(完整)初中数学——数形结合思想(初二)
初中数学中的数形结合思想
初中数学中的数形结合思想“数缺形欠直观，形缺数难入微”，数形结合是解决数学问题最重要的数学思想方法之一.数形结合思想通过“以数助形，以形解数”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它是数学的规律性和灵活性的有机结合.一、以数助形例1如图1，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（5，1），C（1，4）是三角形ABC的三个顶点，求BC的长.这一题经过转化后实质上就是求平面上两点之间的距离.而在本题中△ABC是直角三角形，所以利用勾股定理可BC=AB2+AC2=5.这个问题实质上是利用数形结合的思想来推导在具体点的坐标下的两点之间的距离公式.利用同样的思想可以推导出平面上两点之间的距离公式：平面上点P1（x1，y1），P2（x2，y2），则P1P2=（x1-x2）2+（y1-y2）2.例2在直角坐标系中，已知直线l经过点（4，0），与两坐标轴围成的直角三角形的面积等于8，若一个二次函数的图象经过直线l与两坐标轴的交点，以x=3为对称轴，且开口向下，求这个二次函数的解析式，并求最大值.分析如果不画出图象，本题很难理解.由三角形的面积来确定点B的坐标时，就需要把几何问题化为代数问题，确定OB的长度后，由绝对值的双值性来决定点B的纵坐标.设直线l与x轴交点A（4，0），与y轴交点坐标B（0，m），则OA=4，OB=|m|.如由图，S△AOB=12OA?OB=12×4|m|=8，所以|m|=4.因此，B（0，4）或B′（0，-4）.由二次函数图象的对称轴为x=3，可知点A的对称点A′（2，0），则图象经过A、A′、B，或A、A′、B′.设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x-4）.把点B或B′坐标代入，得a=12或a=-12.因为开口向下，所以，a=12不符合题意.故y=-12（x-2）（x-4），即y=-12（x-3）2+12，所以当x=3时，y最大=12.二、以形助数例3已知a、b均为正数，且a+b=2，求W=a2+4+b2+1的最小值.在本题中由求解式子的特点可以联想到构造直角三角形利用勾股定理进行处理.如图作线段ED，在ED上截取EP，DP，过点E作AC⊥ED，且使得AE=2，过点D作DB⊥ED，且使得DB=1.这种构图后可以得到两个直角三角形，所以可以使用勾股定理得到AP=a2+4，BP=（2-a）2+1，所以本题中求解的问题实质上就是求这两个直角三角形的斜边长之和最小.在图形中延长AE至点C，使得AE=EC，连接BC，由三角形两边之和大于第三边可知当B、P、C三点共线时，AP+BP 最短.所以W最小值就是线段BC的长度.下面求解a2+4+b2+1，延长BD至点F，使得DF=2，连接CF，此时构出一个直角三角形即△CBF，在这个直角三角形中CF=2，BF=3，所以W的最小值为13.例4如图4，在矩形ABCD中，AB=12 cm，BC=6 cm，点P沿AB边从A开始向点B以2 cm/s的速度移动；点Q沿DA 边从点D开始向点A以1 cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t （s）表示移动的时间（0<t<6），那么：（1）当t=s 时，△QAP为等腰直角三角形.（2）若四边形QAPC的面积为S；S是否随着t的变化而变化？如果是写出它们之间的函数关系式；如果不是求出S的值.（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？分析第（1）题由“形”到“数”，第（2）题即函数问题，第（3）题“形”与“数”相结合，整个问题数形密切结合，知识点涉及了代数和几何两个方面.解（1）对于任何时刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6-t.当QA=AP时，△QAP为等腰直角三角形，即6-t=2t，解得t=2 （s）.所以，当t=2 s时，△QAP为等腰直角三角形.（2）在△QAC中，QA=6-t，QA边上的高DC=12，所以S△QAC=12QA?DC=12（6-t）?12=36-6t.在△APC中，AP=2t，BC=6，所以S△APC=12AP?BC=12?2t×6=6t.所以S四边形QAPC=S△QAC+S△APC=（36-6t）+6t=36 （cm2）.由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变.（也可提出：P、Q两点到对角线AC的距离之和保持不变）（3）根据题意，可分为两种情况来研究，在矩形ABCD 中：①当QA∶AB=AP∶BC时，△QAP∽△ABC，那么有（6-t）∶12=2t∶6，解得t=1.2 （s），即当t=1.2 s时，△QAP∽△ABC；②当QA∶BC=AP∶AB时，△PAQ∽△ABC，那么有（6-t）∶6=2t∶12，解得t=3 （s），即当t=3 s时，△PAQ∽△ABC.所以，当t=1.2 s或3 s时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.“数无形不直观，形无数难入微”.总而言之，数形结合的思想在初中数学解题中，不仅能直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算推理，大大简化了解题过程.。
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数形结合思想“数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象， 而这两个方面是紧密联系的． 体现在数学解题中， 包括“以数助形” 和“以形助数” 两个方面．“数”与“形”好比数学的“左右腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充． “数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非． ”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要， “数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位．一、以数助形要在解题中有效地实现“数形结合” ，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点， ，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点： （1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化） ；（ 2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等．例 1、如图，在正△ ABC 的三边 AB 、BC 、 CA 上分别有点 D 、E 、F. 若 DE ⊥ BC ， C EF ⊥AC ，FD ⊥AB 同时成立，求点 D 在 AB 上的位置 .FE例 2、如图，△ ABC 三边的长分别是 BC=17，CA=18，AB=19. 过△ ABC 内的点 PAB向△ ABC 的三边分别作垂线 PD 、 PE 、 PF （ D 、 E 、 F 为垂足） . 若DABD CE AF 27.求： BD BF 的长 .FE例 3、已知 ABC 的三边长分别为 m 2n 2 、 2mn 及 m 2 n 2 （ m 、 n 为正PBC整数，且 m n ）。
求 ABC 的面积（用含 m 、 n 的代数式表示）。
D【海伦公式： 如果一个三角形的三边长分别是 a ，b ，c ，设 p a b ca)( p b)( p c) 。
新人教八年级 一次函数 数形结合思想
2k b 0, 0 b 2,
k 1, 解之得: b 2.
∴一次函数的关系式为y=x-2.
八年级 数学
第十九章
一次函数
章节复习
数学思想方法的归纳及应用
练习:
1.若直线y=kx+b经过第二、三、四象限，则k 过第一、三、四象限，则k 限，则k ，b . ，b ，b ；若经 ；若经过第一、二、三象
（两条射线）如图11-61所示，观察图象，回答下列ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ题.
（1）分别写出y1，y2与x之间的函数关系式；
（2）每月行驶路程等于多少时，租两家车的费用相同？
2.直线y=x+4和直线y=-x+4与x轴围成的三角形的面积是（ ） A.3 B.64 C.16 D.8
八年级 数学
第十九章 一次函数
章节复习
数学思想方法的归纳及应用
3.某单位急需用车，他们准备和一个体车主或一国营出租车公司中的一
家签订合同，设汽车每月行驶xkm，应付给个体车主的月租费是y1元，应付 给国营出租车公司的月租费是y2元，y1，y2分别与x之间的函数关系的图象
八年级 数学
第十九章
一次函数
数学思想方法的归纳及应用
数形结合法
数形结合法是指将数与形结合起来进行分析、研究、解决问题的一 种思想方法.数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍 的作用.
例1 如图11－55所示，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于 A，B两点，如果A点的坐标为A（2，0），且OA=OB，试求一 次函数的解析式. 解：设一次函数的关系式为y=kx+b(k,b为常数，且k≠0). ∵OA=OB，点A的坐标为(2，0), ∴点B的坐标为(0，-2). ∵点A，B的坐标满足一次函数的关系式y=kx+b，
初中数学课堂中的“数形结合”思想
初中数学课堂中的“数形结合”思想初中学生身心正处于少年到青年的过渡，其对知识的学习、接受正从被动学习向主动学习过渡、从感知性学习向理论性学习过渡、从分散学习向系统学习过渡。
这时学生受其社会阅历的局限，对知识的学习往往凭着个人兴趣、爱好；受其生理发展影响，对知识的学习一般持续时间有限；受其认知能力的限制，对知识的认知通常比较感性。
而初中阶段数学的学习有时是比较枯燥、抽象的，因而我们老师在课堂教学时需要考虑到学生的认知能力，将复杂问题适当简单化，将抽象问题适当具体化。
“数形结合”思想是一种非常重要的数学思想方法，教师课堂上适时地使用“数形结合”思想，可以将很抽象的数学问题形象化、具体化，将复杂的数学问题简单化、明了化，将枯燥的数学问题灵动化、兴趣化。
一、“数形结合”初见数学概念是人们对客观现象、数量关系、空间形式的认识和总结。
进入初中阶段，数学概念往往比较抽象，教师在概念教学时，如果能有意识地对抽象的数学予以直观具体的图形,那么往往可以更有效地帮助学生理解。
例如在七年级上册第一章向学生讲解棱柱的相关概念时，教师如果仅仅是语言叙述什么叫棱、什么是棱柱的侧棱，学生很难想象。
但是如果教师利用一个形象具体的物体，比如粉笔盒、六棱柱的月饼盒等，结合实物讲解，那么学生对棱柱的相关概念就会有非常直观的感受，从而顺利地接受和掌握。
“数形结合”思想不仅有助于学生理解几何概念，对于一些纯代数概念的理解和掌握也有很大帮助。
“绝对值”是有理数范围内一个非常重要的数学概念，它的建立将有理数数集缩小为非正数集，是后面学生学习集合和进行有理数运算的一个非常重要的载体。
而“绝对值”概念的建立是必须建立在“数形结合”思想之上的，它需要引导学生先在数轴上任意标出几个正数、几个负数和0，然后结合图形讲解、总结绝对值定义及其特点。
数学概念的学习是数学学习的基础，教学时要利用“数形结合”思想将复杂、抽象的概念赋予直观具体的形象，有效地强化学生对数学概念的理解，为学生后续学习打好基础。
初二数形结合题解题技巧
初二数形结合题解题技巧
1. 观察图形特点：首先要仔细观察数形结合题中的图形，寻找图形的特点和规律。
例如，图形的对称性、重复性、变化规律等。
2. 运用数学知识：根据题目所给条件和图形的特点，运用基本的几何知识和数学公式进行推理和计算。
如长度、面积、角度的计算等。
3. 利用图形的辅助线：当图形较为复杂时，可以尝试画一些辅助线来辅助解题。
通过引入辅助线，可以将问题转化为更简单的几何问题或代数问题解答。
4. 运用逻辑思维：通过分析题目中的条件和信息，利用逻辑推理思维，找到图形之间的联系和规律，从而推导出答案。
5. 多角度思考：解题时不要固守一种思维方式，可以尝试从不同角度思考问题，寻找多种可能性和解题思路。
6. 锻炼空间想象力：数形结合题通常涉及到对图形的空间变换和投影等概念，因此锻炼空间想象力能够帮助更好地理解和解决问题。
总之，解答数形结合题需要考虑到数学知识的应用，观察和分析图形特点，灵活运用解题技巧和思维方式，以及锻炼创造性和逻辑思维能力。
八年级数学数形结合的思想
内容：第二章小结与复习（1）课型：复习 时间： 学习目标：1、回顾和整理本章所学的知识内容，使学生对本章内容有全面的了解。
2、感受数形结合的思想。
3、在学习生活中获得成功的体会，增加学生学习数学的兴趣。
学习重点：建立本章知识结构和各知识简单应用。
学习难点：建立本章知识结构和各知识简单应用。
学习过程：一．学前准备：1、整理本章的知识结构图及数学思想。
本章主要的思想方法：⑴转化的思想：把复杂问题转化简单问题，把末知转化为已知的；⑵数形结合思想：勾股定理及其逆定理是数形结合的一个典型；⑶方程思想；通过勾股定理列方程是解决一些问题的重要方法；⑷分类思想：实数有两种分类方法，对于一个Rt △ABC ，在没有指明∠C ＝90°，还应考虑∠A ＝90°，∠B ＝90.本章从研究勾股定理入手，又探究了勾股定理的逆定理，寻找了勾股数，发现了勾股数的规律.应用勾股定理来引进了平方根、立方根，认识了一种新数——无理数；学习了无理数，把数的范围又扩充到实数，使有理数有关运算法则进一步的推广到实数，我们又学会了一种新的运算开方.2、回答课本第85页1、2、3、4、5的问题，并要求回答这些知识获得的过程。
二．自学、合作探究： （一）自学、相信自己：1.｜－32｜＝ ；31-＝ ；｜π－3.14｜＝ ； ｜2－1.42｜＝ .2. 3－2的相反数 ； 的相反数是310.3. 3641-的倒数是 ；32的负倒数是 .4.若实数m ，n 满足（m+n －2）2＋32+-m n ＝0，则2n －m －3= .5.绝对值等于本身的数是 ；一个数与它的绝对值的和为0，这个数是 .6.若｜a ｜＝3，b=3，则a+b ＝ .7.数轴上表示－3.14的点在表示－π的点的 边（填左、右）；表示－6的点到原点距离是 .8. 5－35-≈ （保留3个有效数字）.9.一直角三角形的两边分别为5和12，则斜边是 .10. a 、b 、c 为△ABC 三边长，b=2，且（2a －3）2+c 25-=0，则△ABC 的面积为 。
初中数学中的数形结合思想
初中数学中的数形结合思想在初中数学中，数形结合思想是解决问题的重要方法之一。
这种思想可以将图形性质问题转化为数量关系问题，或者将数量关系问题转化为图形性质问题，从而使问题更加具体化、简单化。
这种转换不仅可以提高教学质量，还可以有效地培养学生的思维素质，因此它是初中数学研究的关键所在。
数形结合思想对学生数学能力的培养非常重要，主要包括运算能力和解题能力。
数学思想是对数学知识的更高层次的概括和提炼，是培养学生数学能力的最重要的环节。
数形结合思想是初中数学研究中一个重要的数学思想，贯穿了数学教学的始终。
数形结合思想的核心是将数与形结合起来进行分析研究，通过图形的描述代数的论证来研究和解决数学问题。
它能够使复杂的问题简单化、抽象的问题具体化，将代数关系与几何图形的直观形象有机地结合起来。
在初中数学中，数形结合思想的应用主要体现在以下两个方面：一、有数思形数形结合，用形来解决数的问题和解决一些运算公式。
例如，利用数轴来讲解绝对值的概念、相反数的概念、有理数的加、减、乘、除运算等；用几何图形来推导平方差、平方和、完全平方公式以及多边形外角和定理；用函数的图像解决函数的最值问题、值域问题；用图形比较不等式的大小问题。
解这种类型题的关键是根据数结构特征构造出相应的几何图形，将概念形象化，复杂计算的问题简单化。
二、由形思数数形结合。
解决这类问题的关键是运用数的精确性来阐明形的某些属性，将图形信息转化为代数信息，利用数特征将图形问题转化为代数问题来解决。
这类问题在初中数学中也比较常见，例如用数表示角的大小和线段的大小，用数的大小比较角的大小和线段的大小；用有序实数对描述点在平面直角坐标系内的位置；用方程、不等式或者函数解决几何量的问题；用数来描述点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，直线与直线的位置关系。
在教学中，我们需要注意到任何一种解题思想方法都不是孤立的。
因此，我们需要根据具体的问题利用现有的教材，将不同的思想方法综合运用。
初中代数教学中的数形结合思想
初中代数教学中的数形结合思想数形结合思想是指通过数学符号和图形的相互转换，来帮助学生理解和解决数学问题的思维方式。
在初中代数教学中，数形结合思想可以帮助学生从图形的角度去理解代数表达式和方程式，通过代数符号的运算，也能够进一步推导和验证图形的性质和关系。
下面，我将就初中代数教学中的数形结合思想进行详细的阐述。
一、数形结合思想的基本理念数形结合思想是一种将抽象的代数符号与具体的图形形象相结合的学习方法。
通过将代数符号与具体的图形形象相对应，可以让学生更加直观地理解和解决问题。
数形结合思想的基本理念如下：2. 图形能够验证代数的推理。
通过对图形的观察和推理，可以验证代数的推理过程是否正确。
通过代数符号的运算，也可以推导和验证图形的性质和关系。
3. 数形结合思想是数学思维的重要组成部分。
数形结合思想能够激发学生的思维，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
通过数形结合思想，学生可以从不同的角度去理解和解决问题，培养学生的创造性思维。
1. 代数表达式与图形的转换在初中代数教学中，数形结合思想可以用于将代数表达式的含义转化为具体的图形形象。
学生可以通过画图的方式来理解和解释代数表达式的含义。
对于表达式2x+3，学生可以将x代表未知数，在坐标平面上画出直线y=2x+3，并通过图形的位置和斜率来解释和理解表达式的含义。
2. 图形的性质和关系的解释和验证数形结合思想也可以用于解释和验证图形的性质和关系。
在讲解线段、角、三角形等几何概念时，可以通过代数符号的运算来推导和验证图形的性质和关系。
对于两条平行线的性质，可以通过代数的角度来解释和验证其性质。
3. 解方程式的几何解释4. 几何问题的代数求解数形结合思想在初中代数教学中还可以用于几何问题的代数求解。
对于一道求解三角形面积的问题，可以通过代数的角度来求解。
通过将三角形的底和高表示为代数表达式，将其带入面积公式中，可以求解出三角形的面积。
2. 不足：数形结合思想在初中代数教学中也存在一定的不足之处。
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数形结合思想
“数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的．体现在数学解题中， 包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数”与“形”好比数学的“左右腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充．“数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非．”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要，“数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位．
一、以数助形
要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等． 例1、如图，在正△ABC 的三边AB 、BC 、CA 上分别有点D 、E 、F.若DE ⊥BC ，EF ⊥AC ，FD ⊥AB 同时成立，求点D 在AB 上的位置.
例2、如图，△ABC 三边的长分别是BC=17，CA=18，AB=19. 过△ABC 内的点P 向△ABC 的三边分别作垂线PD 、PE 、PF （D 、E 、F 为垂足）. 若27.BD CE AF ++=求：BD BF +的长. 例3、已知ABC ∆的三边长分别为22n m -、mn 2及22n m +（m 、n 为正
整数，且 n m >）。
求ABC ∆的面积（用含m 、n 的代数式表示）。
【海伦公式：如果一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，设2c b a p ++=，则))()((c p b p a p p S ---=。
】
例4、将如图的五个边长为1的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形．
例5、如图，ABC ∆是一块锐角三角形余料，边80=AD 毫米，120=BC 毫 米，
要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC 上，其余两个定点分
别在AC AB ,上，设该矩形的长y QM =毫米，宽x MN =毫米．当x 与y
分别取什么值时，矩形PQMN 的面积最大？最大面积是多少？
例6、如图,点P 是矩形ABCD 内一点，3=PA ，PB=4，PC=5，求PD 的长．
A D
E F C B
A
P F
E D C B
2 12345-6-5-4-3-2-10B A
二、以形助数
几何图形在数学中所具有的最大的优势就是直观易懂，所以在谈到“数形结合”思想时，就更偏好于“以形助数”的方法，利用几何图形解决相关不易求解的代数问题。
几何图形直观的运用于代数中主要体现在几个方面：
（1）利用相关的几何图形帮助记忆代数公式，例如：完全平方公式与平方差公式；
（2）利用数轴及平面直角坐标系将一些代数表达式赋予几何意义，通过构造几何图形，进而帮
助求解相关的代数问题，或者简化相关的代数运算。
例1、在等腰ABC ∆中,5==AC AB ,6=BC ,P 是底边上任一点,求P 到两腰的距离的和． 例2、已知a 、b 均为正数，且2=+b a 。
求1422+++b a 的最小值。
例3、若将数轴折叠，使得A 点与－2表示的点重合，若数轴上M 、N 两点之间的距离为2012(M 在N
的左侧)，且M 、N 两点经过折叠后互相重合，则M 、N 两点表示的数分别是：M : N :
例4、数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位，点A ，B ，C ，D 分别表示整数a ，b ，c ，d ，
且d －2a ＝10，则原点在（ ）的位置
A . 点A
B . 点B
C .点C
D .点D
例5、已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＞02－x ＞0
的整数解共有2个，则a 的取值范围是___________． 例6、如图一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点A 重合，右端与点B 重合．
(1) 若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到B 点时，它的右端在数轴上所对应的数为20；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A 点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5（单位：cm ），由此可得到木棒长为 cm ．
(2) 由题(1)的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题:
一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？
例7、如图，图①是一块边长为1，周长记为P 1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为12的
正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前
一块被剪掉正三角形纸板边长的12）后，得图③，④，…，记第n (n ≥3) 块纸板的周长为P n ，则
P n －P n －1= .
…
① ② ③ ④。