函数中的数形结合思想
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用【摘要】二次函数教学中，数形结合思想的应用是非常重要的。
通过将数学与几何相结合，可以帮助学生更深入地理解二次函数的概念和特性。
通过实例分析和图形展示，学生能够直观地看到二次函数的图像与方程之间的关系，从而加深对这一知识点的理解。
通过实践操作，学生可以更好地掌握数学知识，提升他们的实际运用能力。
数形结合思想不仅可以提升学生的学习兴趣和效果，还可以帮助他们从多角度理解数学知识，提高数学素养。
在二次函数教学中，充分利用数形结合思想是非常有益的，可以有效提升学生的学习水平和综合素质。
【关键词】二次函数、数形结合、教学、图形、特性、实例分析、数学、几何、理解、实践操作、学习兴趣、学习效果、多角度、数学素养。
1. 引言1.1 二次函数教学的重要性二次函数作为高中数学中的重要内容之一，在学生数学学习中具有重要的地位。
学会了二次函数的相关知识，可以帮助学生理解和掌握高中数学中的很多概念和方法，为以后的学习打下坚实的基础。
二次函数的教学内容丰富多样，不仅可以帮助学生提高数学的解题能力，还可以培养学生的数学思维和创新能力。
二次函数具有许多独特的特性和规律，通过学习二次函数，可以让学生在数学上有更深入的认识和了解。
二次函数也广泛应用于生活和科学领域，学会了二次函数相关知识可以帮助学生更好地理解和解决实际问题。
二次函数教学的重要性不言而喻。
只有深入理解和掌握二次函数的相关知识，才能在数学学习中取得更好的成绩，为将来的发展打下坚实的基础。
二次函数的教学不仅具有重要的理论意义，更具有重要的实践意义。
通过深入的学习和实践，可以帮助学生更好地理解和应用二次函数相关知识，提高数学素养和解决实际问题的能力。
1.2 数形结合思想的意义数形结合思想在二次函数教学中扮演着至关重要的角色。
通过将数学与几何相结合，可以帮助学生更直观地理解抽象的数学概念，提高他们的学习兴趣与学习效果。
在二次函数这一抽象概念中，数形结合思想可以将函数的数学性质与图形的几何特征相联系，使学生更全面地理解二次函数的本质。
巧用数形结合思想求函数最值
巧用数形结合思想求函数最值
1.利用函数图像：函数的图像能够直观地表示出函数的性质和变化规律。
通过观察函数图像的形状和趋势，可以得到函数的最值。
例如，对于一个连续递增函数，其最小值一定在定义域的最左边，最大值一定在定义域的最右边。
对于一个连续递减函数，则相反。
因此，可以通过观察函数图像的趋势来确定函数的最值。
2.利用导数和极值：当函数存在导数时，可以通过导数和极值的关系来求函数的最值。
根据导数的定义，函数的极值点对应着导数为0的点。
因此，求函数的最值可以转化为求函数导数的零点。
利用微积分的知识，可以求得函数的导数，然后找出导数为0的点，通过比较这些点的函数值来确定函数的最值。
3.利用平均值不等式：平均值不等式是数学中的一个重要定理，它可以用来求函数的最值。
平均值不等式的基本内容是：对于一组非负数的平均值，其最大值等于这组数中的最大值，最小值等于这组数中的最小值。
利用这个定理，可以将函数的求最值问题转化为一组非负数的最值问题，进而求得函数的最值。
除了以上几种常见的数形结合思想，还有其他一些方法，如利用等式和不等式的性质，利用对称性等。
这些方法在不同的问题中都有所应用。
最后，需要注意的是，求函数的最值并不总是一件容易的事情，它涉及到数学的各个方面，需要灵活运用各种方法。
在解决问题的过程中，除了观察图形和利用数学定理外，还需要深入理解问题的背景和条件，灵活运用数学知识，才能得出准确的结果。
因此，在求函数最值时，需要注意综合运用各种数学思想和方法，以取得较好的效果。
数形结合思想在函数解题中的应用
数形结合思想在函数解题中的应用摘要：数形结合思想是数学教学重视数学思想培养之一。
高中数学教学和学习中，灵活地应用数形结合思想可以更好地对于数的概念以及形的特征把握，可以化抽象为具体，能通过数与形快速解决问题。
解决数学问题关键的一大利器是利用数形结合思想关键词：数形结合思想；函数；解题1. 阐述数形结合思想在高中数学的教与学的过程中要重视合理的转化数与形，实现将难懂的的数学问题的性质清晰表现处理。
寻找到潜藏在数与形之间的对应关系是数形结合思想的本质所在，常见的我们是把数转化成形，从而直观形象的解决问题，同时大家不要忽略有时学会形转化成数。
这是因为过于直观和具体的形，无法凝练出具有一般性的特征。
充分理解数与形互化关系，把形转化成为数，答案通过计算得出。
总而言之，数形结合是高中数学重要的数学思想之一，学会数学互化的重要思想。
本文主要讨论的是数形结合的思想在函数解题中的应用：研究单调性，求函数的最值，函数的零点问题等。
2.数形结合思想在函数性质中的应用新课改更注重学生的自主学习，自己提练信息，所以出题更偏爱将函数的几种性质综合在一起考查学生。
如果学生只是从代数的角度去解题，那无疑会增加解题的难度，如果能利用图形的直观性，能大大的提高解题效果。
我们要引导学生解题的要充分利用数形结合的思想。
（1）数形结合思想在函数单调中的应用例1.设函数f(x)=若函数f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，求实数a取值范围解析：函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.总结：单调性是函数的重要性质之一，它的主要应用是用来求解最值，求解不等式，比较大小，求参数等，不管哪一种应用，能画出函数的图像，通过图像中的单调得出答案，能大大的提高解题效率，充分体现了数形结合思想的重要性（2）数形结合思想在函数最值中的应用例题1：定义max{a，b，c}为a，b，c中的最大值，设M=max{2x，2x－3，6－x}，求M的最小值解析：画出函数M={2x，2x－3，6－x}的图象(如图)，由图可知，函数M在点A(2，4)处取得最小值22=6－2=4，故M的最小值为4.总结：函数的最值是函数中比较热点的题目。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用二次函数教学中的“数形结合”思想的应用二次函数作为高中数学中的重要内容之一，其教学一直备受学生和教师的关注。
在二次函数教学中，要求学生不仅要能够掌握相关的概念和定理，还要能够应用所学的知识解决实际问题。
“数形结合”思想在二次函数教学中的应用显得尤为重要。
本文将针对二次函数教学中的“数形结合”思想进行分析和探讨，以期能够更好地引导学生理解和掌握二次函数的相关知识。
一、探究二次函数图像的特点在二次函数教学中，学生首先需要了解二次函数的图像特点。
一般来说，二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由二次项系数的正负性决定，开口向上的抛物线代表二次项系数大于0，开口向下的抛物线代表二次项系数小于0。
二次函数的顶点坐标、对称轴方程、零点坐标等也是学生需要掌握的内容。
通过学习这些内容，学生可以初步认识二次函数图像的特点，从而为后续的学习打下基础。
在教学中，可以通过让学生观察二次函数图像的变化，来引导他们探究二次函数图像的特点。
可以让学生改变二次函数的系数，观察对图像的影响，从而深入理解二次函数的图像特点。
老师还可以通过实例演示的方式，引导学生进一步理解二次函数图像的特点，激发学生的学习兴趣，提高他们对二次函数图像特点的理解能力。
二、数形结合的实际应用在学生掌握了二次函数的图像特点后，就可以引入“数形结合”思想，让学生将数学知识与实际问题相结合，进行实际应用。
可以通过实际问题来引导学生分析和解决问题，从而培养学生的数学建模能力和解决问题的能力。
通过实际问题的应用，还可以让学生更加直观地理解二次函数的意义和应用价值，提高他们对数学知识的兴趣和学习积极性。
在教学中，老师可以鼓励学生提出问题、进行实验和观察，从而引导他们进行自主探究。
通过这样的方式，学生可以更加深入地理解二次函数的相关知识，同时也可以培养其独立思考和问题解决的能力。
在探究性学习的过程中，老师要给予适当的指导和帮助，促进学生的学习成果，从而提高他们的学习效果。
数形结合思想在函数与方程中的应用
数形结合思想在函数与方程中的应用数形结合思想，就是把代数中的数与几何中的形结合起来理解问题，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想在高考数学中占有重要地位。
下面练习利用数形结合思想解决函数与方程问题（一）数形结合在函数中的应用例1.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(－x)，当x∈时，f(x)＝log(x＋1)，则f(x)在区间内是( )2A.减函数且f(x)>0B.减函数且f(x)<0C.增函数且f(x)>0D.增函数且f(x)<0解析由f(x＋1)＝f(－x)可知，函数f(x)的图象关于直线x＝对称，又函数f(x)为奇函数，故f(x＋1)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝f(x)，即函数f(x)的周期为2，又当x∈时，f(x)＝log(x＋1)，故可得到函数f(x)的大致图象如图所示.由图象可知选B.2答案 B例2.已知函数y＝的图象与函数y＝kx的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是________.解析y＝＝＝函数y＝kx过定点(0，0).由数形结合可知：0＜k＜1或1＜k＜k，OC∴0＜k＜1或1＜k＜2.答案 (0，1)∪(1，2)例3.已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是( )A.9B.10C.11D.18解析：在坐标平面内画出y＝f(x)与y＝|lg x|的大致图象(如图)，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是10，故选B.答案 B[点评] 解决本题的关键是在同一坐标系中准确画出两函数的图象，有几个交点，原函数就有几个零点.1.数形结合在方程中的应用例4.已知点在函的图象上，且．求方程解的个数。
思路分析方程解的个数问题，用数形结合思想，其实是画出图像求图像交点个数答案：3解析：，画出及的图像，方程解的个数既为函数图像交点的个数，由图像知原方程有3个解。
数形结合在函数教学中的应用
数形结合在函数教学中的应用数学中存在着“数”与“形”两个基础概念，数量关系与空间图形往往有机结合在一起，相互解释，这便是“数形结合”的思想。
在初中函数中，函数变量关系与绘制图像联系密切，变量关系中彰显出隐含的图像信息，图像之中也能反映出函数的变量关系。
在解答函数题目时，往往需要结合绘制图像，在较为直观的图形中把握函数关系，为分析、解答提供了极大的方便。
例如在一次函数的教学中，设计了如下一些教学思路：（1）探究性课题：1、水电费账单数据的分析。
2、物理学科中电阻、电压、电流关系。
提出一些问题：探究这些变量之间的数量关系，画出相应的函数图象，并结合数学知识编制新问题。
这样把实际生活中的问题上升为数学问题并构建为数学模型。
设计练习：a:直角三角形的两个锐角的度数分别为x、y，用x表示y的关系式；b:从边长为20的正方形的四角剪去四个边长为x的小正方形，做成一个无盖的小方盒子，设此盒的容量为v，写出v关于x的函数解析式，所有这些问题中自变量的取值范围是什么？（2）问题情境：龟兔赛跑的结局提出新的问题：兔子醒来后，发现乌龟已在自己前面2500米处，很后悔，就以每小时3000米的速度去追，而乌龟仍以每小时500米的速度前进，那么谁能最终获胜？学生猜测、讨论思考：若设兔子醒后追了t小时，龟、兔离开睡觉处S（米）与时间t（小时）是什么关系？学生：兔：S=3000t (t>0)龟：S2=2500+500t (t>0)提问：1：能用学过的方法直观反映问题吗？（画图）2：图像的交点表示什么实际意义？交点的左侧呢？右侧呢？由学生通过讨论、计算得出3个结论。
教学策略：猜想—探究通过讨论、质疑、尝试，结合函数关系，利用数形结合进行分析，在实际问题与数学知识之间建立数学模型，探究结论，准确直观的解决问题。
在反比例函数和二次函数的教学中，有意识的去引导学生把“数”和“形”结合起来去解决相关问题，让学生在自我尝试中体会数学的魅力，从而降低了教与学的难度。
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用
例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用二次函数是初中高中数学中的重要内容，其教学既涉及到运算规律的讲解，也涉及到数学思维的培养。
在二次函数教学中，运用“数形结合”思想是非常有效的教学方法之一。
下面从二次函数教学中“数形结合”思想的应用方面进行探讨。
首先，二次函数图像与根的关系是教学中重要的内容。
二次函数的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），可以通过推导，得到二次函数的判别式△=b²-4ac，若△>0，则函数有两个不同的实根，若△=0，则函数有两个相同的实根，若△<0，则函数无实根。
在教学中，可以通过绘制二次函数的图像，让学生看得更直观。
通过图像观察，可以判断二次函数是否有根，若有，还可以计算出根的大致范围。
同时，也可以通过根的公式计算出根的精确值，并用数轴来表示。
这样，通过“数形结合”的方式，可以深化学生对二次函数图像和根的理解，加深记忆，提高学生的学习效果。
其次，二次函数图像的性质也是二次函数教学中的重点内容。
通过图像，可以发现，二次函数是一个开口朝上或朝下的抛物线。
当a>0时，抛物线开口朝上，二次函数的最小值为顶点坐标，当a<0时，抛物线开口朝下，二次函数的最大值为顶点坐标。
同时，二次函数的对称轴为y=-b/2a。
在教学中，可以通过绘制多组图像，让学生观察抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴等图像性质，并找出它们之间的联系。
通过这种“数形结合”的方式，可以帮助学生更加深入地理解二次函数图像的性质，从而提高学生的学习兴趣和学习积极性。
最后，二次函数的应用也是教学中不可忽视的内容。
二次函数常常在物理、工程等领域中得到应用。
例如，通过绘制二次函数图像，可以解决物理问题中的抛物线运动。
在教学中，可以通过引导学生分析实际问题，并建立相应的数学模型，进一步加深学生对二次函数的应用理解。
同时，通过数学软件的辅助，还可以帮助学生更加直观地观察二次函数图像，提高学生学习的趣味性和实用性。
数形结合思想在初中数学教学中的应用——以“函数”教学为例
教学·策略数形结合思想在初中数学教学中的应用———以“函数”教学为例文|林欣为了促进教学活动的顺利、高效开展，明确落实教学目标，教师需要重视对教学理念的创新与变革，以便为学生创造良好的学习环境，进一步挖掘学生的潜能，为学生高效开展数学学习奠定基础。
数形结合思想作为重要的数学思想，对提升学生的数学学习能力有着重要意义。
教师应将数形结合思想融入日常教学中，以助力学生更高效地解决数学问题，促使学生形成良好的数学思维。
同时函数作为初中数学的重要内容，对学生数学素养与能力的提升有着重要影响。
因此，在“函数”教学中，教师应重视对数形结合思想的有效应用，直观、生动地展现抽象的函数知识，充分发挥学生的形象思维能力，帮助学生掌握问题的本质，使其能够快速、高效地解决问题，从而为初中数学教学的高质、高效开展提供助力。
一、创设教学情境在初中数学教学活动中，教师可以结合教学知识创设生动、有趣的教学情境，以吸引学生的注意力，使学生能够真正关注到问题，并运用图形对问题中所包含的内容进行直观呈现，让学生亲身感受到数形结合所创造的便利，进而激发学生运用数形结合方法解决数学问题的热情，并深刻认识到数形结合思想的价值与意义。
例如，教师可以结合生活实际设置例题，通过创设良好的教学情境，激发学生的解题兴趣。
问题：25路公交车往返于A、B两地，两地的发车时刻表相同。
假设公交车均速直线向前行驶，从A 地到B地，从B地到A地所用时间都是60分钟，每间隔10分钟发一趟车。
提问：一辆25路公交车从A 地出发，途中能遇到几辆由B地出发的25路公交车？在分析问题后：学生1：能够遇到4辆。
学生2：能够遇到5辆。
学生3：能够遇到6辆。
学生4：能够遇到7辆。
教师：针对这一问题，大家的答案各不相同，以前也有数学家针对类似问题进行了激烈争论。
虽然这道题十分简单，却隐藏着重要信息，需要我们运用合理的方法解题。
学生一听数学家都没有解出这道题都感到十分的疑惑，非常想知道最后数学家是怎样解出问题的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
＼
／０
Ａ
／
一 —
一
ｌ０
Ｂ
：
与函数 ｙ ｌ ｇ的图像 的交 点个数 为 １ ＝ｏ ｇ ；
（ ）若 ｌａ ｅ ３ ＜ ＜ 时 ，ｙ Ｗ与 ｙ ｘ有两个交 点 ，故 ＝ ＝
函数 ｙ Ｗ与 函数 ｙ ｌｇ ＝ ＝ｏ￣的图像的交点个数为 ２ ．
于是 ．正确的答案为 Ａ ．
例２函 数 等 的 图像大致为 （ ）
１ ４
攀黼
方程为 ｙ 。 。 ｎ ）（ 。，因为过原点 ，得 （ 。・ １ ）
而 。 ，所 以 ｌ ＝ ｎ 。 １
幕 ；
，
‘
ｙ
Ｌ
，
从而 ｅ ，那么 ：
（ ）若 ａ ｅ １ ＞ 时 ，ｙ Ｗ与 ｙ ｘ没有 交点 ，故 函数 ＝ ＝ ｙ Ｗ与函数 ｙ ｌ 的图像 的交 点个 数为 ０ ＝ ＝ｏ ￣ ； （ ）若 ａ ｅ ２ ＝ 时 ，ｙ Ｗ与 ｙ ｘ相切 ，故 函数 ｙ Ｗ ＝ ＝ ＝
潮翻
函数中的数形结合思想
■ 艾龙彪
学 有
“ 数少形 时缺直观 ，形少数时难入微” ，它准确地 告诉我们 ：数形结合 ，相得益彰 ：利用数 、式进行深 入细致 的分析 ；利用 图形直观又可 以看 出数 、式的内 在关系 ；数形结合思想是重要 的数学思想 ，它是分析 问题 的思路基 础． 因此 ，每年高考 一定会 重点考 查 ． 本文主要谈 一下函数 中的数形结合思想．
例 ３ 当 ａ ｌ ，函数 ＿ 与 函数 ｙ ｌｇ ． ＞时 ｙ ＝ ＝ｏ， ， ｘ的图像
的交点个数 （ ） Ａ 可能是 ０个 、１ ． 个或 ２个
Ｂ 只可 能 是 ２个 ． Ｃ 只可 能 是 ０个 ． Ｄ 可以是 ３ ． 个 解 析 ： 定 与 ｙ 相 切 于 （。 。，则 切 线 假 ＝ ，Ｙ）
ｆｘ ＝ １ （ ） ３ ，且 ｆ（ ） 图 像 ｘ的 关于直线 ｘ ｌ对称 的基础 上 ＝ 可得 ＿ ） 图像 如 右 ． 比 厂 的 （ 欲
－
合在 一起 ，通过 函数与导 函数 图像之 间的关 系产生结
论 ．
例 ６若 函数 ） ． 的反函数为ｆ （） ，则函数， １ （ ） 一
（ （ ） 一（＿） ＜，…函 递 选Ａ ｅＢ ≠ 羔 ～ ’ 即 数 减， ． ４ ０ ｅ … 一 。
点 评 ：本 题 若 是 想 先 作 出 图形 ．再 对 照 选 项 选 出
Ｂ
结论 的话 ， 可 能永 远 无 法 达 到 目的 ， 由数 到 形 ，为我 们 求 解此 类 问题 开 辟 新 的 通 道 ．
一
Ｌ
、
１
＼
１（
－
Ｄ
１ ： ຫໍສະໝຸດ ）０ １ 、
Ａ Ｂ
／ 一 。
、
函数 中的 由数 到形
由数 到形是 函数 中数形结合的第一步 ，面对一个 函数可 以思考到其 图形的特征 ，并能抓住 这个 特征进 行 深入分析 ，只有如此 ，才可能在函数中应用 到数形 结合思想．
＼ 、
０ １ Ｄ
／ 。 １ Ｄ
Ｃ
ｙ
例 １设 ａｂ ． ＜ ，函数 ｙ （一 ）（— ） ＝ 。 ｂ 的图像 可能是
（ ）
｛
Ｏ 。
Ａ
解 析 ：首先 由函数 的定义域 可得 ｅ≠ｅ ≠一 —
＼
；
ｊ ≠０ 看 看 图 形 ， 立 即 排 除 ｃ、Ｄ 再 南 Ｙ ＝ ， ．
点 评 ：本 题 凭 主 观 易错 选 答 案 Ｃ， 当我们 对 图 形 能 够 深入 的 分 析 以 后会 发现 真 正 的 正 确 答 案却 是 Ａ．
｝
０／
Ｃ
＼
／
√ ０
Ｄ
例 ４ 设 函数 厂 ） ． （ 定义在实数集上 ，它 的图像关 于
直线 ｘ ｌ ＝ 对称 ，且当 ≥１ ， ）３ ，则有（ 时 Ａｘ＝ ￣ｌ
并利用这些特征．
．
．
／
Ｄ
、
／ ０ 、／
。 ．
１
一
Ｃ
Ｄ
解析：由于， ） 的图像关于ｙ ｘ （ 与， （ ） ＝ 对称 ，
ｙ Ｌ
／／
．
ｙ ｜
二 、初 等 函数 图形 的应 用
６
ｆ
Ｃ
ｊ ／
Ｄ
０ 口 ｆ
初等 函数是我们接触到最 为基础 的函数 ．也是最 为重要的 函数 ，高考对其考查也相 当频繁 ，因此 ，掌 握初等函数的图形 应用 是在 函数 中应用数形结合思想
的重 要 基 础 ．
）
点评 ：本 题 要 将 函数 与 其 对 应 的 图像 性 质 紧密 结
Ａ ｝＜手＜ ． ）（ ＜｝ ． ）（）（ Ｂ ＜ ）（） ， － ， ， 厂 ） ｃ ）（ ＜争 ． ）（） ｝ ． ＜ ）（）Ｄ（ ＜手＜ ） 碍 ， － ， ， Ｉ 手厂
解析 ：建 立 在 ≥１时 ，
解析 ：看看函数式 ，可以发现 扩＋ 。 时 ， 一＋ ＋。 ， 再看 图形特征 ，立即排 除 Ａ、Ｂ ；再看 ａｘ ｂ时， ＜ ， ＜＜ ０
再 看 图形 ，排 除 Ｄ，于 是 选 Ｃ ． 点 评 ：本 题 将 函 数 式 的 特 征 与 图形 特 征 对 照 分 析 ，很 快 排 除 了干 扰 支 ，产 生 正 确 结论 ．
与广。 一 ） （ １的图像可能是 （ ）
较（）（ ， ２大 ／ ， ） ） ｝／ ，
小 ，主 要 看 １
，
｜ ． ‘ Ｉ ／ ／
－
１一
ｊ
３
，
与 对
Ｄ １ Ａ
Ｊ
Ｄ
２
称轴的距离 ．
Ｂ
易 ， ）（） ｝， Ｂ 得（ ＜手＜ ） ． ｝ ｜ 选 厂
点 评 ：本 题 借 助 图像会 很 轻 松 地 产 生 结 论 ，倘 若
２
没有 图像 ，可能要在 “ 黑暗” 中摸索更长一段 时间．
三、抽 象 函数 图形 的应 用
只有 函数符号而没有具体函数式的函数 ，我们 称 为抽象 函数 ． 对于抽 象 函数 ，我们要 根据所 给 出的条 件对其 图形进行分析 、判断 ，可 以发现 图形 的特征 ，