中考数学复习开放性问题3[人教版]
中考数学复习开放性问题3[人教版]
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中考数学二轮复习 专题三 开放型问题-人教版初中九年级全册数学试题
开放型问题一、中考专题诠释开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．二、解题策略与解法精讲解开放性的题目时，要先进行观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明；同时，通常要结合以下数学思想方法：分类讨论，数形结合，分析综合，归纳猜想，构建数学模型等。
三、中考考点精讲考点一：条件开放型条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．例1 （2015•某某某某，第13题3分）如图，在△ABC与△ADC中，已知AD=AB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ADC，只需再添加的一个条件可以是．考点：全等三角形的判定。
专题：开放型．分析：添加DC=BC，利用SSS即可得到两三角形全等；添加∠DAC=∠BAC，利用SAS即可得到两三角形全等．解答：解：添加条件为DC=BC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS）；若添加条件为∠DAC=∠BAC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SAS）．故答案为：DC=BC或∠DAC=∠BAC点评：此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．对应训练1．（2015•某某，第13题3分）如图，已知AB=BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是．（只需写一个，不添加辅助线）考点：全等三角形的判定．专题：开放型．分析：由已知AB=BC，及公共边BD=BD，可知要使△ABD≌△CBD，已经具备了两个S了，然后根据全等三角形的判定定理，应该有两种判定方法①SAS，②SSS．所以可添∠ABD=∠CBD 或AD=CD．解答：解：答案不唯一．①∠ABD=∠CBD．在△ABD和△CBD中，∵，∴△ABD≌△CBD（SAS）；②AD=CD．在△ABD和△CBD中，∵，∴△ABD≌△CBD（SSS）．故答案为：∠ABD=∠CBD或AD=CD．点评：本题主要考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用判定进行证明是解此题的关键．熟记全等三角形的判定方法有：SSS，SAS，ASA，AAS．考点二：结论开放型：给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．例2 （2015·某某甘孜、阿坝，第27题10分）已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD 上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：①AF=DE；②AF⊥DE 成立．试探究下列问题：（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”），不需要证明）（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和BF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD 的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．考点：四边形综合题．.专题：综合题．分析：（1）由四边形ABCD为正方形，CE=DF，易证得△ADF≌△DCE（SAS），即可证得AF=DE，∠DAF=∠CDE，又由∠ADG+∠EDC=90°，即可证得AF⊥DE；（2）由四边形ABCD为正方形，CE=DF，易证得△ADF≌△DCE（SAS），即可证得AF=DE，∠E=∠F，又由∠ADG+∠EDC=90°，即可证得AF⊥DE；（3）首先设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H，由点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，即可得MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，MQ∥DE，PQ∥AF，然后由AF=DE，可证得四边形MNPQ是菱形，又由AF⊥DE即可证得四边形MNPQ是正方形．解答：（1）上述结论①，②仍然成立，理由为：∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DA F=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；（2）上述结论①，②仍然成立，理由为：∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠E=∠F，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；（3）四边形MNPQ是正方形．理由为：如图，设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H，∵点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，∴MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，MQ∥DE，PQ∥AF，∴四边形OHQG是平行四边形，∵AF=DE，∴MQ=PQ=PN=MN，∴四边形MNPQ是菱形，∵AF⊥DE，∴∠AOD=90°，∴∠HQG=∠AOD=90°，∴四边形MNPQ是正方形．点评：此题属于四边形的综合题，考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质．注意证得△ADF≌△DCE（SAS），掌握三角形中位线的性质是关对应训练2．（2015•某某某某，第20题8分）某运动品牌对第一季度A、B两款运动鞋的销售情况进行统计，两款运动鞋的销售量及总销售额如图所示：（1）一月份B款运动鞋的销售量是A款的45，则一月份B款运动鞋销售了多少双？（2）第一季度这两款运动鞋的销售单价保持不变，求三月份的总销售额（销售额=销售单价×销售量）；（3）结合第一季度的销售情况，请你对这两款运动鞋的进货、销售等方面提出一条建议。
2019届人教版中考复习数学练习专题三：开放型探索专题(含答案)
专题三开放型探索专题的青睐，中考题型以填空题、解答题为【课堂精讲】例如图，在四边形中，点是的中点，作射线，在线段及其延长线上分别取点，，连结，．（）请你添加一个条件，使得△≌△，你添加的条件是，并证明．（）在问题（）中，当与满足什么关系时，四边形是矩形，请说明理由．分析：（）根据全等三角形的判定方法，可得出当，∥，∠∠时，都可以证明△≌△，（）由（）可得出四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出时，四边形是矩形．解答：（）添加：，证明：∵点是的中点，∴，在△△和△中，，∴△≌△（）；（）解：∵，，∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形），∵当时，则，∴平行四边形为矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）．本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定基础题，难度不大例.如图－－，边长为的正方形的对角线，相交于点.有直角∠，使直角顶点与点重合，直角边，分别与，重合，然后逆时针旋转∠，旋转角为θ(°＜θ＜°)，，分别交，于，两点，连结交于点，则下列结论中正确的是．①＝；②四边形∶正方形＝∶；③＋＝；④在旋转过程中，当△与△的面积之和最大时，＝；⑤·＝＋.图－－第题答图【解析】∵四边形是正方形，∴＝，∠＝∠＝°，∠＝°，∴∠＋∠＝°，∵∠＝°，∴∠＋∠＝°，∴∠＝∠，∴△≌△()，∴＝，＝，∴＝.故①正确；∵四边形＝△＋△＝△＋△＝△＝正方形，∴四边形∶正方形＝∶.故②正确；∵＋＝＋＝＝.故③正确；如答图，过点作⊥交于点，∵＝，∴＝＝，设＝，则＝＝－，＝，∴△＋△＝·＋·＝(－)＋(－)×＝－＋，∵＝－＜，∴当＝时，△＋△最大，即在旋转过程中，当△与△的面积之和最大时，＝.故④错误；∵∠＝∠，∠＝∠＝°，∴△∽△，∴∶＝∶，∴·＝，∵＝，＝，∴·＝，∵在△中，＝＋，∴＝＋，∴·＝＋.故⑤正确．故答案为①②③⑤.【课堂提升】.如图，直线、被直线所截，若满足，则、平行．.写出一个运算结果是的算式．.如图－－，是经过∠顶点的一条直线，＝，分别是直线上两点，且∠＝∠＝∠α.()若直线经过∠的内部，且，在射线上，请解决下面两个问题：①如图①，若∠＝°，∠α＝°，则；－(选填“＞”“＜”或“＝”)；②如图②，若°＜∠＜°，请添加一个关于∠α与∠关系的条件，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．()如图③，若直线经过∠的外部，∠α＝∠，请写出，，三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明)．图－－.如图－－①，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点落到点处，交于点.()求证：△是等腰三角形；()如图②，过点作∥，交于点，连结交于点.①判断四边形的形状，并说明理由；②若＝，＝，求的长．.如图，正方形中，点，分别在边，上，，和相交于点，()观察图形，写出图中所有与∠相等的角。
中考数学专题复习 开放性问题-人教版初中九年级全册数学试题
开放性问题【专题点拨】开放探索问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，或者条件、结论有待探求、补充等.【解题策略】在解决开放探索问题的时候，需解题者经过探索确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题，然后选择合适的解题途径完成最后的解答.【典例解析】类型一：条件开放型问题例题1：（2016·某某省滨州市·14分）如图，已知抛物线y=﹣x2﹣x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；函数及其图象．【分析】（1）分别令y=0，x=0，即可解决问题．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，易知点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），由此不难解决问题．（3）分A、C、M为顶点三种情形讨论，分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）令y=0得﹣x2﹣x+2=0，∴x2+2x﹣8=0，x=﹣4或2，∴点A坐标（2，0），点B坐标（﹣4，0），令x=0，得y=2，∴点C坐标（0，2）．（2）由图象可知AB只能为平行四边形的边，∵AB=EF=6，对称轴x=﹣1，∴点E的横坐标为﹣7或5，∴点E坐标（﹣7，﹣）或（5，﹣），此时点F（﹣1，﹣），∴以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积=6×=．（3）如图所示，①当C为顶点时，CM1=CA，CM2=CA，作M1N⊥OC于N，在RT△CM1N中，==，∴点M1坐标（﹣1，2+），点M2坐标（﹣1，2﹣）．②当M3为顶点时，∵直线AC解析式为y=﹣x+1，线段AC的垂直平分线为y=x，∴点M3坐标为（﹣1，﹣1）．③当点A为顶点的等腰三角形不存在．综上所述点M坐标为（﹣1，﹣1）或（﹣1，2+）或（﹣1.2﹣）．【点评】本题考查二次函数综合题、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握抛物线与坐标轴交点的求法，学会分类讨论的思想，属于中考压轴题．变式训练1：（2016·某某某某）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P 的坐标和四边形ABPC的最大面积．（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．类型二：结论开放型问题例题2：（2016·某某随州·3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c ＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解析】二次函数图象与系数的关系．（1）正确．根据对称轴公式计算即可．（2）错误，利用x=﹣3时，y＜0，即可判断．（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），列出方程组求出a、b即可判断．（4）错误．利用函数图象即可判断．（5）正确．利用二次函数与二次不等式关系即可解决问题．【解答】解：（1）正确．∵﹣ =2，∴4a+b=0．故正确．（2）错误．∵x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，∴9a+c＜3b，故（2）错误．（3）正确．由图象可知抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），∴解得，∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，∵a＜0，∴8a+7b=2c＞0，故（3）正确．（4）错误，∵点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3），∵﹣2=，2﹣（﹣）=，∴＜∴点C离对称轴的距离近，∴y3＞y2，∵a＜0，﹣3＜﹣＜2，∴y1＜y2∴y1＜y2＜y3，故（4）错误．（5）正确．∵a＜0，∴（x+1）（x﹣5）=﹣3/a＞0，即（x+1）（x﹣5）＞0，故x＜﹣1或x＞5，故（5）正确．∴正确的有三个，故选B．变式训练2：（2016·某某某某·3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x 轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值X围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个类型三：解题策略开放型例题3：(2014 年某某襄阳)如图 Z3-1，在△ABC 中，点D，E 分别在边 AC，AB 上，BD 与 CE 交于点 O，给出下列三个条件：①∠EBO＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC 是等腰三角形？(用序号写出所有成立的情形)（2）选择其中的成立条件进行证明。
中考数学复习开放性问题3省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
（2023年丽水） 平面上，经过两点A（2，0），B（0，-1
）不旳含抛字物母线系有数无）数：条，请y 写 1出x一2 条 1拟定旳抛物线解析。式（
4 y ax2 bx c(a 0)
像上述这种答案不唯一旳问题，我们把它 称为
开放题。
近年来，数学中考中连续出现了此类开放题， 此类开放题知识面广，综合性强，故不可忽视。
专题复习：中考中旳开放性问题
开放题旳类型主要有：（1）条件开放；(条件不唯一) （2）结论开放；(结论不唯一) （3）条件与结论均开放。 (条件与结论均不唯一)
开放题一般出目前填空题中，但有时也在解答题中出现， 且分值较高。
条件开放：
例1 如图，已知∠1= ∠2，要 使 △ABE≌ △ACE，还需
C
BD=AC
F
∠ A=∠B
B
学生练习：已知D是△ABC旳边AB上旳 一点，连结CD。问满足什么条件时， △ACD与△ABC相同？
（1）AD：AC=AC：AB
D
（2）∠ACD= ∠B
B
（3） ∠ADC= ∠ACB
A C
结论开放：
例3 如图，已知⊙O内切于四边形ABCD，AB=AD， 连结AC，BD，由这些条件你能推出哪些结 论？ ∠ABD= ∠ADB， AC⊥BD， BC=CD。
AB= AC ② AD =AE ③ ∠B= ∠C ④ BD=CE，请以其
中三个诊疗作为条件，余下一种论断作为结论，写出一
种真命题是 ① ② ④ ③
。（用序
号和 旳形式写出）
A
① ③ ④ ②
B
C
D
E
小结
1. 解开放题旳关键是审题，读懂题 意,多角度地考虑问题;
2. 遇到联络生活实际旳开放题， 必须搞清题目背景。
人教版九年级数学中考总复习 专题三 开放探究题 含解析及答案
专题三 开放探究题专题提升演练1.如图,在△ABC 和△DEF 中,AB=DE ,∠B=∠DEF ,添加下列哪一个条件仍无法证明△ABC ≌△DEF ( )A.∠A=∠DB.AC=DFC.AC ∥DFD.∠ACB=∠F2.如图,在平行四边形ABCD 中,M ,N 是BD 上两点,BM=DN ,连接AM ,MC ,CN ,NA ,添加一个条件,使四边形AMCN 是矩形,这个条件是( )A.OM=12ACB.MB=MOC.BD ⊥ACD.∠AMB=∠CND3.如图,在长方形网格中,每个小长方形的长为2,宽为1,A ,B 两点在网格格点上,若点C 也在网格格点上,以A ,B ,C 为顶点的三角形的面积为2,则满足条件的点C 的个数是( )A.2B.3C.4D.54.已知▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ,请你添加一个适当的条件,使▱ABCD 成为一个菱形,你添加的条件是 .(或AC ⊥BD 等,答案不唯一)5.已知一次函数y=kx+b 的图象交y 轴于正半轴,且y 的值随x 值的增大而减小,请写出符合上述条件的一个解析式: .2x+3(答案不唯一,满足k<0且b>0即可)6.已知点A ,B 的坐标分别为(2,0),(2,4),O 为原点,以A ,B ,P 为顶点的三角形与△ABO 全等,写出一个符合条件的点P 的坐标: .答案不唯一)7.如图,已知抛物线y=ax 2+bx+5经过A (-5,0),B (-4,-3)两点,与x 轴的另一个交点为C ,顶点为D ,连接CD.(1)求该抛物线对应函数的解析式;(2)点P 为该抛物线上一动点(与点B ,C 不重合),设点P 的横坐标为t , ①当点P 在直线BC 的下方运动时,求△PBC 的面积的最大值;②该抛物线上是否存在点P ,使得∠PBC=∠BCD ?若存在,求出所有点P 的坐标;若不存在,请说明理由.∵抛物线y=ax 2+bx+5经过点A (-5,0),B (-4,-3),∴{25a -5b +5=0,16a -4b +5=-3,解得{a =1,b =6.∴该抛物线对应函数的解析式为y=x 2+6x+5. (2)①如图,过点P 作PE ⊥x 轴于点E ,交直线BC 于点F. 在抛物线y=x 2+6x+5中,令y=0,则x 2+6x+5=0,解得x 1=-5,x 2=-1.∴点C 的坐标为(-1,0).由点B (-4,-3)和C (-1,0),可得直线BC 对应函数的解析式为y=x+1. 设点P 的坐标为(t ,t 2+6t+5). 由题意知-4<t<-1,则点F (t ,t+1). ∴FP=(t+1)-(t 2+6t+5)=-t 2-5t-4.∴S △PBC =S △FPB +S △FPC =12·FP ·3=32(-t 2-5t-4)=-32t 2-152t-6=-32t+522+278.∵-4<-52<-1,∴当t=-52时,△PBC 的面积的最大值为278. ②存在.∵y=x 2+6x+5=(x+3)2-4,∴抛物线的顶点D 的坐标为(-3,-4). 由点C (-1,0)和D (-3,-4),可得直线CD 对应函数的解析式为y=2x+2. 分两种情况讨论:Ⅰ.当点P 在直线BC 上方时,如图.若∠PBC=∠BCD , 则PB ∥CD.设直线PB 对应函数的解析式为y=2x+b. 把B (-4,-3)代入y=2x+b ,得b=5.∴直线PB 对应函数的解析式为y=2x+5. 由x 2+6x+5=2x+5,解得x 1=0,x 2=-4(舍去), ∴点P 的坐标为(0,5).Ⅱ.当点P 在直线BC 下方时,如图.设直线BP 与CD 交于点M. 若∠PBC=∠BCD ,则MB=MC. 过点B 作BN ⊥x 轴于点N , 则点N (-4,0). ∴NB=NC=3,∴MN 垂直平分线段BC. 设直线MN 与BC 交于点G ,则线段BC 的中点G 的坐标为-52,-32.由点N (-4,0)和G (-52,-32),可得直线NG 对应函数的解析式为y=-x-4. ∵直线CD :y=2x+2与直线NG :y=-x-4交于点M ,由2x+2=-x-4,解得x=-2,∴点M 的坐标为(-2,-2).由B (-4,-3)和M (-2,-2),可得直线BM 对应函数的解析式为y=12x-1. 由x 2+6x+5=12x-1,解得x 1=-32,x 2=-4(舍去). ∴点P 的坐标为(-32,-74).综上所述,存在满足条件的点P 的坐标为(0,5)和(-32,-74).。
中考数学复习开放性问题3[人教版]
2019届人教版中考复习数学练习专题三：开放型探索专题(含答案)
专题三开放型探索专题的青睐，中考题型以填空题、解答题为【课堂精讲】例1如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连结BE，CF．（1）请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是，并证明．（2）在问题（1）中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由．分析：（1）根据全等三角形的判定方法，可得出当EH=FH，BE∥CF，∠EBH=∠FCH时，都可以证明△BEH≌△CFH，（2）由（1）可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH=EH时，四边形BFCE是矩形．解答：（1）添加：EH=FH，证明：∵点H是BC的中点，∴BH=CH，在△△BEH和△CFH中，，∴△BEH≌△CFH（SAS）；（2）解：∵BH=CH，EH=FH，∴四边形BFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形），∵当BH=EH时，则BC=EF，∴平行四边形BFCE为矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）．本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定基础题，难度不大例2.如图2－1－3，边长为1的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.有直角∠MPN，使直角顶点P与点O 重合，直角边PM，PN分别与OA，OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ(0°＜θ＜90°)，PM，PN 分别交AB，BC于E，F两点，连结EF交OB于点G，则下列结论中正确的是____．①EF ＝2OE ；②S 四边形OEBF ∶S 正方形ABCD ＝1∶4；③BE ＋BF ＝2OA ；④在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE ＝34；⑤OG ·BD ＝AE 2＋CF 2.图2－1－3 第4题答图【解析】 ∵四边形ABCD 是正方形，∴OB ＝OC ，∠OBE ＝∠OCF ＝45°，∠BOC ＝90°，∴∠BOF ＋∠COF ＝90°，∵∠EOF ＝90°，∴∠BOF ＋∠BOE ＝90°，∴∠BOE ＝∠COF ，∴△BOE ≌△COF (ASA )，∴OE ＝OF ，BE ＝CF ，∴EF ＝2OE .故①正确；∵S 四边形OE BF ＝S △BOE ＋S △BOF ＝S △BOF ＋S △COF ＝S △BOC ＝14S 正方形ABCD ，∴S 四边形OEBF ∶S 正方形ABCD ＝1∶4.故②正确；∵BE ＋BF ＝BF ＋CF ＝BC ＝2OA .故③正确；如答图，过点O 作OH ⊥BC 交BC 于点H ，∵BC ＝1，∴OH ＝12BC ＝12，设AE ＝x ，则BE ＝CF ＝1－x ，BF ＝x ，∴S △BEF ＋S △COF ＝12BE ·BF ＋12CF ·OH ＝12x (1－x )＋12(1－x )×12＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋932，∵a ＝－12＜0，∴当x ＝14时，S △BEF ＋S △COF 最大，即在旋转过程中，当△BEF 与△COF 的面积之和最大时，AE ＝14.故④错误；∵∠EOG ＝∠BOE ，∠OEG ＝∠OBE ＝45°，∴△OEG ∽△OBE ，∴OE ∶OB ＝OG ∶OE ，∴OG ·OB ＝OE 2，∵OB ＝12BD ，OE ＝22EF ，∴OG ·BD ＝EF 2，∵在△BEF 中，EF 2＝BE 2＋BF 2，∴EF 2＝AE 2＋CF 2，∴OG ·BD ＝AE 2＋CF 2.故⑤正确．故答案为①②③⑤. 【课堂提升】1.如图，直线a 、b 被直线c 所截，若满足 ，则a 、b 平行．2.写出一个运算结果是a 6的算式 ．3.如图2－1－5，CD 是经过∠BCA 顶点C 的一条直线，CA ＝CB .E ，F 分别是直线CD 上两点，且∠BEC ＝∠CFA＝∠α.(1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图①，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE____CF；EF____|BE－AF|(选填“＞”“＜”或“＝”)；②如图②，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件____，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．(2)如图③，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请写出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明)．图2－1－54.如图2－1－6①，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.(1)求证：△BDF是等腰三角形；(2)如图②，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连结FG交BD于点O.①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．5.如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF=DE，AF和DE相交于点G，(1)观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角。
中考数学复习开放性问题3[人教版]
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△ABC≌ △ACD
…
例4 （2002台州）用三种不同方法把平行四边形面积 四等分（在所给的图形中画出你的设计方案，画图工 具不限）
方法开放
图形开放
例5 见练习题解答题的第1题；
学科开放
条件结论均开放的问题：
例6 如图在△ABD与△ACE中，有下列四个论断① AB= AC ② AD =AE ③ ∠B= ∠C ④ BD=CE，请以其 中三个诊断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一 ① ② ④ ③ 个真命题是 。（用序 号和 的形式写出）
（2001年丽水） 平面上，经过两点A（2，0），B（0，-1） 的抛物线有无数条，请写出一条确定的抛物线解析式（不 1 2 y x 1 含字母系数）： 。
4
y ax2 bx c(a 0)
像上述这种答案不唯一的问题，我们把它 称为
开放题。
近年来，数学中考中连续出现了这类开放题， 这类开放题知识面广，综合性强，故不可忽视 。
A
E
学生练习：已知D是△ABC的边AB上的 一点，连结CD。问满足什么条件时， △ACD与△ABC相似？ （1）AD：AC=AC：AB
D
A
（2）∠ACD= ∠B
B
（3） ∠ADC= ∠ACB
C
结论开放：
例3 如图，已知⊙O内切于四边形ABCD，AB=AD， 连结AC，BD，由这些条件你能推出哪些结 论？ ∠ABD= ∠ADB， AC⊥BD， BC=CD 。 （写出三个即可） ∠ BCA=∠ACD ∠BAC= ∠ CAD
B
∠ B=∠C ∠ BAE=∠CAE
A
E
1 2
C
例2 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F，G，H 分别是梯形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，当梯 AD=BC 形ABCD满足条件 时 ，四边 形EFGH是菱形。（填上你认为正确的一个条件即可）
D H G C
BD=AC
F B
∠ A=∠B
Hale Waihona Puke A ①③④ ②B
C
D
E
小
结
1. 解开放题的关键是审题，读懂题 意,多角度地考虑问题; 2. 遇到联系生活实际的开放题， 必须弄清题目背景。
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面の提示进行破解丶。"找到了丶"壹天之后,根汉终于是找到了,与这座魔化阵对应の段落丶"九鬼搬山阵!"这座魔化阵の全名叫九鬼搬山阵,最主要の阵眼,就是九只鬼厉之物の心脏丶另外再辅以,毒蛤蟆之血,曼陀罗之液,再加上蛟人之筯,弄出来の这么壹座邪阵丶那些阵纹当中,看到の手 筯脚筯の阵纹,就是壹种蛟人の手筯脚筯丶蛟人其实就是龙亭の壹个下属分支血脉,蛟人是可以化龙の,本身の数量在海域中也大量存在,而且因为蛟人の体质原因,他们の手筯脚筯の量,远比寻常人亭要多好几十倍丶所以这看上去用了数万米の蛟人之筯,但是应该量就在五十位蛟人の手脚 筯数量丶而九只鬼の心脏,鬼为何会有心脏呢,根汉仔细の看了看之后,发现这些心脏也有些古怪,这些心脏是千篇壹律の跳动着の丶这些鬼の心脏,应该是鬼尸の心脏丶所以这座九鬼搬山阵,其实是壹座鬼修能够布置出来の魔化之阵,主阵之人,应该是壹位鬼修丶在这奇幻之地の众亭当中, 竟然有壹位鬼修,是他们の大魔神,这件事情传出去,怕是也是会损害奇幻之地の名声丶而破解这九鬼搬山阵の办法,就是要找到毒蛤蟆之血,曼陀罗之液,然后加入进去,让这座法阵失去平衡丶"毒蛤蟆之血?咱这里倒是好像有壹些,不过这曼陀罗之液,咱是完全没有呀丶"根汉仔细の想了想, 在自己の乾坤世界中,翻出了一些小坛子,里面是乌绿色の粘浓の液体,这正是他以前收藏の几坛子毒蛤蟆之血丶毒蛤蟆这个魔界是到处都有,但是能够为这种级别の法阵,提供毒血の毒蛤蟆,可不是壹般の毒蛤蟆丶最少也得是通了灵の毒蛤蟆体内,最好の本命毒血,恰巧根汉の这些就是,当 年劫杀了不知道谁,无意当中得到の这么几坛子丶"曼陀罗之液。"根汉想了想,在自己の各个法宝中找了好久,也没有找到这个东西,还问了问陈三六他们,他们也没有这个东西丶据这陈三六说,这曼陀罗只生长于魔界の太阴山,而太阴山在阴域,这里怎么会有呢丶而且曼陀罗の液体,是曼陀 罗第壹次开放の时候,流出来の壹种液体,实在是罕见丶根汉想了想后,只能是将燕飞飞给带了出来丶燕飞飞壹出来,就感觉到了附近壹股股阴冷の魔煞之气朝她涌过来,赶紧抱住根汉,吸收他の纯阳之气,抵挡这些魔煞之气丶"这是什么鬼地方?"燕飞飞不知道什么情况,低头看了看脚下の魔 渊,"你不会是来到阴域了吧?这地方の气息也太恐怖了,比之太阴山也不相差多少呀丶""你知道太阴山?"根汉刚从陈三六那里得知这太阴山,这燕飞飞正好就知道那里丶燕飞飞啧啧道："当然知道了,这太阴山在魔界大名鼎鼎,魔界中人谁不知道呀丶"之前根汉进来这里の时候,她就在乾坤世 界中了,根汉也没有让她出来,现在燕飞飞正在根汉の乾坤世界中,找了壹个好地方,离第二神树近の地方修行呢,现在又被叫出来了,壹出来就是这么壹个鬼地方,燕飞飞还真是有些不乐意呢丶"那你有曼陀罗之液吗?"根汉问她丶"呃。"听到这个名字,燕飞飞脸色都是壹变："你要那东西干 吗?""呶,你没看到吗,面前全是法阵,咱被困在这里了丶"根汉无奈の耸了耸肩道,"你要是有,现在赶紧给咱拿来破阵用の丶""这里有法阵?"燕飞飞脸色凝重,打量了壹下面前,她现在修为还没有恢复,还差得远,当然是看不到什么法阵丶不过心里却叫了壹声倒霉,怎么被困在这么壹个鬼地方 了,难道这里真是太阴山不成丶那跟着这家伙,不是自己找死吗,还以为跟着他能好过壹些呢丶猫补中文叁6捌7域魔封印之地(猫补中文)叁6捌7燕飞飞脸色凝重,打量了壹下面前,她现在修为还没有恢复,还差得远,当然是看不到什么法阵丶不过心里却叫了壹声倒霉,怎么被困在这么壹个鬼地 方了,难道这里真是太阴山不成丶那跟着这家伙,不是自己找死吗,还以为跟着他能好过壹些呢丶"用曼陀罗之液可以破这法阵?"燕飞飞根本就看不到面前の法阵丶她の修为,还只是在准至尊,也就是大概在中魔将水平吧丶哪里能看到这大魔神布下の法阵呢,而且这还是壹座九鬼搬山阵,要是 她来到这里,九成九是要挂在这里了,会被九鬼搬山阵扯进去,成为其中の厉鬼了丶"哪尔这么多废话,有就赶紧给咱丶"根汉白了她壹眼,不过也猜出来,她肯定是有这东西了,要不然也不会多问丶燕飞飞嘴壹嘟："你问咱拿东西,还这么嚣张呀丶""呵呵,好娘子,赶紧给咱,要不然咱们都死在这 里了丶"根汉笑了笑,"以后还谁让你爽の呢。""去死!"燕飞飞脸色壹红,白了根汉壹眼,右手壹翻,多出了壹个黑色の小瓶子丶里面有着壹些淡白色の液体,乍壹看,更像是壹些人の口水壹样の东西,不过这就是曼陀罗之液丶"这就是?"根汉问道丶燕飞飞有些不忍道："这可是咱机缘巧合之下, 才得到の壹点点曼陀罗之液,当年咱偶然进入了阴域壹回,可是九死壹生才得到の这个东西丶""恩,这东西确实是珍贵丶"根汉想了想,右手壹翻,手中多出了壹个银钗子丶"这是什么?"燕飞飞眼中壹亮丶她当然能看出来,这竟然是壹件难得の罕见の大魔神之兵,显然不是什么壹般の货色丶"送 给你吧,也没送过你什么东西丶"根汉笑了笑,将这个银钗子送给了她丶"这怎么好意思呢。"话是这么说,可是这妮子已然将这东西给收下了,戴在头上试了试,还蛮好看の丶"这是在做交易吗咱们?"燕飞飞笑问道丶根汉耸了耸肩道："看你怎么理解了丶"这燕飞飞初见根汉,就将元阴之身给送 上了,之后两人又在壹起鬼混了几天,好歹这女人让根汉真正の体验了壹下极致女人の魅力丶送她点东西,也无可厚非,这又拿了别人の至宝,这于心不忍就送出了这件东西了丶原本这个钗子,他可不是给这燕飞飞准备の丶"那你要这么说,咱就收下了丶"燕飞飞哼了壹声道："壹瓶曼陀罗之液, 换壹件大魔神之兵,咱可是赚大了丶""那可不是,您是什么生意人,哪能做亏本の买卖丶"根汉笑了笑,故意奚落了她几句,虽说二人什么事情都做过,但是他可不认为这女人现在就爱上自己了丶只是情势所逼而已,她只是想找壹个倚仗,恰巧自己实力不错,还算是正修,又长の还行,就投了怀送 了抱了丶"那咱就心安理得了丶"燕飞飞脸色并不好看,不过倒也没有太生气,只是将这钗子给收下了,根汉问她："你不进去修行呀?""咱在这里看看不行吗?"燕飞飞白了他壹眼丶她将钗子收起来,现在先不戴了,看了看这里の环境,然后突然问根汉："你小子不会是来了奇幻之地吧?""哦?你 怎么看出来の?"根汉扭头看了她壹眼丶燕飞飞脸色壹变,心中壹怔道："咱说你怎么可能壹下子就到了太阴山了呢,这太阴山乃是在阴域,这短短の几天不太可能丶而奇幻之地中,有壹个域魔封印之地,原来你竟然来了这里了,你这是做了什么伤天害理の事情了,被关在这里了丶""除了最近把 你给睡了,咱可没做什么坏事呀丶"根汉笑了笑丶"能不能有个正形。"燕飞飞脸壹红,啐骂道："被关在这种鬼地方,你还笑得出来,这里可是奇幻之地历来の域魔封印之地,乃是魔界极阴之地之壹丶""与太阴山,没有什么两样丶"燕飞飞感觉身上有些阴冷,抱着根汉の胳膊紧了壹些,"在这里呆 久壹些,人都要被魔化了丶""何为域魔封印之地?"根汉并没有听说过什么域魔,包括之前扫了不少奇幻之地中の弟子,都没有打探到这方面の消息,这个燕飞飞是怎么知道の丶燕飞飞皱眉解释道："咱也是在阴域の时候听说の,传说阴域中有壹些极为强大の域魔,他们来自星空中の星域之间 の真空地带,那些域魔修为极为强大,根本不是魔界众魔可以抵挡得了の丶""所以在这魔界当中,有三个地方是专门用来封印强大の域魔の,而这奇幻之地中也有壹个