初中数学中的数形结合思想修订稿
谈新课标下的初中数学“数形结合”思想
在解题时 ， 通过运用“ 数形结合” 思想 ， 能够形象 地为学 生展现清晰 、 有序的解题过程 ， 而且直接或间 接地训 练学生 的思维。把抽象 的问题转化成直观具 体的问题 ， 提高学生对 问题的理解 能力 ， ｝ 肖 除学生因 题 目复 杂难 懂 而 形 成 的 恐 瞑心 理 ，从 而激 发 学 生 对 数学学习的兴趣 。 随着科学技术的发展 ， 数学在各个 领域都将产生重要的作用 ， 越来越抽象化 的数学 ， 更 需 要 由“ 形” 来引 黧 赫 赫 蜡 蠢 糍 豢
■ 石 丽 娟
摘 要： 《 初 中数学新课标》要求学生了解数形 结合 的思想 、 分类 的思想 、 化归 的思想 、 类 比的思想 和 函数的思想 等。“ 数形结合” 思想是初中数学研究 的一个重要内容 ， 是一种常用的解题方法 ， 能够充分 地发挥代数和几何 的专业优势 ，使问题变得更加简 单、 具体 ， 培养学生创新能力 ， 提高学生的思维能力。 新课程要求学生能够 自主探究性学 习，在课堂教学 中渗透 “ 数形结合 ” 思想 ， 培养学生的“ 数形结 合” 的 思维方式。 本文主要对新课标下的初中数学 “ 数形结 合” 思想和应用进行解析 。 关键词 ： 初 中数学 ； 数形结合 ； 课堂教学 ； 应用 在教学中 ，初 中是学生在数学学 习中的一个非 常重 要 的阶 段 ， 在 小 学数 学 知 识 的 基 础上 ， 增 加 了难 度 和范 围 ，初 中数 学 学 习的 水平 也 在 一 定 程 度 上影 响高 中数学的基础 。好 的学习方法能够提升学生的 数学学 习能力 ， 数学的学习决定于数学思维 ， 数形结 合 就是一种很好的数学思维 。初中数学教师在课 堂 中渗透数学学习思想 ， 除了能够完成其教学 目标 ， 最 重 要 的是 能 够 提 升学 生 的数 学 思 维 ，让 学 生 得 到全 面 的发 展 。
以形助数-以数解形——浅谈数形结合思想在初中数学中的应用
以形助数，以数解形—-浅谈数形结合思想在初中数学中的应用摘要:在初中数学中，数形结合思想无处不在，利用好它可以帮助解决较难问题，并提高解题速度。
笔者结合教学实际,对数形结合思想进行浅议，探讨其在数学教学中的应用.关键词：数形结合初中数学数学应用数形结合思想是初中数学中一种重要的数学思想.在近几年武汉中考数学试卷中，利用数形结合思想解决问题的题目屡见不鲜，而且有逐年加强的趋势，可见其重要性。
因此,笔者结合数学教学实际，探讨数形结合思想在初中数学中的应用.在《初中数学新课程标准》中提到：“数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的，如：数形结合思想等。
”［1]所谓数形结合，就是指把代数的精确刻划与几何的形象直观相统一，将抽象思维与形象直观相结合的一种思想方法。
利用它可以使复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，很多难题便迎刃而解，而且解法简便易懂。
数与形是密切相关的两个数学表象，它们是一一对应的关系，且相互依存、相互促进.在解决数学问题时,我们要把它们有机的结合起来,并相互转化，即把几何图形转化为数量关系问题, 应用代数、三角函数等知识进行讨论，或者把数量关系问题转化为图形问题，借助几何知识加以解决，使学生看到“形”能想到“数”, 而看到“数”则能想到“形”,最终达到优化解题途径的目的.著名的数学家华罗庚说得好：“数缺形时少直观，形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休,几何代数统一体，永远联系莫分离" [2].初一我们就学习了数轴，它建立起了实数与数轴上的点的一一对应关系.进而，又引入了直角坐标系，它扩大成了有序实数对与坐标平面上的点的一一对应.到了初二、初三又陆续学习了一次函数、二次函数，我们知道它们跟直线、抛物线也是一一对应的关系，以至于后来的“用函数的观点看方程”，实质上就是曲线和方程的对应关系。
正是这些数与形的对应，才促使我们要利用它们之间的联系，相互结合，相互转化，最终达到解决数学问题的目的。
数形结合思想在初中数学教学中的应用优秀获奖科研论文-2
数形结合思想在初中数学教学中的应用优秀获奖科研论文数形结合是一种非常重要的数学思想方法，也是数学解题中要求掌握的重要思想方法之一，在数学学习中有着重要的地位.数形结合，有利于学生对数学知识的理解，落实新课标的要求，即通过“以形助数，以数解形”，能够将复杂问题简单化，抽象问题具体化.很多数学问题利用数形结合思想来解决，能够达到化难为易的目的.在初中数学教学中，教师应重视数形结合思想，从而提高学生分析问题和解决问题的能力.下面结合自己的教学实践就数形结合思想在初中数学教学中的应用谈点体会.一、数形结合思想在集合问题中的应用在教学中，教师单一地讲解集合问题，很难使学生想象出各数集之间的关联性，而利用图示法，能够解决抽象的集合问题，让学生对集合问题一目了然.在图形中，一般利用圆来表示集合，两集合有公共的元素则两圆相交，两圆相离则表示没有公共的元素.例如，在学校开展兴趣班时，初中某班共有28个学生，其中有15人参加音乐兴趣班，有8人参加舞蹈兴趣班，有14人参加书法兴趣班，同时参加音乐和舞蹈兴趣班的有3人，同时参加音乐和书法兴趣班的有3人，没有人同时参加三个兴趣班，问：同时参加舞蹈班和书法兴趣班的有多少人？只参加音乐兴趣班的有多少人？图1解析：如图1，设A={参加音乐兴趣班的学生}，B={参加舞蹈兴趣班的学生}，C={参加书法兴趣班的学生}，同时参加舞蹈和书法兴趣班的学生有x人.由题意可知，card（A交B）=3.card（A交C）=3，card（B交C）=x，则15+8+14-3-3-x=28，得x=3.因此，同时参加舞蹈和书法班的有3人，只参加音乐兴趣班的有15-3-3=9人.这样，利用图示法，可以使复杂的数学问题变得简单化和具体化，降低做题难度，有助于激发学生的学习兴趣.二、数形结合思想在函数问题中的应用函数是整个数学的重点，关于函数类型的题也数不胜数.利用函数求极值的问题是常见的题型，以数辅形，需要将图象中的数量关系整理清楚，以函数的形式表达出来，把握函数与图形之间的关系，达到快速解决数学问题的目的，体现数形结合在解题中的重要性.初中生对一次函数和二次函数的图象有着很深的了解，因此在面对这类函数问题时，往往可以根据函数图象来解答.这样，不但可以加深学生对基本概念的理解，还可以加强学生对这些基本知识的灵活运用.例如，当0 解析：方程中含有两个未知数，无法直接求解，可以转化成两个函数问题，图2求解的个数就是求函数图象的交点个数.由|1-x2|=kx+k，可构造y=|1-x2|和y=kx+k，如图2.所以原方程解的个数为3个.这样，复杂的函数问题，利用图形进行展示，能够直接得出问题的答案，强化了学生的认知，深化了学生的思维训练，提升了教学效率.三、数形结合思想在概率问题中的应用概率作为初中数学教学中的重点内容，一直是教学的难点.许多概率问题在思考中都存在着抽象，如果借助于坐标平面或数学模型的问题，以形助数，运用数形结合思想，就能够帮助学生迅速找到问题的切入点，优化解题过程，提高解题速度.总之，在初中数学教学中，数形结合思想既是一种教学手段，又是一种解题方法.运用数形结合思想，能够拓宽学生的思维；运用数形之间的关联性，以图形助数学解题，能够强化学生对数学本质的认知和了解，提高学生数学思维的灵活性、根基性等.教师应适当运用数形结合思想开展教学活动，从学生的角度出发，培养学生的综合技能和素质，提升初中数学教学质量，确保学生全面发展.。
初中代数教学中的数形结合思想
初中代数教学中的数形结合思想在初中数学教学中，代数与几何一直被认为是两个分立的领域，代数是研究数与数字运算规律的一门数学学科，几何是研究图形与空间的一门数学学科。
在很长一段时间里，代数与几何被看作是毫无关联的两个领域，两种思维方式也被认为是与两种不同的学科有关。
数学教育的实践表明，代数与几何是有着密切联系的。
代数与几何之间的联系不仅仅表现在表面上的相似之处，而是在实践中发现代数与几何相互渗透、相互借鉴、相互促进。
在初中数学教学中，有必要将代数与几何融合在一起，采用“数形结合”的教学思想，让学生更好地掌握数学知识，提高数学素养。
一、代数与几何之间的联系1. 代数与几何的相似性代数与几何在某些方面有很多相似之处，比如二者的符号与图形形式都是抽象的，它们都是用来研究自然界中存在的问题。
代数与几何具有相似的逻辑思维方式，都需要进行分析、推理、证明等过程。
在实际问题中，代数与几何也有诸多相似之处，比如可以用代数方程和几何图形分析解决某些问题。
代数与几何之间也存在着许多相辅相成之处。
代数可以帮助几何问题化为代数问题，几何图形的性质可以通过代数分析得到更深入的认识。
比如用代数方法解决几何问题，可以通过设定代数变量表示几何问题中的长度或面积等量，通过代数方程组计算得到问题的解，从而借助代数的思维方式解决几何问题。
而几何知识也可以帮助方程的解题。
比如从图形上解释一元一次方程的意义，可以帮助学生理解方程的解的实际意义。
代数与几何之间的相互促进是指代数和几何在相互学习中不断发展和完善。
比如代数的引入可以帮助学生更好地理解几何知识，代数的知识和方法也可以应用到几何中去。
同样，几何知识也可以帮助学生更好地理解代数知识，几何的思维方式也可以用到代数中去。
在相互学习中，代数和几何不断促进和完善。
1. 数形结合的基本内涵“数形结合”是指代数知识与几何知识相互渗透、相互借鉴、相互促进。
数形结合是以代数为主线，以几何为辅助，结合实际问题，充分体现数学的应用性和实用性。
在初中数学教学中渗透与应用数形结合的思想方法
数 轴 的 引 入 是 有 理 数 内 容 体 现 数 形 结 合 思 想 的力 角 为 ４ 。 。 ５
量 源 泉 。 由于 对 每 一个 有 理 数 ，数 轴 上 都有 唯 一确 定 的 ４ 重视实践经验在应用题 中的作用 ，变课堂教学 点 与它 对 应 ， 因此 ，两 个 有 理 数大 小 的 比较 ，是通 过 这 为 实 践 活 动 两 个 有 理 数在 数 轴 上 的对 应 点 的位 置 关系 进 行 的 （ 实数
相 映生辉 。 在 教 学 中渗 透 数 形 结 合 思想 时 ，应 让 学 生 了解 ，
所 谓 数 形结 合 就 是找 准 数 与形 的契 合 点 ，根 据对 象 的属
数 形 结合 的思 想 方法 ，不 像 一般 数 学 知识 那 样 ，通 性 ，将数 与 形 巧 妙地 结 合 起来 ，有 效 地相 互 转 化 ，就 成 过 几节 课 的教 学就 可 掌握 。它 根 据 学生 的年龄 特 征 ， 学 为 解 决 问题 的关 键所 在 。数形 结 合 的 结合 思想 主 要体 现 生 在 学 习 的各 阶段 的认 识水 平 和 知 识特 点 ，逐 步 渗 透 ， 在：１ ）用 方 程 、不等 式或 函数解 决有 关 几何 量 的 问题 ； 螺 旋上 升 ，不 断地 丰 富 自身 的 内涵 。教 师 要通 过 对 于 典 ２ ）用几 何 图形或 函数 图象解 决有 关方 程 或 函数 的 问题 ； 型 例题 的选 取 ，有 针 对性 地 进 行 教学 ，使 学生 在 学 习 中 ３ ）解 决一 些 与 函数 有 关 的代 数 、几 何综 合 性 问题 ；４ ） 慢 慢感 受 和体 会 数 形 结合 思 想 对 于解 题 的 帮助 。数 是数 以图象形 式 呈现 信息 的应 用性 问题 。
初中数学教学中数形结合思想的运用浅析
初中数学教学中数形结合思想的运用浅析数学是一门抽象的学科，而数形结合则是数学教学中的一种重要思想。
数形结合思想是指通过图形来展示数学问题，使抽象的数学概念得到直观的展示，从而加深学生对数学知识的理解和记忆。
在初中数学教学中，数形结合思想的运用能够激发学生的学习兴趣，提高他们的学习积极性，帮助他们更好地理解和掌握数学知识。
本文将从数形结合的定义、作用和具体运用三个方面对初中数学教学中数形结合思想进行浅析。
一、数形结合的定义1.激发学生的学习兴趣数学是一门理论性强、抽象性强的学科，对很多学生来说比较枯燥。
而数形结合思想的运用能够通过图形展示数学问题，使学生能够在观察、比较和分析图形的过程中感受到数学的趣味性，从而激发他们的学习兴趣，提高他们的学习积极性。
2.帮助学生理解抽象概念数学中的很多概念比较抽象，例如函数、方程等，对学生来说很难理解和掌握。
通过数形结合的方法，将抽象的数学概念与具体的图形相结合，可以使学生在观察、比较和分析图形的过程中直观地理解抽象概念，从而加深他们对数学知识的理解和记忆。
3.培养学生的空间想象力数形结合思想的运用能够培养学生的空间想象力，使他们通过图形的展示来感受和理解数学知识，从而提高他们的空间想象力和思维能力。
这对于学生的综合素质提高和将来的学习能力都具有积极的作用。
1.数学概念的引入在初中数学教学中，可以通过引入图形来展示数学概念，使学生在观察和比较图形的过程中感受和理解数学概念。
在引入平行线和垂直线的概念时，可以通过图形来展示两条平行线或垂直线的形状，让学生通过观察图形来理解和掌握这些概念。
2.数学问题的解决在解决数学问题时，可以通过图形展示问题，让学生通过观察和分析图形来解决问题，从而激发他们的求解兴趣和能力。
在解决一个与角度相关的问题时，可以通过图形展示问题，让学生在观察图形的基础上求解问题，以加深他们对于角度概念的理解。
3.数学知识的巩固和延伸通过图形展示数学知识，并结合具体的例子进行讲解，可以帮助学生巩固和延伸数学知识。
数形结合思想在初中数学教学中的运用研究
数形结合思想在初中数学教学中的运用研
究
对于初中数学来说，函数和几何结合思想有着重要的作用。
它能
够将几何图形与数学关系统一起，更好地研究几何与函数之间的关系，由此延伸出更加杂乱的数学问题，扩大学生的思维空间。
首先，使用函数与几何结合思想来解决初中数学问题，将有助于
提高学生对数学思想的理解和掌握。
例如，学生可以从几何图形上更
清楚地体验到函数的相关概念，理解函数的表示方法，从而做出正确
的完善的数学分析和抽象思维。
其次，结合函数和几何思想，可以探
索一些比较复杂的问题，进一步拓宽学生的思维空间。
例如，如何将
几何图形表示为函数形式？如何从函数形式绘出几何图形？这些问题
不仅能拓展学生的数学思维，而且也能激发学生的求知欲望，促进更
深入的数学思考。
最后，结合函数和几何的思想，可以有更多的方法解决实际应用
中的问题。
把数学思想和生活中的问题联系起来，可以让学生更真实
地体验到不同的数学知识，而且可以思考出更多的数学方法来解决问题。
总之，函数与几何结合思想在初中数学教学中是很有帮助的，它不仅可以构建函数与几何两者之间的联系，而且还可以让学生更加深入系统地学习数学，强化实践能力，增强学生分析数学素养，有助于提高初中数学水平。
初中数学教学中的数形结合思想
（ ２）建立几何模 型 （ 或函数图象 ）解决有关方程 和函数的何综合性问题 ； （ ４） 以 图象形式 呈现 信息的应用性 问题 。采用数形结 合思想 解决 问题 的关键是找准数与形的契合点。如果 能将 数与形巧妙地 结 合起 来 ，有效 地相互转 化 ，一些看 似无法人手 的 问题 就会迎 刃而 解 ，产生事半功倍 的效果。 数形 结合 的思想方法 ，不象一般数学 知识那样 ，通过几节课 的 教学就可 掌握 。它根据 学生的年 龄特征，学生在学 习的各 阶段的认 识水 平 和知识特 点 ，逐 步渗透 ，螺旋上升 ，不断 的丰 富 自身 的内 涵。 教学 中可 以从 以下几个方面 ，让学生在数学学 习过程中 ，通过 类 比、观察 、分析 、综合 、抽象 和概 括，形成对数形结合思想 的的 主动 应 用 。 渗透数形结合 的思想 。养成用数形结合分析问题的意识 每个学生在 日常生活中都具 有一定 的图形知识 ， 如 绳子 和绳子 上的结 、刻度 尺与 它上 面的刻度 ，温度计与其上面 的温度 ，我们每 天走过 的路线可 以看作是一 条直线 ，教室里每个学生 的坐位等等 ， 我们利用学生 的这一认识基 础，把生 活中的形与数相结合迁移到数 学中来 ，在教学 中进行数学数形结合思想 的渗透 ，挖掘教材提供 的 机会 ，把握渗透的契机 。如数与数轴 ，一对有序实数与平面直角坐 标系 ，一元一次不等式 的解集与一次 函数 的图象 ，二元一次方程组 的解与一次 函数图象之 间的关系等 ，都是渗透数形结合思想 的很好 机会。 例１ ：绝对值大于２ 小于６ 的整数有 哪些？
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初中数学中的数形结合
思想
集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
浅谈初中数学中的数形结合思想在解决初中数学问题过程中，运用数形结合的思想，根据问题的具体情形，把图形性质问题转化成数量关系来研究。
或者把数量关系问题转化成图形性质来研究，以便以“数”助“形”或以“形”助“数”，使问题简单化、具体化，促进“数”与“形”的相互渗透，这种转换不但能提高教学质量，同时也能有效地培养学生思维素质，所以“数形结合”是初中数学的重要思想，也是学好初中数学的关键所在。
数形结合在数学教学中对学生能力的培养是非常重要的，而对一个学生数学能力的培养主要包括使学生形成运算能力和利用数学思想方法解题的能力。
数学思想是对数学知识的更高层次的概括和提炼，是培养学生数学能力的最重要的环节。
数形结合的思想是初中数学学习中一个重要的数学思想，它贯穿了数学教学的始终。
本文就数形结合的思想谈一点自己的认识。
数形结合的思想就是根据数（量）与形（图）的对应关系，把数与形结合起来进行分析研究把抽象的数学语言与直观的图形结合起来；使复杂的问题简单化抽象的问题具体化；通过图形的描述代数的论证来研究和解决数学问题的一种思想方法。
数形结合的思想在初中数学中的应用主要体现在一下两个方面。
一、有数思形数形结合，用形来解决数的问题和解决一些运算公式；把代数关系（数量关系）与几何图形的直观形象有机的结合起来，使抽象的问题形象化复杂的问题简单化。
如1.利用数轴来讲解绝对值的概念、相反数的概念、有理数的加、减、乘、除运算等。
2.用几何图形来推导平方差、平方和、完全平方公式以及多边形外角和定理。
3.用函数的图像解决函数的最值问题、值域问题。
4.用图形比较不等式的大小问题。
解这种类型题的关键是根据数（量）结构特征构造出相应的几何图形，将概念形象化，复杂计算的问题简单化。
二、由形思数数形结合。
解决这类问题的关键是运用数的精确性来阐明形的某些属性；将图形信息转化为代数信息，利用数（量）特征将图形问题转化为代数问题来解决。
这类问题在初中数学中运用的也比较多，如：
1.用数（量）表示角的大小和线段的大小，用数（量）的大小比较角的大小和线段的大小。
2．用有序实数对描述点在平面直角坐标系内的位置。
3．用方程、不等式或者函数解决几何量的问题。
4．用数来描述点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，直线与直线的位置关系。
其实在解有关的数形结合问题并不是单纯的由数思形或者有形思数的问题，一般都是综合运用题。
利用数形结合解有关的问题时要注意一下几个问题：
1. 注意数与形转化前后的一致性；
2. 要注意用数的精确性准确的去描述图形的特征；
3. 把数转化成形时要注意图形的全面形。
因为有的数学问题对应的问题不
唯一就必须根据不同的情况作出相应的图形，再进行讨论求解。
总之数形结合的思想是一种重要的数学思想，有助于把握数学问题的本质，它是数学规律性和灵活性的由机结合。
运用数形结合的思想解决数学题的关键是找准数与形的契合，与形巧妙的结合起来，根据不同的问题相互转化，使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化；利用数形结合的思想解决有关的问题不仅可以增强解决问题的灵活性，还可以提高分析问题和解决问题的效率，从而在解题中可以产生事半功倍的效果；同时也利于学生理解和接受。
数形结合的思想方法，不象一般的数学知识那样，学生易于理解和接受，通过几节课的讲解学生就可以掌握。
在初中数学教学中应该通过以下几个方面培养学生利用数形结合的思想方法解题的能力。
1．根据学生的年龄特点在学习的不同的阶段的认识水平和知识特点，采采取循序渐进，由易到难逐步深入不断提高学生的认识水平和解题能力。
2．选择典型的例题进行讲解并指导学生进行有真对性的练习。
让学生通过解题明白用数形结合解决有关的问题可以避免复杂的运算和推理大大的简化了解题的过程；使学生从感性认识到理性的认识在实践中得到锻炼。
使其在解决问题的同时感到自身的成就感，从而激发其学习的
兴趣。
使学生能够体会到用数形结合解决有关问题的简便性，从而使其养成自觉的用数形结合的思想解决有关的问题习惯。
3．结合生活中的实际问题和探索规律，反复讲解渗透，强化数学中的数形结合的思想，培养学生在数学学习中的数形结合的意思。
并使学生在运用数形思想解题时弄清楚是有数思形还是有形思数的问题，加深其对问题的理解。
在探索规律的过程中让学生明白应该遵循有特殊到一般的思路从而得出一般性的结论。
4．利用数形结合的思想解决问题时，使学生明白所谓数形结合就是找准对象的属性，根据问题特点，将数和形巧妙的结合起来，有效的相互转化，是解决问题的关键。
5．任何一种解题的思想方法都不是孤立的，在教学中还应根据具体的问题利用现有的教材注意几种思想方法的综合运用。
同时要充分发挥学生在学习中的主观能动性，因势利导会收到很好的教学效果。
浅谈初中数学中的数形结合思想
濉溪县四铺中心学校任飞。