2019-2020学年新人教A版必修二 平面向量 教案
2019-2020学年新人教A版必修二 平面向量的概念与表示 教案
平面向量的概念与表示课程目标知识提要平面向量的概念与表示向量的基本概念我们把既有方向，又有大小的量叫做向量（vector）．带有方向的线段叫做有向线段．我们在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以为起点、为终点的有向线段记做，起点写在终点的前面．有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．向量可以用有向线段来表示．向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记做，长度为的向量叫做零向量（zero vector），记做．零向量的方向不确定．长度等于个单位的向量，叫做单位向量（unit vector）．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（parallel vectors），向量、平行，通常记做．规定零向量与任一向量平行，即对于任意向量，都有．相等向量与共线向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量（equal vector）．向量与相等，记做．任一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量（collinear vectors）．精选例题平面向量的概念与表示1. 已知向量，是两个非零向量，，分别是与，同方向的单位向量，则①；②或；③；④，其中结论正确的序号为．【答案】④2. 把同一平面内所有模不小于，不大于的向量的起点移到同一点，则这些向量的终点构成的图形是．【答案】圆环面【分析】将平面中所有长度为的向量的起点移到同一点则该向量终点在以为圆心，以为半径的圆上，所以，所有长度不小于，不大于的向量将起点移到同一点，终点在一个内径为，外径为的圆环面上．3. 如图，四边形为正方形，为等腰直角三角形．图中与共线的向量有；图中与相等的向量有；图中与模相等的向量有；图中与相等的向量有．【答案】，，，，，，；，；，，，，，，，，；【分析】由平面中的位置关系及大小确定向量间的关系．4. 若向量则 | | ．【答案】5. "向量与是两平行向量"的正误是．【答案】正确6. 有以下个条件：①；②；③与的方向相反；④或；⑤与都是单位向量．其中能使成立的是．（填正确的序号）【答案】①③④【分析】共线向量是指向量所在的基线平行或重合，零向量与任何向量共线，故①③④正确．7. 一艘船以的速度出发向垂直于对岸的方向行驶，而船实际的航行方向与水流成，则船的实际速度的大小为，水流速度的大小为．【答案】；8. 如图，是正三角形的中心；四边形和均为平行四边形，则与向量相等的向量有；与向量共线的向量有；与向量的模相等的向量有．（填图中所画出的向量）【答案】；，；，，，，【分析】因为是正三角形的中心，所以，所以结合相等向量及共线向量定义可知：与相等的向量有；与共线的向量有，；与的模相等的向量有，，，，．9. 若是的单位向量，则与的方向，且．【答案】相同；【分析】根据．10. 是正三角形，那么与的夹角是度．【答案】11. 在四边形中，，则这个四边形的形状是．【答案】平行四边形【分析】由可得且，所以四边形是平行四边形．12. 给出下列命题：①和的模相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量就是有向线段；④，⑤．其中正确的命题是．（填序号）【答案】①13. 向量：既有，又有的量叫向量．【答案】大小；方向14. 若，与反向，，则．【答案】【分析】，与反向，，则．15. "平行向量的方向一定相同"的正误是．【答案】错误【分析】平行向量的方向可以相同或相反．16. "当且仅当时，四边形是平行四边形"的正误是 .【答案】错误【分析】四边形是平行四边形；但时，这四点可能在一条线上，故反过来不正确．17. 向量的有关概念：（1）零向量：长度为的向量叫做零向量，记作．（2）单位向量：长度为的向量叫做单位向量．（3）相等向量：且的向量叫做相等向量．（4）平行向量（共线向量）：方向的向量叫做平行向量，也叫共线向量．①记法：向量平行于，记作．②规定：零向量与平行．【答案】（1）；（2）（3）长度相等；方向相同（4）相同或相反；非零①②任一向量18. 给出下列命题：①若，则；②若是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件；③若，，则；④的充要条件是且；⑤若，，则．其中正确的序号是．【答案】②③19. 如图，设是正六边形的中心，则图中与向量相等的向量是，与相等的向量是，与相等的向量是．【答案】，；，；，，20. 在四边形中，＝且＝，则四边形的形状为．【答案】菱形21. 如图，半圆的直径，是半圆上的一点，，分别是，上的点，且，，．(1)求证：向量；【解】由题意知，在中，，，，所以．又点为半圆上一点，则．所以，故．(2)求．【解】由知．所以，即．所以，即．22. 如图所示的方格纸由若干个边长为的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点，，点为小正方形的顶点，且．(1)画出所有的向量；【解】画出所有的向量如图所示．(2)求的最大值与最小值．【解】由所画的图知，当点位于点或时，取得最小值；当点位于点和时，取得最大值，所以的最大值为，最小值为．23. 如图所示，在梯形中，若、分别为腰、的三等分点，且，，求．【解】解：如图，过作，分别交、于点、，因为，所以．因为，所以．又、分别为腰、的三等分点，所以为的三等分点，所以，，所以，所以．24. 如图所示，点是正六边形的中心，则以图中，，，，，，七点中的任一点为起点，与该点不同的另一点为终点的所有向量中，设与向量相等的有个，与模相等的向量有个，与共线的向量有个，求，，的值．【解】与向量相等的向量有个，分别为，，，即；与向量模相等的向量共有个，即；与共线的向量共有个，即．25. 已知是坐标原点，点在第一象限，，，求向量的坐标．【解】设点，则，，即，所以．26. 如图所示，是正六边形的中心，且，，．(1)与的长度相等的向量有多少个？（只考虑图中能用字母表示的向量）【解】与的长度相等的向量有个．(2)与的长度相等且方向相反的向量有哪些？【解】与的长度相等且方向相反的向量有，，，．(3)与共线的向量有哪些？【解】与共线的向量有，，，，，，，，．(4)请一一列出分别与，，相等的向量．【解】与相等的向量有，，；与相等的向量有，，；与相等的向量有，，．27. 如图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是象棋中马的走法．马可从跳到，也可以跳到，用向量，表示马走了"一步"．试在图中画出马在，处走了“一步”的所有情况．【解】马在处只有处可走，在处有处可走．图形中马的走法如下：28. 中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图是中国象棋的半个棋盘，若马在处，可跳到，也可跳到，用向量，表示马走了“一步”，试在图中画出马在，处走了“一步”的所有情况．【解】如图所示．马在处有条路可走，在处有条路可走，而在处有条路可走，解题时应做到不重、不漏．29. 如图，已知＝＝．求证：(1)；【解】因为＝，所以＝，且．又因为不在上，所以．所以四边形是平行四边形．所以＝．同理＝＝．所以．(2)＝＝．【解】因为四边形是平行四边形，所以，且＝．所以＝．同理可证＝．30. 在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为．(1)试以为终点画一个向量，使＝；【解】根据相等向量的定义，所作向量与向量平行，且长度相等，如图．(2)在图中画一个以为起点的向量，使＝，并说出向量的终点的轨迹是什么？【解】由平面几何知识可知所有这样的向量的终点的轨迹是以为圆心，半径为的圆．31. 如图，，，，是上的八个等分点，则在以，，，及圆心九个点中任意两点为起点与终点的向量中，(1)模等于半径的向量有多少个？【解】模等于半径的向量只有两类，一类是，共个；另一类是，也有个．两类合计共个．(2)模等于半径的倍的向量有多少个？【解】以，，，为顶点的的内接正方形有两个，一个是正方形；另一个是正方形．在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边（看成有向线段，每一边对应两个向量）的长度为半径的倍．所以模为半径的倍的向量共有个．32. 如图所示，是正六边形的中心，且＝＝＝．(1)与的模相等的向量有多少个？【解】与的模相等的向量有个．(2)与的长度相等，方向相反的向量有哪些？【解】与的长度相等且方向相反的向量有．(3)与共线的向量有哪些？【解】与共线的向量有．(4)请一一列出与相等的向量．【解】与相等的向量有；与相等的向量有；与相等的向量有．33. 某人从点出发向西走了到达点，然后改变方向向北偏西走了到达点．作出向量，，．【解】作出向量如图所示．34. 如图，在矩形中，，、分别为和的中点．（只考虑以、、、、、为起点和终点的所有向量）(1)与向量相等的向量有哪些？与向量相反的向量有哪些？【解】与向量相等的向量有，；向量的相反向量有，，．(2)与向量相等的向量有哪些？与向量相反的向量有哪些？【解】与向量相等的向量有，，；向量的相反向量有，，，．(3)长度为的相等的向量有几对？【解】长度为的相等的向量有与，与，与，与，共对．(4)长度为的相等的向量有几对？【解】长度为的相等的向量有对，其中与同向的有对，与反向的有对，与同向的有对，与反向的有对，共对．35. 如图，已知平面上一点和向量，作出同时满足下列三个条件的向量：（）以点为起点；（）与的长度相等；（）与平行．【解】如图，、即为所求．36. 如图所示，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形．(1)分别写出与，相等的向量；【解】与相等的向量为，，．与相等的向量为，，．(2)写出与共线的向量；【解】与共线的向量有，，，，，，，，．(3)写出与的模相等的向量．【解】与的模相等的向量为，，，，，，，，，，，，，，．37. 已知向量，，且，求，的值．【解】根据两向量相等的充要条件是对应坐标相等，可得到解得38. 一艘军舰从基地出发向东航行了到达基地，然后改变航线向东偏北航行了到达岛，最后又改变航线向西航行了到达岛．(1)试作出向量，，；【解】建立如图所示的直角坐标系，向量，，即为所求．(2)求．【解】根据题意，向量与方向相反，故向量．又，四边形为平行四边形，，（海里）．39. 如图，在等腰梯形中，，对角线与相交于点，是过点且平行于的线段．(1)写出图中与共线的向量；【解】图中与共线的向量有，，，．(2)写出图中与方问相同的向量；【解】图中与方向相同的向量有，，，．(3)写出图中与，的模相等的向量；【解】图中与的模相等的向量有，与的模相等的向量有．(4)写出图中与相等的向量．【解】图中与相等的向量为．40. 如图所示，的三边均不相等，、、分别是、、的中点．(1)写出与共线的向量；【解】因为、分别是、的中点，所以且．又因为是的中点，所以与共线的向量有：．(2)写出与的模大小相等的向量；【解】与模相等的向量有：．(3)写出与相等的向量．【解】与相等的向量有：与．课后练习1. 下列各种情况中，向量的终点在平面内各构成什么图形．①把所有单位向量移到同一起点；②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点；③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点．①；②；③．2. 四边形中，，．则四边形为．3. 已知在矩形中，，，则的模等于．4. （1）下图中，小正方形的边长为，则，，；（2）把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是．5. 对于下列命题：①相反向量就是方向相反的向量；②不相等的向量一定不平行；③相等的向量一定共线；④共线的单位向量一定相等；⑤共线的两个向量一定在同一条直线上．其中真命题的序号为．6. "向量与是共线向量，则四点必在同一直线上"的正误是．7. 若某人从点出发向东走至点，从点向北走至点，则点相对于点的位置向量为．8. 已知，则．9. " 与共线，与共线，则与也共线"的正误是．10. 判断题：（1）与是两平行向量．（2）若是单位向量，也是单位向量，则．（3）长度相等且方向相反的两个向量不一定是平行向量．（4）与任一向量都平行的向量为零向量．（5）四边形是平行四边形，当且仅当．（6）两向量相等，当且仅当它们的起点相同，终点也相同．（7）若，，则．（8）若，且，则四边形是菱形．（9）若与是共线向量，则，，，四点必在同一直线上．11. 如图所示，、分别为边、的中点，则与向量共线的向量有（将图中符合条件的向量全写出来）．12. 下列命题中，正确的是．（填序号）①；②；③；④．13. 若非零向量与互为相反向量，给出下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号为．14. 一架飞机向北飞行千米后，改变航向向东飞行千米，则飞行的路程为；两次位移的和的方向为，大小为千米．15. 若平面向量、满足，，且以向量、为邻边的平行四边形的面积为，则和的夹角的取值范围是．16. 在平面上下列各种情形中，各向量的终点的集合分别构成什么图形？请将答案填在横线上．（1）把所有单位向量的起点平移到同点；．（2）把平行于直线的所有单位向量的起点平移到直线上的点；．（3）把平行于直线的所有向量的起点平移到直线上的点．．17. ”单位向量不一定都相等“的正误是（填“正确”或“错误”）．18. 向量的几何表示：以为起点，为终点的向量记作．19. 给出下列命题：①若，则向量与的长度相等且方向相同或相反；②对于任意非零向量与，若，且与的方向相同，则；③非零向量与非零向量满足，则向量与方向相同或相反；④向量与是共线向量，则，，，四点共线；⑤若，且，则．其中正确命题的个数为．20. 已知为正六边形，若向量，则；（用坐标表示）．21. 判断下列各命题是否正确：(1)零向量没有方向；(2)若，则；(3)单位向量都相等；(4)向量就是有向线段；(5)若，，则；(6)若，，则；(7)若四边形是平行四边形，则，．22. 如图，已知矩形中，设点集，求集合且．23. 在单位圆中，是的中点，过且，，，则在向量，，，，，，，，中，(1)找出相等的向量；(2)找出单位向量；(3)找出与共线的向量；(4)求向量，的长度．24. 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．(1)向量与是共线向量，则、、、四点必在同一条直线上；(2)单位向量都相等；(3)任一向量与它的相反向量不相等；(4)四边形是平行四边形，则；(5)如果一个向量的方向不确定，那么这个向量的长度一定为；(6)共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．25. 判断正误，并简要说明理由．；；；；若，则对任一非零向量，有；若，则与中至少有一个为；若与是两个单位向量，则．26. 如图，四边形和都是平行四边形．(1)写出与向量相等的向量；(2)若，求．27. 一辆消防车从地去地执行任务，先从地向北偏东方向行驶千米到地，然后从地沿北偏东方向行驶千米到达地，从地又向南偏西方向行驶千米才到达地．(1)在如图所示的坐标系中画出，，，；(2)求地相对于地的位置向量．28. 判断下列命题的真假．(1)作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量；(2)数轴是向量；(3)温度是向量．。
2019-2020学年新人教A版必修二 平面向量的概念 教案
1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算3.向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.概念方法微思考1．若b与a共线，则存在实数λ使得b＝λa，对吗？提示不对，因为当a＝0，b≠0时，不存在λ满足b＝λa.2．如何理解数乘向量？提示λa的大小为|λa|＝|λ||a|，方向要分类讨论：当λ>0时，λa与a同方向；当λ<0时，λa与a反方向；当λ＝0或a为零向量时，λa为零向量，方向不确定．3．如何理解共线向量定理？提示如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．( √ ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × )(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( √ ) (6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( × ) 题组二 教材改编2．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________.(用a ，b 表示) 答案 b －a －a －b解析 如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .3．在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状为________． 答案 矩形解析 如图，因为AB →＋AD →＝AC →，AB →－AD →＝DB →， 所以|AC →|＝|DB →|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD 是矩形． 题组三 易错自纠4．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________. 答案 12解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.6．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 答案 12解析 DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →， ∴λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.题型一 平面向量的概念1．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则ABCD 为平行四边形； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中真命题的序号是________． 答案 ③解析 ①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；②错误，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；③正确，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；④错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；⑤错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线． 故填③.2．判断下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b |.其中正确的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析 只有④正确．思维升华向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线．题型二 平面向量的线性运算命题点1 向量加、减法的几何意义例1(2017·全国Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则( ) A ．a ⊥b B ．|a |＝|b | C ．a ∥b D ．|a |>|b |答案 A解析 方法一 ∵|a ＋b |＝|a －b |， ∴|a ＋b |2＝|a －b |2.∴a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2－2a·b . ∴a·b ＝0.∴a ⊥b . 故选A.方法二 利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ， 由|a ＋b |＝|a －b |知，|AC →|＝|DB →|，从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b . 故选A.命题点2 向量的线性运算例2(1)在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设AB →＝a ，AD →＝b ，则向量BF →等于( ) A.13a ＋23b B ．－13a －23bC ．－13a ＋23bD.13a －23b 答案 C解析 BF →＝23BE →＝23(BC →＋CE →)＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a ＝－13a ＋23b ， 故选C.(2)(2018·全国Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →等于( ) A.34AB →－14AC → B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC → 答案 A解析 作出示意图如图所示．EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB →＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →) ＝34AB →－14AC →.故选A.命题点3 根据向量线性运算求参数例3 在锐角△ABC 中，CM →＝3MB →，AM →＝xAB →＋yAC →，则x y＝________.答案 3解析 由题意得CA →＋AM →＝3(AB →－AM →)， 即4AM →＝3AB →＋AC →， 亦即AM →＝34AB →＋14AC →，则x ＝34，y ＝14.故x y＝3.思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练1(1)在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD →＝2DC →，CE →＝3EA →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则DE →等于( ) A.13a ＋512b B.13a －1312b C ．－13a －512bD ．－13a ＋1312b答案 C解析 DE →＝DC →＋CE →＝13BC →＋34CA →＝13(AC →－AB →)－34AC → ＝－13AB →－512AC →＝－13a －512b ，故选C.(2)(2018·威海模拟)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，若AB →＝xAE →＋yAF→(x ，y ∈R )，则x －y ＝________. 答案 2解析 由题意得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AD →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12AB →，因为AB →＝xAE →＋yAF →，所以AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y2＝1，x2＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝43，y ＝－23，所以x －y ＝2.题型三 共线定理的应用例4设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， 求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． (1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )， ∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b ) ＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →， ∴AB →，BD →共线．又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)解 假设k a ＋b 与a ＋k b 共线， 则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )， 即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量， ∴k －λ＝λk －1＝0.消去λ，得k 2－1＝0，∴k ＝±1. 引申探究1．若将本例(1)中“BC →＝2a ＋8b ”改为“BC →＝a ＋m b ”，则m 为何值时，A ，B ，D 三点共线？ 解 BC →＋CD →＝(a ＋m b )＋3(a －b )＝4a ＋(m －3)b ，即BD →＝4a ＋(m －3)b .若A ，B ，D 三点共线，则存在实数λ，使BD →＝λAB →. 即4a ＋(m －3)b ＝λ(a ＋b )．所以⎩⎪⎨⎪⎧4＝λ，m －3＝λ，解得m ＝7.故当m ＝7时，A ，B ，D 三点共线．2．若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k 为何值？ 解 因为k a ＋b 与a ＋k b 反向共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )(λ<0)．所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝λ，k λ＝1，所以k ＝±1.又λ<0，k ＝λ，所以k ＝－1. 故当k ＝－1时两向量反向共线．思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．跟踪训练2已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 证明 (1)若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)， ∴OP →－OB →＝m (OA →－OB →)， 即BP →＝mBA →，∴BP →与BA →共线．又∵BP →与BA →有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线． (2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP →＝λBA →， ∴OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)． 又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →， 即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0.∵O ，A ，B 不共线，∴OA →，OB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.1．对于非零向量a ，b ，“a ＋2b ＝0”是“a ∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 若a ＋2b ＝0，则a ＝－2b ，所以a ∥b . 若a ∥b ，则a ＋2b ＝0不一定成立， 故前者是后者的充分不必要条件．2．已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线 D ．B ，C ，D 三点共线 答案 B解析 ∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2AB →， ∴BD →与AB →共线，由于BD →与AB →有公共点B ， 因此A ，B ，D 三点共线，故选B.3.如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 上的一个靠近点B 的三等分点，那么EF →等于( )A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA →D.12AB →－23AD → 答案 D解析 在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →. 因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 上的一个靠近点B 的三等分点，所以CF →＝23CB →.所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →，故选D. 4．(2018·唐山模拟)在△ABC 中，点G 满足GA →＋GB →＋GC →＝0.若存在点O ，使得OG →＝16BC →，且OA→＝mOB →＋nOC →，则m －n 等于( ) A ．2B ．－2C ．1D ．－1 答案 D解析 ∵GA →＋GB →＋GC →＝0， ∴OA →－OG →＋OB →－OG →＋OC →－OG →＝0，∴OG →＝13()OA →＋OB →＋OC →＝16BC →＝16()OC →－OB →，可得OA →＝－12OC →－32OB →，∴m ＝－32，n ＝－12，m －n ＝－1，故选D.5.如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →等于( )A ．a －12bB.12a －b C ．a ＋12bD.12a ＋b 答案 D解析 连接OC ，OD ，CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，可得∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝60°，且△OAC 和△OCD 均为边长等于圆O 半径的等边三角形，所以四边形OACD 为菱形，所以AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b ，故选D.6.如图，在△ABC 中，AN →＝13AC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为( )A.911 B.511 C.311 D.211答案 B解析 注意到N ，P ，B 三点共线， 因此AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →，从而m ＋611＝1，所以m ＝511.7．若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，则|AB →＋AC →|＝________. 答案 2 3解析 因为|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2， 所以△ABC 是边长为2的正三角形，所以|AB →＋AC →|为△ABC 的边BC 上的高的2倍， 所以|AB →＋AC →|＝2 3.8．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________． 答案 直角三角形解析 因为OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →， 所以|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|， 即AB →·AC →＝0，故AB →⊥AC →，△ABC 为直角三角形．9．若M 是△ABC 的边BC 上的一点，且CM →＝3MB →，设AM →＝λAB →＋μAC →，则λ的值为________． 答案 34解析 由题设知CM MB＝3，过M 作MN ∥AC 交AB 于N ，则MN AC ＝BN BA ＝BM BC ＝14，从而AN AB ＝34，又AM →＝λAB →＋μAC →＝AN →＋NM →＝34AB →＋14AC →，所以λ＝34.10．(2019·钦州质检)已知e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，MN →＝2e 1－3e 2，NP →＝λe 1＋6e 2，若M ，N ，P 三点共线，则λ＝________. 答案 －4解析 因为M ，N ，P 三点共线， 所以存在实数k 使得MN →＝kNP →， 所以2e 1－3e 2＝k (λe 1＋6e 2)， 又e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，可得⎩⎪⎨⎪⎧2＝k λ，－3＝6k ，解得λ＝－4.11．如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，求△ABC 与△AOC 的面积之比．解 取AC 的中点D ，连接OD ，则OA →＋OC →＝2OD →， ∴OB →＝－OD →，∴O 是AC 边上的中线BD 的中点， ∴S △ABC ＝2S △OAC ，∴△ABC 与△AOC 面积之比为2∶1.12.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示向量AO →.解 方法一 由D ，O ，C 三点共线， 可设DO →＝k 1DC →＝k 1(AC →－AD →)＝k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫b －12a＝－12k 1a ＋k 1b (k 1为实数)，同理，可设BO →＝k 2BF →＝k 2(AF →－AB →) ＝k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －a ＝－k 2a ＋12k 2b (k 2为实数)，① 又BO →＝BD →＋DO →＝－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 1a ＋k 1b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，②所以由①②，得－k 2a ＋12k 2b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，即12(1＋k 1－2k 2)a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2－k 1b ＝0.又a ，b 不共线， 所以⎩⎪⎨⎪⎧12(1＋k 1－2k 2)＝0，12k 2－k 1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝13，k 2＝23.所以BO →＝－23a ＋13b .所以AO →＝AB →＋BO →＝a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a ＋13b ＝13(a ＋b )．方法二 延长AO 交BC 于点E ，O 为△ABC 的重心，则E 为BC 的中点， 所以AO →＝23AE →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(a ＋b )．13．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于( )A.58B.14C ．1D.516 答案 A解析 DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →， 所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58，故选A.14．A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(1，2] D ．(－1,0)答案 B解析 设OC →＝mOD →，则m >1， 因为OC →＝λOA →＋μOB →， 所以mOD →＝λOA →＋μOB →，即OD →＝λm OA →＋μmOB →，又知A ，B ，D 三点共线， 所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ，所以λ＋μ>1，故选B.15．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2OA →＋12OB →＋12OC →，则点P 一定为△ABC 的( ) A ．BC 边中线的中点B ．BC 边中线的三等分点(非重心) C ．重心D ．BC 边的中点 答案 B解析 设BC 的中点为M ， 则12OC →＋12OB →＝OM →， ∴OP →＝13(OM →＋2OA →)＝13OM →＋23OA →，即3OP →＝OM →＋2OA →，也就是MP →＝2PA →， ∴P ，M ，A 三点共线，且P 是AM 上靠近A 点的一个三等分点．16．设W 是由一平面内的n (n ≥3)个向量组成的集合．若a ∈W ，且a 的模不小于W 中除a 外的所有向量和的模．则称a 是W 的极大向量．有下列命题： ①若W 中每个向量的方向都相同，则W 中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量a ，b ，在该平面内总存在唯一的平面向量c ＝－a －b ，使得W ＝{a ，b ，c }中的每个元素都是极大向量；③若W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量，且W 1，W 2中无公共元素，则W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量． 其中真命题的序号是________． 答案 ②③解析 ①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由题意得a ，b ，c 围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；③3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量时，W1∪W2中的每一个元素也都是极大向量，故正确．。
平面向量的概念教学设计-高一下学期数学人教A版(2019) 必修第二册
平面向量的概念教学设计一．教学内容分析：向量是近代数学中重要和基本的概念之一，向量理论具有丰富的物理背景，深刻的数学内涵。
向量既是代数的研究对象，也是几何的研究对象，是沟通几何和代数的一个桥梁，也是进一步学习和研究其他数学领域问题的一个基础，在解决实际问题中发挥着非常重要的作用，本章内容通过实际背景引入向量的概念，类比数的运算学习向量的运算及其性质，建立向量的运算体系，在此基础上，用向量的语言方法表述和解决现实中数学和物理中的一些问题。
二．学情分析：向量是本册书新引入的概念，学生对新概念的接受是比较困难的。
但是在生活中和物理学的学习过程中是经常用到的，所以对本节课应该从实际生活方面引入，激发学生的学习兴趣，让学生们都参与到积极探究新知识的学习过程中，激发学生的学习兴趣和求知欲。
三．教学目标设定【知识与技能】1.掌握向量的概念2.能正确进行平面向量的几何表示【过程与方法】通过学生对向量的学习，使学生对现实生活中向量和数量的概念有一定清楚的认识，培养学生分析问题和解决问题的能力。
【情感态度与价值观】1.激发学生的求知欲，培养学生良好的数学思维习惯以及勤于动脑的学习习惯。
2.学生在独立思考的基础上，主动参与到数学活动的过程中,感受数学思考过程的条理性和数学结论的确定性,增强学好数学的信心。
四．教学方法的选择1.结合本节课的内容特点和学情分析，本节课主要采用问题启发，任务驱动的教学方法;2.学生自主思考探究，小组交流讨论的学习方式。
五．教学媒体的选择教科书，黑板，粉笔，教师语言，手势，板书，多媒体计算机，PPT。
六．教学重难点【重点】向量的概念以及其几何表示【难点】对向量概念的理解七．教学过程（一）创设情景，导入新课情境导入--教师活动：在生活中，我们会遇到很多量。
其中一些量，在取定单位之后只用一个实数就能表示出来，比如长度，质量。
就像老师手里这支粉笔，长6cm，重0.6g。
还有一些量，则不是这样。
小船由A地向东南方向航行15n mile到达B地，如果仅指出由A地航行15n mile，不指明方向，小船一定能到达B地吗？学生活动：学生就教师提出的问题进行，思考，回答得出：不一定，如果小船向其他方向航行，则无法到达B地。
2019-2020年高中数学平面教案新课标人教版必修2(A)
2019-2020年高中数学平面教案新课标人教版必修2(A)一、教学目标：1、知识与技能（1）利用生活中的实物对平面进行描述；（2）掌握平面的表示法及水平放置的直观图；（3）掌握平面的基本性质及作用；（4）培养学生的空间想象能力。
2、过程与方法（1）通过师生的共同讨论，使学生对平面有了感性认识；（2）让学生归纳整理本节所学知识。
3、情感与价值使用学生认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣。
二、教学重点、难点重点：1、平面的概念及表示；2、平面的基本性质，注意他们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言。
难点：平面基本性质的掌握与运用。
三、学法与教学用具1、学法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板四、教学思想（一）实物引入、揭示课题师：生活中常见的如黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等等，都给我们以平面的印象，你们能举出更多例子吗？引导学生观察、思考、举例和互相交流。
与此同时，教师对学生的活动给予评价。
师：那么，平面的含义是什么呢？这就是我们这节课所要学习的内容。
（二）研探新知1、平面含义师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说的平面，就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的。
2、平面的画法及表示师：在平面几何中，怎样画直线？（一学生上黑板画）之后教师加以肯定，解说、类比，将知识迁移，得出平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
如果几个平面画在一起，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应画成虚线或不画（打出投影片） D CB A α β β课本P41 图 2.1-4 说明平面内有无数个点，平面可以看成点的集合。
2019-2020年高中数学人教A版(2019)必修第二册教案：6.1 平面向量的概念 Word版
姓名，年级：时间：第六章平面向量及其应用6。
1 平面向量的概念教学设计一、教学目标1.通过对生活中力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景；2.理解向量的意义及几何表示；3.掌握相等向量与共线向量的意义.二、教学重难点1.教学重点掌握向量、相等向量、共线向量的概念及向量的几何表示。
2.教学难点对共线向量的理解及掌握.三、教学过程（一）新课导入师：我们在学习物理时，学过力、位移、速度，它们有什么共同属性呢？生：既有大小,又有方向.师：下面我们来学习这些量。
（二）探索新知1.问:我们对这些既有大小，又有方向的量给出一个定义，叫做向量，并且把只有大小，没有方向的量叫做数量.同学们来举出你知道的向量与数量的例子。
（学生举手回答）如，向量：作用力、反作用力、加速度等;数量：身高、体重、面积、质量等.2.问：数量可以用数轴上的点来表示吗？答：可以，因为数量可以用实数表示，而实数与数轴上的点一一对应，所以数量可用数轴上的点表示,而且不同的点表示不同的数量。
问:如何表示向量呢？在表示位移的时候，若小船以A为起点,B为终点，我们可以用连接A，B两点的线段长度代表小船行进的距离，在终点B处加上箭头表示小船行驶的方向。
于是，这条“带有方向的线段"就可以用来表示位移.同样，我们可以用带箭头的线段来表示向量，线段的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向。
在线段AB中,假设A为起点,B为终点,我们就说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段。
通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作,线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作。
问:总结有向线段的几个要素。
有向线段的三要素：起点、方向、长度.向量可以用有向线段来表示，我们把这个向量记作向量.有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作。
长度为0的向量叫做零向量,记作.长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.向量也可用字母a b c，，，…表示.例1（课本P3）3.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
2019-2020学年高中数学新教材人教A版必修第二册教案：8.4.1
第八章立体几何初步8.4.1 平面教学设计一、教学目标1.了解平面及平面的表示法。
2.会用平面的基本性质证明点共线、线共点、点线共面三个典型问题。
3.熟悉符号语言、文字语言和图形语言之间的转换。
二、教学重难点1.教学重点平面的基本性质。
2.教学难点符号语言、文字语言和图形语言之间的转换。
三、教学过程1.新课导入在初中，我们已经对点和直线有了一定的认识，知道它们都是由现实事物抽象得到的。
生活中也有一些物体给我们以平面的直观感觉，如课桌面、黑板面、平静的水面等。
几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的。
类似于直线向两端无限延伸，平面是向四周无限延伸的。
2.探索新知我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面。
当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向。
我们常用希腊字母等表示平面，如平面、平面、平面等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称。
下面，我们来研究平面的基本性质。
基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面。
基本事实1给出了确定一个平面的依据，也就是说，不共线的三点确定一个平面。
直线上有无数个点，平面内有无数个点，直线、平面都可以看成是点的集合。
点A在直线l上，记作；点B在直线l外，记作；点A在平面内，记作；点P在平面外，记作。
基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。
利用基本事实2，可以判断直线是否在这个平面内。
平面内有无数条直线，平面可以看成是直线的集合。
如果直线l上所有的点都在平面内，就说直线l在平面内，记作；否则，就说直线l不在平面内，记作。
基本事实2也可以用符号表示为且。
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
基本事实3告诉我们，如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交于过这个公共点的一条直线。
人教A版新课标高中数学必修二教案 《平面向量的概念》
《平面向量的概念》教学设计本课是《平面向量》这一章的起始课，具有核心地位、统领全局的作用。
在此之前，学生已经掌握了数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）。
另外，学生在物理学科中已经积累了很多向量模型，并且在三角函数的学习过程中接触到有向线段的概念，为本节课的学习提供了知识准备。
本节将学习平面向量的概念、表示及关系。
现实生活中的位移、力、速度是其物理背景，向量的概念就是从这些实际背景抽象而成；通常借用有向线段形象直观的表示向量及其运算。
（1）了解向量的实际背景，经历平面向量及其概念的形成过程，培养学生抽象问题的能力；（2）掌握向量的几何表示，理解平面向量、相等向量和共线向量的概念，体会数学研究的一般过程。
教学重点：本节的重点是向量概念的形成过程。
1．教学问题：（1）学习过程中，学生对脱离背景之后理解向量的概念，一时难以适应；（2）向量的几何表示与平面向量是学生学生的易混点。
2．教学支持条件：方格纸，科大讯飞问答系统。
【问题1】老鼠由A 向东北方向以每秒6米的速度逃窜， 如果猫由B 向正东方向以每秒10米速度追赶，那么猫能否抓到老鼠？为什么？【设计意图】创设情境，建构概念。
通过学生熟悉的问题情境引发学生思考。
只有大小，没有方向的量，并不能确定具体的位置，从而指出速度是一个既有大小、又有方向的量，凸◆教材分析 ◆教学目标◆教学重难点◆◆课前准备 ◆教学过程A B显向量的两大要素，同时引出向量的概念。
【预设师生活动】（1）学生：猫的速度虽然比老鼠的速度大，但方向不对，所以无法抓到老鼠。
（2）老师：你能否再举出一些既有大小、又有方向的量？（3）学生：重力、浮力、弹力、位移……（4）老师：生活中有没有只有大小、没有方向的量？（5）学生：年龄、身高、面积、体积等。
（6）老师：回顾学习数的概念，我们从一本书、一支笔、一棵树……中抽象出只有大小的数量“1”。
类似地，我们可以对力、位移……这些既有大小、又有方向的量进行抽象，形成一种新的量。
2019-2020学年新教材人教A版高中数学必修第二册课件：第六章 6.4.1 平面几何中的向量方法
第十一页，共34页。
2
又| AC |2＝|a+b|2＝a2+2a·b+b2＝1+4+2a·b＝6， ∴ | AC |＝ 6 ，即AC＝ 6 .
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◆利用向量法解决长度问题的方法 （1）基向量法：利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用 公式|a|2＝a2求解； （2）坐标法：建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入公 式，若a＝（x，y），则|a|＝ x2 y2 .
第五页，共34页。
◆用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元 素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问 题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系. ◆用向量法解决平面几何问题的两种方法 （1）几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角）， 将题中涉及的向量用基底表示出来，利用向量的运算法则、运算律或 性质计算. （2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问 题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算. 一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法.
1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用 向量 表示问题中涉及 的几何元素，将平面几何问题转化为 向量问题 ； (2)通过 向量运算 ，研究几何元素之间的关系，如距离、 夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 2．向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等． (2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中． (3)动量 mv 是向量的数乘运算． (4)功是力 F 与位移 s 的数量积．
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平面向量复习教案
一、教学目标
1．知识与技能：
通过复习本章知识点，提高综合运用知识的能力”. 2．过程与方法：
通过知识回顾，例题分析，强化训练，体现向量的工具作用. 3．情感态度与价值观：
通过本节学习,让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性,活跃学生的思维,发展学生的创新意识,激发学生的学习积极性,并体会向量在几何和现实生活中的意义.教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段.
三、重点难点
教学重点:用向量方法解决实际问题的基本方法;向量法解决几何问题. 教学难点:如何将几何等实际问题化归为向量问题.
四、教学设想
一、基础知识：
（一）平面向量的计算及其性质： （1）+=+；
（2）（-+=-；
平行四边形法则三角形法则
（3）)(,≠=
λ⇔和
共线；
（4
的模（即长度）
0≥
（
5
+
≤+≤-
+≤-≤- （6）θcos =⋅
，其中θ
为向量和
的夹角。
==
（7）()()⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+；那么()()
___=+⋅- （8）⊥⇔=⋅0
（二）向量的坐标表示和运算：
在平面中，若,不共线（可作为平面的一组基底），则任意向量，有且只有一组数（y x ,）使得y x +=当我们选定的一组基为直角坐标系
上两互相垂直的单位向量和，则平面任意向量可以表示成
j y i x c +=，那么任意向量和坐标平面上的一个点坐标相对
应，如图所示，即),(y x c =， （1）设),(),,(2211y x y x ==则
=+=-
=λ=⋅
=；若//，则；⊥，则；（填坐标关系）
（2）已知点),(11y x A 、)
,(22y x B 则向量=AB =；
二、例题选讲
（一）加减运算
例1、（1）在ABC △中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（）
A ．
21
33
b c + B ．5
233
c b -
C ．
2133
b c - D ．1
233
b c +
（2）已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC --→
--→
--→
+=+.若存在实数m 使得AB AC AM m --→
--→
--→
+=成立，则m=（）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
（3）已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且2BC AD =，则顶点D 的坐标为（） A ．722⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，
B ．122⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
C ．(32)，
D ．(13)，
练习：1、如图1所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，则向量CD = A.12BC BA -+
B. 1
2
BC BA -- C. 12BC BA - D. 12BC BA + 2、在A B C D 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN
=_______。
（用
A
C
B
图
a b 、表示）
3、已知平面向量a =,1x （）
，b =2
,x x （－），则向量+a b （） A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于y 轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 （二）内积
例2、若等边ABC ∆的边长为32，平面内一点M 满足→
→→
+=
CA CB CM 3
261,则=∙→
→MB MA ________.
练习：1、在Rt ABC ∆中，C ∠=90°AC=4，则AC AB ⋅等于（）
A 、-16
B 、-8
C 、8
D 、16
（三）坐标运算
例3、)2,1(-=,)4,3(-=,则=∙+)2(（）
A.(15,12)-
B.0
C.3-
D.11- 练习：1、设向量(1,0)a =,11(,)22
b =,则下列结论中正确的是
(A)a b = (B)2
2
a b =(C)//a b (D)a b -与b 垂直 （四）平行垂直
例4、已知)6,(),3,2(-==x 且//则=x 若⊥，则=x
练习：1、已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（）
A. －1
B. 1
C. －2
D. 2
2、设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ． （五）夹角与模 例5、（1）若非零向量a ，b 满足||||,(2)0a b a b b =+⋅=，则a 与b 的夹角为 A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500
（2）已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足()0b a b -=，则||b 的取值范围是。
练习：1、已知向量a ，b 满足1a =，2b =，a 与b 的夹角为60°，则a b -=
2、平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0),||1a b ==，则|2|a b +=
（Ｂ） （Ｃ）4 （Ｄ）12
331=-=且b a ,的夹角为 60。