想学好高中数学，就要学会数形结合！数形结合六大应用及例题详解
数形结合在高中数学中的应用
数形结合在高中数学中的应用数形结合的思想，就是把问题的数量关系和空间形式结合起来考虑的思想，根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题去讨论，或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究，简言之“数形相互取长补短”。
下面我将结合例题浅析数形结合思想的应用。
一、以图形增强代数概念的直观性已知p点分的比为，则b分的比为多少？此问题若以有向线段数量来分析，至少要注意三个方面：（1）点分有向线段所成比的定义（2）对于数量有：ab=-ba（3）对于数量有：ab=ap+pb，然后进行代数式的恒等变形。
而如果结合具体图形，由题易得如图a、b、p三点的分布，因此。
例2、比较大小arcsin_____arccos代数方法应考虑以函数单调性去解决，这就存在函数名称同化的问题，此正为该题之难点若将两式理解为已知函数值的锐角，则可得a= arcsin和b= arccos为图形中两角，因此易得b>a。
例3、若0x>sinx。
二、利用有关函数草图解决代数问题函数图象与函数解析式是最紧密的数形结合，特别对于较易得到草图的函数参加的代数问题，利用其图象往往可一蹴而就。
例4、不等式≥x的解集是（）[-2，2] （b）（-1，2）（c） [0，2] （d）（，2）若用无理不等式的通用解法，此题易考虑不周，从而丢失某一组有理不等式组或丢失某一有理不等式，而画出函数的图象如图，仅分析选择支的区间形态，便可知选（a）例5、已知方程|x2-4x+3|+k=0有四个根，求k的取值范围。
若以代数方法须保证方程x2-4x+3+k=0在区间（-，1）（3，+）内有两根，且方程x2-4x+3-k=0在区间[1，3] 内有两根。
而画出y1=|x2-4x+3|，y2=-k的图象后，只须两图象有四个交点即可。
即-10}，若ab=r，求实数a的范围。
解出a并可确认为a={x | a-10和f（a+1）>0即可，这就巧妙回避了分类讨论。
数形结合，妙解高中数学难题
数形结合，妙解高中数学难题
以形助数，以数解形
——数形结合（阿波罗尼斯圆）
作者：半斤＆Sciaphila
Hello，大家好。
今天我们将为大家带来一份解题锦囊，教你用数形结合解决高考难题。
数形结合是数学解题中常用的思想方法，巧妙运用数形结合的思想可以把某些抽象的数学问题直观化、生动化，变抽象思维为形象思维，做到“以形助数，以数解形”。
实现数形结合，常于以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系②函数与图像的对应关系③曲线与方程的对应关系④以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如：复数、三角函数⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
为让大家有更好的认识，下面是我们为大家准备的例题：
以上是较简单明了的数形结合在具体问题中的应用，下面再向大家介绍一下数形结合的另一个较具体的数学问题-——阿波罗尼斯圆在
高考中的应用。
下面来看一道高考题：
（最后贴心附上我们上一期的答案，相信童鞋们都已经做出来了哟。
）。
运用数形结合思想巧解高中数学题例析
运用数形结合思想巧解高中数学题例析数学是一门抽象的学科，与大多数人口中的“实在”“有形”等形容词相悖。
但是，数学却可以通过数形结合的方法让我们看到它的立体感。
在高中数学中，数形结合思想尤为重要，它能够启发我们思考问题，化繁为简，找到解题的技巧性思路。
数形结合思想是一种通过图形来解决数学问题的方法。
它将数学公式和几何图形有机地结合在一起，借助图形的视觉效果，使得数学问题更加直观易懂，容易解决。
以下将通过举例说明如何巧妙地运用数形结合思想解决高中数学问题。
例1. 在平面直角坐标系内，将直线 $y = x$ 上的点分别与 $x, y, -x,-y$ 坐标轴上的点两两连成线段，把平面分成了 $8$ 个部分，求其中钝角三角形的个数。
这是一道很巧妙的数形结合题。
题目中要求我们求的是钝角三角形的个数。
我们可以从图形入手，由题意可知，随着绕点 $O(0,0)$ 以 $(x, x)$，$(y, 0)$，$(-x,-x)$ 和$(0, y)$ 为端点的线段依次连接，整个平面被分成八个区域。
根据锐角、直角、钝角三角形三种情况，可以发现，当一个三角形中必须至少有一条边与 $y=x$ 相交时，这个三角形就是钝角三角形。
因为它的另外两条边必须显著“弯曲”，而直角三角形则需要两条边与 $y=x$ 垂直。
同样的，当一条边与 $y=-x$ 相交时，也可能会构成钝角三角形。
那么我们可以可以通过观察不同的区域得到钝角三角形的数目。
对于 $A$ 区域，只有 $(3)$ 构成的三角形（实心的）是钝角三角形。
通过以上分析，我们得到：在这八个区域中，钝角三角形的个数为$1+3+4+1+1+3+3+1=17$。
例2. 已知 $\triangle ABC$ 的三个顶点的坐标分别为 $A(0,0)$，$B(6,0)$，$C(3,5)$，$P$ 点在 $\triangle ABC$ 内部，$AP$ 与 $BC$ 相交于点 $D$，$BP$ 与$AC$ 相交于点 $E$，$CP$ 与 $AB$ 相交于点 $F$，三边上的点 $D$，$E$，$F$ 互不相同。
高考数学：数形结合法及题型实例
高考数学：数形结合法及题型实例数形结合思想基础知识点1．数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。
它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。
“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。
2．数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。
3．“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合”，用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。
4．函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是“以形示数”，而解析几何的方程、斜率、距离公式，向量的坐标表示则是“以数助形”，还有导数更是数形形结合的产物，这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台。
5．在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。
用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数形分离万事休”。
经典例题剖析方法总结与高考预测（一）方法总结1．数形结合，数形转化常从一下几个方面：（1）集合的运算及文氏图（2）函数图象，导数的几何意义（3）解析几何中方程的曲线（4）数形转化，以形助数的还有：数轴、函数图象、单位圆、三角函数线或数式的结构特征等；2．取值范围，最值问题，方程不等式解的讨论，有解与恒成立问题等等，许多问题还可以通过换元转化为具有明显几何意义的问题，借助图形求解。
（二）高考预测1．在高考题中，数形结合的题目主要出现在函数、导数、解析几何及不等式最值等综合性题目上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是选择、填空等小题。
数形结合思想在高中数学教学中的有效运用
数形结合思想在高中数学教学中的有效运用
数形结合思想是一种重要的思想方法，它将数学和几何相结合，利用图形和形状来推
导出数学规律，是一种将抽象问题转化为具体问题的思考方式。
在高中数学教学中，数形
结合思想具有很好的应用价值，可以更好地帮助学生理解数学知识，提高数学素养和应用
能力。
一、数形结合思想在平面几何中的应用
1.平面图形的解析方法。
平面几何是数形结合思想最常用的领域之一，常常需要利用
图形的形状和大小来分析和解决问题。
例如，在证明平面图形之间面积的关系时，可以通
过分析图形的对称性和相似性来推导出结论。
2. 比例关系的图示方法。
比例是数学中常见的重要概念，可以用图形来表示。
例如，通过图形的大小和比例关系，可以帮助学生更加直观地理解数学中的比例和比例关系，从
而更好地应用到实际问题中。
3. 二次函数图形的解析方法。
二次函数图像是高中数学中较为复杂的内容之一，学
生往往难以理解。
利用数形结合思想，可以将二次函数图形转化为图形的形状和特征，通
过图形的变化来推导出函数的特性和性质，从而更好地理解二次函数的概念和应用。
2. 函数求极值和最值的图示方法。
在函数求极值和最值时，可以利用图形的形状和
大小来分析和解决问题。
例如，在求函数的最大值和最小值时，可以通过图形的上下凸性
和变化趋势来推导出最值的位置和数值，从而更好地掌握函数求极值和最值的方法。
(完整)高中数学的数形结合思想方法_全(讲解+例题+巩固+测试)
4. 与定义有关的问题 【例 4】求抛物线 y2=4x 上到焦点 F 的距离与到点 最小的点 P 的坐标，并求这个最小值 .
A （ 3， 2）的距离之和为
【分析】要求 PA+PF 的最小值，可利用抛物线的定义，把 PF 转化为点 P 到
准线的距离，化曲为直从而借助数形结合解决相关问题
.
2
高中数学的数形结合思想方法
形转化；第三是正确确定参数的取值范围。
二、 解题方法指导
1．转换数与形的三条途径 ：
① 通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。
② 转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平
面上两点间的距离等。
③ 构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。
解： P′是抛物线 y 2=4x 上的任意一点，过 P′作抛物线的准线 l 的垂线，垂足为 D，连 P′（ＦF 为抛物 线的焦点），由抛物线的定义可知：
.
过 A 作准线 l 的垂线，交抛物线于 P，垂足为 Q，显然，直线 AQ 之长小于折线 AP′Ｄ之长，因而 所求的点 P 即为 AQ 与抛物线交点 .
.
2. 解不等式 【例 11】已知 f（ x）是Ｒ上的偶函数，且在［０，＋
∞）上是减函数， f（ a）＝０（ a>0），那么不
等式 xf （ x） <0 的解集是（ ） .
Ａ . ｛ x|0<x<a ｝
Ｂ . ｛x|-a<x<0 或 x>a｝
Ｃ . ｛ x|-a<x<a ｝
Ｄ . ｛ x|x<-a 或 0<x<a ｝
中.
【例 6】确定函数 y=
高考专题复习思想方法：数形结合(精华版)
数形结合思想数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要数学思想方法.利用数形结合思想，“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而找到解题思路，使问题得到解决.以形助数常用的有：借助于数轴、函数图像、单位圆、数式的结构特征、解析几何方法，以数解形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系、运算结果与几何定理的结合.【以形助数】例1、（集合中的数形结合）已知集合{}{}0103,22<--=+<<=xxxBaxaxA，当∅≠⋂BA，求实数a的取值范围.参考解答：画数轴分析可得45a-<<.例2、（函数中的数形结合）设()222f x x ax=-+，当[)1,x∈-+∞时，()f x a>恒成立，求a参考解答：解法一：由()f x a>，在[)1,-+∞上恒成立2x⇔考查函数()222g x x ax a=-+-的图像在[1,-不等式的成立条件是：1）()()244202,1a a a∆=--<⇒∈-；2）()(]13,210a ag∆≥⎧⎪<-⇒∈--⎨⎪->⎩；综上所述()3,1a∈-解法二：由()()2221f x a x a x>⇔+>+，令),l m对应的a的值分别为3,1-，故直线l对应的a∈例3、（方程中的数形结合）若方程()()2lg3lg3x x m x-+-=-在x∈内有唯一解，求实数参考解答：原方程变形为23033xx x m x->⎧⎨-+-=-⎩，即()3021xx m2->⎧⎪⎨-=-⎪⎩，作出曲线()212y x=-，()0,3x∈和直线21y m=-的图象，由图可知：①当10m-=时，有唯一解1m=；②当114m ≤-<时，即30m -<≤时，方程有唯一解. 综上可知，1m =或30m -<≤时，方程有唯一解.例4、（不等式中数形结合）不等式0222>++-a a ax x 在()2,0∈x 时恒成立，求a 的取值范围.参考解答：(][),10,-∞-⋃+∞例5、（解析几何中的数形结合）已知,x y 满足2211625x y +=，求3y x -的最大值与最小值. 参考解答：对于二元函数3y x -在限定条件2211625x y +=下求最值问题，常采用构造直线截距的方法 来求之.令3y x b -=，则3y x b =+，原问题转化为：在椭圆2211625x y +=上求一点， 使过该点的直线斜率为3，且在y 轴上截距最大或最小，由图可知，当直线3y x b =+与椭圆2211625x y +=相切时，有最大截距与最小截距.由可得0∆=，得13b =±，故3y x -的最大值为13，最小值为13-.例6、设0b >，二次函数2y ax =②(A ()B例7、线段AB 的两个端点为(1,1A 点，求a 的取值范围.参考解答：不论a 取何值，直线l 恒过定点(P需要l 由直线PA 的位置（绕P l 的倾斜角先逐渐增大到2π（从而l 依然逐渐增大，因此其正切值（l 故(][)2,42,a ∈-∞-⋃+∞，即例8、已知()1,1A为椭圆22195x y+=内一点，1F为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点，求1PF PA+的最大值和最小值.参考解答：由椭圆的定义知121266PF PF PF PF+=⇒=-，122266,6PF PA PF PA AF AF+=-+∈⎡-+⎤⎣⎦即()1min6PF PA+=，()1max6PF PA+=【配套练习】1、方程1sin44x xπ⎛⎫-=⎪⎝⎭的解的个数为（C）()A1()B2()C3()D4 2、如果实数,x y满足()2223x y-+=，则yx的最大值为（D）()A12()B()C()D参考解答：等式()2223x y-+=有几何意义，它表示坐标平面上的一个圆，圆心为()2,0，半径3r=如图，y yx x-=-表示圆上的点(),x y与坐标原点()0,0的连线的斜率. 如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点A在以()2,0为圆心，以r=OA的斜率的最大值，由图可见，当A∠在第一象限，且与圆相切时，OA的斜率最大，经简单计算得最大值为tan60︒=3、已知函数()()2log1f x x=+，若0a b c<<<，则()()(),,f a f b f ca b c的大小关系为()()()f c f b f ac b a<<.4、设函数()2020x bx c xf xx⎧++≤=⎨>⎩，若()()40f f-=，()2f-=则关于x的方程()f x x=的解的个数为（C）()A1()B2()C35、函数y=D）()A2()B1+()C6、已知函数aaxxy-++=22在区间(]3,∞-内递减，则实数a参考解答：如图所示，可知对称轴362ax a=-≥⇒≤-7、设α、β分别是方程2log40240xx x x+-=+-=和的根，则αβ+＝4.8、如果关于x 的方程0232=-++a ax x 有两个实数根21,x x ，并且()()2,0,1,21∈-∞-∈x x ，求实数a 的取值范围.参考解答：令()232f x x ax a =++-，由题()()()1043030032022070f a f a a f ⎧-<-<⎧⎪⎪<⇒-<⇒>⎨⎨⎪⎪>>⎩⎩.9、求函数2cos 2sin -+=x x y 的值域.参考解答：2cos 2sin -+=x x y 的形式类似于斜率公式2121y y k x x -=-，表示过两点()02,2P -，()cos ,sin P x x 的直线的斜率，由于点P 在单位圆122=+y x 上，显然B P A P k y k 00≤≤，设过0P 的圆的切线方程为)2(2-=+x ky ，则有11|22|2=++k k ，解得374±-=k ，即0P Ak =，0P Bk =，所以374374+-≤≤--y ，所以函数值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---374374，. 10、已知集合(){}()(){}22,1,,,,1,,P x y x y x R y R Q x y x a y x R y R=+≤∈∈=-+≤∈∈，求满足下列条件时实数a 的取值范围.⑴∅≠⋂QP ；⑵P Q ；参考解答：画区域分析问题，⑴[]2,2a ∈-，⑵0a =【高考真题】1、若集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<⎩⎨⎧===)0(s i n 3c o s 3)(πθθθy x y x M ，，集合}|){(b x y y x N +==，，且∅≠N M ，则实数b 的取值范围为(-.参考解答： 集合}109|){(22≤<=+=y y x y x M，，，显然，M 表示以()0,0为圆心，以3为半径的圆在x 轴上方的部分，（如图），而N 则表示一条直线，其斜率1k =，纵截距为b ，由图形易知，欲使M N ⋂≠∅，即直线y x b =+与半圆有公共点，显然b 的最小逼近值为3-，最大值为233≤<-b .2、已知()()2f x x a x b =---（其中a b <），且,αβ是方程()0f x =的两根（αβ<）， 则实数(),a αβ∈，且b ∈(),αβ.3、点M 是椭圆1162522=+y x 上一点，它到其中一个焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 表示原点，则ON =（C ） ()A 32()B 2()C 4()D 8参考解答：设椭圆另一焦点为2F ，（如下图），则122MF MF a +=，而5a =，因为12MF =，所以28MF =，又注意到,N O 各为112,MF F F 的中点，所以ON 是12MF F ∆的中位线，因此4||21||2==MF ON .4、关于x 的方程()ax k x =-22在(]()*21,21x k k k N ∈-+∈上有两个不相等的实数解，求实数a 的取值范围.()1 ()2 ()3 ()4()A ()()()(),2,3,4c a b d ----1 ()B ()()()(),2,3,4a b c d ----1 ()C ()()()(),2,3,4b d a c ----1 ()D ()()()(),2,3,4b c d a ----18、已知函数()32f x ax bx cx d =+++的图像如图所示，则（A ）()()A ,0b ∈-∞ ()()0,1B b ∈()()1,2C b ∈()()2,D b ∈+∞参考解答：本题可将图形转化为具体数值，由图像过3个特殊点及与x ⑴()00f =，即0d =；⑵()10f =，即0a b c ++=； ⑶()20f =，即8420a b c ++=；⑷()()()12f x ax x x =⋅-⋅-；⑸当()(),01,2x ∈-∞⋃时，()0f x <，由()10f -<得0a b c -+-<，⑹当()()0,12,x ∈⋃+∞时，()0f x >，()30f >，可推得0a >.巧妙合理地利用以上各式，就可以得到多种简捷的解法： 方法一：⑵⑶得3b a =-，再由⑹推得0b <，选A ；方法二：⑵⑸推得0b <；方法三：由⑷比较同次项系数得3b a =-，再由⑹得3b a =-.数学思想方法：数形结合数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要数学思想方法.利用数形结合思想，“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而找到解题思路，使问题得到解决.以形助数常用的有：借助于数轴、函数图像、单位圆、数式的结构特征、解析几何方法，以数解形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系、运算结果与几何定理的结合.【以形助数】 例1、（集合中的数形结合）已知集合{}{}0103,22<--=+<<=x x x B a x a x A ，当∅≠⋂B A ，求实数a 的取值范围.例2、（函数中的数形结合）设()222f x x ax =-+，当[)1,x ∈-+∞时，()f x a >恒成立，求a 的取值范围.例3、（方程中的数形结合）若方程()()2lg3lg 3xx m x -+-=-在()0,3x ∈内有唯一解，求实数m 的取值范围.例4、（不等式中数形结合）不等式0222>++-a a ax x在()2,0∈x 时恒成立，求a 的取值范围.例5、（解析几何中的数形结合）已知,x y 满足2211625x y +=，求3y x -的最大值与最小值.例6、设0b >，二次函数2y ax =②(A ()B 例7、线段AB 的两个端点为()()1,1,1,3A B -，直线:21l y ax =-，已知直线l 与线段AB 有公共点，求a 的取值范围.例8、已知()1,1A 为椭圆22195x y +=内一点，1F 为椭圆左焦点，P 为椭圆上一动点， 求1PF PA +的最大值和最小值.【配套练习】 1、方程1sin 44x x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭的解的个数为（ ） ()A 1()B 2()C 3()D 42、如果实数,x y 满足()2223x y -+=，则y x的最大值为（ ）()A 12()B()C()D 3、已知函数()()2l o g 1f x x=+，若0a b c <<<，则()()(),,f a f b f c a b c的大小关系为 .4、设函数()2020x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩，若()()40f f -=，()22f -=-，则关于x 的方程()f x x =的解的个数为（ ）()A 1()B 2()C 3()D 35、函数y = ）()A 2()B 1+()C()D 6、已知函数aax x y -++=22在区间(]3,∞-内递减，则实数a的取值范围为 . 7、设α、β分别是方程2log 40240x x x x +-=+-=和的根，则αβ+＝ .8、如果关于x 的方程0232=-++a ax x 有两个实数根21,x x ，并且()()2,0,1,21∈-∞-∈x x ，求实数a 的取值范围.9、求函数2cos 2sin -+=x x y 的值域.10、已知集合(){}()(){}22,1,,,,1,,P x y x y x R y R Q x y x a y x R y R=+≤∈∈=-+≤∈∈，求满足下列条件时实数a 的取值范围.⑴∅≠⋂Q P ；⑵P Q .【高考真题】1、若集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<<⎩⎨⎧===)0(s i n 3c o s 3)(πθθθy x y x M ，，集合}|){(b x y y x N +==，，且∅≠N M ，则实数b 的取值范围为 .2、已知()()()2f x x a x b =---（其中a b <），且,αβ是方程()0f x =的两根（αβ<）， 则实数(),a αβ∈，且b (),αβ.3、点M 是椭圆1162522=+y x 上一点，它到其中一个焦点1F 的距离为2，N 为1MF 的中点，O 表示原点，则ON =（ ）()A 32()B 2 ()C 4 ()D 8 4、关于x 的方程()ax k x =-22在(]()*21,21x k k k N ∈-+∈上有两个不相等的实数解，求实数a 的取值范围.5678、已知函数f x ax bx cx d =+++的图像如图所示，则（ ）()()A ,0b ∈-∞ ()()0,1B b ∈ ()()1,2C b ∈ ()()2,D b ∈+∞。
高中数学数形结合思想在解题中的应用
中学数学数形结合思想在解题中的应用一、学问整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，运用数形结合的方法，许多问题能迎刃而解，且解法简捷。
所谓数形结合，就是依据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。
数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使困难问题简洁化，抽象问题详细化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与敏捷性的有机结合。
2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
如等式()()x y -+-=214223．纵观多年来的高考试题，奇妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是探讨“以形助数”。
4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发觉解题途径，而且能避开困难的计算与推理，大大简化了解题过程。
这在解选择题、填空题中更显其优越，要留意培育这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。
二、例题分析例1.的取值范围。
之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322-=++ 分析：0)(32)(2=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，()()02bf f k a-=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>⎧⎨⎪⎩⎪<+≥⎧⎨⎩02020202解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222 法二、数形结合解法： 令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=+=+>=+在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
想学好高中数学，就要学会数形结合！数形结合六大应用及例
题详解
数形结合是数学中的一种非常重要的思想方法，它包含了“以形助数”和“以数辅形”两个方面。
一、什么是数形结合？
1、借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系。
例如应用函数的图象来直观的说明函数的性质；
2、借助于数的精确性和规范性来阐明形的某些属性。
如应用曲线的方程来精确的阐明曲线的几何性质。
概括的说，就是在解决数学问题时，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系与转化
二、数形结合应用的三个原则
1、等价性原则
在数形结合时，代数性质和几何性质转换必须是等价的，否则解
题将会出现漏洞。
有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应。
2、双方性原则
既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数进行几何分析容易出错。
3、简单性原则
不要为了“数形结合”而数形结合。
具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与二次曲线。
三、如何运用数形结合思想解答数学题
1、要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；
2、要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；
3、要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；
4、精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题求解。
很多数学概念都具有明显的几何意义，善于利用这些几何意义，往往能收到事半功倍的效果。
数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。
如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。
四、应用方式和例题详解
（一）数形结合思想在解决方程的根、不等式解集问题中的应用
解析：
方法说明：
（1）用函数的图象讨论方程（特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程）的解得个数是一种重要的思想方法，其根本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数表达式（不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数），然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解得个数。
（2）解不等式问题经常联系函数图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个（或多个）函数，利用两个函数图象的上下位置关系转化数量关系来解决不等式的解得问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答。
（3）函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值（值域）经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标。
（二）数形结合思想在求参数、代数式取值范围问题中的应用
方法说明：
解决函数的零点问题，通常是转化为方程的根，进而转化为函数的图象的交点问题。
在解决函数图象的交点问题时，常用数形结合，以“形”助“数”，直观简洁。
（三）数形结合思想在求几何量中最值问题中的应用
方法说明：
本题的解答运用了多种数学思想方法：数形结合思想，运动变化的思想，等价转化思想以及函数思想，灵活运用数学思想方法，能使数学问题快速得以解决。
（四）运用数形结合思想研究复数问题
复数的几何意义用向量表示，把复数与平面几何和解析几何有机地联系起来，复数几何意义充分体现了数形结合的思想方法。
分析说明：
本题的常规解法是根据已知条件，寻求变量x和y关系，转化为一元函数，按照求二次函数的最值的方法求解，这个解法虽遵循操作
程序，但对解题过程中出现情况难以预料，对可能发生的疏漏不易察觉，而且解题过程很长。
而用数形结合的思想方法，则通过图形直接揭示出问题的本质面貌，在很短时间内就能直观地看到十分简捷的解题途径直接获得可靠地结果，这对只要写出结果的选择和填空题中，有显著的优越性，当这种机会出现时，应是首选的解题方法。
一般地，复数问题可以应用于求解的几种方法是：
直接运用复数的性质求解；
设复数的三角形式转化为三角问题求解；
设复数的代数形式转化为代数问题求解；
利用复数的几何意义转化为几何问题求解。
（五）数形结合思想在集合中的应用
图示法是集合中普遍运用的一种方法，运用数形结合的思想解题.往往能够化抽象为具体，化复杂为简单，将集合的交、并、补的关系直观、形象的显示,从而灵活、简捷、准确的获解。
分析说明：
数形结合思想在集合中的应用首先将抽象的数字语言转化为符号语言，进而转化成图像语言，得出结果后，再由图形语言转化成数字语言。
（六）运用数形结合思想解决函数问题
加强数形结合意识，做到脑中有图，将图形性质与数量关系联系起来，可使复杂问题具体化，达到化难为易，解决问题的目的。
分析说明：
函数的图像是函数关系的一种表示，它是从“形”的方面来刻画函数的变化规律，函数图形形象的显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性,函数图像与数量关系巧妙地结合，从题目所给的数量关系可以画出图形，又在所画的图形中找到新的数量关系。