25.2.3 列举所有机会均等的结果(第二课时)
25.2 列举所有机会均等的结果 教案-数学九年级上册
三、师生共探（1）列举法[生]学生回答AA，AB，BB，BA.（2）画树状图观察上图，可以看出所有等可能的结果共有种,分别是 .其中两人相遇的情况有种,即 .由已学过的概率计算方法，可得P（相遇）= .[师]引导学生归纳：当一个事件要涉及两个或更多的因素时，通常采用“画树状图”.运用树状图法求概率的步骤如下：①画树状图；②列出结果，确定关注结果的个数和所有等可能结果的个数的值；③利用公式P(关注的结果)=关注结果的个数所有等可能结果的个数计算事件的概率.（2）列表法观察上表，可以看出所有等可能的结果共有种，分别是 .其中两人相遇的情况选B；父亲选择A，小明选择B；父亲选择B，小明选择 A.二是画树状图.三是用列表法.以填空的形式帮助学生分析树状图和列表中的信息，降低学生学习的难度，让学生初步了解树状图和列表法求概率.教师引导学生归纳运用树状图和列表法求概率的一般步骤.三、师生共探有种,即 .由已学过的概率计算方法，可得P（相遇）= .[师]引导学生归纳：当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，通常采用列表法.运用列表法求概率的步骤如下：①列表；②通过表格计数，确定关注结果的个数和所有等可能结果的个数的值；③利用公式P(关注的结果)=关注结果的个数所有等可能结果的个数计算事件的概率.[师]问题探究3：如果从家到学校有A、B、C三条道路，每人都可以任选一条，那么父子两人相遇的概率是多少？（1）画树状图（2）列表法在探究2的基础上让学生利用类比的思想解决探究3.此题学生既可以使用树状图也可以使用列表法求解，让学生进一步理解和掌握画树状图或列表法求概率的方法和步骤.。
25.2用列举法求概率(第二课时)教案
25.2 用列举法求概率(第二课时)教学目标：1．理解“包含两步，并且每一步的结果为有限多个情形”的意义。
2．会用列表的方法求出：包含两步，并且每一步的结果为有限多个情形，这样的试验出现的所有可能结果。
3．体验数学方法的多样性灵活性，提高解题能力。
教学重点：正确理解和区分一次试验中包含两步的试验。
教学难点：当可能出现的结果很多时，简洁地用列表法求出所有可能结果。
一、比较，区别出示两个问题：1．一个布袋中有两个白球和两个黄球，质地和大小无区别，每次摸出1个球，共有几种可能的结果？2．一个布袋中有两个白球和两个黄球，质地和大小无区别，每次摸出2个球，这样共有几种可能的结果？要求学生讨论上述两个问题的区别，区别在于这两个问题的每次试验（摸球）中的元素不一样。
二、问题解决1．例1 教科书第150页例4。
要求学生思考掷两枚硬币产生的所有可能结果。
学生可能会认为结果只有：两个都为正面，一个正面一个反面和两个都是反面这样3种情形，要讲清这种想法的错误原因。
列出了所有可能结果后，问题容易解决。
或采用列表的方法，如：让学生初步感悟列表法的优越性。
2．问题：“同时掷两枚硬币”，与“先后两次掷一枚硬币”，这两种试验的所有可能结果一样吗？同时掷两枚硬币与先后两次掷一枚硬币有时候是有区别的。
比如在先后投掷的时候，就会有这样的问题：先出现正面后出现反面的概率是多少？这与先后顺序有关。
同时投掷两枚硬币时就不会出现这样的问题。
3、例3（教材P151）：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：(1) 两个骰子的点数相同；(2) 两个骰子的点数的和是9；(3) 至少有一个骰子的点数为2。
这个例题难度较大，事件可能出现的结果有36种。
若首先就拿这个例题给学生讲解，大多数学生理解起来会比较困难。
所以在这里，我将新课的引入方式改为了一个有实际背景的转盘游戏（前一课已有例２作基础）。
（1）创设情景引例：为活跃联欢晚会的气氛，组织者设计了以下转盘游戏：A 、B 两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A 上的数字分别是1，6，8，转盘B 上的数字分别是4，5，7（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）。
华师版九年级数学上册《随机事件的概率》25.2.3 列举所有机会均等的结果
由树状图易知 P(足球踢到小华处)＝14.
素养核心练 (2)如果踢三次后，足球踢到小明处的可能性最小，应从谁开始踢？
请说明理由． 解：应从小明开始踢．理由如下：如图．
由树状图可知，若从小明开始踢，P(足球踢到小明处)＝28＝14. 同理可得，若从小强开始踢，P(足球踢到小明处)＝38， 若从小华开始踢，P(足球踢到小明处)＝38.∵38>14， ∴应从小明开始踢．
能力提升练 (2)承(1)，翔翔打算依计划继续从箱子取球 2 次，请判断是否可
能发生“这 10 次得分的平均数不小于 2.2，且不大于 2.4”的情 形？若有可能，请计算出发生此情形的概率，并完整写出你 的解题过程；若不可能，请完整说明你的理由．
能力提升练 解：可能．解题过程如下：∵这 10 次得分的平均数不小于 2.2， 且不大于 2.4， ∴这 10 次得分之和不小于 22，且不大于 24，∵前 8 次的得分之 和为 20， ∴后 2 次的得分之和不小于 2，且不大于 4. 列表：
能力提升练
(2)求点 M(x，y)在函数 y＝x＋1 的图象上的概率．
解：∵在 12 种等可能结果中，在函数 y＝x＋1 的图象上的有(1， 2)、(2，3)、(3，4)这 3 种结果， ∴点 M(x，y)在函数 y＝x＋1 的图象上的概率为132＝14.
能力提升练 11．一个箱子内有 4 颗相同的球，将 4 颗球分别标示号码 1、2、
向右两种可能，且两种可能性相等，则小球最终从出口 E 落
出的概率为( C )
1
1
1
1
A.8 B.6 C.4 D.2
能力提升练
8．【中考·梧州】三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别
列举所有机会均等的结果 课件 2022—2023学年华东师大版数学九年级上册
A.
B.
C.
D.
3.a、b、c、d四本不同的书放入一个书包，至少放一本，最多放2本，共有10 种 不同的放法.
4.在一个不透明的布袋中装有2个白球和n个黄球，它们除颜色外，其余均相同 ，若从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为 ，则n= 8 .
当堂练习
5.经过某十字路口的汽车,可能直行,也可能向左转或向右转.如果这三种可能性大小 相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，下列事件的概率：
从图中可以看出，一共有9种可能的结果，这9个事件出 现的概率相等，在摸出“两红”、“两白”、“一红一白”这个事件中， “摸出_两__红__”概率最小，等于___，“摸出一红一白”和“摸出_两__白__”的概率相等， 都是____
新知讲解
画树状图求概率的基本步骤
（1）明确一次试验的几个步骤及顺序； （2）画树状图列举一次试验的所有可能结果； （3）数出随机事件A包含的结果数m，试验的所有可能结果数n； （4）用概率公式进行计算.
7 6 -2
解：根据题意，画出树状图如下
第一个数字
6
-2
7
第二个数字
6 -2
7 6 -2
7 6 -2
7
(1)两次取出的小球上的数字相同的可能性只有3种，所以P(数字相同)=
(2)两次取出的小球上的数字之和大于10的可能性只有4种，所以P(数字之和大于 10)=
课堂总结 步骤
树状图
用法
注意
①关键要弄清楚每一步有几种结果； ②在树状图下面对应写着所有可能
25.2.3列举所有机会均等的结果
华师大版 九年级上
情境导入 我们一起来做游戏
老师向空中抛掷两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，老师赢；如果 落地后两面一样，你们赢.请问，你们觉得这个游戏公平吗？
25.2《列举所有机会均等的结果》参考教案2
列举所有机会均等的结果知识技能目标1.在具体情境中进一步掌握概率的意义，能灵活运用列举法（包括列表、画树状图）分析出所有等可能的结果，计算简单事件发生的概率；2.通过实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题．过程性目标1.通过具体情境激发学生学习积极性，使学生经历数学知识的形成与应用过程；2.鼓励学生自主探索与合作交流，进一步加深对概率的认识，丰富数学活动的经验，提高自身思维水平．情感态度目标通过适当的习题开阔学生的视野，给学生思考的空间，使学生体会到将所学知识加以灵活运用的乐趣．重点和难点重点：进一步掌握概率的意义；难点：通过各种方法分析、计算简单事件发生的概率．教学过程一、创设情境你有没有发现，在同班同学中，几乎总是有生日相同的．不信，你可以去统计一下．但是，你能说出为什么吗？假定一个班级有40名同学，而一年有365天，生日怎么会“碰”在一起呢？学习了这节课之后，同学们就会有一个大概的认识。
二、探究归纳通过刚才的一个有趣的问题，我们发现要预测概率，关键就是要列出所有等可能的结果以及其中所要关注的结果，再求出后者与前者的个数之比，即概率．在这个过程中，难点是分析等可能的结果的个数．希望同学们在解决具体问题时注意找准所有等可能的结果以及所关注的结果的个数．三、实践应用例1 抛掷一枚普通的硬币三次，有人说连续掷出三个正面和先掷出两个正面再掷出一个反面的机会是一样的．你同意吗？解 抛掷一枚普通的硬币三次，共有以下八种机会均等的结果：正正正，正正反，正反正，反正正正反反，反正反，反反正，反反反P （正正正）＝P （正正反）＝1/8．所以，这一说法正确．注意 如果把题中的“先掷出两个正面再掷出一个反面”改成“掷出两个正面一个反面”，则“连续掷出三个正面”与“掷出两个正面一个反面”的机会是不一样的．因为这时“连续掷出三个正面”的概率仍是1/8，而“掷出两个正面一个反面”的概率为3/8，所以两者是不等的．例2 晓晓和东东两人做游戏，抛掷两枚普通的正方体骰子，把两个骰子的点数相加，求出它们的和，（如第1个骰子为1，第2个骰子为6是“和为7”的一种情况），规定掷出“和为7”时晓晓胜，掷出“和为9”时，东东胜，这个游戏公平吗？分析 可以通过比较“和为7”的概率和“和为9”的概率的大小，看它们是否相等，从而判定游戏是否公平．解 列表分析：所以，P （和为7）＝366＝61 P （和为9）＝436＝91＜61 所以，P （和为9）＜P （和为7）所以这个游戏不公平，晓晓获胜的概率大．例3 如图转动转盘，求转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率．。
华师大版九年级数学上册25.2.3列举所有机会均等的结果课件
解：抛掷一枚普通的硬币三次，共有以下八种机 会均等的结果：
正正正 正正反 正反正 反正正
正反反 反正反 反反正 P（正正正）＝P（正正反）＝
所以，这一说法正确.
反反反
1 8
有的同学认为:抛三枚普通硬币，硬币落地后只可能出现4 种情况（1）全是正面；（2）两正一反；（3）两反一正； （4）全是反面.因此这四个事件出现的概率相等，你同意 这种说法吗？
巩固练习
一.在一个盒子中有质地均匀的3个小球，其中两个 小球都涂着红色，另一个小球涂着黑色，则计算以 下事件的概率选用哪种方法更方便？
1.从盒子中取出一个小球，小球是红球 直接列举
2.从盒子中每次取出一个小球，取出后再放回，取
出两球的颜色相同 列表法或树状图法
3.从盒子中每次取出一个小球，取出后再放回，连 取了三次，三个小球的颜色都相同
树状图法
二.经过某十字路口的汽车，它可 能继续直行，也可能左转或右转， 如果这三种可能性大小相同，同向 而行的三辆汽车都经过这个十字路 口时，求下列事件的概率：
（1）三辆车全部继续直行
（2）两辆车右转，一辆车左转
（3）至少有两辆车左转
对所有可能出现的情况进行列表，如下图
左
直
右
左
直
右
左
直
右
左
直
右
左 直 右左 直 右 左 直 右 左 直 右左 直 右 左 直 右 左 直 右左 直 右 左 直 右
开始
第一次
红
白1
白2
第二次
红 白1 白2 红 白1 白2 红 白1 白2
从图中可以看出，一共有9种可能的结果，这9个
事件出现的概率相等，在摸出“两红”、“两
25.2.3 列举所有机会均等的结果(2)
当一次实验要涉及两个因素,且可能出现的 结果数目较多时, 通常采用列表法.
一个因素所包含的可能情况
另一 个因素 所包含 的可能 情况
两个因素所组合的 所有可能情况,即n
当实验中涉及3个因素或更多的因 素时, 采用“树形图”.
一个试验
第一步 第二步 1
A
7 27
3. 用数字1、2、3,组成三位数,求其中恰有2个相同的数 字的概率. 组数开始
百位 十位
1 1 2 3 1
2 2 3 1
3 2 3
个位 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
解 由树形图可以看出 : ,所有可能的结果有27种,它们出 现的可能性相等. 其中恰有2个数字相同的结果有18个. ∴ P(恰有两个数字相同)=
4 1 = ∴P（两张数字和为9）= 36 9 (3)至少有一张数字为2的有：(1,2)，(2,1)，(2,2)， (2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)， (3.2)，(4,2)，(5,2)，(6,2)
11 ∴P（至少一张数字为2）= 36
例2. 甲口袋中装有2个相同的小球,它们分别写有 字母A和B;乙口袋中装有3个相同的小球,它们分别 写有字母C. D和E;丙口袋中装有2个相同的小球, 它们分别写有字母H和I,从3个口袋中各随机地取 出1个小球. (1)取出的3个小球上, 取球试验 恰好有1个,2个和3个 B 元音字母的概率分别 甲 A 是多少? 乙 C D E C D E (2)取出的3个小球 上全是辅音字母的 丙 H I H I H I H I H I H I 概率是多少?
课堂练习
1. 点M (x, y)中的x与y可以在数字 -1，0，1，2中任意选取． 求 （1）点M在第二象限内的概率． （2）点M不在直线y=-2x+3上的概 率．
华师大版初中数学九年级上册25.2.3《在复杂情况下列举所有机会均等的结果》ppt课件
正
反正 反 正
反
机会相等。由次从上至下每一条路径就是一种可能的结 此，我们可以
画出图
果,而且每种结果发生的机会相等.
例4 抛掷一枚普通的硬币3次．有人说连续掷出三个正面和先掷出两个正面再掷出一 个反面的机会是一样的．你同意吗？
解： 抛掷一枚普通的硬币三次，共有以下八种机会均等的结果：
正正正
正正反
正反正
反
第 三
正
反
正
反正 反 正
反
次
有的同学认为:抛三枚普通硬币，硬币落地后只可能出现4种情况（1）全是正面；（2）两 正一反；（3）两反一正；（4）全是反面。因此这四个事件出现的概率相等，你同意这种 说法吗？
解：画树状图分析如下
P(全是正面） 1
8
正 硬币1
正 硬币2
开始 反
(2)P(两正一反） 3
3 4
例4 抛掷一枚普通的硬币3次．有人说连续掷出三个正面和先掷出两个正面再掷出一 个反面的机会是一样的．你同意吗？
分析：
对 ， 结于 可 果第 能 是出正1次现面抛的或掷第一次 反面；对于第2第 次抛掷来说也 二 是这样。而且 次
开始
正
反
正
反
正
驶向胜利 的彼岸
反
每次硬币出现第 正面或反面的三
正
反
他的分析有道理吗？为什么？
小结
1 要清楚所有等可能结果 2 要清楚我们所关注的是发生哪个或哪些结果
关注结果数 3 概率的计算公式：
所有等可能的结果数
8
(3)P(两反一正） 3
反
8
(4)P(全是反面) 1
8
正
反
硬币3
正 反正反 正反 正
25.2.3列举所有机会均等的结果(简版).ppt
3 1 P（A）= = 6 2
解：
第一枚
第二枚 正
开始
(正,正) (正,反)
正
反 正
反
(反,正)
反 (反,反)
总共有4种结果,每种结果出现的可能性相 同,而两个正面朝上的结果有1种: P=1/4.
问题2：随机掷一枚均匀的硬币两次,至少 有一次正面朝上的概率是多少?
正 正 开始 反 反 正
(正 ,正 ) (正 ,反 ) (反 ,正 )
问题6：投掷两枚普通的正方面体骰子,所得点数之积有多 少种可能？点数之积为多少的概率最大,其概率是多少？ 积为偶数概率大？还是积为奇 分析:这一问题有树状图分析是否简单 ? 如果利用表格 数概率大？怎么列表简单？ 来列举所有可能得到的点数之积是否可行 ?试试看?
解：列表如下:
一
二
1 1 2 3 4 5 6
当一次试验要涉及两个因素,且可能出 现的结果数目较多时, 通常采用列表法.
一个因素所包含的可能情况 另一 个因素 所包含 的可能 情况
两个因素所组合的 所有可能情况,即n
当试验中涉及3个因素或更多的因 素时, 采用“树状图”.
一个试验
第一步 第二步 1
A
B
2
3
1
2
3
第三步 a b a b a b a b a b a b
他的分析有道理吗？为什么？
把两个白球分别记作白1和白2，用树 状图的方法看看有哪些等可能的结果.
初中三年级上学期数学《列举所有机会均等的结果》教学设计
P（小明）=
4
1
第一枚
第二枚
2、树形图求概率
若将游戏规则改为抛掷三枚硬币，出现全反面或全正面则小明
获胜；出现一正两反则小颖获胜；出现一反两正则小凡获胜，这样
游戏公平吗？
【分析】现在是抛掷三枚硬币，那么还能用列表法进行分析
吗？大家有没有合适的方法？
【教学说明】教师引导学生画树状图，使学生动手体会如何画
树状图，指导学生规范地应用树状图法解决概率问题，并比较它与
列表法的优劣。
4分钟
四、典例
分析例1在一个不透明的口袋里装有除标号外完全一样的三个小球，小
球上分别标有2，﹣1，3这三个数字，从袋中随机摸出一个小球，
记标号为a，然后放回摇匀后再随机摸出一个小球，记标号为b，
则满足＜1的概率是_____.
【教学说明】教师引导学生画树状图分析，并且对于放回的情况，
需要引导学生思考每种a的情况下对应的各种b的情况。
7分钟正反
正正正反正
反正反反反。