2020年高考数学大二轮复习专题三三角函数及解三角形第1讲三角函数的图像与性质练习理

第二篇专题三第1讲 三角函数的图像与性质[限时训练·素能提升] (限时45分钟，满分74分)一、选择题(本题共7小题，每小题5分，共35分)1．(2018·青岛模拟)三角形ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为(sin A －cos B ，cos A －sin C )，则sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值是A ．1B ．－1C ．3D ．4解析 因为三角形ABC 是锐角三角形，所以A ＋B >90°，即A >90°－B ，则sin A >sin(90°－B )＝cos B ，sin A －cos B >0，同理，cos A －sin C <0，所以点P 在第四象限，sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|＝－1＋1－1＝－1.答案 B2．(2018·西安八校联考)将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图像向左平移π6个单位后的图像关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为A.32 B.12 C ．－12 D ．－32解析 依题意得，函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ是奇函数，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝0，又|φ|<π2，因此π3＋φ＝0，φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－32，选D. 答案 D3．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ－π6(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数y ＝f (x )图像的两相邻对称轴间的距离为π2.若将函数y ＝f (x )的图像向右平移π6个单位后，再将得到的图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图像，则g (x )在下列区间上是减函数的是A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，2π3 B ．[0，π]C ．[2π，3π] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π解析 应先求f (x )解析式，ω＝2，φ＝23π，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x .将f (x )的图像向右平移π6个单位后，得到f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图像，再将所得图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6的图像，所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4－π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3. 令2k π≤x 2－π3≤2k π＋π(k ∈Z)，可得4k π＋2π3≤x ≤4k π＋8π3(k ∈Z)．故函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k π＋2π3，4k π＋8π3(k ∈Z)上是减函数，结合选项即得选D.答案 D4．(2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是 A.π4 B.π2 C.3π4D ．π 解析 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，且函数y ＝cos x 在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x ＋π4≤π，得－π4≤x ≤3π4.因为f (x )在[－a ，a ]上是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥－π4，a ≤3π4，解得a ≤π4，所以0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4，故选A. 答案 A5．(2018·湖南湘中名校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋12，ω>0，x ∈R ，且f (α)＝－12，f (β)＝12.若|α－β|的最小值为3π4，则函数的单调递增区间为A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π＋2k π，k ∈ZB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋2k π，5π2＋2k π，k ∈ZD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋3k π，5π2＋3k π，k ∈Z解析 由f (α)＝－12，f (β)＝12，|α－β|的最小值为3π4，知T 4＝3π4，即T ＝3π＝2πω，所以ω＝23，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π6＋12，所以－π2＋2k π≤23x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z)，即－π2＋3k π≤x ≤π＋3k π(k ∈Z)，故选B. 答案 B6．(2018·新乡二模)若仅存在一个实数t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使得曲线C ：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)关于直线x ＝t 对称，则ω的取值范围是A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，73B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，103C.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，73D.⎝ ⎛⎦⎥⎤43，103解析 解法一 ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴ωx －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，ωπ2－π6， ∴π2<ωπ2－π6≤3π2，∴43<ω≤103，选D. 解法二 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6对称轴ωx －π6＝π2＋k π(k ∈Z)，∴x ＝23π＋k πω.∵对称轴t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.当k ＝0时，23π＋k πω<π2，解得ω>43.当k ＝1时，23π＋k πω≥π2，ω≤103，∴43<ω≤103. 答案 D7．(2017·天津)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24解析 ∵f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，∴f (x )的最小正周期为4⎝⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π，∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ.∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z.又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.答案 A二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)8．函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)的部分图像如图所示，则f (2 019)的值为________．解析 由题设所给的图像可得：A ＝2，T ＝2×(6－2)＝8，于是8＝2πω，故ω＝π4.于是f (x )＝2sin πx 4.又f (x )的周期为8，∴f (2 019)＝f (252×8＋3)＝f (3)＝2sin 3π4＝ 2.答案29．(2018·贵阳模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，如果x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，且x 1≠x 2时，f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________．解析 由2x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，可得x ＝k π2＋5π12，k ∈Z ，因为x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，所以令k ＝0，得其在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3里的对称轴为x ＝5π12，所以x 1＋x 2＝2×5π12＝5π6，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π6－π3＝sin 4π3＝－32.答案 －3210．(2018·北京)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)．若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________．解析 由于对任意的实数都有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z)，∴ω＝8k ＋23(k ∈Z)．又ω>0，∴ωmin ＝23.答案 23三、解答题(本大题共2小题，每小题12分，共24分)11．(2018·合肥质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数y ＝f (x )图像的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．解析 (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π，∴ω＝2.于是，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z)，即函数f (x )图像的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z)． (2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z)．注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8；同理，其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.12．(2018·北京)已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值．解析 (1)f (x )＝12－12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12.所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12. 由题意知－π3≤x ≤m .所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6.要使得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32， 即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为1. 所以2m －π6≥π2，即m ≥π3.所以m 的最小值为π3.。