数学分析习题及答案 (13)
微积分(数学分析)练习题及答案doc
统计专业和数学专业数学分练习题 计算题１. 试求极限.42lim)0,0(),(xyxy y x +-→2. 试求极限.)()cos(1lim 222222)0,0(),(y x y x ey x y x ++-→3. 试求极限.1sin 1sin )(lim )0,0(),(yx y x y x +→4. 试讨论.lim 422)0,0(),(y x xy y x +→5. 试求极限.11lim2222)0,0(),(-+++→y x y x y x6. ),(xy y x f u +=,f 有连续的偏导数,求 .,yu x u ∂∂∂∂ 7. ,arctan xy z =,xe y = 求.dxdz ８. 求抛物面 222y x z +=在点 )3,1,1(M 处的切平面方程与法线方程.９. 求5362),(22+----=y x y xy x y x f 在)2,1(-处的泰勒公式.10. 求函数)2(),(22y y x e y x f x++=的极值． 1１. 叙述隐函数的定义.1２. 叙述隐函数存在唯一性定理的内容. 1３. 叙述隐函数可微性定理的内容.1４． 利用隐函数说明反函数的存在性及其导数. 15． 讨论笛卡儿叶形线0333=-+axy y x所确定的隐函数)(x f y =的一阶与二阶导数. 16. 讨论方程0),,(323=-++=z y x xyz z y x F在原点附近所确定的二元隐函数及其偏导数. １7. 设函数23(,,)f x y z xy z =, 方程2223x y z xyz ++=.(1)验证在点0(1,1,1)P 附近由上面的方程能确定可微的隐函数(,)y y z x =和(,)z z x y =; （2)试求(,(,),)x f x y x z z 和(,,(,))x f x y z x y ,以及它们在点)(x f y =处的值. 18． 讨论方程组⎩⎨⎧=+-+-==--+=01),,,(,0),,,(222xy v u v u y x G y x v u v u y x F 在点)2,1,1,2(0P 近旁能确定怎样的隐函数组，并求其偏导数。
数学分析习题集答案13
。再令
⎧x
⎨ ⎩
y
= =
u u
− +
v v
，则
∂(x, ∂(u,
y) v)
=2，
{ } S = ∫∫ 2dxdy = ∫∫ 4dudv ，其中 D'= (u, v) (u + 2a)2 + 3v2 ≤ 6a2 。
D
D'
（3） (2 − 2)πa 2 ；
（4） 2a2 ，提示： S = ∫∫ a dzdx ， D = {(z, x) − x ≤ z ≤ x, 0 ≤ x ≤ a}。 D a2 − x2
∫∫Σ f (ax + by + cz)dS = ∫∫Σ f ( a2 + b2 + c2 z')dS 。
计算这一曲面积分，令 x' = sin ϕ cosθ ， y' = sin ϕ sinθ ， z' = cosϕ 。
11．需要 100 小时. 提示：设在时刻 t 雪堆的体积为V (t) ，雪堆的侧面积为 S (t) ，
此得到
∫∫
Σ
z ρ(x, y,
dS z)
=
3π 2
。
10. 提示：将 xyz − 坐标系保持原点不动旋转成 x' y' z'− 坐标系，使 z' 轴上的单位
向量为
1
(a,b, c) ，则球面 Σ 不变，面积元 dS 也不变。设球面 Σ 上一
a2 + b2 + c2
点 (x, y, z) 的新坐标为 (x', y', z') ，则 ax + by + cz = a 2 + b2 + c2 z' ，于是
数学分析课后习题答案
习题1．验证下列等式 （1）C x f dx x f +='⎰)()( （2）⎰+=C x f x df )()(证明 （1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以⎰+='C x f dx x f )()(.（2）因为C u du +=⎰, 所以⎰+=C x f x df )()(.2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点)5,2(.解 由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='=⎰⎰22)()(.于是知曲线为C x y +=2, 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以有 C +=225, 解得1=C , 从而所求曲线为12+=x y3．验证x x y sgn 22=是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明 当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0<x 时, 22x y -=, x y -='; 当0=x 时,y 的导数为02sgn lim 0sgn )2(lim020==-→→x x x x x x x , 所以⎪⎩⎪⎨⎧=<-=>='||0000x x xx x xy 4．据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数解 由推论3的证明过程可知：在区间I 上的导函数f '，它在I 上的每一点，要么是连续点，要么是第二类间断点，也就是说导函数不可能出现第一类间断点。
因此每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数。
5．求下列不定积分⑴C x x x x dx x dx x xdx dx dx x x x +-+-=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰⎰-31423233233421)11(⑵C x x x dx x x x dx xx ++-=+-=-⎰⎰||ln 343)12()1(2332122⑶C gxC x gdx x ggxdx +=+⋅==⎰⎰-22212122121 ⑷ ⎰⎰⎰+⋅+=+⋅+=+dx dx dx x x x x x x x x )9624()3)32(22()32(222C x x x ++⋅+=9ln 96ln 624ln 4 ⑸C x dx x dx x +=-=-⎰⎰arcsin 23112344322⑹ C x dx x dx x x dx x x +-=+-=+-+=+⎰⎰⎰)arctan 1(31)111(31)1(311)1(322222 ⑺ C x x dx x xdx +-=-=⎰⎰tan )1(sec tan 22⑻ C x x dx x dx x xdx +-=-=-=⎰⎰⎰)2sin 21(21)2cos 1(2122cos 1sin 2⑼ C x x dx x x dx xx xx dx x x x +-=+=--=-⎰⎰⎰cos sin )sin (cos sin cos sin cos sin cos 2cos 22 ⑽C x x dx x x dx x x x x dx x x x +--=-=⋅-=⋅⎰⎰⎰tan cot )cos 1sin 1(sin cos sin cos sin cos 2cos 22222222 ⑾ C C dt dt tt ttt+=+⋅⋅=⋅=⋅⎰⎰90ln 90)910ln()910()910(3102 ⑿C x dx x dx x x x +==⎰⎰81587158⒀ C x dx xdx x x x x dx x x x x +=-=--+-+=+-+-+⎰⎰⎰arcsin 212)1111()1111(222⒁ C x x xdx dx dx x dx x x +-=+=+=+⎰⎰⎰⎰2cos 212sin 1)2sin 1()sin (cos 2⒂ C x x dx x x xdx x ++=+=⎰⎰)sin 3sin 31(21)cos 3(cos 212cos cos ⒃ C e e e e dx e e e e dx e e x xx x x x x x x x ++--=-+-=------⎰⎰33333313331)33()(习题1．应用换元积分法求下列不定积分：⑴ C x x d x dx x ++=++=+⎰⎰)43sin(31)43()43cos(31)43cos( ⑵ C e x d e dx xe x x x +==⎰⎰222222241)2(41⑶ C x x x d x dx ++=++=+⎰⎰|12|ln 2112)12(2112⑷ C x n x d x dx x n nn +++=++=++⎰⎰1)1(11)1()1()1(⑸Cx x xd xdx x dx xx++=-+-=-+-⎰⎰⎰3arcsin 313arcsin 3)3113131)31131(2222⑹ C C x d dx x x x x +=+=+=++++⎰⎰2ln 22ln 22)32(221222323232⑺C x C x x d x dx x +--=+-⋅-=---=-⎰⎰232321)38(92)38(3231)38()38(3138 ⑻C x C x x d x xdx+--=+-⋅-=---=-⎰⎰-3232313)57(103)57(2351)57()57(5157 ⑼ C x dx x dx x x +-==⎰⎰2222cos 21sin 21sin ⑽ C x x x d x dx++-=++=+⎰⎰)42cot(21)42(sin )42(21)42(sin 22ππππ⑾ 解法一：C xxx d x dxx dx+===+⎰⎰⎰2tan2cos 22cos 2cos 122解法二： ⎰⎰⎰⎰-=--=+xxdxx dx x dx x x dx 222sin cos sin cos 1)cos 1(cos 1 C x x xx d x ++-=--=⎰sin 1cot sin sin cot 2⑿解法一：利用上一题的结果，有C x C x x x d x dx +--=+--=-+--=+⎰⎰)24tan()2(21tan )2cos(1)2(sin 1ππππ 解法二： C x x xx d x dx x dx x x dx +-=+=--=+⎰⎰⎰⎰cos 1tan cos cos cos sin 1)sin 1(sin 1222 解法三：⎰⎰⎰+⋅=+=+222)12(tan 2cos )2cos 2(sin sin 1x x dxx x dx x dxC x x x d ++-=+=⎰12tan 2)12(tan 2tan 22⒀ 解法一：⎰⎰⎰---=-=)2()2sec()2sec(csc x d x dx x xdx πππC x x C x x ++-=+-+--=|cot csc |ln |)2tan()2sec(|ln ππ解法二：C x x x x d dx x x dx x xdx ++-=-===⎰⎰⎰⎰1cos 1cos ln 211cos cos sin sin sin 1csc 22C x x +-=|cot csc |ln解法三：⎰⎰++=dx x x x x x xdx cot csc )cot (csc csc cscC x x C xx x x d ++-=+++-=⎰|cot csc |ln cot csc )cot (csc解法四：⎰⎰⎰==dx x x xdx x x xdx 2cos2sin 22sin2cos 2sin 21csc 2C xC x x d x +=+-=-=⎰|2tan |ln |2cot |ln 2cot 2cot 1⒁C x x d x dx x x +--=---=-⎰⎰22221)1(11211 ⒂ C x dx x dx x x +=+=+⎰⎰2arctan 41)(4121422224⒃C x x x d x x dx +==⎰⎰|ln |ln ln ln ln⒄ C x x d x dx x x +-=---=-⎰⎰25535354)1(1101)1()1(151)1( ⒅ C x x C x x dx x dx x x ++-=++-⋅=-=-⎰⎰|22|ln 281|22|ln 221412)(1412444442483⒆C xx C x x dx x x x x dx ++=++-=+-=+⎰⎰|1|ln |1|ln ||ln )111()1( ⒇ C x dx x xxdx +==⎰⎰|sin |ln sin cos cot(21) ⎰⎰⎰-==x d x xdx x xdx sin )sin 1(cos cos cos 2245C x x x x d x x ++-=+-=⎰5342sin 51sin 32sin sin )sin sin 21((22) 解法一：C x x x x d x x dx +-==⎰⎰|2cot 2csc |ln 2sin )2(cos sin解法二：C x x xd x x xdx x x dx +===⎰⎰⎰|tan |ln tan tan cos sin cos cos sin 2 解法三：⎰⎰+=xx dxx x x x dx cos sin )cos (sin cos sin 22C x x dx xxx x +-=+=⎰|cos |ln |sin |ln )sin cos cos sin ((23) C e e de e dx e e e dx xx x x x x x+=+=+=+⎰⎰⎰-arctan 1122 (24) C x x x x x x d dx x x x ++-=+-+-=+--⎰⎰|83|ln 83)83(83322222(25) C x x x dx x x x dx x x x dx x x ++-+++=+++-+=+++-+=++⎰⎰⎰2323232)1(2312|1|ln ))1(3)1(211()1(3)1(2)1()1(2(26)⎰+22ax dx解 令t a x tan =, 则C a x x C t t t a tdt a a x dx+++=++==+⎰⎰||ln |tan sec |ln sec sec 221222(27)C a x x a a x x d a a x dx ++=+=+⎰⎰21222212222322)(1)(1)(解法2 令t a x tan =, 则C ax a x C t a tdt a t a tdt a a x dx ++=+===+⎰⎰⎰222223322322sin 1cos 1sec sec )( (28)⎰-dx xx 251解 令t x sin =, 则Cx x x C t t t td t tdt dt t t t dx x x +---+--=+-+-=--===-⎰⎰⎰⎰25223221253225525)1(51)1(32)1(cos 51cos 32cos cos )cos 1(sin cos cos sin 1(29)⎰-dx xx31解 令t x =61, 则6t x =, 56t dx =C t t t t t t dt tt t t dt tt t t t dt t t t dt t t dx x x++--+++-=-++++-=-++++-=-+-=-⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰|11|ln 26)357(6)11)1((611)1)(1(6111)(61613572246224622422533其中61x t = (30)⎰++-+dx x x 1111解 令t x =+1, 则21t x =+, tdt dx 2=,Cx x x C x x x C t t t dt t t dt t t t tdt t tdt t t dx x x +++++-=+++++-+=+++-=++-=+-=+-=+-=++-+⎰⎰⎰⎰⎰|11|ln 414|11|ln 4141|1|ln 44)1442()142(2)121(21111111122．应用分部积分法求下列不定积分： ⑴ C x x x dx x x x x xdx +-+=--=⎰⎰221arcsin 1arcsin arcsin⑵ C x x x dx xx x x xdx +-=⋅-=⎰⎰ln 1ln ln ⑶Cx x x x x xdx x x x x x xd x x xdx x x x x d x xdx x +-+=-+=+=-==⎰⎰⎰⎰⎰sin 2cos 2sin cos 2cos 2sin cos 2sin sin 2sin sin cos 222222 ⑷C x x x dx x x x x xd dx x x +--=+-=-=⎰⎰⎰223223412ln 121ln 211ln 21ln ⑸ C x x x x x xdx x x dx x ++-=-=⎰⎰2ln 2)(ln ln 2)(ln )(ln 222⑹ ⎰⎰⎰+-==dx xx x x xdx xdx x 2222121arctan 21arctan 21arctan C x x x x dx x x x +--=+--=⎰)arctan (21arctan 21)111(21arctan 21222 C x x x +-+=21arctan )1(212⑺ ⎰⎰⎰+=+dx x dx x dx x x ln 1)ln(ln ]ln 1)[ln(ln C x x dx xdx x x x x x +=+⋅-=⎰⎰)ln(ln ln 1ln 1)ln(ln⑻ ⎰⎰--=dx xx x x x dx x 2221arcsin 2)(arcsin )(arcsin⎰-+=221arcsin 2)(arcsin x xd x x ⎰----+=dx xx x x x x 22221112arcsin 12)(arcsinC x x x x x +--+=2arcsin 12)(arcsin 22⑼ ⎰⎰⎰-==xdx x x x x xd xdx 23tan sec tan sec tan sec sec⎰⎰⎰+-=--=xdx xdx x x dx x x x x sec sec tan sec )1(sec sec tan sec 32 |tan sec |ln sec tan sec 3x x xdx x x ++-=⎰所以 C x x x x xdx +++=⎰|)tan sec |ln tan sec 21sec 3⑽⎰⎰+⋅-+=+dx ax x x a x x dx a x 222222⎰+-+-+=dx ax a a x a x x )(2222222⎰⎰+++-+=dx ax a dx a x a x x 2222222)ln(2222222a x x a dx a x a x x ++++-+=⎰所以C a x x a a x x dx a x +++++=+⎰))ln((212222222 类似地可得C a x x a a x x dx a x +-+--=-⎰))ln((212222222 3．求下列不定积分：⑴ C x f a x df x f dx x f x f a aa++=='+⎰⎰1)]([11)()]([)()]([ ⑵C x f x df x f dx x f x f +=+=+'⎰⎰)(arctan )()]([11)]([1)(22⑶C x f x f x df dx x f x f +=='⎰⎰|)(|ln )()()()( ⑷ C e x df e dx x f e x f x f x f +=='⎰⎰)()()()()(4．证明：⑴ 若⎰=dx x I n n tan ， ,3,2=n ，则21tan 11----=n n n I x n I 证 ⎰⎰⎰----=-=dx x dx x x dx x x I n n n n 22222tan sec tan )1(sec tan22tan tan ---=⎰n n I x d x .因为⎰⎰-----=x d x n x x d x n n n tan tan )2(tan tan tan 212，所以x n x d x n n 12tan 11tan tan ---=⎰. 从而21tan 11----=n n n I x n I . ⑵ 若⎰=dx x x n m I n m sin cos ),(，则当0≠+n m 时，),2(1sin cos ),(11n m I nm m n m x x n m I n m -+-++=+-)2,(1sin cos 11-+-++-=-+n m I nm n n m x x n m ， ,3,2,=m n证 ⎰⎰+-+==x d x n dx x x n m I n m nm 11sin cos 11sin cos ),( ]sin cos )1(sin [cos 112211⎰+-+--++=dx x x m x x n n m n m ])cos 1(sin cos )1(sin [cos 112211⎰--++=-+-dx x x x m x x n n m n m ))],(),2()(1(sin [cos 1111n m I n m I m x x n n m ---++=+-所以),2(1sin cos ),(11n m I n m m n m x x n m I n m -+-++=+-， 同理可得)2,(1sin cos ),(11-+-++-=-+n m I nm n n m x x n m I n m习题1．求下列不定积分：⑴ ⎰⎰⎰-+++=-+-=-dx x x x dx x x dx x x )111(1111233 C x x x x +-+++=|1|ln 2323 ⑵ 解法一：C x x dx x x dx x x x +--=---=+--⎰⎰|3|)4(ln )3142(127222解法二：⎰⎰⎰+-++--=+--dx x x dx x x x dx x x x 12732112772211272222 ⎰⎰---++-+-=)27(41)27(123127)127(21222x d x x x x x dC x x x x +--++-=34ln 23|127|ln 212 ⑶ 解22311)1)(1(111xx CBx x A x x x x +-+++=+-+=+ 去分母得 )1)(()1(12x C Bx x x A ++++-=令1-=x ，得31=A . 再令0=x ，得1=+C A ，于是32=C . 比较上式两端二次幂的系数得 0=+B A ，从而1-=B ，因此⎰⎰⎰+---+=+dxx x x x dx x dx 2312311311⎰⎰+-++---+=dx x x dx x x x x 22112111261|1|ln 31⎰+-++--+=dx x x x x 43)21(121)1ln(61|1|ln 3122C x x x x +-++-+=312arctan 311)1(ln 6122 ⑷ 解 ⎰⎰⎰⎰+--++=+--+=+dx xx dx x x dx x x x x dx 42424224112111211)1()1(211 ⎰⎰⎰⎰++-+-=+--++=22222222221)1(211)1(211112111121x x x x d x x x x d dx x x x dx x x x⎰⎰-++-+--=2)1()1(212)1()1(2122xx x x d x x x x d C xx x x x x +++-+--=2121ln 24121arctan221C x x x x x x ++++---=1212ln 8221arctan 42222 ⑸⎰+-22)1)(1(x x dx解 令22222)1(11)1)(1(1++++++-=+-x EDx x C Bx x A x x , 解得41=A , 41-==CB , 21-==E D , 于是 ⎰⎰⎰⎰++-++--=+-dx x x dx x x x dx x x dx 22222)1(1211141141)1)(1(C x x x x x x x +++-++-+--=)1(arctan 411141arctan 41)1ln(81|1|ln 41222 C x x x x x ++-+-+-=)11arctan 21|1|(ln 4122⑹⎰⎰⎰++-+++=++-dx x x dx x x x dx x x x 222222)122(125)122(2441)122(2 其中1221)122()122()122(24222222++-=++++=+++⎰⎰x x x x x x d dx x x x ⎰⎰⎰+++=++=++)12(]1)12[(12]1)12[(4)122(1222222x d x dx x dx x x )12arctan(1)12(122+++++=x x x 参见教材 例9或关于k I 的递推公式⑺. 于是，有C x x x x x dx x x x ++-+++-++-=++-⎰)12arctan(251)12(1225122141)122(22222 C x x x x ++-+++=)12arctan(25)122(23522．求下列不定积分⑴⎰-x dx cos 35解 令2tan xt =，则C t t t d tdt t dt t t dx x dx+=+=+=++--=-⎰⎰⎰⎰2arctan 21)2(1)2(2141121135cos 3522222 C x+=)2tan 2arctan(21 ⑵⎰⎰⎰⎰+=+=+=+)tan 32(tan cos )tan 32(sin 3cos 2sin 2222222x xd x x dx x x dx x dxC x x x d +=+=⎰)tan 23arctan(61)tan 231()tan 23(612 ⑶ ⎰⎰⎰++-+=+=+dx xx xx x x x x xdx x dx sin cos cos sin sin cos 21sin cos cos tan 1 )sin cos )cos (sin (21)sin cos cos sin 1(21⎰⎰⎰+++=++-+=x x x x d dx dx x x x x C x x x +++=|)sin cos |ln (21另解：设⎰+=x x xdx I sin cos cos 1，⎰+=x x xdxI sin cos sin 2，则C x dx x x xx I I +=++=+⎰sin cos sin cos 21，C x x x x x x d dx x x x x I I ++=++=+-=-⎰⎰|sin cos |ln sin cos )sin (cos sin cos sin cos 21所以C x x x I x dx +++==+⎰|)sin cos |ln (21tan 11⑷⎰⎰⎰-+++-+-=-+22221)1(11xx dx x dx x x dx xx x⎰⎰⎰-++-++---+-=2221231)12(211x x dxx x dx x dx x x其中（利用教材例7的结果）]1)21(512arcsin 45[21)21(451222x x x x dx x dx x x -+-+-=--=-+⎰⎰ 2222121)1(1)12(x x x x x x d x x dx x -+=-+-+=-++-⎰⎰512arcsin)21(45122-=--=-+⎰⎰x x dxxx dx所以有⎰-+dx xx x 221C x x x x x x x +-+-+--+-+--=512arcsin 231221]1)21(512arcsin 45[2122C x x x x +-++--=21432512arcsin 87 ⑸C x x x x x d xx dx ++++=-++=+⎰⎰|21|ln 41)21()21(222⑹⎰+-dx xxx 1112 解 令 x x t +-=11，则2211tt x +-=，22)1(4t tdtdx +-=，代入原式得 ⎰⎰⎰⎰---=--=+-⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-dt t t dt t t dt t t t t t dx x xx 222222222222)1(114)1(4)1(411111⎰⎰⎰⎰-+-++--=---=dt t t t dt t dt t dt t ]12)1(1)1(1[114)1(141142222222C t t t t dt t t dt t +++---+=-++--=⎰⎰1111|11|ln ])1(1)1(1[112222 C xx x x +---+=221|11|ln总 练 习 题求下列不定积分： ⑴C x x x dx x xx dx xx x +--=--=--⎰⎰-4312134541121414334132454)2(12⑵ ]11arcsin [21arcsin 21arcsin 2222⎰⎰⎰--==dx x x x x dx x dx x x 其中)2sin 21(2122cos 1cos cos sin 1222t t dt t dt t t t dx x x -=-==-⎰⎰⎰)1(arcsin 212x x x --=所以]11arcsin [21arcsin 222⎰⎰--=dx xx x x dx x xC x x x x x +---=)]1(arcsin 21arcsin [2122 C x x x x x +-+-=22141arcsin 41arcsin 21 ⑶⎰+xdx 1解 令u x =，则udu dx 2=C u u du uu udu xdx ++-=+-=+=+⎰⎰⎰|)1|ln (2)111(2121 C x x ++-=|)1|ln (2⑷ ⎰⎰⎰⎰===x x x x de x x d x e dx x x e dx x e sin sin sin sin sin 2sin sin 2cos sin 22sinC x e C e x e x d e x e x x x x x +-=+-=-=⎰)1(sin 2)sin (2)sin sin (2sin sin sin sin sin⑸ C x e C e u e du u e u x dx ex u u u x+-=+-==⎰⎰)1(2)(22)(令 ⑹C x x d x x x dx x xdx +-=--=-=-⎰⎰⎰1arcsin )1(1111112222 解法二：令t x sec =，C xC t dt t t t t x xdx +=+==-⎰⎰1arccos tan sec tan sec 12⑺⎰⎰⎰++=+-=+-x x x x d dx x x x x dx x x sin cos )sin (cos sin cos sin cos tan 1tan 1C x x ++=|sin cos |lnC x dx x dx x x +-=-=+-⎰⎰|)4cos(|ln )4tan(tan 1tan 1ππ ⑻ C x x x dx x x x dx x x x +-----=-+-+-=--⎰⎰23232)2(123|2|ln )2(2)2(3)2()2( ⑼C x x x d x xdx x x dx ++=+==⎰⎰⎰32224tan 31tan tan )tan 1(cos sec cos ⑽ ⎰⎰⎰-==dx x dx x dx x 2224)22cos 1()(sin sin⎰⎰++-=+-=dx x x dx x x )24cos 12cos 21(41)2cos 2cos 21(412 C x x x C x x x x ++-=+++-=4sin 3212sin 4183)84sin 22sin (41 ⑾ ⎰+--dx x x x 43523 解⎰⎰-+-=+--dx x x x dx x x x 223)2)(1(5435令22)2(21)2)(1(5-+-++=-+-x C x B x A x x x 去分母得：)1()2)(1()2(52++-++-=-x C x x B x A x 解得：32-=A ，32=B ，1-=C 所以⎰⎰⎰⎰---++-=+--dx x dx x dx x dx x x x 223)2(121321132435 C x x x +-++-=21|12|ln 32 ⑿ ⎰+dx x )1arctan(解 令u x =+1，du u dx )1(2-=⎰⎰⎰⎰-⋅=-⋅=+du u du u u du u u dx x arctan 2arctan 2)1(2arctan )1arctan(122)1ln(arctan 2]arctan )1[(C u u u u u u +++--+= C x x x x x ++++-+=)22ln()1arctan(⒀ ⎰⎰⎰+-=+-+=+dx x x x dx x x x x dx x x )22(2222433433747 C x x ++-=)2ln(214144 另解：C x x dx x dx x x x dx x x ++-=+-=+⋅=+⎰⎰⎰)2ln(2141)221(4122444443447 ⒁⎰++dx x x x2tan tan 1tan 解 令u x =tan⎰⎰⎰⎰++-+=+++=++du u u du u du u u u u dx x x x 222221111111tan tan 1tanC x x C u u ++-=++-=31tan 2arctan32312arctan32arctan⒂ ⎰⎰-+---=-dx x x x dx x x 10021002)1(1)1(2)1()1( C x x x +-+---=979899)1(971)1(491)1(991 ⒃⎰⎰⎰-+-=-=dx x x xx x d x dx x x 2211arcsin 1arcsin arcsin C xx x x +-+--=|11|ln arcsin 2⒄ ⎰⎰⎰--+=--+=-+2)]1ln()1[ln(21)]1ln()1[ln(11lndx x x dx x x x dx x x x C x xxx dx x x x x x x ++-+-=-++---+=⎰11ln 21)1111(21)]1ln()1[ln(21222⒅⎰⎰⎰+==x d xx dx xx dx xx tan tan tan 1cos tan 1cos sin 1247C x x ++=)tan 511(tan 22⒆ ⎰⎰⎰⎰+-++=+-+=+-dx x x e dx x e dx x x x e dx x x e xx x x22222222)1(21)1(21)11( C xe dx x e x e dx x e x d e dx x e x x x x x x ++=+-+++=+++=⎰⎰⎰⎰2222221111111 ⒇ ⎰=dx uv I n n ，x b a u 11+=，x b a v 22+=解 ][221211⎰⎰⎰--===dx v b u n u v b u d v b dx uv I n nn n n ])([2][21122111121⎰⎰---+-=-=dx uv b a b a v b n u v b dx u uv b n u v b n nn n ])([21122111----=n n nI b a b a n I nb u v b 所以])([)12(2112211---+=n n n I b a b a n u v b n I。
数学分析课后习题答案
数学分析课后习题答案数学分析课后习题答案数学分析是大学数学的重要分支之一，它研究的是数学函数的性质、极限、连续性、可导性等等。
在学习数学分析的过程中，课后习题是巩固和拓展知识的重要途径。
然而，有时候我们会遇到一些难题，不知道如何下手。
为了帮助大家更好地学习数学分析，本文将提供一些常见习题的答案和解析。
一、极限与连续性1. 求极限：lim(x→0) (sinx/x)。
解析：利用极限的性质，我们可以得到lim(x→0) (sinx/x) = 1。
这是因为当x趋近于0时，sinx/x的值趋近于1。
2. 证明函数f(x) = x^2在点x = 3处连续。
解析：要证明函数f(x) = x^2在点x = 3处连续，我们需要证明lim(x→3) f(x) = f(3)。
根据函数的定义，f(3) = 3^2 = 9。
而lim(x→3) f(x) = lim(x→3) x^2 = 3^2 = 9。
因此，函数f(x) = x^2在点x = 3处连续。
二、导数与微分1. 求函数f(x) = x^3的导数。
解析：根据导数的定义，导数f'(x) = lim(h→0) (f(x+h) - f(x))/h。
对于函数f(x) = x^3，我们可以得到f'(x) = lim(h→0) ((x+h)^3 - x^3)/h。
化简后，我们得到f'(x) = 3x^2。
2. 求函数f(x) = sinx的微分。
解析：微分的定义是df(x) = f'(x)dx。
对于函数f(x) = sinx，我们已经知道它的导数f'(x) = cosx。
因此，函数f(x) = sinx的微分为df(x) = cosxdx。
三、积分与级数1. 求函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分。
解析：根据定积分的定义，函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分为∫[0,1] x^2 dx。
计算这个积分，我们得到∫[0,1] x^2 dx = [x^3/3]0^1 = 1/3。
数学分析考研试题及答案
数学分析考研试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，哪个不是有界函数？A. f(x) = sin(x)B. f(x) = e^xC. f(x) = x^2D. f(x) = 1/x2. 函数f(x) = x^3在区间(-∞, +∞)上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 有增有减D. 常数函数3. 如果函数f(x)在点x=a处连续，那么：A. f(a)存在B. f(a) = 0C. lim(x->a) f(x) = f(a)D. lim(x->a) f(x) 不存在4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/4C. 1/2D. 2/35. 函数序列fn(x) = x^n在[0, 1]上一致收敛的n的取值范围是：A. n = 1B. n > 1C. n < 1D. n = 26. 级数∑(1/n^2)是：A. 收敛的B. 发散的C. 条件收敛的D. 无界序列7. 如果函数f(x)在区间[a, b]上可积，那么：A. f(x)在[a, b]上连续B. f(x)在[a, b]上一定有界C. f(x)在[a, b]上单调递增D. f(x)在[a, b]上无界8. 函数f(x) = |x|在x=0处：A. 连续B. 可导C. 不连续D. 不可导9. 微分方程dy/dx + y = 0的通解是：A. y = Ce^(-x)B. y = Ce^xC. y = Csin(x)D. y = Ccos(x)10. 函数f(x) = e^x在x=0处的泰勒展开式是：A. f(x) = 1 + x + ...B. f(x) = x + ...C. f(x) = 1 + x^2 + ...D. f(x) = 1 + x^3 + ...二、填空题（每题4分，共20分）11. 极限lim(x->0) (sin(x)/x) 的值是 _______。
12. 函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的拐点是 _______。
数学分析上学期期末考试试题(及答案)
数学分析上学期期末考试试题(及答案)一、选择题（每小题2分，共20分）1. 下列哪个不是测度论中的重要定理？A. 开集的性质B. 测度的可贸易性C. 有限可加性定理D. 外测度的定义2. 设函数f(x)在[a, b]上可导，下列关于f(x)的结论中正确的是：A. f(x)在[a, b]上一定为增函数B. f(x)在[a, b]上一定为减函数C. f(x)在[a, b]上既可以是增函数也可以是减函数D. f(x)在[a, b]上一定为周期函数3. 以下哪个不是级数收敛的充要条件？A. 极限一致有界B. 积分收敛C. 极限值为零D. 部分和有界4. 若函数序列fn(x)在[a, b]上一致收敛于f(x)，则f(x)在[a, b]上一定是A. 递增的B. 递减的C. 周期函数D. 连续函数5. 下列哪个不是积分的线性性质？A. ∫[a, b](f+g)(x)dx = ∫[a, b]f(x)dx + ∫[a, b]g(x)dxB. ∫[a, b]cf(x)dx = c∫[a, b]f(x)dx (c为常数)C. ∫[a, b]f(x)g(x)dx = ∫[a, b]f(x)dx * ∫[a, b]g(x)dxD. ∫[a, b]f(x)dx = -∫[b, a]f(x)dx6. 函数f(x)=|x|/(x^2+9)的不可导点是A. x=-3B. x=3C. x=-3和x=-sqrt(3)D. x=-3和x=sqrt(3)7. 设函数u(x, y)具有二阶连续偏导数，下列哪个条件可以确保u(x, y)为调和函数？A. u_xx + u_yy = 0B. u_xx + u_yy = 1C. u_xx - u_yy = 0D. u_xx - u_yy = 18. 设实数α为2π的有理数倍数，函数f(x)的周期为2π，下列哪个函数一定是f(x)的周期函数？A. f(x + α)B. f(x - α)C. f(-x)D. f(x/2)9. 设f(x)在区间[a, b]上一阶可导，且f(a)=f(b)=0，若存在c∈(a,b)使得f(c)=0，则函数f(x)在[a, b]上的其中一个极值点为A. aB. bC. cD. 以上都可能是10. 函数f(x)对任意的x∈(-∞, +∞)满足f'(x) = f(x)，若f(x)在x=0处的值为2，则f(1)的值为A. -1B. 0C. 1D. 2二、填空题（每小题5分，共20分）1. 若函数f(x)可导，则f(x)________是可测的，且__________是可测的。
(完整word版)数学分析—极限练习题及详细答案
一、选择题1.若0()lim1sin x x xφ→=，则当x 0→时，函数(x)φ与（ ）是等价无穷小。
A.sin ||xB.ln(1)x -C.11.【答案】D 。
2.设f(x)在x=0处存在3阶导数，且0()lim 1tan sin x f x x x→=-则'''f (0)=（ ）A.5B.3C.1D.0 2.【答案】B.解析由洛必达法则可得30002()'()''()limlimlim1tan sin 2cos sin sin cos cos x x x f x f x f x x x x x xx x -→→→==-+-42200''()''()lim lim 16cos sin 2cos cos 21x x f x f x x x x x --→→===-++++可得'''f (0)3= 3.当x 0→时，与1x 133-+为同阶无穷小的是（ ） A.3xB.34x C.32xD.x3.【答案】A.解析.12233312332000311(1)1133lim lim (1)3313x x x x x x x ---→→→-+⋅==+=选A 。
4.函数2sin f ()lim 1(2)nn xx x π→∞=+的间断点有（ ）个A.4B.3C.2D.14.【答案】C.解析.当0.5x >时，分母→∞时()0f x =，故20.5sin 12lim1(2(0.5))2n x π→--=-+⨯-， 20.5sin12lim1(20.5)2n x π→=+⨯，故，有两个跳跃间断点，选C 。
5.已知()bx xf x a e=-在（-∞，+∞）内连续，且lim ()0x f x →∞=，则常数a ，b 应满足的充要条件是（ ）A.a>0，b>0B.a ≤0，b>0C.a ≤0，b<0D.a>0，b<05.【答案】B 。
数学分析课后习题答案--高教第二版(陈纪修)--13章
F (x, y) = f (x) ， (x, y) ∈ D 。
证明 F (x, y) 在 D 上可积。
证 将[a,b] 、[c, d ] 分别作划分：
a = x0 < x1 < x2 < < xn−1 < xn = b
和
m c = y0 < y1 < y2 < < ym−1 < ym = d ， o 则 D 分成了 nm 个小矩形 ∆Dij (i = 1,2, , n, j = 1,2, , m) 。
2π 3
≤
∫∫∫
Ω
1
+
dxdxdz x2 + y2 +
z
2
≤
4π 3
。
m 4．计算下列重积分：
co (1) ∫∫(x3 + 3x2 y + y3 )dxdy ，其中 D 为闭矩形[0,1] × [0,1] ；
. D
aw (2) ∫∫ xy ex2+y2 dxdy ，其中 D 为闭矩形[a,b] × [c,d ]；
课 证明
H ( x, y) = max{ f ( x, y), g( x, y)}
和
h( x, y) = min{ f ( x, y), g( x, y)}
也在 D 上可积。
证 首先我们有
H (x, y) = 1 ( f (x, y) + g(x, y) + f (x, y) − g(x, y) )， 2
D
khd (3)
∫∫∫ Ω
dxdydz (x + y + z)3
，其中
Ω
为长方体 [1,2]
×
[1,2]
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第十六章 Fourier 级数习题 16.1 函数的Fourier 级数展开⒈设交流电的变化规律为E t A t ()sin =ω，将它转变为直流电的整流过程有两种类型：⑴ 半波整流（图16.1.5(a)） f t At t 12()(sin |sin |)=+ωω； ⑵ 全波整流（图16.1.5(b)）f t A t 2()|sin |=ω；现取ω=1，试将f x 1()和f x 2()在],[ππ-展开为Fourier 级数。
解 （1）0a =11()f x dx πππ-⎰2Aπ=，a n =11()cos f x nxdx πππ-⎰22(1)An π=-- (2,4,6,n =L ),n a =11()cos 0f x nxdx πππ-=⎰，（1,3,5,n =L ）； 1b =11()sin 2Af x xdx πππ-=⎰， b n =11()sin 0f x nxdx πππ-=⎰，(2,3,4,n =L )。
1()f x :212cos 2sin 241k AA A kxx k ππ∞=+--∑。
（2）0a =21()f x dx πππ-⎰4Aπ=，a n =21()cos f x nxdx πππ-⎰24(1)An π=-- (2,4,6,n =K ), n a =21()cos 0f x nxdx πππ-=⎰（1,3,5,n =K ）； b n =21()sin 0f x nxdx πππ-=⎰，(1,2,3,n =L)。
2()f x :∑∞=--12142cos 42k k kxAAππ。
⒉ 将下列函数在],[ππ-上展开成Fourier 级数：⑴ x x f sgn )(=; ⑵ f x x ()|cos |=;(a)(b)图16.1.5⑶ 222)(π-=x x f ;⑷ f x ()⎩⎨⎧∈-∈=);,0[,0),0,[,ππx x x ⑸ f x ()⎩⎨⎧∈-∈=).,0[,),0,[,ππx bx x ax解（1）()f x 为奇函数，所以0n a =，（0,1,2,n =K ），b n =1()sin f x nxdx πππ-⎰2(1cos())n n ππ-=，(1,2,3,n =L )。
()f x :∑∞=--112)12sin(4k k xk π。
（2）()f x 为偶函数，所以0n b =，（1,2,3,n =L ），0a =1()f x dx πππ-⎰4π=，n a =1()cos f x nxdx πππ-⎰224(1)(1)n n π-=-- ，(2,4,6,n =L ),n a =1()cos 0f x nxdx πππ-=⎰，（1,3,5,n =L ）。
()f x :∑∞=---122cos 14)1(42k kkx k ππ。
（3）()f x 为偶函数，所以0n b =，（1,2,3,n =L ），0a =1()f x dx πππ-⎰253π=-，n a =1()cos f x nxdx πππ-⎰22(1)nn-= (1,2,3,n =L )。
()f x :nx nn ncos )1(265122∑∞=-+-π。
（4）0a =1()f x dx πππ-⎰2π=-，n a =1()cos f x nxdx πππ-⎰21(1)nn π--=，(1,2,3,n =L ), b n =1()sin f x nxdx πππ-⎰cos()n n π=-，(1,2,3,n =L )。
()f x :∑∞=+++-02)12()12cos(24k k x k ππnx n n n sin )1(11∑∞=+-+。
（5）0a =1()f x dx πππ-⎰()2b a π-=，n a =1()cos f x nxdx πππ-⎰2()(1(1))n a b n π---=，(1,2,3,n =L ), b n =1()sin f x nxdx πππ-⎰()cos()a b n nπ+=-，(1,2,3,n =L )。
()f x :∑∞=++-+--02)12()12cos()(24)(k k xk b a b a ππnx n b a n n sin )1()(11∑∞=+-++。
⒊ 将下列函数展开成正弦级数：⑴ x x f +=π)(,],0[π∈x ; ⑵ f x x ()e =-2,],0[π∈x ;⑶ f x ()⎩⎨⎧∈∈=];,[,),,0[,222ππππx x x ⑷ f x ()⎪⎩⎪⎨⎧∈∈=].2,1[,0),1,0[,2cos x x x π 解（1）b n =2()sin f x nxdx ππ⎰12(1)2nn--=⋅，(1,2,3,n =L )。
()f x :112(1)2sin nn nx n ∞=--∑。
（2）b n =2()sin f x nxdx ππ⎰2221(1)(4)n n e n ππ-⎡⎤--⎣⎦=+，(1,2,3,n =L )。
()f x :[]nx n e n n n sin 4)1(12122∑∞=-+--ππ。
（3）b n =2()sin f x nxdx ππ⎰22(1)2sin 2n n n n πππ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦=，(1,2,3,n =L )。
()f x :nx n n n n n sin 2sin 4)1(2121∑∞=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππ。
（4）1b =2021()sin 2f x xdx π=⎰，b n =22()sin 2f x nxdx ⎰22(sin)2(1)n n n ππ-=-，(2,3,4,n =L )。
()f x :x n n n n x n 2sin 12sin22sin122πππππ∑∞=--+。
⒋ 将下列函数展开成余弦级数：⑴ f x x x ()()=-π,],0[π∈x ; ⑵ f x x ()e =,],0[π∈x ;⑶ f x ()⎩⎨⎧∈∈=];,[,1),,0[,2sin 244πππx x x ⑷ 22)(ππ-+-=x x x f ,],0[π∈x . 解（1）0a =2()f x dx ππ⎰23π=，n a =2()cos f x nxdx ππ⎰22(1(1))n n +-=-，(1,2,3,n =L )。
()f x :∑∞=-1222cos 6k k kxπ。
（2）0a =2()f x dx ππ⎰2(1)e ππ=-，n a =2()cos f x nxdx ππ⎰22(1)1(1)n e n ππ⎡⎤--⎣⎦=+，(1,2,3,n =L )。
()f x :)1(1-ππe []nx n e n n cos 11)1(212∑∞=+--+ππ。
（3）0a =204()f x dx ππ⎰2ππ+=， 1a =204()cos 2f x xdx ππ⎰1π=-，n a =204()cos 2f x nxdx ππ⎰22sin (1)2n n n n ππ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，(2,3,4,n =L )。
()f x :111()cos 22x ππ+-22211sin 1cos 212n n nx n n ππ∞=⎛⎫-- ⎪-⎝⎭∑。
（4）0a =2()f x dx ππ⎰2π=，n a =2()cos f x nxdx ππ⎰24(1)cos 2n n nππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦=，(1,2,3,n =L )。
()f x :nx n n n ncos 2cos)1(4412∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+πππ。
⒌ 求定义在任意一个长度为π2的区间]2,[π+a a 上的函数f x ()的Fourier 级数及其系数的计算公式。
解 设f x ()~a a nx b nx n n n 012++=∞∑(cos sin )，则2201()cos (cos sin )cos 2a a n n aan a f x mxdx a nx b nx mxdx ππ∞++=⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∑⎰⎰22201cos (cos cos sin cos )2a a a n n aaan amxdx a nx mxdx b nx mxdx πππ∞+++==++∑⎰⎰⎰m a π=，(0,1,2,m =K ),2201()sin (cos sin )sin 2a a n n aan a f x mxdx a nx b nx mxdx ππ∞++=⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦∑⎰⎰22201sin (cos sin sin sin )2a a a n n aaan amxdx a nx mxdx b nx mxdx πππ∞+++==++∑⎰⎰⎰m b π=，(1,2,m =K ),所以a n =⎰+ππ2cos )(1a anxdx x f (Λ,2,1,0=n ), b n =⎰+ππ2sin )(1a anxdx x f (Λ,2,1=n )。
⒍ 将下列函数在指定区间展开成Fourier 级数：⑴ 2)(xx f -=π,]2,0[π∈x ;⑵ f x x ()=2,]2,0[π∈x ;⑶ x x f =)(, x ∈[,]01;⑷ f x ()⎩⎨⎧∈-∈=);1,0[,0),0,1[,e 3x x x ⑸ f x ()⎩⎨⎧∈-∈=),0[,0),0,[,T x T x C (C 是常数). 解（1）n a =201()cos 0f x nxdx ππ=⎰，(0,1,2,n =L ),b n =201()sin f x nxdx ππ⎰1n=，(1,2,3,n =L )。
()f x :nx nn sin 11∑∞=。
（2）0a =22018()3f x dx πππ=⎰， n a =201()cos f x nxdx ππ⎰24n =，(1,2,3,n =L ),b n =201()sin f x nxdx ππ⎰4n π=-，(1,2,3,n =L )。
()f x :∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-+122sin cos 1434n nx n nx nππ。
（3）0a =102()1f x dx =⎰，n a =102()cos 2f x nxdx π⎰0=，(1,2,3,n =L),b n =12()sin 2f x nxdx π⎰1n π=-，(1,2,3,n =L )。
()f x :nx nn ππ2sin 11211∑∞=-。
（4）0a =1311()(1)3f x dx e --=-⎰， n a =11()cos f x nxdx π-⎰32231(1)9n e n π-⎡⎤=--⎣⎦+，(1,2,3,n =L ), b n =11()sin f x nxdx π-⎰3221(1)9n n e n ππ-⎡⎤=-+-⎣⎦+，(1,2,3,n =L )。