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定积分的发展史

起源

定积分的概念起源于求平面图形的面积和其他一些实际问题。定积分的思想在古代数学家的工作中，就已经有了萌芽。比如古希腊时期阿基米德在公

元前 240 年左右，就曾用求和的方法计算过抛物线弓形及其他图形的面积。

公元 263 年我国刘徽提出的割圆术，也是同一思想。在历史上，积分观念的

形成比微分要早。但是直到牛顿和莱布尼茨的工作出现之前（ 17 世纪下半叶），有关定积分的种种结果还是孤立零散的，比较完整的定积分理论还未能形成，

直到牛顿 -- 莱布尼茨公式建立以后，计算问题得以解决，定积分才迅速建立

发展起来。

未来的重大进展，在微积分才开始出现，直到16 世纪。此时的卡瓦列利与

他的indivisibles方法，并通过费尔马工作，开始卡瓦列利计算度N = 9×N的积分奠定现代微积分的基础，卡瓦列利的正交公式。17世纪初巴罗提

供的第一个证明微积分基本定理。

牛顿和莱布尼茨

在一体化的重大进展是在 17 世纪独立发现的牛顿 ?? 和莱布尼茨的微积分

基本定理。定理演示了一个整合和分化之间的连接。这方面，分化比较容易

地结合起来，可以利用来计算积分。特别是微积分基本定理，允许一个要解决

的问题更广泛的类。同等重要的是，牛顿和莱布尼茨开发全面的数学

框架。由于名称的微积分，它允许精确的分析在连续域的功能。这个框架最终成为现代微积分符号积分是直接从莱布尼茨的工作。

正式积分

定积分概念的理论基础是极限。

人类得到比较明晰的极限概念，花了大约 2000 年的时间。在牛顿和莱布尼茨的时代，极限概念仍不明确。因此牛顿和莱布尼茨建立的微积分的理论基础还不十分牢靠，有些概念还比较模糊，由此引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，并引发了“第二次数学危机”。经过十八、十九世纪

一大批数学家的努力，特别是柯西首先成功地建立了极限理论，魏尔斯特拉斯进一步给出了现在通用的极限的定义，极限概念才完全确立，微积分才有

了坚实的基础，也才有了我们今天在教材中所见到的微积分。现代教科书

中有关定积分的定义是由黎曼给出的。

术语和符号

艾萨克牛顿以上的变量使用一个小竖线表示一体化，或放置在一个盒子里的变量，竖线是很容易混淆。或牛顿用来指示分化和方块符号打印机难以重现，所以这些符号没有被广泛采用。

1675 年戈特弗里德莱布尼茨改编的积分符号，∫，从字母S（“总结”或“总”）。

∫符号表示的整合 ; A和 B 的下限和上限，分别一体化，定义域的融合 ;

f是积，x 在区间 [a ，b] 上的变化进行评估;

从历史上看，黎曼严格解释无穷小的早期努力失败后，正式定义为积分的加

权求和的限制，使有差别的限制（即间隔宽度）。黎曼的间隔和连续性的依赖的缺点促使了新的定义，尤其是勒贝格积分，这是建立能力，延长了“措施”，以更灵活的方式的想法。因此，符号

是指在分区函数值μ 测量的重量被分配到每个值，加

权总和。在这里，A表示一体化的地区。

定积分既是一个基本概念，又是一种基本思想。

定积分的思想即“化整为零→近似代替→积零为整→取极限”。定积分这种“和的极限”的思想，在高等数学、物理、工程技术、其他的知识领域以及

人们在生产实践活动中具有普遍的意义，很多问题的数学结构与定积分中求“和的极限”的数学结构是一样的，教材通过对曲边梯形的面积、变速直线

运动的路程等实际问题的研究，运用极限方法，分割整体、局部线性化、以

直代曲、化有限为无限、变连续为离散等过程，使定积分的概念逐步发展建

立起来。可以说，定积分最重要的功能是为我们研究某些问题提供一种思想

方法（或思维模式），即用无限的过程处理有限的问题，用离散的过程逼近

连续，以直代曲，局部线性化等。定积分的概念及微积分基本公式，不仅是

数学史上，而且是科学思想史上的重要创举。