小波分析基础学习资料
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第3章小波分析概述2
频窗中心：
x −b ψ a ,b ( x ) = a ψ ( ) a
− 1 2
ˆ ˆ ψ ab (ω ) = a e -jω bψ ( aω )
ω*
a
ω
*
频窗半宽度： ∆ψˆ 频窗范围： [ω ± ∆ψˆ ]
*
问题：为何b没有对频窗宽度以及位置产生影响？
∆ψˆ ab =
[
∆ψˆ a
]
时域：∆ψ ab = a ∆ψ
注意存在条件：容许小波 Cψ = ∫
∞
Ψ (ω )
2
ω
dω < ∞
类似傅立叶逆变换，可看成是对f(x)的一种分解 （不同的是这种分解有一个多尺度的思想）
五、离散小波变换
离散傅立叶变换的基函数是离散的， 而离散小波变换的基函数是连续的
X ( k ) = ∑ x ( n )e
离散傅立叶变换
n =0
N −1
傅立叶分析
傅立叶变换和逆变换：
F (ω ) = ∫ f ( x )e − jxω dx
∞
1 f ( x) = F (ω )e jxω d ω 2π ∫ ∞
傅立叶变换没有时域局域化的能力，任何局 部时域上的变化都会影响整个频域。（例子：一次
实现多通道图像的傅立叶变换）
小波基与傅立叶变换基函数的差别？
% ψ j ,k 是相对于 ψ j,k
的重构小波
注意:
1. 正交与双正交的情况、对偶 2. 从积分到离散和的变化（冗余度的变化）
1 Cψ dadb a2
f (x) =
∫∫ W f ( a , b )ψ ( a , b )
∞
回顾：
1、各种小波的关系（a,b的取值类型不同）。
x −b ψ a ,b ( x ) = a ψ ( ) a
− 1 2
ˆ ˆ ψ ab (ω ) = a e -jω bψ ( aω )
ω*
a
ω
*
频窗半宽度： ∆ψˆ 频窗范围： [ω ± ∆ψˆ ]
*
问题：为何b没有对频窗宽度以及位置产生影响？
∆ψˆ ab =
[
∆ψˆ a
]
时域：∆ψ ab = a ∆ψ
注意存在条件：容许小波 Cψ = ∫
∞
Ψ (ω )
2
ω
dω < ∞
类似傅立叶逆变换，可看成是对f(x)的一种分解 （不同的是这种分解有一个多尺度的思想）
五、离散小波变换
离散傅立叶变换的基函数是离散的， 而离散小波变换的基函数是连续的
X ( k ) = ∑ x ( n )e
离散傅立叶变换
n =0
N −1
傅立叶分析
傅立叶变换和逆变换：
F (ω ) = ∫ f ( x )e − jxω dx
∞
1 f ( x) = F (ω )e jxω d ω 2π ∫ ∞
傅立叶变换没有时域局域化的能力，任何局 部时域上的变化都会影响整个频域。（例子：一次
实现多通道图像的傅立叶变换）
小波基与傅立叶变换基函数的差别？
% ψ j ,k 是相对于 ψ j,k
的重构小波
注意:
1. 正交与双正交的情况、对偶 2. 从积分到离散和的变化（冗余度的变化）
1 Cψ dadb a2
f (x) =
∫∫ W f ( a , b )ψ ( a , b )
∞
回顾：
1、各种小波的关系（a,b的取值类型不同）。
小波分析
小波分析小波分析是一种在信号处理领域中常用的数学工具。
它可以分析和处理各种类型的信号，包括音频、图像和视频等。
小波分析的概念来源于法国数学家Jean Morlet在20世纪80年代提出的一种数学理论，经过不断的发展和改进，如今已成为信号处理中不可或缺的技术之一。
小波分析的基本思想是将信号分解成不同尺度和频率的小波基函数。
这些小波基函数可以看作是时间和频率的局部性的权衡。
相比于传统的傅里叶分析和傅立叶变换方法，小波分析更加适用于处理非平稳信号，因为它允许信号在时间和频率上的变化。
小波分析的核心概念是小波变换，它将信号分解成不同频率的小波分量，并用小波系数表示。
这些小波系数可以提供关于信号的时间和频率信息。
小波变换可以通过离散小波变换（DWT）或连续小波变换（CWT）来实现。
DWT适用于离散信号，而CWT适用于连续信号。
小波分析有许多优点。
首先，它可以提供更精确的时间和频率信息。
由于小波基函数具有局部性，它们可以更好地捕捉信号的瞬时特性。
其次，小波分析可以有效地处理非平稳信号。
传统的傅里叶变换方法基于信号是稳态的假设，对于非平稳信号的处理效果会相对较差。
而小波分析通过局部分析的方式，可以更好地处理非平稳信号。
此外，小波分析还可以提供多分辨率分析的能力。
通过对小波系数的分层表示，可以在不同的分辨率下对信号进行分析，从而可以同时关注信号的整体结构和细节。
在实际应用中，小波分析有广泛的应用。
在音频和音乐领域，小波分析可以用于音频信号的压缩、去噪和特征提取等方面。
在图像和视频领域，小波分析可以用于图像压缩、边缘检测和运动分析等。
此外，小波分析还可以应用于金融领域的数据分析、生物医学信号的处理和地震信号的分析等。
总的来说，小波分析是一种强大的信号处理技术，它可以提供更精确和全面的信号分析。
小波分析在不同领域有广泛的应用，并且随着技术的发展和创新，其应用范围还会不断扩大。
通过深入研究和应用小波分析，我们可以更好地理解和处理各种类型的信号，为我们的生活和工作带来更大的便利和效益。
小波分析基础学习资料
6、Meyer小波
SKIP
不是小波的例
RETURN
3、傅立叶变换与时频分析[4] 我们知道，任何复杂的周期信号f(t)可以用简单的调和振荡函
数表示成如下形式：
f (t) a0 2
(ak cosk 0t bk sin k 0t)
i1
(1.4)
这就是著名的傅立叶级数，cosk 0t和sin k 0t 都是简单的调和 振荡函数，直观讲都是正弦波。ak和bk 是函数f(t)的傅立叶系数，
f (t) ci gi (t)
(1.2)
i1
其中
ci f (t), gi (t)
f (t)gi (t)dt
gk (t), gl (t)
gk (t)gl (t)dt kl，k,l Z (1.3)
对于给定信号f(t)，关键是选择合适的基gi(t) ，使得f(t)在这 组基下的表现呈现出我们需要的特性，但是如果某一个基不
f (t)
c j,k j,k (t)
j Zk Z
(1.14)
其中c j,k f (t), j,k (t)
f (t) j,k (t)dt (1.15)
二、小波变换的定义及特点
定义1 [1]函数 (t) L2(R) 称为基本小波，如果它满足以下的“允 许”条件：
以下三个特性： 任何复杂的信号f(t)，都能由一个母函数 (t) 经过伸缩和平移产生的基 底的线性组合表示；
信号用新的基展开的系数要能反映出信号在时域上的局部化特性； 新的基函数 (t) 及其伸缩平移要比三角基sint更好地匹配非平稳信号。
历史上，Haar第一个找到了这样一个基函数，这就是非常著名但又 及其简单的Haar小波。
T
lim f (t)
小波分析方法
20小波去噪(1) Nhomakorabea21
小波去噪(2)
22
基于小波的图像融合
23
基于小波的图像融合实例(1)
24
基于小波的图像融合实例(2)
25
基于小波的图像融合实例(3)
26
基于小波的图像融合实例(4)
27
基于小波的图像融合实例(5)
28
IR-Fusion技术
IR-Fusion技术可实时将红外图像和可见光图像以像素对像 素的方式融合并显示成一个图像。据称,IR-Fusion是唯一 允许用户在相机屏幕上就可对图像进行操作的技术。该技 术的出现使用户可以发现类似红外热像仪一般不能检测到 的问题。
R
f (t ) (
1 t b W ( a , b ) ( )dadb f 2 a a R R
12
8.2 小波的应用领域 • 模式识别——指纹，人脸
• 语音识别——语音特征提取
• 地震勘探——异常信号捕捉 • 数据压缩——选用高消失距的小波基 • 故障诊断——检测突变信号 • 医疗监护——检测异常生理信号
• 信号降噪——一维信号降噪
• 图像降噪——二维信号降噪
• 数据融合
13
小波应用 一维小波分解ca1,cd1
14
一维小波分解ca3,cd3,cd2,cd1
15
一维小波分解 S=a1+d1
16
一维小波分解 S=a3+d3+d2+d1
17
二维小波分解
18
二维小波分解与重建
19
基于小波的奇异性分析
8 小波分析方法
8.1 小波分析与傅里叶变换的比较 8.2 小波应用
《小波分析概述》课件
小波变换在信号处理中发挥了重要作用，能够有效地分析信号的局部特征，如突变和奇异点，为信号 处理提供了新的工具。
泛函分析
泛函分析是研究函数空间和算子的性 质及其应用的数学分支。
小波分析在泛函分析的框架下，将函 数空间表示为小波基的线性组合，从 而能够更好地研究函数空间的性质和 算子的行为。
03
小波变换的算法实现
《小波分析概述》ppt课件
目录
• 小波分析的基本概念 • 小波变换的数学基础 • 小波变换的算法实现 • 小波分析在图像处理中的应用 • 小波分析在信号处理中的应用 • 小波分析的未来发展与挑战
01
小波分析的基本概念
小波的定义与特性
小波的定义
小波是一种特殊的数学函数，具有局 部特性和可伸缩性，能够在时间和频 率两个维度上分析信号。
一维小波变换算法
一维连续小波变换算法
01
基于连续小波基函数的变换方法，通过伸缩和平移参数实现信
号的多尺度分析。
一维离散小波变换算法
02
将连续小波变换离散化，便于计算机实现，通过二进制伸缩和
平移实现信号的多尺度分析。
一维小波包变换算法
03
基于小波包的概念，对信号进行更精细的分解，提供更高的频
率分辨率和时间分辨率。
图像增强
图像平滑
小波分析能够去除图像中的噪声 ，实现平滑处理，提高图像的视 觉效果。
细节增强
通过调整小波变换的参数，可以 突出图像中的某些细节，增强图 像的对比度和清晰度。
边缘检测
小波变换能够快速准确地检测出 图像中的边缘信息，有助于后续 的图像分析和处理。
图像识别
特征提取
小波变换可以将图像分解成不同频率的子带，提取出与特定任务 相关的特征，为后续的图像识别提供依据。
泛函分析
泛函分析是研究函数空间和算子的性 质及其应用的数学分支。
小波分析在泛函分析的框架下，将函 数空间表示为小波基的线性组合，从 而能够更好地研究函数空间的性质和 算子的行为。
03
小波变换的算法实现
《小波分析概述》ppt课件
目录
• 小波分析的基本概念 • 小波变换的数学基础 • 小波变换的算法实现 • 小波分析在图像处理中的应用 • 小波分析在信号处理中的应用 • 小波分析的未来发展与挑战
01
小波分析的基本概念
小波的定义与特性
小波的定义
小波是一种特殊的数学函数，具有局 部特性和可伸缩性，能够在时间和频 率两个维度上分析信号。
一维小波变换算法
一维连续小波变换算法
01
基于连续小波基函数的变换方法，通过伸缩和平移参数实现信
号的多尺度分析。
一维离散小波变换算法
02
将连续小波变换离散化，便于计算机实现，通过二进制伸缩和
平移实现信号的多尺度分析。
一维小波包变换算法
03
基于小波包的概念，对信号进行更精细的分解，提供更高的频
率分辨率和时间分辨率。
图像增强
图像平滑
小波分析能够去除图像中的噪声 ，实现平滑处理，提高图像的视 觉效果。
细节增强
通过调整小波变换的参数，可以 突出图像中的某些细节，增强图 像的对比度和清晰度。
边缘检测
小波变换能够快速准确地检测出 图像中的边缘信息，有助于后续 的图像分析和处理。
图像识别
特征提取
小波变换可以将图像分解成不同频率的子带，提取出与特定任务 相关的特征，为后续的图像识别提供依据。
第1章(268)教材配套课件
第1章 小波分析基础
定理1 设Wn是由形如 kZ ak(2n x k)( ak R)的函数所组成
的线性空间，其中ak含有限个非0项，则Wn构成Vn在Vn+1中 的正交补，并且Vn1 Vn Wn 。
定理2 能量有限空间L2(R)可以分解为如下形式之和： L2 (R) V0 W0 W1
第1章 小波分析基础
定理3 设 {Vn;n Z} 为一个具有尺度函数的正交多分辨
分析，则下列尺度关系式成立：
( x) hk (2x k )
kZ
其中，hk
2
(x) (2x k)dx
，并且有 (2 j1 x l)
， hk2l (2 j x k )
~ˆ () ˆ *()
ˆ (2 j ) 2
j
由上式可以看出，稳定条件实际上是对上式分母的约束
条件，它的作用是保证对偶小波的傅里叶变换存在。
Wf (a, b)
第1章 小波分析基础
1.4 离散小波变换
在实际运用中，尤其是在计算机上实现时，连续小波
变换必须加以离散化。因此，有必要讨论连续小波 a,b (t)
是一个仅有4个非0系数的小波(俗称D4小波)，相关系数hk的值为
h0
1 4
3
，
h1
3
4
3
h2
3 4
3
，
h3
1
4
3
第1章 小波分析基础
而其他的系数为0，对应尺度函数的图形如图1.7和图 1.8所示。
j,k
(t)
a0
j
2
t
ka0 a0 j
第十一讲 小波分析基础
c j ,k (W f )( k 1 , ) 2j 2j
式中 c j ,k 为离散小波变换的结果，称为小波系数。
4.1 多分辨分析
若空间 L2 ( R) 中有一列子函数空间 V j 1. 2. 3. 4. 5.
jZ
满足如下条件：
单调性： V j 1 V j V j 1 , j Z ； 逼近性： V j 0, V L2 (R) ；
S ( , ) f (t ) g (t )e jt dt
R
g (t ) 是一个具有紧支集的函数，可以看出是一个窗函数
f (t )
是待分析信号函数
e jt 起着频限的作用
g (t )
起着时限的作用
1.3 短时傅里叶的特点
S (, ) ：大致上反映了信号f ( x) 在时刻 、频率为 的
频 率
时间
3.2 连续小波变换
ˆ ( ) ，当 ˆ ( ) 满足允 设 ( x) L2 (R) ，即满足 R ( x ) dx ，其傅里叶变换为
2
许条件（完全重构或恒等分辨条件）
ˆ ( ) C d R
称 ( x) 为一个小波或母小波，若采用以下定义式：
试求相应的正交小波函数
7 课后预习
小波评价指标 各种母小波特点及适用性 正交小波构造方法（了解） 小波变换的应用
8 课堂练习
求下列分段函数的哈尔变换，并进行复原
v(t)
2
1 0.25 0.5 0.75 t
-1
-2
1 f ( x) C
da (W f )(b, a) b,a ( x) a 2 db
式中 c j ,k 为离散小波变换的结果，称为小波系数。
4.1 多分辨分析
若空间 L2 ( R) 中有一列子函数空间 V j 1. 2. 3. 4. 5.
jZ
满足如下条件：
单调性： V j 1 V j V j 1 , j Z ； 逼近性： V j 0, V L2 (R) ；
S ( , ) f (t ) g (t )e jt dt
R
g (t ) 是一个具有紧支集的函数，可以看出是一个窗函数
f (t )
是待分析信号函数
e jt 起着频限的作用
g (t )
起着时限的作用
1.3 短时傅里叶的特点
S (, ) ：大致上反映了信号f ( x) 在时刻 、频率为 的
频 率
时间
3.2 连续小波变换
ˆ ( ) ，当 ˆ ( ) 满足允 设 ( x) L2 (R) ，即满足 R ( x ) dx ，其傅里叶变换为
2
许条件（完全重构或恒等分辨条件）
ˆ ( ) C d R
称 ( x) 为一个小波或母小波，若采用以下定义式：
试求相应的正交小波函数
7 课后预习
小波评价指标 各种母小波特点及适用性 正交小波构造方法（了解） 小波变换的应用
8 课堂练习
求下列分段函数的哈尔变换，并进行复原
v(t)
2
1 0.25 0.5 0.75 t
-1
-2
1 f ( x) C
da (W f )(b, a) b,a ( x) a 2 db
小波_基础知识
n 1
完全标准正交系、 Parseval 定理和付里叶展开之间 的本质联系。只要找到 一种正交系，则 空间的任意元素均可以 表示为一个付里叶级数 的形式： x(t ) x(t ), en (t ) en
n 1
框架及紧框架 Frame & Compact Frame
函数序列 k (t )是相关的，空间 中的元素也能够展开为 (t ) x(t ), k (t ) k (t ) X x
什么叫完全的标准正交系？
内积空间 中的标准正交系en }，x X , n Z , 若xen，必有x 0. X {
什么叫双正交基？
~ 基底{en }不一定满足正交关系， 但是满足 el (t ), ek (t ) (l k ) 正交性体现在展开系和 对偶系之间。
Hilbert空间
线性赋范空间
设X为一线性空间， x X , 存在非负实数 x 与之对应，满足 1. x 0,当且仅当x 0时， 0 2. R, x x 3.x, y X , x y x y x 距离定义为 ( x, y ) y x
Banach (巴拿赫)空间
1822年Fourier变换,在频域的定位最准确，无任 何时域定位能力。 函数，时域定位完全准确，频域无任何定位能 力 1946年Gabor变换，STFT，窗函数的大小和形状与 时间和频率无关而保持固定不变。不构成正交基。 1982年Burt提出金字塔式图像压缩编码，子带编 码(subband coding),多采样率滤波器组 (multirate sampling filter bank). 1910年Harr提出规范正交基。 1981年Stormberg对Harr系进行改进，证明了小波 函数的存在。 1984年,Morlet提出了连续小波
完全标准正交系、 Parseval 定理和付里叶展开之间 的本质联系。只要找到 一种正交系，则 空间的任意元素均可以 表示为一个付里叶级数 的形式： x(t ) x(t ), en (t ) en
n 1
框架及紧框架 Frame & Compact Frame
函数序列 k (t )是相关的，空间 中的元素也能够展开为 (t ) x(t ), k (t ) k (t ) X x
什么叫完全的标准正交系？
内积空间 中的标准正交系en }，x X , n Z , 若xen，必有x 0. X {
什么叫双正交基？
~ 基底{en }不一定满足正交关系， 但是满足 el (t ), ek (t ) (l k ) 正交性体现在展开系和 对偶系之间。
Hilbert空间
线性赋范空间
设X为一线性空间， x X , 存在非负实数 x 与之对应，满足 1. x 0,当且仅当x 0时， 0 2. R, x x 3.x, y X , x y x y x 距离定义为 ( x, y ) y x
Banach (巴拿赫)空间
1822年Fourier变换,在频域的定位最准确，无任 何时域定位能力。 函数，时域定位完全准确，频域无任何定位能 力 1946年Gabor变换，STFT，窗函数的大小和形状与 时间和频率无关而保持固定不变。不构成正交基。 1982年Burt提出金字塔式图像压缩编码，子带编 码(subband coding),多采样率滤波器组 (multirate sampling filter bank). 1910年Harr提出规范正交基。 1981年Stormberg对Harr系进行改进，证明了小波 函数的存在。 1984年,Morlet提出了连续小波