初中数学中的数形结合思想

初中数学中的数形结合思想

“数缺形欠直观，形缺数难入微”，数形结合是解决数学问题最重要的数学思想方法之一.数形结合思想通过“以数助形，以形解数”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它是数学的规律性和灵活性的有机结合.

一、以数助形

例1如图1，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（5，1），C（1，4）是三角形ABC的三个顶点，求BC的长.

这一题经过转化后实质上就是求平面上两点之间的距离.而在本题中△ABC是直角三角形，所以利用勾股定理可BC=AB2+AC2=5.

这个问题实质上是利用数形结合的思想来推导在具体点的坐标下的两点之间的距离公式.利用同样的思想可以推导出平面上两点之间的距离公式：平面上点P1（x1，y1），P2（x2，y2），则P1P2=（x1-x2）2+（y1-y2）2.

例2在直角坐标系中，已知直线l经过点（4，0），与两坐标轴围成的直角三角形的面积等于8，若一个二次函数的图象经过直线l与两坐标轴的交点，以x=3为对称轴，且开口向下，求这个二次函数的解析式，并求最大值.

分析如果不画出图象，本题很难理解.由三角形的面积来

确定点B的坐标时，就需要把几何问题化为代数问题，确定OB的长度后，由绝对值的双值性来决定点B的纵坐标.

设直线l与x轴交点A（4，0），与y轴交点坐标B（0，m），

则OA=4，OB=|m|.

如由图，S△AOB=12OA?OB=12×4|m|=8，

所以|m|=4.因此，B（0，4）或B′（0，-4）.

由二次函数图象的对称轴为x=3，可知点A的对称点A′（2，0），则图象经过A、A′、B，或A、A′、B′.

设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-4）.

把点B或B′坐标代入，得a=12或a=-12.

因为开口向下，所以，a=12不符合题意.

故y=-12（x-2）（x-4），即y=-12（x-3）2+12，

所以当x=3时，y最大=12.

二、以形助数

例3已知a、b均为正数，且a+b=2，求W=a2+4+b2+1的最小值.

在本题中由求解式子的特点可以联想到构造直角三角

形利用勾股定理进行处理.如图作线段ED，在ED上截取EP，DP，过点E作AC⊥ED，且使得AE=2，过点D作DB⊥ED，且使得DB=1.这种构图后可以得到两个直角三角形，所以可以使用勾股定理得到AP=a2+4，BP=（2-a）2+1，所以本题中

求解的问题实质上就是求这两个直角三角形的斜边长之和

最小.在图形中延长AE至点C，使得AE=EC，连接BC，由三

角形两边之和大于第三边可知当B、P、C三点共线时，AP+BP 最短.所以W最小值就是线段BC的长度.下面求解a2+4+b2+1，延长BD至点F，使得DF=2，连接CF，此时构出一个直角三角形即△CBF，在这个直角三角形中CF=2，BF=3，所以W的最小值为13.

例4如图4，在矩形ABCD中，AB=12 cm，BC=6 cm，点

P沿AB边从A开始向点B以2 cm/s的速度移动；点Q沿DA 边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t （s）表示移动的时间（0

为S；S是否随着t的变化而变化？如果是写出它们之间的函数关系式；如果不是求出S的值.（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？

分析第（1）题由“形”到“数”，第（2）题即函数问题，第（3）题“形”与“数”相结合，整个问题数形密切

结合，知识点涉及了代数和几何两个方面.

解（1）对于任何时刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6-t.

当QA=AP时，△QAP为等腰直角三角形，即6-t=2t，

解得t=2 （s）.

所以，当t=2 s时，△QAP为等腰直角三角形.

（2）在△QAC中，QA=6-t，QA边上的高DC=12，

所以S△QAC=12QA?DC=12（6-t）?12=36-6t.

在△APC中，AP=2t，BC=6，

所以S△APC=12AP?BC=12?2t×6=6t.

所以S四边形QAPC=S△QAC+S△APC=（36-6t）+6t

=36 （cm2）.

由计算结果发现：

在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变.（也可提出：P、Q两点到对角线AC的距离之和保持不变）

（3）根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形ABCD 中：

①当QA∶AB=AP∶BC时，△QAP∽△ABC，

那么有（6-t）∶12=2t∶6，解得t=1.2 （s），

即当t=1.2 s时，△QAP∽△ABC；

②当QA∶BC=AP∶AB时，△PAQ∽△ABC，

那么有（6-t）∶6=2t∶12，解得t=3 （s），

即当t=3 s时，△PAQ∽△ABC.

所以，当t=1.2 s或3 s时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.

“数无形不直观，形无数难入微”.总而言之，数形结合的思想在初中数学解题中，不仅能直观易发现解题途径，而

且能避免复杂的计算推理，大大简化了解题过程.