北京市2021年第一次合格性考试数学模拟试题及答案
北京市第一次普通高中2020-2021学年高二学业水平考试合格性考试数学试题
（2）求函数 在区间 上的最大值.”
该同学解答过程如下：
解答：（1）因为 ，
所以
.
所以 .
所以函数 的最小正周期是 .
（2）因为 ，
所以 .
所以当 时，函数 的最大值是1.
所以当 时，函数 的最大值是2.
写出该同学在解答过程中用到了下表中的哪些数学知识.(写出5个即可)
任意角的概念
27． 年以前，北京市先后组织实施了多个阶段的大气污染防治行动，针对燃煤､工业､扬尘排放和机动车排放等采取了数百项治理措施.2008年北京市首次探索区域联防联控，取得了良好效果.2013年北京市制定实施以防治细颗粒物为重点的《2013-2017年清洁空气行动计划》，治理成效显著.
上图是2000年至2018年可吸入颗粒物､细颗粒物､二氧化氮､二氧化硫等主要污染物年日均值的折线图.根据图中信息，下列结论中正确的是（）
A．6B．7C．8D．10
11．在庆祝中华人民共和国成立 周年之际，某学校为了解《我和我的祖国》､《我爱你，中国》､《今天是你的生日》等经典爱国歌曲的普及程度，在学生中开展问卷调查.该校共有高中学生 人，其中高一年级学生 人，高二年级学生 人，高三年级学生 人.现采用分层抽样的方法从高中学生中抽取一个容量为 的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为（）
（1）某单级火箭自身的质量为50吨，发动机的喷射速度为3千米/秒.当它装载100吨燃料时，求该单级火箭的最大速度；(精确到0.1)
（2）根据现在的科学技术水平，通常单级火箭装载的燃料质量与它自身质量的比值不超过9.如果某单级火箭的发动机的喷射速度为2千米/秒，判断该单级火箭的最大速度能否超过7.9千米/秒，请说明理由.(参考数据：无理数 ， )
2021年北京市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷03(解析版)
【答案】C
【解析】要使函数有意义，则 ，
即 ，即x≥﹣2且x≠1，
即函数的定义域为[﹣2，1）∪（1，+∞），
故选C．
3. 的值等于( )
A. 0B. C. D.－
【答案】B
【解析】原式 ．
故选：B.
4.已知 ， ，向量 与 平行，则实数k的值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 ，即 ，
C. D.
【答案】A
【解析】 与 轴夹角为 与 轴夹角为
又
故选：
12.已知直线l过点（1，2），且在横坐标与纵坐标上的截距的绝对值相等பைடு நூலகம்直线方程不可以是下列（）选项.
A. 2x-y=0B.x+y=3C.x-2y=0D.x-y+1=0
【答案】C
【解析】解：由题意设所求直线的横截距为 ，
（1）当 时，由题意可设直线的方程为 ，将 代入可得 ，
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，得 ，所以 .
故选C
22.已知直线l，m与平面α，β，l⊂α，m⊂β，则下列命题中正确的是（）
A.若l∥m，则必有α∥βB.若l⊥m，则必有α⊥β
C.若l⊥β，则必有α⊥βD.若α⊥β，则必有m⊥α
【答案】C
【解析】解：对于选项A，平面α和平面β还有可能相交，所以选项A错误；
圆方程为 .
故选： .
8.下列关于棱柱的说法中，错误的是（）
A.三棱柱的底面为三角形
B.一个棱柱至少有五个面
C.五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形
D.若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
【答案】D
【解析】三棱柱的底面为三角形，所以A正确；
(完整word版)高一数学合格考模拟题一
北京市普通高中学业水平考试合格性考试模拟（一）数 学 试 卷考生须知1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．本试卷共6页，分为两个部分，第一部分为选择题，25个小题(共75分)；第二部分为解答题，4个小题（共25分）。
3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
4．考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回。
参考公式：柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高．第一部分 选择题（每小题3分，共75分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的． 1．已知集合{0,1,2}A =，{1,2,3}B =，那么A B I 等于A ．{0}B ．{1,2}C ．{0,1}D ．{0,1,3}2．已知向量{1,2}a =-r，{2,}b m =r ，且a b ⊥r r ，那么m 等于A ．4-B ． 1-C ．1D ．43．如果直线1y kx =-与直线2y x =-平行，那么实数k 的值为A ．2-B ．13-C ．13D ．3 4．如图，给出了偶函数()f x 的局部图像，那么(1)f 等于A ．4-B ．2-C ．2D ．45．如果函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）的图像经过点（3，27），那么实数a 等于A ．13 B ．12C ．2D ．3 6．某中学现有学生1800人，其中初中学生1200人，高中学生600人．为了解学生在“阅读节”活动中的参与情况，决定采用分层抽样的方法从全校学生中抽取一个容量为180的样本，那么应从初中学生中抽取的人数为A ．60B ．90C ．100D ．1107．已知直线l 经过点P (1，1)，且与直线30x y --=垂直，那么直线l 的方程是A ．30x y +-=B ．30x y -+=C ．20x y +-=D ．0x y -=8．如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 中点，那么向量12AB uu ur AD +uuu r 等于A ．AE uu u rB ．AC uuu r C ．DC uuu rD ．BC uu u r9．实数131()log 32-+的值等于A ．1B ．2C ．3D ．410．函数2y x =，3y x =，12l g y o x =，lg y x =中，在区间(0,)+∞上为减函数的是A ．2y x = B ．3y x = C ．12l g y o x = D ．lg y x =11．某次抽奖活动共设置一等奖、二等奖两类奖项．已知中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.3，那么本次抽奖活动中，中奖的概率为A ．0.1B ．0.2C ．0.4D ．0.512．如果正ABC ∆的边长为2，那么AB uu u r AC ⋅uuu r等于A ．12-B ．12C ．1D ．2 13．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，如果=10a ，45A =︒，30B =︒，那么b 等于A ．522B ．52C ．102D ．202 14．已知圆C ：2220x y y +-=，那么圆心C 到坐标原点O 的距离是A ．12B ．2C ．1D ．215．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是正方形，1A A ⊥底面ABCD ，12A A =，2AB =，那么该四棱柱的体积为A ．1B ．2C ．4D ．816．函数3()6f x x =-的零点所在的区间是A ．（1，2）B ．（2，3）C ．（3，4）D ．（4，5）17．在sin50︒，sin50-︒，sin 40︒，sin 40-︒四个数中，与sin130︒相等的是A ．sin50︒B ．sin50-︒C ．sin 40︒D ．sin 40-︒ 18．把函数sin y x =的图像向右平移4π个单位得到()y g x =的图像，再把()y g x =图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），所得到图像的解析式为A ．3sin()4y x π=-B ．3sin(+)4y x π=C ．1sin()34y x π=-D ．1sin(+)34y x π=19．函数2,1(),1x x f x x x -≤-⎧=⎨>-⎩的最小值是A ．1-B ．0C ．1D ．220．给定函数：①()2f x x =；②()2x f x =；③2()f x x =；④2()log f x x =．对于()f x定义域中任意的1x ，2x ，满足等式“1212()()()f x x f x f x +=⋅”的函数的序号是 A ．① B ．② C ．③ D ．④21．在区间]4,0[内随机选一个实数x ，该实数恰好在区间]3,1[内的概率是A ．41 B.31 C.21 D. 43 22．已知5sin 13α=，(0,)2πα∈，那么sin()4πα+A ．26-B ．26-C ．26D ．2623．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，如果3a =，b =c =那么ABC ∆的最大内角的余弦值为A ．18B ．14C ．38D ．1224．在直角坐标平面内，与点(0,3)A 距离为2，且与点(4,0)B 距离为3的直线共有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条25．建筑工程中，将房屋的窗户面积与地面面积之比称为“窗地面积比”．某办公室的窗户面积为n 平方米，地面面积为m 平方米，窗地面积比为1λ．将窗户面积和地面面积同时减少a 平方米后，窗地面积比为2λ．如果a n m <<，那么 A ．12λλ≤ B ．12λλ≥C ．12<λλD ．12>λλ第二部分 解答题（共25分）26．（本小题满分7分）已知函数()sin(2)6f x A x π=+，(0)2f =．（Ⅰ）A = ；（将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上） （Ⅱ）函数()f x 的最小正周期T = ；（将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上） （Ⅲ）求函数()f x 的单调递减区间.27．（本小题满分7分）如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PD 平面ABCD ，底面ABCD 为正方形， F 为对角线AC 与BD 的交点，E 为棱PD 的中点． （Ⅰ）证明：EF // 平面PBC ； （Ⅱ）证明：AC ⊥平面PBD ．28．（本小题满分6分）已知圆C ：222x y r +=（0r >）经过点A (0，2)，与x 轴正半轴交于点B ． （Ⅰ）r = ；（Ⅱ）经点P （4，2）向圆C 引切线，求切线的方程.29．（本小题满分5分）科学研究表明：人类对声音有不同的感觉，这与声音的强度I （单位：瓦/平方米）有关. 在实际测量时，常用L （单位：分贝）来表示声音强弱的等级，它与声音的强度I 满足关系式：0lgI L a I =⋅（a 是常数），其中120110I -=⨯瓦/平方米. 如风吹落叶沙沙声的强度11110I -=⨯瓦/平方米，它的强弱等级10L =分贝. （Ⅰ）a = ；（将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上） （Ⅱ）已知生活中几种声音的强度如下表：那么m = ；（将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上） （Ⅲ）为了不影响正常的休息和睡眠，声音的强弱等级一般不能超过50分贝，求此时声音强度I 的最大值.答题卡第一部分选择题(共75分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9答案题号10 11 12 13 14 15 16 17 18答案题号19 20 21 22 23 24 25------- 答案第二部分解答题(共25分)26.（Ⅰ）A=；f x的最小正周期T=；（Ⅱ）函数()（Ⅲ）27.（Ⅰ）（Ⅱ）．28.（Ⅰ）r=；（Ⅱ）29. （Ⅰ）a=；（Ⅱ）m=；（Ⅲ）（演算纸）附29题答案科学研究表明：人类对声音有不同的感觉，这与声音的强度I （单位：瓦/平方米）有关. 在实际测量时，常用L （单位：分贝）来表示声音强弱的等级，它与声音的强度I 满足关系式：0lgI L a I =⋅（a 是常数），其中120110I -=⨯瓦/平方米. 如风吹落叶沙沙声的强度11110I -=⨯瓦/平方米，它的强弱等级10L =分贝. （Ⅰ）a = ；（将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上） （Ⅱ）已知生活中几种声音的强度如下表：那么m = ；（将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上） （Ⅲ）为了不影响正常的休息和睡眠，声音的强弱等级一般不能超过50分贝，求此时声音强度I 的最大值.（Ⅰ）解：a =10. ……………………………………1分 （Ⅱ）解：m =20. ……………………………………3分 （Ⅲ）解：由题意，得 50L ≤.所以 1210lg50110I-⨯⨯≤.解不等式，得 70I -≤1.答：此时声音强度I 的最大值为70-1瓦/平方米. …………………………5分。
2021年北京市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷03(原卷版)
第二部分解答题（共19分）
28.（本小题满分5分）
设常数 ，函数 ．
（1）若 为偶函数，求 的值；
（2）若 ，求方程 在区间 上的解．
29.（本小题满分5分）
在三棱锥A﹣BCD中，E，F分别为 的中点，且 ，平面 平面 .
（1）证明： 平面ABC；
（2）证明： .
30.（本小题满分5分）
17.已知f(x)是定义在R上的函数，且满足 ，当 时， ，则 的值为（）
A. 2B.－1C. D. 1
18.已知 ，则 （）
A. B. C. D.
19.在△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，若 ， ，则△ABC的外接圆面积为（）
A. πB. 2πC. 4πD. 8π
20.已知△ABC中，满足 的三角形有两解，则边长a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
25.如图是某校高三某班甲､乙两位同学前六次模拟考试的数学成绩，若甲、乙两人的平均成绩分别是 、 ，则下列判断正确的是（）
A. ，甲比乙成绩稳定
B. ，乙比甲成绩稳定
C. ，甲比乙成绩稳定
D. ，乙比甲成绩稳定
26.在△ABC中， ， ， ，则k的值是（）
A. B.
C. D.
27.在一组样本数据中，1，4，m，n出现的频率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，且样本平均值为2.5，则 （）
A.三棱柱的底面为三角形
B.一个棱柱至少有五个面
C.五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形
D.若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
9.圆心为(1,－1)且过原点的圆的一般方程是
A. B.
C. D.
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1 2021年北京市普通高中学业水平合格性考
试数学仿真模拟卷（五）
第一部分 选择题（每小题3分，共81分）
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项
1. 设集合{|28}x A x =≥，集合(){|lg 1}B x y x ==-，则A ∪B =（ ）
A.[1,3)
B. (1,3]
C.(1,+∞)
D. [3,+∞) 2. 若函数f （2x ）=x -3，则f （4）=（ ）
A. －1
B. 1
C. －5
D. 5 3. 已知函数()f x 的图象关于直线0x =对称，当210x x >≥时，
()()()21210f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭
的x 的取值范围是（ ） A. 12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 2,3⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭ C. 2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D. 12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭
4. 下列关于棱柱的说法中，错误的是( )
A. 三棱柱的底面为三角形
B. 一个棱柱至少有五个面
C. 若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
D. 五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形
5. 已知m ∈R ，过定点A 的动直线0mx y +=和过定点B 的动直线30x my m --+=交于点P
，则PA 的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D. 6. 若a 、b 、c 为实数，则下列命题错误的是( )
A. 若22ac bc >，则a b >。
北京市西城区2021届高三数学第一次模拟考试试题(含解析).doc
北京市西城区2021届高三数学第一次模拟考试试题（含解析）第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题:本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.设集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则A B ⋂=（ ） A. ()0-∞，B. ()23，C. ()()023-∞⋃，，D. ()3-∞，【答案】C 【解析】 【分析】直接求交集得到答案.【详解】集合{|3}{|02}A x x B x x x =<=，或，则()()023A B ⋂=-∞⋃，，. 故选：C .【点睛】本题考查了交集运算，属于简单题. 2.若复数()()31z i i =-+，则z =（ ）A. B.D. 20【答案】B 【解析】 【分析】 化简得到()()3142z i i i =-+=+，再计算模长得到答案.【详解】()()3142z i i i =-+=+，故z ==故选：B .【点睛】本题考查了复数的运算，复数的模，意在考查学生的计算能力. 3.下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ） A. 2y x =+ B. y sinx = C. 3y x x =-D. 2xy =【答案】C 【解析】 【分析】依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.【详解】A. 2y x =+，值域为R ，非奇非偶函数，排除； B. y sinx =，值域为[]1,1-，奇函数，排除； C. 3y x x =-，值域为R ，奇函数，满足； D. 2xy =，值域为()0,∞+，非奇非偶函数，排除；故选：C .【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用. 4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31425a a a =+=，，则6S =（ ） A. 10 B. 9C. 8D. 7【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意3141152223a a a a d a d =+=+=+=，，解得14a =，1d =-，得到答案. 【详解】3141152223a a a a d a d =+=+=+=，，解得14a =，1d =-，故616159S a d =+=.故选：B .【点睛】本题考查了等差数列的求和，意在考查学生的计算能力.5.设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A. 22(3)2x y -+= B. 22(3)8x y -+= C. 22(3)2x y ++= D. 22(3)8x y ++=【答案】A 【解析】 【分析】计算AB 的中点坐标为()3,0，圆半径为r =.【详解】AB 的中点坐标为：()3,0，圆半径为22ABr ===，圆方程为22(3)2x y -+=. 故选：A .【点睛】本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力. 6.设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（ ） A. a b c +>B. 2ab c >C.a b2c +> D.112a b c+> 【答案】C 【解析】 【分析】取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误，根据不等式性质知C 正确，得到答案. 【详解】,a c b c >>，故2a b c +>，2a bc +>，故C 正确； 取1,1,2a b c =-=-=-，计算知ABD 错误； 故选：C .【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生对于不等式性质的灵活运用. 7.某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）A. 2223S S ，且B. 2223S S ，且C. 2223S S ，且D. 2223S S ，且 【答案】D 【解析】【分析】如图所示：在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1C ABCD -满足条件，故{}2,22,23S =，得到答案.【详解】如图所示：在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1C ABCD -满足条件. 故12AB BCCD AD CC =====，1122BC DC ==，123AC =.故{}2,22,23S =，故22S ∈，23S ∈.故选：D .【点睛】本题考查了三视图，元素和集合的关系，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 8.设,a b 为非零向量，则“a b a b +=+”是“a 与b 共线”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案.【详解】若a b a b +=+，则a 与b 共线，且方向相同，充分性； 当a 与b 共线，方向相反时，a b a b ≠++，故不必要. 故选：A .【点睛】本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力. 9.已知函数()sinx12sinxf x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）①绕着x 轴上一点旋转180︒; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. A. ①③ B. ③④C. ②③D. ②④【答案】D 【解析】 【分析】计算得到()()2f x k f x π+=，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故函数是周期函数，轴对称图形，故②④正确，根据图像知①③错误，得到答案. 【详解】()sin 12sin xf x x=+，()()()()sin 2sin 212sin 212sin x k x f x k f x x k x πππ++===+++，k Z ∈，当沿x 轴正方向平移2,k k Z π∈个单位时，重合，故②正确；co sin 2212co s s s 12in2x f x x x x πππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪+⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎝⎭，co sin 2212co s s s 12in2x f x x x x πππ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭+== ⎪+⎛⎫⎝⎭++ ⎪⎝⎭，故22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数关于2x π=对称，故④正确；根据图像知：①③不正确；故选：D .【点睛】本题考查了根据函数图像判断函数性质，意在考查学生对于三角函数知识和图像的综合应用.10.设函数()210100x x x f x lgx x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（ ） A. (]0101， B. (]099， C. (]0100， D. ()0+∞，【答案】B 【解析】 【分析】画出函数图像，根据图像知：1210x x +=-，341x x =，31110x ≤<，计算得到答案. 【详解】()21010lg 0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，，画出函数图像，如图所示：根据图像知：1210x x +=-，34lg lg x x =-，故341x x =，且31110x ≤<. 故()()(]1234330110,99x x x x x x ⎛⎫∈ ⎪⎭-⎝+-=-. 故选：B .【点睛】本题考查了函数零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，画出图像是解题的关键.第Ⅱ卷(非选择题共110分)二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.在61()x x+的展开式中，常数项为________.(用数字作答) 【答案】20 【解析】 【分析】61()x x+的展开式的通项为6216-+=r r r T C x ，取3r =计算得到答案.【详解】61()x x +的展开式的通项为：6621661rr r r rr T C x C xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，取3r =得到常数项3620C =.故答案为：20.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.12.若向量()()221a x b x ==，，，满足3a b ⋅<，则实数x 的取值范围是____________. 【答案】()3,1- 【解析】 【分析】根据题意计算223a b x x ⋅=+<，解得答案.【详解】()()221a x b x ==，，，，故223a b x x ⋅=+<，解得31x -<<. 故答案为：()3,1-.【点睛】本题考查了向量的数量积，意在考查学生的计算能力.13.设双曲线2221(0)4x y b b -=>的一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的离心率为____________.【解析】 【分析】根据渐近线得到b =c =.【详解】2221(0)4x y b b -=>，一条渐近线方程为：y x =，故b =c =6c e a.故答案为：2【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率，意在考查学生的计算能力. 14.函数()24f x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为________;若函数()f x 在区间()0α，上单调递增，则α的最大值为________.【答案】 (1). π (2). 8π 【解析】 【分析】直接计算得到答案，根据题意得到2,2444x πππα⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，242ππα+≤，解得答案.【详解】()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故22T ππ==，当()0,x α∈时，2,2444x πππα⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭， 故242ππα+≤，解得8πα≤.故答案为：π；8π. 【点睛】本题考查了三角函数的周期和单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用. 15.在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是____________. 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据局部频率和整体频率的关系，依次判断每个选项得到答案. 【详解】不能确定甲乙两校的男女比例，故①不正确；因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率，故②正确；因为不能确定甲乙两校的男女比例，故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系，故③正确. 故答案为：②③.【点睛】本题考查局部频率和整体频率的关系，意在考查学生的理解能力和应用能力. 三、解答题:本大题共6小题，共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 满足AD ∥BC ，且1222.AB AD AA BD DC =====，(Ⅰ)求证:AB ⊥平面11ADD A ;(Ⅱ)求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值.【答案】(Ⅰ) 证明见解析；(Ⅱ)66【解析】 【分析】(Ⅰ)证明1AA AB ⊥，根据222AB AD BD +=得到AB AD ⊥，得到证明.(Ⅱ) 如图所示，分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，平面11B CD 的法向量()1,1,2n =，()2,0,0AB =，计算向量夹角得到答案.【详解】(Ⅰ) 1AA ⊥平面ABCD ，AB平面ABCD ，故1AA AB ⊥.2AB AD ==，22BD =，故222AB AD BD +=，故AB AD ⊥.1AD AA A ⋂=，故AB ⊥平面11ADD A .(Ⅱ)如图所示：分别以1,,AB AD AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()12,0,2B ，()2,4,0C ，()10,2,2D .设平面11B CD 的法向量(),,n x y z =，则11100n B C n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即420220y z x y -=⎧⎨-+=⎩，取1x =得到()1,1,2n =，()2,0,0AB =，设直线AB 与平面11B CD 所成角为θ故6sin cos ,626n AB n AB n ABθ⋅====⋅.【点睛】本题考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力. 17.已知ABC 满足 ，且263b A π==，，求sinC 的值及ABC 的面积.（从①4B π=，②3a =32a sinB =这三个条件中选一个，补充到上面问题中，并完成解答.）【答案】见解析 【解析】 【分析】 选择①时：4B π=,23A π=，计算62sin 4C =3a =，计算面积得到答案；选择②时，3a =6b ，故B A >，A 为钝角，故无解；选择③时，32a B =，根据正弦定理解得2sin B 62sin 4C =，根据正弦定理得到3a =，计算面积得到答案.详解】选择①时：4B π=,23A π=，故()62sin sin sin cos cos sin C A B A B A B -=+=+=根据正弦定理：sin sin a b A B =，故3a =，故1933sin 2S ab C -==. 选择②时，3a =，6b =，故B A >，A 为钝角，故无解.选择③时，32sin a B =，根据正弦定理：sin sin a bA B=，故6sin 332sin B B =， 解得2sin B =，()62sin sin sin cos cos sin 4C A B A B A B -=+=+=. 根据正弦定理：sin sin a b A B =，故3a =，故1933sin 2S ab C -==. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.18.2021年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X ，求X 的分布列和数学期望;(Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取m 个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出m 的最小值.(结论不要求证明) 【答案】(Ⅰ)5万；(Ⅱ)分布列见解析，()34E X = ；(Ⅲ)4 【解析】【分析】(Ⅰ)根据比例关系直接计算得到答案.(Ⅱ) X 的可能取值为0,1,2，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为101202p == ，故1190%2m⎛⎫<- ⎪⎝⎭，解得答案. 【详解】(Ⅰ)样本中女生英语成绩在80分以上的有2人，故人数为：250520⨯=万人. (Ⅱ) 8名男生中，测试成绩在70分以上的有3人，X 的可能取值为：0,1,2.()25285014C p X C ===，()11532815128C C p X C ===，()23283328C p X C ===.故分布列为：()515330121428284E X =⨯+⨯+⨯=. (Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为101202p == ，故1190%2m⎛⎫<- ⎪⎝⎭，故4m ≥. 故m 的最小值为4.【点睛】本题考查了样本估计总体，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19.设函数()()22f x alnx x a x =+-+，其中.a R ∈(Ⅰ)若曲线()y f x =在点()()22f ，处切线的倾斜角为4π，求a 的值; (Ⅱ)已知导函数()'f x 在区间()1e ，上存在零点，证明:当()1x e ∈，时，()2f x e >-. 【答案】(Ⅰ)2a =；(Ⅱ)证明见解析 【解析】 【分析】(Ⅰ)求导得到()()'22a f x x a x =+-+，()'ta 12n 4f π==，解得答案. (Ⅱ) ()()()12'0x x a f x x--==，故02a x=，()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，()20000min 2ln 2f x x x x x =--，设()22ln 2g x x x x x =--，证明函数单调递减，故()()2min g x g e e >=-，得到证明.【详解】(Ⅰ)()()2ln 2f x a x x a x =+-+，故()()'22af x x a x=+-+， ()()'42tan 1242a f a π=+-+==，故2a =. (Ⅱ) ()()()()12'220x x a af x x a x x--=+-+==，即()22,a x e =∈，存在唯一零点， 设零点为0x ，故()()000'220af x x a x =+-+=，即02a x =， ()f x 在()01,x 上单调递减，在()0,x e 上单调递增，故()()()()0220000i 0000m n ln 22ln 22a x x a x x x f x f x x x x +-+=+-+==200002ln 2x x x x =--，设()22ln 2g x x x x x =--，则()'2ln 2g x x x =-，设()()'2ln 2h x g x x x ==-，则()2'20h x x=-<，()h x 单调递减， ()()1'12h g ==-，故()'2ln 20g x x x =-<恒成立，故()g x 单调递减. ()()2min g x g e e >=-，故当()1x e ∈，时，()2f x e >-.【点睛】本题考查了函数切线问题，利用导数证明不等式，转化为函数的最值是解题的关键.20.设椭圆22:12x E y +=，直线1l 经过点()0M m ，，直线2l 经过点()0N n ，，直线1l 直线2l ，且直线12l l ，分别与椭圆E 相交于A B ，两点和C D ，两点.(Ⅰ)若M N ，分别为椭圆E 的左、右焦点，且直线1l x ⊥轴，求四边形ABCD 的面积; (Ⅱ)若直线1l 的斜率存在且不为0，四边形ABCD 为平行四边形，求证:0m n +=;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形ABCD 能否为矩形，说明理由. 【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)不能，证明见解析 【解析】 【分析】(Ⅰ)计算得到故2A ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1,2B ⎛-- ⎝⎭，1,2C ⎛ ⎝⎭，1,2D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，计算得到面积. (Ⅱ) 设1l 为()y k x m =-，联立方程得到2122221224212221k mx x k k m x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，计算AB =，同理CD =AB CD =得到22m n =，得到证明.(Ⅲ) 设AB 中点为(),P a b ，根据点差法得到20a kb +=，同理20c kd +=，故112PQ k k k=-≠-，得到结论. 【详解】(Ⅰ)()1,0M -，()1,0N ，故A ⎛- ⎝⎭，1,2B ⎛-- ⎝⎭，C ⎛ ⎝⎭，1,D ⎛ ⎝⎭. 故四边形ABCD的面积为S =(Ⅱ)设1l 为()y k x m =-，则()2212x y y k x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，故()22222214220k x k mx m k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，故2122221224212221k m x x k k m x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，12AB x =-==同理可得CD =，AB CD ==， 即22m n =，m n ≠，故0m n +=.(Ⅲ)设AB 中点为(),P a b ，则221112x y +=，222212x y +=，相减得到()()()()1212121202x x x x y y y y +-++-=，即20a kb +=，同理可得：CD 的中点(),Q c d ，满足20c kd +=， 故11222PQ d b d b k c a kd kb k k--===-≠---+，故四边形ABCD 不能为矩形. 【点睛】本题考查了椭圆内四边形的面积，形状，根据四边形形状求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 21.对于正整数n ，如果()*k k N∈个整数12ka a a ⋯，，，满足121k a a a n ≤≤≤⋯≤≤，且12k a a a n ++⋯+=，则称数组()12k a a a ⋯，，，为n 的一个“正整数分拆”.记12k a a a ⋯，，，均为偶数的“正整数分拆”的个数为12n k f a a a ⋯，，，，均为奇数的“正整数分拆”的个数为n g .(Ⅰ)写出整数4的所有“正整数分拆”;(Ⅱ)对于给定的整数()4n n ≥，设()12k a a a ⋯，，，是n 的一个“正整数分拆”，且12a =，求k 的最大值;(Ⅲ)对所有的正整数n ，证明:n n f g ≤;并求出使得等号成立的n 的值.(注:对于n 的两个“正整数分拆”()12k a a a ⋯，，，与()12m b b b ⋯，，，，当且仅当k m =且1122k m a b a b a b ==⋯=，，，时，称这两个“正整数分拆”是相同的.)【答案】(Ⅰ) ()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4；(Ⅱ) n 为偶数时，2nk =，n 为奇数时，12n k -=；(Ⅲ)证明见解析，2n =，4n = 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据题意直接写出答案.(Ⅱ)讨论当n 为偶数时，k 最大为2n k =，当n 为奇数时，k 最大为12n k -=，得到答案.(Ⅲ) 讨论当n 为奇数时，0n f =，至少存在一个全为1的拆分，故n n f g <，当n 为偶数时， 根据对应关系得到n n f g ≤，再计算221f g ==，442f g ==，得到答案.【详解】(Ⅰ)整数4的所有“正整数分拆”为：()1,1,1,1，()1,1,2，()1,3，()2,2，()4.(Ⅱ)当n 为偶数时，123...2k a a a a =====时，k 最大为2n k =； 当n 为奇数时，1231...2,3k k a a a a a -======时，k 最大为12n k -=；综上所述：n 为偶数，k 最大为2n k =，n 为奇数时，k 最大为12n k -=.(Ⅲ)当n 为奇数时，0n f =，至少存在一个全为1的拆分，故n n f g <； 当n 为偶数时，设()12,,...,k a a a 是每个数均为偶数的“正整数分拆”，则它至少对应了()1,1,...,1和()121,1,...,1,1,...,1k a a a ---的均为奇数的“正整数分拆”， 故n n f g ≤. 综上所述：n n f g ≤.当2n =时，偶数“正整数分拆”为()2，奇数“正整数分拆”为()1,1，221f g ==； 当4n =时，偶数“正整数分拆”为()2,2，()4，奇数“正整数分拆”为()1,1,1,1，()1,3 故442f g ==；当6n ≥时，对于偶数“正整数分拆”，除了各项不全为1的奇数拆分外，至少多出一项各项均为1的“正整数分拆”，故n n f g <.综上所述：使n n f g =成立的n 为：2n =或4n =.【点睛】本土考查了数列的新定义问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。
2021年高中学业水平合格性考试数学基础练习卷01 教师版
故选C．
25.在四棱锥P﹣ABCD中， ，则四棱锥P﹣ABCD的体积为（）
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】连接 、 交于点 ，连接 ，如图：
由 ， ， ， ，
可得 ， ， ， ， ，
所以 平面 ，
设 ， ，
由勾股定理得 ，即 ，
在 中， ，
在 中， ，
由 可得 ，
又 ，所以 ，化简得 ，
得 ，得 ， ，
当 时，得 的最小值是 .
故选：C
19.俗话说：“水滴石穿”，水滴不断的落在一块石头的同一个位置，经过若干年后，石头上形成了一个深度为0.000000039cm的小洞，则0.000000039用科学记数法可表示为（ ）
A. 3.9×10﹣8B.﹣3.9×10﹣8C. 0.39×10﹣7D. 39×10﹣9
【答案】A
【解析】0.000000039=3.9×10-8，
故选A ．
20.设 ， 表示平面，l表示直线，A，B，C表示三个不同的点，给出下列命题：①若 ， ， ， ，则 ；②若 ， ， ， ，则 ；③若 ， ，则 ；④若 ， ，则 与 重合.其中，正确的有（）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
该函数为偶函数，且在区间 上单调递增，则该函数在区间 上单调递减；
对于B选项，函数 的定义域为 ， ，
该函数为偶函数，当 时， ，
所以，函数 在区间 上单调递增，则该函数在区间 上单调递减；
对于C选项，函数 的定义域为 ，该函数为非奇非偶函数；
对于D选项，函数 的定义域为 ，
，该函数为偶函数，
当 时， ，该函数在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
（1）求证： 平面 ；
2021年北京市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷04(解析版)
11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且 ，则下列结论中正确的是（）
A.线段B1D1上存在点E、F使得 B. 平面ABCD
C. 的面积与 的面积相等D.三棱锥A-BEF的体积不为定值
【答案】B
【解析】如图所示，AB与 为异面直线，故AE与BF也为异面直线，A错误；2021年北京市普通高中学业水合格性考试数学仿真模拟卷（四）
第一部分选择题（每小题3分，共81分）
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项
1.设集合 ，则集合P的非空真子集的个数是（）
A. 2B. 3C. 7D. 8
【答案】A
【解析】集合 ,即 ，
集合 的非空真子集有 ，
共2个.
故选： .
故选：D．
13.sin300°=（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由三角函数的定义即可得到答案。
故选:A.
14.已知向量 满足 ， ，则 ( )
A. (4,4)B. (2,4)C. (2,2)D. (3,2)
【答案】A
【解析】由题得 .
故选：A
15.已知直线a、b与平面α、β、γ，下列条件中能推出α∥β的是（ ）
A．a⊥α且a⊥βB．a⊥γ且β⊥γ
C．a⊂α，b⊂β，a∥bD．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β
【答案】A
【解析】解：选项A，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可知正确；
选项B，α⊥γ，β⊥γ可能推出α、β相交，所以B不正确；
选项C，a⊂α，b⊂β，a∥b，α与β可能相交，故不正确；
选项D，a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β，如果a∥b推出α、β相交，所以D不正确；
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第1页共12页2021年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷参考公式：锥体的体积公式，其中为锥体的底面积，为锥体的高.第一部分 选择题（每小题分，共81分）在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的. 1.设全集I {0,1,2,3}=，集合{0,1,2}M =，{0,2,3}N =，则IM N = （ ）.A {1} .B {2,3} .C {0,1,2} .D ∅2.函数()log (1)a f x x =-的定义域是 （ ） （A ）(1,0)- （B ）(0,1) （C ）(1,1)-（D ）(,1)-∞3. 如果幂函数()f x x α=的图象经过点19(3,)，则α= （ ）（A ）2- （B ）2（C ）12-（D ）124. 在平面直角坐标系xOy 中，函数2sin()6y x π=-的图象 （ ）（A ）关于直线6x π=对称 （B ）关于点(,0)6π对称（C ）关于直线6x π=-对称（D ）关于点(,0)6π-对称5. 已知向量(1,2)=-a 与向量(2)，=x b 平行，那么x 等于 （ ）13V Sh =S h 3第2页共12页（A ）1- （B ）2- （C ）3- （D ）4-6. 已知点(3,4)A 是角α终边上的一点，那么cos α等于 （ ）（A ）34（B ）43 （C ）35（D ）457.已知向量(3,1)=a ,(2,5)=-b ，则32-=a b （ ）.A (2,7) .B (13,13) .C (2,7)- .D (13,7)-8. 已知过点(2,)A m -，(,4)B m 的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为 （ ）.A 0 .B 2 .C 8- .D 109.直线a ,b 是不同的直线，平面α,β是不同的平面，下列命题正确的是 （ ）.A 直线a ∥平面α，直线b ⊂平面α，则直线a ∥直线b .B 直线a ∥平面α，直线b ∥平面α，则直线a ∥直线b.C 直线a ∥直线b ,直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面β,则平面αβ∥ .D 直线a ∥直线b ,直线a ⊄平面α，直线b ⊂平面α,则直线a ∥平面α10. 222log +log 63等于 （ ）（A ）1（B ）2（C ）3（D ）411. 某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为 （ ）.A 35 .B 25 .C 15 .D 712. 已知4sin 5α=,且(,)2απ∈π那么cos2α等于 （ ）（A ）725-（B ）725（C ）925（D ）925-第3页共12页13．某人要去公安局办理护照，已知公安局的工作时间为9：00至17：00，设此人在当天13：00至18：00之间任何时间去公安局的可能性相同，那么此人去公安局恰好能办理护照的概率是 （ ）.A 13.B 34.C 58.D 4514. 在ABC ∆中，222a b c bc =++，则角A 为 （ ）.A 30 .B 45 .C 120 .D 15015．过点(0,1)并且与直线23y x =-+垂直的直线方程是 （ ）.A 210x y --= .B 220x y -+= .C 210x y -+= .D 220x y --=16. 如图，在ABC ∆中，AD AB ⊥,3BC BD =,1AD =,则AC AD ⋅= ( ).A 1 .B.C 2 .D 017．已知圆柱的底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π18.已知三角形的边长分别为 ） （A ）5π6（B ）2π3（C ）3π4（D ）π2第4页共12页19. 用二分法逐次计算函数32()22f x x x x =+--的一个零点附近的函数值，参考数据如下：那么方程()0f x =的一个近似根（精确到0.1）为（ ） （A ）1.2（B ）1.3（C ）1.4（D ）1.520．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E F G H ，，，分别是棱111111A B BB CC C D ，，，的中点，那么（ ） A ．1//BD GH B ．//BD EF C ．平面//EFGH 平面11A BCD D ．平面//EFGH 平面ABCD21. 函数3,1,5,1x x y x x +≤⎧=⎨-+>⎩的最大值为（ ）（A ）3（B ）4（C ）5（D ）622. 若圆22240x y x y +--=的圆心到直线0x y a -+=的距离为2，则a =（ ） （A ）2-或2（B ）12或32（C ）0或2（D ）2-或023. 点(1,1)-到直线10x y +-=的距离是 （ ）（A ）12（B （C （D24. 已知圆221x y +=与圆22(3)4x y -+=，那么两圆的位置关系 （ ） （A ）内切（B ）相交（C ）外切（D ）外离第5页共12页25. 函数21()12 00，，⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩x x f x x x零点的个数为 （ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）326. 已知函数()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，当*n ∈N 时，*()f n ∈N ．若 [()]3f f n n =，其中*n ∈N ，则(1)f = （ ）.A 4 .B 3 .C 2 .D 127.《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：某调研机构数据显示，纳税人希望将个税免征额从3500元上调至7000元．若个税免征额上调至7000元（其它不变），某人当月少交纳此项税款332元，则他的当月工资、薪金所得介于（ ）（A ）5000~6000元 （B ）6000~8000元 （C ）8000~9000元 （D ）9000~16000元第6页共12页第二部分 解答题（共19分）28．（本小题满分5分）已知函数2()3sin(π)cos cos f x x x x --．（I ）求()f π的值和函数()f x 的最小正周期T ； （II ）求函数()f x 的单调递减区间． 该同学解答过程如下：3sin x 3sin 22sin(2x -最小正周期2π2ππ.2Tω ）由ππ3π2π22π,,262k x k k ≤≤∈Z5πππ,.6k x k k ≤≤∈Z的单调递减区间是π5π[π,π],.36k k k ∈Z)下表列出了某些数学知识：三角函数的周期性请写出该同学在解答过程中用到了此表中的哪些数学知识.第7页共12页第8页共12页29．（本小题满分5分）阅读下面题目及其证明过程，在~①⑤处填写适当的内容.如图，已知四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，侧棱BB 1⊥底面ABCD ，E 是侧棱CC 1的中点．(Ⅰ)求证：AC ⊥平面BDD 1B 1； (Ⅱ)求证：AC ∥平面B 1DE . 解答： (Ⅰ)因为ABCD 为菱形， 所以AC ⊥BD .因为BB 1⊥底面ABCD ， 又因为AC 平面ABCD ， 所以BB 1⊥AC . 因为BB 1∩BD ＝B ， 所以AC ⊥平面BDD 1B 1.(Ⅱ)设AC ，BD 交于点O ，取B 1D 的中点F ， 连接OF ，EF ， 所以① ，且OF ＝12BB 1.又E 是侧棱CC 1的中点， 所以EC ＝12CC 1.又因为BB 1∥CC 1，BB 1＝CC 1， 所以OF ∥CC 1，且OF ＝12CC 1.所以四边形OCEF 为平行四边形， 所以②又AC ⊄平面B 1DE ，EF ⊂平面B 1DE ， 所以③ 上述证明过程中，问题1：在（Ⅰ）的证明过程中，证明的思路是先证___，再证___．问题2：在（Ⅱ）的证明过程中，设置了三个空格. 请从下面给出的四个选项中,为每一个空格选择一个正确的选项，以补全证明过程.①AC∥平面B1DE.②BB1⊥AC.③OF∥BB1④OC∥EF.30．（本小题满分5分）某同学解答一道解析几何题：“已知直线l过原点，圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝9. 直线l与圆C交于点E、F，|EF|＝求直线l的方程．”该同学解答过程如下：（Ⅰ）请指出上述解答过程中的错误之处；（Ⅱ）写出正确的解答过程.第9页共12页31．（本小题满分4分）某影院共有1000个座位，票价不分等次．根据影院的经营经验，当每张票价不超过10元时，影票可全部售出；当每张票价高于10元时，每提高1元，售出影票将减少30张．为获得更好的收益，需确定一个合适的票价，确定票价的基本条件是：①为了方便找零和算账，票价定为1元的整数倍；②电影院放映一场电影的成本支出为5750元，票房的收入必须高于成本支出．用x(元)表示每张电影票的票价，用y (元)表示该影院放映一场电影的净收入（除去成本费用支出后的收入）．（Ⅰ）把y表示为x的函数，并求其定义域；（Ⅱ）票价确定为多少元时，才能使放映一场电影的净收入不低于8250元．第10页共12页第11页共12页2021年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试数学模拟试卷答案二、解答题 28.,2ααπ±π±的正弦、余弦、正切的诱导公式；三角函数的周期性；正弦函数、余弦函数在区间 [0,2]π上的性质；两角差的正弦、正切公式；二倍角的正弦、余弦、正切公式 ……5分29. 问题1： “线线垂直”， “线面垂直”；问题2：OF ∥BB 1，OC ∥EF ，AC ∥平面B 1DE . ……5分 30. 解答：设直线:l y kx =不对…………………………..1分设直线:0l x ny +=因为圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝9. 所以圆C 的圆心C (2，－3)，r ＝3.因为直线l 与圆C 交于点E 、F ， |EF |＝设圆心C 到直线l 距离为d 所以2d ==所以2d ==第12页共12页解得120,5n = 所以 直线l 的方程为5120x y +=或0x =.…………………………..5分31.（本小题满分4分）（Ⅰ）当票价不超过10元时，10005750(6,7,8,9,10)y x x =-=．当票价高于10元时，2[100030(10)]57503013005750y x x x x =---=-+-． 由 2100030(10)0,30130057500,x x x -->⎧⎨-+->⎩ 解得15383x <<．所以210005750(6,7,8,9,10),3013005750(1138,).x x y x x x x -=⎧=⎨-+-∈⎩N ≤≤ （Ⅱ）对于10005750(6,7,8,9,10)y x x =-=， 显然当10x =，y 取得最大值4250．对于23013005750(1138,)y x x x x =-+-∈N ≤≤， 当22x =时，y 取得最大值8330．当23x =时，y=8280； 当24x =时，y=8170； 当21x =时，y=8320； 当20x =时，y=8250．综上，当票价{20,21,22,23}x ∈时，净收入8250y ≥． ……4分。