专题2.1 整式的乘除章末重难点突破训练卷(北师大版)(原卷版)
专题 整式的乘除章末重难点题型(举一反三)(北师大版)
专题 整式的乘除章末重难点题型【北师大版】【考点1 幂的基本运算】【方法点拨】同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=•（n m ,都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积。
同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m同底数幂相除，底数不变，指数相减。
【例1】（2019•黔东南州期中）下列运算正确的是（ ）A ．x 2+x 3＝x 5B ．（﹣2a 2）3＝﹣8a 6C ．x 2•x 3＝x 6D ．x 6÷x 2＝x 3【变式1-1】（2019•蜀山区期中）下列运算中，正确的是（）A．3x3•2x2＝6x6B．（﹣x2y）2＝x4yC．（2x2）3＝6x6D．x5÷x＝2x4【变式1-2】（2019•淄博期中）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（﹣a2）3＝﹣a5C．a10÷a9＝a（a≠0）D．（﹣bc）4÷（﹣bc）2＝﹣b2c2【变式1-3】（2019春•成安县期中）下列运算正确的是（）A．（﹣2ab）•（﹣3ab）3＝﹣54a4b4B．5x2•（3x3）2＝15x12C．（﹣0.16）•（﹣10b2）3＝﹣b7D．（2×10n）（×10n）＝102n【考点2 因式分解的概念】【方法点拨】因式分解：（1）把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式．（2）分解因式是对多项式而言的，且分解的结果必须是整式的积的形式.（3）分解因式时，其结果要使每一个因式不能再分解为止.。
【例2】（2019春•莘县期末）下列从左到右的变形，是因式分解的是（）A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2B．（y+1）（y﹣3）＝（3﹣y）（y+1）C．4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣zy）+zD．﹣8x2+8x﹣2＝﹣2（2x﹣1）2【变式2-1】（2019春•邢台期末）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）C．（x+1）（x+3）＝x2+4x+3 D．x2+2x+1＝x（x+2）+1【变式2-2】（2019秋•西城区校级期中）下列各式从左到右的变形属于分解因式的是（）A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1B．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3xD．x2﹣1＝x（x﹣）【变式2-3】（2019春•瑶海区期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（）A．﹣1＝（+1）（﹣1）B．（a+b）2＝a2+2ab+b2C．x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2）D．ax﹣ay﹣a＝a（x﹣y）﹣1【考点3 幂的混合运算】【方法点拨】掌握幂的基本运算公式是解题的关键.【例3】（2019春•铜山区期中）计算：（1）（y2）3÷y6•y（2）y4+（y2）4÷y4﹣（﹣y2）2【变式3-1】（2019春•海陵区校级月考）计算（1）x3•x5﹣（2x4）2+x10÷x2．（2）（﹣2x2）3+（﹣3x3）2+（x2）2•x2【变式3-2】（2019秋•资中县月考）计算：（1）（m4）2+m5•m3+（﹣m）4•m4（2）x6÷x3•x2+x3•（﹣x）2．【变式3-3】（2019春•海陵区校级月考）计算（1）（﹣1）2019+（π﹣3.14）0﹣（）﹣1．（2）（﹣2x2y）3﹣（﹣2x3y）2+6x6y3+2x6y2【考点4 幂的逆向运算】【例4】（2019春•茂名期中）已知：x m＝4，x n＝8．（1）求x2m的值；（2）求x m+n的值；（3）求x3m﹣2n的值．【变式4-1】（2019春•天宁区校级期中）根据已知求值：（1）已知a m＝2，a n＝5，求a m+n的值；（2）已知32×9m×27＝321，求m的值．【变式4-2】（2019春•丹阳市期中）已知10x＝a，5x＝b，求：（1）50x的值；（2）2x的值；（3）20x的值．（结果用含a、b的代数式表示）【变式4-3】（2019春•盐都区月考）基本事实：若a m＝a n（a＞0，且a≠1，m、n都是正整数），则m＝n．试利用上述基本事实解决下面的两个问题吗？试试看，相信你一定行！①如果2×8x×16x＝222，求x的值；②如果2x+2+2x+1＝24，求x的值．【考点5 整式化简求值】【例5】（2018春•高新区校级期中）先化简，再求值：[（2x+y）2+（2x+y）（y﹣2x）﹣6y]÷2y，其中x＝﹣，y＝3．【变式5-1】（2018秋•南召县期末）先化简，再求值：当|x﹣2|+（y+1）2＝0时，求[（3x+2y）（3x﹣2y）+（2y+x）（2y﹣3x）]÷4x的值．【变式5-2】（2019春•成都校级月考）已知将（x2+nx+3）（x2﹣2x﹣m）乘开的结果不含x3和x2项．（1）求m、n的值；（2）当m、n取第（1）小题的值时，求（m﹣n）（m2+mn+n2）的值．【变式5-3】（2019春•青羊区校级期中）若的积中不含x与x3项．（1）求m、n的值；（2）求代数式（﹣2m2n）2+（3mn）﹣1+m2017n2018．【考点6 分解因式】【方法点拨】先提取公因式，然后再看是不是平方差式或者完全平方式。
专题1.1 整式的乘除章末重难点题型(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题1.1 整式的乘除章末重难点题型【北师大版】【考点1 幂的基本运算】【方法点拨】掌握幂的基本运算是解题关键．同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．a m•a n=a m+n（m，n是正整数）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（a m）n=a mn（m，n是正整数）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．（ab）n=a n b n（n是正整数）同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．a m÷a n=a m-n（a≠0，m，n是正整数，m＞n）【例1】（2020春•雨花区校级期末）下列运算正确的是（）A．a2⋅a3＝a6B．（﹣a3）2＝a6C．a9÷a3＝a3D．（﹣bc）4＝﹣b4c4【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、a2⋅a3＝a5，原式计算错误，故此选项不合题意；B、（﹣a3）2＝a6，正确；C、a9÷a3＝a6，原式计算错误，故此选项不合题意；D、（﹣bc）4＝b4c4，原式计算错误，故此选项不合题意；故选：B．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．【变式1-1】（2020秋•鹿城区校级月考）下列运算正确的是（）A．2a2+a＝3a3B．（2a2）3＝6a6C．（﹣a）3•a2＝﹣a6D．（﹣a）2÷a＝a【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法和除法求出每个式子的值，再判断即可．【解答】解：A.2a2和a不能合并，故本选项不符合题意；B．结果是8a6，故本选项不符合题意；C．结果是﹣a5，故本选项不符合题意；D．结果是a，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了合并同类项法则，幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法和除法等知识点，能求出每个式子的值是解此题的关键．【变式1-2】（2020春•顺德区期末）下列计算正确的是（）A．（3×103）2＝6×105B．36×32＝38C．（−13）4×34＝﹣1D．36÷32＝33【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：A、（3×103）2＝9×106，故此选项错误；B、36×32＝38，正确；C、（−13）4×34＝1，故此选项错误；D、36÷32＝34，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．【变式1-3】（2020春•叶集区期末）下列计算正确的是（）A．（x3）2＝x5B．x3•x5＝x15C．（﹣xy）5÷（﹣xy）2＝﹣x3y3D．x6÷x3＝x2【分析】分别根据幂的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．【解答】解：A．（x3）2＝x6，故本选项不合题意；B．x3•x5＝x8，故本选项不合题意；C．（﹣xy）5÷（﹣xy）2＝﹣x3y3，故本选项符合题意；D．x6÷x3＝x3，故本选项不合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．【考点2 幂的混合运算】【例2】（2019春•漳浦县期中）计算（1）（m﹣n）2•（n﹣m）3•（n﹣m）4（2）（b2n）3（b3）4n÷（b5）n+1（3）（a2）3﹣a3•a3+（2a3）2；（4）（﹣4a m+1）3÷[2（2a m）2•a]．【分析】（1）根据同底数幂的乘法计算即可；（2）根据幂的乘方和同底数幂的除法计算即可；（3）根据幂的乘方、同底数幂的乘法和合并同类项解答即可；（4）根据积的乘方和同底数幂的除法计算即可．【解答】解：（1）（m﹣n）2•（n﹣m）3•（n﹣m）4＝（n﹣m）2+3+4，＝（n﹣m）9；（2）（b2n）3（b3）4n÷（b5）n+1＝b6n•b12n÷b5n+5＝b6n+12n﹣5n﹣5＝b13n﹣5；（3）（a2）3﹣a3•a3+（2a3）2＝a6﹣a6+4a6＝4a6；（4）（﹣4a m+1）3÷[2（2a m）2•a]＝﹣64a3m+3÷8a2m+1＝﹣8a m+2【点评】此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：同底数幂的乘法（除法）运算法则，积的乘方及幂的乘方运算法则以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键．【变式2-1】（2019春•海陵区校级月考）计算（1）x3•x5﹣（2x4）2+x10÷x2．（2）（﹣2x2）3+（﹣3x3）2+（x2）2•x2【分析】（1）根据同底数幂的乘法和除法、积的乘方的法则计算即可；（2）根据同底数幂的乘法、积的乘方的法则计算即可．【解答】解：（1）原式＝x8﹣4x8+x8＝﹣2x8（2）原式＝﹣8x6+9x6+x6＝2x6【点评】本题考查了同底数幂的乘法和除法、积的乘方，熟记法则是解题的关键．【变式2-2】（2019秋•崇川区校级月考）计算（1）y4+（y2）4÷y4﹣（﹣y2）2（2）（x﹣y）2•（y﹣x）7•[﹣（x﹣y）3]【分析】（1）根据幂的乘方，底数不变指数相乘和同底数幂相除，底数不变指数相减进行解答，即可得出答案．（2）根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，即可得出答案【解答】解：（1）y4+（y2）4÷y4﹣（﹣y2）2＝y4+y8÷y4﹣y4＝y4+y4﹣y4＝y4；（2）（x﹣y）2•（y﹣x）7•[﹣（x﹣y）3]＝（y﹣x）2•（y﹣x）7•（y﹣x）3＝（y﹣x）12．【点评】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．【变式2-3】（2020春•安庆期中）计算：a n﹣5（a n+1b3m﹣2）2+（a n﹣1b m﹣2）3（﹣b3m+2）【分析】先利用积的乘方，去掉括号，再利用同底数幂的乘法计算，最后合并同类项即可．【解答】解：原式＝a n﹣5（a2n+2b6m﹣4）+a3n﹣3b3m﹣6（﹣b3m+2），＝a3n﹣3b6m﹣4+a3n﹣3（﹣b6m﹣4），＝a3n﹣3b6m﹣4﹣a3n﹣3b6m﹣4，＝0．【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．【考点3 巧用幂的运算进行简便运算】【例3】（2020春•宁远县期中）计算（−512）2019×（225）2020的结果是（）A．−512B．−125C．512D．﹣2020【分析】先根据积的乘方进行变形，再求出即可．【解答】解：原式＝﹣（512）2019×（125）2020＝﹣（512×125）2019×125＝﹣1×12 5=−125，故选：B．【点评】本题考查了积的乘方，能正确根据积的乘方进行计算是解此题的关键．【变式3-1】（2020春•市中区校级期中）计算：0.1252020×（﹣8）2021＝．【分析】根据积的乘方运算法则计算即可，积的乘方，等于每个因式乘方的积．【解答】解：0.1252020×（﹣8）2021＝0.1252020×82020×（﹣8）＝（0.125×8）2020×（﹣8）＝12020×（﹣8）＝1×（﹣8）＝﹣8．【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．【变式3-2】（2020春•沙坪坝区校级月考）计算82×42021×（﹣0.25）2019的值等于．【分析】根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可．【解答】解：原式＝82×42×42019×（﹣0.25）2019＝82×42×（4×﹣0.25）2019＝82×42×（﹣1）＝﹣1024．故答案为：﹣1024．【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，解决本题的关键是利用幂的乘方与积的乘方准确计算．【变式3-3】（2019春•城关区校级期中）计算：（23）2014×1.52012×（﹣1）2014 【分析】根据幂的乘方和积的乘方计算即可．【解答】解：（23）2014×1.52012×（﹣1）2014=(23×32)2012×49×1=49． 【点评】此题考查幂的乘方和积的乘方，关键是根据幂的乘方和积的乘方解答．【考点4 幂的逆运算】【例4】（2019秋•岳麓区校级月考）解答下列问题（1）已知2x ＝a ，2y ＝b ，求2x +y 的值；（2）已知3m ＝5，3n ＝2，求33m +2n +1的值；（3）若3x +4y ﹣3＝0，求27x •81y 的值．【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则计算即可；（2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可；（3）由3x +4y ﹣3＝0可得3x +4y ＝3，再据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可．【解答】解：（1）∵2x ＝a ，2y ＝b ，∴2x +y ＝2x •2y ＝ab ；（2）∵3m ＝5，3n ＝2，∴33m +2n +1＝（3m ）3•（3n ）2×3＝53×22×3＝125×4×3＝1500；（3）由3x +4y ﹣3＝0可得3x +4y ＝3，∴27x •81y＝33x •34y＝33x +4y＝33＝27．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．【变式4-1】（2020春•江阴市期中）（1）已知m+4n﹣3＝0，求2m•16n的值．（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．【分析】（1）先根据幂的乘方变形，再根据同底数幂的乘法进行计算，最后代入求出即可；（2）先根据幂的乘方法则将原式化为x2n的幂的形式然后代入进行计算即可．【解答】解：（1）∵m+4n﹣3＝0∴m+4n＝3原式＝2m•24n＝2m+4n＝23＝8．（2）原式＝（x2n）3﹣2（x2n）2，＝43﹣2×42，＝32，【点评】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法．运用整体代入法是解题的关键．【变式4-2】（2019春•邗江区校级月考）（1）若4a+3b＝3，求92a•27b．（2）已知3×9m×27m＝321，求m的值【分析】（1）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则解答即可；（2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则解答即可．【解答】解：（1）∵4a+3b＝3，∴92a•27b＝34a•33b＝33＝27；（2）∵3×9m×27m＝3×32m×33m＝31+2m+3m＝321，∴1+2m+3m＝21，解得m＝4．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．【变式4-3】（2020•河北模拟）若a m＝a n（a＞0且a≠1，m、n是正整数），则m＝n．利用上面结论解决下面的问题：（1）如果2÷8x•16x＝25，求x的值；（2）如果2x+2+2x+1＝24，求x的值；（3）若x＝5m﹣3，y＝4﹣25m，用含x的代数式表示y．【分析】（1）根据幂的乘方运算法则把8x与16x化为底数为2的幂，再根据同底数幂的乘除法法则解答即可；（2）根据同底数幂的乘法法则把2x+2+2x+1＝24变形为2x（22+2）＝24即可解答；（3）由x＝5m﹣3可得5m＝x+3，再根据幂的乘方运算法则解答即可．【解答】解：（1）2÷8x•16x＝2÷（23）x•（24）x＝2÷23x•24x＝21﹣3x+4x＝25，∴1﹣3x+4x＝5，解得x＝4；（2）∵2x+2+2x+1＝24，∴2x（22+2）＝24，∴2x＝4，∴x＝2；（3）∵x＝5m﹣3，∴5m＝x+3，∵y＝4﹣25m＝4﹣（52）m＝4﹣（5m）2＝4﹣（x+3）2，∴y＝﹣x2﹣6x﹣5．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，解题的关键是熟练利用幂的乘方与积的乘方对式子进行变形．【考点5 巧用幂的运算进行大小比较】【例5】（2020春•邗江区校级期中）若m＝272，n＝348，则m、n的大小关系正确的是（）A．m＞n B．m＜nC．m＝n D．大小关系无法确定【分析】先根据幂的乘方进行变形，再比较即可．【解答】解：m＝272＝（23）24＝824，n＝348＝（32）24＝924，∵8＜9，∴m＜n，故选：B．【点评】本题考查了幂的乘方，能正确根据幂的乘方进行变形是解此题的关键．【变式5-1】（2020春•淮阴区期中）比较255、344、433的大小（）A．255＜344＜433B．433＜344＜255C．255＜433＜344D．344＜433＜255【分析】根据幂的乘方，底数不变指数相乘都转换成指数是11的幂，再根据底数的大小进行判断即可．【解答】解：255＝（25）11＝3211，344＝（34）11＝8111，433＝（43）11＝6411，∵32＜64＜81，∴255＜433＜344．故选：C．【点评】本题考查了幂的乘方的性质，解题的关键在于都转化成以11为指数的幂的形式．【变式5-2】（2020春•玄武区期中）233、418、810的大小关系是（用＞号连接）．【分析】直接利用幂的乘方运算法则将原式变形，进而比较得出答案．【解答】解：∵233、418＝236、810＝（23）10＝230，∴236＞233＞230，∴418＞233＞810．【点评】此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．【变式5-3】（2020春•李沧区期中）阅读下列两则材料，解决问题：材料一：比较322和411的大小．解：∵411＝（22）11＝222，且3＞2∴322＞222，即322＞411小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小材料二：比较28和82的大小解：∵82＝（23）2＝26，且8＞6∴28＞26，即28＞82小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小【方法运用】（1）比较344、433、522的大小（2）比较8131、2741、961的大小（3）已知a2＝2，b3＝3，比较a、b的大小（4）比较312×510与310×512的大小【分析】（1）根据题目中的例子可以解答本题；（2）根据题目中的例子可以解答本题；（3）根据题目中的例子可以解答本题；（4）根据题目中的例子可以解答本题．【解答】解；（1）∵344＝（34）11＝8111，433＝（43）11＝6411，522＝（52）11＝2511，∵81＞64＞25，∴8111＞6411＞2511，即344＞433＞522；（2）∵8131＝（34）31＝3124，2741＝（33）41＝3123，961＝（32）61＝3122，∵124＞123＞122，∴3124＞3123＞3122，即8131＞2741＞961；（3）∵a2＝2，b3＝3，∴a6＝8，b6＝9，∵8＜9，∴a6＜b6，∴a＜b；（4）∵312×510＝（3×5）10×32，310×512＝（3×5）10×52，又∵32＜52，∴312×510＜310×512．【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法．【考点6 幂的运算中新定义问题】【例6】（2020春•漳州期末）如果x n ＝y ，那么我们规定（x ，y ）＝n ．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2．（1）[理解]根据上述规定，填空：（2，8）＝ ，（2，14）＝ ； （2）[说理]记（4，12）＝a ，（4，5）＝b ，（4，60）＝c ．试说明：a +b ＝c ；（3）[应用]若（m ，16）+（m ，5）＝（m ，t ），求t 的值．【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；（2）根据积的乘方法则，结合定义计算；（3）根据定义解答即可．【解答】解：（1）23＝8，（2，8）＝3，2−2=14，（2，14）＝﹣2， 故答案为：3；﹣2；（2）证明：∵（4，12）＝a ，（4，5）＝b ，（4，60）＝c ，∴4a ＝12，4b ＝5，4c ＝60，∴4a ×4b ＝60，∴4a ×4b ＝4c ，∴a +b ＝c ；（3）设（m ，16）＝p ，（m ，5）＝q ，（m ，t ）＝r ，∴m p ＝16，m q ＝5，m r ＝t ，∵（m ，16）+（m ，5）＝（m ，t ），∴p+q＝r，∴m p+q＝m r，∴m p•m r＝m t，即16×5＝t，∴t＝80．【点评】本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键．【变式6-1】（2020春•仪征市期中）某学习小组学习了幂的有关知识发现：根据a m＝b，知道a、m可以求b的值．如果知道a、b可以求m的值吗？他们为此进行了研究，规定：若a m＝b，那么T（a，b）＝m．例如34＝81，那么T（3，81）＝4．（1）填空：T（2，64）＝；（2）计算：T(13，27)+T(−2，16)；（3）探索T（2，3）+T（2，7）与T（2，21）的大小关系，并说明理由．【分析】（1）根据定义解答即可；（2）根据定义解答即可；（3）设T（2，3）＝m，可得2m＝3，设T（2，7）＝n，可得2n＝7，设T（2，21）＝k，可得2k＝21，再根据同底数幂的乘法法则解答即可．【解答】解：（1）∵26＝64，∴T（2，64）＝6；故答案为：6．（2）∵(13)−3=27，（﹣2）4＝16，∴T(13，27)+T(−2，16)=−3+4＝1．（3）相等．理由如下：设T（2，3）＝m，可得2m＝3，设T（2，7）＝n，根据3×7＝21得：2m•2n＝2k，可得m+n＝k，即T（2，3）+T（2，7）＝T（2，21）．【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．【变式6-2】（2020春•潍坊期中）一般地，n个相同的因数a相乘a•a•…•a，记为a n，如2×2×2＝23＝8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28＝3）．一般地，若a n＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log n b（即log n b）．如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381＝4）．（1）计算下列各对数的值：log24＝；log216＝；log264＝．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？（4）根据幂的运算法则：a n•a m＝a n+m以及对数的含义说明上述结论．【分析】（1）根据题中给出已知概念，可得出答案．（2）观察可得：三数4，16，64之间满足的关系式为：log24+log216＝log264．（3）通过分析，可知对数之和等于底不变，各项b值之积；（4）首先可设设M＝a m，N＝a n，再根据幂的运算法则：a n•a m＝a n+m以及对数的含义证明结论．【解答】解：（1）log24＝2；log216＝4；log264＝6，故答案为：2；4；6；（2）∵4×16＝64，∴log24+log216＝log264；（3）log a M+log a N＝log a MN；（4）设M＝a m，N＝a n，∵loga a m =m，loga a n=n，loga a m+n=m+n，∴loga a m +loga a n=loga a m+n，∴log a M+log a N=log a MN．【点评】本题是开放性的题目，难度较大．借考查对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．【变式6-3】（2019秋•崇川区校级月考）规定两数a，b之间的一种运算，记作【a，b】：如果a c＝b．那么【a，b】＝c例如因为23＝8．所以【2，8】＝3（1）根据上述规定，填空：【4，16】＝，【7，1】＝【，81】＝4（2）小明在研究这种运算时发现一个现象【3n，4n】＝【3，4】小明给出了如下的证明：设【3n，4n】＝x，则（3n）x＝4n，即（3x）n＝4n，所以3x＝4即【3，4】＝x所以【3n，4n】＝【3，4】请你尝试运用这种方法解决下列问题：①证明：【6，45】﹣【6，9】＝【6，5】②猜想：【（x+1）n，（y﹣1）n】+【（x+1）n，（y﹣2）n】＝【，】（结果化成最简形式）【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答；（2）①根据同底数幂的乘法法则，结合定义证明；②根据例题和①中证明的式子作为公式进行变形即可．【解答】解：（1）因为42＝16，所以【4，16】＝2．因为70＝1，所以【7，1】＝0．因为（±3）4＝81，∴【±3，18】＝4，故答案为：2；0；±3；（2）①证明：设【6，9】＝x，【6，5】＝y，则6x＝9，6y＝5，∴5×9＝45＝6x•6y＝6x+y，∴【6，45】＝x+y，则：【6，45】＝【6，9】+【6，5】，∴【6，45】﹣【6，9】＝【6，5】；②∵【3n，4n】＝【3，4】，∴【（x+1）m，（y﹣1）m】＝【（x+1），（y﹣1）】，【（x+1）n，（y﹣2）n】＝【（x+1），（y﹣2）】，∴【（x+1）m，（y﹣1）m】+【（x+1）n，（y﹣2）n】，＝【（x+1），（y﹣1）】+【（x+1），（y﹣2）】，＝【（x+1），（y﹣1）（y﹣2）】，＝【（x+1），（y2﹣3y+2）】．故答案为：x+1，y2﹣3y+2．【点评】本题考查的是新定义的理解和掌握，还考查了同底数幂的乘法以及有理数的混合运算，弄清题中的新运算是解本题的关键．【考点7 整式的乘法】【例7】（2020春•新邵县期末）在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3﹣9x2+□，“□”的地方被墨水弄污了，你认为“□”内应填写（）A．1B．﹣1C．3x D．﹣3x【分析】单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．【解答】解：﹣3x（﹣2x2+3x﹣1）＝6x3﹣9x2+3x．故选：C．【点评】考查了单项式乘多项式，单项式与多项式相乘时，应注意以下几个问题：①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；②用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；③注意确定积的符号．【变式7-1】（2019春•灌阳县期中）已知（﹣x）（2x2﹣ax﹣1）﹣2x3+3x2中不含x的二次项，则a的值是（）A．3B．2C．﹣3D．﹣2【分析】先进行单项式乘多项式，再合并得到原式＝﹣4x3+（a+3）x2+x，然后令二次项的系数为0即可得到a的值．【解答】解：（﹣x）（2x2﹣ax﹣1）﹣2x3+3x2＝﹣2x3+ax2+x﹣2x3+3x2＝﹣4x3+（a+3）x2+x，因为﹣4x3+（a+3）x2+x不含x的二次项，所以a+3＝0，所以a＝﹣3．故选：C．【点评】本题考查了单项式乘多项式：单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式；用单项式去乘多项式中的每一项时，不能漏乘；注意确定积的符号．【变式7-2】（2019春•蜀山区期中）若2x3﹣ax2﹣5x+5＝（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3，其中a，b为整数，则ab的值为（）A．2B．﹣2C．4D．﹣4【分析】将（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3进行多项式乘以多项式展开得到2x3+（a﹣2b）x2﹣（ab+1）x+（b+3）＝2x3﹣ax2﹣5x+5，对比系数即可求解；【解答】解：（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3＝2x3+（a﹣2b）x2﹣（ab+1）x+（b+3）＝2x3﹣ax2﹣5x+5，∴a﹣2b＝﹣a，ab+1＝5，b+3＝5，∴b＝2，a＝2，∴ab＝4；故选：C．【点评】本题考查多项式乘以多项式；熟练掌握多项式乘以多项式的乘法法则，利用系数相等解题．【变式7-3】（2019春•浑南区校级期中）若不管a取何值，多项式a3+2a2﹣a﹣2与（a2﹣ma+2n）（a+1）都相等，则m、n的值分别为（）A．﹣1，﹣1B．﹣1，1C．1，﹣1D．1，1【分析】根据多项式乘以多项式进行恒等计算即可．【解答】解：多项式a3+2a2﹣a﹣2与（a2﹣ma+2n）（a+1）都相等，（a2﹣ma+2n）（a+1）＝a3﹣ma2+2an+a2﹣ma+2n＝a3+（1﹣m）a2+（2n﹣m）a+2n所以1﹣m＝2，得m＝﹣1，2n﹣m＝﹣1，得n＝﹣1．或者2n＝﹣2，得n＝﹣1．故选：A．【点评】本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是理解恒等变换．【考点8 整式乘法的应用】【例8】（2020春•建邺区期末）根据需要将一块边长为x的正方形铁皮按如图的方法截去一部分后．制成的长方形铁皮（阴影部分）的面积是多少？几名同学经过讨论给出了不同的答案，其中正确的是（）①（x﹣5）（x﹣6）；②x2﹣5x﹣6（x﹣5）；③x2﹣6x﹣5x；④x2﹣6x﹣5（x﹣6）A．①②④B．①②③④C．①D．②④【分析】因为正方形的边长为x，一边截去宽5的一条，另一边截去宽6的一条，所以阴影部分长方形的长和宽分别为x﹣5与x﹣6．然后根据长方形面积计算公式进行计算．【解答】解：①由题意得：阴影部分长方形的长和宽分别为x﹣5、x﹣6，则阴影的面积＝（x﹣5）（x﹣6）＝x2﹣11x+30．故该项正确；②如图所示：阴影部分的面积＝x2﹣5x﹣6（x﹣5），故该项正确；④如图所示：阴影部分的面积＝x2﹣6x﹣5（x﹣6），故该项正确；③由④知本项错误．故选：A．【点评】本题主要考查了整式的乘除运算﹣多项式乘多项式．实际上也是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．【变式8-1】（2019秋•平山县期末）根据图1的面积可以说明多项式的乘法运算（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么根据图2的面积可以说明多项式的乘法运算是（）A．（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2B．（a+3b）（a+b）＝a2+3b2C．（b+3a）（b+a）＝b2+4ab+3a2D．（a+3b）（a﹣b）＝a2+2ab﹣3b2【分析】根据图形确定出多项式乘法算式即可．【解答】解：根据图2的面积得：（a+3b）（a+b）＝a2+4ab+3b2，故选：A．【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式8-2】（2020春•盐都区期中）如图，现有正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（a+3b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要C类卡片（）A．3张B．4张C．5张D．6张【分析】根据多项式与多项式相乘的法则求出长方形的面积，根据题意得到答案．【解答】解：∵（a+3b）（a+2b）＝a2+2ab+3ab+6b2＝a2+5ab+6b2，∴需要A类卡片1张、B类卡片6张、C类卡片5张，故选：C．【点评】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．【变式8-3】（2020春•漳州期末）如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示最大长方形面积的方法：①（2a+b）（m+n）；②2a（m+n）+b（m+n）；③m（2a+b）+n（2a+b）；④2am+2an+bm+bn．你认为其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用矩形的面积公式得到最大长方形面积为（2a+b）（m+n），然后利用多项式乘多项式对四种表示方法表示方法进行判断．【解答】解：最大长方形面积为（2a+b）（m+n）＝2a（m+n）+b（m+n）＝m（2a+b）+n（2a+b）＝2am+2an+bm+bn．故选：D．【点评】本题考查了多项式乘多项式：多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．【考点9 利用乘法公式求值】【例9】（2020春•邗江区校级期中）若x，y满足x2+y2＝8，xy＝2，求下列各式的值．（1）（x+y）2；（2）x4+y4；（3）x﹣y．【分析】（1）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；（2）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；（3）先求出（x﹣y）2的值，再根据完全平方公式求出即可．【解答】解：（1）∵x2+y2＝8，xy＝2，∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝8+2×2＝12；（2）∵x2+y2＝8，xy＝2，∴x4+y4＝（x2+y2）2﹣2x2y2＝82﹣2×22＝64﹣8＝56；（3）∵x2+y2＝8，xy＝2，∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝8﹣2×2＝4，∴x﹣y＝±2．【点评】本题考查了完全平方公式，能熟记完全平方公式的内容是解此题的关键，注意：（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2．【变式9-1】（2020春•广陵区期中）已知a+b＝2，ab＝﹣24，（1）求a2+b2的值；（2）求（a+1）（b+1）的值；（3）求（a﹣b）2的值．【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．【解答】解：（1）因为a+b＝2，ab＝﹣24，所以a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝4+2×24＝52；（2）因为a+b＝2，ab＝﹣24，所以（a+1）（b+1）＝ab+a+b+1＝﹣24+2+1＝﹣21；（3）因为a+b＝2，ab＝﹣24，所以（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝（a+b）2﹣4ab＝4+4×24＝100．【点评】本题考查完全平方公式和多项式乘多项式，解题的关键是熟练运用完全平方公式和多项式乘多项式的运算法则，本题属于基础题型．【变式9-2】（2020春•灌云县期中）已知a﹣b＝1，a2+b2＝13，求下列代数式的值：（1）ab；（2）a2﹣b2﹣8．【分析】（1）由（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab及已知条件可求得答案；（2）（a+b）2＝a2+b2+2ab及已知条件可求得a+b的值，进而得出a2﹣b2﹣8的值即可．【解答】解：（1）∵a﹣b＝1，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝1，∵a2+b2＝13，∴13﹣2ab＝1，∴ab＝6；（2）∵a2+b2＝13，ab＝6，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝13+12＝25，∴a+b＝5或﹣5，∵a2﹣b2﹣8＝（a+b）（a﹣b）﹣8，∴当a+b＝5时，（a+b）﹣8＝﹣3；当a+b＝﹣5时，（a+b）﹣8＝﹣5﹣8＝﹣13．【点评】本题考查了完全平方公式在代数式求值中的应用，熟练掌握完全平方公式并正确变形是解题的关键．【变式9-3】（2020春•新泰市期中）（1）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，求xy和x2+y2的值．（2）若a2+b2＝15，（a﹣b）2＝3，求ab和（a+b）2的值．【分析】（1）首先去括号，进而得出x2+y2的值，即可求出xy的值；（2）直接利用完全平方公式配方进而得出a，b的值，即可得出答案．【解答】解：（1）∵（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，∴x2+2xy+y2＝25①，x2﹣2xy+y2＝9②，∴①+②得：2（x2+y2）＝34，∴x2+y2＝17，∴17+2xy＝25，∴xy＝4；（2）∵（a﹣b）2＝3，∴a2﹣2ab+b2＝3，∵a2+b2＝15，∴15﹣2ab＝3，∴﹣2ab＝﹣12，∴ab＝6，∵a2+b2＝15，∴a2+2ab+b2＝15+12，∴（a+b）2＝27．【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式的形式是解题关键．【考点10 乘法公式几何背景】【例10】（2020春•新昌县期末）某同学利用若干张正方形纸片进行以下操作：（1）从边长为a的正方形纸片中减去一个边长为b的小正方形，如图1，再沿线段AB把纸片剪开，最后把剪成的两张纸片拼成如图2的等腰梯形，这一过程所揭示的公式是．（2）先剪出一个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出两张边长分别为a和b的长方形纸片，如图3，最后把剪成的四张纸片拼成如图4的正方形．这一过程你能发现什么代数公式？（3）先剪出两个边长为a的正方形纸片和一个边长为b的正方形纸片，再剪出三张边长分，别为a和b 的长方形纸片，如图5，你能否把图5中所有纸片拼成一个长方形？如果可以，请画出草图，并写出相应的等式，如果不能，请说明理由．【分析】（1）图1的面积为a 2﹣b 2，图2的面积为12（2a +2b ）（a ﹣b ）＝（a +b ）（a ﹣b ），可得等式； （2）拼图前的面积为a 2+2ab +b 2，拼图后的面积为（a +b ）2，可得等式；（3）拼图前的面积为2a 2+3ab +b 2，因此可以拼成长（2a +b ），宽为（a +b ）的长方形．【解答】解：（1）图1的面积为a 2﹣b 2，图2的面积为12（2a +2b ）（a ﹣b ）＝（a +b ）（a ﹣b ），因此有a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ），故答案为：a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）；（2）拼图前的面积为a 2+2ab +b 2，拼图后的面积为（a +b ）2，因此可得a 2+2ab +b 2＝（a +b ）2，即完全平方公式；（3）拼图前的面积为2a 2+3ab +b 2，因此可以拼成长（2a +b ），宽为（a +b ）的长方形，拼图如图所示：【点评】考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，用代数式表示图形的面积是得出公式的关键．【变式10-1】（2020春•肃州区期末）如图1，边长为a 的大正方形有一个边长为b 的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成平方差的形式）．（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 ．（写成多项式乘法形式）（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式 ．（4）请应用这个公式完成下列各题：①已知4m 2﹣n 2＝12，2m +n ＝4，则2m ﹣n ＝ ．②计算：20202﹣2018×2022．③计算：(1−122)(1−132)(1−142)⋯(1−120192)(1−120202)．【分析】（1）由面积公式可得到答案；（2）根据图形可知长方形的长是a+b，宽是a﹣b，由长方形面积公式可得到答案；（3）根据图1和图2阴影部分面积相等可得到答案；（4）①根据平方差公式，4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n），已知2m+n＝4代入即可求出答案；②可先把2018×2022化为（2020﹣2）（2020+2），再利用平方差公式计算即可得出答案；③先利用平方差公式变形，再约分即可得到答案．【解答】解：（1）大正方形面积＝a2，小正方形面积＝b2，阴影部分面积＝大正方形面积﹣小正方形面积＝a2﹣b2，故答案为：a2﹣b2；（2）由图可知，长方形的宽＝a﹣b，长方形的长＝a+b，∴长方形的面积＝（a+b）（a﹣b），故答案为，a﹣b；a+b；（a+b）（a﹣b）；（3）（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2或a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（4）①∵4m2﹣n2＝（2m+n）（2m﹣n）＝12，2m+n＝4，∴2m﹣n＝3，故答案为：3；②＝20202﹣（20202﹣4）＝20202﹣20202+4＝4；③．【点评】本题主要考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，计算具有一定的难度，属于中档题．【变式10-2】（2020春•三明期末）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．（1）请写出图1，图2，图3阴影部分的面积分别能解释的乘法公式．图1，图2，图3．（2）用4个全等的长和宽分别为a，b的长方形拼摆成一个如图4的正方形，请你通过计算阴影部分的面积，写出这三个代数式（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系．（3）根据（2）中你探索发现的结论，计算：当x+y＝3，xy＝﹣10时，求x﹣y的值．【分析】根据正方形得面积计算公式，解决问题．；【解答】解：（1）图1、S阴=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2=(a−b)(a−b)=a2−2ab+b2；图2、S阴=(a+b)(a−b)=a2−b2．图3、S阴（2）由题意可知，阴影部分的面积＝大正方形面积﹣4×小长方形面积，大正方边长为（a+b），面积为（a+b）2，小长方形长为a，宽为b，面积为ab，=(a+b)2−4ab则S阴＝a2+2ab+b2﹣4ab＝a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．（3）由（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy，∴（x﹣y）2＝32﹣4×（﹣10）＝49，∴x﹣y＝±7．【点评】本题主要考查乘法公式的应用，（1）根据题目中正方形和长方形的边长，由面积计算公公式可得出乘法．（2）根据拼图法阴影部分的面积等于大正方形面积减去4个长方形的面积，可得出结论．（3）根据（2）中结论可直接计算得出答案．【变式10-3】（2020春•东城区校级期末）如图，有足够多的边长为a的小正方形（A类）、长为a宽为b 的长方形（B类）以及边长为b的大正方形（C类），发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）取图①中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为（2a+b）（a+2b），在虛框中画出图形，并根据图形回答（2a+b）（a+2b）＝；（2）若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为a2+5ab+6b2．根据你画的长方形，可得到恒等式；（3）如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x，y表示四个相同形状的长方形的两条邻边长（x＞y），观察图案，指出以下正确的关系式（填写选项）．A．xy=m2−n24B．x+y＝m C．x2﹣y2＝mn D．x2+y2=m2+n22【分析】（1）计算（2a+b）（a+2b）的结果，可知需要A、B、C型的纸片的张数，进而画出拼图；（2）a2+5ab+6b2即用A型的1张，B型的5张，C型的6张，可以拼图，得出等式；（3）根据m、n与x、y之间的关系，利用恒等变形，可得结论．【解答】解：（1）（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2，故答案为：2a2+5ab+2b2；拼图如图所示：（2）a2+5ab+6b2即用A型的1张，B型的5张，C型的6张，可以拼成如图所示的图形，因此可得等式：a2+5ab+6b2＝（a+3b）（a+2b），故答案为：a2+5ab+6b2＝（a+3b）（a+2b）；（3）由图③可知，m＝x+y，n＝x﹣y，因此有m+n＝2x，m﹣n＝2y，mn＝（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2；m2−n24=(m+n)(m−n)4=2x⋅2y4=xy；m2+n22=(m+n)2−2mn2=4x2−2(x2−y2)2=x2+y2；故答案为：A、B、C、D．【点评】考查完全平方公式、平方差公式的几何背景，理解拼图原理是得出关系式的前提．【考点11 整式乘除的计算与化简】【例11】（2019春•淄川区期中）（1）计算：①a5•（﹣a）3+（﹣2a2）4．②−4xy3⋅(12xy)÷(xy2)2．③（﹣4x﹣3y）2．④（2a+b）（2a﹣b）+（a+2b）2（2）先化简，再求值：①(x+y)2−(x+y)(y−x)−12x(2x−y)，其中x＝﹣1，y=15．②[b （a ﹣3b ）﹣a （3a +2b ）+（3a ﹣b ）（2a ﹣3b ）]÷（﹣3a ），其中a ，b 满足2a ﹣8b ﹣6＝0．【分析】（1）①原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，合并即可得到结果；②原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘除单项式法则计算即可求出值； ③原式利用完全平方公式计算即可求出值；④原式利用平方差公式及完全平方公式计算即可求出值；（2）①原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算得到最简结果，把x 与y 的值代入计算即可求出值；②原式中括号中利用单项式乘多项式，多项式乘多项式法则计算，再利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：（1）①原式＝﹣a 8+16a 8＝15a 8；②原式＝﹣4xy 3•（12xy ）÷x 2y 4 ＝﹣2x 2y 4÷x 2y 4＝﹣2；③原式＝16x 2+24xy +9y 2；④原式＝4a 2﹣b 2+a 2+4ab +4b 2＝5a 2+4ab +3b 2；（2）①原式＝x 2+2xy +y 2﹣y 2+x 2﹣x 2+12xy＝x 2+52xy ，当x ＝﹣1，y =15时，原式＝1−12=12；②原式＝（ab ﹣3b 2﹣3a 2﹣2ab +6a 2﹣9ab ﹣2ab +3b 2）÷（﹣3a ）＝（3a 2﹣12ab ）÷（﹣3a ）＝﹣a +4b＝﹣（a ﹣4b ），由2a ﹣8b ﹣6＝0，得到a ﹣4b ＝3，则原式＝﹣3．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．【变式11-1】（2020春•郓城县期末）计算：（1）（﹣2ab）2•3b÷（−13ab2）（2）用整式乘法公式计算：912﹣88×92（3）先化简，再求值：x（x﹣4y）+（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x＝﹣2，y=−1 2．【分析】（1）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可得到结果；（2）原式变形后，利用平方差公式计算即可得到结果；（3）原式利用单项式乘以多项式，平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）原式＝4a2b2•3b÷（−13ab2）＝﹣36ab；（2）原式＝912﹣（90﹣2）×（90+2）＝912﹣902+4＝181+4＝185；（3）原式＝x2﹣4xy+4x2﹣y2﹣4x2+4xy﹣y2＝x2﹣2y2，当x＝﹣2，y=−12时，原式＝4−12=312．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【变式11-2】（2020春•竞秀区期末）计算题：（1）82019×（﹣0.125）2020（2）20202﹣2019×2021（用乘法公式进行计算）；（3）（3x﹣y）（9x2+y2）（3x+y）；（4）（a+b）（b﹣a）﹣（a﹣2b）2；（5）先化简，再求值：[（x+3y）2﹣（x+2y）（3x﹣y）﹣11y2]÷（2x），其中x＝﹣2，y＝1．【分析】（1）将原式变形为（﹣0.125）2019×82019×（﹣0.125），再逆用积的乘方变形、计算可得；（2）原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值；（3）原式结合后，利用平方差公式计算即可得到结果；（4）原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果；（5）原式中括号中利用完全平方公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．【解答】解：（1）82019×（﹣0.125）2020＝（﹣0.125）2019×82019×（﹣0.125）＝（﹣0.125×8）2019×（﹣0.125）＝0.125；。
2023年北师大版七年级数学下册第1章《整式的乘除》检测卷附答案解析
2023年七年级数学下册第1章《整式的乘除》检测卷(满分100分)一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.若2a=5,2b=3,则2a+b=()A.8B.2C.15D.12.计算(-x2)·(-x)4的结果是()A.x6B.x8C.-x6D.-x83.下列式子能用平方差公式计算的是()A.(2x-y)(-2x+y)B.(2x+1)(-2x-1)C.(3a+b)(3b-a)D.(-m-n)(-m+n)4.(2022江苏泰州泰兴济川中学月考)下列运算中,正确的是()A.a8÷a2=a4B.(-m)2·(-m3)=-m5C.x3+x3=x6D.(a3)3=a65.(2022江苏淮安洪泽期中)若a>0且a x=2,a y=3,则a x-y的值为()A.23B.1C.−1D.326.4a7b5c3÷(-16a3b2c)18432等于()A.aB.1C.-2D.-17.已知m-n=1,则m2-n2-2n的值为()A.1B.-1C.0D.28.如果x2-(a-1)x+9是一个完全平方式,则a的值为()A.7B.-4C.7或-5D.7或-49.若a=(π-2023)0,b=20222-2021×2023,c=-23,则a-b-c的值为()A.2021B.2022C.8D.110.从前,一位庄园主把一块长为a米,宽为b米(a>b>100)的长方形土地租给租户张老汉,第二年,他对张老汉说:“我把这块地的长增加10米,宽减少10米,继续租给你,租金不变,你也没有吃亏,你看如何?”如果这样,你觉得张老汉的租地面积会()A.变小了B.变大了C.没有变化D.无法确定二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)11.计算:−13×3101=.12.(2022广东佛山月考)已知a+b=8,ab=15,则a2+b2=.13.(2022江苏盐城滨海第一初级中学月考)已知4×16m×64m=421,则m的值为.14.已知一个三角形的面积等于8x3y2-4x2y3,一条边长等于8x2y2,则这条边上的高等于.15.调皮的弟弟把小明的作业本撕掉了一角,留下一道残缺不全的题目,如图所示,请你帮小明算出被除式等于.÷(5x)=x2-3x+6.16.【学科素养·几何直观】有两个大小不同的正方形A和B,现将A、B并列放置后构造新的正方形如图1,其阴影部分的面积为16.将B放在A的内部得到图2,其阴影部分(正方形)的面积为3,则正方形A,B的面积之和为.三、解答题(共5小题,共52分)17.(2022宁夏银川三中月考)(14分)计算:(1)4y·(-2xy2);(2)32+12−232·−12B2;(3)(2a2+5;(4)(6x3y3+4x2y2-3xy)÷(-3xy).18.(12分)计算:(1)-12+(π-3.14)0-13+(-2)3;(2)2001×1999(运用乘法公式);(3)(x+y+3)(x+y-3).19.(6分)先化简,再求值:(2x+3y)2-(2x+y)(2x-y),其中x=13,y=-1.20.(2022江苏泰州二中月考)(10分)(1)已知m+4n-3=0,求2m·16n的值;(2)已知n为正整数,且x2n=4,求(x3n)2-2(2)2的值.21.【代数推理】(2022河北保定十七中期中)(10分)阅读下列材料:利用完全平方公式,将多项式x2+bx+c 变形为(x+m)2+n的形式,然后由(x+m)2≥0就可求出多项式x2+bx+c的最小值.例题:求x2-12x+37的最小值.解:x2-12x+37=x2-2x·6+62-62+37=(x-6)2+1,∵不论x取何值,(x-6)2总是非负数,即(x-6)2≥0,∴(x-6)2+1≥1,∴当x=6时,x2-12x+37有最小值,最小值是1.根据上述材料,解答下列问题:(1)填空:x2-14x+=(x-)2;(2)将x2+10x-2变形为(x+m)2+n的形式,并求出x2+10x-2的最小值;(3)如图,第一个长方形的长和宽分别是(3a+2)和(2a+5),面积为S1,第二个长方形的长和宽分别是5a和(a+5),面积为S2,试比较S1与S2的大小,并说明理由.答案全解全析1.C当2a=5,2b=3时,2a+b=2a×2b=5×3=15,故选C.2.C(-x2)·(-x)4=-x2·x4=-x6,故选C.3.D A.原式=-(2x-y)(2x-y)=-(2x-y)2,故原式不能用平方差公式进行计算,此选项不符合题意;B.原式=-(2x+1)(2x+1)=-(2x+1)2,故原式不能用平方差公式进行计算,此选项不符合题意;C.原式=(3a+b)(-a+3b),故原式不能用平方差公式进行计算,此选项不符合题意;D.原式=(-m)2-n2=m2-n2,原式能用平方差公式进行计算,此选项符合题意.故选D.4.B a8÷a2=a6,故A选项错误;(-m)2·(-m3)=-m5,故B选项正确;x3+x3=2x3,故C选项错误;(a3)3=a9,故D选项错误.故选B.5.A a x-y=a x÷a y=2÷3=23.故选A.6.C4a7b5c3÷(-16a3b2c)18432=-14a4b3c218432=-2.故选C.7.A∵m-n=1,∴原式=(m+n)(m-n)-2n=m+n-2n=m-n=1,故选A.8.C∵x2-(a-1)x+9是一个完全平方式,∴x2-(a-1)x+9=(x+3)2或x2-(a-1)x+9=(x-3)2,∴a-1=±6,解得a=-5或a=7,故选C.9.C∵a=(π-2023)0=1,b=20222-(2022-1)×(2022+1)=20222-20222+1=1,c=-23=-8,∴a-b-c=1-1+8=8.故选C.10.A由题意可知原土地的面积为ab平方米,第二年按照庄园主的想法,土地的面积变为(a+10)(b-10)=ab-10a+10b-100=[ab-10(a-b)-100]平方米,∵a>b,∴ab-10(a-b)-100<ab,∴租地面积变小了,故选A.11.3解析原式13×310113×3100×3=3.故答案是3.12.34解析∵a+b=8,ab=15,∴(a+b)2=a2+2ab+b2=a2+30+b2=64,则a2+b2=34.故答案为34.13.4解析∵4×16m×64m=421,∴4×42m×43m=421,∴41+5m=421,∴1+5m=21,∴m=4.故答案为4.14.2x-y解析易知该边上的高=2(8x3y2-4x2y3)÷(8x2y2)=16x3y2÷(8x2y2)-8x2y3÷(8x2y2)=2x-y.故答案为2x-y.15.5x3-15x2+30x解析由题意可得被除式等于5x·(x2-3x+6)=5x3-15x2+30x.故答案为5x3-15x2+30x.16.19解析设正方形A的边长为a,正方形B的边长为b,由题图1得(a+b)2-a2-b2=16,∴2ab=16,∴ab=8,由题图2得a2-b2-2(a-b)b=3,∴a2+b2-2ab=3,∴a2+b2=3+2ab=3+2×8=19,∴正方形A,B的面积之和为19.故答案为19.17.解析(1)4y·(-2xy2)=-8xy3.(2)原式=32+12−232·14x2y2=34Ay+18yz−16x2y4.(3)(2a2+5=ab+10a+32b+15.(4)(6x3y3+4x2y2-3xy)÷(-3xy)=-2x2y2-43xy+1.18.解析(1)原式=-1+1-9-8=-17.(2)2001×1999=(2000+1)(2000-1)=20002-1=3999999.(3)(x+y+3)(x+y-3)=[(x+y)+3][(x+y)-3]=(x+y)2-9=x2+2xy+y2-9.19.解析(2x+3y)2-(2x+y)(2x-y)=(4x2+12xy+9y2)-(4x2-y2)=4x2+12xy+9y2-4x2+y2=12xy+10y2.当x=13,y=-1时,原式=12×13×(-1)+10×(-1)2=6.20.解析(1)∵m+4n-3=0,∴m+4n=3,∴2m·16n=2m·24n=2m+4n=23=8.(2)原式=x6n-2x4n=(x2n)3-2(x2n)2=64-2×16=64-32=32.21.解析(1)49;7.(2)x2+10x-2=x2+10x+25-25-2=x2+10x+25-27=(x+5)2-27≥-27,∴当x=-5时,x2+10x-2有最小值,为-27.(3)由题意得,S1=(2a+5)(3a+2)=6a2+19a+10,S2=5a(a+5)=5a2+25a,∴S1-S2=6a2+19a+10-(5a2+25a)=a2-6a+10=(a-3)2+1,∵(a-3)2≥0,∴(a-3)2+1≥1,∴S1-S2>0,∴S1>S2.。
北师大版七年级下册第一章整式的乘除中高难度题型综合练习
七年级下册第一章整式的乘除专题练习整式乘除：1.如图，任意输入一个非零数，则输出数是。
2.已知10x ＝a ，5x ＝b ，求：（1）50x 的值；（2）2x 的值；（3）20x 的值．（结果用含a 、b 的代数式表示）3.计算()()()[]()y y x y y x y x 22222-÷-+--+，已知x ，y 满足0)1(122=+++y x 4.已知长方形的面积为6a 2b-4a 2+2a,宽为2a，求长方形的周长。
5.已知多项式2x 3-4x 2-1除以一个多项式A，得商式为2x，余式为x-1，求这个多项式。
6.若221()(3)3x px x x q +--+的积中不含x 项与3x 项，（1）求p 、q 的值；（2）求代数式22120122014(2)(3)p q pq p q --++的值．7.阅读∶若x 满足（9-x）（x-4）=4，求（9-x）²+（x-4）²的值.解∶设9-x=a，x-4=b，则（9-x）（x-4）=ab=4，a+b=（9-x）+（x-4）=5，（9-x）²+（x-4）2=a²+b 2=（a+b)2-2ab=52-2×4=17.请仿照上面的方法求解下列问题∶（1）若x 满足（5-x）（x-2）=2，求（5-x）²+（x-2）2的值;（2）若（n-2019）²+（2020-n）²=1，求（n-2019）（2020-n）的值.8.规定两数a，b 之间的一种运算，记作（a，b），如果a=b，则（a，b）=c.我们叫（a，b）为"雅对"。
例如∶因为23=8，所以（2，8）=3.我们还可以利用"雅对"定义说明等式（3，3）＋（3，5）=（3，15）成立。
证明如下∶设（3，3）=m，（3，5）=n，则3m =3，3n =5，故3m.3n =3m+n =3×5=15，则（3，15）=m ＋n ，即（3，3）＋（3，5）=（3，15）.（1）根据上述规定，填空∶(2,4)=;(5,1)=;(3,27)=.（2）计算（5，2）+（5，7）=__，并说明理由。
北师版七年级下册第一章整式的乘除难题辅导(针对期末考试)
北师版七年级下册第一章整式的乘除难题辅导【专题一】幂为11．若（x﹣1）x+1=1，则x=．2．已知：（x+2）x+5=1，则x=．3．若（2x﹣3）x+3=1，则x=．【专题二】幂的形式转化4．（1）已知2x+2=a，用含a的代数式表示2x；（2）已知x=3m+2，y=9m+3m，试用含x的代数式表示y．5．图中是小明完成的一道作业题，请你参考小明答方法解答下面的问题：（1）计算：①82008×（﹣0.125）2008；②（）11×（﹣）13×（）12．（2）若2•4n•16n=219，求n的值．6．（1）已知2x=3，2y=5，求2x+y的值；（2）x﹣2y+1=0，求：2x÷4y×8的值．7．已知常数a、b满足3a×32b=27，且（5a）2×（52b）2÷（53a）b=1，求a2+4b2的值．8．根据已知求值：（1）已知a m=2，a n=5，求a3m+2n的值；（2）已知3×9m×27m=321，求m的值．9．（1）若2x+5y﹣3=0，求4x•32y的值．（2）若26=a2=4b，求a+b值．10．已知a x=﹣2，a y=3．求：（1）a x+y的值；（2）a3x的值；（3）a3x+2y的值．11．已知2x+3y﹣2=0，求9x•27y的值．12．（1）已知10m=2，10n=3，求103m+2n的值；（2）已知9•32x•27x=317，求x的值．13．计算：（1）﹣82015×（﹣0.125）2016（2）若2•8n•16n=222，求n的值．14．（1）已知x2n=2，求（2x3n）2﹣（3x n）2的值（2）已知x3•x a•x2a+1=x31，求a的值．15．若2×4m×8m=211，求m的值．【专题三】乘法公式的探究与应用16．观察下列各式：（x﹣1）÷（x﹣1）=1；（x2﹣1）÷（x﹣1）=x+1；（x3﹣1）÷（x﹣1）=x2+x+1；（x4﹣1）÷（x﹣1）=x3+x2+x+1；（1）根据上面各式的规律可得（x n+1﹣1）÷（x﹣1）=；（2）利用（1）的结论求22015+22014+…+2+1的值；（3）若1+x+x2+…+x2015=0，求x2016的值．17．观察下列式子：（x2﹣1）÷（x﹣1）=x+1（x3﹣1）÷（x﹣1）=x2+x+1（x4﹣1）÷（x﹣1）=x3+x2+x+1（x5﹣1）÷（x﹣1）=x4+x3+x2+x+1（1）根据以上式子，请直接写出（x n﹣1）÷（x﹣1）的结果（n为正整数）；（2）计算：1+2+22+23+24+ (22015)18．观察下列单项式：x，﹣2x2，4x3，﹣8x4，16x5，…（1）计算一下这里任一个单项式与前面相连的单项式的商是多少？据此规律请你写第n个单项式；（2）根据你发现的规律写出第10个单项式．19．观察下列各式：（x2﹣1）÷（x﹣1）=x+1（x3﹣1）÷（x﹣1）=x2+x+1（x4﹣1）÷（x﹣1）=x3+x2+x+1（x5﹣1）÷（x﹣1）=x4+x3+x2+x+1（1）则（x6﹣1）÷（x﹣1）=（2）则1+x2+x3+x4+ (x11)（3）求：1+2+22+23+ (22010)20．观察下列各式：（x2﹣1）÷（x﹣1）=x+1（x3﹣1）÷（x﹣1）=x2+x+1（x4﹣1）÷（x﹣1）=x3+x2+x+1（x5﹣1）÷（x﹣1）=x4+x3+x2+x+1…（1）写出（x6﹣1）÷（x﹣1）的结果；（2）将x6﹣1表示成两个多项式乘积的形式．【专题四】整体思想的应用21．在求1+2+22+23+24+25+26的值时，小明发现：从第二个加数起每一个加数都是前一个加数的2倍，于是他设：S=1+2+22+23+24+25+26①然后在①式的两边都乘以2，得：2S=2+22+23+24+25+26+27 ②；②﹣①得2S﹣S=27﹣1，S=27﹣1，即1+2+22+23+24+25+26=27﹣1．（1）求1+3+32+33+34+35+36的值；（2）求1+a+a2+a3+…+a2013（a≠0且a≠1）的值．22．已知a1，a2，a3，…，a2015都是正整数，设：M=（a1+a2+a3+…+a2014）（a2+a3+…+a2015），N=（a1+a2+a3+…+a2015）（a2+a3+…+a2014），试着比较M，N的大小．23．计算（1+2+…+n﹣1）（2+3+…+n）﹣（2+3+…n﹣1）•（1+2+…+n）24．对于一些计算量特别大，或用常规方法解不出来的问题，可考虑设参数的方法，例如在计算20163﹣2015×2016×2017时，设m=2016，则原式可化为m3﹣（m﹣1）m（m+1），化简结果为m，即原式等于2016．请你用这种方法计算：（1）；（2）已知（2017﹣a）（2015﹣a）=2016．求（2017﹣a）2+（2015﹣a）2的值．25．阅读解答题：有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答后面的问题．例：若x=123456789×123456786，y=123456788×123456787，试比较x、y的大小．解：设123456788=a，那么x=（a+1）（a﹣2）=a2﹣a﹣2，y=a（a﹣1）=a2﹣a∵x=y=（a2﹣a﹣2）﹣（a2﹣a）=﹣2＜0∴x＜y看完后，你学到了这种方法吗？再亲自试一试吧，你准行！问题：（1）x=98760×98765﹣98761×98764，y=98761×98764﹣98762×98763，试比较x、y的大小；（2）计算：1.345×0.345×2.69﹣1.3453﹣1.345×0.3452．26．数学课上老师出了一道题计算：小明看后说：“太繁琐了，我是做不出来”；小亮思考后说：“若设=x，先运用整体思想将原式代换，再进行整式的运算，就简单了”．小明采用小亮的思路，很快就计算出了结果，请你根据小亮的思路完成计算．27．化简×+1．28．设a=（++…+）（1+++…+）﹣（1+++…+）（++…+），求2004a﹣1的值．29．计算：（++…+）（1+++…+）﹣（1+++…+）（++…）．30．化简：（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）﹣（x2﹣5x）2﹣10（x2﹣5x）【专题五】数形结合思想的应用31．如图，已知大正方形的边长为a+b+c，利用图形的面积关系可得：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．当大正方形的边长为a+b+c+d时，利用图形的面积关系可得：（a+b+c+d）2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd．一般地，n个数的和的平方等于这n个数的平方和加上它们两两乘积的2倍．根据以上结论解决下列问题：（1）若a+b+c=6，a2+b2+c2=14，则ab+bc+ac=；（2）从﹣4，﹣2，﹣1，3，5这五个数中任取两个数相乘，再把所有的积相加，若和为m，求m的值．32．问题再现：数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．例如：利用图形的几何意义证明完全平方公式．证明：将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，如图1：这个图形的面积可以表示成：（a+b）2或a2+2ab+b2∴（a+b）2 =a2+2ab+b2这就验证了两数和的完全平方公式．类比解决：（1）请你类比上述方法，利用图形的几何意义证明平方差公式．（要求画出图形并写出推理过程）问题提出：如何利用图形几何意义的方法证明：13+23=32？如图2，A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1=13B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，因此：B、C、D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2=23而A、B、C、D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形．由此可得：13+23=（1+2）2=32尝试解决：（2）请你类比上述推导过程，利用图形的几何意义确定：13+23+33=．（要求写出结论并构造图形写出推证过程）．（3）问题拓广：请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+n3=．（直接写出结论即可，不必写出解题过程）33．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到（a+b）2=a2+2ab+b2，请解答下列问题：（1）写出图2中所表示的数学等式．（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式．（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c=10，ab+ac+bc=35，则a2+b2+c2=．（4）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，则x+y+z=．34．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积．（1）如图1，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c 的正方形，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么结论，请写出来．（2）如图2，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，你能求出阴影部分的面积吗？35．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．例如：由图1可得到（a+b）2=a2+2ab+b2．（1）写出由图2所表示的数学等式：；写出由图3所表示的数学等式：；（2）利用上述结论，解决下面问题：已知a+b+c=11，bc+ac+ab=38，求a2+b2+c2的值．36．把四块长为a，宽为b的长方形木板围成如图所示的正方形，请解答下列问题：（1）按要求用含、的两种方式表示空心部分的正方形的面积S（结果不要化简保留原式）：①用大正方形面积减去四块木板的面积表示：S=；②直接用空心部分的正方形边长的平方表示：S=；（2）由①、②可得等式；（3）试证明（2）中的等式成立．37．如图①是一个长2m，宽2n的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）用两种方法表示图②中阴影部分的面积；（2）观察图②，请你写出代数式（m+n）2、（m﹣n）2、mn之间的等量关系式；（3）根据（2）中的结论，若x+y=﹣6，xy=2.75．求x﹣y的值．38．【知识生成】通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式．（1）如图1，根据图中阴影部分的面积可以得到的等式是：；【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的情况，也可以得到一个恒等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割成8块．（2）用不同的方法计算这个正方体的体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为：；（3）已知a+b=3，ab=1，利用上面的规律求a3+b3的值．39．现有若干张如图1所示的正方形纸片A，B和长方形纸片C．（1）小王利用这些纸片拼成了如图2的一个新正方形，通过用两种不同的方法计算新正方形面积，由此，他得到了一个等式：；（2）小王再取其中的若干张纸片（三种纸片都要取到）拼成一个面积为a2+3ab+nb2的长方形，则n可取的正整数值是，并请你在图3位置画出拼成的长方形；（3）根据拼图经验，请将多项式a2+5ab+4b2分解因式．40．请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；（3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2=53，ab=14，求：①a+b的值；②a4﹣b4的值．北师版七年级下册第一章整式的乘除难题辅导（针对期末考试）参考答案一．填空题（共3小题）1．﹣1或2；2．﹣5或﹣1或﹣3；3．﹣3或2或1；二．解答题（共37小题）4．；5．；6．；7．；8．；9．；10．；11．；12．；13．；14．；15．；16．x n+x n﹣1+…+x+1；17．；18．；19．x5+x4+x3+x2+x+1；；20．；21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．；28．；29．；30．；31．11；32．62；[n（n+1）]2；33．（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；30；156；34．；35．（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；（a﹣b﹣c）2=a2+b2+c2+2bc﹣2ab﹣2ac；36．（a+b）2﹣4ab；（a﹣b）2；（a+b）2﹣4ab=（a﹣b）2；37．；38．（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab；∴（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；39．a2+2ab+b2=（a+b）2；2；40．；。
专题1.1 整式的乘除(精讲精练)(原卷版)【北师大版】
2019-2020学年七年级下学期期末考试高分直通车（北师大版）专题1.1整式的乘除（精讲精练）【目标导航】【知识梳理】一． 幂的运算 1.同底数幂的乘法：（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．m n m na a a +⋅=（m ，n 是正整数）（2）推广：m n p m n pa a a a ++⋅⋅=（m ，n ，p 都是正整数）2.幂的乘方与积的乘方：（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．()m nmna a=（m ，n 是正整数）（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．()nn n ab a b =（n 是正整数） 3.同底数幂的除法：同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．m n m n a a a -÷=（a≠0，m ，n 是正整数，m ＞n ）4.零指数幂与负整数指数幂：零指数幂：a0=1（a≠0）负整数指数幂：1ppaa-=（a≠0，p为正整数）二．整式的乘法1.单项式乘单项式：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．2.单项式乘多项式：单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．3.多项式乘多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．三．整式的除法1.单项式除以单项式，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式．2.多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．四．乘法公式1.完全平方公式：（1）完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．（2）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．2.平方差公式（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．（a+b）（a-b）=a2-b2（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是相同项的平方减去相反项的平方；③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．【典例剖析】【例1】（2019秋•武汉期末）若a m•a2＝a7，则m的值为．【变式1-1】（2019秋•历下区期末）若a m＝3，a n＝﹣2，则a m+n＝．【变式1-2】（2019秋•历城区期末）若a4•a2m﹣1＝a11，则m＝．【变式1-3】（2019秋•耒阳市期末）已知a m＝2，a n＝5，则a m+n＝．【例2】（2019秋•浏阳市期末）已知a m＝2，a n＝3（m，n为正整数），则a3m+2n＝．【变式2-1】（2019秋•浦东新区期末）如果a m＝6，a n＝9，那么a2m+n＝．【变式2-2】（2019秋•南宁期末）已知2x＝a，32y＝b，y为正整数，则23x+10y＝．【例3】（2019秋•天心区校级期末）计算：（﹣4）2020×0.252019＝．【变式3-1】（2019秋•和平区期末）若a3m+n＝54，a m＝3，则a n＝．【变式3-2】（2019秋•福清市期末）若2x+3y+2＝0，则9x•27y的值是．【变式3-3】（2019秋•仁寿县期末）﹣12019+22020×（12）2021＝．【例4】（2019秋•安居区期末）若2x＝3，4y＝5，则2x﹣2y+1的值为．【变式4-1】（2019秋•南江县期末）已知x a＝2，x b＝9，则x3a﹣2b＝．【变式4-2】（2019秋•朝阳区期末）a x＝5，a y＝3，则a x﹣y＝．【变式4-3】（2019秋•遂宁期末）若3a＝2，3b＝5，则33a﹣2b＝．【例5】（2019秋•江汉区校级期末）满足等式（3x+2）x+5＝1的x的值为．【变式5-1】（2019秋•渝北区期末）若（x﹣1）0＝1，则x需要满足的条件．【变式5-2】（2019秋•丰南区期末）若（x﹣2）x＝1，则x＝．【变式5-3】（2019秋•仁怀市期末）计算：(12)−2−(12)0=．【变式5-4】（2019秋•双清区期末）计算：（﹣2019）0+|﹣1|﹣（12）﹣1＝．【变式5-5】（2019秋•长白县期末）计算：（−13）﹣2+4×（﹣1）2019﹣|﹣23|+（π﹣5）0【例6】（2019秋•九龙坡区期末）计算：3ab•2a2b＝．【变式6-1】（2019秋•潮州期末）计算：（2xy）2（﹣5x2y）＝．【变式6-2】（2019秋•海淀区期末）计算：（2a）3•（﹣a）4÷a2＝．【变式6-3】（2019秋•海淀区期末）计算2x5•x的结果等于．【例7】（2019春•澧县期末）计算：﹣3x2（x﹣6y）＝．【变式7-1】（2019秋•叙州区期末）若a2﹣3a﹣1＝0，则a（a﹣3）+2＝．【变式7-2】（2019秋•九龙坡区期末）已知my+z−x =nz+x−y=tx+y−z，则（y﹣z）m+（z﹣x）n+（x﹣y）t的值为．【变式7-3】（2018秋•新建区期末）若（x2﹣a）x+2x的展开式中只含有x3这一项，则a的值是．【例8】（2019秋•黄冈期末）已知（x+my）（x+ny）＝x2+2xy﹣6y2，则m2n+mn2的值为．【变式8-1】（2019秋•青山区期末）已知（x+4）（x﹣9）＝x2+mx﹣36，则m的值为．【变式8-2】（2019秋•江岸区期末）已知（x+p）（x+q）＝x2+mx+12，其中p，q为正整数，则m＝．【变式8-3】（2019秋•博白县期末）已知a+b＝4，ab＝3，则代数式（a+2）（b+2）的值是．【例9】（2019秋•武汉期末）已知实数a，b满足a﹣b＝3，ab＝2，则a+b的值为．【变式9-1】（2019秋•宜城市期末）若（x+y）2＝19，（x﹣y）2＝5，则x2+y2＝．【变式9-2】（2019秋•仁怀市期末）若x+y＝﹣2，x2+y2＝10，则xy＝（）A．﹣3B．3C．﹣4D．4【变式9-3】（2020•浙江自主招生）已知x满足（x﹣2014）2+（2016﹣x）2＝8，则（x﹣2015）2的值是．【例10】（2019秋•渝北区期末）已知x2﹣y2＝2019，且x＝673﹣y，则x﹣y＝．【变式10-1】（2019秋•大同期末）已知m﹣n＝1，则m2﹣n2﹣2n的值为．【变式10-2】（2019秋•仁怀市期末）若（a+b+1）（a+b﹣1）＝15，则a+b的值为．【例11】（2019秋•新乡期末）计算（1）﹣a6•a5÷a3+（﹣2a2）4﹣（a2）3•（﹣3a）2（2）（2x﹣y）2﹣4x（x﹣y）【变式11-1】（2019秋•息县期末）计算下列各题：（1）(−13)−2+(2019−π)0−(−3)2；（2）（2x+y）2+（x+y）（x﹣y）﹣5x（x﹣y）．【变式11-2】（2019秋•新洲区期末）计算（1）（2x）3・（﹣5xy2）÷（﹣2x2y）2（2）（x+2y﹣3）（x﹣2y+3）考点12整式的化简求值【例12】（2019秋•开福区校级期末）先化简，再求值：（a+3）2﹣（a+1）（a﹣1）﹣2（2a+4），其中a=1 2．【变式12-1】（2019秋•安居区期末）先化简，再求值：[（x﹣2y）2﹣（x+y）（x﹣y）+5xy]÷y，其中x＝﹣2，y＝1．【变式12-2】（2019秋•攀枝花期末）先化简，再求值：[（3x+2y）（3x﹣2y）﹣（x+2y）（3x﹣2y）]÷x，其中x＝2，y＝﹣1.6【变式12-3】（2019秋•博白县期末）化简求值：（2x+y）2﹣3x（x+y）﹣（x﹣2y）（x+2y），其中x=12，y＝﹣2．考点13完全平方公式的几何背景【例13】（2019秋•荆州区期末）如图1是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是；（2）根据（1）中的结论，若x+y＝5，x•y=94，则x﹣y＝；（3）拓展应用：若（2019﹣m）2+（m﹣2020）2＝7，求（2019﹣m）（m﹣2020）的值．【变式13-1】（2019秋•东莞市期末）如图，将一个边长为a+b的正方形图形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，请用两种方法表示该图形的总面积（用含a、b的代数式表示出来）；（2）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2＝35，ab＝23，求a+b的值；（3）已知（5+2x）2+（3﹣2x）2＝60，求（5+2x）（3﹣2x）的值．【变式13-2】（2019秋•内江期末）两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1．若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．（1）用含a，b的代数式分别表示S1，S2；（2）若a+b＝8，ab＝13，求S1+S2的值；（3）当S1+S2＝40时，求出图3中阴影部分的面积S3．考点14平方差公式的几何背景【例14】（2019秋•德化县期末）如图，正方形ABCD是由两个小正方形和两个小长方形组成的，根据图形解答下列问题：（1）请用两种不同的方法表示正方形ABCD的面积，并写成一个等式；（2）运用（1）中的等式，解决以下问题：①已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值；②已知x+z﹣y＝11，（x﹣y）z＝9，求（x﹣y）2+z2的值．【变式14-1】（2019秋•松滋市期末）观察下列各式发现规律，完成后面的问题：2×4＝32﹣1，3×5＝42﹣1，4×6＝52﹣1，5×7＝62﹣1．（1）12×14＝，99×101＝；（2）n（n+2）＝（）2﹣1（n为整数）．（3）童威家现有一个用篱笆围成的长方形菜园，其长比宽多4米（长、宽均为整数），为了扩大菜园面积，童威用原来的篱笆围成一个正方形，童威的做法对吗？面积是否扩大了？如果扩大了，扩大了多少？试说明理由．。
专题1.2 整式的乘法-重难点题型(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题1.2 整式的乘法-重难点题型【北师大版】【题型1 整式乘法中的求值问题】【例1】（2021•开平区一模）已知等式（x+p）（x+q）＝x2+mx+36（p，q为正整数），则m的值不可能是（ ）A．37B．13C．20D．36【分析】利用多项式乘多项式的法则，把等式的左边进行运算，再根据条件进行分析即可．【解答】解：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，∵（x+p）（x+q）＝x2+mx+36，∴p+q＝m，pq＝36，∵36＝4×9，则p+q＝13，36＝1×36，则p+q＝37，36＝2×18，则p+q＝20，36＝3×12，则p+q＝15，36＝6×6，则p+q＝12，∴p+q不可能为36，即m不可能为36．故选：D．【变式1-1】（2021春•潍坊期末）若（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，则ab﹣a+b的值是（ ）A．﹣11B．﹣7C．﹣6D．﹣55【分析】先利用多项式乘多项式法则计算等式的左边，根据等式得到a、b的值，代入计算出代数式ab﹣a+b的值．【解答】解：∵（x+a）（x﹣5）＝x2+（a﹣5）x﹣5a，又∵（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，∴x2+（a﹣5）x﹣5a＝x2+bx﹣10．∴a﹣5＝b，﹣5a＝﹣10．∴a＝2，b＝﹣3．∴ab﹣a+b＝2×（﹣3）﹣2﹣3＝﹣11．故选：A．【变式1-2】（2020秋•播州区期末）若x+y＝2，xy＝﹣1，则（1﹣2x）（1﹣2y）的值是 ．【分析】根据多项式乘以多项式的法则展开，整理后整体带入求值即可．【解答】解：（1﹣2x）（1﹣2y）＝1﹣2y﹣2x+4xy＝1﹣2（x+y）+4xy，当x+y＝2，xy＝﹣1时原式＝1﹣2×2+4×（﹣1）＝﹣7．故答案为：﹣7．【变式1-3】（2021春•江都区期中）在计算（2x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果是：2x2+8x﹣24；乙错把a看成了﹣a，得到结果：2x2+14x+20．（1）求出a，b的值；（2）在（1）的条件下，计算（2x+a）（x+b）的结果．【分析】（1）根据题意得出（2x+a）（x+6）＝2x2+（12+a）x+6a＝2x2+8x﹣24，（2x﹣a）（x+b）＝2x2+（﹣a+2b）x﹣ab＝2x2+14x+20，得出12+a＝8，﹣a+2b＝14，求出a、b即可；（2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可．【解答】解：（1）甲错把b看成了6，（2x+a）（x+6）＝2x2+12x+ax+6a＝2x2+（12+a）x+6a＝2x2+8x﹣24，∴12+a＝8，解得：a＝﹣4；乙错把a看成了﹣a，（2x﹣a）（x+b）＝2x2+2bx﹣ax﹣ab＝2x2+（﹣a+2b）x﹣ab＝2x2+14x+20，∴2b﹣a＝14，把a＝﹣4代入，得b＝5；（2）当a＝﹣4，b＝5时，（2x+a）（x+b）＝（2x﹣4）（x+5）＝2x2+10x﹣4x﹣20＝2x2+6x﹣20．【题型2 整式乘法中的不含某项问题】【例2】（2021春•蜀山区校级期中）关于x的代数式（mx﹣2）（2x+1）+x2+n化简后不含有x2项和常数项．（1）分别求m，n的值．（2）求m2020n2021的值．【分析】（1）先展开整理原式，再根据题意建立关于m、n的等式，分别求解即可得出结论．（2）同底数幂乘法的逆运算，使n2021变为n2020•n，再利用积的乘方逆运算即可求出原式的值．【解答】解：（1）原式＝2mx2+mx﹣4x﹣2+x2+n，＝（2m+1）x2+mx﹣4x+n﹣2，由题意2m+1＝0，n﹣2＝0，∴m=―12，n＝2．（2）原式＝m2020•n2020•n，＝（m•n）2020•n，由（1）得m=―12，n＝2，原式＝（―12×2）2020×2，＝2．【变式2-1】（2021春•通川区校级月考）若多项式x2+mx﹣8和x2﹣3x+n的的乘积中不含x2和x3的项，求m+n的值．【分析】利用多项式的乘法法则将两个多项式的乘积展开，令x2项和x3项的系数为0，结论可得．【解答】解：由题意：（x2+mx﹣8）（x2﹣3x+n）＝x4﹣3x3+nx2+mx3﹣3mx2+mnx﹣8x2+24x﹣8n＝x4+（m﹣3）x3+（n﹣3m﹣8）x2+（mn+24）x﹣8n．∵乘积中不含x2和x3的项，∴m﹣3＝0，n﹣3m﹣8＝0．∴m＝3，n＝17．∴m+n＝20．【变式2-2】（2021春•金牛区校级月考）已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）展开式中不含x3和x2项．（1）求m、n的值；（2）当m、n取第（1）小题的值时，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，根据展开式中不含x2和x3项列出关于m与n 的方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值；（2）先利用多项式乘以多项式的法则将（m+n）（m2﹣mn+n2）展开，再合并同类项化为最简形式，然后将（1）中所求m、n的值代入计算即可．【解答】解：（1）（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）＝x5﹣3x4+（m+4）x3+（n﹣3m）x2+（4m﹣3n）x+4n，根据展开式中不含x2和x3项得：m+4=0 n―3m=0，解得：m=―4n=―12．即m＝﹣4，n＝﹣12；（2）∵（m+n）（m2﹣mn+n2）＝m3﹣m2n+mn2+m2n﹣mn2+n3＝m3+n3，当m＝﹣4，n＝﹣12时，原式＝（﹣4）3+（﹣12）3＝﹣64﹣1728＝﹣1792．【变式2-3】（2021春•太湖县期末）【知识回顾】七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．【理解应用】（1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，求m值；（2）已知A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，且3A+6B的值与x无关，求y的值；【能力提升】（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．【分析】（1）由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，故将多项式整理为（2m﹣3）x﹣3m+2m2，令x系数为0，即可求出m；（2）根据整式的混合运算顺序和法则化简3A+6B可得3x（5y﹣2）﹣9，根据其值与x无关得出5y﹣2＝0，即可得出答案；（3）设AB＝x，由图可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），即可得到S1﹣S2关于x的代数式，根据取值与x可得a＝2b．【解答】解：（1）（2x﹣3）m+2m2﹣3x＝2mx﹣3m+2m2﹣3x∵其值与x的取值无关，∴2m﹣3＝0，解得，m=3 2，答：当m=32时，多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关；（2）∵A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，∴3A+6B＝3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）＝3（2x2﹣2x+x﹣1﹣x+3xy]﹣6x2+6xy﹣6＝6x2﹣6x+3x﹣3﹣3x+9xy﹣6x2+6xy﹣6＝15xy﹣6x﹣9＝3x（5y﹣2）﹣9，∵3A+6B的值与x无关，∴5y﹣2＝0，即y=2 5；（3）设AB＝x，由图可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），∴S1﹣S2＝a（x﹣3b）﹣2b（x﹣2a）＝（a﹣2b）x+ab，∵当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变．∴S1﹣S2取值与x无关，∴a﹣2b＝0∴a＝2b．【题型3 整式乘法的计算】【例3】（2020秋•河北区期末）计算：（1）―12x2y⋅(13x3y2―34x2y+16)（2）（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）【分析】（1）根据单项式与多项式相乘的法则计算即可；（2）根据多项式与多项式相乘的法则计算即可．【解答】解：（1）―12x2y⋅(13x3y2―34x2y+16)=―12x2y⋅13x3y2+12x2y⋅34x2y―12x2y⋅16（2）（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）＝2x2+x﹣2x﹣1﹣2（x2+2x﹣5x﹣10）＝2x2﹣x﹣1﹣2x2+6x+20＝5x+19．【变式3-1】（2021春•九龙坡区校级期中）计算：（1）2x2y（x―12y+1）；（2）（x﹣2y）（y﹣x）．【分析】（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．（2）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．【解答】解：（1）原式＝2x3y﹣x2y2+2x2y；（2）原式＝xy﹣x2﹣2y2+2xy＝3xy﹣x2﹣2y2．【变式3-2】（2021春•海陵区校级月考）计算：（1）﹣3x2（2x﹣4y）+2x（x2﹣xy）．（2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y）．【分析】（1）根据多项式乘多项式，多项式乘单项式进行计算即可；（2）根据多项式乘多项式，多项式乘单项式进行计算即可．【解答】解：（1）原式＝﹣6x3+12x2y+2x3﹣2x2y＝﹣4x3+10x2y；（2）原式＝6x2﹣9xy+4xy﹣6y2﹣9x2+6xy＝﹣3x2+xy﹣6y2．【变式3-3】（2021春•未央区月考）小奇计算一道整式的混合运算的题：（x﹣a）（4x+3）﹣2x，由于小奇将第一个多项式中的“﹣a”抄成“+a”，得到的结果为4x2+13x+9．（1）求a的值．（2）请计算出这道题的正确结果．【分析】（1）根据题意列出关系式，根据多项式相等的条件即可求出a的值；（2）列出正确的算式，计算即可得到结果．【解答】解：（1）根据题意得：（x+a）（4x+3）﹣2x＝4x2+（3+4a﹣2）x+3a＝4x2+13x+9；∴1+4a＝13，解得：a＝3；（2）正确的算式为（x﹣3）（4x+3）﹣2x＝4x2﹣9x﹣9﹣2x＝4x2﹣11x﹣9．【题型4 整式乘法的应用】【例4】（2021春•铁西区期中）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去a，同时B区就会自动加上3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16（如图所示）．例如：第一次按键后，A，B两区分别显示：25﹣a，﹣16+3a．（1）那么第二次按键后，A区显示的结果为 ，B区显示的结果为 ．（2）计算（1）中A、B两区显示的代数式的乘积，并求当a＝2时，代数式乘积的值．【分析】（1）根据题意列出代数式即可；（2）利用多项式乘多项式法则进行计算，然后将a＝2代入求值．【解答】解：（1）A区显示的结果为：25﹣a﹣a＝﹣2a+25；B区显示的结果为：﹣16+3a+3a＝6a﹣16；（2）（﹣2a+25）（6a﹣16）＝﹣12a2+32a+150a﹣400＝﹣12a2+182a﹣400，当a＝2时，原式＝﹣12×22+182×2﹣400＝﹣84．【变式4-1】（2021春•碑林区校级期中）为迎接十四运，某小区修建一个长为（3a﹣b）米，宽为（a+2b）米的长方形休闲场所ABCD．长方形内筑一个正方形活动区EFGH和连接活动区到矩形四边的四条笔直小路（如图），正方形活动区的边长为（a﹣b）米，小路的宽均为2米．活动区与小路铺设鹅卵石，其它地方铺设草坪．（1）求铺设草坪的面积是多少平方米；（2）当a＝10，b＝4时，需要铺设草坪的面积是多少？【分析】（1）用大长方形的面积减去小正方形的面积和四个长方形的面积即可；（2）将a＝10，b＝4代入（1）中结果计算可得答案．【解答】解：（1）草坪的面积为：（3a﹣b）（a+2b）﹣（a﹣b）2﹣[3a﹣b﹣（a﹣b）]×2﹣[a+2b﹣（a﹣b）]×2＝3a2+5ab﹣2b2﹣a2﹣b2+2ab﹣2a×2﹣3b×2＝2a2+7ab﹣3b2﹣4a﹣6b（平方米）；（2）当a＝10，b＝4时，草坪的面积为：2×102+7×10×4﹣3×42﹣4×10﹣6×4＝368（平方米）．【变式4-2】（2021春•成都期末）（1）如图是小颖家新房的户型图，小颖的爸爸打算把两个卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格为每平方米a元，那么购买地砖至少需要多少元？（2）如果房屋的高度是h米，现在需要在客厅和两个卧室四周的墙上贴墙纸，那么至少需要多少平方米的墙纸？如果某种墙纸的价格为每平方米b元，那么购买所需的墙纸至少要多少元？（计算时不扣除门、窗所占的面积，忽略墙的厚度）【分析】（1）求出卫生间，厨房，以及客厅的面积之和即可得到需要地砖的面积；根据每平方米地砖的价格是a元钱，求出需要的钱数即可；（2）求出客厅与卧室的面积，乘以高h，即可得到需要的壁纸数；根据壁纸的价格是b元/平方米，求出需要的钱数即可．【解答】解：（1）由题意知，两个卧室以外的部分面积为：3y•y+2y•（3x﹣x﹣y）＝3y2+4xy﹣2y2＝y2+4xy（平方米）．∴购买地砖所需的费用为：（y2+4xy）a＝ay2+4axy（元）．（2）客厅贴墙纸的面积为：（2y+6y）h＝8yh，两个卧室贴墙纸的面积为：（4x+6y）h＝4xh+6yh，∴贴墙纸的总面积为：8yh+4xh+6yh＝14yh+4xh（平方米），∴购买墙纸所需的费用为：（14yh+4xh）b＝14yhb+4xhb（元）．【变式4-3】（2021春•莲湖区期末）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别为S1，S2．（1）S1与S2的大小关系为：S1 S2．（2）若一个正方形的周长与甲的周长相等．①求该正方形的边长（用含m的代数式表示）．②若该正方形的面积为S3，试探究：S3与S2的差（即S3﹣S2）是否为常数？若为常数，求出这个常数，如果不是，请说明理由．【分析】（1）根据长方形的面积公式列式，然后根据整式的混合运算法则进行计算求解；（2）①根据正方形和长方形的周长公式计算求解；②根据正方形和长方形的面积公式列式，然后利用整式的混合运算法则进行计算求解．【解答】解：（1）由题意：S1＝（m+2）（m+6）＝m2+6m+2m+12＝m2+8m+12，S2＝（m+5）（m+3）＝m2+5m+3m+15＝m2+8m+15，∵S1﹣S2＝（m2+8m+12）﹣（m2+8m+15）＝m2+8m+12﹣m2﹣8m﹣15＝﹣3＜0，∴S1＜S2，故答案为：＜，（2）①甲的周长为2（m+2+m+6）＝4m+16，∵正方形的周长与甲的周长相等，∴正方形的边长为4m164=m+4，②由①可得，正方形的面积S3＝（m+4）2，∴S3﹣S2＝（m+4）2﹣（m2+8m+15）＝m2+8m+16﹣m2﹣8m﹣15＝1，∴S3与S2的差（即S3﹣S2）是常数，这个常数是1．【题型5 整式除法的应用】【例5】（2021春•上城区期末）一个长方形的面积是15x3y5﹣10x4y4+20x3y2，一边长是5x3y2，则它的另一边长是（ ）A．2y3﹣3xy2+4B．3y3﹣2xy2+4C．3y3+2xy2+4D．2xy2﹣3y3+4【分析】利用长方形的面积公式，列出相应的式子，结合整式的除法法则进行运算即可．【解答】解：（15x3y5﹣10x4y4+20x3y2）÷（5x3y2）＝15x3y5÷（5x3y2）﹣10x4y4÷（5x3y2）+20x3y2÷（5x3y2）＝3y3﹣2xy2+4．故选：B．【变式5-1】（2020•台湾）计算2x2﹣3除以x+1后，得商式和余式分别为何？（ ）A．商式为2，余式为﹣5B．商式为2x﹣5，余式为5C．商式为2x+2，余式为﹣1D．商式为2x﹣2，余式为﹣1【分析】先将被除式2x2﹣3补0，再列竖式计算即可．【解答】解：∵被除式2x2﹣3缺项，∴补0后变为2x2+0x﹣3，长除法计算为：故选：D．【变式5-2】（2020秋•袁州区校级期中）已知一个长方形的面积是6a2﹣4ab+2a，且它的一条边长为2a，则长方形的周长为 ．【分析】直接利用整式的除法运算法则分别计算得出答案．【解答】解：∵一个长方形的面积是6a2﹣4ab+2a，且它的一条边长为2a，∴长方形的另一边长为：（6a2﹣4ab+2a）÷2a＝3a﹣2b+1，故长方形的周长为：2（3a﹣2b+1+2a）＝10a﹣4b+2．故答案为：10a﹣4b+2．【变式5-3】（2021春•潍坊期末）若多项式A除以2x2﹣3，得到的商式为3x﹣4，余式为5x+2，则A ＝ ．【分析】根据题意列出关系式，计算即可得到结果．【解答】解：∵多项式A除以2x2﹣3，得到的商为3x﹣4，余式为5x+2，∴A＝（2x2﹣3）（3x﹣4）+5x+2＝6x3﹣8x2﹣9x+12+5x+2＝6x3﹣8x2﹣4x+14．故答案为：6x3﹣8x2﹣4x+14．【题型6 整式乘法中的规律探究】【例6】（2020秋•邹城市期末）观察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1…（1）分解因式：x5﹣1＝ ；（2）根据规律可得（x﹣1）（x n﹣1+…+x+1）＝ （其中n为正整数）；（3）计算：（3﹣1）（350+349+348+…+32+3+1）．【分析】（1）观察各式，得到因式结果即可；（2）利用得出的规律计算即可；（3）利用得出的规律计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）；（2）（x﹣1）（x n﹣1+…+x+1）＝x n﹣1；（3）原式＝351﹣1．故答案为：（1）（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）；（2）x n﹣1【变式6-1】（2021春•包河区期末）探究规律，解决问题：（1）化简：（m﹣1）（m+1）＝ ，（m﹣1）（m2+m+1）＝ ．（2）化简：（m﹣1）（m3+m2+m+1），写出化简过程．（3）化简：（m﹣1）（m n+m n﹣1+m n﹣2+…+1）＝ ．（n为正整数，m n+m n﹣1+m n﹣2+…+1为n+1项多项式）（4）利用以上结果，计算1+3+32+33+…+3100的值．【分析】（1）（2）根据多项式乘多项式的运算法则进行计算即可；（3）根据（1）（2）得出的规律可直接得出答案；（4）根据（3）的出的规律可直接代数进行计算即可．【解答】解：（1）（m﹣1）（m+1）＝m2﹣1；（m﹣1）（m2+m+1）＝m3﹣1；故答案为：m2﹣1；m3﹣1；（2）（m﹣1）（m3+m2+m+1）＝m4+m3+m2+m﹣m3﹣m2﹣m﹣1＝m4﹣1；（3）（m﹣1）（m n﹣1+m n﹣2+…m2+m+1）＝m n+1﹣1；故答案为：m n+1﹣1；（4）根据（3）得出的规律可得：1+3+32+33+…+3100=31011 31，=310112．【变式6-2】（2021春•合肥期中）观察以下等式：（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216…（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（ ）＝a3+b3（2）利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立．（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）【分析】（1）根据所给等式可直接得到答案（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3；（2）利用多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加进行计算即可得到答案；（3）根据题目所给的例子，找出公式后直接运用即可．【解答】解：（1）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3；故答案为：a2﹣ab+b2；（2）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3＝a3+b3；（3）（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）＝x3+y3﹣（x3﹣y3）＝2y3．【变式6-3】（2020秋•石狮市校级月考）探究应用：（1）计算：（x﹣1）（x2+x+1）＝ ；（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝ ．（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含字母a、b的等式表示该公式为： ．（3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是 ．A．（m+2）（m2+2m+4）B．（m﹣2n）（m2+2mn+2n2）C．（3﹣n）（9+3n+n2）D．（m﹣n）（m2+2mn+n2）（4）设A＝109﹣1，利用上述规律，说明A能被37整除．【分析】（1）用多项式乘以多项式的法则计算即可；（2）观察第（1）问的计算，找出规律，用字母表示即可；（3）判断各选项是否符合公式的特点；（4）公式的逆用，求得A中有37的因数即可．【解答】解：（1）（x﹣1）（x2+x+1）＝x3+x2+x﹣x2﹣x﹣1＝x3﹣1；（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝8x3+4x2y+2xy2﹣4x2y﹣2xy2﹣y3＝8x3﹣y3；故答案为：x3﹣1；8x3﹣y3；（2）从第（1）问发现的规律是：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3，故答案为：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；（3）A．第一个多项式不是减法，不符合题意；B．最后一项应该是4n2，不符合题意；C．符合题意；D．第二个多项式的第二项应该为mn，不符合题意．故选：C．（4）A＝109﹣1＝（103）3﹣1＝（103﹣1）（106+103+12）＝999×1001001＝3×3×3×37×1001001，∴A能被37整除．。
专题2.1整式的乘除学习质量检测卷 (解析版)【北师大版】
2019-2020学年七年级下学期期中考试高分直通车系列【北师大版】专题2.1整式的乘除学习质量检测卷班级：_________ 姓名：______________ 座号：__________ 分数：___________注意事项：本试卷共28题，满分120分．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级、座号填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列各式中计算结果为x5的是（）A．x3+x2B．x3•x2C．x•x3D．x7﹣x2【分析】根据同底数幂的乘法和合并同类项即可求解．【解析】A．不是同类项不能合并，所以A选项不符合题意；B．x3•x2＝x5．符合题意；C．x•x3＝x4，不符合题意；D．不是同类项不能会并，不符合题意．故选：B．点评：本题考查了同底数幂的乘法和合并同类项，解决本题的关键是掌握以上知识．2．（x﹣y）4•（y﹣x）3可以表示为（）A．（x﹣y）7B．﹣（x﹣y）7C．（x﹣y）12D．﹣（x﹣y）12【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可．【解析】（x﹣y）4•（y﹣x）3＝﹣（x﹣y）4•（x﹣y）3＝﹣（x﹣y）7．故选：B．点评：本题主要考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．3．若n为正整数，则计算（﹣a2）n+（﹣a n）2的结果是（）A．0B．2a n C．﹣2a2n D．0或2a2n【分析】直接利用积的乘方运算法则结合合并同类项法则得出答案．【解析】当n为奇数，（﹣a2）n+（﹣a n）2＝﹣a2n+a2n＝0．当n为偶数，（﹣a 2）n +（﹣a n ）2 ＝a 2n +a 2n ＝2a 2n ．故（﹣a 2）n +（﹣a n ）2的结果是0或2a 2n ． 故选：D ．点评：此题主要考查了积的乘方运算，正确分类讨论是解题关键． 4．已知x m ＝4，x n ＝5，则x 2m﹣n的值为（ ）A ．85B ．3C ．165D ．11【分析】根据幂的乘方与同底数幂的除法法则解答即可． 【解析】∵x m ＝4，x n ＝5， x 2m ﹣n＝（x 2）m ÷x n ＝42÷5 ＝16÷5 =165． 故选：C ．点评：本题主要考查了幂的乘方与同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 5．某种细胞的直径是0.00000024m ，将0.00000024用科学记数法表示为（ ） A ．2.4×10﹣7B ．2.4×10﹣8C ．0.24×10﹣7D ．24×10﹣8【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10﹣n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【解析】0.00000024＝2.4×10﹣7；故选：A ．点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a ×10﹣n ，其中1≤|a |＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．6．（x +p ）（x +5）＝x 2+rx ﹣10，则p ，r 的值分别是（ ） A ．2，﹣3B ．2，3C ．﹣2，3D ．﹣2，﹣3【分析】已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，利用多项式相等的条件求出p ，r 的值即可．【解析】∵（x+p）（x+5）＝x2+（p+5）x+5p＝x2+rx﹣10，∴p+5＝r，5p＝﹣10，解得：p＝﹣2，r＝3．故选：C．点评：此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7．一个长方体的长为（a+2）cm，宽为（a+1）cm，高为（a﹣1）cm，则它的表面积为（）cm2．A．3a2+4a﹣1B．6a2+8a﹣2C．6a+4D．3a+2【分析】长方体的表面积＝2（长×宽+长×高+宽×高），代入计算即可求解．【解析】2[（a+2）（a+1）+（a+2）（a﹣1）+（a+1）（a﹣1）]＝2（a2+3a+2+a2+a﹣2+a2﹣1）＝2（3a2+4a﹣1）＝6a2+8a﹣2．故它的表面积为（6a2+8a﹣2）cm2．故选：B．点评：本题考查多项式乘多项式，长方体的表面积公式，是基础题型，比较简单．8．M＝（a+b）（a﹣2b），N＝b（a﹣3b）（其中a≠b），则M，N的大小关系为（）A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定【分析】根据多项式乘以多项式表示出M、N，再利用求差法即可比较大小．【解析】M＝（a+b）（a﹣2b）＝a2﹣ab﹣2b2N＝b（a﹣3b）＝ab﹣3b2a≠b．M﹣N＝a2﹣ab﹣2b2﹣ab+3b2＝（a﹣b）2＞0．所以M＞N．故选：A．点评：本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是求差法比较大小．9．下列乘法中，能应用平方差公式的是（）A ．（﹣x +y ）（x ﹣y ）B ．（a 2+x ）（a ﹣x ）C ．（a 2﹣1）（﹣a 2﹣1）D ．（﹣a 2﹣b 2）（a 2+b 2）【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．【解析】能用平方差公式计算的是（a 2﹣1）（﹣a 2﹣1）＝﹣（a 2﹣1）（a 2+1），相同项是a 2，相反项是1． 故选：C ．点评：此题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．10．如图，边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形，剩下部分正好拼成一个等腰梯形，利用这两幅图形面积，能验证怎样的数学公式？（ ）A ．a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）B ．（a +b ）2﹣（a ﹣b ）2＝4abC ．（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2D ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 2【分析】根据左图中阴影部分的面积是a 2﹣b 2，右图中梯形的面积是12（2a +2b ）（a ﹣b ）＝（a +b ）（a ﹣b ），利用面积相等即可解答． 【解析】左边阴影面积为a 2﹣b 2 右边梯形面积为(2a+2b)(a−b)2=(a +b)(a −b)所以a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ） 故选：A ．点评：此题主要考查的是平方差公式的几何背景，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键． 二．填空题（共10小题）11．（3a + ±4b ）2＝9a 2+ ±24ab +16b 2． 【分析】根据完全平方公式解答即可． 【解析】（3a ±4b ）2＝9a 2±24ab +16b 2． 故答案为：±4b ，±24ab ．点评：本题主要考查完全平方公式，熟记完全平方公式是解题的关键．12．计算3﹣3的结果是127．【分析】直接利用负指数幂的性质化简得出答案． 【解析】3﹣3=133=127． 故答案为：127．点评：此题主要考查了负指数幂的性质，正确掌握定义是解题关键． 13．若x a ＝3，x b ＝4，x c ＝5，则x 2a +b ﹣c ＝365．【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的乘除法法则解答即可． 【解析】∵x a ＝3，x b ＝4，x c ＝5， ∴x 2a +b ﹣c＝（x a ）2•x b ÷x c ＝32×4÷5 ＝9×4÷5 =365． 故答案为：365点评：本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 14．如果x ﹣y ＝4，xy ＝2，那么（x +y ）2＝ 24 ． 【分析】根据完全平方公式解答即可． 【解析】∵x ﹣y ＝4，xy ＝2， ∴（x +y ）2 ＝（x ﹣y ）2+4xy ＝42+4×2 ＝16+8 ＝24． 故答案为：24点评：本题主要考查了完全平方公式：（a ±b ）2＝a 2±2ab +b 2，熟记公式是解答本题的关键． 15．计算(3.14−π)0−(13)−1= ﹣2 ．【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案．【解析】原式＝1﹣3 ＝﹣2． 故答案为：﹣2．点评：此题主要考查了零指数幂的性质以及负指数幂的性质，正确化简各数是解题关键． 16．若（x +9）（x ﹣p ）＝x 2+mx ﹣63，则m +p 的值是 9 ．【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再根据已知得出9﹣p ＝m ，﹣9p ＝﹣63，求出m 、p 即可．【解析】（x +9）（x ﹣p ）＝x 2+（9﹣p ）x ﹣9p ， ∵（x +9）（x ﹣p ）＝x 2+mx ﹣63， ∴9﹣p ＝m ，﹣9p ＝﹣63， 解得：p ＝7，m ＝2， ∴m +p ＝9， 故答案为：9．点评：本题考查了多项式乘以多项式和求代数式的值，能正确根据多项式乘以多项式法则进行计算是解此题的关键．17．计算：（﹣3a 3b ）2÷a 4b 3＝9a 2b．【分析】直接利用积的乘方运算法则以及整式的除法运算法则计算得出答案． 【解析】（﹣3a 3b ）2÷a 4b 3＝9a 6b 2÷a 4b 3=9a 2b ． 故答案为：9a 2b．点评：此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 18．已知m =12，n =35，则代数式（m ﹣2n ）（m +2n ）+（m +2n ）2﹣4mn 的值12．【分析】直接利用乘法公式化简，进而合并同类项，再把已知数据代入求出答案． 【解析】（m ﹣2n ）（m +2n ）+（m +2n ）2﹣4mn ＝m 2﹣4n 2+m 2+4n 2+4mn ﹣4mn ＝2m 2， ∵m =12，∴原式＝2×14=12．故答案为：12．点评：此题主要考查了整式的混合运算，正确运用乘法公式是解题关键． 19．我们对任意代数式定义下面运算|a 1a 2a 3b1b 2b 3|=a 1b 2+a 2b 3+a 3b 1−b 1a 2−b 2a 3−b 3a 1，则|x (x +y)yy (y −x)x|= （x ﹣y ）2 ．【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．【解析】原式＝x （x ﹣y ）+（x +y ）x +y 2﹣（x +y ）y ﹣（x ﹣y ）y ﹣x 2＝x 2﹣2xy +y 2＝（x ﹣y ）2， 故答案为：（x ﹣y ）2点评：此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．小红：如图是由边长分别为a ，b 的两个正方形拼成的图形；小明：阴影部分的面积等于图中两个正方形的面积和减去3个不同的直角三角形的面积．请根据小明和小红的对话，用含有a ，b 的式子表示如图所示的阴影部分的面积12a 2．【分析】由面积的和差关系可列代数式，化简可求解．【解析】阴影部分的面积＝a 2+b 2−12a 2−12b ×（a +b ）−12b ×（b ﹣a ）=12a 2， 故答案为：12a 2；点评：本题考查了完全平方公式的几何背景，根据图形得出阴影部分面积的相等关系是解题的关键． 三．解答题（共8小题，满分60分）21．计算：（a ﹣b ）3•（b ﹣a ）3+[2（a ﹣b ）2]3．【分析】根据积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则计算即可． 【解析】原式＝﹣（a ﹣b ）6+8（a ﹣b ）6 ＝7（a ﹣b ）6点评：本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 22．计算，x 2•x 4•x 6+（x 3）2+[（﹣x ）4]3．【分析】分别根据同底数幂的乘法法则以及幂是乘方与积的乘方运算法则化简，再合并同类项即可． 【解析】原式＝x 12+x 6+x 12＝2x12+x6．点评：本题主要考查了积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．（ab）n＝a n b n，a m•a n＝a m+n．23．已知：2x＝a，2y＝b，用a，b分别表示：（1）2x+y的值；（2）23x+2y的值．【分析】（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案；（2）直接利用同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方运算法则计算得出答案．【解析】（1）∵2x＝a，2y＝b，∴2x+y＝2x×2y＝ab；（2））∵2x＝a，2y＝b，∴23x+2y＝（2x）3×（2y2＝a3b2．点评：此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．24．计算：（1）（﹣2x）3（2x3−12x﹣1）﹣2x（2x3+4x2）；（2）（x+3）（x﹣7）﹣x（x﹣1）．【分析】（1）根据先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里面的运算顺序，本题需要先计算（﹣2x）3＝8x3，再与多项式（2x3−12x﹣1）的每一项相乘，后半部分可把“﹣2x”看作一个整体与多项式（2x3+4x2）每一项相乘，将展开式中的同类项合并就可得到答案．（2）先计算（x+3）（x﹣7），即多项式的每一项与第二个多项式的每一项相乘，然后再相加；再计算“﹣x”与（x﹣1）的积，最后合并式子中的同类项即可．【解析】（1）原式=−8x3(2x3−12x−1)−(4x4+8x3)=−16x6+4x4+8x3﹣4x4﹣8x3＝﹣16x6；（2）原式＝x2﹣7x+3x﹣21﹣x2+x＝﹣3x﹣21．点评：本题重在考查整式的乘法．在整式的乘法运算中，需特别注意多项式乘多项式（或单项式）的前面有负号（或者负数）的情况，这是此类运算题的易错点，另外熟练掌握整式的乘法的运算顺序是解决此题的关键．25．计算：（1）（﹣4x2）﹣（1+2x）（8x﹣2）（2）（﹣2x﹣y）（y﹣2x）﹣（2x+y）2（3）先化简再求值：（12x3y2+x2y﹣x2y3）÷（﹣2x2y）﹣[2（x﹣y）]2，其中x=−12，y＝3【分析】（1）根据多项式乘多项式和合并同类项的方法可以解答本题；（2）根据平方差公式和完全平方公式可以解答本题；（3）根据多项式除以单项式和完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．【解析】（1）（﹣4x2）﹣（1+2x）（8x﹣2）＝16x2﹣8x+2﹣16x2+4x＝﹣4x+2；（2）（﹣2x﹣y）（y﹣2x）﹣（2x+y）2＝4x2﹣y2﹣4x2﹣4xy﹣y2＝﹣2y2﹣4xy；（3）（12x3y2+x2y﹣x2y3）÷（﹣2x2y）﹣[2（x﹣y）]2＝﹣6xy−12+12y2﹣4x2+8xy﹣4y2＝2xy﹣4x2−72y2−12，当x=−12，y＝3时，原式＝2×（−12）×3﹣4×（−12）2−72×32−12=−36．点评：本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．26．阅读下文，回答问题：已知（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2．（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3；（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4；（1）计算上式并填空；（2）猜想：（1﹣x）（1+x+x2+…+x n）＝1﹣x n+1；（3）你能计算399+398+397…+32+3+1的结果吗？请写出计算过程（结果用含有3幂的形式表示）【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则，计算得结论；（2）由（1）猜想得结论；（3）变形要计算的式子，套用（2）猜想得结论．【解析】（1）（1﹣x）（1+x+x2）＝1+x+x2﹣x﹣x2﹣x3＝1﹣x3；（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1+x+x2+x3﹣x﹣x2﹣x3﹣x4＝1﹣x4；故答案为：1﹣x3；1﹣x4（2）猜想：（1﹣x）（1+x+x2+…+x n）＝1﹣x n+1故答案为：1﹣x n+1（3）原式=−12（1﹣3）（1+3+32+…+398+399）=−12（1﹣3100）点评：本题考查了多项式乘以多项式法则及不完全归纳法．解决（3）的关键是式子（399+398+397…+32+3+1}乘以−12（1﹣3），套用猜想．27．如图①，一个长为2a、宽为2b的长方形，沿图中的虚线用剪刀均匀的分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．（1）观察图②，请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积．方法1：（a﹣b）2（只列式，不化简）方法2：（a+b）2﹣4ab（只列式，不化简）（2）请写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab三个式子之间的等量关系：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：若x+y＝2，xy=34，求x﹣y的值．【分析】（1）根据题意采用两种方法表示出阴影部分面积即可；（2）根据阴影部分面积相等列出关系式即可；（3）利用得出的等量关系，求出所求即可．【解析】（1）方法1：（a﹣b）2；方法2：（a+b）2﹣4ab；（2）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；故答案为：（1）（a﹣b）2，（a+b）2﹣4ab；（2）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；（3）根据题意得：（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝4﹣3＝1，则x﹣y＝±1．点评：此题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．28．观察下列各式发现规律，完成后面的问题：2×4＝32﹣1，3×5＝42﹣1，4×6＝52﹣1，5×7＝62﹣1．（1）12×14＝132﹣1，99×101＝1002﹣1；（2）n（n+2）＝（n+1）2﹣1（n为整数）．（3）童威家现有一个用篱笆围成的长方形菜园，其长比宽多4米（长、宽均为整数），为了扩大菜园面积，童威用原来的篱笆围成一个正方形，童威的做法对吗？面积是否扩大了？如果扩大了，扩大了多少？试说明理由．【分析】（1）根据等式的变化，直接写出后面两个等式的结果即可；（2）由（1）找规律可得结论；（3）设原长方形菜园的宽为x米，则长为（x+4）米，分别计算原长方形和现在正方形的面积，作对比可得结论．【解析】（1）12×14＝（13﹣1）（13+1）＝132﹣1；99×101═（100﹣1）（100+1）═1002﹣1；故答案为：132﹣1，1002﹣1；（2）n（n+2）＝（n+1﹣1）（n+1+1）＝（n+1）2﹣1；故答案为：n+1；（3）童威的做法对，面积扩大了，扩大了4平方米；理由如下：设原长方形菜园的宽为x米，则长为（x+4）米，原长方形面积为：x（x+4）＝（x+2）2﹣4；现正方形面积为（x+2）2；∴现面积比原面积增加了4平方米．点评：本题考查了实数以及规律型中数字的变化类，根据等式的变化找出变化规律是解题的关键．11 / 11。
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第1章整式的乘除章末重难点突破训练卷
【北师大版】
考试时间：100分钟；满分：100分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号一二三总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
评卷人得分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2020•青海）下面是某同学在一次测试中的计算：
①3m2n﹣5mn2＝﹣2mn；
②2a3b•（﹣2a2b）＝﹣4a6b；
③（a3）2＝a5；
④（﹣a3）÷（﹣a）＝a2．
其中运算正确的个数为（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
2．（3分）（2020春•锦江区校级期中）今年肆虐全球的新冠肺炎（COVID﹣19）被世界卫生组织（WHO）标识为“全球大流行病”，它给全球人民带来了巨大的灾难．冠状病毒的直径约80﹣120nm，1nm为十亿分之一米，即10﹣9m．将120nm用科学记数法表示正确的是（）米．
A．1.2×10﹣7B．1.2×10﹣8C．120×10﹣9 D．12×10﹣8
3．（3分）（2019秋•花都区期末）若□×xy＝3x2y+2xy，则□内应填的式子是（）A．3x+2B．x+2C．3xy+2D．xy+2
4．（3分）（2020春•天宁区期中）若a＝﹣0.32，b＝3﹣2，c=(−1
3
)−2，d=(−15)0，则a、b、c、d的大小关
系是（）
A．a＜b＜d＜c B．b＜a＜d＜c C．a＜d＜c＜b D．c＜a＜d＜b
5．（3分）（2020秋•邓州市期中）郑州市“旧城改造”中，计划在市内一块长方形空地上种植草皮，以美化环境．已知长方形空地的面积为（3ab+b）平方米，宽为b米，则这块空地的长为（）
A．3a米B．（3a+1）米
C．（3a+2b）米D．（3ab2+b2）米
6．（3分）（2020春•东阳市期末）已知（x﹣2）（x2+mx+n）的乘积项中不含x2和x项，则m，n的值分别为（）
A．m＝2，n＝4B．m＝3，n＝6C．m＝﹣2，n＝﹣4D．m＝﹣3，n＝﹣6
7．（3分）（2020秋•安居区期中）若x+y＝6，x2+y2＝20，求x﹣y的值是（）
A．4B．﹣4C．2D．±2
8．（3分）（2020秋•浦东新区期中）若m＝272，n＝348，则m、n的大小关系正确的是（）A．m＞n B．m＜n
C．m＝n D．大小关系无法确定
9．（3分）（2020春•东阿县期末）如图，阴影部分是边长是a的大正方形剪去一个边长是b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列4幅图割拼方法：
其中能够验证平方差公式有（）
A．①②③④B．①③C．①④D．①③④
10．（3分）（2020春•楚雄州期末）我国古代许多关于数学的发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，第四行的四个数1，3，3，1恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数．请你猜想（a+b）5的展开式中含a3b2项的系数是（）
A ．10
B ．12
C ．9
D ．8
第Ⅱ卷（非选择题）
评卷人
得 分
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2020春•东阿县期末）若2m ＝8，2n ＝32，则22m +n ﹣
4＝ ． 12．（3分）（2020秋•江夏区期末）若2（x +1）﹣1与3（x ﹣2）﹣1的值相等，则x ＝ ．
13．（3分）（2020秋•长兴县月考）小明在进行两个多项式的乘法运算时，不小心把乘以
x+y 2错抄成乘以x 2，结果得到（x 2﹣xy ），则正确的计算结果是 ．
14．（3分）（2020春•东平县期末）若x 2+2kx +116是一个完全平方式，则k ＝ ． 15．（3分）（2020春•赫章县期末）计算2021×2019﹣20202的值为 ．
16．（3分）（2020春•宁德期末）有若干个形状大小完全相同的小长方形，现将其中3个如图1摆放，构造一个正方形；其中5个如图2摆放，构造一个新的长方形（各小长方形之间不重叠且不留空隙）．若图1和图2中阴影部分的面积分别为39和106，则每个小长方形的面积为 ．
评卷人 得 分
三．解答题（共6小题，满分52分）
17．（8分）（2020春•绍兴期中）计算：
（1）（3a﹣1）（3a+1）﹣（a﹣4）2．
（2）（15x2y﹣10xy2）÷（﹣5xy）．
18．（8分）（2020春•江阴市期中）（1）已知m+4n﹣3＝0，求2m•16n的值．
（2）已知n为正整数，且x2n＝4，求（x3n）2﹣2（x2）2n的值．
19．（8分）（2020春•渝中区校级期中）先化简，再求值：求（x﹣2y）2+（3y﹣2x）（﹣2x﹣3y）﹣5（x﹣y）
（x+2y）的值，其中x、y满足（x﹣2）2+|y−1
2|＝0．
20．（8分）（2020春•新泰市期中）（1）已知（x+y）2＝25，（x﹣y）2＝9，求xy和x2+y2的值．（2）若a2+b2＝15，（a﹣b）2＝3，求ab和（a+b）2的值．
21．（10分）（2020春•洪泽区期末）甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为正整数），其面积分别为S1，S2．
（1）请比较S1和S2的大小；
（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，求该正方形的面积（用含m的代数式表示）．
22．（10分）（2020秋•南通期中）阅读下列材料
若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值．
设9﹣x＝a，x﹣4＝b，则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝13
请仿照上面的方法求解下面问题：
（1）若x满足（5﹣x）（x﹣2）＝2，求（5﹣x）2+（x﹣2）2的值；
（2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD 的面积是48，分别以MF、DF为边作正方形．
①MF＝，DF＝；（用含x的式子表示）
②求阴影部分的面积．。