数学分析1期末考试讲解
上海交大数学分析第1学期期终考试解答演示教学
一、填空题（每小题4分，共 16分）1. 极限210arcsin lim x x x x →⎛⎫= ⎪⎝⎭61e . 2. 极限=∑=∞→n i n n i n 1arctan 1lim 2ln 214-π .3.积分(121arctan d x x x x -+=⎰154. 4. (电院专业同学做此题，不做4*)设常数0a >，则平面曲线222222()4()x y a x y +=-所围图形的面积为 24a . 4*. (管院专业同学做此题，不做4)设)(x f 49623-+-=x x x ，则)(x f 在]4,0[上的最大值为 0 . 二、单项选择题（每小题3分，共12分）1. 考虑下列断语，则有 ……【 D 】 (I) 若],[)(b a R x f ∈，则],[)(2b a R x f ∈. (II) 若],[)(b a R x f ∈，则],[)(b a R x f ∈.(A) I 正确，II 不正确. (B) I 不正确，II 正确. (C) I ，II 均不正确. (D) I ，II 均正确. 2. 设常数0>k ，则方程ln 0exx k -+=在),0(+∞内的实根个数为 ……【 B 】 (A) 3. (B) 2. (C) 1. (D) 0.3. 设)(x g 为区间I 上的上凸函数，)(x f 为J 上递减的下凸函数，且J g R ⊂)(，则【 A 】 (A) g f 为I 上的下凸函数. (B) g f 为I 上的上凸函数. (C) g f 必为I 上的单调函数. (D) 以上结论都不正确.4. 设)(x F 是)(x f 在区间],[b a 上的一个原函数, 则下列命题中, 错误命题个数为【 A 】 (I) )(x F 在],[b a 上连续.(II) 若0)()(<b F a F ，则),(b a ∈∃ξ，使0)(=ξF . (III) )(x f 在],[b a 上没有第一类间断点.(IV) 若0)()(<b f a f ，则),(b a ∈∃ξ，使0)(=ξf . (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. B 卷：1.(A) 2.(C) 3.(B) 4.(D)三、(本题共12分) 全面讨论函数2)1(12--=x x y 的性态，并列表作图 （已知43)1(24,)1(2-+=''--='x x y x x y ） 解 函数定义域：1≠x令 .00=→='x y 令210-=→=''x y（5）拐点)98,21(-- ，极小值点)1,0(-由∞=→y x 1lim 得垂直渐近线 1=x ；由0lim =∞→y x 得水平渐近线 0=y . ----------------------------------（8）草图：（12）四、计算题 (第1小题6分，其它4小题各7分，共34分)1. 求极限111lim ln 1x x x →⎛⎫- ⎪-⎝⎭. 解 原式=xx xx x ln )1(ln 1lim1---→ ------------------------------（2）=21)1(ln 1lim ---→x x x x =)1(211lim 1--→x x x =2121lim1=→x x --------------------------------（6） 2. 求极限30e sin (1)lim x x x x x x→-+.解 原式=3243220))(6())(21(lim xx x x x x x x x x --+-⋅+++→οο-------（3）=323320))(3(lim x x x x x x x x --+++→ο=31)(3lim 3330=+→x x x x ο ------------------------------（7）3.求不定积分x . 解 原式=⎰--x xd 1arcsin 2=)111arcsin 1(22dx xxx x -----⎰-----（3）=)11arcsin 1(2dx xx x ⎰+---=C x x x +++--14arcsin 12 ----------------------------（7）4. 设函数[0,1]f C ∈，且0)0(=f ，当(0,1]x ∈时，()0f x >，又20()(xf x f t t =⎰，求)(x f 的表达式.解 由于当0≠x 时，()0f x >，由2()f x 可导知()f x 也可导. 方程两边对x 求导，得xx x f x f x f 2tan 21tan )()()(2+='---------------(2)当0≠x 时，有 xx x f 2tan 21tan )(2+='方程两边对x 积分得 dx xxx f ⎰+=2tan 21tan 21)(=⎰⎰--=-xxd dx x x 22cos 2cos 21cos 2sin 21=C x+-2cos arcsin21 -----------------------（6）再由0)0(=f 得C=8π. ------------------------------------------（7）5. 计算定积分e21(ln )d x x x ⎰.解 原式=xdx x x x x d x e eeln 23)(ln 33)(ln 12123312⎰⎰-= ---------------------（3）=⎰⎰--=-e ee dx x x x e xdx e 12133133)ln (923ln 923 -------------------（6）=32275)31(9233333-=---e e e e --------------------------------（7）五、(本题共10分) 设)(),(x g x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且()()0f a f b >，()()02a bf a f +<，又对任意的[,]x a b ∈有()0g x ≠.试证:在),(b a 内至少存在一点ξ，使)()()()(ξξξξg f g f '='.证 不妨设,0)(>a f 则0)2(,0)(<+>ba fb f ，由0)2()(<+⋅b a f a f ，0)()2(<⋅+b f ba f 及零点存在定理知 ),2(),2,(21b b a x b a a x +∈∃+∈∃使 0)()(21==x f x f -----------------------（5） 构造函数 )()()(x g x f x F =],[b a x ∈，-------------------------------------（8） 则0)()(21==x F x F ，故由Rolle 定理知),(),(21b a x x ⊂∈∃ξ使0)(='ξF 即)()()()(ξξξξg f g f '=' ------------------（10）六、（本题共10分）设)(),(x g x f 是定义在]1,0[上的有界函数，)(x f 和)(x g 在]1,0[上取值相异的点构成数列}{n x ，该数列满足1ln(1)()n n x x n +=+∀∈N . 证明：(1) 数列}{n x 收敛，且lim 0n n x →∞=；(2) ]1,0[R g f ∈-，并计算积分值1[()()]d f x g x x -⎰.证（1）因为n n n x x x ≤+=+)1ln(1 ，N n ∈∀，故数列}{n x 单调减，又]1,0[∈n x 有界， 所以数列}{n x 收敛。
数学分析1考试题及答案
数学分析1考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^2在区间[-1, 1]上是否连续？A. 是B. 否答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是多少？A. 0B. 1C. 2D. ∞答案：B3. 以下哪个函数在x=0处不可导？A. f(x) = x^3B. f(x) = |x|C. f(x) = e^xD. f(x) = ln(x)答案：B4. 函数f(x) = x^2 + 3x - 4的零点个数是？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C5. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/3 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 1/4 + 1/9 + ...D. 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...答案：C二、填空题（每题3分，共15分）1. 函数f(x) = x^3 - 3x的导数是________。
答案：3x^2 - 32. 函数f(x) = e^x的不定积分是________。
答案：e^x + C3. 函数f(x) = x^2在区间[0, 2]上的定积分是________。
答案：8/34. 函数f(x) = sin(x)的原函数是________。
答案：-cos(x) + C5. 函数f(x) = ln(x)的定义域是________。
答案：(0, +∞)三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算极限lim(x→∞) (x^2 - 3x + 2) / (x^3 + 5x^2 - 2x)。
答案：02. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1在区间[1, 3]上的定积分。
答案：-43. 求函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的极值点。
答案：x = 3/4四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明函数f(x) = x^2在区间[-1, 1]上是单调递增的。
答案：略2. 证明函数f(x) = x^3在x=0处连续。
数学分析(1)期末试题A答案
学习资料收集于网络，仅供参考2007-2008学年第一学期期末数学分析（1）考试试题（A 卷）参考答案及评分标准、判断题（本题共 10小题，每小题2分，共20分）1. X2. X3. V4. X5. V6.、填空题（本题共 8小题，每空2分，共20分） 1.f (n 1)(. )+ ------ ( (x -x o )n* ,:介于 x 与x o 之间. (n 1)!三、计算题（本题共 5小题，第1—4小题每题5分，第5小题10分，共30分）3.(6)1. 设y = x e ,试求y .解基本初等函数导数公式，有(x 3) =3x 2,(x 3) =6x,(x 3) =6,(x 3)(k)=0, k =4,5,6, (e x 严=e x ,k =1,2,111,6,应用莱布尼兹公式（n =6）得(6)3 x2 xxxy x e 6 3x e 15 6xe 20 6e32x=(x 18x 90x 120)e .2. 4 co sx2- s x2e 2叫23. e x f( f( e)) f(x e ) 4. 6 (x - 1) 5. -In二.6. 0, 17. y =x , y - -xx 7. V 8. x 9. V 10. xf (n) (Kn)nf(x)=f(x o ) f(x o )(x -x o )中^r (x -x o )8.学习资料收集于网络，仅供参考x = a（t -sint）,2.试求由摆线方程《所确定白^函数y=f（x）的二阶导数.y = a（1 - cost）学习资料收集于网络，仅供参考dy (a(1 - cost)) dx (a(t-sint))sint x t ------ 二 cot 一，1 - cost 2…t1 2t 2I cotcsc _dy 2 2 22 一 _ .一dx (a(t-sint)) a(1 -cost) 1 4 t——csc - ....................... .......4a 23.试求f (x) =ln(1 +x 2)到x 6项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式 解因为2 3. x x 3ln(1+x)=x ———+—+o(x ),.......2 3所以f(x) =ln(1 +x 2)到x 6项的带佩亚诺型余项的麦克劳林公式为4622x x 6ln(1 x )= x -——一■ o(x ).2 34. 试求极限 解通分后连续使用两次洛必达法则，得 x e - x -1xx(e -1)x e -1 e x(x 1)-1 xelim - ---- x 山 e x(x - 2)3分2分3分2分-- 3 2 5.试求函数y ^2x -9x +12x|在［-1,3］上的最值和极值解 32y 二|2x -9x 12x|一 2_ 一二|x(2x -9x 12) |I x(2x 2 -9x 12), -1 < x < 0,一 2x(2x -9x 12), 0 二 x <3,在闭区间［-1,3］上连续，故必存在最大最小值.-6x 2 18x-12, 6x 2 -18x 12 -6(x-1)(x-2), 6(x-1)(x-2),令y' = 0,得稳定点为x=1,2.又因 匚(0) =—12, f ；(0) =12,故y 在x = 0处不可导.列表如下所以x = 0和x = 2为极小值点，极小值分别为 f (0) = 0和f (2) = 4 , x = 1为极大值点f(1)= 5.又在端点处有f (-1) = 23 , f (3) = 9,所以函数在x = 0处取最小值0,在x = -1处取最大值................................ 2分四、 证明题(本题共3小题，每小题10分，共30分).21 .证明不等式e x>1 +x+— (x>0) 22、一人vx一证令 f (x) =e 一一 -x -1 , x >0, 2f (x) = e x- x -1, x 0 f (x) -e x-1 0 , x 0,且 f(0) = f (0) =0,............................. 3 分当x A0时有f "(x) >0,所以f'(x)严格递增， 又f (x)在x=0处连续，所以f (x) > f (0) =0, x >0, ................................ 3 分-1 < x :二 0, 0 x <极大值为23.所以f(x)严格递增，又f(x)在x = 0处连续，所以f (x) > f (0) =0, x>0, ................................ 3 分x x2即e >1+x + ——,x >0. ............................. 1 分22.设f为(血，十a)上的连续函数，对所有x, f (x) >0 ,且lim f (x) = lim f (x) =0 ,证明f (x)必x ；：：x :.能取到最大值.证由题设f(0)>0,取8=*0■，由lim f(x) = lim f (x) = 0，m X >0,当| x |A X 时，2 x『二xf(x)<S<f(0). ................................ 4 分又f在［-X , X ］上连续，由闭区间上连续函数的最大、最小值定理知，f在［-X, X］能取到最大值................................ 4分且此最大值为f在(—叫+如)上的最大值. .................................. 2分3.若函数f(x)在［0,1］上二阶可导，且f(0)=0, f(1) = 1, f'(0)= f'(1) = 0,则存在c^(0,1)使得|f (c)|_2.证法一：v x w (0,1),把f (x)在0, 1两点处分别进行泰勒展开到二阶余项，有f ( J 2f (x) =f(0) f (0)(x-0) ^^x ,f , 0； 1 <x- <1,f(x) =f(1) f (1)(x-1) -4^(x-1)2,2!上两式相减，有f ( 1) f ( 2)(x-1)2.记| f ”(c)尸max{| f 7 -1) |,| f 'J) |},则有1《|f (c)|［x2 (x-1)2］1\|f (c)|,即存在cw(0,1)使得| f *(c)住2.证法二：在［0,1］上对f(x)应用拉格朗日中值定理有f (D = f ⑴—f (0) =1 , 0 ＜1 .当0 时，在［0,可上对f '(x)应用拉格朗日中值定理有1 .1 = f 注)—f (0) = f “(c)L =| f “(c)|=f “(c) =不之2, 2(0,与二(0,1)................................. 3分当白＜匚＜1时，在［匕1］上对f'(x)应用拉格朗日中值定理有11 = f ( ) - f (1) = f (c)( -1),=|f(c)|=—— 2, c ( ,1) (0,1).1 -................................ 2分综上证明知存在cW(0,1)使彳#|f”(c)户2. ................................ 2分。
数学分析1期末考试讲解
《数学分析Ⅰ》题目讲解一、 单项选择题（每小题2分，共14分）1、设数列{}n x 满足1112n n n x x x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭且lim nn x →∞=，则为【 】A 、0B 、1C 、12 D 、22、已知tan,0,()1,0,xxf x xx⎧≠⎪=⎨⎪=⎩则0x=是()f x的【】A、第一类不连续点B、第二类不连续点C、连续点D、可去不连续点3、已知1sin,0()0,0x xf x xx⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，则()f x在0x=处【】A、左可导B、右可导C、可微D、不连续4、若0lim ()x x f x 存在，下列说法一定正确的是【】A 、()f x 在0x 的任一邻域内有界 B 、()f x 在0x 的某一邻域内无界 C 、()f x 在0x 的某一邻域内有界 D 、()f x 在0x 的任一邻域内无界5、若()f x 在0x =处连续，并且220()lim h f h c h→=，则【 】 A 、(0)0f =且(0)f -'存在 B 、(0)0f =且(0)f +'存在 C 、(0)f c =且(0)f -'存在 D 、(0)f c =且(0)f +'存在6、若()f x 在点0x 处存在左、右导数，则()f x 在点0x 处必然【 】A 、可导B 、不可导C 、连续D 、不连续7、下列叙述错误的是【 】A 、若()f x 在点0x 可导，则()f x 在点0x 可微；B 、若()f x 在点0x 可导，则()f x 在点0x 连续；C 、若()f x 在点0x 可导，则()0()0f x ′=； D 、设()f x 在点0x 可导，则0x 是极值点当仅当0()0f x =′.参考答案：1. B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.C7.D二、填空题（每小题3分，共21分）1、33561lim 141x x x x x x →∞⎡⎤++⎛⎫+-=⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 2、曲线ln y x =上平行于直线115y x =+的切线的方程为3、设()1f a '=，则 0(2)(3)lim h f a h f a h h→+--=4、曲线22x y x e -=+的斜渐近线为5、函数32()92415f x x x x =-+-的极小值点x =______ _6、已知当0x →时ln(1)ax +与1xe -等价，则a = 7、()()5n x=参考答案：1. 114e+；2. ()15ln55y x =-+；3. 5；4. 2y x =；5. 4；6. 1；7. ()ln 55nx三、计算题（每小题6分，共36分）1、计算111lim 1n n n n n →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭.1、计算111lim 1n n n nn →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭ 解：设1111n x n n n n=++++++，由于1n n nx n n ≤≤++，lim 1n n n →∞=+，lim 11n nn →∞=+ ，（4分） 由夹逼性，lim 1n n x →∞=，即原极限为1。
2010—2011 学年第一学期期末考试大学《数学分析 1》 试题及答案
五、证明题（3 小题，1,2 小题各题 6 分，3 小题 7 分，共 19 分）
1、设 an
=
sin1 2
+
sin 2 22
++
sin n 2n
，证明数列 an 收敛.
2、证明 f (x) = x2 在a,b上一致连续.
3、若函数
f
在 a,b上可导，且
f
+
(a
)
f
−
(b)
，
k
为介于
f
+
(a
)和f
−
(b)
( ) 1、已知 y = ln x + 1+ x2 ，求 dy ； dx
2、设
x y
= =
a(t a(1
− sin t) − cost)
，求
dy dx
；
3、设 y = xsin x ，求 y ；
4、设 y = arcsin 1− x2 ，求 dy .
5、求函数 f (x) = (2x − 5) 3 x2 的极值.
1
( ) d 1− x2 , ……………………………………3 分
( )2
1− 1− x2
( ) = 1 d 1 − x2 = − 1 x dx ……………………………………………………5 分 x 2 1− x2 x 1− x2
5、解：定义域 (− ,+)
f
(x) = 23
x2
+
(2
x
−
5)
2
x
−
( ) 9、若在 x0 附近 f (x) = pn (x)+ o (x − x0 )n ，则 pn (x)是唯一的，其中
数分大一下期末考试知识点
数分大一下期末考试知识点数学分析是数学专业中的一门重要课程，也是大部分理工科专业的必修课之一。
对于大一学生来说，数分下学期末考试的内容通常是其中最为关键的一部分。
为了帮助大家复习和准备考试，下面将对数分大一下期末考试的知识点进行总结和归纳。
1. 无穷级数无穷级数是数学分析中的重要概念，有着广泛的应用。
在考试中，通常会涉及到级数的收敛与发散、级数的运算性质等方面的问题。
复习时需要掌握无穷级数各种判别法，例如比较判别法、比值判别法、根值判别法等。
2. 函数极限与连续性函数极限与连续性是数学分析的基础内容。
考试中可能出现求函数极限、证明函数连续性等类型的题目。
在复习过程中，需要熟练掌握函数极限的定义和性质，以及连续性的定义、判别方法和运算规则。
3. 导数与微分导数与微分是数学分析的核心内容，也是大家最常接触到的部分。
在考试中，通常会出现求导数、求高阶导数、应用导数等类型的题目。
复习时需要熟悉导数的定义、运算法则，以及常见函数的导数公式和基本性质。
4. 可积性与不可积性在数学分析中，可积性是一个重要的概念。
考试中可能会涉及到函数的可积性问题，需要掌握黎曼可积的判定条件和计算方法。
此外，还需要了解黎曼积分的性质和应用，如函数的积分中值定理等。
5. 序列与级数序列与级数是数学分析中的基本概念之一，也是数学分析的重要内容。
在考试中，通常会出现求序列极限、判别序列的收敛性、级数求和等类型的题目。
复习时需要掌握序列和级数的基本定义、性质和运算法则。
6. 多元函数的极限、连续性与偏导数多元函数是数学分析中一个较为复杂的知识点。
在考试中，可能会出现多元函数的极限、连续性、偏导数等问题。
复习时需要熟悉多元函数的极限、连续性的定义和判别方法，以及多元函数的偏导数的计算和性质。
7. 多元函数的积分多元函数的积分是数学分析中的重要内容之一。
在考试中，通常会出现多元函数的积分的计算和应用题。
复习时需要掌握多元函数的积分的计算方法，并了解应用题中的一些常见方法，如变量代换等。
大一数学分析期末知识点
大一数学分析期末知识点在大一数学分析的学习过程中，学生将接触到许多基础的数学知识点。
这些知识点在期末考试中占据重要的地位，对于学生来说是必须要熟练掌握的。
本文将着重介绍大一数学分析期末考试中常涉及的几个主要知识点。
1. 函数与极限在数学分析的学习中，函数与极限是一个非常重要的基础概念。
学生需要了解函数的定义、性质和图像表示方法。
同时，对于函数的极限也是非常重要的。
学生需要学会计算函数的极限，理解极限存在与否的条件，并能够应用极限理论解决相关问题。
2. 数列与级数数列与级数是数学分析中的另一个核心内容。
学生需要了解数列的定义、分类和性质，能够计算数列的极限。
对于级数，学生需要学会判断级数的敛散性，掌握级数求和的方法，并了解级数收敛的判定方法。
3. 微分学微分学是数学分析的重要内容之一。
学生需要熟练掌握函数的导数概念与计算方法，理解导数的几何与物理意义，并能够应用导数解决相关问题。
此外，学生还需要了解高阶导数、隐函数与参数方程的微分计算方法。
4. 积分学积分学是数学分析的另一个重要内容。
学生需要熟悉不定积分和定积分的定义与计算方法，了解换元积分法和分部积分法等积分技巧，并能够应用积分解决相关问题。
此外，对于柯西定理和牛顿-莱布尼茨公式的理解也是必要的。
5. 常微分方程常微分方程是数学分析的一门重要的应用课程。
学生需要了解一阶和二阶常微分方程的基本概念、解的存在唯一性以及一些特殊类型的微分方程解法，并能够应用常微分方程解决实际问题。
以上所列举的知识点只是大一数学分析期末考试中的主要内容，还有其他相关知识点也是需要学生积极掌握的。
学生在备考期末考试时，应该注重理解概念，熟练掌握运算方法，并进行大量的练习，加强对知识点的理解与应用能力。
通过系统的学习与反复的训练，相信大家能够在大一数学分析期末考试中取得优异的成绩！。
《数学分析1》期末考试试卷1
《数学分析1》期末考试试卷（闭卷 120分钟）一.判断题（每小题2分,共20分）1、设A B ，为非空数集，{}S A B inf min infA infB =，则S=，.2、若0lim ()x x f x →存在，0lim ()x x g x →不存在，则0lim[()()]x x f x g x →±不存在3、若()f x 无上界，则存在{}()n x D f ⊂，使得lim ()n n f x →∞=+∞4、lim ()x af x A →=⇔存在{}()n x D f ⊂，使得lim ()n n n x a f x A →∞→=且5、若lim n n x A →∞=，lim n n y →∞不存在，lim n n n x y →∞存在，则0A =6、11(1)1)(12)n n e n n n ⎧⎫++<=⎨⎬⎩⎭递增，且（， 7、()()f x g x ，在0x x =不可导，则()()f x g x ±在0x x =也不可导 8、00()()f x f x +-''，均存在，则()f x 在0x x →连续9、若0()0f x '<，则存在0δ>，使得()f x 在00()x x δδ-+，内递减 10、()f x 在0x x =不可导，则0x 不是()f x 的极值点二.求极限（每题5分，共20分）1、4tan()4lim cot 2x x x ππ→- 2、101lim()1x x x x →+- 3、1ln lim (arctan )2xx x π→+∞-4、tan 24lim(tan )xx x π→三. 计算（每题5分，共20分）1、用导数定义求1(ln )x x e x ='2、2(arcsin )y x dy =，求3、ln((0)y x a =>，，求'y 4、求2()(sin )n x四. 证明（每题5分，共20分）1、设0lim ()0x x f x a →=>.证明：n =2、lim n n x a →∞=，lim()0n n n y x →∞-=，证明lim n n y a →∞=.3、证明：()f x =[)1∞，+内一致收敛4、求证: 3tan 23x x x x π∈>-（0，）时，. 五.确定[)()0f x x =∈∞，+的单调区间. （5分）六. ()()f x g x ，在[,]a b 上连续，()()f a g a <,()()f b g b >.求证:存在(,)a b ξ∈，使 ()()f g ξξ= （5分）七. 设()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导,求证：(0,1)ξ∈，使得()(1)()(1)f f f f ξξξξ''-=- （5分） 八. 求证:23()xf x x e -=在区间(,)-∞+∞内有界. （5分）。
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《数学分析Ⅰ》题目讲解一、 单项选择题（每小题2分，共14分）1、设数列{}n x 满足1112n n n x x x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭且lim nn x →∞=，则为【 】A 、0B 、1C 、12 D 、22、已知tan,0,()1,0,xxf x xx⎧≠⎪=⎨⎪=⎩则0x=是()f x的【】A、第一类不连续点B、第二类不连续点C、连续点D、可去不连续点3、已知1sin,0()0,0x xf x xx⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，则()f x在0x=处【】A、左可导B、右可导C、可微D、不连续4、若0lim ()x x f x 存在，下列说法一定正确的是【】A 、()f x 在0x 的任一邻域内有界 B 、()f x 在0x 的某一邻域内无界 C 、()f x 在0x 的某一邻域内有界 D 、()f x 在0x 的任一邻域内无界5、若()f x 在0x =处连续，并且220()lim h f h c h→=，则【 】 A 、(0)0f =且(0)f -'存在 B 、(0)0f =且(0)f +'存在 C 、(0)f c =且(0)f -'存在 D 、(0)f c =且(0)f +'存在6、若()f x 在点0x 处存在左、右导数，则()f x 在点0x 处必然【 】A 、可导B 、不可导C 、连续D 、不连续7、下列叙述错误的是【 】A 、若()f x 在点0x 可导，则()f x 在点0x 可微；B 、若()f x 在点0x 可导，则()f x 在点0x 连续；C 、若()f x 在点0x 可导，则()0()0f x ′=； D 、设()f x 在点0x 可导，则0x 是极值点当仅当0()0f x =′.参考答案：1. B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.C7.D二、填空题（每小题3分，共21分）1、33561lim 141x x x x x x →∞⎡⎤++⎛⎫+-=⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 2、曲线ln y x =上平行于直线115y x =+的切线的方程为3、设()1f a '=，则 0(2)(3)lim h f a h f a h h→+--=4、曲线22x y x e -=+的斜渐近线为5、函数32()92415f x x x x =-+-的极小值点x =______ _6、已知当0x →时ln(1)ax +与1xe -等价，则a = 7、()()5n x=参考答案：1. 114e+；2. ()15ln55y x =-+；3. 5；4. 2y x =；5. 4；6. 1；7. ()ln 55nx三、计算题（每小题6分，共36分）1、计算111lim 1n n n n n →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭.1、计算111lim 1n n n nn →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭ 解：设1111n x n n n n=++++++，由于1n n nx n n ≤≤++，lim 1n n n →∞=+，lim 11n nn →∞=+ ，（4分） 由夹逼性，lim 1n n x →∞=，即原极限为1。
（6分）2. 求极限2011lim tan x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭220020011tan lim lim (1)tan tan sin cos lim (2)sin sin lim 2sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→-⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-⎛⎫= ⎪⎝⎭=+解：分分20 (4)cos 1lim (5)2cos sin 1(6)3x x x xx x →⎛⎫⎪⎝⎭⎛⎫⎪= ⎪+⎪⎝⎭=分分分3. 已知()f u 任意次可微，求(ln )y f x 的二阶微分2d y .3. 已知()f u 任意次可微，求(ln )y f x =的2d y .解：令ln u x =，则d 1()d y f u x x='， （2分）[]2222222d ()d 11() (3)d d 11()()()()(ln )(ln )(5)f u y f u x x x xf u f u x x f u f u xf x f x x'-=⋅+'=''⋅-'⋅''-'=''-'=分分所以，222(ln )(ln )d =d f x f x y x x''-' （6分）4. 求方程2arctan ln(1)x t y t =⎧⎨=+⎩所确定的函数的导数22d d xy .4.求方程2arctan ln(1)x t y t =⎧⎨=+⎩所确定的函数的导数22d d xy . 22222232d 1d ()1d 1 (3)d 2d ()2d 11d d d 12 (6)2d d d 41x x x t t t y t y y t t t tx x t t t y y y t t+====+-⎡⎤+===-⎢⎥⎣⎦+解：分分′′5. 设()cos=，求y'.sin xy x解：对等式两端取对数，()ln cos lnsin y x x =，（1分）再对上式两端分别求导，()()sin cos ln sin cos sin x y x x x y x''='+ （4分） ()2cos sin lnsin sin x x x x=-+ （5分）所以，()()2cos cos sin sin lnsin (6)sin xx y x x x x ⎡⎤'=-⎢⎥⎣⎦分6. 求由方程32xy e x y =+所确定的函数()y y x =的微分d y .解：在方程两端对x 求导，得()223xyey xy yy +'=+'. （3分）解此方程，得223xyxy yey xe y-'=-。
（4分） 所以，22d d 3xyxy yey x xe y-=-。
（6分）四、综合题（3小题，共29分）1. 叙述证明题（4小题，共14分）（1）叙述lim n n x A →∞=（A 有限）的N ε-定义；（3分）（2）叙述数列的柯西（Cauchy ）收敛原理；（3分） （3）叙述()f x 在区间I 内一致连续的εδ-定义；（3分）（4）证明()sin f x x =在(,)-∞+∞上一致连续。
（5分）解：（1）lim n n x A →∞=（A 有限）的N ε-定义：对任意给定的0ε>，存在正整数N ，当n N >时，有n x A ε-<。
（3分）（2）数列的柯西（Cauchy ）收敛原理：数列{}n x 收敛的充要条件是{}n x 是一个基本数列。
（3分）（3）()f x 在区间I 内一致连续的εδ-定义：若()f x 在区间I 内满足对任意的0ε>，存在()0δδε=>，使得对I 内任意两点1x 与2x ，当12x x δ-<时，总有12()()f x f x ε-<，则称()f x 在区间I 内一致连续。
（3分）（4）证明：对任意12,x x R ∈，由于1212121212()()sin sin 2cos sin22 3f x f x x x x x x x x x -=-+-=≤-（分） 故对任意的0ε>，取δε=，则对(,)-∞+∞内任意两点1x 与2x ，当12x x δ-<时，总有12()()f x f x ε-<，即()f x 在(,)-∞+∞上一致连续。
（5分）2. 证明：当0x >时，2ln(1)2xx x x -<+<.（7分）证明：（1）证明ln(1)x x +<. 根据Lagrange 中值定理，()ln(1)ln(1)ln11001x x x x x ξξ++-==<<-+这里（2分）由于111ξ<+，所以ln(1)x x +<。
（3分）（2）证明2ln(1)2xx x -<+.令2()ln(1)2xf x x x =--+，则21()111xf x x x x-'=--=++，（2分）当0x >时，()0f x '<，()f x 严格单调递减，由(0)0f =，知()()00f x x <>，从而2ln(1)2xx x -<+。
（4分）3. 设()f x 在区间[,]a b 可导，且()0,()0f a f b +->>′′，()()f a f b A ==，证明：（1）存在(,)a b ξ∈使得()f A ξ=；（5分）（2）()f x ′在(,)a b 内至少有两个零点。
（3分）证明：（1）由()()()lim 0x a f x f a f a x a++→-=>-′，存在10δ>，使当1(,)x a a δ∈+时，有()()0f x f a x a->-，此时，()()f x f a A >=。
在1(,)a a δ+中去一点1x ，有1()f x A >；由()()()lim 0x b f x f b f b x b--→-=>-′，存在20δ>，使当2(,)x b b δ∈-时，有()()0f x f b x b->-，此时，()()f x f b A <=。
在2(,)b b δ-中去一点2x ，有2()f x A <。
（3分）于是，12()()f x A f x >>。
由()f x 在[,]a b 可导，()f x 在[,]a b 连续，由中间值定理，存在12(,)[,]x x a b ξ∈⊂，使得()f A ξ=。
（5分）（2）由罗尔（Rolle ）定理，在(,)a ξ内至少存在一点1ξ使得1()0f ξ=′，在(,)b ξ内至少存在一点2ξ使得2()0f ξ=′。
故()f x ′在(,)a b 内至少有两个零点。
（8分）。