曲边梯形的面积教案
“曲边梯形的面积”教学设计说明
“曲边梯形的面积”教学设计说明山东省临沂市苍山一中杨祥明一、本课数学内容的本质、地位与作用本节课选自人教Ａ版选修2-2第一章第五节定积分概念的第一课时，是新课程增加内容之一，课程标准要求我们通过实例（如曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景，借助几何直观体会定积分的基本思想。
作为定积分的前奏曲，它将为后面学习定积分概念及其几何意义奠定基础。
二、教学目标知识与技能：通过探求曲边梯形的面积，使学生了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想。
过程与方法：通过借助多媒体演示割圆术，激活学生的思维，使学生萌发“分割”，“近似”，“以直带曲”和“无限逼近”的想法。
通过观察动态的图像变化，让学生经历“刨光磨平”的逼近过程，直观感受极限思想。
经历探求曲边梯形的面积的过程，感知“以直代曲”和“逼近”的思想方法；初步掌握求曲边梯形面积的四步曲。
情感与态度：培养学生辩证地看待问题，体验并认同“有限与无限对立统一”的辩证观点，享受数学学习的乐趣。
三、教学问题诊断本节课的核心是求曲边梯形的面积，而本节课的重点却不是求解曲边梯形面积的具体过程，而是解决该问题的思想方法，这也正是本节课的难点所在。
在教学过程中，以下几个方面可能会成为学习本节课的障碍以及处理方法：1．定义曲边梯形的图形与例题中的图形差别比较大，学生不易接受教材中的两个图形：教学中设计的图形：这样处理，可能更有利于学生接受，更能体现数学的和谐之美。
2．“以直代曲”和“无限逼近”思想的形成过程为了使学生重新感知这两种思想，教学中借助多媒体动态演示割圆术，激活学生的思维。
3．求和符号的使用在实际教学中发现，教材中是先出现了求和符号，然后又展开计算的，而易于学生接受的方法是先列出式子，然后利用求和符号简记。
教材中是这样的：易于学生接受的写法是：4．求和之后的化简过程教材中把最后的结果通过比较技巧的处理方式化成了()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=n n n n n n S n 2111131612113， 这个式子的化简让多数学生感到比较困难，教学中可以这么处理：()()2323361213163261211n n n n n n n n n n S n +-=+-=--= 这样处理更有利于学生接受，而且不影响后面求极限。
(完整版)1.5.1曲边梯形的面积(优秀教案)
1.5.1 曲边梯形的面积一、教学目标1、知识与技能目标：（1）通过问题情景，经历求曲边梯形面积的过程，初步了解、感受定积分概念的实际背景。
（2）理解求曲边梯形面积的“四步曲”——分割、近似代替、求和、取极限。
2、过程与方法目标：（1）通过问题的探究体会“以直代曲、无限逼近”的思想。
（2）通过类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。
3、情感、态度与价值观目标：在探究中进一步感受极限的思想，体会直与曲虽然是对立矛盾的，但它们可以相互转化，体现对立统一的辩证关系，在问题解决中体验成功的愉悦，感受数学的魅力。
二、学情分析本节课的教学对象是民语班的学生。
学生在本节课之前已经具备的认知基础有：一是学生已学习过如何通过割补的方法计算不规则直边图形的面积；学生在必修3的阅读与思考内容中对刘徽的“割圆术”求圆面积的方法已经有所了解。
二是学生虽然未学习过极限的有关知识，但通过导数的学习，对极限有了初步的认识。
学生在本节课学习中将会面临的难点：一是部分学生汉语程度相对较为薄弱，一些数学名词难以准确理解，因此需要借助民语教材对部分名词做民语标注，帮助学生准确掌握和学习；此外，学生的汉语表达能力较差，需要即时引导学生进行准确表述和学习。
二是本节课的学习过程中如何“以直代曲”，即学生如何将割圆术中“以直代曲，无限逼近”的思想灵活地迁移到一般的曲边梯形上．具体说来就是：如何选择适当的直边图形（矩形、三角形或梯形）代替曲边梯形，并使细分的过程程序化且便于操作和计算。
三、重点难点教学重点：探究求曲边梯形面积的方法。
教学难点：把“以直代曲”的思想方法转化为具体可操作的步骤，理解“无限逼近”的思想方法。
四、教学过程一、问题情境—生活中的数学原型【教师提问】观察下面的图片，从图片中截取一个平面图形，观察图形，如何求图形的面积？图片一：图形一：【教师提问】观察下面的图片，从图片中截取一个平面图形，观察图形，如何求图形的面积？图片二：图形二：【教师提问】观察下面的图片，从图片中截取一个平面图形，观察图形，如何求图形的面积？图片三：图形三：【思考】“曲边梯形”与“直边图形”的主要区别是什么？【设计意图】1.从生活实际出发，让学生充分感受数学与生活息息相关，生活中处处都能找到数学的原型。
曲边梯形的面积(教案)
曲边梯形的面积教学目标：1. 理解曲边梯形的概念。
2. 学会计算曲边梯形的面积。
3. 能够应用计算公式解决实际问题。
教学重点：1. 曲边梯形的概念。
2. 计算曲边梯形面积的公式。
教学难点：1. 理解曲边梯形的面积计算过程。
2. 应用公式解决实际问题。
教学准备：1. 教学PPT。
2. 教学素材（曲边梯形图形、计算工具）。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾梯形的面积计算方法。
2. 提问：如果梯形的边变成曲线，我们如何计算它的面积呢？二、新课讲解（15分钟）1. 介绍曲边梯形的概念。
2. 讲解曲边梯形面积的计算公式。
3. 举例说明曲边梯形面积的计算过程。
1. 学生独立完成练习题，巩固曲边梯形面积的计算方法。
2. 教师选取部分学生的作业进行点评。
四、拓展应用（10分钟）1. 学生分组讨论，思考曲边梯形面积计算在实际问题中的应用。
2. 各组汇报讨论成果，分享实际问题解决方案。
五、总结与反思（5分钟）1. 学生总结本节课所学内容，分享自己的学习收获。
2. 教师对学生的表现进行评价，并提出改进意见。
教学评价：1. 课后作业完成情况。
2. 课堂练习的正确率。
3. 学生对实际问题解决方案的合理性。
六、案例分析（10分钟）1. 教师展示曲边梯形面积计算在实际工程、地理等领域的应用案例。
2. 学生分析案例，理解曲边梯形面积计算的重要性。
七、练习与巩固（15分钟）1. 学生完成课后练习题，巩固曲边梯形面积计算方法。
2. 教师选取部分学生的作业进行点评，解答学生的疑问。
八、小组讨论（15分钟）1. 学生分组讨论，思考如何优化曲边梯形面积计算方法。
2. 各组汇报讨论成果，分享优化方案。
1. 学生总结本节课所学内容，分享自己的学习收获。
2. 教师对学生的表现进行评价，并提出改进意见。
十、课后作业（课后自主完成）1. 完成课后练习题，巩固曲边梯形面积的计算方法。
2. 思考曲边梯形面积计算在实际问题中的应用，选取一个实例进行分析。
高二数学学案：曲边梯形的面积汽车行驶的路程含解析
1．5。
1曲边梯形的面积1．5.2汽车行驶的路程［目标］1.知道“以直代曲”的意义.2.学会求曲边梯形面积和汽车行驶路程的步骤。
3。
感受解决问题过程中渗透的思想方法．［重点] 求曲边梯形面积与计算汽车行驶的路程问题．［难点] 求曲边梯形面积的方法与步骤．知识点一曲边梯形的面积［填一填］1．连续函数如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数．2．曲边梯形的面积(1）曲边梯形:由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f（x）所围成的图形称为曲边梯形(如图①）．（2)求曲边梯形面积的方法把区间[a，b］分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形,对每个小曲边梯形“以直代曲",即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②）．（3)求曲边梯形面积的步骤：①分割，②近似代替，③求和，④取极限．[答一答]1．“曲边梯形”与“直边梯形”有什么联系与区别?提示：曲边梯形与直边梯形都有四条边，直边梯形的四条边都是线段，而曲边梯形有一条边是曲线段，其余三条边都是线段．2．“以直代曲”思想的本质是什么？提示：曲边梯形的边中有曲线，不方便直接求出其面积，因此，我们把曲边梯形分割成一系列的小曲边梯形，再用小矩形近似代替之，“以直代曲”求和，无限“细分”去“逼近”面积的精确值，这种极限的思想是学习定积分的一种重要的思想．3．分割步骤中，小区间的多少对最终结果有何影响?提示：对区间［a，b]划分的越细，估计值就越接近精确值，即小矩形面积的和越趋近曲边梯形的面积．4．近似代替步骤中，f（ξi)有何要求?提示：“近似代替”中每一个小区间上函数f(x)的值可用f（ξi）来代替，ξi∈[x i－1,x i］，不影响极限的值．为了计算方便，可以取区间上的一些特殊点，如区间的端点或中点等．知识点二 求变速直线运动的位移(路程）［填一填］如果物体做变速直线运动，速度函数v ＝v (t ）,那么也可以采用分割，近似代替，求和，取极限的方法,求出它在a ≤t ≤b 内所作的位移s 。
曲边梯形的面积(教案)
曲边梯形的面积【教学目标】1、知识与技能目标：通过问题情景，经历求曲面梯形的形成过程，了解定积分概念的实际背景。
理解求曲面梯形的一般步骤。
2、过程与方法目标：通过问题的探究体会以直代曲、以不变代变及无限逼近的思想。
通过类比体会从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。
3、情感、态度与价值观目标：体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点，接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度。
【教学重点】求一般曲面梯形面积的方法。
【教学难点】对以直代曲、无限逼近思想的理解。
【教学准备】多媒体电脑、课件等。
【教学过程】教学环节教学内容学生活动教师活动创设情景问题一：我们在小学、初中就学习过求平面图形面积的问题。
有的是规则的平面图形，但现实生活中更多的是不规则的平面图形。
对于不规则的图形我们该如何求面积？比如浙江省的国土面积。
此问题在学生九年级中已有涉及，在九年级时学生了解过以下求不规则面积的方法：方法1 将图形放在坐标纸上，也即将图形分割，看它有多少个“单位面积”。
回顾初中所学内容。
讲评：其中方法1、2蕴含积分的基本思想，方法3用随机模拟的方法，称为“蒙特卡罗方法”，方法4是伽利略测量摆线与直线围成的面积是所用的方法。
根据学生的程度选择性的讲方法 2 将图形从内外两个方面用规则图形(或规则图形的组合)逼近。
方法3 将这块图形用一个正方形围住，然后随机地向正方形内扔“点”(如小石子等小颗粒)，当点数P足够大时，统计落入不规则图形中的点数A，则图形的面积与正方形面积的比约为。
方法4“称量”面积：在正方形区域内均匀铺满一层细沙，分别称得重量是P(正方形区域内细沙重)、A(所求图形内细沙重)，则所求图形的面积与正方形面积的比是重量之比。
评。
问题二：户型图不完全是不规则的，有一边是曲线，其他边是直线，提出房屋面积的测量问题。
比较两种不规则图形的区别引导、揭示定义提出概念概念：如图，由直线x=a,x=b,x轴，曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形。
曲边梯形的面积教学设计
1.5.1 曲边梯形的面积一、教学目标1、理解并会初步应用求曲边梯形面积的一般方法——“分割—近似代替—求和—取极限”；2、经历求曲边梯形面积的过程，体验“以直代曲”和“无限逼近”的思想方法，感受数学中的转化与化归思想；3、通过曲边梯形的面积这一实例，了解定积分的几何背景，借助几何直观体会定积分的基本思想。
二、学情分析学生在本节课之前已经具备的认知基础有：一是学生学习过通过割补的方法将不规则图形转化为若干规则图形来计算面积；二是学生学习过数列求和的基本知识，学生也在课后思考中见过这个结论；三是学生虽然未学习过极限的有关知识，但通过导数的学习，对极限有了初步的认识。
学生在本节课学习中将会面临两个难点：一是如何“以直代曲”，即学生如何将割圆术中“以直代曲，近似代替”的思想灵活地迁移到一般的曲边梯形上．具体说来就是：如何选择适当的直边图形（矩形、三角形或梯形）代替曲边梯形，并使细分的过程程序化且便于操作和计算。
二是对“极限”和“无限逼近”的理解，即理解为什么将直边图形面积和取极限正好是曲边梯形面积的精确值。
三、本节课的重点是：探究求曲边梯形面积的方法。
本节课的难点是：把“以直代曲”的思想方法转化为具体可操作的步骤，理解“无限逼近”的思想方法。
四、教学过程为实现本节课的教学目标，突出重点，突破难点，根据“启发性原则”和“循序渐进原则”，我把教学过程设计为“问题引入，明确主题；类比探究，形成方法；特例应用，细化操作；一般推广，提炼本质”四个阶段．（一）问题引入，明确主题。
这一阶段的教学任务是：1、让学生了解什么样的图形叫做曲边梯形？曲边梯形和直边图形的区别是什么？2.让学生明确本节课的主题和研究方向：如何求曲边梯形的面积？能不能把曲边梯形面积问题转化成我们熟悉的直边图形面积问题？（二）类比探究，形成方法这一阶段的主要问题是如何获得解决曲边梯形面积问题的思想以及把思想转化为可操作的方法。
为了使学生不偏离本节课主要任务，这一阶段采取“启发式”的教学方法，分三个步骤进行教学。
《求曲边梯形的面积》教学设计方案
《求曲边梯形的面积》教学设计方案《《求曲边梯形的面积》教学设计方案》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！学习主题介绍学习主题名称：求曲边梯形的面积主题内容简介：曲边梯形与“直边图形”的主要区别是，前者有一边是曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段. 是否也能用直边形(比如矩形)逼近曲边梯形的方法求阴影部分面积? 本节主要介绍用“以直代曲”的方法求曲边梯形的面积。
学习目标分析1.知识与能力能根据小学课本里求出圆面积的过程，概括出求平面曲边梯形面积的基本思想：在每个局部小范围内“以直代曲”和逼近的思想.2.过程与方法(1)根据“以直代曲”和“逼近”的思想将求曲线梯形面积化为四个步骤：分割、近似代替、求和、取极限. (2)了解定积分概念中蕴涵的最本质的思想.3.情感态度与价值观利用计算平面“曲边图形”的面积，从实际问题引发学生学习定积分知识的欲望.学情分析前需知识掌握情况：1.必须知道常见直边形面积公式。
包括三角形，平行四边形，矩形菱形，正方形，梯形，圆的面积计算公式。
2.必须知道小学里求圆的面积的方法。
3. 区间n等分后，能具体写出小每个区间，能算出每个小区间长度。
4.会求前n个正整数的和，前n 个正整数的平方和，会求简单数列{1/n}当n趋于无穷大时的极限.对微课的认识：微课作为一种新的教学形式，主要特点是“微”，就是教学时间不长，可以针对教学中某个重点，难点进行有效讲解，可以作为对课堂教学内容的补充，如果微课的设计可以生动些，趣味性多一些，多数学生是会喜欢的.学生特征分析学习态度：由于微课是视频，可以反复观看学习，只要时间足够，学生都可以学懂微课内容，由于播放次数的没有限制，只要想学随时可以看，所以学生还是比较喜欢的。
学习风格：平时有部分学习不得法，学生整天玩手机游戏，如果让学生用手机看微课，正好可以使学生更喜欢学习。
微课用于学生学习的教学策略分析微课用于学生学习的目的：主要是对一节课重点难点知识起辅助作用，作为对课堂教学内容的补充。
《曲边梯形的面积》教案
《曲边梯形的面积》教案临漳县第一中学王玉巧一、教学目标（1）知识与技能:从问题情境中了解定积分的实际背景；掌握求曲边梯形面积的方法及步骤；（2）过程与方法:经历求曲边梯形面积的过程，体会“以直代曲”、“无限逼近”的微积分基本思想方法；（3）情感、态度与价值观:让学生亲身经历数学知识产生的过程，提升学生的交流合作意识，体验“有限与无限对应统一”的辩证观点.二、教学重点、难点重点：探究求曲边梯形面积的方法.难点：1、求和步骤2、把“以直代曲”的思想方法转化为具体可操作的步骤，理解“无限逼近”思想方法.三、教具多媒体四、教学过程（-）问题引入，点出课题：1.展示图片，抽象概念曲边梯形的概念：如右图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线()y f x =的一段，我们把由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形． 2.具体化问题：求2y x =与0y =轴及1x =所围成的平面图形面积S ？（二）实施方案1.分割学生活动：请讨论：如何分割？学生活动：请讨论：分割多少份合适？2.近似代替学生活动：以什么样的直边图形近似代替小曲边梯形？展示学生的部分近似代替的方案3.求和：学生活动：如何用n 的式子表示直边图形面积的和？展示学生部分计算结果：（1）以方案（1）计算：)211)(11(311nn S --=（2）.以方案（2）计算)211)(11(312n n S ++= 4．取极限学生活动：请讨论：对控制变量n 怎样理解，面积S 变化趋势怎样？ 取极限：（1） 当+∞→n 时，31)211)(11(311→--=n n S（2）当+∞→n 时，31)211)(11(312→++=n n S （三）引申探究 学生活动：在求小矩形的面积时，我们提到了可以取2)(x x f =在区间],1[ni n i -上任意一点i ξ处的值)(i f ξ作为小矩形的高，会有怎样的结果？（四）练习(四)课堂总结学生活动：请同学交流，谈谈本节课的收获？1.求曲边梯形面积的步骤是：分割--近似代替--求和--取极限；2.学习到的基本数学方法是：以直代曲、无限逼近.五、课后作业设置1.请用数学式子表示1.5-1对应的曲边图形的面积？2．课本42P 练习题（作业本）；3 课时训练九——强化练4．阅读课本4849P -，并用电脑操作验证. 六、板书设计。
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1.5.1曲边梯形的面积教案
一、学习目标
1.通过对曲边梯形面积的探求，掌握好求曲边梯形的面积的四个步骤—分割、近似代替、求和、求极限；
2通过求曲边梯形的面积、变速运动中的路程，初步了解定积分产生的背景．
二、重点、难点
重点：求曲边梯形的面积；
难点：深入理解“分割、近似代替、求和、求极限”的思想．
三、知识链接
1、直边图形的面积公式：三角形，矩形，梯形；
2、匀速直线运动的时间（t）、速度（v）与路程（S）的关系．
四、学法指导
探求、讨论、体会以直代曲数学思想．
五、自主探究
1、概念：如图，由直线x=a , x= b , x轴，曲线y=f (x)所围
成的图形称为．
2、思考：如何求上述图形的面积？它与直边图形的主要区
别是什么？能否将求这个图形的面积转化为求直边图形的
面积问题？
例１、求由抛物线y=x2与x轴及x=1所围成的平面图形的面
积S．
分析：我们发现曲边图形与“直边图形”的主要区别是，
曲边图形有一边是线段，而“直边图形”的所有边都是线段。
我们可以采用“以直代曲，逼近”的思想得到解决问题的思路：
将求曲边梯形面积的问题转化为求“直边图形”面积的问题．
解：（1）分割
把区间[0，1]等分成n个小区间：
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他
们的面积分别记作
（2）以直代曲
（3）作和
（4）逼近
分割以曲代直作和逼近
当分点非常多（n非常大）时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长，于是f(xi) △x来近似表示小曲边梯形的面积
表示了曲边梯形面积的近似值。
变式拓展：求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积．
反思:
例2：一辆汽车在笔直的公路上变速行使,设汽车在时刻的速度为(单位，求它在(单位：)这段时间内行使的路程(单位:)．
变式拓展：一辆汽车在笔直的公路上变速行使,设汽车在时刻的速度为(单位,求它在(单位:)这段时间内行使的路程(单位:)．
反思:
六、目标检测
见学案
七、作业布置P50 B组1．2（1）（2）
八、小结。