新教材2020-2021学年5.2三角函数的概念 5.2.2同角三角函数的基本关系 课件
2020-2021学年数学新教材人教A版必修第一册：5.2.3 同角三角函数的基本关系(2)
为( C )
A．－
3 2
B．±
3 2
C．－
5 2
D．±
5 2
解析：∵A为三角形的一个内角，且sinAcosA＝－18，
∴A为钝角．∴cosA－sinA<0.
∴cosA－sinA＝－ cosA－sinA2
＝－ sin2A＋cos2A－2sinAcosA＝－
1＋14＝－
5 2.
8．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝
16 5
.
解析：tan2xsin2x＝tan2x(1－cos2x)＝tan2x－tan2xcos2x＝tan2x－ sin2x＝156.
11．若0<α<π2，则 α
果是 2cos2 .
1－2sinα2cosα2＋
1＋2sinα2cosα2的化简结
解析：由0<α<2π，得0<α2<4π，
所以0<sinα2<cosα2.
故原式＝ sinα2－cosα22＋ ＝cosα2－sinα2＋sinα2＋cosα2
sinα2＋cosα22
＝2cosα2.
三、解答题(共25分) 12．(12分)已知tanα＝3，求下列各式的值： (1)34ssiinnαα＋－5ccoossαα； (2)sin2α－4co2ss2inαα－co3ssαin－2αcos2α； (3)34sin2α＋12cos2α.
－
sinα＋cosα sin2α－cos2α
＝
sin2α sinα－cosα
－
cos2αsinα＋cosα sin2α－cos2α
＝
sin2α sinα－cosα
－
cos2α
sinαco－s2cαosα＝ssinin2αα－－ccoossα2α＝sinα＋cosα＝右边，∴原式成立．
2020-2021学年数学新教材人教A版必修第一册：5.2.2 同角三角函数的基本关系(1)
1 A.2
B．－12
C．2
D．－2
解析：由sin2x＋cos2x＝1得cos2x＝1－sin2x，得cos2x＝(1－ sinx)(1＋sinx)，得1＋cossixnx＝1－cossixnx，所以sicnoxs－x 1＝－1－cossixnx＝－ －12＝12.故选A.
6．若α为第三象限角，则 1c－ossαin2α＋ 12－sicnoαs2α的值为( B ) A．3 B．－3 C．1 D．－1
解析：∵α为第三象限角，∴cosα<0，sinα<0， ∴原式＝－ccoossαα－2ssiinnαα＝－3.
7．已知ssiinnθθ＋ －ccoossθθ＝2，则sinθcosθ的值是( C )
3 A.4
B．±130
3 C.10
D．－130
解析：由条件得sinθ＋cosθ＝2sinθ－2cosθ，即3cosθ＝sinθ， ∴tanθ＝3，∴sinθcosθ＝sins2inθθ＋cocsoθs2θ＝1＋tatnaθn2θ＝1＋3 32＝130.
13．(13分)证明下列三角恒等式：tatnanαα－sisniαnα＝tatnaαnα＋sisninαα.
sin2α 证明：左边＝csoinsααco－sαsinα＝sinα－sisni2nααcosα ＝sin1α－1c－osc2oαsα＝1＋sicnoαsα＝si1nα＋csoinsαα＝si1nα＋ta1nα ＝tatnaαnα＋sisninαα＝右边，所以原等式成立．
解析：原式＝cosα 1＋csoins22αα＋sinα 1＋csoins22αα ＝cosα co1s2α＋sinα sin12α＝cosα－c1osα＋sinαsi1nα＝0.
三、解答题(共25分)
2020-2021学年数学新教材人教A版必修第一册5.2三角函数的概念学案(2)含答案
【新教材】5.2.2 同角三角函数的基本关系（人教A 版）1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用．2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．1.数学抽象：理解同角三角函数基本关系式；2.逻辑推理： “sin α±cos α”同“sin αcos α”间的关系；3.数学运算：利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明. 重点：理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用；难点：会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．一、 预习导入阅读课本182-183页，填写。
1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝________.商数关系：sin αcos α＝________⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . (2)语言叙述：同一个角α 的正弦、余弦的 ________等于1，________等于角α的正切． 思考：“同角”一词的含义是什么？[提示] 一是“角相同”，如sin 2α＋cos 2β＝1就不一定成立．二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin 215°＋cos 215°＝1，sin 2π19＋cos 2π19＝1等． 1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”.）(1)对任意角α，sin 23α＋cos 23α＝1都成立．( )(2)对任意角α，sinα2cos α2＝tan α2都成立．( ) (3)若sin α＝12，则cos α＝32.( ) 2．化简1－sin 2π5的结果是( ) A ．cos π5 B ．－cos π5C ．sin π5D ．－sin π53．若sin α＝45，且α是第二象限角，则tan α的值等于( ) A ．－43 B ．34C ．±34D ．±434．已知tan α＝2，则cos α－5sin α3cos α＋sin α＝________. 题型一 应用同角三角函数关系求值例1(1)若3sin 5α=-，求cos α，tan α的值；(2)已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值． 跟踪训练一1．已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值．题型二 三角函数式的化简、求值例2(1)化简：1－2sin 130°cos 130°sin 130°＋1－sin 2130°； (2)若角α是第二象限角，化简：tan α1sin 2α－1. 跟踪训练二1．化简：(1)cos 36°－1－cos 236°1－2sin 36°cos 36°； (2)sin θ－cos θtan θ－1. 题型三 三角函数式的证明 例3 求证：cos 1sin .1sin cos x x x x +=-.跟踪训练三1．求证：1＋2sin x cos x cos 2x －sin 2x ＝1＋tan x 1－tan x. 题型四 “sin α±cos α”同“sin αcos α”间的关系例4 已知sin α＋cos α＝15，且0＜α＜π. 求：(1)sin αcos α的值；(2)求sin α－cos α的值．跟踪训练四1.已知sin α＋cos α＝713，α∈(0，π)，则tan α＝． 2.已知sin α＋cos αsin α－cos α＝2，计算下列各式的值： (1)3sin α－cos α2sin α＋3cos α； (2)sin 2α－2sin αcos α＋1.1．下列各式中成立的是( )A ．sin 2α＋cos 2β＝1B ．tan α＝sin αcos α(α任意)C ．cos 2α2＝1－sin 2α2D ．sin α＝1－cos 2α2．已知α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π2，cos α＝45，则tan α＝( ) A ．±34B ．34C ．－34D ．433．已知tan α＝－12，则2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是． 4．已知sin α＋cos α＝12，则sin αcos α＝________.5．已知tan α＝43，且α是第三象限的角，求sin α，cos α的值．6．(1)化简sin 2α－sin 4α，其中α是第二象限角；(2)求证：1＋tan 2α＝1cos 2α.答案小试牛刀1．（1）√（2）×（3）×.2．A3．A4.－95. 自主探究例1【答案】(1)当α是第三象限角时，cos α＝－45，tan α＝34. α是第四象限角时，cos α＝45，tan α＝-34 (2)如果α是第二象限角，那么sin α＝1517，tan α＝－158. 如果α是第三象限角， sin α＝－1517，tan α＝158. 【解析】(1)∵sin α＝－35，α是第三、第四象限角， 当α是第三象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－45，tan α＝sin αcos α＝34. α是第四象限角时，cos α＝1－sin 2α＝45，tan α＝sin αcos α＝-34 (2) ∵cos α＝－817＜0， ∴α是第二或第三象限的角．如果α是第二象限角，那么sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158. 如果α是第三象限角，同理可得sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158. 跟踪训练一1．【答案】角α的终边在第二象限时，cos α＝－1010，sin α＝31010； 当角α的终边在第四象限时，cos α＝1010，sin α＝－31010. 【解析】∵sin α＋3cos α＝0，∴sin α＝－3cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴(－3cos α)2＋cos 2α＝1，即10cos 2α＝1，∴cos α＝±1010. 又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号， ∴角α的终边在第二或第四象限． 当角α的终边在第二象限时，cos α＝－1010，sin α＝31010； 当角α的终边在第四象限时，cos α＝1010，sin α＝－31010. 例2【答案】（1）1； （2）-1.【解析】(1)原式＝sin 2130°－2sin 130°cos 130°＋cos 2130°sin 130°＋cos 2130°＝|sin 130°－cos 130°|sin 130°＋|cos 130°|＝sin 130°－cos 130°sin 130°－cos 130°＝1. (2)原式＝tan α1－sin 2αsin 2α＝tan αcos 2αsin 2α＝sin αcos α×|cos α||sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以原式＝sin αcos α×|cos α||sin α|＝sin αcos α×－cos αsin α＝－1. 跟踪训练二 1．【答案】(1)1；(2) cos θ.【解析】 (1)原式＝cos 36°－sin 236°sin 236°＋cos 236°－2sin 36°cos 36°＝cos 36°－sin 36°cos 36°－sin 36°2＝cos 36°－sin 36°|cos 36°－sin 36°|＝cos 36°－sin 36°cos 36°－sin 36°＝1. (2)原式＝sin θ－cos θsin θcos θ－1＝cos θsin θ－cos θsin θ－cos θ＝cos θ. 例3 【答案】见解析【解析】跟踪训练三1．【答案】见解析【解析】证明： 右边＝1＋sin x cos x 1－sin x cos x＝cos x ＋sin x cos x －sin x ＝cos x ＋sin x 2cos x －sin x cos x ＋sin x ＝1＋2sin x cos x cos 2x －sin 2x＝左边， ∴原等式成立．例4【答案】(1)－1225； (2)75.【解析】证明：(1)∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝125， ∴1＋2sin αcos α＝125，即sin αcos α＝－1225. (2)∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝4925. 又∵0＜α＜π，且sin αcos α＜0，∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0，∴sin α－cos α＝75. 跟踪训练四1、【答案】－125. 【解析】法一：(构建方程组)因为sin α＋cos α＝713，① 所以sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝49169， 即2sin αcos α＝－120169. 因为α∈(0，π)，所以sin α＞0，cos α＜0.所以sin α－cos α＝（sin α－cos α）2＝1－2sin αcos α＝1713.② 由①②解得sin α＝1213，cos α＝－513， 所以tan α＝sin αcos α＝－125. 法二：(弦化切)同法一求出sin αcos α＝－60169，sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝－60169，tan αtan 2α＋1＝－60169， 整理得60tan 2α＋169tan α＋60＝0，解得tan α＝－512或tan α＝－125. 由sin α＋cos α＝713＞0知|sin α|＞|cos α|，故tan α＝－125. 2.【答案】（1）89；(2)1310. 【解析】由sin α＋cos αsin α－cos α＝2， 化简得sin α＝3cos α，所以tan α＝3.（1）法一(换元)原式＝3×3cos α－cos α2×3cos α＋3cos α＝8cos α9cos α＝89. 法二(弦化切)原式＝3tan α－12tan α＋3＝3×3－12×3＋3＝89. (2)原式＝sin 2α－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋1 ＝tan 2α－2tan αtan 2α＋1＋1＝32－2×332＋1＋1＝1310. 当堂检测1-2． CA3．434．－385．【答案】sin α＝43，cos α＝－45.【解析】由tan α＝sin αcos α＝43得sin α＝43cos α.①又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1.∴cos 2α＝925.又∵α是第三象限的角，∴cos α＝－35.∴sin α＝43，cos α＝－45.6．【答案】见解析【解析】(1)因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以sin αcos α＜0， 所以sin 2α－sin 4α＝sin 2α（1－sin 2α） ＝sin 2αcos 2α＝－sin αcos α.sin2αcos2α＝cos2α＋sin2αcos2α＝1cos2α.(2)证明：1＋tan2α＝1＋。
5.2.2《同角三角函数的基本关系》教学设计
5.2.2同角三角函数的基本关系一、教材分析本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第五章《三角函数》的第二节《三角函数的概念》。
本节课是学生学习了任意角和弧度值,任意角的三角函数后,安排的一节继续深入学习的内容,是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具,是整个三角函数的基础,在教材中起着承上启下的作用。
同时,它体现的数学思想与方法在整个高中数学学习中都有着重要的作用。
二、教学目标1.理解并掌握同角三角函数基本关系式及推导，发展数学抽象和逻辑推理的素养。
2.会利用同角三角函数的基本关系式进行简单的求值，化简等有关问题,发展数学运算素养。
三、教学重难点重点：同角三角函数基本关系式的推导及应用。
难点：同角三角函数基本关系的灵活应用。
四、教学过程（一）课程导入引导语：同学们，三角学源于天文学，在研究天文学问题的过程中它得到了发展，常见的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等，摸清楚这些三角函数之间的关系是三角学的基本问题之一。
问题1：因为sinα,cosα,tanα的值都是由α确定的，所以sinα,cosα,tanα之间是否存在某种关系呢？追问：回到定义中，我们是如何定义三角函数的？问题2：如何建立sin α,cos α,tanα之间的关系式呢？（二）问题探究过P 点作x 轴的垂线，交x 轴于M，则△OMP 是直角三角形，①对于平方关系，若角α是象限角，Rt△OMP 是一直存在，sin 2+cos 2=1是成立的.若角α是轴线角，不妨设α的终边与y 轴非负半轴重合，此时有P(0，1)，sin 2+cos 2=1成立。
事实上，α的终边无论与哪条坐标轴重合，sin 2+cos 2=1都成立.综上:对于任意角α，平方关系sin 22②0，所以角α的终边不能落在y 立.cos （三）同角三角函数的基本关系式1、平方关系（1）公式：sin 2α+cos 2α=1，α∈R1.注意：sin 2α是sin 2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin 2α写成sin 2.前者是α的正弦的平方，后者是2的正弦.3、公式赏析①同角讨论：你是如何理解“同角”的？点拨：一是“相同角”，二是（在使函数有意义的前提下）“任意角，所以“同角”指的是“相同的任意角”.②基本讨论：为何将以上关系叫做“基本”关系？点拨：公式简洁、美观，适用范围广.③结构讨论：以上两个公式有何结构特征？点拨：平方关系中有平方+平方=1，左边有变量，右边是常数，动中有静，变化中有不变；商数关系中左边是切，右边是弦，左边是整式，右边是分式，而且是齐次分式。
2020_2021学年新教材高中数学第五章三角函数5.2三角函数的概念一课一练含解析第一册
第五章三角函数5.2三角函数的概念第1课时任意角的三角函数的定义考点1有关任意角的三角函数的定义的问题1。
(2019·河南商丘九校高一上期末联考)若角α的终边上一点的坐标为（1，—1），则cos α等于（ )。
A.1 B.—1 C .√22 D.-√22 答案：C解析:∵角α的终边上一点的坐标为(1,—1)，此点与原点的距离r =√12+(-1)2=√2,∴cos α=x r =√2=√22. 2。
(2019·青岛二中月考)已知角α的终边过点P （—4,3），则2sin α+tan α的值是（ ）。
A 。
—920B 。
920 C.—25 D.25答案:B解析：∵角α的终边经过点P （-4,3),∴r =|OP ｜=5。
∴sin α=35,cos α=—45，tan α=—34。
∴2sin α+tan α=2×35+(-34)=920。
故选B 。
3.(2019·陕西山阳中学高一上期末考试)点A （x ，y )是60°角的终边与单位圆的交点，则y x 的值为（ )。
A.√3 B.—√3 C.√33 D.—√33 答案:A解析：因为tan60°=√3,所以y x=√3,故选A 。
4。
（2019·山西太原外国语学校高一上第三次月考)若角α的终边过点P (2sin30°，—2cos30°)，则sin α的值为( ）。
A 。
12B 。
-12 C.-√32 D 。
-√33答案：C解析:由题意得P (1，-√3）,它与原点的距离r =√12+(-√3)2=2，所以sin α=—√32。
5。
（2019·新疆兵团二中高三上第二次月考）已知点M (13,a)在函数y =log 3x 的图像上，且角θ的终边所在的直线过点M ，则tan θ=( )。
A.—13 B 。
±13C 。
—3 D.±3答案:C解析：因为点M (13,a)在函数y =log 3x 的图像上，所以a =log 313=—1,即M (13,-1)，所以tan θ=-113=-3,故选C 。
高中数学第五章三角函数5-2三角函数的概念5-2-2同角三角函数的基本关系课件新人教A版必修第一册
题型 3 三角函数式的化简与证明
例3
(1)已知 α为第二象限角，化简
1−sin 1+sin
α α
+
1+sin 1−sin
αα.
解析：因为α为第二象限，所以cos α<0，
所以原式＝
1−sin α 2 ＋
1+sin α 1−sin α
1+sin α 2 1−sin α 1+sin α
＝1+cossinαα
5.2.2 同角三角函数的基本关系
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习
课程标准 (1)理解并掌握同角三角函数的基本关系．(2)会用同角三角函数的基 本关系进行三角函数式的求值、化简和证明．
教材要点 要点 同角三角函数的基本关系式
公式
平方 sin2α＋cos2α＝
关系 __1__❶
商数 关系
csoinsαα＝__t_a_n_α___❷
语言描述
同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1
同一个角α的正弦、余弦的商等于角 _α_的__正__切__
助学批注 批注❶ (1)公式中的角一定是同角 ，否则公式可能不成立．如 sin2230°＋cos2260°≠1. (2)同角不要拘泥于形式α，α2，6α等等都可以． 批注❷ 在运用商数关系时，要注意等式成立的限制条件，即cos α≠0. α≠kπ＋π2，k∈Z.
方法归纳
利用同角基本关系式求值的一般步骤
巩固训练1 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．
解析：由tan α＝csoins αα＝43， 得sin α＝43cos α， ① 又sin2α＋cos2α＝1， ② 由①②得196cos2α＋cos2α＝1，即cos2α＝295. 又α是第三象限角， ∴cosα＝－35，sin α＝43cos α＝－45.
数学 5.2.2 同角三角函数的基本关系-课件
课前篇
自主预习
一
二
二、同角三角函数基本关系式的变形
1.平方关系sin2α+cos2α=1的变形
(1)sin2α=1-cos2α;(2)cos2α=1-sin2α;(3)1=sin2α+cos2α;(4)(sin α+cos
α)2=1+2sin αcos α;(5)(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α.
是第三象限角时,sin α<0,tan α>0,∴sin α=4
,tan
5
sin
4
α=cos = 3.
1-cos 2 =-
3 2
1-(- ) =5
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
值求其余三角函数值的步骤
第一步:由已知三角函数的符号,确定其角终边所在的象限;
(2) 2
=
4sin -9cos2
(1)
;
;
(3)4sin2α-3sin αcos α-5cos2α=
.
分析:注意到所求式子都是关于sin α、cos α的分式齐次式(或可
化为分式齐次式),将其分子、分母同除以cos α的整数次幂,把所求
值的式子用tan α表示,将tan α=2整体代入求其值.
sin2 +cos2
5
=
答案:(1)-1 (2)7 (3)1
4tan2 -3tan-5 4×4-3×2-5
= 4+1 =1.故填 1.
tan2 +1
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
核心素养
2020-2021学年高中数学人教A版必修第一册：5-2-2 同角三角函数的基本关系
[解] (1)原式
＝
sin2130°－2sin130°cos130°＋cos2130° sin130°＋ cos2130°
＝|ssiinn113300°°＋－|ccooss113300°°||＝ssiinn113300°°－－ccooss113300°°＝1.
(2)原式＝sin2α·csoinsαα＋2sinαcosα＋cos2α·csoinsαα
[变式训练 2] 已知 tanα＝3，求下列各式的值： (1)ccoossαα－＋ssiinnαα＋ccoossαα＋－ssiinnαα； (2)sinα1cosα； (3)sin2α－2sinαcosα＋4cos2α.
解：(1)ccoossαα－＋ssiinnαα＋ccoossαα＋－ssiinnαα＝11－＋ttaannαα＋11－＋ttaannαα＝11－＋33＋
[变式训练 3] 化简下列各式： (1)12－sin22cαo－s21α； (2) sin2α－sin4α(其中 α 是第二象限角)．
解
：
(1)
2sin2α－1 1－2cos2α
＝
2ssiinn22αα＋－cossin2α2α－＋2ccoos2sα2α ＝
sin2α－cos2α sin2α－cos2α
第五章
三角函数
5.2 三角函数的概念
5.2.2 同角三角函数的基本关系
[目标] 1.记住并能推导同角三角函数基本关系式；2.能够利 用同角三角函数基本关系式进行求值、化简和证明．
[重点] 同角三角函数关系式的应用． [难点] 同角三角函数关系式的推导及应用．
要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题型 课时作业
D [答案] (2)见解析
[解析] (1)∵sin2α＋cos2α＝1，sinα＝－153， ∴cosα＝± 1－sin2α＝± 1－－1532＝±1123. 又∵α 是第四象限角，∴cosα>0，∴cosα＝1123， ∴tanα＝csoinsαα＝－152.
2021_2022学年新教材高中数学第5章三角函数5.2.2同角三角函数的基本关系巩固练习含解析新人
5.2.2同角三角函数的基本关系课后训练巩固提升1.已知sin θ=13,θ∈(π2,π),则tan θ=()A.-2B.-√2C.-√22D.-√24sin θ=13,θ∈(π2,π),∴cos θ=-√1-sin 2θ=-2√23.∴tan θ=sinθcosθ=13-2√23=-√24.2.已知sin α-cos α=-54,则sin αcos α等于()A.√74B.-916C.-932D.932,得(sin α-cos α)2=2516,即sin 2α+cos 2α-2sin αcos α=2516. 又sin 2α+cos 2α=1,∴1-2sin αcos α=2516.∴sin αcos α=-932.3.已知sinθ+cosθsinθ-2cosθ=12,则tan θ的值为()A.-4B.-14C.14D.4∵sinθ+cosθsinθ-2cosθ=12,∴tanθ+1tanθ-2=12,解得tan θ=-4.4.已知角θ是第三象限角,且sin 4θ+cos 4θ=59,则sin θcos θ的值为() A.√23B.-√23C.13D.-13sin 4θ+cos 4θ=59,得(sin 2θ+cos 2θ)2-2sin 2θcos 2θ=59. ∴sin 2θcos 2θ=29.∵θ是第三象限角,∴sin θ<0,cos θ<0.∴sin θcos θ=√23.5.若tan α+1tanα=3,则sin αcos α=.tan α+1tanα=3, ∴sinαcosα+cosαsinα=3,即sin 2α+cos 2αsinαcosα=3.∴sin αcos α=13.6.若角α为第三象限角,则√1-sin 2α√1-cos 2α的值为.为第三象限角,∴sin α<0,cos α<0.∴原式=cosα|cosα|+2sinα|sinα|=cosα-cosα+2sinα-sinα=-1-2=-3.37.已知cos α+2sin α=-√5,则tan α=.{cosα+2sinα=-√5,sin 2α+cos 2α=1,∴(√5sin α+2)2=0. ∴{sinα=-2√55,cosα=-√55. ∴tan α=2.8.已知cos α=-35,且tan α>0,则sinαcos 2α1-sinα=.cos α=-35<0,tan α>0, ∴α是第三象限角,且sin α=-45.∴原式=sinαcos 2α1-sinα=sinα(1-sin 2α)1-sinα=sin α(1+sin α)=(-45)×(1-45)=-425. -425 9.已知tan α=23,求下列各式的值: (1)cosα-sinαcosα+sinα+cosα+sinαcosα-sinα; (2)1sinαcosα;(3)sin 2α-2sin αcos α+4cos 2α. (1)cosα-sinαcosα+sinα+cosα+sinαcosα-sinα=1-tanα1+tanα+1+tanα1-tanα=1-231+23+1+231-23=265. (2)1sinαcosα=sin 2α+cos 2αsinαcosα=tan 2α+1tanα=136. (3)sin 2α-2sin αcos α+4cos 2α=sin 2α-2sinαcosα+4cos 2αsin 2α+cos 2α =tan 2α-2tanα+4tan 2α+1=49-43+449+1=2813. 10.求证:sinα1-cosα=1+cosαsinα.左边=sinα1-cosα=sinα(1+cosα)(1-cosα)(1+cosα) =sinα(1+cosα)1-cos 2α=sinα(1+cosα)sin 2α =1+cosαsinα=右边,∴原等式成立.1.已知角α的终边与单位圆的交点P (-12,m),则sin αtan α=()A.-√33B.±√33C.-32D.±32点P (-12,m)在单位圆上,∴m=±√32. ∴由三角函数的定义,得cos α=-12,sin α=±√32.∴sin αtan α=sin 2αcosα=34-12=-32.2.已知sin θ+3cos θ=0,则cos 2θ-sin 2θ=()A.45B.-45C.-35D.35sin θ+3cos θ=0,∴tan θ=-3,∴cos 2θ-sin 2θ=1-tan 2θ1+tan θ=1-(-3)21+(-3)=-45.3.已知角α是第三象限角,且sin α=-13,则3cos α+4tan α=() A.-√2B.√2C.-√3D.√3α是第三象限角,且sin α=-13,所以cos α=-2√23,tan α=2√2=√24. 所以3cos α+4tan α=-2√2+√2=-√2.4.已知sinθcosθ-sinθ=-34,则23sin 2θ-cos 2θ=() A.103B.-103C.1013D.-1013∵sinθcosθ-sinθ=-34,∴tan θ=-3.∴23sin 2θ-cos 2θ=2(sin 2θ+cos 2θ)3sin 2θ-cos 2θ=2(tan 2θ+1)3tan 2θ-1=2×[(-3)2+1]3×(-3)2-1=2026=1013.5.在△ABC 中,√2sin A=√3cosA ,则角A=.cos A>0,故A 为锐角.将√2sin A=√3cosA 两边平方,得2sin 2A=3cos A.故2cos 2A+3cos A-2=0,解得cos A=12或cos A=-2(舍去).故A=π3.6.已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合,顶点与坐标原点重合,终边经过点P (3,4),则sinα+2cosαsinα-cosα=.α的终边经过点P (3,4),利用三角函数的定义,可得tan α=43. 故sinα+2cosαsinα-cosα=tanα+2tanα-1=43+243-1=10313=10.7.已知θ∈(0,π),sin θ+cos θ=√3-12,求tan θ的值.sin θ+cos θ=√3-12的两边平方, 得1+2sin θcos θ=1-√32,即sin θcos θ=-√34.故sin θcos θ=sinθcosθsin 2θ+cos 2θ=tanθ1+tan 2θ=-√34,解得tan θ=-√3或tan θ=-√33.因为θ∈(0,π),0<sin θ+cos θ=√3-12<1, 所以θ∈(π2,π),且|sin θ|>|cos θ|.由|tan θ|>1.得tan θ=-√3.8.已知关于x 的方程2x 2-bx+14=0的两根为sin θ和cos θ,θ∈(π4,π2).(1)某某数b 的值;(2)求sinθ+cosθcosθ-sinθ的值.因为sin θ,cos θ为方程2x 2-bx+14=0的两根,所以Δ=b 2-2≥0,且{sinθ+cosθ=b2,①sinθcosθ=18.②将①式两边平方,②式代入整理,得b 24=1+14,解得b=±√5,此时Δ=5-2>0. 又sin θ+cos θ=b 2>0,所以b=√5.(2)由(1)得sin θ+cos θ=√52,θ∈(π4,π2),故sin θ>cos θ.又sin θcos θ=18,所以sin θ-cos θ=√1-2sinθcosθ=√32,所以sinθ+cosθcosθ-sinθ=-sinθ+cosθsinθ-cosθ=-√52×√3=-√153.。
新教材高中数学第五章三角函数的概念：同角三角函数的基本关系pptx课件新人教A版必修第一册
[典例 1] (1)若 sin α＝－45，且 α 是第三象限角，求 cos α，tan α 的值； (2)若 tan α＝－185，求 sin α 的值． [解] (1)∵sin α＝－45，α 是第三象限角， ∴cos α＝－ 1－sin2α＝－35， ∴tan α＝csions αα＝－45×－53＝43.
2．已知 α∈0，π2，sin α＝35，则 cos α＝
A．45
B．－45
C．－17
D．35
解析：因为 α∈0，π2，所以 cos α>0，所以 cos α＝ 1－sin2α＝
答案：A
() 1－352＝45.
3．化简 1－sin235π的结果是
A．cos35π
B．sin35π
C．－cos35π
＝ cos
cos 2x－sin 2x－sin 2xcos
2x2 2x＋sin
2x
＝cos cos
2x－sin 2x＋sin
22xx＝11－ ＋ttaann
2x＝右边， 2x
∴原等式成立．
[方法技巧] 1．三角函数式的化简技巧 (1)化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到 化繁为简的目的． (2)对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到 化简的目的． (3) 对 于 化 简 含 高 次 的 三 角 函 数 式 ， 往 往 借 助 于 因 式 分 解 ， 或 构 造 sin2α ＋ cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 2．证明三角恒等式常用的技巧及遵循的原则 (1)常用技巧：弦切互化、整体代换、1的代换等． (2)原则：由繁到简、变异为同．
()
α
(2)对任意角 α，csions2α2＝tan α2都成立．
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)
A．－4
B．－14
[基础自测]
1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)因为 sin294π＋cos2π4＝1，所以 sin2α＋cos2β＝1 成立，其中 α，β 为任意角．( × ) (2)对任意角 α，sin α＝cos α·tan α 都成立．( × ) (3)sin2θ2＋cos2θ2＝1.( √ ) (4)对任意的角 α，都有 tan α＝csoins αα成立．( × )
微点 3 与 sin θ±cos θ，sin θcos θ 有关的求值． 例 3 已知 θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝12，求： (1)sin θ·cos θ；(2)sin θ－cos θ.
解析：(1)∵sin θ＋cos θ＝12，∴(sin θ＋cos θ)2＝14，
即 1＋2sin θcos θ＝14，∴sin θ·cos θ＝－38.
(2)∵θ∈(0，π)，由(1)知 sin θcos θ＝－38， ∴sin θ>0，cos θ<0，即 sin θ－cos θ>0，
∴sin θ － cos θ ＝ sin θ－cos θ2 ＝ 1－2sin θcos θ ＝
1－2×－38＝
1＋34＝
7 2.
状元随笔 此类问题求值时，若涉及开方，要注意利用角的范围 确定三角函数值的符号．如该题易忽略角 θ 的取值范围得 sin θ－cos θ ＝± 27，实际上，结合 0<θ<π 这一条件，可以确定 sin θ－cos θ 的符号．
跟踪训练 1 (1)已知 sin θ＝13，θ∈π2，π，则 tan θ＝(
)
A．－2 B．－ 2
C．－
2 2
D．－
2 4
解析：(1)∵sin θ＝13，θ∈2π，π，
∴cos θ＝－ 1－sin2θ＝－232，
1
∴tan
θ＝csoins
θθ＝－233
＝－ 2
42.
答案：D
(2)已知ssiinnθθ－＋2ccoossθθ＝12，则 tan θ 的值为(
微点 2 利用弦化切求值
例 2 已知 tan α＝2，求下列各式的值．
2sin (1)4sin
α－3cos α－9cos
αα；(2)4sin2α－3sin
αcos
α＋1.
2sin 解析：(1)原式＝4csoisn
cos
αααα－－39＝42ttaann
αα－－93＝24× ×22－ －39＝－1.
题型一 利用同角三角函数的基本关系求值 ——微点探究 微点 1 已知角的某个三角函数值，求其余三角函数值 例 1 (1)已知 sin α＝－15，且 α 是第三象限角，求 cos α，tan α 的 值；
(2)已知 cos α＝－35，求 sin α，tan α 的值．
状元随笔 在使用开平方关系 sin α＝± 1 －cos2α和 cos α＝
D．－2 5 5
解析：∵α∈(π，32π)，∴sin α<0.由 tan α＝csoins αα＝21，
sin2α＋cos2α＝1，得
sin
α＝－
5 5.
答案：A
4．已知 tan α＝－12，则s2ins2inα－αccoossα2α的值是________.
解析：s2ins2inα－αccoossα2α＝ta2nt2aαn－α1＝2－×21－2－121＝43. 答案：34
化，利用csoins αα＝tan α 可以实现角 α 的弦切互化． (2)关系式的逆用及变形用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，
cos2α＝1－sin2α.
[教材答疑]
同角三角函数的基本关系 (1)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函 数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是 对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)，关系式都成立，与角 的表达形式无关，如：sin23α＋cos23α＝1. (2)sin2α 是(sin α)2 的简写，不能写成 sin α2. (3)在使用同角三角函数关系式时要注意使式子有意义，如：式子 tan 90°＝csoins 9900°°不成立．再如：sin2α＋cos2β＝1 就不一定恒成立．
2．若 α 为第二象限角，且 sin α＝23，则 cos α＝( )
A．－
5 3
B.13
C.
5 3
D．－13
解析：∵α 是第二象限角，∴cos α＝－
1－sin2α＝－
5 3.
答案：A
3．已知 tan α＝12，且 α∈π，32π，则 sin α 的值是(
)
A．－
5 5
5 B. 5
25 C. 5
± 1 －sin2α时，一定要注意正负号的选取，确定正负号的依据是角 α 所在的象限．
解析：(1)∵sin2α＋cos2α＝1，∴cos2α＝1－sin2α＝1－－152＝2245. 又∵α 是第三象限角，∴cos α<0，
即
cos
α＝－2
5
6，∴tan
α＝csoins
αα＝－15Βιβλιοθήκη －256＝6 12 .
(2)原式＝4sin2α－3sin αcos α＋1
＝4sins2iαn－2α＋3sicnosα2cαos α＋1
＝4tanta2nα2－α＋3t1an α＋1
＝4×44－ ＋31×2＋1＝3.
状元随笔 所求式子都是关于 sin α、cos α 的分式齐次式(或可化
为分式齐次式)，将其分子、分母同除以 cos α 的整数次幂，就是把所 求式子用 tan α 表示，再求式子的值．
5.2.2 同角三角函数的基本关系
最新课标 理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，csoins xx＝tan x.
[教材要点] 要点 同角三角函数的基本关系式
sin2α＋cos2α＝1
tan
α＝csoins
α α
状元随笔 (1)利用 sin2α＋cos2α＝1 可实现 α 的正弦、余弦的互
(2)∵cos α＝－35<0，∴α 是第二或第三象限角．
当 α 是第二象限角时，sin α>0，tan α<0，
∴sin α＝ 1－cos2α＝ 1－－532＝45，tan α＝csoins αα＝－43； 当 α 是第三象限角时，sin α<0，tan α>0，
∴sin α＝－ 1－cos2α＝－ 1－－352＝－45，tan α＝csoins αα＝43.