高中数学中的数形结合思想

第十四讲 数形结合思想基础知识点：1．数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。

它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。

“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。

2．数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。

3．“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合”， 用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。

4．函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是 “以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是 “以数助形”，还有导数更是数形形结合的产物，这些都为我们提供了 “数形结合”的知识平台。

5．在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。

用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数形分离万事休”。

经典例题剖析1．选择题（1）（2007浙江）设21()1x x f x x x ⎧⎪=⎨<⎪⎩，≥，，，()g x 是二次函数，若(())f g x 的值域是[)0+，∞，则()g x 的值域是（ ）A ．(][)11--+∞，，∞B ．(][)10--+∞，，∞C ．[)0+，∞D ．[)1+，∞解析：因为()g x 是二次函数，值域不会是A 、B ，画出函数()y f x =的图像（图1）易知，当()g x 值域是[)0+，∞时，(())f g x 的仁政域是[)0+，∞，答案：C 。

点评：本题考查函数的图像、定义域、值域，是高考的一个重点，考题多以小题形式出现。

（2）（2007黄冈模拟）平面直角坐标系中，若方程222(21)(23)m x y y x y +++=-+表示椭圆，则实数m 的取值范围是 （ ）A.（0，5）B.（1，+∞）C.（0，1）D.（5，+∞）解析：分析方程的结构特点，联想椭圆第二定义，可知应把左右两边分别化为两点间的距离和点到直线的距离：=即(0,1)e==时表示椭圆，解得m>5,故选D。

点评：本题考查椭圆的第二定义，考查数形结合和综合运用解析几何知识分析解题的能力。

2．设A={x||x|=kx+1},若A∩R+=φ,A∩R-≠φ,求实数k的取值范围．解法1:方程|x|=kx+1的解是函数y=|x|和y=kx+1交点的横坐标,结合图形知（如图2）,当直线y=kx+1在角α范围内时,方程有负根,且没有正根,故k≥1．解法2:由题意须1xx kx<⎧⎨-=+⎩①有解,1xx kx>⎧⎨=+⎩②无解．①中k=-1时无解,11,011k x kk-≠-=<>-+时得;②中k=1时无解,k≠0时,若101,1x kk=><-即则②有解,所以, k≥1．点评：解法1中，把方程解的讨论问题转化为两个函数图像交点的问题，利用k的几何意义易得解，这是最常用的方法，较之法2要简捷得多，体现了数形结合的优越性。

3．设集全{1,2,3,4,5}A B C =，且{1,3}A B =，求有序集合组{A，B，C}的个数(不同的顺序算不同的组)。

解析：借助文氏图（图3）可知，三个集合A、B、C把全集U分成八个部分，需按1、3是否属于C分类，再把2、4、5三个数放到如图中①②③④⑤五个位置即可，每一种放法对应一个有序集合组。

按1、3是否属于C分四类：(1)1、3∉C; (2)1∈C且3∉C;(3)3∈C且1∉C; (4)1、3∈C共有53×4=500种。

点评：画出文氏图，提高了解题的直观性，使解题思路清晰，分类清楚，易于操作。

图21,3 BAC⑤①④③②U图34． 解三角不等式组⎩⎨⎧<-≥-01tan 03cos 42x x分析：利用三角函数的图像或三角函数线（如图4）求解,先求出一个周期上的解再写出全部。

解答：⎪⎩⎪⎨⎧<-≤≥⇒⎩⎨⎧<-≥-1tan 23cos 23cos 01tan 03cos 42x x x x x 或 由图得解集为：{|()}66x k x k k Z ππππ-≤≤+∈点评：三角函数图像和三角函数线，是处理三角函数值大小问题的两个有力武器，用好它会使解题简捷、高效。

5．已知xy ＜0，并且4x 2-9y 2=36．由此能否确定一个函数关系y=f(x)？如果能，求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由．分析： 4x 2-9y 2=36在解析几何中表示双曲线的方程，反映了变量x 、y 之间的对应关系，但还不一定是函数关系，函数中一个x 只能对应唯一确定的y ，即图像上看不能有“上下重叠”的点。

但加上条件xy ＜0呢？画出图形（如图5）则一目了然。

解：224936x y -=因为，故221049y x =-≥ 解得33x x ≤-≥或，又{{00000或x x xy y y ><<⇔<>(3)()(3)x y f x x >∴==<-因此能确定一个函数关系y=f(x)．其定义域为(-∞，-3)∪)3，+∞)．且不难得到其值域为(-∞，0)∪(0，＋∞)．点评：本例考查对函数概概念的理解，揭示了函数与解析几何中方程的内在联系——任何一个函数的解析式都可看作一个方程，但方程中x 与y 的对应关系未必是一个函数．要要处理好这个关系，又如：（2006全国I.20）在平面直角坐标系xOy中，有一个以(10,F和(2F为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x y 、轴的交点分别为A 、B ，且向量OM OA OB =+。

求：图4图5（Ⅰ）点M 的轨迹方程； [（Ⅱ）OM 的最小值]。

解:（I ）……易得椭圆方程的方程为: 2214y x += (x>0,y>0) 下面想要通过导数确定过第一象限点P(x 0,y 0) （0<x 0<1）切线的斜率，就要建立x 与y 的函数关系，结合图形（如图6）可知：y=21－x 2(0<x<1)（而不能是y =±'y =又0y =004'|x x x y y ==-, 所以切线AB 的方程为:00004()x y x x y y =--+ 从而0014(,0),(0,)A B x y ，又220014y x +=，设M （x,y) 由OM →=OA →+OB →可得M 的轨迹方程为：1x 2 + 4y 2 =1 (x>1,y>2) 6．已知关于x 的实系数二次方程x 2+ax+b=0有两个实数根α,β．证明: (Ⅰ)如果│α│<2,│β│<2,那么2│a│<4+b 且│b│<4; (Ⅱ)如果2│a│<4+b 且│b│<4,那么│α│<2,│β│<2．分析：借助函数图像讨论方程的解是很直观有效的方法，由函数y=x 2+ax+b 的图像（如图7）易知│α│<2,│β│<2,(2)0f ±> 证明：根据韦达定理│b│=│αβ│<4．因为二次函数f(x)=x 2+ax+b 开口向上,│α│<2,│β│<2． 故必有f(±2)>0,即4+2a+b>0, 2a>-(4+b); 4-2a+b>0, 2a<4+b ． ∴2│a│<4+b ．(Ⅱ)由 2│a│<4+b 得 4+2a+b>0即 22+2a+b>0 f(2)>0． ① 及 4-2a+b>0 即 (-2)2+(-2)a+b>0,f(-2)>0． ②由此可知f(x)=0的每个实根或者在区间(-2,2)之内或者在(-2,2)之外．若两根α,β均落在(-2,2)之外,则与│b│=│αβ│<4矛盾．若α(或β)落在(-2,2)外,则由于│b│=│αβ│<4,另一个根β(或α)必须落在(-2,2)内,则与①、②式矛盾． 综上所述α,β均落在(-2,2)内． ∴│α│<2,│β│<2．点评：这是1993年全国高考题的压轴题,标准答案中给的第一解法是利用求根公式写出两根,再由已的范围,再转化为a 、b 的关系，有一定的难度。

但是利用数形结合，由二次函数的图象讨论实根分布问题，就容易多了，其压轴功能就大打了折扣。

7．求函数2||1y x x a =+-+的值域。

分析：本题需要去绝对值化为分段函数，再按直线x=a 相对于两个抛物线的对称轴的位置分类讨论，借助于图象可有效帮助解题。

解：221()1x x a y f x x x a ⎧+-+⎪==⎨-++⎪⎩2213()()2413()()24x a x a x a x a ⎧++-≥⎪⎪=⎨⎪-++<⎪⎩ （1）当12a ≤-时，如图8知 13()24y f a ≥-=-（2）当1122a -<<时，如图9 知2()1y f a a ≥=+（3）当12a >时，如图10 知，13()24y f a ≥=+综上所述：当12a ≤-时，值域为3[,)4a -+∞当1122a -<<时，值域为2[1,)a ++∞当12a >时，值域为3[,)4a ++∞点评：分段去绝对值，数形结合，分类讨论。

8．（2006福建）已知函数2()8,()6ln .f x x x g x x m =-+=+ （I ）求()f x 在区间[],1t t +上的最大值();h t（II ）是否存在实数,m 使得()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由。

分析：本题是利用导数方法讨论单调性、最值和方程的解的问题，这些都离不开函数的图象，要通过画图或想着图一步步解答。

解：（I ）22()8(4)16.f x x x x =-+=--+当4t >时，（如图11）()f x 在[],1t t +上单调递减，2()()8.h t f t t t ==-+当41,t t ≤≤+即34t ≤≤时，()(4)16;h t f == 当14,t +<即3t <时，()f x 在[],1t t +上单调递增，22()(1)(1)8(1)67;h t f t t t t t =+=-+++=-++综上，2267,3,()16,34,8,4t t t h t t t t t ⎧-++<⎪=≤≤⎨⎪-+>⎩ （II ）函数()y f x =的图象与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点（如图12），即函数()()()x g x f x φ=-的图象与x 轴的正半轴有且只有三个不同的交点。