数形结合思想的含义 数与形是数学中两个最古老
小学数学高年级教学中渗透数形结合思想的实践与分析
小学数学高年级教学中渗透数形结合思想的实践与分析摘要：数形结合思想是数学教学方式中的重要思想方法，通过数与形的有效结合，可以帮助小学高年级学生在解题思路、思维方式等方面形成一定的数形结合思维，以便学生高效学习数学。
尤其对小学阶段高年级的数学学习来说，其正面临数学难度的拔高，通过数形结合思想，可以有效解决学生想象力、理解力还未发展到位所致的问题，高效提升学生数学学习的效率，是辅助小学阶段高年级学生在数学课堂中掌握学习方法的重要技巧。
关键词：小学数学；数形结合；教学方法引言我国的数形结合思想最早由著名数学家华罗庚提出，他在很早之前就表示数形结合对于数学的高效学习具有非常大的益处。
数形结合思想不是单一的解决数学问题的方式，而是一种综合的具有系统思考和理论支撑的思维方式，通过数与形的相辅相成，相互转化，可以将小学阶段高年级学生难懂、不易理解的问题转化为可视的简单图形关系，加之轻易的理解，就可以轻松获解，是促进数学学习的高效方式，也是培养思维的重要选择。
一、数形结合思想的含义数形结合，顾名思义就是将数学中所涉及到的数量关系与几何图形进行辅助融合，进而将数学问题由繁化简，然后解决问题的办法。
就数学而言，数与形是数学学科中两个非常基础研究对象，他们之间彼此独立，但是又可以相互联系，相互转化。
久而久之，人们便将这种联系和转化总结提炼为一种神奇的数学思想——数形结合思想。
这种数学思想是数学学科中重要的学习内容，其作为一种严谨的数学学习和研究的思维方法，在数学学科中的应用非常广泛。
二、数形结合思想应用在小学高年级数学教学中的作用（一）有助于数学理论的记忆与理解数学学习虽然是通过数字和图形来实现，但是要进行正确的数字和图形运算，首先应该掌握正确的理论知识，以理论知识为指导，才能顺利实现数量关系和图形的转换。
所以，这就要求学生要牢固的掌握课本所涉及的理论知识，为下一步的演算和转换做好基础。
对小学阶段学生来说，其对知识的学习多靠死记硬背，很少理解，所以学生通过数学形状等形象的具体的东西来进行辅助理解和记忆，不但深化学生对知识点的理解，还能够增强学生实际应用的能力。
数形结合思想解析.讲义
“数形结合思想”解析（一）“数形结合”思想的内涵诠释“数形结合”的本质是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来进行思考，使“数”与“形”各展其长，优势互补，实现抽象思维与形象思维的结合，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化，起到优化解题途径的目的。
“数形结合”一词正式出现在华罗庚先生于1964年1月撰写的《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》的科普小册子中，书中有一首小词：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。
数无形时少直觉，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”这首小词形象、生动、深刻地指明了“数形结合”的价值，也揭示了“数形结合”的本质。
“数形结合”是一种重要的数学思想，也是一种智慧的数学方法。
我们在研究抽象的“数”的时候，往往要借助于直观的“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。
通过“数”与“形”的结合，我们对事物、规律的把握就能既容易又细微、深刻。
（二）“数形结合思想”在教学中的作用。
数形结合的方法具有双向性：借助“形”的生动和直观性认识“数”，即以“形”为手段，“数”为目的；或借助于“数”精确和规范地阐明“形”的属性，此时，“数”是手段。
1.以“形”助“数”。
“形”的广义性以及小学生数学学习中直观形象思维的主导地位决定了大部分数学知识学习需要“形”的支撑。
a.数学概念的建立借助“形”的直观。
由于概念的抽象与概括性，教学时要向学生提供大量感性材料，而“形”的材料常常是最有效的。
如在数小棒、搭多边形中认识整数，在等分图形中认识分（小）数；利用交集图理解公因数与公倍数等等。
同样，运算的概念（如“除法”、“余数”）、数学术语（如“平均分”、“大于”）等等都需要“形”的参与。
b.数学性质的探索依赖“形”的操作。
数学性质是关于规律性的知识，应该让学生自主探索发现，而形的操作有助于发现规律。
如教学“3的倍数的特征”可作如下设计：让学生用9根小棒摆出三位数，判断是否是3的倍数；8根、6根呢？操作中学生发现，组成的三位数是否是3的倍数只与小棒的根数有关，而与摆的方式无关，根数就是各数位上数的和。
数与形是数学中的两个最古老
数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。
”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。
我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。
数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。
“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等等。
数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想，可以解决以下问题：一、解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。
二、解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。
函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。
三、解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。
四、解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。
五、解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。
浅谈小学数学“数形结合”思想
浅谈小学数学“数形结合”思想小学数学教学担负着培养小学生数学素养的特殊任务，而数学思想方法是数学的灵魂和精髓，是数学素养的本质所在，因此我们必须给予充分的重视和关注。
数学新课程标准也明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生应该获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。
”数形结合思想是根据“数”与“形”之间的对应关系，通过数与形的相互转化，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来解决问题的思想方法。
数形结合思想是数学中最重要、最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。
“数”和“形”是紧密联系的。
我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。
伟大的数学家华罗庚先生也曾这样形容过“数”与“形”的关系：“数形本是相倚依，焉能分作两边飞，数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。
”利用数形结合能使“数”和“形”统一起来。
以形助数、以数辅形，可使计算中的算式形象化，帮助学生在理解算理的基础上掌握算法；可将复杂问题简单化，在解决问题的过程中，提高学生的思维能力和数学素养。
适时的渗透数形结合的思想，可达到事半功倍的效果。
一、数形结合，使概念掌握得更扎实。
对1~2年级的学生来说，许多数学概念比较抽象，很难理解，特别需要视觉的有效应用，因此有时教师可采用数形结合的思想展开概念的教学，运用图形提供一定的数学问题情境，通过对图形的分析，帮助学生理解数学概念。
例如，在教学100以内的数的认识时，学生大多对100以内的数顺背、倒背如流，看上去掌握得很不错。
于是我出示了这样一道题考考学生：66接近70还是60呢？结果却发觉好多学生都不会。
分析其原因主要是有些学生只是机械地会背这些数，关于数的顺序、大小等方面的知识其实掌握不佳，因而需要教师创设一定的情境让学生进一步感知和学习的。
于是我在黑板上画了一条数轴，称它是一条带箭头的线，在数轴上逐一标出60～70，将抽象的数在可看得见的线上形象、直观地表示出来，将数与位置建立一一对应关系，这样就有助于学生理解数的顺序、大小。
数形结合就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问
数形结合:就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含以形助数和以数解形两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有数的严谨与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法。
数"和"形"是数学中两个最基本的概念,它们既是对立的,又是统一的,每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状,大小,位置密切相关的数量关系;反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时,想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路;或者在研究图形时,利用代数的性质,解决几何的问题.实现抽象概念与具体形象的联系和转化,化难为易,化抽象为直观.作为最基本的数学思想之一的数形结合思想在新课程中又是怎样体现的呢？下面我结合它在以下几方面的运用浅谈一下。
一、数与代数中的数形结合这部分内容与原教学大纲比，数形结合的内容有很大改变和加强。
它重视渗透和揭示基本的数学思想方法，加强数学内部的联系及其相关学科的联系，如提前安排平面直角坐标系，用坐标的方法处理更多的内容包括二元一次方程组，平移变换，对称变换，函数等。
又如，它改变了“先集中出方程，后集中出函数”的做法，而是按照一次和二次的数量关系，使方程和函数交替出现，分层递进，螺旋上升。
在数与代数的教学里，我认为，应该抓住实数与树轴上的点一一对应的关系，有序实数对与坐标平面上的点的一一对应关系，从数形结合的角度出发，借助数轴处理好相反数和绝对值的意义，有理数大小的比较，有理数的分类，有理数的加法运算，不等式的解集在数轴上的表示等。
教师要赋予这些系统内容新的活力，采用符合课标理念的教法，在吃透新课程标准和教材的基础上，让学生经历试验、探索的过程，体验如何用数形结合思想分析和解决，培养学生学习和应用的能力，从而激发其学习数学的原动力。
数学思想之二数形结合思想(概述)汇总
数学思想之二：数形结合思想（概述）数与形是数学中两个最古老的、也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化（注意：在此意义上可说，转化思想比数形结合思想更深一层。
），如某些代数问题、三角问题往往都有几何背景，而借助其背景图形的性质，可使那些抽象的概念、复杂的数量关系变得直观，以便于探求解题思路或找到问题的结论。
数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种的思维方法，因此它在数学中占有重要的地位。
数形结合的解题方法特点是具有直观性、灵活性、深刻性，并跨越各科的知识界限，有较强的综合性。
在复习中加强这方面的训练，对巩固和加深有关数学知识的理解、打好基础、提高能力是非常重要的。
数形结合解题就是在解决与几何图形有关的问题时，将图形信息转换成代数的信息，利用数量特征，将其转化为代数问题；在解决与数量有关的问题时，根据数量的结构特征，构造出相应的几何图形，即化为几何问题。
从而利用数形的辩证统一和各自的优势尽快地得到解题途径，这对提高分析和解决问题的能力将有极大的帮助。
数形结合的主要方法有：解析法、三角法、复数法、向量法、图象法等。
数形结合的主要途径：1)形转化为数：即用代数方法研究几何问题，这是解析几何的基本特点。
2)数转化为形：即根据给出的“数式”的结构特点，构造出与之相应的几何图形，用几何方法解决代数问题。
3)数形结合：即用形研究数，用数研究形，相互结合，使问题变得直观、简捷、思路易寻。
在运用数形结合时，要注意两点：1)“形”中觅“数”：很多数学问题，需要根据图形寻求数量关系，将几何问题代数化，以数助形，使问题获解。
2)“数”上构“形”：很多数学问题，本身是代数方面的问题，但通过观察可发现它具有某种几何特征，由于这种几何特征可以发现数与形之间的新关系，从而将代数问题化为几何问题，使问题获解。
以上两者之间是相互联系的。
例如在解析几何中，虽然研究的主要方面是用方法解决几何问题，但是由于我们在研究中得到某些代数表达式具有明显的几何意义，则可在确定合适的坐标系后获得几何解释，从而能借助几何方法加以解决。
浅析小学数学教学中的数形结合思想
浅析小学数学教学中的数形结合思想数学教学一直是小学教育中的重要内容，数学知识是培养学生逻辑思维、数理思维和学科专业素养的重要基础。
在小学数学教学中，数形结合思想是一种非常重要的教学方法，它能够帮助学生更好地理解数学知识，提高他们的学习兴趣和学习成绩。
本文将从数形结合的概念、方法以及教学案例等方面进行浅析，希望对小学数学教学中的数形结合思想有所帮助。
让我们来了解一下数形结合的概念。
数形结合是指在数学教学中，通过将数学知识与几何图形相结合，帮助学生更好地理解抽象的数学概念，拓展数学思维，培养学生的空间想象力和逻辑思维能力。
数形结合思想强调将数学与几何图形相结合，通过具体的图形形象化地展现抽象的数学问题，使学生在观察、分析和推理过程中更容易理解和掌握知识点。
数形结合思想也能够激发学生的学习兴趣，增强他们的学习主动性和参与性。
数形结合思想在数学教学中起着非常重要的作用。
数形结合的教学方法包括哪些内容呢？在小学数学教学中，数形结合教学方法主要包括以下几个方面。
通过教师引导学生观察、思考、讨论，帮助他们从不同角度去认识和理解数学问题。
教师可以通过展示图形、实物等形式，让学生从具体事物中感知数学概念，激发他们的好奇心和求知欲。
教师可以设计一些富有趣味性的数学游戏、数学实验等活动，让学生在游戏、实验中自主发现、探索数学规律，从而提高他们的学习兴趣和专注力。
教师可以引导学生通过几何图形的拼凑、分割、变换等方法，培养他们的空间想象力和逻辑推理能力，从而帮助他们更好地理解和掌握数学知识。
教师也可以利用多媒体教学、数学实验器材等手段，让学生通过视觉、听觉等感知方式，更加直观地理解数学概念，使数学教学更具有趣味性和实效性。
接下来，我们来看一下数形结合思想在小学数学教学中的具体应用。
以数学教学中常见的整数概念为例，教师可以引导学生通过画出数轴的形式，帮助他们更好地理解整数的正负性以及大小关系。
通过数轴的形式，学生能够直观地看到正数、负数在数轴上的位置，从而更容易理解整数的概念。
(完整版)谈数形结合思想在中学数学解题中的应用毕业论文
目录摘要 (2)Abstrqct (3)1引言 (3)2 方程问题 (4)2.1 方程实根的正负情况 (4)2.2 求方程实根的个数 (4)2.3 含参数的方程 (5)3 不等式问题 (6)3.1 无理不等式 (6)3.2 二元二次不等式组 (6)3.3 高次不等式 (7)3.4 绝对值不等式 (7)3.5 含参数的不等式 (7)4 最值问题 (8)4.1 转化为直线的截距 (8)4.2 转化为直线的斜率 (8)4.3 转化为距离 (9)5 函数问题 (10)5.1 比较函数值的大小 (10)5.2 函数的定义域 (11)5.3 函数的值域 (11)5.4 函数求值 (12)5.5 函数的单调区间 (12)5.6 函数的奇偶性,单调性 (13)6解决线性规划问题 (13)参考文献 (14)致谢 (14)谈数形结合思想在中学数学解题中的应用XXX数学与信息学院数学与应用数学专业2011级指导老师:XXX摘要：数形结合思想在中学数学中应用广泛, 本文将例举说明数形结合思想方法在方程问题，不等式问题，最值问题，函数问题，线性规划问题等方面的实际应用。
充分说明在解题中运用数形结合的方法，借助几何图形的直观描述，如何使许多抽象的概念和复杂的关系形象化、简单化。
在中学数学解题中充分运用数形结合思想,有助于学生思维能力的培养, 有利于他们解题能力的提高。
关键词: 数形结合；数形结合思想；方程问题；不等式问题；最值问题；函数问题；线性规划问题On the combination of application of thought in middle schoolmathematicsXXXCollege of Mathematics and Information Mathematics and AppliedMathematicsGrade 2011 Instructor: XXXAbstrqct：Several form combining ideas is widely used in the middle school mathematics, this article will illustrate that number form combined with the thinking and methods in the equation, inequality problem, the most value problem, function problem, the practical application of linear programming problems.Full explanation in the problem solving, with the method of using the number form, with the help of a visual description of the geometry, how to make many abstract concepts and visual and simplify complex relationships. Full use of in the middle school mathematics problem-solving number form combining ideas, helps to develop students' thinking ability, is conducive to the improvement of their ability to problem solving.Key words:The number of combination form; Several form combining ideas; Equation problem; Inequality problem; The most value problems; Function problem; Linear programming problem1引言数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
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数形结合思想的含义数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。
因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法。
正恩格斯曾经说过:"数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的一门科学。
"在数学领域中包含着两大研究对象,即"数"与"形",这两大研究对象既是对立的又是统一的,它们是数学发展的内在因素。
纵观数学知识的发展长河中,数形结合始终是发展的一条主线,并且数与形相结合能够让学生在实际应用中对知识的运用更加广泛和深入。
在初中数学教学中教师要特别重视将数形结合的思想渗透到教学环节中,以此来让学生感受到数形结合的伟大力量,促进学生生成数形结合的思想,让学生在以后的数学学习中受益
1.数形结合思想的涵义
“数”早期是古代的计数，现在表示数量的概念；“形”早期是古代的形状，现在表示空
间的概念。
家欧几里得用自己毕生精力完成《几何原本》这一千古流芳的巨著，这是体现数形转化的文字资料。
柏拉图说过，只有数学存在的实体才具备永恒的可理解性，任何科学都只有建立在几何学带来的概念和模式上，才可以解释现象表面背后的结构和关系。
教育家波利亚也曾说：“画一个图，并用符号表示”。
数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。
它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。
数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质等等。
2.数形结合思想的发展
数轴的建立使人们对数与形的统一有了跳跃式的认识，把实数集与数轴上的点集一一对应起来，数可以视为点，点也可以视为数，点在直线上的位置可以数量化，而数的运算，也可以几何化。
在此基础上，笛卡尔又把数轴拓展到了直角坐标系。
在高中数学中几乎所有图形都是建立在直角坐标系中，奠基人笛卡儿的主要数学成果都集中在他的“几何学”中。
当时的代数学，他觉得它完全从属于法则和公式，不能成为一门改进智力的科学。
因此他提出必须把几何与代数的优点结合起来，建立一种“真正的数学”。
其核心内容是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的。
依照这种数学思想他创立了我们现在的“解析几何学”。
把相互对立着的“数”与“形”统一起来，使几何曲线与代数方程相结合。
从而把线段与数量联系起来，通过线段之间的关系，“找出两种方式表达同一个量，这将构成一个方程”，然后根据方程的解所表示的线段间的关系进行作图。
“数形结合”一词的正式出现与中国数学界的传奇人物华罗庚先生息息相关。
华老于1964年1月撰写了《谈谈与蜂房结构有关数学问题》这一科普小册子，书中有一首小词：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。
数无形时少直觉，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离!”[1]。
正因为华老在中国数学界的影响力，“数形结合”一词推出后不久，立即获得了数学界的普遍认同，几乎所有的数学教育教学刊物都出现了此词。
3.数形结合思想的运用
应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；(2)构建函数
模型并结合其图象研究方程根的范围；(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；(5)构建立体几何模型研究代数问题；(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；(7)构建方程模型，求根的个数；(8)研究图形的形状、位置关系、性质等．常见适用数形结合的两个着力点是：以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法。
以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运
算结果与几何定理的结合。
数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度。
具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域；(2)
用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作
适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解．这种思想方法体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。
数形结合思想常见的四种类型
1.实数与数轴:实数与数轴上的点具有一一对应关系,因此借助数轴观察数的特点,直观明了。
2.在解方程(组)或不等式(组)中的应用:利用函数图象解决方程问题时,常把方程根的问题看作两个函数图象的交点问题来解决;利用数轴或函数图象解有关不等式(组)的问题直观,形象,易于找出不等式(组)解的公共部分或判断不等式组有无公共解。
3.在函数中的应用:借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法,函数图象的几何特征与数量特征紧密结合,体现了数形结合的特征与方法。
4.在几何中的应用:对于几何问题,我们常通过图形,找出边、角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等。
典型例题：
解题反思：
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用等，难点在于（3）作辅助线构造出相似三角形和三角形的中位线．
数形结合思想利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决途径，或用数量关系研究几何图形的性质，解决几何问题，将数量关系和几何图形巧妙地结合起来，以形助数，以数辅形，使抽象问题直观化，复杂问题简单化，从而使问题得以解决的一种数学思想。
注意由数思形,由形想数,搞清数形关系,做好数形转化。
数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯。
决。