鲁棒控制理论第二章

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鲁棒控制毕业论文

目前对鲁棒控制的研究多使用状态反馈，但在许多实际问题中，系统的状态往往是不能直接测量的，此时难以应用状态反馈控制律实现系统控制。

有时即使系统的状态可以直接测量，但考虑到实施控制的成本和系统的可靠性等因素，同样需要运用输出反馈来实现系统控制。

因此，研究控制系统的输出反馈镇定及其控制器设计具有重要的理论意义和实际应用价值。

本文基于Lyapunov稳定性理论和线性矩阵不等式（LMI ）方法，对不确定时滞系统研究了输出反馈控制器的设计方法，针对不确定的时滞系统设计了输出反馈控制器，保证闭环系统渐近稳定，运用MATLAB中的LMI工具箱求解控制器参数，并用SIMULINK对实际系统进行了仿真实验，通过仿真实例证明了控制器设计方法能够达到较好的控制效果，而且具有较强的鲁棒性和稳定性，证明了设计方法的有效性。

关键词：鲁棒控制；输出反馈；线性矩阵不等式；不确定性；时滞AbstractAt prese nt,people ofte n use state feedback con trol law to study robust control,but in many practical problems,the system state often cannot be measured directly,it is difficult to use state feedback con trol law to con trol the system.Sometimes,eve n if the state can be measured directly,but,c on sideri ng the cost of impleme nti ng the con trol and reliability of the system and other factors,the state feedback control cannot achieve acceptable effect .If the output feedback law can achieve the performa nee requireme nts of the closed-loop system,then it can be selected withpriority.Therefore,the output feedback stabilization of uncertain systems and controller design has important theoretical and practical value.This paper is based on Lyap unov stability theory and Lin ear MatrixInequality(LMI)methods.For uncertain time-delay systems with norm bounded un certa in parameters,the paper studied the output feedback con troller con troller desig n methods.The controller parameters were worked out by means of LMI toolbox in MATLAB.Simulatio n of the actual system was con ducted on the basis of the SIMULINK toolbox in Matlab,the results of which proved that the new controller desig n method could achieve better con trol effect and was more robust and stable.Key words:Robust con trol;Output feedback;L in esr Matrix In equality(LMI); Un certai nty;Time-delay目录第1章概述 (1)1.1输出反馈概述 (1)1.2鲁棒控制理论概述 (1)第2章基本理论 (4)2.1系统的非结构不确定性 (4)2.2系统的结构不确定性 (5)2.3线性矩阵不等式 (5)2.4 L YAPUNO稳定性理论 (8)第3章输出反馈控制器设计 (13)3.1不确定时滞系统的静态输出反馈控制器设计 (13)3.2具有控制时滞的不确定时滞系统静态输出反馈控制器设计 (16)3.3不确定时滞系统的动态输出反馈控制器设计 (21)结论 (26)参考文献 (27)致谢 (28)第1章概述1.1输出反馈概述在许多实际问题中，系统的状态往往是不能直接测量的，故难以应用状态反馈控制律来对系统进行控制。

鲁棒控制与故障诊断第二章

A∈ Rn×n with distinct eigenvalues can be diagonalized:
A[x1 x2 ⋯ xn ] = [x1 x2
⎡λ1 ⎤ ⎢ ⎥ λ 2 ⎥. ⋯ xn ]⎢ ⎢ ⎥ ⋱ ⎢ ⎥ λn ⎦ ⎣
and has the following spectral decomposition:
�
Sylvester equation
AX+XB = C
with A∈ Fn×n, B∈ Fm×m , and C∈ Fn×m has a unique solution X∈ Fn×m, if and only if λi(A)+λj(B)≠0, ∀i=1,2,…,n and j=1,2,…,m.
�
Example: Let A be such that
A [x1 x2 x3 x 4 ] = [x1 x2 x3
⎡ λ1 ⎢ x 4 ]⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 λ1 ⎤ ⎥ ⎥. ⎥ ⎥ λ4 ⎦
λ3
with Re λ1<0, λ3<0, and λ4>0. Then it is easy to verify that
⎡ A11 ⎢A ⎣ 21 ⎡ A11 ⎢0 ⎣
−1 0 ⎤ ⎡ A11 = ⎢ −1 −1 A22 ⎥ − A A A ⎦ ⎣ 22 21 11 −1
−1
0 ⎤ −1 ⎥ A22 ⎦
−1 −1 −1 A12 ⎤ ⎡ A11 ⎤ − A11 A12 A22 =⎢ ⎥. ⎥ −1 A22 ⎦ A22 ⎣ 0 ⎦
S1=span{x1}, S12=span{x1 , x2}, S123=span{x1 , x2 , x3}, S3=span{x3}, S13=span{x1 , x3}, S124=span{x1 , x2 , x4}, S4=span{x4}, S14=span{x1 , x4}, S34=span{x3 , x4}

第二部分：随机控制与鲁棒控制资料

随机系统的数学模型
•I/O模型
•广义回归模型
系统差分方程
yk a1' yk 1 am' yk m b0'uk b1'uk 1 bm'uk m
引入时域后移算子q1 ,有
A1 q1 1 a1' q1 am ' qm B1 q1 b0 'b1' q1 bm ' qm
即
y k
则互谱密度为
xy
lim
T
1
2
E
FxT FyT
随机过程的互谱密度
互相关函数的时间均值与互谱密度是一对傅立叶变换对
A Cxyt,t xy
如果 xt1和yt2 是联合平稳的,则有
Cxy t1,t2 Cxy
Cxy xy
白噪声
•一般定义:
如果随机过程 vt 的谱密度等于常数,即 C
v k
C1 A2
q 1 q 1
wk
正态白噪声序列
故
zk
B1 A1
q1 q1
uk C1
A2
q1 q1
wk
wk
C1 q1 A2 q1
uk
B1 q1 yk vk A1 q1
zk
广义回归模型
进一步
z k
B1 A1
q 1 q 1
A2 A2
最小二乘估计
进一步观察矩阵 T 与向量T z, 有
2n*2n维矩阵 2n*1维向量
N
T kkT k 1
N
T z k zk k 1
(n+m)*(n+m)维 (n+m)*1维
当A(q-1)和 B(q-1)的阶次分别为n 和m时

鲁棒控制理论及应用课程吴敏

∂xT
4γ 2 ∂xT
∂x
•
x
=
f
(x) +
1 2γ 2
gg T
∂φ ∂x
(x)
d)在x=0附近,存在光滑正定函数 φ (x)和正常数ε,使哈密顿-
9
雅可比不等式
∂φ ∂xT
f
成立 + 1 ∂φ gg T ∂φ + hTh + ε xT x ≤ 0
4γ 2 ∂xT
∂x
2015年10月25日
鲁棒控制理论及应用课程
•
x=
f
(x) +
1 2γ 2
g1 g1T
∂φ ∂x
−
1 2
g2
g2T
∂ϕ ∂x
+
g1
γ 2
g1T
∂φ ∂x
+
~
z
是渐进稳定的，而且是局部L2稳定的
b)在x=0附近,存在光滑正定函数 φ (x)和正常数ε,使哈密顿-
雅可比不等式成立,而且 ∂φ ∂xT
f
+
1 4
∂φ ∂xT
⎛ ⎜ ⎝
给定一个常数γ>0,下述条件是等价的。
a)非线性系统Szw是指数稳定的,而且 γ S < zw Lc2 b)近似线性系统 S%zw 是稳定的,而且 S%zw ∞ < γ
c)在x=0附近,存在光滑正定函数 φ (x),使哈密顿－雅可比方程
成立,而且是指数稳定的 ∂φ f + 1 ∂φ ggT ∂φ + hTh = 0
∂xT
4γ 2 ∂xT
∂x
7
成立，而且
1 gT ∂φ 2
lim 2 ∂x < ∞

生了现代鲁棒控制。鲁棒控制理论发...

Classified Index: TP273U.D.C: 681.513.3Thesis for the Master Degree in EngineeringRESEARCHES ON ROBUST CONTROL AND APPLICATION OF NON-MINIMUM PHASESYSTEMSWenjun Candidate: Fan Supervisor: Associate Prof. Ma JieAcademic Degree Applied for: Master of EngineeringSpeciality: Control Science and Engineering Affiliation: Control and Simulation CenterDate of Defence: June, 2009Degree Conferring Institution: Harbin Institute of Technology摘要本文以磁悬浮球和一级倒立摆两个典型的非最小相位系统为研究对象，对只有一个不稳定极点的非最小相位系统采用混合灵敏度设计，对同时具有不稳定零、极点的非最小相位系统采用复合控制，并分别在磁悬浮球系统和一级倒立摆系统中实现。

首先，分别建立磁悬浮球系统和一级倒立摆系统的数学模型，并将非线性模型线性化，分别分析系统的能控性以及系统中包含的不确定性因素。

其次，研究了灵敏度设计中的鲁棒性、加权函数选择原则、优化指标等问题，针对只有不稳定极点的磁悬浮球系统，先运用PV控制将其稳定，测试系统对象特性，得到名义对象和不确定性界后再运用混合灵敏度设计，通过转化成H∞标准问题求解控制器。

然后，针对同时具有不稳定零、极点的非最小相位系统，研究输出反馈鲁棒性设计的极限，并采用复合控制方案，以倒立摆系统为例，先用经典控制稳定摆角回路，再对位置回路进行H∞输出反馈控制设计。

鲁棒控制发展与理论

鲁棒控制发展与理论鲁棒控制的发展与理论摘要：首先介绍了鲁棒控制的发展过程，之后主要介绍了H?控制理论、?理论的发展、研究内容和实际应用，和鲁棒控制尚待解决的问题及研究热点。

关键词：鲁棒控制理论、H?控制理论、?理论、分析、综合 1 概述传统控制器都是基于系统的数学模型建立的，因此，控制系统的性能好坏很大程度上取决于模型的精确性，这正是传统控制的本质。

现代控制理论可以解决多输入、多输出( MIMO )控制系统地分析和控制设计问题，但其分析与综合方法也都是在取得控制对象数学模型基础上进行的，而数学模型的精确程度对控制系统性能的影响很大，往往由于某种原因，对象参数发生变化使数学模型不能准确地反映对象特性，从而无法达到期望的控制指标，为解决这个问题，控制系统的鲁棒性研究成为现代控制理论研究中一个非常活跃的领域。

简单地说，鲁棒控制( Robust Control )就是对于给定的存在不确定性的系统，分析和设计能保持系统正常工作的控制器。

鲁棒振定是保证不确定性系统的稳定性，而鲁棒性能设计是进一步确定保有某种指标下的一定的性能。

根据对性能的不同定义，可分为稳定鲁棒性和性能鲁棒性。

以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到的固定控制器称为鲁棒控制器。

鲁棒控制自其产生便得到了广泛的注目和蓬勃发展。

其实人们在系统设计时，常常会考虑到鲁棒性的问题。

当前这一理论的研究热点是在非线形系统中控制问题，另外还有一些关于鲁棒控制的理论如结构异值理论和区间理论等。

2 鲁棒控制理论的发展最早给出鲁棒控制问题解的是Black在1927年给出的关于真空关放大器的设计，他首次提出采用反馈设计和回路高增益的方法来处理真空管特性的大范围波动。

之后，Nquist( 奈奎斯特 )频域稳定性准则和Black回路高增益概念共同构成了Bode( 伯德 )的经典之著中关于鲁棒控制设计的基础。

20世纪60年代之前这段时期可称为经典灵敏度设计时期。

此间问题多集中于SISO(单变量)系统，根据稳定性、灵敏度的降低和噪声等性能准则来进行回路设计。

鲁棒控制2

4.程序及说明应用MATLAB的Robust Control Toolbox可编写设计程序（文件名sushinf.m），以下是程序中主要内容的说明：（1）构成系统的名义模型，并计算和绘制系统的频率特性曲线（图12.6 ），图中的两条曲线分别为车体速度响应和加速度响应。

由图可见，系统的加速度响应曲线正好在5hz处出现峰值。

Ac=susmoda;Bc=susmodb;Bwc=susmodbw;C=susmodc;C1=[0 Ac(2,2) Ac(2,3) Ac(2,4) 0];C2=C;Ag=Ac;Bg=[ Bwc Bc ];Cg=[ C1; C2 ];Dg=zeros(2,2);% Frequency Characteristicsw=logspace(-3,1,200);% No Control[magn,phasen]=bode(Ag,Bg,Cg,Dg,1,w);sysgb=20*log10(magn);figuresemilogx(w,sysgb)title(' SYSTEM FREQ. CHARACTERISTICS ')xlabel('Frequency --*100Hz')ylabel('Gain -- db')gridpause图12.6 无控制时系统的频率响应特性（2）计算频率加权函数并绘制频率特性图。

% Design specification3 --W1 & W3% Sensitivity Spec. -- 1/W1(s)dnw1i = [0 0.059 0.0036]; nuw1i = [1 0.006 0.0036]; svw1i = bode(nuw1i,dnw1i,w); svw1i = 20*log10(svw1i);% Robustness Spec. -- 1/W3(s)dnw3i = 0.1*[0.124 0.013 0.001]; nuw3i = [0.0025 0.5 1]; svw3i = bode(nuw3i,dnw3i,w); svw3i = 20*log10(svw3i);figuresemilogx(w,svw1i,'r',w,svw3i,'g')gridtitle('Design Specifications')xlabel('Frequency -- *100Hz'),ylabel('1/W1 & 1/W3 -- db') pause图12.7 频率加权函数1/W和1/3W1（3）利用Robust control toolbox提供的augtf（）命令建立具有混合灵敏度加权矩阵函数的扩展系统模型（见式（12.3-13）-(12.3-16)）.% Form an augmented plant P(s) with W1 and W3Gam = input('Input cost coefficient "Gam" =');% Gam=0.07 is avilablew1 = [Gam*dnw1i; nuw1i; Gam*dnw1i; nuw1i];w2 = [0 1; 0 1e4; 0 1; 0 1e4];w3 = [dnw3i; nuw3i; dnw3i; nuw3i];svw1i = bode(nuw1i,Gam*dnw1i,w); svw1i = 20*log10(svw1i); [A,B1,B2,C1,C2,D11,D12,D21,D22]=augtf(ag,bg,cg,dg,w1,w2,w3);（4）利用hinf （）命令，以“2-Riccati 方程”求解系统的∞H 控制问题，得到一个∞H 控制器⎥⎦⎤⎢⎣⎡=cp cpcp cp D C B A s K )( % H_inf Optimization (the Small_Gain problem )[acp,bcp,ccp,dcp,acl,bcl,ccl,dcl,ak,bk1,bk2,ck1,ck2,dk 11,dk12,dk21,dk22]=hinf(A,B1,B2,C1,C2,D11,D12,D21,D22) pause（5）检查是否满足设计要求（12.3-17）% Plots for evaluationing H_inf design performance% Computing L(s)=G(s)*F(s)[ al,bl,cl,dl ] = series(acp,bcp,ccp,dcp,ag,bg,cg,dg);% Computing Bode plot of the cost functionsvtt = sigma(acl,bcl,ccl,dcl,1,w); svtt = 20*log10(svtt);figuresemilogx(w,svtt) gridtitle([' COST FUNCTION Ty1u1 (Gam=',num2str(Gam),')']) xlabel('Frequency -- *100Hz') ylabel('SV -- db') pause程序运行结果表明已满足了1≤∞zw T 的条件，见图12.8图12.8 成本函数T zw 的特征值（6）比较灵敏度函数S(s)与1/W 1的奇异值、补灵敏度函数T （s ）与1/W 3的奇异值（注意：设计过程中，为了满足1≤∞zwT 的条件，W 1已被调整），程序运行结果表示在图12.9和12.10, 从这些图中可看到， |)(|))((11ωωσj W j s --≤和 |)(|))((13ωωσj W j T --≤的要求已达到。

鲁棒控制理论基础1-2章

28
Fang Hua-Jing , HUST 2008
29
等价定义
于是，等价的有
Fang Hua-Jing , HUST 2008
30
Fang Hua-Jing , HUST 2008
31
系统的范数
Fang Hua-Jing , Hing , HUST 2008
鲁棒控制理论基础
方华京
华中科技大学控制科学与工程系控制理论研究所
第一章、绪论
设计控制系统的典型基本步骤１．建立被控系统的模型并进行简化；２．分析得到的系统模型，确定其性质；３．根据对系统性能的要求，确定性能指标的形式和控制器的类型；４．选用某一控制理论进行控制器设计；５．在计算机进行数值仿真或在实验模型上进行物理仿真；６．仿真结果不满足要求时重复上述步骤；７．选择硬件和编制软件实现控制器．
13
2.2 系统增益与系统范数
Fang Hua-Jing , HUST 2008
14
Fang Hua-Jing , HUST 2008
15
奇异值分解定理:
Fang Hua-Jing , HUST 2008
16
Fang Hua-Jing , HUST 2008
17
Fang Hua-Jing , HUST 2008
Fang Hua-Jing , HUST 2008
36
2.3 系统范数的计算
Fang Hua-Jing , HUST 2008
37
Fang Hua-Jing , HUST 2008
38
Fang Hua-Jing , HUST 2008
39
Fang Hua-Jing , HUST 2008

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的，且无极点在虚轴上； Gˆ 的∞-范数是有限的，当且仅当 Gˆ 是正则的，
且无极点在虚轴上。
2021/4/9
证明：
假定 Gˆ 是严格正则的，无极点在虚轴上，那么其Bode幅频特性图在高频下降。不难看出，对于充分大的正数K和充分小的正数T，K Ts 1 的Bode图必定高于 Gˆ 的Bode图，即
2021/4/9
定理：设 Gˆ 稳定，且严格正则，则对于所有2-范数存在的u，有
(1) y 2
证明：
Gˆ u 2 表2.2的（1，1）项
(2) y
Gˆ u 22 表2.2的（1，2）项
(1) 由 y s
Gˆ s uˆ s
，且
y 2
yˆ 2
(Parseval定理)，有
y2 y2 1
2
22
2
yj d
, 2
或
0
0
0,
其它
则
y2 1 22
Gˆ j
2 u* j
2
d
1
0
2
1
Gj
d
2
0
2
2
1 22
G
2
Gˆ 2
2
2
0 Gˆ j 2 d
0
2
当 0, y Gˆ u*
2
2
u* 2
0 0
u* 1 2
充分小的正数，使得
Gj
Gˆ j 0
0 ,0
2021/4/9
y Gˆ u 22
证明： (2) 由 y t G u t
范数之间的关系
问题：一种范数有限是否意味着其他范数也有限？
*如果 u 2 ，那么 u是一功率信号，且
powu 0
证明：假定u的2-范数有限，则
1 T u t 2 dt 1 u 2
2T T
2T 2
当 T ，上面的不等式右边趋于0
2021/4/9
*如果 u是一功率信号且 u ，那么
1、 u 0
考察从（-∞，∞）映射到R 的信号。
假定它们是连续分段的，当然在t<0可以是0（即该信号从t=0时刻开始）。
2、 u 0 u t 0，t
3、 au a u ,a R
4、 u v 定义
1-范数
定义
u : u t dt
数有限），有
2
G
1
22
2
Gˆ j d
1
j
G
s Gˆ s ds
2j j
1 G s Gˆ s ds 2j
最后的积分是沿虚轴向上，然后沿包围左半平面的无穷大半
圆的回路积分。因为 Gˆ 是严格正则的，故沿无穷大半圆的积分等于0。根据留数定理，Gˆ 2等于G s Gˆ s 在它的左
2
半平面极点上的留数的和。
t<0，G(t)=0
有限维：Gˆ是实有理函数稳定性正则性
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Gˆ s
bm s m an s n
bm 1sm 1 an 1sn 1
b1s b0 a1s a0
稳定的
ai ,bj ,i 0,1, , n j 0,1, m
如果 Gˆ 在闭右半平面（Re s>0）解析，或在Re s>0无极点
被控系统是稳定的，因而传递函数 Gˆ 是稳定的。通常情况
下它也是严格正则的（或至少是正则的）。这两个表告诉我们在各种意义下u对y的影响有多大。例如，如果u是一个固定频率的正弦信号（可能来自于60Hz的功率源），那么表 2.1的第二列给出了三种意义下y的相对大小。更一般的情况是干扰信号预先未知，因此表2.2更有意义。
max Gˆ
1k N
j
k
另一方法是通过解方程
d Gˆ 2 j0
d
找到 Gˆ j 的最大值的位置。因为 Gˆ 是有理的，这个导数
可以用公式算出，然后就只需计算导出的多项式的根。
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例5
考察
Gˆ s as 1 a,b 0 bs 1
观察其Bode幅频特性图：
当 a b ，它是递增的（高通），
ω
若取 Hˆ s
K, Ts 1
T,K 0
Hˆ j
K
lim Hˆ j
0 sup Hˆ j
1 T2 2
令K充分大，T充分小（曲线充分平坦），则必有 Hˆ j
K Gˆ j ,
Hˆ Gˆ
2
2
Hˆ
1
22
1
K2 T2
2d
1/ 2
1 K 2 tg 1 T 2T
1/ 2
K 2T
Gˆ
充分性得证。
2
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必要性：（反证法）
2021/4/9
集合包含关系(Venn图)
pow 2
∞
1
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例1
0, t 0
u1(t)
u1
t
1
t ,0t 1
1
0,
t 1
1
t
它的1-范数有限：
u1
1
1 1 dt 2 0t
它的2-范数无限，因为 1/t 的积分在区间 [0,1] 是发散的
同理，也不是功率信号
又因 u1 是无界的，因此||u1||∞ 是无限的
反之，它是递减的（低通）。
于是
Gˆ
a b, a b
1, a b
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2.3 输入-输出关系
问题：如果我们知道输入信号的大小，那么输出会是多大？
考察一个线性系统，输入为 u ，输出为 y ，
传递函数为 Gˆ ，假定它是稳定的和严格正则的。结果概括在表2.1和表2.2中
2021/4/9
若 Gˆ 存在虚轴上的极点，则在极点处 Gˆ j 则 Gˆ
2
若 Gˆ 不是严格正则，则若 Gˆ 是双正则的， Gˆ j
若 Gˆ 不是正则的，Gˆ j 必要性得证。
bn 0
an
Gˆ
2
关于∞-范数，类似可得证。
2021/4/9
如何计算2-范数
按定义
假设 Gˆ 是严格正则的，且无极点在虚轴上（因而它的2-范
yt
Cauchy-Schwarz不等式
Gt u d
G2 t
1/ 2
d
G2 t
1/ 2
d
1/ 2
u2 d
1/ 2
u2 d
或
y
2021/4/9
G u Gˆ u , t
22
22
Gˆ u 22
y
Gˆ
u
2
2
Parseval定理
下面证明 Gˆ 是最小上界 2
选择
ut
Gt ,
G 2
u1 2
则有 y t
Gt u d
表2.1 对两种输入的输出范数和pow
ut t
u t sin t
y 2
y
pow y
Gˆ 2
G
Gˆ j
0
1 Gˆ j 2
2021/4/9
表2.2 系统增益
u 2
y
Gˆ
2
y
Gˆ
2
pow y
0
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u
pow u
G 1
Gˆ
Gˆ
两表的典型应用及意义
假定在控制系统的分析或设计中除了其他因素外，要求干扰的影响减弱。设被控系统有一干扰输入u，它对对象输出y的影响是相当小的。令G是从u到y的脉冲响应。我们总是要求
鲁棒控制理论
第二章信号和系统的范数
2021/4/9
描述一个控制系统性能的方法之一是用某些我们感兴趣的信号的大小来表示。
本章
考察几种定义信号大小的方法（即信号的几种范数）介绍系统传递函数的范数给出两个非常有用的表，概括了输入-输出范数关
系。
2021/4/9
2.1 信号的范数
范数的4条性质
2
∞
1
2021/4/9
例2
0, t 0
u2(t)
u2
t
1
4
t ,0t
1
1
0,
t 1
1
t
它的1-范数存在
它的2-范数存在
u2 1
1 1 dt 4
0 4t
3
u2
2 2
11 dt 2
0t
2
u2 2 2
∞
它的∞-范数不存在 1
2021/4/9
例3
u3
t
0 1
t0 t 0
1
0
G
Gt
d
G
2
y0
则G 2
G2 d
G 2
Gˆ y 2
y
Gˆ
u
2
1
G2
G
2
y
所以 u
2021/4/9
dG 2
Gˆ 2
K Tj 1 Gˆ j ,
但K Ts 1 的2-范数有限，且其2-范数等于K 2T ，因此 Gˆ
有有限的2-范数。
其余的证明与此类似。
看看更详细证明
下一部分内容
2021/4/9
引理1的更详细证明
Hˆ
关于2-范数
Gˆ
充分性：若 Gˆ 严格正则，且无极点在虚轴上，则
lim Gˆ j 0
sup Gˆ j
它的1-范数不存在
1
u3 1
1dt
0
它的2-范数不存在
u3
2 2
1
1dt
0
它的∞-范数存在
u3 1
2021/4/9
t
2
∞
1
2.2 系统的范数