2020-2021中考数学 圆的综合 综合题附答案
2020-2021中考数学 圆的综合 综合题附答案
一、圆的综合
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC内切圆的圆心，连接AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D；连接BD，过点D作直线DM，使∠BDM=∠DAC．
（1）求证：直线DM是⊙O的切线；
（2）若DF=2，且AF=4，求BD和DE的长．
【答案】（1）证明见解析（2）23
【解析】
【分析】
（1）根据垂径定理的推论即可得到OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可判定BC∥DM，进而得到OD⊥DM，据此可得直线DM是⊙O的切线；
（2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出DB=DE，再判定△DBF∽△DAB，即可得到DB2=DF•DA，据此解答即可．
【详解】
（1）如图所示，连接OD．
∵点E是△ABC的内心，∴∠BAD=∠CAD，∴¶¶BDCD，∴OD⊥BC．
又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC，∴∠BDM=∠DBC，∴BC∥DM，∴OD⊥DM．
又∵OD为⊙O半径，∴直线DM是⊙O的切线．
（2）连接BE．∵E为内心，∴∠ABE=∠CBE．
∵∠BAD=∠CAD，∠DBC=∠CAD，∴∠BAD=∠DBC，∴∠BAE+∠ABE=∠CBE+∠DBC，即∠BED=∠DBE，∴BD=DE．
又∵∠BDF=∠ADB（公共角），∴△DBF∽△DAB，∴DFDBDBDA，即DB2=DF•DA．
∵DF=2，AF=4，∴DA=DF+AF=6，∴DB2=DF•DA=12，∴DB=DE=23．
【点睛】 本题主要考查了三角形的内心与外心，圆周角定理以及垂径定理的综合应用，解题时注意：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧；三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．
2．不用圆规、三角板，只用没有刻度的直尺，用连线的方法在图1、2中分别过圆外一点A作出直径BC所在射线的垂线．
【答案】画图见解析.
【解析】
【分析】根据直角所对的圆周角是直角，构造直角三角形，利用直角三角形性质可画出垂线；或结合圆的轴对称性质也可以求出垂线.
【详解】解：画图如下：
【点睛】本题考核知识点：作垂线.解题关键点：结合圆的性质和直角三角形性质求出垂线.
3．如图，⊙M与菱形ABCD在平面直角坐标系中，点M的坐标为（3，﹣1），点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（﹣3，0），点C在x轴上，且点D在点A的左侧．
（1）求菱形ABCD的周长；
（2）若⊙M沿x轴向右以每秒2个单位长度的速度平移，同时菱形ABCD沿x轴向右以每秒3个单位长度的速度平移，设菱形移动的时间为t（秒），当⊙M与BC相切，且切点为BC的中点时，连接BD，求：
①t的值；
②∠MBD的度数；
（3）在（2）的条件下，当点M与BD所在的直线的距离为1时，求t的值．
【答案】（1）8；（2）①7；②105°；（3）t=6﹣3或6+33．
【解析】
分析：（1）根据勾股定理求菱形的边长为2，所以可得周长为8；
（2）①如图2，先根据坐标求EF的长，由EE'﹣FE'=EF=7，列式得：3t﹣2t=7，可得t的值；
②先求∠EBA=60°，则∠FBA=120°，再得∠MBF=45°，相加可得：∠MBD=∠MBF+∠FBD=45°+60°=105°；
（3）分两种情况讨论：作出距离MN和ME，第一种情况：如图5由距离为1可知：BD为⊙M的切线，由BC是⊙M的切线，得∠MBE=30°，列式为3t+3=2t+6，解出即可；
第二种情况：如图6，同理可得t的值．
详解：（1）如图1，过A作AE⊥BC于E．
∵点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（﹣3，0），∴AE=3，BE=3﹣2=1，∴AB=22AEBE=2231（）=2．
∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=2，∴菱形ABCD的周长=2×4=8；
（2）①如图2，⊙M与x轴的切点为F，BC的中点为E．
∵M（3，﹣1），∴F（3，0）．
∵BC=2，且E为BC的中点，∴E（﹣4，0），∴EF=7，即EE'﹣FE'=EF，∴3t﹣2t=7，t=7；
②由（1）可知：BE=1，AE=3，
∴tan∠EBA=AEBE=31=3，∴∠EBA=60°，如图4，∴∠FBA=120°．
∵四边形ABCD是菱形，∴∠FBD=12∠FBA=11202=60°．
∵BC是⊙M的切线，∴MF⊥BC．
∵F是BC的中点，∴BF=MF=1，∴△BFM是等腰直角三角形，
∴∠MBF=45°，∴∠MBD=∠MBF+∠FBD=45°+60°=105°；
（3）连接BM，过M作MN⊥BD，垂足为N，作ME⊥BC于E，分两种情况：
第一种情况：如图5．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴∠CBD=60°，∴∠NBE=60°．
∵点M与BD所在的直线的距离为1，∴MN=1，∴BD为⊙M的切线．
∵BC是⊙M的切线，∴∠MBE=30°． ∵ME=1，∴EB=3，∴3t+3=2t+6，t=6﹣3；
第二种情况：如图6．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴∠DBC=60°，∴∠NBE=120°．
∵点M与BD所在的直线的距离为1，∴MN=1，∴BD为⊙M的切线．
∵BC是⊙M的切线，∴∠MBE=60°．
∵ME=MN=1，∴Rt△BEM中，tan60°=MEBE，EB=160tan=33，
∴3t=2t+6+33，t=6+33；
综上所述：当点M与BD所在的直线的距离为1时，t=6﹣3或6+33．
点睛：本题是四边形和圆的综合题，考查了菱形的性质、圆的切线的性质和判定、特殊的三角函数值、等腰直角三角形的性质、动点运动问题，此类问题比较复杂，弄清动点运动方向、速度、时间和路程的关系，并与方程相结合，找等量关系，求出时间t的值．
4．如图，A是以BC为直径的⊙O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作⊙O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．
（1）求证：BF=EF： （2）求证：PA是⊙O的切线；
（3）若FG=BF，且⊙O的半径长为32，求BD的长度.
【答案】(1)证明见解析；(2) 证明见解析；（3）22
【解析】
分析：（1）利用平行线截三角形得相似三角形，得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC，得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF=EF；
（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到∠FAO=∠EBO，结合BE是圆的切线，得到PA⊥OA，从而得到PA是圆O的切线；
（3）点F作FH⊥AD于点H，根据前两问的结论，利用三角形的相似性质即可以求出BD的长度．
详解：证明：(1)∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，
∴EB⊥BC.
又∵AD⊥BC，
∴AD∥BE.
∴△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC，
∴BFDG=CFCG，EFAG=CFCG，
∴BFDG=EFAG，
∵G是AD的中点，
∴DG=AG，
∴BF=EF；
(2)连接AO，AB.
∵BC是圆O的直径，
∴∠BAC=90°，
由(1)得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，
∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB， 又∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO，
∵BE是圆O的切线，
∴∠EBO=90°，
∴∠FBA+∠ABO=90°，
∴∠FAB+∠BAO=90°，
即∠FAO=90°，
∴PA⊥OA，
∴PA是圆O的切线；
（3）过点F作FH⊥AD于点H，
∵BD⊥AD，FH⊥AD，
∴FH∥BC，
由(2)，知∠FBA=∠BAF，
∴BF=AF.
∵BF=FG，
∴AF=FG，
∴△AFG是等腰三角形.
∵FH⊥AD，
∴AH=GH，
∵DG=AG，
∴DG=2HG.
即12HGDG，
∵FH∥BD，BF∥AD，∠FBD=90°，
∴四边形BDHF是矩形，
∴BD=FH，
∵FH∥BC
∴△HFG∽△DCG，
∴12FHHGCDDG，
即12BDCD， ∴232.153，
∵O的半径长为32，
∴BC=62，
∴BD=13BC＝22.
点睛：本题考查了切线的判定、勾股定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质.结合已知条件准确对图形进行分析并应用相应的图形性质是解题的关键.
5．如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥BC,垂足为H，连接OB．
(1)如图1,求证:∠DAC=∠ABO;
(2)如图2,在弧AC上取点F,使∠CAF=∠BAD,在弧AB取点G，使AG∥OB，若∠BAC=600，
求证:GF=GD;
(3)如图3,在(2)的条件下,AF、BC的延长线相交于点E,若AF：FE=1:9，求sin∠ADG的值。
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）1114.
【解析】
试题分析：（1）延长BO交⊙O于点Q，连接AQ．由圆周角定理可得：∠AQB=∠ACB，再由等角的余角相等即可得出结论；
（2）证明△DFG是等边三角形即可；
（3）延长GA，作FQ⊥AG，垂足为Q，作ON⊥AD，垂足为N，作OM⊥BC，垂足为M，延长AO交⊙O于点R，连接GR．作DP⊥AG，DK⊥AE，垂足为P、K．设AF=k，则FE=9k，AE=10k．在△AHE中， AH=5k．设NH=x，则AN=5k-x， AD=10k-2x．在△AQF中，
AF=k，AQ=2k，FQ=32k．由(2)知：△GDF是等边三角形，得到GD=GF=DF，进而得到AG=9k-2x．
OM=NH=x，BC=23x， GF=BC=23x．在△GQF中，GQ=AG+AQ=192k-2x，QF=32k，GF=23x，由勾股定理解出74xk，得到AG=9k-2x=112k，AR=2OB=4OM=4x=7k．在△GAR中，由sin∠ADG=sin∠R即可得出结论．
2020--2021学年中考数学一轮复习专项练习圆的三大定理：垂径定理(含答案)
1 / 20 一轮复习专项练习圆的三大定理：垂径定理
一．选择题
1．如图所示，在半径为10cm的⊙O中，弦AB＝16cm，OC⊥AB于点C，则OC等于（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
2．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝2，以A为圆心AB为半径作圆A，延长BC交圆A于点D，则CD长为（ ）
A．5 B．4 C． D．2
3．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（ ）
A． B．3 C．3 D．4
4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE＝CD＝8，∠BAC＝∠BOD，则⊙O的半径为（ ） 2 / 20
A．4 B．5 C．4 D．3
5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD＝8，OP＝3，则⊙O的半径为（ ）
A．10 B．8 C．5 D．3
6．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，CD＝2，则EC的长为（ ）
A．2 B．8 C．2 D．2
7．如图，将⊙O沿着弦AB翻折，劣弧恰好经过圆心O．如果半径为4，那么⊙O的弦AB长度为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
8．如图，点C是半圆O的中点，AB是直径，CF⊥弦AD于点E，交AB于点F，若CE＝1，EF＝，则BF的长为（ ） 3 / 20
A． B．1 C． D．
9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，DE∥CB．若AB＝10，CD＝6，则DE的长为（ ）
A． B． C．6 D．
10．如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC，BC为边向外作正方形ACDE，BCFG，DE，FG，AC，BC的中点分别是M，N，PQ若MP+NQ＝12，AC+BC＝18，则AB的长为（ ）
A．9 B． C．11 D．15
中考数学 圆的综合综合试题附答案解析
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，在ABC中，90ACB，BAC的平分线AD交BC于点D，过点D作DEAD交AB于点E，以AE为直径作O．
1求证：BC是O的切线；
2若3AC，4BC，求tanEDB的值．
【答案】（1）见解析；（2）1tan2EDB．
【解析】
【分析】
1连接OD，如图，先证明OD//AC，再利用ACBC得到ODBC，然后根据切线的判定定理得到结论；
2先利用勾股定理计算出AB5，设O的半径为r，则OAODr，OB5r，再证明BDO∽BCA，利用相似比得到r：35r：5，解得15r8，接着利用勾股定理计算5BD2，则3CD2，利用正切定理得1tan12，然后证明1EDB，从而得到tanEDB的值．
【详解】
1证明：连接OD，如图，
AD平分BAC，
12，
OAOD，
23，
13， //ODAC，
ACBC，
ODBC，
BC是O的切线；
2解：在RtACB中，22345AB，
设O的半径为r，则OAODr，5OBr，
//ODAC，
BDO∽BCA，
OD：ACBO：BA，
即r：35r：5，解得158r，
158OD，258OB，
在RtODB中，2252BDOBOD，
32CDBCBD，
在RtACD中，312tan132CDAC，
AE为直径，
90ADE，
90EDBADC，
190ADC，
1EDB，
1tan2EDB．
【点睛】
本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径.判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；也考查了圆周角定理和解直角三角形．
备战中考数学圆的综合综合题含详细答案
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．（1）如图1，在矩形ABCD中，点O在边AB上，∠AOC=∠BOD，求证：AO=OB；
（2）如图2，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，OP与⊙O相交于点C，连接CB，∠OPA=40°，求∠ABC的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）25°.
【解析】
试题分析： （1）根据等量代换可求得∠AOD=∠BOC，根据矩形的对边相等，每个角都是直角，可知∠A=∠B=90°，AD=BC，根据三角形全等的判定AAS证得△AOD≌△BOC，从而得证结论．
（2）利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠POA的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC的度数．
试题解析：（1）∵∠AOC=∠BOD
∴∠AOC -∠COD=∠BOD-∠COD
即∠AOD=∠BOC
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠B=90°，AD=BC
∴AODBOC
∴AO=OB
（2）解：∵AB是O的直径，PA与O相切于点A，
∴PA⊥AB，
∴∠A=90°.
又∵∠OPA=40°，
∴∠AOP=50°，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB.
又∵∠AOP=∠B+∠OCB，
∴1252BOCBAOP.
2．如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB=CD．
(1)如图(1),求证:AD∥BC；
(2)如图(2),点F是AC的中点,弦DG∥AB,交BC于点E,交AC于点M,求证:AE=2DF；
(3)在(2)的条件下,若DG平分∠ADC,GE=53,tan∠ADF=43,求⊙O的半径。
【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）129
【解析】
试题分析：(1)连接AC．由弦相等得到弧相等，进一步得到圆周角相等，即可得出结论．
（2）延长AD到N，使DN=AD，连接NC．得到四边形ABED是平行四边形，从而有AD=BE，DN=BE．由圆内接四边形的性质得到∠NDC=∠B．即可证明ΔABE≌ΔCND，得到AE=CN，再由三角形中位线的性质即可得出结论．
备战中考数学专题复习分类练习 圆的综合综合解答题附答案
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，在⊙O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有点E，且EF=ED．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若tanA=12，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；
（3）在（2）的条件下，若OF=1，求圆O的半径．
【答案】（1）答案见解析；（2）AB=3BE；（3）3．
【解析】
试题分析：（1）先判断出∠OCF+∠CFO=90°，再判断出∠OCF=∠ODF，即可得出结论；
（2）先判断出∠BDE=∠A，进而得出△EBD∽△EDA，得出AE=2DE，DE=2BE，即可得出结论；
（3）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=32x，进而得出OE=1+2x，最后用勾股定理即可得出结论．
试题解析：（1）证明：连结OD，如图．∵EF=ED，∴∠EFD=∠EDF．∵∠EFD=∠CFO，∴∠CFO=∠EDF．∵OC⊥OF，∴∠OCF+∠CFO=90°．∵OC=OD，∴∠OCF=∠ODF，∴∠ODC+∠EDF=90°，即∠ODE=90°，∴OD⊥DE．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；
（2）线段AB、BE之间的数量关系为：AB=3BE．证明如下：
∵AB为⊙O直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADO=∠BDE．∵OA=OD，∴∠ADO=∠A，∴∠BDE=∠A，而∠BED=∠DEA，∴△EBD∽△EDA，∴DEBEBDAEDEAD．∵Rt△ABD中，tanA=BDAD=12，∴DEBEAEDE=12，
∴AE=2DE，DE=2BE，∴AE=4BE，∴AB=3BE；
（3）设BE=x，则DE=EF=2x，AB=3x，半径OD=32x．∵OF=1，∴OE=1+2x．
在Rt△ODE中，由勾股定理可得：（32x）2+（2x）2=（1+2x）2，∴x=﹣29（舍）或x=2，∴圆O的半径为3．
点睛：本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，判断出△EBD∽△EDA是解答本题的关键．
【2021中考数学分类训练】圆含答案
1 2021年中考真题汇编—圆
一．选择题（共32小题）
1．（2020•日照）如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的弦，AB⊥CD于点E，若CD＝6，AE＝9，则阴影部分的面积为（ ）
A．6π﹣ B．12π﹣9 C．3π﹣ D．9
2．（2020•阜新）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OAiBi∁iDiEi，则正六边形OAiBi∁iDiEi（i＝2020）的顶点∁i的坐标是（ ）
A．（1，﹣） B．（1，） C．（1，﹣2） D．（2，1）
3．（2020•永州）如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法：
①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．
其中正确说法的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2020•吉林）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的大小为（ ）
2
A．54° B．62° C．72° D．82°
5．（2020•海南）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD＝36°，则∠ABD等于（ ）
A．54° B．56° C．64° D．66°
6．（2020•十堰）如图，点A，B，C，D在⊙O上，OA⊥BC，垂足为E．若∠ADC＝30°，AE＝1，则BC＝（ ）
A．2 B．4 C． D．2
7．（2020•广州）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，则水的最大深度为（ ）
A．8cm B．10cm C．16cm D．20cm
8．（2020•青岛）如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，AC交BD于点G．若∠COD＝126°，则∠AGB的度数为（ ）
3
A．99° B．108° C．110° D．117°
2021年中考数学专题复习：圆的综合题
2021年中考数学专题复习：圆的综合题
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB过点A（﹣3，0），B（0，3），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（ ）
A． B．2 C．3 D．
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，⊙O的半径为3cm，则CD弦长为（ ）
A．cm B．cm C．3cm D．6cm
3．如图，从一圆形纸片上剪出一个半径为R，圆心角为90°的扇形和一半径为r的圆，使之恰好围成如图所示的圆锥，则R与r的关系为（ ）
A．R＝2r B．R＝4r C．R＝2r D．R＝6r
4．如图，已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD平分∠ABC，DH⊥AB于点H，DH＝，∠ABC＝120°，则AB+BC的值为（ ）
A． B． C．2 D．
5．如图，⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，点P在优弧（）上，若∠BAC＝66°，则∠EPF等于（ ）
A．66° B．77° C．84° D．57°
6．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝90°，则∠BCD的度数是（ ）
A．45° B．90° C．135° D．150°
7．如图，△ABC内接于半径为的半⊙O，AB为直径，点M是的中点，连结BM交AC于点E，AD平分∠CAB交BM于点D，且D为BM的中点，则BC的长为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝4，点P在以斜边AC为直径的圆上，M为PB的中点，当点P沿圆从点A开始运动一周，则CM的最小值是（ ）
A．2﹣2 B．2+2 C．2 D．2+2
9．如图，AB是圆O的直径，点C是半圆O上不同于A，B的一点，点D为弧AC的中点，连结OD，BD，AC，设∠CAB＝β，∠BDO＝α，则（ ）
A．α＝β B．α+2β＝90° C．2α+β＝90° D．α+β＝45°
中考数学专题复习圆与相似的综合题及答案
中考数学专题复习圆与相似的综合题及答案
一、相似
1．如图所示， △ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AC，△CDE 沿直线 BC翻折 到△ CDF，连结 AF交 BE、DE、DC分别于点 G、H、I．
1）求证： AF⊥ BE；
2）求证： AD=3DI．
答案】 （1）证明： ∵在△ ABC中， AB=AC， ∠ BAC=90°， D 是 BC的中点，
∴AD=BD=CD，∠ACB=45，°
∵在△ ADC中， AD=DC，DE⊥AC， ∴AE=CE，
∵△ CDE沿直线 BC翻折到 △CDF， ∴△ CDE≌ △CDF，
∴CF=CE， ∠ DCF=∠ACB=45 ，° ∴CF=AE，∠ACF=∠DCF+∠ACB=90 ，°
在△ ABE与△ACF中，
∴△ ABE≌ △ ACF（SAS），
∴∠ ABE=∠FAC，
∵∠ BAG+∠ CAF=90 ，°
∴∠ BAG+∠ ABE=90 ，°
∴∠ AGB=90 ，°
∴AF⊥BE
2）证明：作 IC的中点 M，连接 EM，由（ 1）∠DEC=∠ECF=∠ CFD=90° ∴四边形 DECF是正方形，
∴EC∥DF，EC=DF，
∴∠ EAH=∠HFD，AE=DF， 在△ AEH与△FDH中
∴△ AEH≌△FDH（AAS），
∴EH=DH，
∵∠ BAG+∠ CAF=90 ，°
∴∠ BAG+∠ ABE=90 ，°
∴∠ AGB=90 ，°
∴AF⊥BE，
∵M 是 IC的中点， E 是 AC的中点，
∴EM∥AI，
∴DI=IM，
∴CD=DI+IM+MC=3DI，
∴AD=3DI
【解析】 【分析】（ 1）根据翻折的性质和 SAS 证明 △ABE≌△ACF，利用全等三角形的性 质得出 ∠ABE=∠FAC，再证明 ∠AGB=9°0 ，可证得结论。
（2）作 IC 的中点 M ，结合正方形的性质，可证得 ∠EAH=∠HFD，AE=DF，利用
数学《圆与相似三角形、三角函数综合题》专题训练(含答案)
1 2020-2021学年中考数学培优训练讲义（七）
《圆与相似三角形、三角函数综合题》专题训练
班级
姓名 座号 成绩
1.如图，过正方形ABCD顶点B，C的⊙O与AD相切于点P，与AB，CD分别相交于点E、F，连接PF．
若tan∠FBC＝，DF＝，则PF的长为 ．
2.如图AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且＝，CE的延长线交DB的延长线于F，AF交⊙O于点H，当OB＝2时，则BH的长为 ．
（第1题图） （第2题图） （第3题图）
3.如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC、PB， 若cos∠PAB＝，BC＝1，则PO的长 ．
4.已知：在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交BC于点E．
（1）如下左图，过点D作弦DF⊥AB垂足为H，连接EF交AB于G，求证：EF∥AC；
（2）如下右图，在（1）的条件下，过点G作GN⊥BC垂足为N，若OG＝3，EN＝4，求线段DH的长．
2 5. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，G为⊙O上一点，连接AG交CD于K，在CD的延长线
上取一点E，使EG＝EK，EG的延长线交AB的延长线于F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）连接DG，若AC∥EF时．①求证：KG2＝KD•KE； ②若cosC＝，AK＝，求BF的长．
作业思考：1. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，且对角线AC⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥AB于
2020年九年级中考数学考前专项练习：圆的压轴综合题
圆的压轴综合题
1．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．点P是劣弧上任一点（不与点A，D重合），CP交AB于点M，AP与CD的延长相交于点F．
（1）设∠CPF＝α，∠BDC＝β，求证：α＝β+90°；
（2）若OE＝BE，设tan∠AFC＝x，．①求∠APC的度数；
②求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围．
2．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D．
（1）求证：∠APO＝∠CPO；
（2）若⊙O的半径为3，OP＝6，∠C＝30°，求PC的长．
3．如图所示AB是⊙O的直径，圆心为点O，点C为⊙O上一点，OM⊥AB于点O交AC于点D，MC＝MD,求证：MC为⊙O的切线．
4．如图1，以BC为直径的半圆O上有一动点F，点E为弧CF的中点，连接BE、FC相交于点M，延长CF到A点，使得AB＝AM，连接AB、CE．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）如图2，连接BF，若AF＝FM，求的值；
（3）如图3．若tan∠ACB＝，BM＝10．求EC的长．
5．如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为⊙O上一点，连接CE并延长交AB于点F，连接ED．
（1）若BC是⊙O的切线，求证：∠B+∠FED＝90°；
（2）若FC＝6，DE＝3，FD＝2．求⊙O的直径．
6．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E是线段AB上的一个动点，经过A，D，E三点的⊙O交线段AC于点K，交线段CD于点H，连接DE交线段AC于点F．
（1）求证：AE＝DH；
（2）连结DK，当DE平分∠ADK时，求线段DE的长；
（3）连结HK，KE，在点E的运动过程中，
①当线段DH，HK，KE中满足某两条线段相等，求所有满足条件的AE的长．
②当DA＝AE时，连结OA，记△AOF的面积为S1，△EFK的面积为S2，求的值．（请直接写出答案）
中考数学专题训练---圆的综合的综合题分类附答案
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，AB，BC分别是⊙O的直径和弦，点D为BC上一点，弦DE交⊙O于点E，交AB于点F，交BC于点G，过点C的切线交ED的延长线于H，且HC=HG，连接BH，交⊙O于点M，连接MD，ME．
求证：
（1）DE⊥AB；
（2）∠HMD=∠MHE+∠MEH．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
分析：（1）连接OC，根据等边对等角和切线的性质，证明∠BFG=∠OCH=90°即可；
（2）连接BE，根据垂径定理和圆内接四边形的性质，得出∠HMD=∠BME，再根据三角形的外角的性质证明∠HMD=∠DEB=∠EMB即可．
详解：证明：（1）连接OC，
∵HC=HG，
∴∠HCG=∠HGC；
∵HC切⊙O于C点，
∴∠OCB+∠HCG=90°；
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠HGC=∠BGF，
∴∠OBC+∠BGF=90°，
∴∠BFG=90°，即DE⊥AB；
（2）连接BE，
由（1）知DE⊥AB，
∵AB是⊙O的直径，
∴，
∴∠BED=∠BME；
∵四边形BMDE内接于⊙O，
∴∠HMD=∠BED，
∴∠HMD=∠BME； ∵∠BME是△HEM的外角，
∴∠BME=∠MHE+∠MEH，
∴∠HMD=∠MHE+∠MEH．
点睛：此题综合性较强，主要考查了切线的性质、三角形的内角和外角的性质、等腰三角形的性质、内接四边形的性质．
2．如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥BC,垂足为H，连接OB．
(1)如图1,求证:∠DAC=∠ABO;
(2)如图2,在弧AC上取点F,使∠CAF=∠BAD,在弧AB取点G，使AG∥OB，若∠BAC=600，
求证:GF=GD;
(3)如图3,在(2)的条件下,AF、BC的延长线相交于点E,若AF：FE=1:9，求sin∠ADG的值。
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）1114.