高中数学数形结合
数形结合
实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式()()x y -+-=21422
一、联想图形的交点
例1. 已知，则方程的实根个数为01<<=a a x x a |||log |()
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 1个或2个或3个
分析：判断方程的根的个数就是判断图象与的交点个数，画y a y x x a ==|||log |出两个函数图
象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B ）。
例2. 解不等式x x +>2
令，，则不等式的解，就是使的图象
y x y x x x y x 121222=
+=+>=+ 在的上方的那段对应的横坐标，
y x 2=如下图，不等式的解集为{|}
x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。{|}x x -≤<22
练习：设定义域为R 函数??
?=≠-=1 01 1lg )(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同
实数解的充要条件是（ ） 0,0. 0,0. 0,0. 0,0.=≥=<<>> 二、联想绝对值的几何意义 例1、已知0>c ，设P ：函数x c y =在R 上单调递减，Q ：不等式12>++c x x 的解集为R ，如 果P 与Q 有且仅有一个正确，试求c 的范围。 因为不等式12>++c x x 的几何意义为：在数轴上求一点)(x P ，使P 到)2(),0(c B A 的距离之和的最小值大于1，而P 到AB 二点的最短距离为12>=c AB ，即2 1> c 而P ：函数x c y =在R 上单调递减，即1 由题意可得：12 10≥≤ 例1、已知关于x 的方程m x x =+-542有四个不相等的实根，则实数m 的取值范围为 分析：直接求解，繁难！。由方程联想二次函数进行数形结合，以数助形，则简洁明 了。 设m y x x y =+-=221,54。又1y 为偶函数，由图可知51< 四、联想反函数的性质 例1、方程3log ,322=+=+x x x x 的实根分别为21,x x ，则21x x += 解：令x y x y y x -===3,log ,23221 21,y y 互为反函数，其图象关于x y =对称，设 )3,(),3,(2211x x B x x A --213x x -=∴ 即321=+x x 六、联想斜率公式 例1. 求函数的值域。y x x =+-sin cos 22 y x x y y y x x =+-=--sin cos 222 121 的形式类似于斜率公式 y x x P P x x =+--sin cos ()(cos sin )22 220表示过两点，，，的直线斜率 221P x y +=由于点在单位圆上，如图, 显然，k y k P A P B 00≤≤ 设过的圆的切线方程为P y k x 022+=-() 则有，解得±|| 22114732k k k ++==-即，k k P A P B 00473473 =--=-+ ∴--≤≤-+473473y ∴函数值域为，[]---+473473 例2、实系数方程022=++b ax x 的一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求1 2--a b 的取值范围。 解：数形结合由12--a b 的结构特征，联想二次函数性质及1 2--a b 的几何意义来求解，以形助数，则简洁明了。 令b ax x x f 2)(2++=，则由已知有?????><>0)2(0)1(0)0(f f f 得到?? ???>++<++>020210b a b a b 这个二元一次不等式组的解为ABC ?内的点),(b a 的集合由1 2--a b 的几何意义为过点 ),(b a 和点)2,1(D 的直线的斜率 由此可以看出：11 241=<--<=BD AD k a b k 即12--a b 的取值范围是)1,41(。 练习：如果实数、满足，则的最大值为x y x y y x ()()-+=2322 答案D A B C D (1) 23 33 23 五、联想两点间的距离公式 例1、设b a R b a x x f ≠∈+=且,,1)(2，求证：b a b f a f -<-)()( 解：,b a ≠ 不妨设b a >，构造如图的OAP Rt ?，其中b OB a OA OP ===,,1 则b a AB b f b PB a f a PA -==+==+=),(1),(122 在OAP Rt ?中，有AB PB PA <-∴b a b f a f -<-)()( 六、联想点到直线的距离公式 例1、已知P 是直线0843=++y x 上的动点，PB PA ,是012222=+--+y x y x 的两条切线，B A ,是切点，C 是圆心，求四边形PACB 面积的最小值。 解：12 1222-==??? ==?PC PA AC PA S S PAC PACB 要使面积最小，只需PC 最小，即定点C 到定直线上动点P 距离最小即可 即点C )1,1(到直线0843=++y x 的距离， 而3438 241322=++?+?=d 2213)(2min =-=∴PACB S 七、联想函数奇偶性 例1、设)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =的图象关于直线2 1= x 对称，则=++++)5()4()3()2()1(f f f f f 解：本题由于)(x f y =不明确，故)(x f 的函数值不好直接求解。若能联想到奇函 数的性质，数形结合，以数助形来解决，则简洁明了。则可知0)0(=f ，又且)(x f y =的图象关于直线2 1=x 对称，0)1(=∴f 则奇函数可得：0)1(=-f ，则又由对称性知：0)2(=f 同理：0)5()4()3(===f f f ∴=++++)5()4()3()2()1(f f f f f 0 八、其它简单方法： 例1.的取值范围。 之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322 -=++ 解：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令 ()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需， (3)0f >，()()02b f f k a -=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故， 课后练习： 1. 方程lg sin x x =的实根的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 函数y a x y x a ==+||与的图象恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()1，+∞ B. ()-11， C. (][)-∞-+∞，，11 D. ()()-∞-+∞，，11 3. 设命题甲：03< A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 不充分也不必要条件 4. 若方程lg()lg()[]-+-=-x x m x 23303在，上有唯一解，求m 的取值范围。 5. 设a a >01且≠，试求下述方程有解时k 的取值范围。 log ()log ()a a x ak x a -=-222。 练习答案1. C 2. D 提示：画出y a x y x a ==+||与的图象 情形1：a a a >>????>011 情形2：a a a <<-??? ?<-011 3. A 4.解：原方程等价于-+->->≤≤-+-=-????? ???-+->≤<-+-=?????x x m x x x x m x x x m x x x m 2222303003333003 43 令y x x y m 12243=-+-=，，在同一坐标系内，画出它们的图象，其中注 意03≤ 一解，由下图可见，当m=1，或-≤≤30m 时，原方程有唯一解，因此m 的取 值范围为[－3，0] {1}。 5.解：将原方程化为：log ()log a a x ak x a -=-22， ∴x ak x a x ak x a -=-->->222200，且， 令y x ak 1=-，它表示倾角为45°的直线系，y 10> 令y x a 222=-，它表示焦点在x 轴上，顶点为（－a ，0） （a ，0）的等轴双曲线在x 轴上方的部分，y 20> ∵原方程有解， ∴两个函数的图象有交点，由下图，知->-<- 思想方法一、函数与方程思想 姓名： 方法1 构造函数关系，利用函数性质解题 班别： 根据题设条件把所求的问题转化为对某一函数性质的讨论，从而使问题得到解决，称为构造函数解题。通过构造函数，利用函数的单调性解题，在解方程和证明不等式中最为广泛，解题思路简洁明快。 例1 （10安徽）设232555322(),(),(),555 a b c ===则,,a b c 的大小关系是（ ） ....A a c b B a b c C c a b D b c a >>>>>>>> 例2 已知函数21()(1)ln , 1.2 f x x ax a x a =-+-> （1） 讨论函数()f x 的单调性； （2） 证明：若5,a <则对任意12121212 ()(),(0,),, 1.f x f x x x x x x x -∈+∞≠>--有 方法2 选择主从变量，揭示函数关系 含有多个变量的数学问题中，对变量的理解要选择更加合适的角度，先选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系，再利用函数性质解题。 例3 对于满足04p ≤≤的实数p ，使2 43x px x p +>+-恒成立的x 的取值范围是 . 方法3 变函数为方程，求解函数性质 实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式，我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题一般是通过方程来实现的……函数与方程是密切相关的。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。 例4 函数()2)f x x π=≤≤的值域是（ ） 11111122.,.,.,.,44332233A B C D ????????----?????????? ?????? 高中数学专题-集合的概念及其基本运算 【考纲考点剖析】 考 点 考纲内容 5年统计 分析预测 1.集合间的 基本关系 1．了解集合、元素的含义及其关系。 2．理解全集、空集、子集的含义， 及集合之间的包含、相等关系。 3．掌握集合的表示法 (列举法、描述法、Venn 图)。 1.集合交、并、补的运算是考查的热点； 2.集合间的基本关系 很少涉及； 3.题型：选择题 4.备考重点： (1) 集合的交并补的混合运算； (2) 以其他知识为载体考查集合之间的关系； (3) 简单不等式的解法. 2.集合的基 本运算 1．会求简单集合的并集、交集。 2．理解补集的含义，且会求补集。 【知识清单】 1．元素与集合 (1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性． (2)集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作a A ∈；若b 不属于集合A ，记作b A ?． (3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集及其符号表示 数集 自然数 集 正整数 集 整数集 有理数 集 实数集 符号 N N *或 N ＋ Z Q R 2．集合间的基本关系 （1）子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合 A 包含于集合 B ，或集合B 包含集合A ，也说集合A 是集合B 的子集。记为A B ?或B A ?． （2）真子集：对于两个集合A 与B ，如果A B ?，且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，则称集合A 是集合B 的真子集。记为A B ?≠． （3）空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集． （4）若一个集合含有n 个元素，则子集个数为2n 个，真子集个数为21n -． 3．集合的运算 (1)三种基本运算的概念及表示 名称 交集 并集 补集 数学 语言 A∩B={x|x ∈A,且x ∈B} A ∪B={x|x ∈A,或x ∈B} C U A={x|x ∈ U,且x ?A} 图形 语言 （2）三种运算的常见性质 A A A =I ， A ?=?I ， A B B A =I I ， A A A =U ， A A ?=U ， A B B A =U U ． (C A)A U U C =，U C U =?，U C U ?=． A B A A B =??I , A B A B A =??U , ()U U U C A B C A C B =U I , ()U U U C A B C A C B =I U ． 【重点难点突破】 考点1 集合的概念 【1-1】【全国卷II 理】已知集合，则中元素的 个数为 A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A 第5讲 数形结合思想在解题中的应用 一、知识整合 1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。 2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。 如等式()()x y -+-=21422 3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。 4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。 二、例题分析 例1.的取值范围。之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322 -=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令 ()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >， ()()02b f f k a - =-<10(10) k k -<<∈-同时成立，解得，故， 例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法： 原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>??? ? ?<+≥??? 020 20202 “函数思想”在高中数学中的教学及意义 【内容摘要】函数在高中数学的全部体系中，具有极其重要的地位，拥有起承转合的功能，为了给学习更多的函数及导数、极限与积分打下稳固的根基，在高中数学学习中要重点学习函数的奇偶性、单调性还有周期性等性质。此文特别研究“函数思想”的教育与突出意义，希望得到师生的看重。 【关键词】高中数学函数思想意义 一、学习函数的重要性 关于函数的定义，在初中时会学到，但是在高中还会在初中数学的根基下继续拓展新的含义，重点是关于映射的理论，这些新概念需要学生加深对函数理论、思维、含义的掌握，必须明白之中的关联，找出函数思想的真义，才可以在遇到实际问题时灵活多变 地利用函数思想处理难题。“函数思想”体现了认识来源于实践这一哲学认识论，它来源于我们的社会活动，而函数中变量的概念也印证了人类社会在量变和质变统一中的永久性变化，所以，关于量变的一些实际问题能够用“函数思想”来解决。 德国的克莱因和英国的贝利，是函数出现在中学阶段的数学教材的关键人物。克莱因的观点是，函数概念和思想是数学教育的一部分，他说过函数是数学教育的主题，需要将所有的数学教学内容都放置在函数概念四周，综合运用。中学数学教学任务与函数思想紧密连接，在高中数学中灌输函数思想需要一线数学老师的研究，本文章就是浅议函数思想。 在函数思想讲解的初级阶段，老师起初要引出学生对函数思想的兴趣，了解函数的初步含义，调动学生的热情。教师需要分层讲解函数思想的定义，使学 生掌握函数思想的重点，全面认识函数思想的深度含义，接着，教师再概括归纳出逻辑性性强的函数定义。函数关系可以看作是通向两个变量间的路，通过特定的数学关系把两者连接在一起。 对于高中函数思想的教学来说，具有四个关键意义，有函数的知识导向功能、考试导向功能、应用导向功能和教育导向功能。知识导向功能表示的是函数思想作为高中数学的主体，在高中数学中所占份额很大，是打造高中数学全部知识的框架，因此掌握好函数有益于理解其它知识点，提升眼界，锻炼数学思维。函数的应用导向功能是指通过函数思想解决日常生活中的实际问题。函数思想的考试导向是指高考数学卷中有关函数的题型比例大。函数思想的教育导向功能是指学生创设和运用函数模型，来解决生活中的数学的实际问题，提升学生的综合素质，比如思考意识和 高中数学《集合》测试题 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________ 一、选择题 1．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中的元素个数为 (A)3 (B)4 (C)5 (D)6（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对）） 2．设集合{|1A x =-≤x ≤2},B={x |0≤x ≤4},则A ∩B=A (A)［0,2］ (B)［1,2］ (C)［0,4］ (D)［1,4］(2006年高考浙江理) 3．设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ?=的集合B 的个数是（ ） (A)1 (B)3 (C)4 (D)8(2006辽宁理) 4．已知集合M ={x |x 2＜4}，N ={x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N 等于( ) A.{x |x ＜－2} B.{x |x ＞3} C.{x |－1＜x ＜2} D.{x |2＜x ＜3}（2004全国Ⅱ1） 5．若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z ︱z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为 （ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2（2012江西理） C 6．设集合A={x|1＜x ＜4}，集合B ={x|2x -2x-3≤0}, 则A ∩（C R B ）= A .(1,4) B .(3,4) C.(1,3) D .(1,2)∪（3,4） 7．若关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++<的解集为实数集R ，则a 、b 、c 应满足的条件为-----------------------------------------------------------------------（ ） （A ） a ＞0，b 2―4ac ＞0 （B ） a ＞0，b 2 ―4ac ＜0 （C ） a ＜0，b 2―4ac ＞0 （D ） a ＜0，b 2―4ac ＜0 二、填空题 8．已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，集合{}321,,a a a A =，则满足 数形结合思想在高中数学教学中的应用 更新时间：2018-9-25 19:11:00 浏览量:1250 【摘要】数形结合思想是一种重要的数学思想，在高中数学教学中，必须要注重对这种思想的应用，培养学生的数形结合意识，从而提高学生的知识能力。针对这种情况，文章对数形结合思想在高中数学教学中的应用进行了相应的分析和探讨。 【关键词】数形结合思想；高中数学教学；应用 数形结合思想在高中数学教学中的应用，有利于提高学生的数学知识能力，培养学生的思维能力和解题能力，提升学生的学习效果。但是在当前高中数学教学过程中，对于数形结合思想的实际教学应用尚有不足，因此需要注重强化数形结合思想在教学中的应用，采取有效的应用措施，从而提升教学质量和效果。 一、高中数学数形结合教学的现状 （一）数形结合教学意识不足 当前在我国高中数学教学过程中，数形结合的教学思想还没有得到充分应用，对于相应思想的教学运用尚有不足。随着我国课程教学改革工作的不断推进，传统的应试教学观念已经逐渐被人们所摒弃，在高中数学教学中越来越注重对学生数学能力和思维能力的培养。但是在实际教学中，大部分教师还停留在传统的教学模式上，只重视对学生数学基础和应试能力的培养，忽视了数形结合教学思想在教学中的应用。在这种教学观念的影响下， 学生的综合素质发展受到了一定的限制，教学过程忽视了对学生的数学思维能力和数形结合意识的培养，使得教学效果受到了一定的影响。并且在教学过程中，由于教师过于注重学生的成绩，导致学生在学习中逐渐出现了高分低能的现象，不利于学生未来的发展。 （二）传统教学模式的制约 传统的教学模式是影响高中数学教学发展的一个重要因素，同时也限制了数形结合思想在高中教学中的应用。在高中数学教学中，传统的教学模式大都采用填鸭式、满堂灌的教学方式，由教师主导整个课堂教学活动，向学生进行知识的灌输。在这种教学模式下，学生只能被动地接受教师的知识灌输。数形结合教学思想分散在教学之中，没有形成一定的教学规模，导致学生的数形结合意识较弱。并且严重忽视了学生的学习主体性以及学生之间的个体差异，导致学生的学习积极性和学习兴趣逐渐下降，甚至会影响到学生的学习质量和效率。 二、数形结合思想在高中数学教学中的应用分析 在高中几何数学中，可以通过观察图形，建立“数”与“形”的对应关系，找到解决问题的方法。也可以通过几何图形将数量的关系形象地展示出来，在图形上分析数量之间的关系，进而解决问题。几何图形和数量關系是相辅相成的，数量可以在图形上展示出来，也可以用数量关系来表达图形联系。例如：在例1的教学中，直接将数量关系转化成式子不容易，但是教师 数形结合 实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式()()x y -+-=21422 一、联想图形的交点 例1. 已知，则方程的实根个数为01<<=a a x x a |||log |() A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 1个或2个或3个 分析：判断方程的根的个数就是判断图象与的交点个数，画y a y x x a ==|||log |出两个函数图 象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B ）。 例2. 解不等式x x +>2 令，，则不等式的解，就是使的图象 y x y x x x y x 121222= +=+>=+ 在的上方的那段对应的横坐标， y x 2=如下图，不等式的解集为{|} x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。{|}x x -≤<22 练习：设定义域为R 函数?? ?=≠-=1 01 1lg )(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同 实数解的充要条件是（ ） 0,0. 0,0. 0,0. 0,0.=≥=<<>> 高中数学四大思想 1.数形结合思想 数形结合，“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。 实质：将抽象的数学语言与直观图形结合起来；将抽象思维和形象思维结合起来。抽象问题具体化，复杂问题简单化。 应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化： （1）集合的运算及韦恩图； （2）函数及其图象； （3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象； （4）方程（多指二元方程）及方程的曲线. 以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法. 以数助形常用有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合. 2.分类讨论思想 分类讨论思想，即根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决. 原则：化整为零，各个击破。无重复、无遗漏、最简。 步骤： 1）明确讨论对象，确定对象范围； 2）确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏； 3）逐类讨论，获得阶段性结果； 4）归纳总结，得出结论。 常见的分类情形有：按数分类；按字母的取值范围分类；按事件的可能情况分类；按图形的位置特征分类等. 3.函数与方程思想 函数思想，即将所研究的问题借助建立函数关系式或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题； 方程思想，即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决. 运用函数与方程的思想时，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化，应做到： （1）深刻理解函数f(x)的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），熟练掌握基本初等函数的性质。 （2）密切注意一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式等问题；掌握二次函数基本性质，二次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略。 4.转化与化归思想 转化与化归思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将，问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。 转化，是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程； 化归，是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题. 转化有等价转化与不等价转化。等价转化后的新问题与原问题实质是一样的；不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。 原则：化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化. 常见的转化有：正与反的转化、数与数的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化. 一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A=} { 12x x <<，B=} { x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A } { 2a a ≥ B } { 1a a ≤ C } { 1a a ≥ D } { 2a a ≤ 9、 满足条件M }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈， {}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 二、填空题（每题3分，共18分） 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2 +x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={ } 2 2,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={} 5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 15、已知集合A={x|2 0x x m ++=}, 若A ∩R=?，则实数m 的取值范围是 16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人. 三、解答题（每题10分，共40分） 17、已知集合A={x| x 2 +2x-8=0}, B={x| x 2 -5x+6=0}, C={x| x 2 -mx+m 2 -19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A∩C=Φ，求m 的值 18、已知二次函数f (x )=2 x ax b ++,A=}{ }{ ()222x f x x ==,试求 f ()x 的解析式 高中数学四大思想方法 ————读《什么是数学》笔记 《什么是数学》这本书是一本数学经典名著，它收集了许多闪光的数学珍品。它的目标之一是反击这样的思想："数学不是别的东西，而只是从定义和公理推导出来的一组结论，而这些定义和命题除了必须不矛盾外，可以由数学家根据他们的意志随意创造。"简言之，这本书想把真实的意义放回数学中去。但这是与物质现实非常不同的那种意义。数学对象的意义说的是"数学上'不加定义的对象'之间的相互关系以及它们所遵循的运算法则"。数学对象是什么并不重要，重要的是做了什么。这样，数学就艰难地徘徊在现实与非现实之间；它的意义不存在于形式的抽象中，也不存在于具体的实物中。对喜欢梳理概念的哲学家，这可能是个问题，但却是数学的巨大力量所在--我们称它为，所谓的"非现实的现实性"。数学联结了心灵感知的抽象世界和完全没有生命的真实的物质世界。我根据自己在数学方面的兴趣，基于已有的数学背景知识，选取一部分和高中有关的内容进行舒心愉快的阅读。重新总结了高中数学中的数学四大思想方法：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合；函数与方程 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。 等价转化等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范 高一数学必修一《集合》专题复习 一．集合基本概念及运算 1．集合{}1,2,3的真子集的个数为( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 2．已知{}{}1,2,3,2,4A B ==，定义{}|A B x x A x B -=∈?且，则A B -= A. {}1,2,3 B. {}2,4 C. {}1,3 D. {}2 3.已知集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=, 那么集合N M ?为 （ ） A. 3,1x y ==- B. {}(,)|31x y x y ==-或 C. (3,1)- D. {(3,1)}- 4．已知集合2{|2,}M y y x x ==-+∈R ，集合}{|2,02x N y y x ==≤≤,则 ()M N =R e（ ） A ．[]1,2 B ．(]2,4 C ．[)1,2 D ．[)2,4 5.已知{}{}222,21x A y y x x B y y ==-++==-，则A B = _________。 6、已知R x ∈ ，集合{}{}11231322+--=+-=x ,x ,x B ,x ,x ,A 如果{}3A ?B =-，求x 的值和集合A?B ． 7. 已知{}23,(5,)A x a x a B =≤≤+=+∞，若,A B =? 则实数a 的取值范围为 ▲ . 8．已知集合，，且，求实数 的取值范围。 9．设U R =，集合{}2|320A x x x =++=，{} 2|(1)0B x x m x m =+++=； 若A B ?，求m 的值。 10.已知集合{}{}{}|28,|16,|A x x B x x C x x a =≤≤=<<=>，U R =. (I)求A B ， U C A B ；(II)若A C ≠? ,求实数a 的取值范围． 数形结合的思想方法(1)---讲解篇 一、知识要点概述 数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法，简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法。 数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。 二、解题方法指导 1．转换数与形的三条途径： ①通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。 ②转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。 ③构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。 2．运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法： ①“由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。 ②“由数化形”：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。 ③“数形转换”：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式 的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。 三、数形结合的思想方法的应用 (一)解析几何中的数形结合 解析几何问题往往综合许多知识点，在知识网络的交汇处命题，备受出题者的青睐，求解中常常通过数形结合的思想从动态的角度把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来，达到研究、解决问题的目的. 1. 与斜率有关的问题 【例1】已知：有向线段PQ的起点P与终点Q坐标分别为P（-1，1），Q（2，2）.若直线l∶x+my+m=0 高中数学数形结合思想经典例题 一、选择题 1．已知函数f (x )＝???? ?3x ，x≤0，log 2 x ，x>0，下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )为奇函数 B ．f (f (14))＝1 9 C ．函数f (x )的图象关于直线y ＝x 对称 D ．函数f (x )在R 上是增函数 2．已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )>1的解集为( ) A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B ．(－∞，0)∪(1，＋∞) C ．(－1，0) D ．(0，1) 3．函数f (x )＝ln|x ＋cos x |的图象为( ) 4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，则不等式f （x ）－f （－x ） x <0的解集为( ) A ．(－2，0)∩(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(0，2) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－2，0)∪(0，2) 5．实数x ，y 满足不等式组???? ?x －y ＋2≥0，2x －y －5≤0，x ＋y －4≥0，则z ＝|x ＋2y －4|的最大值为( ) A.215 5 B ．21 C ．20 D ．25 6．已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根， 则实数k 的取值范围是( ) A ．(0，1 2) B ．(1 2，1) C ．(1，2) D ．(2，＋∞) 7．若实数x ，y 满足|x －3|≤y ≤1，则z ＝2x ＋y x ＋y 的最小值为( ) A.53 B ．2 C.35 D.12 8．设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1 D ．0 中学数学中四种重要思想方法 一、函数方程思想 函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系,从而解决问题的一种思维方式,是很重要的数学思想. 1.函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来,并研究这些量间的相互制约关系,最后解决问题,这就是函数思想； 2.应用函数思想解题,确立变量之间的函数关系是一关键步骤,大体可分为下面两个步骤：（1）根据题意建立变量之间的函数关系式,把问题转化为相应的函数问题；（2）根据需要构造函数,利用函数的相关知识解决问题；（3）方程思想：在某变化过程中,往往需要根据一些要求,确定某些变量的值,这时常常列出这些变量的方程或（方程组）,通过解方程（或方程组）求出它们,这就是方程思想； 3.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念,它们之间相互渗透,很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决,很多函数的问题也需要用方程的方法的支援,函数与方程之间的辩证关系,形成了函数方程思想. 二、数形结合思想 数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一,对于所研究的代数问题,有时可研究其对应几何的性质使问题得以解决（以形助数）；或者对于所研究的几何问题,可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决（以数助形）,这种解决问题的方法称之为数形结合. 1.数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性,发挥数的思路的规范性与严密性,两者相辅相成,扬长避短. 2.恩格斯是这样来定义数学的：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”.这就是说：数形结合是数学的本质特征,宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一.因此,数学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精髓和灵魂. 3.数形结合的本质是：几何图形的性质反映了数量关系,数量关系决定了几何图形的性质. 4.华罗庚先生曾指出：“数缺形时少直观,形少数时难入微；数形结合百般好,隔裂分家万事非.”数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形：或借助于数的精确性来阐明形的某些属性,或者借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系. 5.把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中,历年高考的解答题都有关于这个方面的考查（即用代数方法研究几何问题）.而以形为手段的数形结合在高考客观题中体现. 6.我们要抓住以下几点数形结合的解题要领： (1) 对于研究距离、角或面积的问题,可直接从几何图形入手进行求解即可； (2) 对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题,可通过函数的图象求解（函数的零点,顶点是关键点）,作好知识的迁移与综合运用； (3) 对于以下类型的问题需要注意：可分别通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x2+y2=1上的点及余弦定理进行转化达到解题目的. 三、分类讨论的数学思想 分类讨论是一种重要的数学思想方法,当问题的对象不能进行统一研究时,就需要对研究的对象进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的结果,最终综合各类结果得到整个问题的解答. 1.有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决,引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种： （1）涉及的数学概念是分类讨论的； （2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的； 高一数学集合练习题专题训练 姓名班级学号得分 说明： １、本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分100分。考试时间90分钟。 ２、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内，第Ⅱ卷直接答在试卷上。考试结束后，只收第Ⅱ卷 第Ⅰ卷（选择题） 一．单选题（共__小题） 1．下列写法： （1）{0}∈{1，2，3}；（2）??{0}；（3）{0，1，2}?{1，2，0}；（4）0∈? 其中错误写法的个数为（） A．1B．2C．3D．4 2．已知集合M={a|a=+，k∈Z}，N={a|a=+，k∈Z}，则（） A．M=N B．M?N C．N?M D．M∩N=? 3．下列各式正确的是（） A．2?{x|x≤10}B．{2}?{x|x≤10} C．?∈{x|x≤10}D．??{x|x≤10} 4．下列各式：①1∈{0，1，2}；②??{0，1，2}；③{1}∈{0，1，2004}；④{0，1，2}?{0，1，2}；⑤{0，1，2}={2，0，1}，其中错误的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 5．设A、B是两个集合，对于A?B，下列说法正确的是（） A．存在x0∈A，使x0∈B B．B?A一定不成立 C．B不可能为空集D．x0∈A是x0∈B的充分条件 6．设U为全集，集合M、N?U，若M∪N=N，则（） A．?U M?（?U N）B．M?（?U N）C．（?U M）?（?U N）D．M?（?U N） 7．设集合A={（x，y）|-=1}，B={（x，y）|y=}，则A∩B的子集的个数是（）A．8B．4C．2D．1 8．已知集合A={0，1，2}，则集合B={x-y|x∈A，y∈A}的子集个数是（） A．5B．8C．16D．32 9．下列四个集合中，是空集的是（） A．{0}B．{x|x＞8，且x＜5} C．{x∈N|x2-1=0}D．{x|x＞4} 10．已知集合A={x|＜-1}，B={x|-1＜x＜0}，则（） A．A B B．B A C．A=B D．A∩B=? 11．已知集合A={1，2，3}，则B={x-y|x∈A，y∈A}中的元素个数为（） 高中数学数形结合思想在解题中的应用 一、知识整合 1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。 2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。 如等式()()x y -+-=21422 3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。 4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。 二、例题分析 例1.的取值范围。之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322 -=++ 分析：0)(32)(2 =++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令 ()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >， ()()02b f f k a - =-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故， 例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法： 原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>??? ? ?<+≥??? 020 20202 解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤< 1.1集合间的关系与基本运算 命题角度1集合的表示、集合之间的关系 高考真题体验·对方向 1.(全国Ⅰ·1)已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为 () A.5 B.4 C.3 D.2 答案 D 解析由条件知,当n=2时,3n+2=8,当n=4时,3n+2=14.所以A∩B={8,14}.故选D. 2.(全国Ⅰ·1)已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1 初高中数学衔接之数学思想方法 初高中数学衔接 ——数学思想方法目录 一、方程与函数思想 1.1方程思想 1.2函数思想 二、数形结合思想 2.1数形结合思想 三、分类讨论思想 1.1 方程思想 方程知识是初中数学的核心内容。理解、掌握方程思想并应用与解题当中十分重要。所谓方程思想就是从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把已知量与未知量之间的数量关系转化为方程（组）模型，从而使问题得到解决的思维方法。对方程思想的考查主要有两个方面：一是列方程（组）解应用题；二是列方程（组）解决代数或几何问题。 （1）高中体现 函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多 函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决 举例： 例1已知函数f (x )=log m 3 3+-x x (1)若f (x )的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f (x )在定义域上的增减性，并加以说明； (2)当0＜m ＜1时，使f (x )的值域为［log m ［m (β–1)］，log m ［m (α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由 解 （1）?>+-03 3x x x ＜–3或x ＞3 ∵f (x )定义域为［α,β］,∴α＞3 设β≥x 1＞x 2≥α，有0) 3)(3()(6333321212211>++-=+--+-x x x x x x x x 当0＜m ＜1时，f (x )为减函数，当m ＞1时，f (x )为增函数 （2）若f (x )在［α,β］上的值域为［log m m (β–1),log m m (α–1)］ ∵0＜m ＜1, f (x )为减函数 ∴??? ????-=+-=-=+-=)1(log 33log )()1(log 33log )(ααααββββm f m f m m m m高中数学解题四大思想方法
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