数形结合思想的含义数与形是数学中两个最古老
数学思想之数形结合
“数”与“形”在一定的条件下可以相互转化
． 在一维空间，实数与数轴上的点建立了一一对应 关系； 在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立了一 一对应关系，进而使函数的解析式与函数的图象 ，方程与曲线建立了一一对应关系； 在三维空间，空间向量的引入又为用代数方法研 究空间点线面关系提供了可能． 这种用代数方法研究图形性质，借助图形性质研
2 （2,0）是函数图象的极小值点； 在x2 处符合其导函数 3 2 的值左正右负，故x 时，y1取得极大值． 3
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所示．
2 32 是函数图象的极大值点，其函数图象如图 ， 3 27
又在图中作出函数y2=log2x的图象，显然两图象有2 个不同交点，故原方程有2个不同的实根．
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又因单位圆的圆心到直线l的距离 d
1 由平面几何知识知， OA ( AB) 2 d 2， 2
2
|c| a 2 b2
,
2 2 2cos c 即1 d2 2 ， 2 4 a b
2
所以 cos
2
1 cos c2 2 2 ， 2 a b
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奇函数若在原点处有定义，则奇函数的图象一 定过原点．当我们作出了满足全部条件的函数F(x)的 图象后，不等式 F(x)＜0的解集已经跃然图上了．这 就是图形的直观作用！借助于图形，省却了繁琐的 推理与计算，取而代之的是一幅赏心悦目的优美图 案与简洁明快的解答！
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(5)利用“单位圆”
例5 已知acos bsin c，acos bsin c(ab 0，
的取值范围．
解析： 由根的分布，可写出a、b所满足的条件，并
b2 作出示意图；另外，由 的形式，可联想斜率公 a 1
数形结合思想解析.讲义
“数形结合思想”解析（一）“数形结合”思想的内涵诠释“数形结合”的本质是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来进行思考，使“数”与“形”各展其长，优势互补，实现抽象思维与形象思维的结合，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化，起到优化解题途径的目的。
“数形结合”一词正式出现在华罗庚先生于1964年1月撰写的《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》的科普小册子中，书中有一首小词：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。
数无形时少直觉，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”这首小词形象、生动、深刻地指明了“数形结合”的价值，也揭示了“数形结合”的本质。
“数形结合”是一种重要的数学思想，也是一种智慧的数学方法。
我们在研究抽象的“数”的时候，往往要借助于直观的“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。
通过“数”与“形”的结合，我们对事物、规律的把握就能既容易又细微、深刻。
（二）“数形结合思想”在教学中的作用。
数形结合的方法具有双向性：借助“形”的生动和直观性认识“数”，即以“形”为手段，“数”为目的；或借助于“数”精确和规范地阐明“形”的属性，此时，“数”是手段。
1.以“形”助“数”。
“形”的广义性以及小学生数学学习中直观形象思维的主导地位决定了大部分数学知识学习需要“形”的支撑。
a.数学概念的建立借助“形”的直观。
由于概念的抽象与概括性，教学时要向学生提供大量感性材料，而“形”的材料常常是最有效的。
如在数小棒、搭多边形中认识整数，在等分图形中认识分（小）数；利用交集图理解公因数与公倍数等等。
同样，运算的概念（如“除法”、“余数”）、数学术语（如“平均分”、“大于”）等等都需要“形”的参与。
b.数学性质的探索依赖“形”的操作。
数学性质是关于规律性的知识，应该让学生自主探索发现，而形的操作有助于发现规律。
如教学“3的倍数的特征”可作如下设计：让学生用9根小棒摆出三位数，判断是否是3的倍数；8根、6根呢？操作中学生发现，组成的三位数是否是3的倍数只与小棒的根数有关，而与摆的方式无关，根数就是各数位上数的和。
数与形是数学中的两个最古老
数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。
中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。
”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。
我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。
数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。
“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等等。
数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想，可以解决以下问题：一、解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。
二、解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。
函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。
三、解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。
四、解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。
五、解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。
数形结合思想
数形结合思想作者：来源：《数学金刊·高考版》2013年第04期数与形是数学发展中两个最古老的，也是最基本的研究对象，它们在一定的条件下可以相互转化，如某些代数问题、三角问题往往都有几何背景，而借助其背景图形的性质，可使那些抽象的概念、复杂的数量关系变得直观具体，以便于探求解题思路或找到问题的结论.可见数形结合，不仅是一种重要的解题方法，也是一种重要的思维方法.作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致可分为以下两种情形：第一，借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即“以数解形”；第二，借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系，即“以形助数”.■ 以数解形当我们探究几何问题的解题思路受阻，或虽有办法但很艰难时，我们常常考虑能否将其转化为代数问题，而转化的常用方法是解析法即建立坐标系；还可引进复平面用复数的有关知识解决，综合使用三角法、向量法等代数方法，常可得到简洁的解法. 其典型代表是在立体几何与解析几何中的应用.■ 如图1，四边形ABCD内接于圆E，E为圆心，AC⊥BD，AC，BD交于点O，G为CD 边上的中点，EF⊥AB，垂足为F，求证：OG=EF.■图1思路点拨本题用几何的方法证明不易，可考虑用解析法，适当建立坐标系，将“形”的问题转化为“数”的问题. 由于“数”具有精确性的特征，所以巧妙利用这一性质就可以阐明“形”的某些属性，从而准确澄清“形”的模糊，使问题得以解决.破解以两条对角线所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图2.设点A，B，C，D的坐标分别为（-a，0），（0，-b），（c，0），（0，d）. 由F，G分别为AB，CD的中点，知F-■，-■，G■，■.■图2又E同时在AC，BD的垂直平分线上，所以E■，■.由两点间的距离公式可得EF=OG=■.■ 如图3，已知平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC=16，PA=PC=10.■图3（1）设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；（2）证明：在△ABO内存在一点M，使FM⊥平面BOE.思路点拨用空间向量法解立体几何问题的一般步骤：（1）建立合理的空间直角坐标系.①当图形中有三条两两垂直且共点的直线时，通常分别以这三条直线为坐标轴建立坐标系.②当图形中没有现成的两两垂直的三条直线时，可根据实际情况构造出满足条件的三条直线，如图形中有直线与平面垂直时，可选择这条直线与这个平面的两条互相垂直的直线为坐标轴.（2）求出相关点的坐标. 求出图形中与题目条件和结论相关的所有点的坐标.（3）求出相关平面的一个法向量. 所有与平面相关的问题都是通过它的一个法向量来实现的.（4）通过合理运算得到所需结论.破解连结PO，由题意可得OB，OC，OP两两垂直. 如图4，以O为原点，射线OB，OC，OP为坐标轴的正半轴建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），B（8，0，0），A（0，-8，0），C（0，8，0），P（0，0，6），E（0，-4，3），F（4，0，3），G（0，4，0）.■图4（1）■=（4，-4，3），■=（0，-4，3），■=（8，0，0）.设n=（a，b，1）是平面BOE的一个法向量，则n·■=8a=0及n·■=-4b+3=0，所以a=0，b=■，n=0，■，1，所以n·■=0.直线FG不在平面BOE内，所以FG∥平面BOE.（2）设△ABO内满足条件的点M的坐标为M（x，y，0），则■=（x-4，y，-3），由于FM⊥平面BOE，由■·■=0，■·■=0得-4y+3×（-3）=0，8（x-4）=0，即x=4，y=-■. 所以在△ABO内存在点M4，-■使FM⊥平面BOE.■ 已知m>1，直线l：x-my-■=0，椭圆C：■+y2=1，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点.设直线l与椭圆C交于A，B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G，H. 若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.■图5思路点拨题设所描述的语言都非常形象直观，同学们很容易就能画出对应的图形，但是要求出实数m的范围，却不是靠看图就能看出来的，这需要我们把图形语言转换成代数语言，然后通过严谨的代数运算来求得m的精确范围.破解不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），由于F1（-c，0），F2（c，0），则重心G的坐标为■，■，重心H的坐标为■，■，则GH2=■+■. 设M是GH的中点，则M■，■.由题知原点O在以线段GH为直径的圆内，我们可将此“形”的信息翻译为“数”的不等式：2MO即可得4■■+■■从（？鄢）式我们联想到了韦达定理，于是联立方程x=my+■，■+y2=1，消去x得2y2+my+■-1=0. 因为Δ=m2-8■-1=-m2+8>0，解得m2将其代入（？鄢）式得■-■1且Δ>0，所以1■1.一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线的长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域（阴影部分）的周率从左到右依次记为τ1，τ2，τ3，τ4，则下列关系中正确的为（）■图6A. τ1>τ4>τ3B. τ3>τ1>τ2C. τ4>τ2>τ3D. τ3>τ4>τ12. 如图7，在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2.■图7（1）证明：AP⊥BC.（2）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由.3. 如图8，过椭圆■+■=1的右焦点M任作一条直线l与椭圆相交于A，B两点，设N（2■，0），连结AN，BN. 求证：∠ANM=∠BNM.■图8■ 以形解数由于图形具有生动性和直观性的特点，恰当地利用图形就能使得复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而使问题灵活、简洁、准确地获解.说白了，就是将代数问题转化为几何问题，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，把数量关系转化为图形的性质来研究，思路与方法便在图形中直观显示出来，不仅可以加深对数量关系的理解，而且还能简化运算过程，起到事半功倍的效果.1. 利用图形研究方程或不等式的解解方程或不等式时，如果方程或不等式两边表达式有明显的几何意义，或通过某种方式可与图形建立联系，则可设法构造图形，将方程或不等式所表达的抽象数量关系直接在图形中得以直观形象地展现. 美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题，可以被转化为一个图形，那么思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法.”■ 解不等式3x-2+3x+1≤6（x∈R）.思路点拨本题如果直接解不等式，需要进行分类讨论，而考虑几何意义，其解法极为简洁.破解设z=3x，则在数轴上z-2+z+1≤6的图形是以■为中点，长度为6的一条线段，两端点分别为-■，■，所以-■≤3x≤■，即原不等式的解集为-■，■.■ 解关于x的不等式■≥a-x.思路点拨本题若试图化无理不等式为有理不等式，可能会有很多同学弄不清分类的标准；而若能转变思路，运用数形结合的思想则可以帮助我们明确分类标准，从而简化讨论.破解在同一平面直角坐标系中画出函数y=■和y=a-x的图象，即一个半圆（x-1）2+y2=4（y≥0）和一条直线（如图9）.■图9a为直线在y轴上的截距，直线和半圆相切时，算得a=1+2■，根据直线与半圆的交点情况，结合a的取值范围，得①当a≤-1时，有-1≤x≤3.②当-1③当3④当a>1+2■时，不等式无解.■ 若已知关于x的方程■=kx+2只有一个实数根，则k的取值范围为（）A. k=0B. k=0或k>1C. k>1或kD. k=0或k>1或k思路点拨本题用代数知识求解，不仅复杂、烦琐，而且很容易出错，结果是花费了大量的时间和精力，仍然无法得出正确答案. 充分利用方程两边式子所具有的几何意义，结合图形，答案便一目了然.破解关于x的方程■=kx+2只有一个实数根，等价于函数y=■，y=kx+2的图象只有一个公共点，作出函数图象，如图10. 由图象可知，直线与半圆只有一个公共点时，k=0或k>1或k■图10■ 方程x2+■x-1=0的解可视为函数y=x+■的图象与函数y=■的图象交点的横坐标. 若方程x4+ax-4=0的各个实根x1，x2，…，xk（k≤4）所对应的点x1，■（i=1，2，…k）均在直线y=x的同侧，则实数a的取值范围是______.思路点拨根据题中条件自然想到把方程x4+ax-4=0变形为x3+a=■，从而把问题转化为函数y=x3+a与函数y=■的图象交点的横坐标，再利用图象求解.■图11破解方程x4+ax-4=0的各个实根可视为函数y=x3+a和函数y=■的图象交点的横坐标. 在同一坐标系内，画出y=x，y=■，y=x3+a的图象，如图11所示，A（2，2），B（-2，-2）.当y=x3+a的图象分别过B，A时，a等于6和-6. 由图象上、下平移可知，当a6时交点均在直线y=x的同侧.■1. 若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且当x∈[0，1]时， f（x）=x，则函数y=f（x）-log4x的零点个数为（）A. 3B. 4C. 5D. 62. 函数y=■的图象与函数y=2sinπx（-2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于_______.3. 若关于x的不等式x22. 利用图形求最值（值域）数学问题中一些最值（值域）问题，若数量关系可赋予几何意义的，考虑采用数形结合的方法，常可凭借特殊位置、图形性质等直观的优势而简洁求解.■ 求函数y=■的值域.思路点拨求解此题的常规方法是将其变形为2y=sinx-ycosx，然后将等式右边合成一个三角函数，再利用三角函数的有界性求得y的取值范围. 除此之外，我们也可用数形结合的思想求解.破解由已知，原函数可变形为y=■，其几何含义是过点A（cosx，sinx）和B（-2，0）的直线的斜率，而A是单位圆x2+y2=1上的动点.■图12由图12可知，当过B（-2，0）作圆的切线时，直线AB的斜率到达最大或最小.容易算得ymax=■，ymin= -■，所以y∈-■，■.■ 求函数y=■+■的最大值.思路点拨本题易想到的是用换元法去掉根式，得y=u+v，注意到根式中两式的关系得新元的关系式，此关系式具有明显的几何意义.破解令u=■（u≥0），v=■（v≥0），则y=u+v.由5-2x=u2，x-2=v2，■得u2+2v2=1，且u≥0，v≥0. 问题转化为求直线y=u+v与椭圆u2+2v2=1有公共点时，直线的纵截距y的最大值.由图13可知，当直线与椭圆相切时，相应的纵截距最大，此时y=■，故函数y的最大值为■.■图13注：数学中的最值问题是比较常见的，有的最值问题若用一般的方法很难奏效，这种情况下可根据数学问题中的条件或结论，构造出相应的图形来“帮忙”，利用图形的特征来优化解题过程，从而使问题迎刃而解.■1. 求函数f（x）=■（0≤x≤π）的值域.2. 求函数f（x）=■+■的值域.3. 函数f（x）=■（0≤x≤2π）的值域为______.3. 数形渗透数形结合的思想方法，不仅是几何问题用代数方法思考，或是代数（包括三角）问题由图形去思考，而是密切联系，相互渗透的统一整体.解题时尤其是解较为综合的题目，请注意灵活使用.■ 已知向量a≠e，e=1满足对任意t∈R，恒有a-te≥a-e，则（）A. a⊥eB. a⊥（a-e）C. e⊥（a-e）D. （a+e）⊥（a-e）思路点拨此题如果用代数方法强行演算的话，虽然也能得到答案，但是运算“成本”太大，而且复杂的代数运算也会增加出错的概率. 考虑到这是一道选择题，不需要详细的推导过程，因此我们不妨“投机取巧”，利用向量的几何意义，缩短“战线”.破解我们首先画出向量a和向量e，然后再画出与向量e共线的向量te，这样，根据向量的减法法则，我们可以得到向量a-e和向量a-te. 因为a-te≥a-e对任意的t恒成立，所以向量a-e 是所有形如a-te的向量中模长最短的，这说明向量a-e必定非常特殊. 事实上，a-e与向量e是垂直的，即有e⊥（a-e），故选C.■ 若实数x，y满足不等式组x+3y-3≥0，2x-y-3≤0，x-my+1≥0，且x+y的最大值为9，则实数m=______.思路点拨这是个线性规划问题，常规的方法是通过画出约束条件所表示的几何图形来解决，但是约束条件x-my+1≥0中含有字母m，这就使得其图象不能准确地被画出，该怎么办呢？仔细观察后我们发现，直线x-my+1=0必过定点（-1，0），但是仍无法确定此直线的倾斜程度，因此确定直线的倾斜程度就成为解决此题的突破口.破解不妨设z=x+y，则y=-x+z，结合图象知，当直线x-my+1=0绕着（-1，0）旋转的时候，只有当斜率■∈（0，2）时，才能让函数y=-x+z的截距能取到最大值，如图14所示.我们发现，当目标函数y=-x+z经过点A时，z取到最大值9.联立直线y=-x+9，2x-y-3=0，解得A（4，5），代入x-my+1=0中，得m=1.■图14■1.在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上一点，DC=2BD，则■·■=_______.2. 已知动点P（a，b）在不等式组x+y-2≤0，x-y≥0，y≥0表示的平面区域内部及其边界上运动，则w=■的取值范围是__________.3. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，求a4的最大值.■ 参考答案1 以数解形1. 准确理解区域“直径”“周率”概念的含义是求解本题的突破口.第一个区域：先补成一个长方形，如图15甲所示，设长为a，宽为b，则周率τ1=■=■≤2■. 第二个区域：设大圆半径为2，则周率τ2=■=π. 第三个区域：将原图补成一个三角形，如图15乙所示，设边长为a，则周率τ3=■=3. 第四个区域：如图15丙所示，设此区域外接正六边形边长为a，则周率τ4=■=2■，故选C.■甲乙丙图152. （1）因为AB=AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC，又因PO⊥平面ABC，因此PO⊥BC，所以BC⊥平面POA，则AP⊥BC.（2）不妨以AD所在直线为y轴，OP为z轴，O为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图16所示，则由题意得O（0，0，0），A（0，-3，0），D（0，2，0），B（4，2，0），C （-4，2，0），P（0，0，4）. 设■=λ■，■=（0，3，4）.■图16设平面AMC的法向量为n1=（x1，y1，z1），■=（-4，5，0），■=（0，3λ，4λ）. 因为n1·■=0，n1·■=0，所以-4x1+5y1=0，3λy1+4λz1=0，则n1=（5，4，-3）.设平面BMC的法向量为n2=（x2，y2，z2），■=（8，0，0），■=■+■=（-4，-5，0）+（0，3λ，4λ）=（-4，-5+3λ，4λ）.因为n2·■=0，n2·■=0，所以x2=0，-4x2+（-5+3λ）y2+4λz2=0，则可得n2=（0，4λ，5-3λ）. 若二面角A-MC-B为直二面角，则16λ-3（5-3λ）=0，得λ=■，此时AM=λAP=■×5=3.3. 易得M（■，0），所以可设直线AB的方程为x=ty+■，A（x1，y1），B（x2，y2），则x1=ty1+■，x2=ty2+■. 把x=ty+■代入椭圆方程x2+2y2-4=0可得（t2+2）y2+2■ty-2=0，所以y■+y■=■，y■y■=■. 所以直线AN的斜率kNA=■=■，直线BN的斜率kNB=■=■，所以由此得kNA+kNB=■+■=■[2ty■y■-■·（y■+y■）]=■·2t■-■■=0，所以直线AN和BN的倾斜角互补，即∠ANM=∠BNM成立.2 以形解数1. 利用图形研究方程或不等式的解1. 偶函数f（x）的周期为2，且x∈[0，1]时，f（x）=x，作出函数f（x）的部分图象如图17所示，而函数y=f（x）-log■x的零点即为函数y=f（x）与y=log■x的图象的交点横坐标. 由图象可知，交点有6个，故函数y=f（x）-log■x的零点有6个，故选D.■图172. 由题意知y=■=■的图象是双曲线，且关于点（1，0）成中心对称. 又y=2sinπx的周期为T=■=2，也关于点（1，0）成中心对称，因此两图象的交点也一定关于点（1，0）成中心对称，如图18所示. 可知两个图象在[-2，4]上有8个交点，因此8个交点的横坐标之和x1+x2+…+x8=2×4=8.■图183. 不等式x2■图192. 利用图形求最值（值域）1. f（x）的几何意义是单位圆上的部分点（cosx，sinx）（-1≤cosx≤1，0≤sinx≤1）与点（4，2■）确定的直线斜率，如图20所示，得k■=■，kPA=■，所以函数f（x）的值域为■，■.■图202. 令u=■，v=■，则u2+v2=2（u≥0，v≥0）.它表示以原点为圆心，■为半径的一段圆弧（在第一象限内）. 又y=f（x）=■u+v，即v=-■u+y. 所以函数y的值域可以看成直线v=-■u+y与这段圆弧有交点时，直线在v轴上截距的取值范围. 结合图21，易知此取值范围为[■，■]，故所求函数f（x）的值域为[■，■].■图213. 当x=■时， f（x）=0；当x≠■时，可知f（x）=■= -■= -■.其中■表示单位圆上的点P（sinx，cosx）与点Q（1，1）连线的斜率.如图22所示：■∈[0，+∞），则f（x）∈[-1，0）. 综上，f（x）∈[-1，0].■图223. 数形渗透1. 建立如图23所示的坐标系，则A（0，0），B（-1，■），C（1，0），设点D的坐标为（x，y），则■=（x+1，y-■），■=（1-x，-y）.■图23因为D是边BC上一点，DC=2BD，所以1-x=2x+2，-y=2y-2■，解得x=-■，y=■.所以■=-■，■，■=（2，-■），所以■·■=-■.2. w=■=1+■=1+k，k为定点（1，2）与可行域上动点连线的斜率，由数形结合得斜率k的取值范围为（-∞，-2]∪[2，+∞），所以w的取值范围是（-∞，-1]∪[3，+∞）.3. 由题意得2a1+3d≥5，a1+2d≤3，a4=a1+3d，则问题转化为：已知实数x，y满足约束条件2x+3y≥5，x+2y≤3，求z=x+3y的最大值.作出约束条件2x+3y≥5，x+2y≤3对应的平面区域（如图24），将目标函数z=x+3y变形为y=-■x+■，它表示斜率为-■，在y轴上的截距为■的直线. 平移直线y=-■x+■，当直线经过点A （1，1）时，直线在y轴上的截距最大，对应的z最大，此时，zmax=1+3=4，所以a4的最大值为4. ■■图24。
浅谈数形结合发展简史
浅谈数形结合发展简史作者：阿卜杜加帕尔·阿巴拜克尔阿米乃·图尔迪麦麦提来源：《新教育时代·学生版》2017年第25期摘要：“数”与“形”是数学的两大基本概念，数学的发展史也主要是围绕“数”和“形”这两大概念产生、发展、变迁的历史。
随着数学内涵的不断扩充，数学中最原始的两大对象——“数”与“形”的概念自身处于不断的发展变化中。
关键词：数形数形结合发展史阶段简单来说“数”与“形”经历了一个由分到和，又由合而分的发展变化过程。
追溯数形结合思想的历史渊源，我们可以发现数形结合的历史与数学的发展史息息相关，历史上数形概念的发展变化可以概括为以下阶段：一、数学萌芽时期的数形结合——数形不分在人类的原始时代，人们对数的认识与形是密不可分的。
正如德国数学家克隆尼克所言：“整数是被亲爱的上帝造成的，其它的一切都是人的工作”，数的概念是人类通过实践从客观事物的众多属性中抽象出来的。
此时数与形是结合在一起的。
例如：“天上一个太阳（数 1 与太阳结合在一起），人的一只手有五个指头（数5与一只手的指头结合在一起）等等”。
最早的计数方法也体现了这一点，如结绳记事、在树皮上划下刻痕计数等。
历史上最早的计数工具—中国的算筹和算盘就是数形结合的典范。
在形的发展过程中也离不开数的作用，如最早的几何知识产生于实际丈量土地的需要，人们对图形面积的计算需要借助于数。
所以形的发展也体现了数形结合的思想。
这个时期由于人们的认识能力有限，对数与形还没有达到有意识区分的水平，所以数形结合是必然的，它是一种无意识的结合。
二、古代数学发展时期的数形结合——从数占上风到形占上风古埃及人与巴比伦人通过长期的生产生活实践获得了大量的直观的几何知识，然后传到了古希腊。
古希腊的学派文化极大地促进了古希腊数学的发展。
毕达哥拉斯学派的贡献之一是有意识地承认并强调：“数学上的东西如数和图形是思维的抽象，同实际事务或实际形象是截然不同的。
《数与形》评课稿
《数与形》评课稿《数与形》评课稿（通用11篇）作为一位杰出的老师，可能需要进行评课稿编写工作，评课是教学、教研工作过程中一项经常开展的活动。
我们应该怎么写评课稿呢？以下是本店铺帮大家整理的《数与形》评课稿，希望对大家有所帮助。
《数与形》评课稿 1数形结合”是六年级上册教材中新编的内容，数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，数形结合可以让数量关系与图形的性质的问题很好地转化，通过几何直观可以帮助学生建立数的概念，帮助学生理解数运算的意义，可以使思路与过程具体化。
《数与形》这一内容是让学生经历观察、操作、归纳等活动，帮助学生借助“形”来直观感受与“数”之间的关系，体会有时“形”与“数”能互相解释，并能借助“形”解决一些与“数”有关的问题。
郎老师为了让学生理解图形和数字的对应关系，发现相应的数字变化规律，在课堂中做到了以下几点：一是引导学生数形结合，从不同角度寻找规律。
例如，在教学例1之前，郎老师首先用一组图形……让学生去发现图形排列的规律，让学生从形引入，猜下一个图形是什么图形。
学生从图形中想到数，单数是，双数，从形到数，教师为学生提供了一个熟悉的、生动形象的情境，让学生通过想象进入了新知的学习。
接着在教学例1时，先让学生说一说三幅图中分别有多少个小正方形？你是怎么发现的？通过学生的讨论，学生容易得出小正方形数为12.22.32.…的结论；还有的学生看到三个图中的小正方形数还可以分别表示成1.1+3.1+3+5.…的结论。
这时教师引导学生从数引入，让学生通过计算，发现1+3=4.1+3+5=9，…有的学生可能很快发现4=22.9=32.…这时老师引导学生用正方形来表示这些算式，使学生通过数与形的比照，看到这些连续的奇数在图形中的什么地方，平方数代表的又是图形中的什么，学生对规律形成更为直观的认识，从而突出了本课重点及难点。
二是改变学生的学习方法，促进自主探究和合作交流。
在课堂学习中，教师不论是“以数解形”、还是“以形助数”，在难点、重点之处都是能较好地引导学生自主探究和进行合作交流，学生在小组合作交流中，把复杂的问题简单化，抽象问题具体化。
“数”“形”结合是数学的核心思想和灵魂
“数”“形”结合是数学的核心思想和灵魂作者：吴宜朔来源：《环球市场信息导报》2016年第27期数学是一门古老的学问，是人类进化史上的重要工具。
其研究内容丰富、应用领域广泛。
其中，数与形是数学研究领域中两个最古老、最基本的内容，它们相互转化、相互渗透、相互支撑。
中学数学将研究对象分为数和形两部分，实际二者是密切交织和结合在一起的。
有研究将数形结合作为一种数学思想方法和解题思路，更高程度上，数形结合是数学的核心思想和灵魂。
因为它贯穿于数学的产生、发展过程中，渗透于数学的学习与应用中。
数学是因生产实践需要而早在远古时代就产生的古老的基础科学，其工具性和实用性特征显著，所以，被几乎所有学科和领域广泛使用；又因其极强抽象性和严密的逻辑性，在使用过程中，需借助图形、图像、图示等直观、简洁的形式呈现出来，将复杂问题简单化。
数学的产生于发展始终贯穿数形结合人类最早用有形物体来计数。
数学是研究事物数量关系和空间形式的学问。
它起源于人类最早的用手指、脚趾或小石子、小木棍等计数方式，同时，在实践中对各种形状的物体如大、小、方、圆等，进行反复观察、比较与使用，逐渐舍弃具体事物，进而抽象概括出形的概念。
所以，最早的数学本身就是数形结合。
其它学科尤其自然科学都借助数学这一工具，精确地反映客观事物的运动形态和规律。
随着生产力的不断发展和人类认识水平的不断提高，数学获得了极大的进步，也提出了许多新的研究课题，诞生了许多数学理论成果，如概率论、运筹学、信息论、控制论等。
数学与其它学科渗透，产生了诸多边缘学科：物理数学、生物数学、经济数学、语言数学等。
数学方法被应用于大量学科，如分析处理人口学、人种学和考古学等科研数据，还被运用到研究经济学、法学、史学和语言学等社会科学中。
这诸多方面都离不开数形结合的思想和方法的指导与运用。
基于数学而诞生的计算机，更彰显数学强大的工具性及实用性，也把数形结合的核心思想和灵魂发挥到极致。
数形结合是有效的教学方法和解题思路以“数”化“形”。
数形结合
数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。
数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
数形结合思想简单来讲是指将数（量）与（图）形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。
“数形结合”是数学中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。
数形结合是数学中四种重要思想方法之一．它既具有数学学科的鲜明特点又是数学研究的常用方法．著名数学家华罗庚先生曾指出：“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”这充分说明了数形结合思想在数学研究和数学应用中的重要性。
数和形这两个基本概念，是数学的两块基石。
在数学发展的进程中，数和形常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相渗透，在一定条件下互相转化。
数与形是中学数学研究的两类基本对象，相互独立又互相渗透。
尤其在坐标系建立以后，数与形的结合更为紧密。
而且在实际应用中，若就数论数，缺乏直观性；若就形论形缺乏严密性，当二者结合往往可优势互补，收到事半功倍的效果。
而且通过数到形结合的研究有助于数学思维品质的培养。
数形结合的思想方法，具体来说就是把问题中的数量关系与相应的图形结合起来，由数的性质得到相应图形的特征，或由图形的特征得出相应的数量关系，从而解决问题的思想方法。
其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来使抽象思维和形象思维结合。
通过对图形的认识、数形的转化,可以培养思维的灵活性、形象性,使问题化难为易、化抽象为具体。
例如：数轴就是数形结合的产物；解析几何就是用代数的方法研究几何问题的数学分支。
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数形结合思想的含义数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。
因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法。
正恩格斯曾经说过:"数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的一门科学。
"在数学领域中包含着两大研究对象,即"数"与"形",这两大研究对象既是对立的又是统一的,它们是数学发展的内在因素。
纵观数学知识的发展长河中,数形结合始终是发展的一条主线,并且数与形相结合能够让学生在实际应用中对知识的运用更加广泛和深入。
在初中数学教学中教师要特别重视将数形结合的思想渗透到教学环节中,以此来让学生感受到数形结合的伟大力量,促进学生生成数形结合的思想,
让学生在以后的数学学习中受益
1.数形结合思想的涵义
“数”早期是古代的计数，现在表示数量的概念；“形”早期是古代的形状，现在表示空
间的概念。
家欧几里得用自己毕生精力完成《几何原本》这一千古流芳的巨着，这是体现数形转化的文字资料。
柏拉图说过，只有数学存在的实体才具备永恒的可理解性，任何科学都只有建立在几何学带来的概念和模式上，才可以解释现象表面背后的结构和关系。
教育家波利亚也曾说：“画一个图，并用符号表示”。
数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。
它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。
数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质等等。
数轴的建立使人们对数与形的统一有了跳跃式的认识，把实数集与数轴上的点集一一对应起来，数可以视为点，点也可以视为数，点在直线上的位置可以数量化，而数的运算，也可以几何化。
在此基础上，笛卡尔又把数轴拓展到了直角坐标系。
在高中数学中几乎所有图形都是建立在直角坐标系中，奠基人笛卡儿的主要数学成果都集中在他的“几何学”中。
当时的代数学，他觉得它完全从属于法则和公式，不能成为一门改进智力的科学。
因此他提出必须把几何与代数的优点结合起来，建立一种“真正的数学”。
其核心内容是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的。
依照这种数学思想他创立了我们现在的“解析几何学”。
把相互对立着的“数”与“形”统一起来，使几何曲线与代数方程相结合。
从而把线段与数量联系起来，通过线段之间的关系，“找出两种方式表达同一个量，这将构成一个方程”，然后根据方程的解所表示的线段间的关系进行作图。
“数形结合”一词的正式出现与中国数学界的传奇人物华罗庚先生息息相关。
华老于1964年1月撰写了《谈谈与蜂房结构有关数学问题》这一科普小册子，书中有一首小词：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。
数无形时少直觉，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离!”[1]。
正因为华老在中国数学界的影响力，“数形结合”一词推出后不久，立即获得了数学界的普遍认同，几乎所有的数学教育教学刊物都出现了此词。
应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：数形结合思想解决的问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；(2)构建函数
模型并结合其图象研究方程根的范围；(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；(5)构建立体几何模型研究代数问题；(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；(7)构建方程模型，求根的个数；(8)研究图形的形状、位置关系、性质等．常见适用数形结合的两个着力点是：以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法。
以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运
算结果与几何定理的结合。
数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度。
具体操作时，应注意以下几点：(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域；(2)
用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作
适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解．这种思想方法体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想.数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。
数形结合思想常见的四种类型
1.实数与数轴:实数与数轴上的点具有一一对应关系,因此借助数轴观察数的特点,直观明了。
2.在解方程(组)或不等式(组)中的应用:利用函数图象解决方程问题时,常把方程根的问题看作两个函数图象的交点问题来解决;利用数轴或函数图象解有关不等式(组)的问题直观,形象,易于找出不等式(组)解的公共部分或判断不等式组有无公共解。
3.在函数中的应用:借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法,函数图象的几何特征与数量特征紧密结合,体现了数形结合的特征与方法。
4.在几何中的应用:对于几何问题,我们常通过图形,找出边、角的数量关系,通过边、角的数量关系,得出图形的性质等。
典型例题：
解题反思：
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，一次函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理的应用等，难点在于（3）作辅助线构造出相似三角形和三角形的中位线．
数形结合思想利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决途径，或用数量关系研究几何图形的性质，解决几何问题，将数量关系和几何图形巧妙地结合起来，以形助数，以数辅形，使抽象问题直观化，复杂问题简单化，从而使问题得以解决的一种数学思想。
注意由数思形,由形想数,搞清数形关系,做好数形转化。
数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯。
决。