降水量连续型随机变量例题

降水量连续型随机变量例题例一·测量电压设在一电路中，电阻两喘的电压(V)服从 N ( 120 , 2 2 ) . N(120,2^2). N(120,22).今独立测量了 5 5 5次，试确定有2 2 2次测定值落在区间 [ 118 , 122 ] [118,122][118,122]之外的概率.思路设第 i i i次的测量值为 X i X_i Xi， i = 1 , 2 , 3 ,4 ,5 , i=1,2,3,4,5, i=1,2,3,4,5,则 X i ∼ N ( 120 , 2 2 ) X_i \sim N(120,2^2) Xi∼N(120,22),代入公式得 P{ 118 ⩽ X i ⩽122 } = Φ ( 122 − 120 2 ) − Φ( 118 − 120 2 ) = Φ ( 1 ) − Φ ( − 1 ) = 2 Φ ( 1 ) − 1 = 0 , 6826 P { X i ∉ [ 118 , 122 ] } = 1 − P { 118 ⩽ X ⩽ 122 } = 0.3174 , i = 1 , 2 , 3 , 4 , 5\begin{array}{l} P\left\{118 \leqslant X_{i} \leqslant 122\right\}=\Phi\left(\frac{122-120}{2}\right)-\Phi\left(\frac{118-120}{2}\right) \\ \quad=\Phi(1)-\Phi(-1)=2 \Phi(1)-1=0,6826 \\ P\left\{X_{i}\notin[118,122]\right\}=1-P\{118 \leqslant X \leqslant 122\}=0.3174, i=1,2,3,4,5 \end{array} P{118⩽Xi⩽122}=Φ(2122−120)−Φ(2118−120)=Φ(1)−Φ(−1)=2Φ(1)−1=0,6826P{Xi∈/[118,122]}=1−P{118⩽X⩽122}=0.3174,i=1,2,3,4,5因各个X i X_i Xi相互独立，故用 Y Y Y表示 5 5 5次测量其测量值 X i X_i Xi落在区间 [ 118 , 122 ] [118,122][118,122]之外的个数，则 Y ∼ b ( 5 , 0.3174 ) Y \simb(5,0.3174) Y∼b(5,0.3174)代入公式得 P { Y = 2 } = ( 52 ) ( 0.3174 ) 2 ( 0.6826 )3 = 0.3204P\{Y=2\}=\left(\begin{array}{l} 5 \\ 2\end{array}\right)(0.3174)^{2}(0.6826)^{3}=0.3204P{Y=2}=(52)(0.3174)2(0.6826)3=0.3204例二·等待指示灯的时间某人上班，自家里去办公楼要经过一交通指示灯，这一指示灯有80%时间亮红灯，此时他在指示灯旁等待直至绿灯亮，等待时间在区间 [ 0 , 30 ] [0,30] [0,30](以秒计)服从均匀分布.以X表示他的等待时间.求X的分布函数F(x)，并问X是否为连续型随机变量，是否为离散型的? (要说明理由)思路当他到达交通指示灯处时,若是亮绿灯,则等待时间X为零,亮红灯则等待时间X服从均匀分布.记A为事件“指示灯亮绿灯”,对于固定的x≥0,由全概率公式有 P { X ⩽ x } = P { X ⩽x ∣ A } P ( A ) + P { X ⩽x ∣ A ˉ ⟩ P( A ˉ ) P\{X \leqslant x\}=P\{X \leqslant x | A\}P(A)+P\{X \leqslant x|\bar{A}\rangle P(\bar{A})P{X⩽x}=P{X⩽x∣A}P(A)+P{X⩽x∣Aˉ⟩P(Aˉ) 其中 P { X ⩽x ∣ A } = 1 , P { X ⩽x ∣A ˉ } = x 30 ( 当 0 ⩽ x ⩽ 30 ) , P ( X ⩽x ∣ A ˉ ) = 其中P\{X\leqslant x | A\}=1, P\{X \leqslant x |\bar{A}\}=\frac{x}{30}(当0 \leqslant x \leqslant 30), P(X \leqslant x | \bar{A})= 其中P{X⩽x∣A}=1,P{X⩽x∣Aˉ}=30x(当0⩽x⩽30),P(X⩽x∣Aˉ)= 1 ( 当 x > 30 ) , 由 P ( A ) = 0.2 得到 1(当 x>30), 由P(A)=0.2 得到 1(当x>30),由P(A)=0.2得到 P { X ⩽x } = 1 × 0.2 + x 30 × 0.8 = 0.2 + 0.8 x 30 ( 当 0 ⩽ x ⩽ 30 ) P\{X \leqslantx\}=1 \times 0.2+\frac{x}{30} \times 0.8=0.2+\frac{0.8 x}{30}(当0 \leqslant x \leqslant 30)P{X⩽x}=1×0.2+30x×0.8=0.2+300.8x(当0⩽x⩽30) P { X ⩽x } = 1 × 0 , 2 + 1 × 0.8 = 1 ( 当 x > 30 ) P\{X \leqslant x\}=1 \times 0,2+1 \times 0.8=1\quad\left(当 x>30\right) P{X⩽x}=1×0,2+1×0.8=1(当x>30) 于是得到 X 的分布函数于是得到X的分布函数于是得到X的分布函数 F ( x ) = P { X ⩽ x } = { 0 , x < 0 0.2 + 0.8 x 30 , 0 ⩽ x < 30 1 , x ⩾ 30F(x)=P\{X \leqslant x\}=\left\{\begin{array}{ll}0, &x<0 \\ 0.2+\frac{0.8 x}{30}, & 0 \leqslant x<30 \\ 1, & x \geqslant 30\end{array}\right. F(x)=P{X⩽x}=⟩⟩⟩0,0.2+300.8x,1,x<00⩽x<30x⩾30例三·求概率密度设 X ∼ N ( 0 , 1 ) X\sim N(0,1) X∼N(0,1),求 Y = e X Y=e^X Y=eX的概率密度.思路因为 Y = e X Y=e^X Y=eX大于0，故当 y < 0 y<0 y<0时，f Y ( y ) = 0 f_Y(y)=0 fY(y)=0；当 y > 0 y>0 y>0时，注意到 X ∼ N ( 0 , 1 ) X\sim N(0,1) X∼N(0,1)，因而可以求出 Y Y Y的分布函数为 F Y ( y ) = P { Y ⩽ y } = P { 0 < Y ⩽ y } = P { 0 < e x ⩽ y } − P { − ∞ < X ⩽ ln ⟩ y } = Φ ( ln ⟩ y ) \begin{aligned}&F_{Y}(y)=P\{Y \leqslant y\}=P\{0<Y \leqslanty\}=P\left\{0<\mathrm{e}^{x} \leqslant y\right\}\\ &-P\{-\infty<X \leqslant \ln y\}=\Phi(\ln y)\end{aligned} FY(y)=P{Y⩽y}=P{0<Y⩽y}=P{0<ex⩽y}−P{−∞<X⩽lny}=Φ(lny)进而求得 f Y ( y ) = d d y F Y ( y ) = d d x Φ ( x ) ∣ x = ln ⟩ y ⋅ 1 y = 1 2 π e − 1 2 ( ln ⟩ y ) 2 ⋅ 1 y f_{Y}(y)=\frac{d}{d y}F_{Y}(y)=\left.\frac{d}{d x} \Phi(x)\right|_{x=\ln y} \cdot \frac{1}{y}=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{1}{2}(\ln y)^{2}} \cdot \frac{1}{y} fY(y)=dydFY (y)=dxdΦ(x)∣∣∣∣x=lny⋅y1=2π1e−21(lny)2⋅y1于是， Y = e X Y=e^X Y=eX的概率密度为f Y ( y ) = { 1 2 π y e − 1 2 ( ln ⟩ y ) 2 ⋅ , y >0 0 , 其他 f_{Y}(y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{\sqrt{2 \pi} y} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}(\ln y)^{2}} \cdot, & y>0 \\ 0, & 其他 \end{array}\right.fY(y)={2πy1e−21(lny)2⋅,0,y>0其他例四·使用引理求概率密度设随机变量 X X X的概率密度为 f ( x ) = { e − x , x > 0 0 , 其他 f(x)=\left\{\begin{array}{ll} e^{-x}, &x>0 \\ 0, & 其他 \end{array}\right. f(x)={e−x,0,x>0其他求 Y = X 2 Y=X^2 Y=X2的概率密度.思路Y = X 2 Y=X^2 Y=X2，即有 y = g ( x ) = x 2 y=g(x)=x^2 y=g(x)=x2，在 x > 0 x>0 x>0时， g ( x ) g(x) g(x)单调递增，具有反函数 x = h ( y ) = y 1 / 2 x=h(y)=y^{1/2} x=h(y)=y1/2,又有h ′ ( y ) = 1 2 y − 1 / 2h^{\prime}(y)=\frac{1}{2} y^{-1 / 2} h′(y)=21y−1/2由课本引理得 Y = X 2 Y=X^2 Y=X2的概率密度为 f Y ( y )= { 1 2 y e − y , y > 0 0 , 其他f_{Y}(y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{2 \sqrt{y}} e^{-\sqrt{y}}, & y>0 \\ 0, & 其他 \end{array}\right. fY(y)={2y1e−y,0,y>0其他。