)的方程来刻划动点的轨迹。
十七世纪，费马和笛卡儿分别创立解析几何，他们使用的都是斜角坐标系：即选定一条直线作为X轴，在其上选定一点为原点，y的值则由那些与X轴成一固定角度的线段的长表示。
第六节 空间直角坐标系及空间向量的线性运算(知识梳理)
第六节空间直角坐标系及空间向量的线性运算复习目标学法指导1.会确定空间点的坐标.2.会求直线方向向量及平面法向量.3.会进行空间向量的几何运算及代数运算.4.会进行空间向量的数量积及坐标运算. 1.空间直角坐标系中的点是由横、纵、竖三个数组成的有序数组.2.直线的方向向量与直线上的向量是共线向量,平面的法向量与平面上的任何直线都垂直.3.空间向量的几何运算及代数运算与平面向量类似.4.会通过数量积进行空间向量的坐标运算表达直线、平面位置关系.一、空间直角坐标系及空间向量的有关概念1.空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系以空间一点O为原点,建立三条两两垂直的数轴:x轴、y轴、z轴.这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz,其中点O叫做坐标原点,x 轴、y轴、z轴叫做坐标轴,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面.(2)右手直角坐标系在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x 轴的正方向,食指指向y 轴的正方向,如果中指指向z 轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.(3)空间一点M 的坐标空间一点M 的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示,记作M(x,y,z),其中x 叫做点M 的横坐标,y 叫做点M 的纵坐标,z 叫做点M 的竖坐标. 2.空间两点间的距离公式、中点公式 (1)距离公式①设点A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2),则②点P(x,y,z)与坐标原点O 之间的距离为 .(2)中点公式设点P(x,y,z)为线段P 1P 2的中点,其中P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2),则有121212,2,2.2x x x y y y z z z +⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩3.空间向量的有关概念向量零向量长度(或模)为0的向量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量(或平行向量)如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量,a平行于b记作 a∥b共面向量平行于同一个平面的向量叫做共面向量概念理解(1)空间直角坐标系的建立原则是:合理利用几何体中的垂直关系,特别是面面垂直;尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上.(2)直线的方向向量:l是空间一直线,A,B是直线l上任意两点,则称ABu u u r为直线l的方向向量,与ABu u u r平行的任意非零向量也是直线l的方向向量.(3)平面的法向量可利用方程组求出:设a,b 是平面α内两不共线向量,n 为平面α的法向量,则求法向量的方程组为0,0.n a n b ⋅=⎧⎨⋅=⎩ (4)共线向量定理中a ∥b ⇔存在λ∈R,使a=λb,不要忽视b ≠0. (5)一个平面的法向量有无数个,但要注意它们是共线向量,不要误认为是共面向量. 二、数量积与坐标运算 1.数量积及相关概念(1)两向量的夹角:已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作OA u u u r =a,OB u u u r=b,则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角,记作<a,b>,其范围是[0,π].若<a,b>=π2,则称向量a 与b 互相垂直,记作a ⊥b.若<a,b>=0,则称向量a 与b 同向共线,若<a,b>=π,则称向量a 与b 反向共线. (2)两向量的数量积:已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos<a,b>叫做向量a,b 的数量积,记作 a ·b,即a ·b=|a||b|cos<a,b>. 2.两个向量数量积的性质和结论 已知两个非零向量a 和b.(1)a ·e=|a|cos<a,e>(其中e 为单位向量). (2)a ⊥b ⇔a ·b=0. (3)cos<a,b>=a b a b⋅.(4)a 2=a ·a=|a|2,|a|=.(5)|a ·b|≤|a||b|.3.空间向量数量积的运算律 (1)数乘结合律:(λa)·b=λ(a ·b).(2)交换律:a ·b=b ·a.(3)分配律:a ·(b+c)=a ·b+a·c. 4.向量坐标的定义设i,j,k 为空间三个两两垂直的单位向量,如果OP u u u r=xi+yj+zk,则(x,y,z)叫做向量OP u u u r的坐标. 5.空间向量运算的坐标表示 设a=(x 1,y 1,z 1),b=(x 2,y 2,z 2),那么(1)加、减运算:a ±b=(x 1±x 2,y 1±y 2,z 1±z 2). (2)数量积:a ·b=x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2. (3)夹角公式:cos<a,b>=121212222222111222x y z x y z ++++.(4)模长公式:|a|=a a ⋅=222111x y z ++.(5)数乘运算:λa=(λx 1,λy 1,λz 1)(λ∈R).(6)平行的充要条件:a ∥b ⇔x 1=λx 2,y 1=λy 2,z 1=λz 2(λ∈R). (7)垂直的充要条件:a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2=0.1.概念理解(1)探求两向量的夹角时, 必须从两向量共起点来看.(2)空间向量的数量积运算律与平面向量数量积运算律保持一致. (3)向量OP u u u r的坐标是终点坐标减去起点坐标.(4)立体几何中的平行或共线问题一般可以用向量共线定理解决,求两点间距离可以用向量的模解决;解决垂直问题一般可化为向量的数量积为零;求角问题可以转化为两向量的夹角.2.与数量积及坐标运算相关联的结论(1)aa表示单位向量.(2)|a|2=a·a.(3)空间向量不满足结合律,即(a·b)·c≠a·(b·c).1.在平行六面体ABCD-EFGH中,若AG u u u r=2xABu u u r+3yBCu u u r+3zHDu u u r,则x+y+z等于( D )(A)76(B)23(C)56(D)12解析:因为AG u u u r=AB u u u r+BC u u u r-HD u u u r,所以21,31,31,xyz=⎧⎪=⎨⎪=-⎩所以1,21,31,3xyz⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩所以x+y+z=12.故选D.2.平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量AB u u u r,AD u u u r,1AAu u u r两两的夹角均为60°,且|AB u u u r|=1,|AD u u u r|=2,|1AAu u u r|=3,则|1ACu u u u r|等于( A )(A)5 (B)6 (C)4 (D)8解析:设AB u u u r=a,AD u u u r=b,1AAu u u r=c,则1ACu u u u r=a+b+c,21ACu u u u r=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=25,因此|1ACu u u u r|=5.故选A.3.在空间四边形ABCD中,AB u u u r·CD u u u r+AC u u u r·DB u u u r +AD u u u r·BC u u u r等于( B )(A)-1 (B)0(C)1 (D)不确定解析:如图,令AB u u u r=a,AC u u u r=b,AD u u u r=c,则AB u u u r·CD u u u r+AC u u u r·DB u u u r+AD u u u r·BC u u u r=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.考点一空间直角坐标系[例1] 在空间直角坐标系Oxyz中,点A(1,2,2),则|OA|= ;点A到坐标平面yOz的距离是.解析:根据空间直角坐标系中两点间的距离公式,得|OA|=()()()222-+-+-=3.102020因为A(1,2,2),所以点A到平面yOz的距离为|1|=1.答案:3 1(1)点P(x,y,z)关于各点、线、面的对称点的坐标点、线、面对称点坐标原点(-x,-y,-z)x轴(x,-y,-z)y轴(-x,y,-z)z轴(-x,-y,z)坐标平面xOy (x,y,-z)坐标平面yOz (-x,y,z)坐标平面zOx (x,-y,z)(2)两点间距离公式的应用①求两点间的距离或线段的长度;②已知两点间的距离,确定坐标中参数的值;③根据已知条件探求满足条件的点的存在性.设点M(2,1,3)是直角坐标系Oxyz中一点,则点M关于x轴对称的点的坐标为( A )(A)(2,-1,-3) (B)(-2,1,-3)(C)(-2,-1,3) (D)(-2,-1,-3)解析:点M关于x轴对称的点与点M的横坐标相同,纵坐标、竖坐标均互为相反数,所以对称点为(2,-1,-3).故选A.考点二空间向量的线性运算[例2] 在三棱锥O-ABC中,M,N分别是OA,BC的中点,G是△ABC的重u u u u r.心,用基向量OA u u u r,OB u u u r,OC u u u r表示OG u u u r,MG解:OG u u u r =OA u u u r +AG u u u r=OA u u u r +23AN u u u r=OA u u u r +23(ON u u u r -OA u u u r)=OA u u u r+23[12(OB u u u r +OC u u u r )-OA u u u r]=13OA u u u r+13OB u u u r+13OC u u u r. MG u u u u r =OG u u u r -OM u u u u r=OG u u u r -12OA u u u r=13OA u u u r +13OB u u u r +13OC u u u r -12OA u u u r=-16OA u u u r+13OB u u u r+13OC u u u r. (1)选定空间不共面的三个向量作基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的基本要求.如本例用OA u u u r ,OB u u u r ,OC u u u r 表示OG u u u r ,MG u u u u r等,另外解题时应结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法则和公式等,就近表示所需向量.(2)首尾相接的若干个向量的和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.所以求若干向量的和,可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和.如图,已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N 分别是对边OA,BC 的中点,点G 在线段MN 上,且分MN 所成的比为2,现用基向量OA u u u r ,OB u u u r ,OC u u u r 表示向量OG u u u r ,设OG u u u r =x OA u u u r +y OB u u u r+z OCu u u r ,则x,y,z 的值分别是( D ) (A)x=13,y=13,z=13(B)x=13,y=13,z=16(C)x=13,y=16,z=13 (D)x=16,y=13,z=13解析:设OA u u u r =a,OB u u u r =b,OC u u u r=c, 因为G 分MN 所成的比为2,所以MG u u u u r =23MN u u u u r, 所以OG u u u r=OM u u u u r +MG u u u u r =OM u u u u r +23(ON u u u r -OM u u u u r) =12a+23(12b+12c-12a) =12a+13b+13c-13a =16a+13b+13c, 即x=16,y=13,z=13. 考点三 空间向量的数量积与坐标运算[例3] 已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4).设a=AB u u u r ,b=AC u u u r,(1)求a 和b 的夹角θ的余弦值;(2)若向量ka+b 与ka-2b 互相垂直,求k 的值.解:因为A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),a=AB u u u r,b=AC u u u r,所以a=(1,1,0),b=(-1,0,2). (1)cos θ=a b a b⋅=10025-++⨯=-1010,所以a 和b 的夹角θ的余弦值为-1010.解:(2)因为ka+b=k(1,1,0)+(-1,0,2)=(k-1,k,2), ka-2b=(k+2,k,-4)且(ka+b)⊥(ka-2b),所以(k-1,k,2)·(k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k 2-8=2k 2+k-10=0. 解得k=-52或k=2. (1)求空间向量数量积的方法①定义法.设向量a,b 的夹角为θ,则a ·b=|a||b|cos θ; ②坐标法.设a=(x 1,y 1,z 1),b=(x 2,y 2,z 2),则a ·b=x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2. ③基向量法.将所求向量用基向量表示,再进行运算. (2)数量积的应用①求夹角.设非零向量a,b 的夹角为θ,则cos θ=a b a b⋅,进而可求两异面直线所成的角;②求长度(距离).运用公式|a|2=a ·a,可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题;③解决垂直问题.利用a ⊥b ⇔a ·b=0(a ≠0,b ≠0),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.1.如图,在棱长为2的正四面体A-BCD 中,E,F 分别为直线AB,CD 上的动点,且3若记EF 中点P 的轨迹为L,则|L|等于 .(注:|L|表示L 的测度,在本题,L 为曲线、平面图形、空间几何体时,|L|分别对应长度、面积、体积)解析:为了便于计算,将正四面体放置于如图的正方体中,可知,正方体的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系,设E(0,y 1,y 1),F(2,y 2,2-y 2),P(x,y,z),|EF|=()()()222121222yy y y +-+-+=3,即(y 1-y 2)2+(y 1+y 2-2)2=1,又12122,22x y y y y y z ⎧⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+-=⎪⎩即121222,2x y y y y y z ⎧⎪⎪⎪+=⎨⎪+-⎪⎪⎩代入上式得2222=1,即2)22)2=14,即P 的轨迹为半径为12的圆,周长为|L|=2πr=π. 答案:π2.A,B,C,D 是空间不共面的四点,且满足AB u u u r ·AC u u u r =0,AC u u u r ·AD u u u r =0,AB u u u r ·AD u u u r=0,M为BC 的中点,则△AMD 是( C )(A)钝角三角形 (B)锐角三角形 (C)直角三角形 (D)不确定 解析:因为M 为BC 的中点, 所以AM u u u u r =12(AB u u u r +AC u u u r).所以AM u u u u r·AD u u u r =12(AB u u u r +AC u u u r )·AD u u u r=12AB u u u r·AD u u u r +12AC u u u r ·AD u u u r=0.所以AM ⊥AD,即△AMD 为直角三角形. 考点四 易错辨析[例4] 如图所示,在空间直角坐标系中,BC=2,原点O 是BC 的中点,点A 的坐标是(32,12,0),点D 在平面yOz 内,且∠BDC=90°,∠DCB=30°.(1)求OD u u u r的坐标;(2)设AD u u u r 和BC u u u r的夹角为θ,求cos θ的值.解:(1)如图所示,过D 作DE ⊥BC,垂足为E.在Rt △DCB 中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°,BC=2,得BD=1,CD=3.所以DE=CDsin 30°3.OE=OB-BDcos 60°=1-12=12.所以D 点坐标为(0,-12,3),即OD u u u r的坐标为(0,-12,3).解:(2)依题意,OA u u u r=(3, 12,0), OB u u u r =(0,-1,0), OC u u u r=(0,1,0),所以AD u u u r =OD u u u r -OA u u u r=(-3,-1,3),BC u u u r =OC u u u r -OB u u u r=(0,2,0).由AD u u u r 和BC u u u r的夹角为θ,得 cos θ=AD BC AD BC⋅u u u r u u u ru u u r u u u r=()()2222223301202233102022-⨯+-⨯+⨯⎛⎫⎛⎫-+-+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-10.所以cos θ=-10.解答空间向量的计算问题时,以下两点容易造成失分,在备考时要高度关注:(1)对向量运算法则特别是坐标运算的法则掌握不熟练导致失误. (2)不能熟练地运用向量共线、垂直的充要条件将问题转化.类型一 空间直角坐标系1.在四棱锥O-ABCD 中,底面ABCD 是平行四边形,设OA u u u r=a, OB u u u r=b,OC u u u r =c,则OD u u u r可表示为(A )(A)a+c-b (B)a+2b-c(C)b+c-a (D)a+c-2b 解析:因为OA u u u r=a,OB u u u r=b,OC u u u r=c,在▱ABCD 中,BA u u u r =OA u u u r -OB u u u r =a-b,OD u u u r - OC u u u r =CD u u u r =BA u u u r=a-b, 所以OD u u u r=OC u u u r+CD u u u r =a-b+c.故选A.2.已知空间任意一点O 和不共线的三点A,B,C,若OP u u u r =x OA u u u r +y OB u u u r +z OC u u u r(x,y,z ∈R),则“x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,C四点共面”的( B ) (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 解析:当x=2,y=-3,z=2时, 即OP u u u r=2OA u u u r-3OB u u u r+2OC u u u r.则AP u u u r -AO u u u r =2OA u u u r -3(AB u u u r -AO u u u r )+2(AC u u u r -AO u u u r), 即AP u u u r=-3AB u u u r +2AC u u u r,根据共面向量定理知,P,A,B,C 四点共面; 反之,当P,A,B,C 四点共面时,根据共面向量定理, 设AP u u u r =m AB u u u r +n AC u u u r(m,n ∈R), 即OP u u u r-OA u u u r=m(OB u u u r-OA u u u r)+n(OC u u u r-OA u u u r), 即OP u u u r=(1-m-n)OA u u u r+m OB u u u r+n OC u u u r,即x=1-m-n,y=m,z=n,这组数显然不止2,-3,2.故“x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,C 四点共面”的充分不必要条件.故选B.3.已知a=(2,3,1),b=(-4,2,x),且a ⊥b,则|b|= . 解析:因为a ⊥b,所以-8+6+x=0,解得x=2, 故|b|=()222422-++=26.答案:26类型二 空间向量线性运算4.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,向量1DD u u u u r -AB u u u r +BC u u u r化简后的结果是( A )(A)1BD u u u u r (B)1D B u u u u r (C)1B D u u u u r (D)1DB u u u u r解析:根据空间向量加法的平行四边形法则,把向量平移到同一起点,得1DD u u u u r -AB u u u r +BC u u u r =BA u u u r +BC u u u r +1BB u u u r =1BD u u u u r,故选A.类型三 空间向量数量积及坐标运算5.点P 是棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1上一点,则PA u u u r·1PC u u u u r 的取值范围是(D )(A)[-1,-14] (B)[-12,-14] (C)[-1,0] (D)[-12,0] 解析:如图,以D 1为原点,以D 1C 1,D 1A 1,D 1D 方向为x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,则A(0,1,1),C 1(1,0,0),P(x,y,0), PA u u u r=(-x,1-y,1),1PC u u u u r=(1-x,-y,0), PA u u u r ·1PC u u u u r =(x-12)2+(y-12)2-12,(其中0≤x ≤1,0≤y ≤1),所以PA u u u r ·1PC u u u u r的取值范围是[-12,0].故选D.6.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a,点E,F 分别是BC,AD 的中点,则AE u u u r ·AF u u u r 的值为( C )(A)a 2 (B)12a 2 (C)14a 2(a 2解析:AE u u u r ·AF u u u r =12(AB u u u r +AC u u u r)·12AD u u u r =14(AB u u u r ·AD u u u r +AC u u u r ·AD u u u r)=14(a 2cos 60°+a 2cos 60°)=14a 2.故选C. 7.在四棱锥P-ABCD 中,AB u u u r =(4,-2,3),AD u u u r=(-4,1,0),AP u u u r=(-6,2,-8),则这个四棱锥的高h 等于( B )(A)1 (B)2 (C)13 (D)26解析:设平面ABCD 的法向量为n=(x,y,z),则,,n AB n AD ⎧⎪⎨⎪⎩u u u ru u u r ⊥⊥⇒4230,40,x y z x y -+=⎧⎨-+=⎩ 令y=4,则n=(1,4,43), 则h=n AP n⋅u u u r=326833-+-=2.故选B.8.OA u u u r=(1,2,3),OB u u u r=(2,1,2),OP u u u r=(1,1,2)(其中O 为坐标原点),点Q 在OP 上运动,当QA u u u r ·QB u u u r取最小值时,点Q 的坐标为( C )(A)( 12,34,13) (B)( 12,23,34) (C)( 43,43,83) (D)( 43,43,73) 解析:设OQ u u u r =λOP u u u r=λ(1,1,2)=(λ,λ,2λ), 则QA u u u r=(1-λ,2-λ,3-2λ), QB u u u r=(2-λ,1-λ,2-2λ),QA u u u r ·QB u u u r=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10 =6(λ-43)2-23.当λ=43时,QA u u u r ·QB u u u r取得最小值,此时Q(43,43,83).故选C.9.A,B,C,D 是空间不共面的四点,且满足AB u u u r ·AC u u u r =0,AC u u u r ·AD u u u r =0,AB u u u r ·AD u u u r=0,则△BCD是( B )(A)钝角三角形 (B)锐角三角形 (C)直角三角形 (D)不确定 解析:BC u u u r ·BC u u u r =(AD u u u r -AB u u u r )·(AC u u u r -AB u u u r) =AD u u u r ·AC u u u r -AD u u u r ·AB u u u r -AB u u u r ·AC u u u r +2AB u u u r =2AB u u u r >0,所以cos ∠DBC>0,∠DBC 为锐角, 同理∠BDC,∠BCD 为锐角. 所以△BCD 为锐角三角形,故选B.。
2.4.1空间直角坐标系
4．卦限 ． 在空间直角坐标系中， 在空间直角坐标系中，三个坐标平面把空 间分成八部分，每一部分称为一个卦限； 间分成八部分，每一部分称为一个卦限； 在坐标平面xOy上方的四个象限对应的 在坐标平面 上方的四个象限对应的 卦限称为第I、 卦限； 卦限称为第 、第II、第III、第IV卦限； 、 、 卦限 在下面的卦限称为第V、 在下面的卦限称为第 、第VI、第VII、 、 、 卦限； 第VIII卦限； 卦限 在每个卦限内， 在每个卦限内，点的坐标的各分量的符 号是不变的，例如在第I卦限 卦限， 号是不变的，例如在第 卦限，三个坐标 分量x、 、 都为正数 在第II卦限 为 都为正数； 卦限， 分量 、y、z都为正数；在第 卦限，x为 负数， 、 均为正数 均为正数； 负数，y、z均为正数；
z
y O x
z
z
y O
y o
x
z y
x
z x
y
o x
o
二．空间点的坐标 1．点P的x坐标：过点 作一个平面平行于 坐标： ． 的 坐标 过点P作一个平面平行于 平面yOz，这样构造的平面同样垂直于 轴， 平面 ，这样构造的平面同样垂直于x轴 这个平面与x轴的交点记为 轴的交点记为P 它在x轴上的 这个平面与 轴的交点记为 x，它在 轴上的 坐标为x，这个数x就叫做点 就叫做点P的 坐标 坐标； 坐标为 ，这个数 就叫做点 的x坐标； 2．点P的y坐标：过点 作一个平面平行于平 坐标： ． 的 坐标 过点P作一个平面平行于平 面xOz，这样构造的平面同样垂直于 轴，这 ，这样构造的平面同样垂直于y轴 个平面与y轴的交点记为 轴的交点记为P 它在y轴上的坐 个平面与 轴的交点记为 y，它在 轴上的坐 标为y，这个数y就叫做点 就叫做点P的 坐标 坐标； 标为 ，这个数 就叫做点 的y坐标；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2．3．1 空间直角坐标系一、教材知识解析 1、空间直角坐标系的定义：从空间某一个定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O-xyz ，点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴和z 轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面和xOz 平面。
2、右手直角坐标系及其画法：（1）定义：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，若中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。
教材上所指的都是右手直角坐标系。
（2）画法： 将空间直角坐标系画在纸上时，x 轴与y 轴、x 轴与z 轴均成135°，而z轴垂直于y 轴，y 轴和z 轴的长度单位相同，x 轴上的单位长度为y 轴（或z 轴）的长度的一半，这样，三条轴上的单位长度在直观上大体相等。
3、空间中点的坐标表示：点在对应数轴上的坐标依次为x 、y 、z ，我们把有序实数组（x ，y ，z ）叫做点A 的坐标，记为A （x ，y ，z ）。
二、题型解析：题型1、在空间直角坐标系下作点。
例1、在空间直角坐标系中，作出M(4,2,5). 解：法一：依据平移的方法，为了作出M(4,2,5)，可以按如下步骤进行：（1）在x 轴上取横坐标为4的点1M ；（2）将1M 在xoy 平面内沿与y 轴平行的方向向右移动2个单位，得到点2M ；（3）将2M 沿与z 轴平行的方向向上移动5个单位，就可以得到点M （如图）。
法二：以O 为一个顶点，构造三条棱长分别为4，2，5的长方体，使此长方体在点O 处的三条棱分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴、z 轴的正半轴上，则长方体与顶点O 相对的顶点即为所求的点M 。
法三：在x 轴上找到横坐标为4的点，过此点作与x 垂直的平面α；在y 轴上找到纵坐标为2的点，过此点作与y 垂直的平面β；在z 轴上找到竖坐标为5的点，过此点作与z 垂直的平面γ；则平面αβγ,,交于一点，此交点即为所求的点M 的位置。
【技巧总结】：（1）若要作出点M 000(,,)x y z 的坐标有两个为0，则此点是坐标轴上的点，可直接在坐标轴上作出此点；（2）若要作出点M 000(,,)x y z 的坐标有且只有一个为0，则此点不在坐标轴上，但在某一坐标平面内，可以按照类似于平面直角坐标系中作点的方法作出此点。
（3）若要作出点M 000(,,)x y z 的坐标都不为0，则需要按照一定的步骤作出该点，一般有三种方法：①在x 轴上取横坐标为0x 的点1M ；再将1M 在xoy 平面内沿与y 轴平行的方向向左（00y <）或向右（00y >）平移0||y 个单位，得到点2M ；再将2M 沿与z 轴平行的方向向上（00z >）或向下（00z <）平移0||z 个单位，就可以得到点 M 000(,,)x y z 。
②以O 为一个顶点，构造三条棱长分别为000||,||,||x y z 的长方体（三条棱长的位置要与000,,x y z 的符号一致），则长方体与顶点O 相对的顶点即为所求的点M 。
③先在x 轴上找到点10(,0,0)M x ，过1M 作与x 垂直的平面α；在y 轴上找到点20(0,,0)M y ，过2M 作与y 垂直的平面β；在z 轴上找到点30(0,0,)M z ，过3M 作与z垂直的平面γ，则平面αβγ,,交于一点，此交点即为所求的点M 的位置。
【变式与拓展】1．1在空间直角坐标系下作出点（-2，1，4）1．2 在同一坐标系下作出下列各点：A （3，0，0），B （0，0，-3），C （2，3，0），D （4，2，3），E （4，-2，3）题型2、在空间直角坐标系下求出点的坐标表示 例2、如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F分别是111,BB B D 的中点，棱长为1，求E 、F 点的坐标。
解：法一：E 点在点xoy 面上的射影为B ，B （1，1，0），竖坐标为12，1(1,1,)2E ∴。
XF 在在点xoy 面上的射影为BD 的中点为G 11(,,0)22，竖坐标为1，11(,,1)22F ∴ 法二：11(1,1,1),(0,0,1),(1,1,0)B D B ，E 为1BB 中点，F 为11B D 的中点。
故E 的坐标为1111101(,,)(1,1,)2222+++=，F 的坐标为10101111(,,)(,,1)22222+++= 【技巧总结】：（1）确定空间直角坐标系下点M 的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点的坐标的关键。
（2）空间直角坐标系下，点1111(,,)P x y z 与2222(,,)P x y z 的中点为121212(,,)222x x y y z z P +++ 【变式与拓展】2．1 、如图，长方体1111ABCD A BC D -中，OA=6，OC=8，15OD =，（1）写出点1111,,,A B C D 的坐标。
（2）若点G 是线段1BD 的中点，求点G 的坐标。
解：（1）1D 在z 轴上，且15OD =，即竖坐标是5，横坐标和纵坐标都为0，所以点1D 的坐标为（0，0，5）。
点1A 在平面xoy 上的射影是A ，点A 在x 轴上，且横坐标为6，纵坐标为0，竖坐标和1D 相同，所以点1A 的坐标为（6，0，5），同理可得11(6,8,5),(0,8,5)B C 。
（2）由于1D （0，0，5），B （6，8，0），则1BD 的中点G 的坐标为（3，4，52） 2．2、如图，直三棱柱111ABC A B C -中，012,90AA AB AC BAC ===∠=，M 是1CC 的中点，Q 是的中点，试建立空间直角坐标系，写出B 、C 、1C 、M 、Q 解：分别以AB 、AC 、A 1A 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，（如图），则 B （2，0，0），C （0，2，0），1(0,2)CM （0，2，1），Q （1，1，0）yx2．3、已知P （2，1，3），求M 关于原点对称的点1M ，M 关于xoy 平面对称的点2M ，M 分别关于x 轴、y 轴对称的点34,M M 。
解：由于点M 与1M 关于原点对称，即原点是点M 与1M 的中点，所以1M （-2，-1，-3）； 点M 与2M 关于xoy 平面对称，横坐标与纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，所以2M （2，1，-3）；M 与3M 关于x 轴对称，则3M 的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为M 的相反数，即3M （2，-1，-3），同理4M （-2，1，-3）。
三、基础练习1、点(203)，，在空间直角坐标系中的位置是在（ ） Ａ．y 轴上 Ｂ．xOy 平面上 Ｃ．xOz 平面上 Ｄ、yOz 平面上 答案：Ｃ 解析：由于纵坐标为0，故在平面xOz 上2、点P( 1, 4, -3)与点Q(3 , -2 , 5)的中点坐标是（ ）A ．( 4, 2, 2)B ．(2, -1, 2)C ．(2, 1 , 1)D ．（4, -1, 2) 答案：C3、在空间直角坐标系中，点P ，过点P 作平面xOy 的垂线PQ ，则Q 的坐标为（ ）Ａ．(0Ｂ．(0Ｃ．(10Ｄ．答案：D 解析：由于垂足在平面xOy 上，故竖坐标为04、在空间直角坐标系中, 点P(2,3,4)与Q (2, 3,- 4)两点的位置关系是（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于xOy 平面对称C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对 答案：B 解析：由于横坐标和纵坐标不变，竖坐标为相反数，故关于xOy 平面对称 5、已知ABCD 为平行四边形，且A （4，1，3），B （2，－5，1），C （3，7，－5），则点D 的坐标为解析：根据中点公式，AC 的中点为G （27，4，-1），又BD 的中点也是G ， 所以D （5，13，－3）6、如图，长方体OABC D AB C -''''中，3OA =，4OC =，3OD ='，AC''于B D ''相交于点P ．分别写出C ，B '，P 的坐标．解：点C 在y 轴上，且4OC =，故C (0,4,0)， 点B '在面xoy 的射影为B ，且竖坐标为3，故B '(3,4,3)，点P 在面xoy 的射影为矩形OABC 的对角线的交点，横坐标和纵坐标是矩形OABC 的长和宽的一半，竖坐标和B '的一样，故P 3(,2,3)2。
四、达标训练1、在空间直角坐标系中, 点P(3,4,5)关于yOz 平面对称的点的坐标为（ ） A ．(-3,4,5) B ．(-3,- 4,5) C ．(3,-4,-5) D ．(-3,4,-5) 答案：A2、在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），给出下列4条叙述： ①点P 关于x 轴的对称点的坐标是（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面的对称点的坐标是（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴的对称点的坐标是（x ，－y ，z ）④点P 关于原点的对称点的坐标是（－x ，－y ，－z ） 其中正确的个数是 （ ）A ．3B ．2C ．1D ．0答案：C3、如右图，棱长为3a 正方体OABC －''''D A B C ，点M 在|''|B C 上，且|'|C M =2|'|MB ，以O 为坐标原点，建立如图空间直有坐标系，则点M 的坐标为 ．答案：(2,3,3)a a a4、若三棱锥P-ABC 各顶点坐标分别为P （0，0，5），A （3，0，0）， B （0，4，0），C （0，0，0），则三棱锥的体积为 。
答案：105、如右图，为一个正方体截下的一角P －ABC ， ||PA a =，||PB b =，||PC c =，建立如图坐标系，求AB 中点E 的坐标 _ _答案：(,0,)22ac6、已知一长方体1111D C B A ABCD -的对称中心在坐标原点O ，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A （-2，-3，-1），求其他七个顶点的坐标。
解：B （-2，3，-1），C （2，3，-1），D （2，-3，-1），1111(2,3,1),(2,3,1),(2,3,1)(2,3,1)A B C D ----7、在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，且边长为2a ，棱PD ⊥底面ABCD ，2PD b =，取各侧棱的中点E ，F ，G ，H ，试建立空间直角坐标系，写出点E ，F ，G ，H 的坐标． 解: 由图形知，DA ⊥DC ，DC ⊥DP ，DP ⊥DA ，故以D 为原点，建立如图空间坐标系D －xyz ．则(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,0),(0,0,2)A a B a a C a D P b 因为E ，F ，G ，H 分别为侧棱中点，由中点的坐标公式可知，(,0,),(,,),(0,,),(0,0,)E a b F a a b G a b H b8、四棱锥ABCD V -中，底面是边长为4且060ABC ∠=的菱形，顶点V 在底面的射影是对角线的交点O ，VO=3，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点的坐标。