九年级数学上册第四章图形的相似4.5相似三角形判定定理的证明导学案无答案新版北师大版
2020九年级数学上册 第四章 图形的相似 4 探索三角形相似的条件教案 (新版)北师大版
（3）结论：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。
简单地说，两角对应相等的两个三角形相似。
几何语言:∵∠A′=∠A,∠B′=∠B,∴△ABC∽△A′B′C′
课中作业
若∠A=70°，∠C=65°，∠A1=70°，∠B1=35°△ABC△A1B1C1相似吗？
（修改人：）
板书设计：
1.两角对应相等的两个三角形相似。
2.平行于三角形一边的直线和三角形的两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
教学反思：
在开始实验前，请学生先猜测实验结果，并说明自己的理由；在实验过程中了解学生思想的变化；在实验结束并进行理论分析后，再运用树状图来计算事件发生的概率，由此可见帮助学生澄清一些错误认识，发展他们正确的随机直觉。整个课堂气氛活跃，学生兴趣盎然，每个学生都积极参与，动手动脑，收获很大。
环
节
三
如图，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，△ADE与△ABC相似吗？为什么？
课中作业
思考：如下图，点A、B、D与点A、C、E分别在一条直线上，如果DE∥BC，△ADE与△ABC相似吗？为什么？
课后作业设计：
如图（1），AE与BD相交于C，要使△ABC∽△DEC，需要条件．
如图（2）要使△ABC∽△ACD，需要条件．如图（3）要△使ABE∽△ACD，需要条件．
教学难点
掌握相似三角形判定定理1及其应用．
教学明用白纸遮住了3个三角形的一部分，你能画出这三个三角形吗？
教学过程
教学环节
课堂合作交流
二次备课
（修改人：）
环
节一
探究一
如图，已知△ABC，和线段A′B′,在线段A′B′同侧画 ，使∠A′=∠A,∠B′=∠B,交点C′
九年级数学上册 4.5 相似三角形判定定理的证明学案 (新版)北师大版
相似三角形判定定理的证明【学习目标】1．了解相似三角形判定定理的证明过程，知道构造全等三角形是一种有效的证明方法．2．进一步掌握相似三角形的三个判定定理．【学习重点】掌握相似三角形的三个判定定理．【学习难点】通过已有的知识储备，相似三角形的定义以及构造三角形全等的方法完成证明过程．情景导入生成问题我们已经学习过相似三角形的判定定理有哪些？你能证明它们一定成立吗？答：相似三角形的判定定理有：(1)两角分别相等的两个三角形相似；(2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边成比例的两个三角形相似．自学互研生成能力知识模块一相似三角形判定定理的证明先阅读教材P99－101的内容，然后完成下面的填空：如图，已知△ABC和△A1B1C1，∠A＝∠A1，ABA1B1＝ACA1C1，求证：△ABC∽△A1B1C1.证明的主要思路是，在边AD上截取AD＝A1B1，作DE∥BC，交AC于E，在△ABC中构造△ADE∽△ABC，再通过比例式得AE＝A1C1，证△A1B1C1≌△ADE，从而得到△A1B1C1∽△ABC.1．证明：两角分别相等的两个三角形相似，见教材P99－100页．2．证明：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，见教材P100－101页．3．证明：三边成比例的两个三角形相似，见教材P101－102页．知识模块二相似三角形判定定理的应用解答下列各题：1．在△ABC与△A′B′C′中，有下列条件：①ABA′B′＝BCB′C′；②BCB′C′＝ACA′C′；③∠A＝∠A′；④∠C＝∠C′.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC∽△A′B′C′的共有( C)A．1组B．2组C．3组D．4组2．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试证明：△ABF∽△EAD.证明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，∠D＝90°，∴∠BAF＝∠AED.∵BF⊥AE，∴∠AFB＝90°.∴∠AFB＝∠D，∴△ABF∽△EAD.典例讲解： 已知，如图，D 为△ABC 内一点，连接BD 、AD ，以BC 为边在△ABC 外作∠CBE＝∠ABD ，∠BCE ＝∠BAD，连接DE.求证：△DBE∽△ABC.分析：由已知条件∠ABD＝∠CBE，∠DBC 公用，所以∠DBE＝∠ABC，要证的△DBE 和△ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，可再找一对角相等，或者找夹这个角的两边对应成比例．从已知条件中可看到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决． 证明：在△CBE 和△ABD 中，∠CBE ＝∠ABD，∠BCE ＝∠BAD，∴△CBE ∽△ABD ，∴BC AB ＝BE BD ，即：BC BE ＝AB BD.在△DBE 和△ABC 中，∠CBE ＝∠ABD ，∴∠CBE ＋∠DBC＝∠ABD＋∠DBC，∴∠DBE ＝∠ABC 且BC BE ＝AB BD，∴△DBE ∽△ABC.对应练习：1．教材P 102页习题4.9的第1题．答：相似．证明：△ABC 为等边三角形．∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.又∵AE＝BF ＝CD ，∴AD ＝FC ＝EB ，则△AED≌△CDF≌△BFE.∴ED＝DF ＝EF.△EDF 为等边三角形．∴△DEF∽△ABC.2.教材P 102页习题4.9的第3题．证明：∵BE 为∠DBC 平分线，∴∠DBE ＝∠EBC.又∵AE＝AB ，∴∠ABE ＝∠AEB，∠ABE ＝∠ABD＋∠DBE＝∠ABD＋∠EBC，∠AEB ＝∠EBC＋∠C，∴∠ABD ＝∠C，∠A ＝∠A，∴△ABD ∽△ACB.则AB AC ＝AD AB .∵AB ＝AE ，∴AE AC＝AD AE，即AE 2＝AD·AC. 交流展示 生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块一 相似三角形判定定理的证明知识模块二 相似三角形判定定理的应用检测反馈 达成目标1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，CE ⊥AB 于E.求证：△ABD∽△CBE.证明：在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ，∵CE ⊥AB ，∴∠ADB ＝∠CEB＝90°.又∵∠B＝∠B，∴△ABD ∽△CBE.2．如图，D 是△ABC 的边BC 上的一点，AB ＝2，BD ＝1，DC ＝3，求证：△ABD∽△CBA.证明：∵AB＝2，BD ＝1，DC ＝3，∴AB 2＝4，BD ·BC ＝1×(1＋3)＝4.∴AB 2＝BD·BC.即AB BC ＝BD BA.而∠ABD＝∠CBA.∴△ABD∽△CBA.3．教材P 102页习题4.9的第4题．解：设t 秒后△PBQ 与△ABC 相似，①△PBQ ∽△ABC ，则BP BA ＝BQ BC ，即8－2t 8＝4t 16，解得t ＝2s .②当△PBQ ∽△CBA ，BP BC ＝BQ BA ，即8－2t 16＝4t 8，解得t ＝0.8s .答：0.8s 或2s 时，△QBP 与△ABC 相似． 课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________。
九年级数学上册 第四章 图形的相似 5相似三角形判定定理的证明习题课件 (新版)北师大版
1.相似三角形的判定方法一: (1)_两__角分别_相__等__的两个三角形相似. (2)应用格式:∵∠A_=_∠D,∠B_=_∠E, ∴△ABC_∽__△DEF.
2.相似三角形的判定方法二:
(1)_两__边__成比例且夹角_相__等__的两个三角形相似. (2)应用格式:_AD__BE___AD_CF___,∠A_=_∠D, ∴△ABC_∽__△DEF.
由(1)知△ABD∽△CAE,∴∠E=∠D=90°,
在Rt△AEC中,EC2=AC2-AE2=a( 12-a)2 8 a2 ,
39
在Rt△BEC中, B C E C 2 B E 28 a2 (3 a 1 a )2 23 a .
9
3
【想一想】 在示范题2(2)的条件下,连接CD,此时四边形ABDC是什么特殊的 四边形? 提示:平行四边形. ∵AC∥BD,AC=BD, ∴四边形ABDC是平行四边形.
【备选例题】已知四边形ABCD、四边形DCFE、四边形EFHG都是 边长为1的正方形,则∠1+∠2+∠3是多少度?
【解析】由题意知AC= 2 ,CF=1,CH=2, 所以 CF AC ，
AC CH
又∠ACF=∠HCA,所以△ACF∽△HCA,
所以∠2=∠CAH,又因为∠1=∠3+∠CAH,
所以∠1+∠2+∠3=∠1+∠CAH+∠1-∠CAH=2∠1=90°.
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13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。2022/3/12022/3/12022/3/12022/3/13/1/2022
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14、抱最大的希望，作最大的努力。2022年3月1日 星期二2022/3/12022/3/12022/3/1
九年级数学上册4.5相似三角形判定定理的证明教案1新版北师大版
4.5相似三角形判定定理的证明一、教学目标1．知识目标：①了解相似三角形判定定理②会证明相似三角形判定定理2．能力目标：掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力二、教学过程分析1.复习提问相似三角形的判定方法有哪些？答：（1）两角对应相等，两三角形相似.（2）三边对应成比例,两三角形相似.（3）两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.2.探究学习，得出新知探究1如果∠A =∠A ′，∠B =∠B ′，那么，△ABC ∽△A′B′C′.如何证明呢？应用1已知：如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB.解： ∵ ∠ A = ∠ A,∠ABD =∠C,∴ △ABD ∽ △ACB ,∴ AB : AC =AD : AB,∴ AB 2= AD · AC.∵ AD =2, AC =8,∴ AB =4.探究2如果∠B =∠B 1 ， 那么，△ABC ∽△A 1B 1C 1.应用2 已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠ACD ，AB =6，BC =4，AC =5，CD =7 ，求AD 的长.1 1111,AB BC k A B B C ==2探究3如果那么，△ABC ∽△A ′B ′C ′.应用3 画一画任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k 倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同桌交流一下，看看是否有同样的结论.3： 例题学习例1. 弦AB 和CD 相交于⊙O 内一点P . 求证:PA ·PB =PC ·PD . ,AB BC AC A B B C A C ==''''''证明:连接AC 、BD.∵∠A 、∠D 都是CB 所对的圆周角,∴ ∠A =∠D.同理: ∠C =∠B.∴△PAC ∽△PDB.即PA·PB =PC·PD .4.课时小结一、相似三角形判定定理的证明1.两角对应相等，两三角形相似.2.三边对应成比例,两三角形相似.3.两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 二、相似三角形判定定理的应用5.课后作业.PA PC PD PB∴=。
九年级数学上册 第四章 图形的相似 5 相似三角形判定定理的证明教案 北师大版
节一
探究新知
已知△ABC.
1.画△DEF，使得
2.比较∠A与∠D的大小，由此，能判断△ABC与△DEF相似吗？为什么？
判定方法四：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。
几何语言：在△ABC和△DEF中，
∵
∴△ABC∽△DEF
课中作业
当时候，你能判断△ABC与△DEF相似吗？
（修改人：）
板书设计：
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似；
几何语言：∵∴△ABC∽△A′B′C′
教学反思：
1.本节课我们学习了哪些知识？
2.在对应关系不明确时，要注意分类讨论；
3.有条理的写出解题过程是我们必须要掌握的基本能力、
相似三角形判定定理的证明
课题
课时安排
共（1）课时
课程标准
探索得出两个三角形有三边对应成比例，进一步解决与三角形相似有关的问题。
学习目标
通过对比和猜想，探索得出两个三角形有三边对应成比例，即可判断两个三角形相似的方法．
能够选择适当的方法判定两个三角形相似，进一步解决与三角形相似有关的问题。
教学重点
三角形相似的条件3的探索与应用
已知：如图，，试说明：∠BAD=∠BCE
环
节
三
例2、下列各组三角形中，两个三角形能够相似的是（）
A、△ABC中，AB＝8，AC＝4，∠A＝105o，△A′B′C′中，A′B′＝16，
B′C′＝8ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ∠A′＝100°
B、△ABC中，AB＝18，BC＝20，CA＝35，△A′B′C′中，A′B′＝36，B′C′＝40，C′A′＝70
150.北师大版九年级数学上册4.5 相似三角形判定定理的证明-导学案
4.5 相似三角形判定定理的证明学习目标：1、进一步复习巩固相似三角形的判定定理.2、能灵活运用相似三角形的判定定理证明和解决有关问题.学习重点：灵活运用相似三角形的判定定理证明和解决有关问题.预设难点：灵活运用相似三角形的判定定理证明和解决有关问题.【预习案】一、链接回忆相似三角形的判定定理的内容：定理1可简单说成： . 定理2可简单说成： . 定理3可简单说成： .直角三角形相似的特殊判定定理： .二、导读1、想一想：判定一般的两个三角形相似有几种方法？判定两个直角三角形相似有几种方法？2、想一想如何根据已知条件来选择三角形相似的判定方法？【探究案】1、如图，点D 为△ABC 的AB 边一点（AB>AC ）,下列条件不一定能保证△ACD ∽△ABC 的是（ ）．A.∠ADC=∠ACBB.∠ACD=∠BC..DC ADAD AC D BC AC AC AB==2、已知：如图，∠ABE=90°，且AB=BC=CD=DE ，请认真研究图形与所给条件，然后回答：图中是否存在相似的三角形？若存在，请加以说明；若不存在，请说明理由．3、已知△ABC ，△DCE ，△EFG 是三个全等的等腰三角形，底边BC ，CE ，EG•在同一直线上，且AB=3，BC=1，连接BF ，分别交AC ，DC ，DE 于P ，Q ，R ．求证：△BFG ∽△FEG ，尝试用不同的方法证明.【训练案】1、下列图形不一定相似的是（）．A、有一个角是120°的两个等腰三角形B、有一个角是60°的两个等腰三角形C、两个等腰直角三角形D、有一个角是45°的两个等腰三角形2、如图，已知∠ACB=∠CBD=90°，且BD=a，BC=b，当AC与a，b满足什么关系时，△ACB∽△CBD？3、顺次连接三角形三边中点所得的小三角形与原三角形相似吗？试证明.初中数学公式大全1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行10 内错角相等，两直线平行11 同旁内角互补，两直线平行12 两直线平行，同位角相等13 两直线平行，内错角相等14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180 °18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形21 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形22 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形23 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形24 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角25 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等26 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形27 矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形28 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等29 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角30 菱形面积= 对角线乘积的一半，即S= （a×b ）÷231 菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形32 菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形33 正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等34 正方形性质定理2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角35 定理1 关于中心对称的两个图形是全等的36 定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分37 逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称38 等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等。
北师大版九年级上册数学第四章图形的相似第五节相似三角形判定定理的证明
三角形相似
转化证明
学习目标
课后作业
作业1 必做: 请完成教材课后习题 作业2 补充:
∴PPCF
=
PE PC
.
∴
PC2=PE·PF.∵
PC=PB，∴
BP2=PE·PF.
感悟新知
知1－练
2-1. 如图在四边形ABCD中，AB=AD.AC与BD交于点E. ∠ADB=∠ACB. 求证：AD2=AC·AE.
感悟新知
证明：∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABE. 又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ABE＝∠ACB. 又∵∠BAE＝∠CAB，∴△ABE∽△ACB. ∴AABC＝AAEB.又∵AB＝AD，∴AADC＝AADE. ∴AD2＝AC·AE.
判定定理3是利用判定定理2证明的，体现了数学的 转化思想.
感悟新知
知1－练
例 1 如图4-5-1，在四边形ABDC中，AB∥CD，AC⊥CD，
AC=CD，AB= 14CD，E是AC的中点，试说明△ABE∽ △CED. 解题秘方：紧扣相似三角形的三种判定
方法，结合已知条件解决 问题.
感悟新知
知1－练
(1)求证： △ADF∽△DEC； 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∴∠C＋∠B＝180°， ∠ADF＝∠DEC. ∵∠AFD＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B， ∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC.
知1－练
感悟新知
知1－练
(2)若AB=8，AD=6 3，AF=4 3，求AE的长.
外一点, 且∠1=∠2，∠3=∠4， 则△ABC与△DBE是 否相似？说明理由.
感悟新知
解：△ABC 与△DBE 相似，理由如下： ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴△BAD∽△BCE. ∴BBAC＝BBDE，即BBDA＝BBCE. ∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠DBC＝∠2＋∠DBC. ∴∠ABC＝∠DBE.∴△ABC∽△DBE.
北师大版九年级上册数学4.5 相似三角形判定定理的证明导学案
4.5 相似三角形判定定理的证明学习目标了解相似三角形判定定理的证明过程，发展推理能力。
学习重点相似三角形判定定理的证明过程学习难点相似三角形判定定理的证明过程教学内容及过程一．旧知回顾1.相似三角形的定义、性质、相似比。
2.平行线分线段成比例定理及推论：3.相似三角形的判定定理。
二．探究新知（一）自主学习定理1 两角分别相等的两个三角形相似。
温馨提示：证明文字命题的步骤，引导学生进行画图，写出已知，求证，并写出证明过程第一步：学生根据文字命题画图，第二步：根据图形和文字命题写出已知，求证。
已知：如图，在△ABC和△A’B’C’中，∠A=∠A’，∠B=∠B’。
求证: △ABC∽△A’B’C’。
第三步：写出证明过程。
（分析现在能说明两个三角形相似的方法只有相似三角形的定义，我们可以利用这一线索进行探索，已知两角对应相等，根据三角形内角和定理可以推出第三个角也相等，从而可得三角对应相等，下一步，我们只要再证明三边对应成比例即可。
根据平行线分线段成比例的推论，我们可以在△ABC内部或外部构造平行线，从而构造出与△A′B′C′全等的三角形。
）证明：在△ABC的边AB（或延长线）上截取AD=A′B′,过点D作BC的平行线，交AC于点E,则∠ADE=∠B,∠AED=∠C,________(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例)。
过点D作AC的平行线，交BC于点F,则__________(平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例)。
∴____________∵DE∥BC，DF∥AC∴四边形DFCE是平行四边形。
∴DE=CF∴____________∴____________而∠ADE=∠B, ∠DAE=∠BAC, ∠AED=∠C,∴____________∵∠A=∠A’, ∠ADE=∠B’, AD=A’B’,∴△____≌△____∴△ABC∽△A’B’C’.现在，我们已经有两种判定三角形相似的方法，用这两种判定三角形相似的方法可以证明其他判定定理。
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4.5相似三角形判定定理的证明
学习目标
1.了解相似三角形判定定理
2.会证明相似三角形判定定理
3.掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力
教学过程
（一）预习题
1.相似三角形的判定方法有哪些？
（二）合作探究
探究1．如果∠A =∠A ′，∠B =∠B ′，
那么，△ABC ∽△A′B′C′.
如何证明呢？
应用1
已知：如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB.
探究2
如果∠B =∠B1，
那么，△ABC∽△A1B1C1.
应用2已知：如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD= 7 ，求AD 的长.
探究3
如果
那么，△ABC∽△A′B′C′.
三、课时小结
1.相似三角形判定定理的证明
2.相似三角形判定定理的应用
四、课后反思
如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！
,
AB BC AC
A B B C A C
==
''''''
如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。