高中数学数形结合探析
高中数学数形结合思想及其实践探究
高中数学数形结合思想及其实践探究数学思想方法是数学知识的精髓，也是引导和促进学生将知识转化为能力的桥梁. 作为数学最基本的思想方法之一，;“;数形结合;”;思想始终贯穿于中小学数学教学的始终. 《高中数学新课程标准》指出：教学中教师;“;要注重数与形的联系，在学习数学和应用数学中不断体会数形结合的思想方法.;”; 然而在数学教学实践中，教师对数形结合思想的重要性认识不足，或因受教材编写所限，在具体教学时对数形结合思想的贯彻和落实就带有一定的盲目性和随意性. 因此在高中数学教学中，教师要根据高中数学知识的特点，注重数与形的联系，强化数形结合思想方法的渗透与训练，恰到好处地向学生充分展示知识的形成过程，使学生在学会和掌握重要数学知识的同时，不断地体会数形结合的思想方法，学会用数学思想指导知识应用，获得必要的数学应用技能，形成优良思维品质，发展数学能力.现代数学视角下的数形结合思想方法的内涵意义所谓;“;数形结合;”;，就是把数学中两个非常重要的元素;-;;-;数量关系和空间形式紧密结合起来，使代数问题与图形问题在抽象思维和形象思维的相互作用中彼此转化，代数问题几何化，几何问题代数化.由此可见，;“;数形结合;”;不仅是一种数学思想，而且也是一种数学解题工具，一种解决问题的策略意识.可以说;“;数形结合;”;的思想方法无时无刻不活跃在学生的数学学习活动之中. 在高中数学教学始终围绕;“;形;”;;“;数;”;两个角度来引导学生进行数学学习，有利于使数学中的复杂问题简单化，抽象问题具体化，有利于学生形成完整的数学概念和深层次的把握数学概念的本质，加深对数学知识的理解和记忆，构建和优化数学认知结构. 同时能使学生在积极参与教学活动的过程中，不断积累数学活动经验，提高数学思维，从而获得终身受益的数学思想方法和解决问题能力.高中数学教学中渗透数形结合思想方法的必要性1. 渗透数形结合思想方法是落实课标精神的需求《普通高中数学课程标准》指出：基本数学思想是学生的数学学习目标之一，要求学生在掌握数学基础知识的同时要掌握基本的数学技能和基本的数学思想. 因此在数学教学中应以数学知识为载体，注重数与形的联系，将数和形完美地统一起来，促进学生数形转化能力和创造性思维能力的培养.2. 渗透数形结合思想方法是发展学生思维的需求在数学教学中有效渗透数形结合思想方法，通过或是化抽象为直观，或是化技巧为程序操作，不仅能使学生数学的思考具有条理性，能多层次和多角度地来思考问题，而且可以帮助学生树立良好的现代数学思维意识，拓展学生寻找解决问题的途径和发散解题思维，促进学生在将来的学习中能自觉进行数学的思考.3. 渗透数形结合思想方法是处理好教与学的需求在数学教学实践中，不少教师对数形结合思想的重要性认识不足，对数形结合思想的贯彻和落实带有一定的盲目性和随意性，在数学知识的教学过程中不能合理布点、由浅入深，从数到形的转换过程过于简单，致使高中生对;“;数;”;和;“;形;”;的理解比较狭隘，运用数形结合法解题时出现构图不当、转换失真、数与形不等价、条件理解不深刻等问题，未能有效提高学生的解题能力.基于以上三方面的分析，可以看出，渗透数形结合思想方法既是落实课标精神的要求，也是学生发展的要求，更是彻底改善目前高中数学教与学现状的需要. 在高中数学教学中只有效渗透数形结合思想方法，才能让学生在主动参与的学习过程中不断体会数形结合的意义所在，获得终身受益的数学思想方法和解决问题的能力，促进学生数学的发展.高中数学教学中渗透数形结合思想方法的策略1. 恰当运用多媒体技术手段动态展现数形结合思想方法信息技术具有动态可视化的效果，因此教学中可以利用多媒体技术来展现数形结合方法，动态变化的演示过程不仅能将抽象的数学知识直观形象、变化有序地展示在学生面前，验证发现数学规律，培养学生的动态感，而且为学生进行建构性学习提供了有利的平台，使学生学会利用动态的眼光去看待问题.高中解析几何不仅是数和形的紧密结合，具有利用方程的性质来研究相应的几何图形的特点，而且它是把曲线，也包括直线看作按一定的几何条件运动的集合.因此教学中用多媒体把;“;数;”;和;“;形;”;的潜在关系动态地显示出来，并有针对性地加以讲解或组织学生讨论. 通过观察、验证、对比等一系列探究性活动寻找到一般规律和特殊属性，从而充分揭示教学内容中内在的辩证关系，加深学生对几何图形的感知和理解，从而培养学生用运动、变化的观点分析和解决问题的习惯，最终理解和掌握所学知识的实质.2. 在探寻知识意义的实践活动中渗透数形结合思想方法数学学习的过程不只是数学知识的习得，而应是引导学生在;“;经历;”;;“;体验;”;知识的产生、发展和形成过程中发展能力. 因此在高中数学教学中教师要创设开展数学活动的良好情境，给予学生充分的从事数学活动的时间和空间，在亲历中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验，发展数学思维.如，在教学;“;函数的单调性;”;时，笔者安排了三个层次的教学活动：（1）以实际生活中的气温变化表、股市走势等让学生利用已有的知识经验进行思考；（2）出示函数图象，引导学生将图象中上升或下降的趋势用自己的语言描述出来；（3）用几何画板动态演示，让学生观察随着x值的变化，函数值f（x）是如何变化的，然后再用数学语言对图形中的上升或下降趋势加以描述. 将图象语言、符号语言、文字语言相结合，在探究、经历;“;函数单调性;”;的数学活动过程中使学生对;“;函数单调性;”;本质内涵进行理解，体验数形结合的数学思想方法. 3. 在解题过程中合理引导学生使用数形结合思想方法数学学习的目的，不仅是引导学生学会和掌握数学知识，更重要的是学会用数学思想指导知识的应用. 作为解决数学问题时;“;由数思形;”;或;“;由形思数;”;的一种数学思想，它可以有效地将数字和图形相互转化，利用形象解决抽象，实现化难为易的效果. 因此教师在平时的教学中应有意识地引导学生把数形结合的思想运用于解答数学问题中去，提高学生的分析及解决问题的能力.（1）由数思形，以形得数如：已知f（x）=x2+4x+3，求f（x）在闭区间[-3，1]上的最大值、最小值.分析：f（x）=x2+4x+3=（x+2）2-1图象的开口向上，对称轴x=-2，作此二次函数的大致草图（如图1），对称轴在区间内，并在区间中点的左侧，故f（x）max=f（1）=8，f（x）min=f（-2）=-（2）由形思数，以数论形如：如图2，AB为半圆O的直径，且AB=2，P是延长线上一点，且OP=2，Q为半圆上任一点，以PQ为一边向△OPQ的外部作等边三角形PQR，求四边形OPRQ的面积的最大值，并求当四边形OPRQ面积最大值时∠QOP的值.分析：要确定四边形面积的最大值，必须由题目条件结合图形，把面积的表达式写出来.设∠QOP=θ，则在△OPQ中，由余弦定理可得PQ2=5-4cosθ，故.四边形OPRQ面积的最大值为，此时θ-=，所以θ=.在引导学生对知识的反思的过程中提炼数形结合思想高中数学很多知识点屮都蕴含数形结合思想，可以说贯穿于高中数学学习的始终. 然而在数学问题解决的过程中，很多教师往往就题论题，告知学生此题可利用数形结合思想来解，这样不利于学生达到真正意义上的理解和接受. 因此教师要彻底改变重视;“;教;”;而忽略;“;学;”;的现状，不仅要在整体上做好分类，有目的、有计划地选取典型例题进行分析和讲解，而且还应积极引导学生进行反思与归纳，在对知识的反思的过程中提炼数形结合思想，从而构建完整的数形结合解决问题的策略体系.总之，在高中数学教学中教师要从着眼于学生数学能力的提高的视角，在数学教学中体现对数形结合思想方法的关注和重视，注重学生数学思想方法的激活，让学生从解决问题的方法和过程中感悟与体会数学思想方法，在亲历自主探究解决问题的过程中实现知识的完整建构，促进学生数形转化、迁移思维与分析问题及、解决问题能力的提升，发展数学素养。
例谈“数形结合”思想在高考数学中的应用
２０２４年３月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀例谈 数形结合 思想在高考数学中的应用∗◉湖北江汉大学数学与大数据系㊀周㊀岭㊀许㊀璐㊀㊀著名数学家华罗庚曾说过: 数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休 ．所谓 数形结合 就是把抽象的数学语言㊁数量关系与直观的几何图形㊁位置关系结合起来,通过 以形助数或 以数解形 ,即通过抽象思维与形象思维的结合,将复杂问题简单化,抽象问题具体化,达到实现优化解题路径的目的,起到事半功倍的效果．下面将结合高考数学试题实例,分析说明 数形结合 思想在解决问题中的作用和简捷．１数形结合思想在解析几何中的应用例１㊀(２０２３年全国新高考Ⅰ卷)过点(０,－２)与圆x ２＋y ２－４x －１＝０相切的两条直线的夹角为α,则s i n α＝(㊀㊀)．A．１㊀㊀㊀B ．１５４㊀㊀C ．１０４㊀㊀D．６４分析:此题可以先将圆的方程化为标准形式,设出切线方程,利用点到直线的距离公式求出两条切线的斜率,最后利用夹角公式求得s i n α的值,但是计算相对复杂．解析:依题意,圆的方程可化为(x －２)２＋y ２＝５．图１如图１,得到圆心C (２,０),r ＝５,P (０,－２)．所以|P C |＝２２．设过点P 的两条切线为P A 和P B ,则øA P B ＝α,可得s i nα２＝r |P C |＝５２２＝１０４,c o sα２＝１－(s i n α２)２＝６４．所以s i n α＝２s i nα２c o s α２＝１５４．故选:B ．例２㊀(２０２３年新高考I 卷)已知双曲线C :x ２a ２－y ２b２＝１(a ＞０,b ＞０)的左㊁右焦点分别为F １,F ２．点A 在C 上,点B 在y 轴上,F １A ңʅF １B ң,F ２A ң＝－２３F ２B ң,则C 的离心率为．分析:此题常见解法是设出点A ,B 的坐标,利用已知条件列出三个方程,再解出方程求得点A ,B 的坐标,进而得出双曲线C 的离心率．这样计算量会很大,如果利用数形结合的思想结合双曲线的定义求其离心率将会大大简化计算．解析:由F ２A ң＝－２３F ２B ң,得|F ２A ||F ２B |＝２３．设|F ２A |＝２x ,则|F ２B |＝３x ,|A B |＝５x ,|F １B |＝|F ２B |＝３x ．由双曲线的定义,得|A F １|＝|A F ２|＋２a ＝２x ＋２a ．设øF １A F ２＝θ,则s i n θ＝３x ５x ＝３５,所以c o s θ＝４５＝２x ＋２a５x,解得＝a ,则|A F １|＝４a ,|A F ２|＝２a ．图２如图２,在әF １A F ２中,由余弦定理,可得c o s θ＝１６a ２＋４a ２－４c ２１６a２＝４５．整理,得５c ２＝９a ２．故e ＝c a ＝３５５．点评:这类题目考查了学生 数学抽象 的核心素养．解决此类题的关键在于将数学符号语言和图形语言相互转化,利用图形的直观性,结合相关定义㊁公式即可快速解题．２数形结合思想在立体几何中的应用例３㊀(２０２２年新高考I 卷)已知正方体A B C D ＧA １B １C １D １,则(㊀㊀)．A．直线B C １与D A １所成的角为９０ʎB ．直线B C １与C A １所成的角为９０ʎC ．直线B C １与平面B B １D １D 所成的角为４５ʎD．直线B C １与平面A B C D 所成的角为４５ʎ分析:此题可以通过建立空间直角坐标系来判断各选项是否正确,但计算较繁琐．解析:选项A ,B 的判断略．９３∗基金项目:江汉大学研究生科研创新基金项目 基于新课标新课改背景下提升中学生数学学科核心素养的探究 ,项目编号为K Y C X J J ２０２３５０;教育部产学合作协调育人２０２２年第一批立项项目 基于P y t h o n 的大数据分析与应用课程混合教学模式探索 ,项目编号为２２０５０６６２７２４２０５７．学习指导２０２４年３月上半月㊀㊀㊀图３如图３所示,连接A１C１,设A１C１ɘB１D１＝O,连接B O．由B B１ʅ平面A１B１C１D１,C１O⊂平面A１B１C１D１,得C１OʅB１B．因为C１OʅB１D１,B１D１ɘB１B＝B１,所以C１Oʅ平面B B１D１D,所以øC１B O为直线B C１与平面B B１D１D的夹角．设正方体棱长为１,则C１O＝２２,B C１＝２,于是s i nøC１B O＝C１O B C１＝１２．所以直线B C１与平面B B１D１D所成的角为３０ʎ,故选项C错误．因为C１Cʅ平面A B C D,所以øC１B C为直线B C１与平面A BC D的夹角,易得øC１B C＝４５ʎ,故选项D正确．综上所述,此题选:A B D．点评:本题主要考查立体几何中直线与直线的夹角㊁直线与平面的夹角,是对学生 逻辑推理 直观想象核心素养的考查．此题如果通过建系来计算,将比较复杂,耗时较长;若采取 传统 方法,结合图形并运用立体几何㊁三角函数相关知识,即可快速㊁直观作出判断．３数形结合思想在函数中的应用例４㊀(２０２１年全国乙卷)设aʂ０,若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)２(x－b)的极大值点,则有(㊀㊀)．A．a＜b B．a＞b C．a b＜a２D．a b＞a２分析:此题如果利用导数知识来求该函数的极大值点,再通过a与b的大小来判断选项将非常复杂．如果通过数形结合先考虑函数的零点情况,注意零点附近左右两侧函数值是否变号,结合极大值点的性质,对a进行分类画出该函数的图象再来判断选项将大大简化了问题,既直观又方便快捷[１]．解析:若a＝b,则f(x)＝a(x－a)３为单调函数,无极值点,不符合题意,故aʂb．所以f(x)有x＝a和x＝b两个不同零点,且在x＝a附近左右两侧不变号,在x＝b附近左右两侧变号．因为x＝a为函数f(x)＝a(x－a)２(x－b)的极大值点,所以f(x)在x＝a附近左右都小于０．①当a＜０时,由x＞b,f(x)ɤ０,画出f(x)的图象如图４所示．由b＜a＜０,得a b＞a２．图４㊀㊀㊀图５②当a＞０时,由x＞b,f(x)＞０,画出f(x)的图象如图５所示．由b＞a＞０,得a b＞a２．综上a b＞a２成立．故选:D．例５㊀(２０２１年新高考I卷)已知O为坐标原点,点A(１,０),P１(c o sα,s i nα),P２(c o sβ,－s i nβ),P３(c o s(α＋β),s i n(α＋β)),则(㊀㊀)．A．|O P１ң|＝|O P２ң|B．|A P１ң|＝|A P２ң|C．O Aң O P３ң＝O P１ң O P２ңD．O Aң O P１ң＝O P２ң O P３ң分析:此题如果画出图形,利用数形结合思想解题,既直观又简捷．图６解析:如图６,可得|O P１ң|＝|O P２ң|＝１,故选项A正确．仅当α＝－β时,|A P１ң|＝|A P２ң|成立．故选项B错误．由O Aң O P３ң＝|O Aң| |O P３ң|c o s(α＋β),O P１ң O P２ң＝|O P１ң| |O P２ң| c o s(α＋β),|O Aң|＝|O P３ң|＝|O P１ң|＝|O P２ң|＝１,可知O Aң O P３ң＝O P１ң O P２ң．故选项C正确．观察图象,易得‹O Aң,O P１ң›＝α,‹O P２ң,O P３ң›＝α＋２β．故选项D错误．此题应选:A C．例６㊀(２０２１年新高考I卷)若过点(a,b)可以作曲线y＝e x的两条切线,则(㊀㊀)．A．e b＜a B．e a＜bC．０＜a＜e b D．０＜b＜e a分析:此题要求作出曲线y＝e x的两条切线,通过几何图形进行直观想象,很容易判断各选项是否正确．解析:作出y＝e x的图象．易得,若想作出切线,点(a,b)需在曲线y＝e x的下方和x轴上方,如图７,即b＜e a．图７㊀㊀图８但点(a,b)在x轴及其下方时,仅能作出一条切线,如图８．所以点(a,b)需在y轴上方,即b＞０．综上,可得０＜b＜e a．故选:D．综上所述,在高考数学中利用数形结合思想解题往往可以起到简化计算㊁提高解题效率的作用．因此,平时教学中教师应通过数形结合思想丰富的展现形式不断对其进行渗透,促进学生数与形相互转换的能力,刺激学生学习数学的欲望,引导学生投入到数形结合分析的专题探究中[２],从而达到数学抽象思维具象化㊁发散化的教学目的,最终达到提升学生核心素养和全面发展的教育目的．参考文献:[１]常国良．数学教学中渗透直观想象素养的三重境界[J]．教学与管理,２０２０(３１):６２Ｇ６４．[２]李兆芹．探究数形结合思想如何有效运用于高中数学教学[J]．数学学习与研究,２０１８(５):４３．Z０４。
数形结合思想在高中数学教学中的运用研究
数形结合思想在高中数学教学中的运用研究摘要：数形结合思想是数学教学中的重要理念，通过将数学和几何形式结合，可以更加直观地理解数学知识，提高学生的学习兴趣和学习效果。
本文将从数形结合思想在高中数学教学中的意义和重要性、数形结合思想在解决实际问题中的应用以及数形结合思想在高中数学教学中的实际操作等方面展开研究，希望能够为高中数学教学提供一定的参考和借鉴。
关键词：数形结合思想；高中数学教学；实际问题；应用研究；教学操作一、引言二、数形结合思想在高中数学教学中的意义和重要性1. 提高学习兴趣数学教学中，通过数形结合思想，可以使抽象的数学知识更加具体和直观，从而提高学生的学习兴趣。
通过图形展示不同的数学定理和问题，可以使学生更容易理解和记忆，从而激发学习兴趣，增加学习动力。
2. 加深理解数形结合思想可以帮助学生更深入地理解数学概念和原理。
通过观察图形、几何形状和数学关系，学生可以更加直观地理解数学知识，从而更容易掌握和运用。
3. 培养思维能力数形结合思想可以培养学生的空间想象力和逻辑推理能力，提高学生的数学思维水平。
通过观察、研究和推理，学生可以更好地理解和运用数学知识，提高解决问题的能力。
三、数形结合思想在解决实际问题中的应用数形结合思想在解决实际问题中有着广泛的应用，特别是在几何问题和应用题中往往能够发挥出更大的作用。
1. 几何问题2. 应用题在应用题中，数形结合思想可以帮助学生更加直观地理解和解决各种实际问题。
通过图形展示一个实际问题的几何形式，可以更容易地建立数学模型，从而更容易地解决应用题。
1. 利用图形展示数学知识2. 引导学生观察、分析和推理。
数形结合思想在高中数学教学中的应用分析
数形结合思想在高中数学教学中的应用分析
数形结合思想是通过将数学与几何相结合的方式来解决问题，它充分利用了几何图形
的直观性和数学公式的精确性。
在高中数学教学中，数形结合思想可以被广泛应用于各种
数学概念和技巧的讲解，以及问题的解决。
在几何学中，数形结合思想可以用于解决诸如平面面积、体积等问题。
例如，如果我
们将一个三角形分成两个小的三角形，那么它们的面积加起来就等于原来的三角形的面积。
这就是数形结合思想的应用。
在高中数学教学中，这个思想可以用于教学基本几何概念，
例如勾股定理，三角形面积，正方体体积等。
另一方面，数形结合思想在代数学中也有重要的应用。
例如，在解方程的时候，我们
可以通过画出函数图像，通过图像的交点得到解方程的方法。
在高中数学教学中，这个思
想可以用于数学分析和高等代数的教学中。
此外，数形结合思想也可以用于数学模型的建立和实际问题的解决。
例如，当我们需
要解决一个有关面积或体积的实际问题时，我们可以通过用数学公式计算出形状的尺寸，
然后用这些尺寸来计算出我们所需要的面积或体积。
在高中数学教学中，这个思想可以用
于实际应用问题的教学中，例如纯算题，数学建模竞赛等等。
总之，数形结合思想在高中数学教学中的应用非常广泛。
它可以用于解决几何和代数
问题，用于建立数学模型，和解决实际问题。
更重要的是，数形结合思想可以帮助学生更
好地理解和运用数学知识，拓展他们对数学的视野，进而对数学产生了浓厚的兴趣。
数形结合在高中数学教学中的巧妙应用
数形结合在高中数学教学中的巧妙应用1. 引言1.1 数形结合在高中数学教学中的重要性数目。
感谢理解！数形结合在高中数学教学中的重要性体现在多个方面。
数形结合可以帮助学生更深入地理解数学概念，将抽象的数学知识具体化，让学生更直观地感受到数学的美妙之处。
数形结合可以促进学生的逻辑思维能力和空间想象能力的发展，培养学生解决问题的能力。
数形结合还能够激发学生学习数学的兴趣，提高他们学习数学的积极性与主动性。
通过数形结合的教学方法，学生可以更全面地理解数学知识，将数学与实际生活中的问题联系起来，提高数学学习的效果和质量。
数形结合在高中数学教学中扮演着重要的角色，为学生提供了更丰富多彩的学习体验，有助于他们全面提升数学素养。
2. 正文2.1 数形结合的教学方法数、格式等。
数形结合在高中数学教学中的巧妙应用是一种非常重要的教学方法，它通过结合数学中的符号和几何中的图形，使学生更直观地理解抽象的数学概念。
在进行数形结合的教学时，教师需要运用多样化的教学方法，以激发学生的学习兴趣和提高他们的学习效果。
教师可以通过举例说明的方式引入数形结合的概念，让学生从具体的实例中感受数学与几何之间的联系。
在解决几何问题时，可以让学生通过画图的方式将问题可视化，再通过数学方法解决问题，从而深刻理解数学与几何之间的联系。
教师可以组织学生进行小组讨论或合作学习，让他们互相交流思想，共同探讨解决问题的方法。
通过互动交流，学生可以更好地理解数形结合的概念，并且在实践中加深对知识的理解。
教师还可以借助现代化的技术手段，如数学软件或在线资源，来辅助数形结合的教学。
通过多媒体教学，学生可以更直观地感受到数学与几何之间的联系，提高学习效果。
2.2 数形结合在几何学习中的应用数目、格式要求等。
数形结合在几何学习中起着至关重要的作用，通过将数学知识与几何图形相结合，可以帮助学生更好地理解几何概念，提高他们的几何思维能力。
在高中数学教学中，数形结合可以应用于各种几何问题的解决中，如计算三角形的面积、判断平行四边形的性质等。
浅谈高中数学教学中的“数形结合”
图 １
，
成 立．
例 ４ 当 １ ＜ｎ ＜ ６时 ， 求证： ａ ＞
解 析 ：“ ＞ ＿ １㈢
．
ｂ ）， （ Ｃ， ０）， （ ０， ｄ） ．
（ ６ — １）ｌ ｎ ａ ＞
由 Ｆ， Ｇ分 别 为 Ａ Ｂ， Ｃ Ｄ 中点 ，
知 Ｆ （ 一 旦 ２ ， 一 ｂ ） ， Ｇ （ 专 ， 导 ） ．
又 Ｅ 同时 在 ＡＣ， Ｂ Ｄ 的垂 直
／
＼ ／
（ ｎ 一 １ ） １ ｎ “ 一 半 ｌ ＞ Ｄ — ｌ ．
设 函数 ｌ ，（ ） ＝ｌ ｎ ｘ， 则 其 图 像 必 过 点 Ｃ（ １ ， ０ ） ， 在 图像 上 任取 两 点 Ａ（ “ ， ｌ ｎ ａ） ，
波利亚在《 怎样解题 》 一 书 中说 ： “ 数 学 解 题 是 命 题 的 连 续
的变 换 ． ” 可见“ 转化” 是 解 题 的 重要 手 段 ． 而数 形 结 合 ， 是 转 化 的重 要 方 法 之 一 ． 纵 观 近 年 来 的高 考 ， 熔“ 数” 和“ 形” 于 一 体 的 试 题 屡 见不 鲜 ． 本 文就 运 用 “ 数形 结合” 进 行 解 题 的 常 见题 型 进行分类解析．
一 ２ ｆ
．
『 Ｊ
图 ３
特 定 的 问题 ， 可以被转化为一个图形 ， 那 么 思 想 就 整 体 地 把 握
了问题 ， 并且能创造性地思索问题的解法． ”
即— ｌ ｎ ａ ｌ ｎ ｌ ＞
得证
．
数学 教学 中 的 数 形结合 浅 谈 ４ ． 利 用 图 形 求最 值 例 ２ 解不等式 ｌ ３ ｘ －２ ｌ ＋Ｉ ３ 十１ ｌ ≤６ （ ∈ Ｒ） ．
浅析高中数学课堂中数形结合思想在函数解题中的运用
２ ． 建立数形结合模 型 ， 处理量与量之间的变化关系
函数 的性质在高考中 占有 较高 比重 ，其在 函数知识 的学 习中
此， 高 中数 学教学要求教师在教 学过程 中重视对学 生数 形结合思
想 的培 养 ， 这样 对学生准确解读 题 目的含义 、 把握解题 的思路 、 做 也是一个十分重要 的知识点。然而学生对于 函数 的性质 即函数 中 出正确 的解答有很大帮助。数学教师要把 向学生渗透数形结合 的 量 与量之 间的关系一直视为一 大难题 ，之所 以形成这种局 面是 因 思想 和方 法作为 日常教学 任务 ， 培养学生形成数形 结合的思考逻 为这方 面的知识 内容较为抽象 ， 理解起来存在一 定难度 。 为了克服
辑与解题思维 ， 进而提高教学效率。
这种不利 的教学现状 ，教师可以将数形结合 的教学方法融人 日常 ２ ． 数形结合 的思想运用于函数解题过程 ， 可 以提高速度和效率 教 学活动 中， 借 助直 观形象 的图形达到帮助学生理解 知识 ， 鼓励学 数形结合作 为一种有效 的函数解题途径 ， 能够帮助 我们将复 生使用数形结合思想处理相关数学 问题 。如题 ： “ 已知方程 Ｘ ２ １ ４ Ｘ ￣ 杂抽象的问题变得具 体 ， 更易于解答 ， 在实际应用 中大大提高 了解 ３ ＝ ｍ有 ４个 根 ， 求实数 ｍ 的取值范 围” 此题并 不涉及方 程根的具 题速度与效率。 在运用数形结合的方法解答 函数题 目时 ， 对 于给出 体值 ， 只求根的个数 ， 而求方程 根的个数 问题可 以转化为求两条 曲 的 图象形式的函数 ，可以先把 图形语言转化为两数之 间的数量关 线 的交点 的个 数问题来解 决 ， 即求解 函数 ｙ ＝ ｘ ２ － ４ ｘ ＋ ３与函数 ｙ ＝ ｔ ｒ ｔ 系 以便更客观地分析 ， 然后正确地思考和解决 ； 对于 已知 的函数数 图象 的交点 的个数。 如此一来 ， 原本抽象 的数量变化关 系就变得 十 量关 系之 间的问题 ， 我们可 以根据其 具有 的几何意 义进行图形转 分具体 ， 数形模 型的建立就是准确快速解答 的前提 。 化， 从而能够更加直观地观察和解 决 ， 并 由此得 出正确 的答案和结 三、 数形结合思想方 法在 函数教学中的运用 策略 论。 数形结合 的方法在解题运用中还必须遵循相关的实施原则 ， 其 原则 如下 ： （ １ ） 敏 锐 细致 的洞 察力 ， 准确地 抓住 不 同图形 所 包含 １ ． 借助数形转化关 系帮助学生准确理解函数概念 高 中数学教师设计 函数概念课程时 ， 应引导学生学习和掌握数
数形结合在高中数学教学中的巧妙应用
数形结合在高中数学教学中的巧妙应用数形结合是指数学中将数学概念与图形形式相结合，通过使用图形直观地表示数学问题，从而加深学生对数学概念的理解和记忆。
在高中数学教学中，数形结合的巧妙应用可以使学生更加深入地理解和掌握数学知识，并能够更好地应用于解决实际问题。
数形结合可以帮助学生更加形象地理解几何图形的性质。
以平行四边形为例，传统教学中通常使用文字和符号来描述平行四边形的定义和性质，但学生往往难以直观地理解其几何特征。
而将平行四边形的定义和性质与相应的图形形式结合起来，可以使学生通过观察图形直观地感受到其特点，从而更好地理解和记忆。
数形结合还可以帮助学生更加直观地理解数学中的变量和函数关系。
在函数的教学中，常常使用符号和公式来表述函数关系，但对于学生来说，往往难以把握函数图形与其代数表达的对应关系。
而通过绘制函数图形，可以使学生直观地观察到函数关系的变化规律，从而更加深入地理解和掌握函数的性质和特点。
数形结合在解决数学问题中也有着巧妙的应用。
以解方程为例，传统的解方程方法往往通过运算步骤来推导出方程的解，但对于一些复杂的方程，运算步骤往往会较为繁杂，学生容易迷失在计算中。
而通过数形结合的方法，可以将方程转化为图形问题，通过观察图形解决方程，不仅更能激发学生的兴趣，还能够简化解题过程，提高解题效率。
在几何证明中，数形结合也有着重要的应用价值。
几何证明通常需要通过逻辑推理和形式化的描述来确立结论，而对于一些复杂的几何证明，学生往往难以从中找到突破口。
而通过数形结合的方法，可以将几何问题转化为数学问题，通过对数学关系或性质的推导来解决几何证明，从而使学生更加直观地理解几何问题的本质，提高几何证明的能力。
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高中数学数形结合探析
一、“数形结合”的重要性
“数”与“形”作为数学中最古老最重要的两个方面,一直就是一对矛盾体。
正如矛和盾总是同时存在一样,有“数”必有“形”,有“形”就有“数”。
华罗庚先生曾说过：“数与形本是相倚依,怎能分作两边飞,数缺形时少直觉,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休。
切莫忘,几何代数统一体,永远联系,切莫分离！”寥寥数语,把数形之妙说得淋漓尽致。
“数形结合”作为数学中的一种重要思想,在高中数学中占有极其重要的地位。
事实上,数形结合思想,就是用联系的观点,根据数的结构特征,构造出与之相适应的图形,利用图形的性质和规律,解决“数”的问题；或将图形的部分信息或全部信息转化成“数”的信息,弱化或消除“形”的推理,从而将“形”的问题转化成数量关系来解决。
利用数形结合,能够有效地讲解有关基本概念、定理,培养学生的能力,解题中运用它能够使复杂的问题“形象”、明了化,提高学生分析,解决问题的能力等。
以往的“数形结合”大多出现在教师的习题课中,以灌输为主,这并不完全符合新课程理念。
应寻找一种办法,能使学生在上“数形结合”的习题课之前就自主地发现数形结合的存在,并自然地使用数形结合的方法解题。
二、关注细节,让学生主动“数形结合”
本人在去年所教的2011届毕业班学生中,发现一个普遍的问题：一些能用“数形结合”巧解的题目,在自己做题时却想不到用“数形结合”,等老师提示后才恍然大悟,但下次再碰到却还是想不到要用“数形结合”。
本人认为,学生出现这样的问题,老师肯定是有责任的。
问题应该是出在前面两年打基础的时候。
所以在教新高一时,在平时上课中（包括新课和习题课）,有目的地强化了一些细节,具体做法如下：第一步,在新课中“数”、“形”并进,让学生见“数”想到“形”,见“形”不忘“数”。
例如：在必修1第一章“集合”内容中,除了在数集运算中借助于画数轴解决外,还要重视韦恩图的运用。
韦恩图作为集合的第三种表示方法,往往容易被学生忽略,如果老师上课时多用用韦恩图来处理集合的交、并、补等运算,学生就会感受到问题一旦形象化了,运算会很方便。
在必修5第二章“数列”内容中,用函数图像表示出等差等比数列的通项公式,这样学生就能很容易地分辨出等差数列和等比数列的通项公式。
把等差数列的前项和公式画成函数图像,就能帮助学生理解等差数列的的最值问题。
在讲解有关可以用数形结合解题的题目时,调动学生的积极性,运用分组讨论等形式让学生感受到数形结合的便捷和乐趣。
第二步,习题课中让“数”“形”之妙体现出来。
在讲解有关可以用数形结合解题的题目时,调动学生的积极性,运用分组讨论等形式让学生感受到数形结合的便捷和乐趣。
总之,在教学中要注重数形结合思想方法的培养,在培养学生数形结合思想的过程中, 要充分挖掘教材内容, 将数形结合思想渗透于具体的问题中, 在解决问题中让学生正确理解“数”与“形”的相对性, 使之有机地结合起来。
当然, 要掌握好数形结合的思想方法并能灵活运用, 就要熟悉某些问题的图形背景, 熟悉有关数学式中各参数的几何意义, 建立结合图形思考问题的习惯, 在学习中不断摸索, 积累经验, 加深和加强对数形结合思想方法的理解和运用。
用数学思想指导知识,方法的灵活运用,培养思维的深刻性、抽象性；通过组织引导对解法的简洁性的反思评估、不断优化思维品质、培养思维的严谨性、批判性。
丰富的合理的联想,是对知识的深刻理解及类比、转化、数形结合、函数与方程等数学思想运用的必然。
数学方法、数学思想的自学运用往往使我们运算简捷、推理机敏,是提高数学能力的必由之路。
“授之以鱼 ,不如授之以渔”,方法的掌握、思想的形成 ,才能最终使学生受益终生。
参考文献：
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[2] 蔡东兴. 数形结合思想方法的应用[J]. 高中数学教与学, 2009, (02)
[3] 贾宏伟. 新课标下高中数学学习的几种思想方法[J]. 新西部, 2008, (11)
[4] 刘军刚. 新数形结合的应用浅析[J]. 新课程研究(基础教育), 2008, (04)。