高中数学 数形结合思想

数形结合思想由于新教材新大纲把常见的数学思想纳入基础知识的范畴，通过对数学知识的考查反映考生对数学思想和方法的理解和掌握的程度。

数形结合的思想重点考查以形释数，同时考查以数解形，题型会渗透到解答题，题量会加大．数形结合常用于解方程、解不等式、求函数值域、解复数和三角问题中，充分发挥形的形象性、直观性、数的深刻性、精确性，弥补形的表面性，数的抽象性，从而起到优化解题途径的作用。

例题1．关于x 的方程2x 2－3x －2k ＝0在(－1, 1)内有一个实根，则k 的取值范围是什么？分析：原方程变形为2x 2－3x =2k 后可转化为函数y =2x 2－3x 。

和函数y =2k 的交点个数问题．解：作出函数y =2x 2－3x 的图像后，用y =2k 去截抛物线，随着k 的变化，易知2k ＝－89或－1≤2k ＜5时只有一个公共点．∴ k =－169或－21≤k <25. 点拨解疑：方程（组）解的个数问题一般都是通过相应的函数图象的交点问题去解决．这是用形（交点）解决数（实根）的问题．例题2．求函数u ＝t t -++642的最值．分析：观察得2t +4+2(6－t )＝16，若设x =42+t ，y =t -6，则有x 2+2y 2=16，再令u =x +y 则转化为直线与椭圆的关系问题来解决．解：令42+t ＝x , t -6=y , 则x 2+2y 2=16, x ≥0, y≥0, 再设u =x +y , 由于直线与椭圆的交点随着u 的变化而变化，易知，当直线与椭圆相切时截距u 取得最大值，过点(0，22)时，u 取得最小值22， 解方程组⎩⎨⎧=++-=16222y x u x y ，得3x 2－4ux +2u 2－16=0, 令△=0, 解得u =±26.∴ u 的最大值为26，最小值为22．点拨解疑：数学观察能力要求透过现象，发现本质，挖掘题中的隐含条件．例题3．已知s =1322+-t t ，则s 的最小值为 。

分析：等式右边形似点到直线距离公式．解：|s |＝1|32|2+-t t , 则|s |可看成点（0, 0）到直线tx +y +2t －3=0的距离，又直线tx +y +2t －3=0变形为：(x +2)t +y－3=0后易知过定点P (－2，3)，从而原点到直线 tx +y +2t－3＝0的最短距离为|OP |=13, ∴ －13≤s ≤13.点拨解疑：由数的形式联想到数的几何意义也即形，从而以形辅数解决问题．类似地如n bx m ay --联想到斜率，1cx d b ++联想到定比分点公式，(x －a )2+(y －b )2联想到距离，|z 1－z 2|联想到两点间距离等．例题4．解不等式x -3>x －1.分析：令x -3＝y ，则y 2＝－(x －3) (y ≥0), 它表示抛物线的上半支．令y ＝x －1表示一条直线．作出图象求解．解：作出抛物线y 2＝－(x －3) (y ≥0),以及直线y ＝x －1．解方程组⎩⎨⎧--=-=)3(12x y x y 得x =2或x =－1（舍去）, 由右图可知：当x ＜2时不等式x -3>x －1成立，所以原不等式的解集为{x | x <2}.点拨解疑：一般地，形如n mx c bx ax +>++2(亦可＜)等不等式皆可用数形结合求解，更一般地可作出图象的函数或方程都可试用此法．如－3＜x1＜2等．例题5．求 m =2x +94362x -的值域． 分析：设94362x -=y ，即4x 2+9y 2＝36（y ≥0）,则求值域问题转化为求直线2x +y ＝m 的纵截距的范围问题．解：设94362x -=y ，即4x 2+9y 2＝36（y ≥0）又令2x +y =m ,则由⎩⎨⎧=++-=3694222y x m x y 得40x 2－36mx +9m 2－36=0, 令△=(36m )2－160(9m 2－36)=0, 得m =±210,① 直线y =－2x +m 过A 点时，x =－3, y =0, m =－6取得最小值；② 当直线与椭圆上半部分相切时，m 取得最大值210由①②，m 的取值范围为[－6, 210], 值域为[－6，210］．例题6．A ．B 为平面上的两定点，C 为平面上位于直线AB 同侧的一个动点，分别以AC 、BC为边，在△ABC 外侧作正方形CADF 、CBEG ，求证：无论C 点取在直线AB 同侧的任何位置，DE的中点M 的位置不变．分析：由于D 、E 随着C 的变化而变化，但M为定点，故用几何方法不易说清变换思维角度，如以C 点坐标为参量，证得M 点坐标不随其变化而变化即可获证．证明：以AB 中点为坐标原点,直线AB 为实轴，建立复平面. 设A 、B 、C 对应的复数分别为－a ，a ，x +yi 其中a 、x 、y ∈R ．则 AC =Z C －Z A =(x +a )+yi , AD =AC ×i =－y +(x +a )i =OA OD -, ∴ OA AD OD -==－(a +y )+(a +x )i , ∴ D 点的坐标是(－(y +a ), a +x ),同理E 点的坐标为(y +a , a －x ), 据中点公式, DE 中点M 的坐标为（0，a ），它是与AB 长度有关，而与C 点位置无关的点，即为定点．点拨解疑：这是用数解形的一例，可见它形象而直观，但不够深刻、精确，而数却精确细致，但它不够直观，故常以数量形，以形辅数，数形结合．例题7．设A 、B 、C 、D 是一条有向线段上的四点，且DBAD CB AC +=0，求证：AD AC 11+=AB2. 分析：由于A 、B 、C ．D 顺序不定，若用几何方法分类不便，故用解析法，又A 、B 、C 、D 共线，所以只需数轴即可．证明：以四点所在直线为数轴，设A 、B 、C 、D 四点的坐标依次为0, b 、c 、d , ∵ DB AD CB AC +=0, ∴ d b d c b c -+-=0, ∴ b (c +d )=2cd , ∴ cd d c +=b2, 又AD AC 11+=cd d c dc +=+11=b 2=AB 2，等式成立. 例题8．函数y =f (x )的图像为圆心在原点的两段圆弧，试解不等式f (x )＞f (－x )十x ．分析一：由图像可得出函数关系式，由形看数．解法一：由题意及图像，有⎪⎩⎪⎨⎧<≤---≤<-=011101)(22x xx x x f ， （1） 当0<x ≤1时, f (x )>f (－x )+x 得21x ->－2)(1x --+x , 解得0<x <552; （2） 当－1≤x <0时, 得－21x ->2)(1x --+x , 解得－1≤x <－552, ∴ 原不等式的解集为[－1, －552)∪(0, 552). 分析二：由图象知f (x )为奇函数，∴ f (－x )＝－f (x )，然后再以形解数．解法二：由图象知f (x )为奇函数，∴ 原不等式为f (x )>2x ，而方程f (x )= 2x 的解为x =±552，据图像可知原不等式解集为[－1, －552)∪(0, 552). 点拨解疑：本题以形看数（解析式，奇偶性），以数解形（曲线交点A 、B ）最后以形解数（不等式），这才是真正意义上的数形结合，扬长避短．基础知识练习一．选择题：1．向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量v 与水深h 的函数关系如图所示，那么水瓶的形状是2．已知定义在R 上的偶函数f (x )在（0，+∞）上是增函数且f (31)＝0则满足)(log 81x f ＞0的x 的取值范围是（A ）{21}∪(2, +∞) （B ）(0, 21) （C ）(0, 21)∪(2, +∞) （D ）(2, +∞) 3．已知arg(z +3)＝43π，则|z +6|+|z －3i |的最小值为 （A ）35 （B ）3 （C ）53 （D ）54．方程lg x =sin x 的根的个数是（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）无数个5．函数 y ＝a |x |和 y = x +a 的图像恰好有两个公共点，则实数a 的取值范围为（A ）(1, +∞) （B ）(－1, 1) （C ）(－∞, －1) （D ）(－∞, －1)∪(1, +∞)二．填空题：6．已知有向线段PQ 的起点P 和终点 Q 分别为（－1，1）和（2, 2），若直线l ：x +my +m =0与PQ 的延长线相交，则m 的取值范围是 . 7．若直线l ：y ＝kx +1与曲线c ：x ＝12+y 只有一个公共点，则实数k 的取值范围是 .8．函数y =xx ++-132的值域是 . 三．解答题：9．已知4a +9b ＝10（a ，b ∈6 R +）, 求2a 十3b 的最大值.10．如果关于 x 的方程 sin x +a cos x =2恒有解，求实数 a 的取值范围．高考常考题强化训练一．选择题：1．已知0<a <1，方程|log |||x a a x =的实数根的个数是（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）以上都有可能2．若不等式x 2－log a x ＜0在(0, 21)内恒成立, 则a 的取值范围是 （A ）[161, 1) （B ）(0, 161) （C ）(161, 1) （D ）(0, 1) 3．代数式22222222)1()1()1()1(-+-++-+-+++y x y x y x y x 的最小值为（A ）2 （B ）22 （C ）4 （D ）424．函数 y ＝sin2x +a cos2x 图像的一条对称轴为x ＝－8π，那么a 等于 （A ）2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－15．直线y =a （a ∈R ）与曲线y ＝cot(ωt )，（ω＞0）的相邻两交点之间的距离是（A ）ωπk （B ）ωπ2 （C ）ωπ （D ）以上都不对 6．若非零复数z 1，z 2分别对应于复平面内的点A 、B 且z 12－3z 1z 2+z 22=0, 则△AOB 是（A ）等腰三角形 （B ）等腰直角三角形（C ）等边三角形 （D ）直角三角形二．填空题：7．若z 1，z 2为复数，且|z 1|=3, |z 2|=5, |z 1－z 2|=7，则21z z = 8．若 a ∈(0, 21)，则 T 1＝sin(1+a )，T 2=sin(1－a ), T 3=cos(1+a )的大小关系为 ．9．方程 |x －|2x +1||=1的不同实根的个数为 .10．函数 u ＝x x 2512-+-的最大值是 .三．解答题：11．已知函数f (x )=ax 2－c 满足一4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的范围．12．已知 a ≥0, b ≥0, a +b =1，求证：2121+++b a ≤2. 13．若 A ={x | －2≤x ≤a }， B ={y | y ＝2x +3，x ∈A }, C ＝{z | z =x 2, x ∈A }，若C ⊆B ，求a 的值．14．已知抛物线C ：y ＝－x 2+mx －1，点A （3，0），B (0, 3), 求抛物线C 与线段AB 有两个不同交点时m 的范围．基础知识练习参考答案高考常考题强化训练参考答案。