数学分析试题及答案解析

2014---2015学年度第二学期《数学分析2》A 试卷学院班级学号（后两位）姓名一. 1.若f 2... .二. 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()⎰ax dx x f 在[]b a ,上（）A.不连续B.连续C.可微D.不能确定2.若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则（） A.()x f 在[]b a ,上一定不可积；B.()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()⎰⎰≠babadx x g dx x f ；C.()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()⎰⎰=babadx x g dx x f ；D.()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定.3.级数()∑∞=--+12111n n n nA.发散B.绝对收敛C.条件收敛D.不确定 4.A.B.C.D.5.A.B.C.D.三.1.()()()nn n n n n n+++∞→ 211lim2.()⎰dx xx 2cos sin ln 四.判断敛散性（每小题5分，共15分）1.dx xx x ⎰∞+++-021132.∑∞=1!n n n n 3.()nnn nn21211+-∑∞= 五.判别在数集D 上的一致收敛性（每小题5分，共10分） 1.()()+∞∞-===,,2,1,sin D n nnxx f n 2.求七.八.2014---2015学年度第二学期《数学分析2》B 卷∙答案学院班级学号（后两位）姓名一、二.三. 而n 分2.解：令t x 2sin =得()dx x f xx ⎰-1=()()t d t f t t 2222sin sin sin 1sin ⎰-----------------2分=tdt t ttt t cos sin 2sin cos sin ⎰=⎰tdt t sin 2-----------------------------------4分=2cos 2sin t t t C -++=C ----------------5分四.判别敛散性（每小题5分，共10分）1.dx xx ⎰-121arctan解：(lim 01-→x 且121<=p ，2.()∑∞=2ln ln 1n nn 解：ln lim n ∞→ 有五.1.f n 解：极限函数为D x x x f x f n n ∈==∞→lim -----------------------2分又()()nx nx n x nx x f x f n 11/11222<++=-+=---------3分 从而0sup lim =-∴∞→f f n n故知该函数列在D 上一致收敛.-------------------------5分2.]1,1[,3sin2-=∑D x nn解：因当D x ∈时，()nn nn x x u ⎪⎭⎫⎝⎛≤=323sin 2--------------2分而正项级数∑⎪⎭⎫⎝⎛n32收敛，-----------------------------4分由优级数判别法知，该函数列在D 上一致收敛.-------------5分六.(⎰⎰--=122ydy dy y V ππ-------------------------------7分=------------------=76π------------------------------------------------------10分 七.现有一直径与高均为10米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计），内中盛满水，求从中将水抽出需要做多少功？（本题满分10分）解：以圆柱上顶面圆圆心为原点，竖直向下方向为x 轴正向建立直角坐标系 则分析可知做功微元为：dx x xdx dW νπνπ2552=⋅⋅=--------------------------------5分故所求为：⎰=10215dx x W νπ-------------------------------------8分=1250πν八．设u n ()∑x u n 在],[b a 证明：u n ()u x u n ≤2013---2014学年度第二学期《数学分析2》A试卷学院班级学号（后两位）姓名一.5.若6.若an=7.若8.二.单项选择题（每小题3分，共18分）1.下列广义积分中，收敛的积分是（）A⎰101dxxB⎰∞+11dxxC⎰+∞sin xdx D⎰-1131dxx2.级数∑∞=1nna收敛是∑∞=1nna部分和有界的（）A 必要条件B 充分条件C 充分必要条件D 无关条件 3.正项级数∑n u 收敛的充要条件是（）A.0lim =∞→n n u B.数列{}n u 单调有界C.部分和数列{}n s 有上界D.1lim1<=+∞→ρnn n u n4.设n A.a B.5.6..A.三.1. dx x x ln 1+；2.⎰dx xx cos sin 13．()dx ex x x--⎰+11.4.设()x f 在[0,1]上连续，求()d x x fnn ⎰∞→1lim四.（16分）判别下列反常积分和级数的敛散性.1.⎰+∞+-1324332x x dx ；2.dx x x ⎰++1)1ln(113.∑∞=-21ln n nn n； 4.∞!n n e 五2.n 1∞=六.1.7π2.七已知，证明：2013---2014学年度第二学期《数学分析2》B 试卷学院班级学号（后两位）姓名一、t t f a b 21⎰∞+-⎭ ⎝⎛9.设(){}x f n 在()()b x x a D ,,00⋃=上一致收敛，且()n n x x a x f =→0lim ()N n ∈存在，则()()x f x f n n x x n x x n ∞→→→∞→=lim lim lim lim 00. 二.单项选择题（每小题3分，共15分）1.函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是（）A 连续B 有界C 无间断点D 有原函数2.下列说法正确的是（）A.∑∞=1n n a 和∑∞=1n n b 收敛，∑∞=1n n n b a 也收敛B.∑∞=1n n a 和∑∞=1n n b 发散，∑∞=+1)(n n n b a 发散3.A.a n ∑∞=1C.∑⎰∞=n 14.三.求值与计算题（每小题4分，共16分）1.dx x x x ⎰+2sin 2cos sin 2.dx x x x⎰-+123.()()[]n n n n n n n111lim -++∞→4.dx b a x ba ⎰--2 四.判别敛散性（每小题4分，共16分） 1.dx xx x ⎰+∞+131arctan ； 2.dx xx ⎰-101 3.()∞-1n n . 4.n 五.1.f n 六.1.2.将⎰0一.七.（（ⅰ.014---2015学年度第二学期《数学分析2》A 卷∙答案三. 判断题（每小题3分，共21分）1.?2.?3.?4.?5.?6.?7.?二.单项选择题（每小题3分，共15分）B,C,C,D,A三.1.=⎩⎨⎧=∞→n k n exp lim =⎩⎨⎧=∞→n k n lim exp =ex2.==四.1.lim 23+∞→x x 且12>=p ---------------------------------3分 ∴由柯西判别法知，dx x x x ⎰∞+++-02113收敛。

---------5分2.由比式判别法=+∞→n n n a a 1lim ()()=+++∞→n n n n n n n !1!1lim 1()1/111lim1<=+-∞→e n n -----4分 故该级数收敛.-------------------------------5分3.解：由莱布尼兹判别法知，交错级数()∑∞=-11n n n 收敛-----------2分12n 五∴2.求所解:过()x S ⎰-=V 七.则第一象限等腰边的方程为10=+y x ------------------------------------3分压力微元为：()()()dx x dx x x dF 2100210102-=+-=νν故所求为()dx x F ⎰-=10021002ν----------------------------------------7分 ()吨ν33.1333≈()千牛67.13066≈------10分八.又()x u n 所以()x f 再者u n'所以可知2014---2015学年度第二学期《数学分析2》B 试卷学院班级学号（后两位）姓名二、1.2.3.4.5.6.（）7.)(x u n 也在[]b a ,二.1.A ⎰⎰=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(B 0)(=⎰-aa dx x f C ⎰⎰-=-a a a dx x f dx x f 0)(2)(D )(2)(a f dx x f aa =⎰- 2.关于积分dx x x x⎰-1021sin ，正确的说法是（）A.此为普通积分B.此为瑕积分且瑕点为0C.此为瑕积分且瑕点为1D.此为瑕积分且瑕点为0,13.就级数∑nn p ln 12（0>p ）的敛散性而言，它是（） A.收敛的B.发散的C.仅1>p 时收D.仅1≤p 时收敛4..函数列{}n f 在区间I 上一致收敛于0的充要条件是（）A.,∈∀I x C.∀n 三.四.1.dx xx⎰-1021arctan 2.()∑∞=2ln ln 1n n n 五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5分，共15分）1.()()∞+==+=,0,2,1,12D n n x x f n2.]1,1[,3sin2-=∑D xn n 3.()()∑+∞∞-=+-,,12D n x n六.设平面区域D 是由圆222=+y x ，抛物线2x y =及x 轴所围第一象限部分，求由D 绕y 轴旋转一周而形成的旋转体的体积（本题满分10分）七.现有一直径与高均为10米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计），内中盛满水，求从中将水抽出需要做多少功？（本题满分10分）八．设()() 2,1=n x u n 是],[b a 上的单调函数，证明：若()∑a u n 与()∑b u n 都绝对收敛，则()∑x u n 在],[b a。