圆和扇形面积
初中几何圆、扇形、弓形的面积及阴影部分面积专项
初中几何圆、扇形、弓形的面积及阴影部分面积专项一、圆的面积计算公式：S=R 2，圆心角是1°的扇形面积等于圆面积的1360，圆心角是n 度的扇形面积等于圆的面积的360n ，扇形的弧长等于l=180n R ,⇒S 扇=12lR 。
二、运用公式法、割补法、拼凑法、等积变化法、平移法、旋转法、构造方程法等方法求组合图形的面积。
三、运用割补法、平移法、旋转法、等积变换法、容斥原理求阴影部分面积。
1、弓形面积弓形的面积可以转化为扇形的面积与三角形的面积之差，如下图所示，弓形AmB 的面积S弓形=S 扇性AOB -S △AOB弓形的面积可以转化为：扇形的面积与三角形的面积之和，如下图所示弓形AmB 的面积S 弓形= S 扇性AOB +S △AOB注：①当弓形所含的弧是劣弧时如甲图所示，弓形AmB 的面积S 弓形=S 扇性AOB -S △AOB②当弓形所含的弧是优弧时，如图乙所示，AnB 的面积S 弓形= S 扇性AOB +S △AOB③当弓形所含的弧是半圆时，弓形的面积S 弓形=12S 圆 如图：半径OA=6cm,C 为OB 的中点，∠AOB=120°，求阴影部分面积S 。
（右：乙图）解：由图形可知，S 阴影ABC =S 扇性ABO -S △ACO ，而S 扇形ABO =21206360⋅=12，S △ACO =12×6×3×sin60°=932，所以S 阴影ABC =(93122-)cm 2。
2、割补法凡求与圆有关的不规则图形面积问题，一般都要把它转化为三角形、扇形、弓形的面积来求解，在进行复杂的图形的面积计算时，时常通过添加辅助线，把图形分割成若干个基本图形求解，这种求解的方法是经常用到的。
如图：⊙O 中的弦AC=2cm ，圆周角∠ABC=45°,求图中阴影部分的面积。
（部分与整体）解：做⊙O 的直径AB 1，则连结OC 、B 1C ，∠ACB=90°，∠B=∠B 1，AB 1=22，∵OA=2,∴S △AOC=1,S 扇形AOC =12,∴S 阴影=S 扇形AOC -S △AOC =12-1 例二：如图在两个半圆中大圆的弦MN 与小圆相切,D 为切点，且MN ∥AB ，MN=a ，ON ，CD 分别为两圆的半径，求阴影部分的面积。
圆面积扇形面积公式
圆面积扇形面积公式圆面积和扇形面积是几何学中常见的概念，它们分别表示圆的面积和由圆心和圆上两点所形成的扇形的面积。
本文将分别介绍圆面积和扇形面积的计算公式及应用。
一、圆面积的计算公式圆是几何学中的基本图形之一，它由一个圆心和一条等距于圆心的曲线组成。
圆的面积是圆内所有点构成的平面区域的大小。
计算圆的面积需要使用圆的半径或直径。
圆的面积计算公式为：S = πr²其中，S表示圆的面积，π是一个常数，约等于3.14159，r表示圆的半径。
例如，已知一个圆的半径为5cm，那么可以通过代入公式计算圆的面积：S = 3.14159 x 5² = 3.14159 x 25 = 78.54平方厘米因此，该圆的面积为78.54平方厘米。
二、扇形面积的计算公式扇形是由圆心、圆上两点和它们之间的弧所组成的图形。
扇形与圆的关系密切，它是圆的一部分。
计算扇形的面积需要使用扇形的半径和对应的圆心角。
扇形的面积计算公式为：S = 0.5r²θ其中，S表示扇形的面积，r表示扇形所在圆的半径，θ表示扇形的圆心角（单位为弧度）。
例如，已知一个扇形的半径为6cm，圆心角为60°，那么可以通过代入公式计算扇形的面积：θ = 60° = 60 x π/180 ≈ 1.047弧度S = 0.5 x 6² x 1.047 = 18 x 1.047 = 18.846平方厘米因此，该扇形的面积为18.846平方厘米。
三、圆面积和扇形面积的应用圆面积和扇形面积在现实生活中有着广泛的应用。
下面以几个例子来说明：1. 建筑设计：在建筑设计中，圆形的庭院、花坛等都需要计算其面积，以便合理规划和安排空间。
2. 农业种植：农业种植中，圆形的农田、水池等都需要计算其面积，以便合理安排种植和灌溉。
3. 工程测量：在工程测量中，扇形面积常用于计算某个区域的覆盖范围或扇形防护罩的面积。
4. 圆桌布草：圆桌布草的制作需要根据桌子的直径计算所需的面积，以便选购合适尺寸的布草。
圆的面积及扇形面积
圆的面积及扇形面积圆的面积：圆所占平面的大小叫圆的面积，圆的面积一般用字母“Ｓ”表示, S =πr ². 圆环的面积计算公式：S =πR ²-πr ²=π(R ²-r ²)扇形：由组成圆心角的两条半径以及圆心角所对的弧构成的图形叫扇形扇形面积公式：236036036012n S n n S S r S S lr π=⇒===例1、如图，已知正方形面积是60平方厘米，分别在两个图中求圆的面积。
练一练：已知右图中阴影部分的面积是300平方厘米，求圆的面积。
例2、一个圆形花坛的直径是20米，现在要在花坛的周围铺一条2米宽的石板路，这条石板路的周长是多少米？以及占地面积是多少平方米？2、已知右图中阴影部分的面积是40平方厘米，求圆环的面积。
例3、如右图，一个扇形的圆心角是90°，它的周长是14.28厘米，求它的面积。
练一练：1、右图中平行四边形的面积是100平方厘米，求阴影部分的面积。
2、如图，△ABC是一个等腰直角三角形，AB=BC=10，求图中阴影部分的面积。
（单位：分米）3、如图，∠AOB=90度，∠COB=45度，（1）若OB=20，求以OB为直径的半圆面积及扇形COB的面积（2）已知阴影甲的面积是 4.56平方厘米，那么阴影乙的面积是_______平方厘米。
4、已知，如图，∠AOC=120度，OA=5厘米，AB=3厘米求阴影部分的面积。
5、已知一个大正方形和两个同样大小的小正方形如图所示拼在一起，大正方形的边长为6，小正方形的边长为2.（π=3.14）（1）求扇形BCD的面积（2）求图中阴影部分的面积例4、我们学习了扇形的面积，试回忆扇形面积公式的推导过程，回答下列问题：（1）对于一个半径为r，圆心角为n度的扇形，其面积为______（2）扇形面积公式的推导过程与下列哪个公式的推导使用了基本相同的方法_____A.圆的面积公式B.圆的周长公式C.平行四边形的面积公式D.弧长公式（3）扇形面积的推导过程中，下列哪些知识起着重要的作用_____（可多选）A.圆的面积公式B.圆的周长公式C.弧长公式D.比的意义（4）已知一个扇形的弧长为l，半径为r，试用l和r表示该扇形的面积，并写出简要的推导过程。
圆,扇形面积公式
圆形计算公式
圆形
圆的半径：r
直径：d
圆周率（π）设为3.1415926535……, 通常采用3.14作为π的值圆面积：πr的平方或πd方/4
圆周长：C=πd或C=2πr
半圆的面积：S半圆=π乘以r的平方/2
圆环面积：π（R的平方－r的平方;）————大圆面积-小圆面积，R为大圆半径，r为小圆半径
扇形
在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S＝πR^2，所以圆心角为n°的扇形面积：
S＝nπR^2÷360
扇形还有另一个面积公式
S=1/2lR （其中l为弧长，R为半径）
本来S＝nπR^2÷360
按弧度制.2π=360度.因为n的单位为度.所以l为角度为n时所对应的弧长.即.l=n*R
所以. s=n*R*π*R/2π=1/2lR.
扇形计算公式
目录
扇形周长公式
角度制计算
l=(n/180)*π*r,l是弧长，n是扇形圆心角，π是圆周率，r是扇形半径
弧度制计算
l=|α|*r ，l是弧长，|α|是弧l所对的圆心角的弧度数的绝对值，r是半径
扇形面积公式
R是扇形半径，n是弧所对圆周角度数，π是圆周率
也可以用扇形所在圆的面积除以360再乘以扇形圆心角的角度n
S=nπR^2/360
S=1/2LR
圆柱的侧面积=底面周长x高 S侧=Ch
圆柱的表面积=侧面积+底面积x2 S=2πr*sup2;+Ch
圆柱的体积=底面积x高 V=πr²h / V=Sh
等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍。
圆面积扇形面积公式
圆面积扇形面积公式圆是几何中的基本图形之一，它有许多重要的性质和公式。
其中，圆的面积和扇形的面积是我们经常需要计算的。
本文将介绍圆的面积和扇形的面积公式，以及它们的应用。
1. 圆的面积公式圆的面积公式是数学中最基本且最重要的公式之一。
在计算圆的面积时，我们需要知道圆的半径。
圆的半径是从圆心到圆上任意一点的距离，通常用字母r表示。
圆的面积公式为：S = πr^2，其中π是一个常数，约等于3.14159。
例如，如果一个圆的半径是5厘米，那么它的面积就是：S = 3.14159 * 5^2 = 78.54平方厘米。
2. 扇形的面积公式扇形是圆的一部分，它由圆心、圆弧和两条半径组成。
计算扇形的面积时，我们需要知道扇形的圆心角和圆的半径。
扇形的面积公式是：S = (θ/360) * πr^2，其中θ是扇形的圆心角，可以用度数或弧度表示。
例如，如果一个扇形的圆心角是60度，半径是5厘米，那么它的面积就是：S = (60/360) * 3.14159 * 5^2 = 13.09平方厘米。
3. 圆与扇形的应用圆和扇形的面积公式在日常生活和工作中有广泛的应用。
以下是一些例子：(1) 建筑设计：在建筑设计中，圆和扇形的面积公式可以用来计算房间的面积、花坛的面积等。
(2) 圆桌布料：如果我们知道圆桌的直径或半径，可以利用圆的面积公式计算所需的桌布面积，以便购买合适尺寸的桌布。
(3) 园艺设计：在园艺设计中，扇形的面积公式可以用来计算花坛或草坪的面积，以便购买足够的土壤或草坪。
(4) 圆形广告牌：如果我们想在一个圆形广告牌上放置广告，可以利用扇形的面积公式计算广告的面积，帮助我们确定广告的尺寸和设计。
总结：圆的面积和扇形的面积是几何中重要的概念和公式。
圆的面积公式是S = πr^2，扇形的面积公式是S = (θ/360) * πr^2，其中θ是扇形的圆心角。
这些公式在日常生活和工作中有广泛的应用，可以帮助我们计算房间面积、购买桌布、设计花坛等。
圆和扇形的面积
圆和扇形的面积一、知识要点 1、圆的面积（1）圆的面积是指圆周所围成的平面区域的大小。
它的计算公式为2r S π=。
（2）圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积。
即：S 圆环)(2222r R r R -=-=πππ。
2、扇形的面积（1）公式推导：已知圆心角为︒1的扇形面积为圆的面积的3601，那么圆心角为︒n 的扇形面积是圆面积的360n。
（2）扇形面积的公式为：S 扇形⨯=360n S 圆2360r n π=。
二、经典例题例1、 已知一个圆环，外圆的周长是25.12厘米，环宽是1厘米，求圆环的面积。
例2、如图，大小两圆的相交部分(即阴影区域)的面积是大圆面积的415，是小圆面积的35．如果量得小圆的半径是5厘米，那么大圆半径是多少厘米?例 3、长方形的宽8cm ，则阴影部分的面积是多少？例 4、如图，在一块长为a 、宽为b 的矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽都是c 个单位），求阴影部分草地的面积。
三、巩固提升1.一根绳子用去51，正好用去6.28米。
剩下的绳子围成一个圆，圆的面积多少？2．一个扇形的圆心角为 60，所对的弧长为6.28厘米，求扇形的面积。
3. 已知甲圆的半径长等于乙圆的直径长，且它们的面积之和是100平方厘米，那么甲圆的面积是多少？4.两个圆的周长之比是3∶2，面积之差是10平方厘米，两个圆的面积之和是多少？5.一个水缸，从里面量，缸口直径是 50厘米，缸壁厚 5厘米。
要制做一个缸盖，使它正好盖住缸口的外沿，这个缸盖的面积是多少平方厘米？如果在缸盖的边沿贴上一圈金属（不计接头），这个金属条长多少厘米？6.如图，在两个同心圆中，两圆半径分别为2、1，∠AOB=120°，则阴影部分面积是（ ） A 、4πB 、2πC 、π34D 、π7.求阴影部分的面积。
8.如图，等腰直角三角形的一腰的长是8厘米，以它的两腰为直径分别画了两个半圆，那么阴影部分的面积共有多少平方厘米?( 取3.14)9.求图中阴影部分的面积。
扇形面积公式三种
扇形面积公式三种扇形是平面几何中的一种图形，也称为圆扇形或圆弧，它是以圆心为端点的一段圆弧与两条半径所围成的图形。
扇形是圆的一部分，因此计算扇形的面积需要用到圆的面积公式。
下面将详细介绍三种扇形面积的计算方法，分别是基本扇形、射线夹角形成的扇形和半径与周长所夹的扇形。
1.基本扇形面积公式基本扇形是以圆心为端点的一段圆弧所围成的扇形。
假设半径为r，圆心角为θ，则扇形的面积可以通过以下公式计算：扇形面积=(θ/360°)×πr²这个公式的推导过程可以通过以下步骤进行：1)扇形的面积是圆的面积乘以占据的圆心角的比例。
2)圆的面积公式是πr²。
3)所以扇形的面积是(θ/360°)×πr²。
例如，假设半径为10 cm，圆心角为60°，则扇形的面积为：扇形面积=(60°/360°)×π×10²≈3.14×10²≈ 314 cm²2.射线夹角形成的扇形面积公式当给定扇形的两条射线夹角的度数时，这个扇形的面积可以通过以下公式进行计算：扇形面积=(θ/360°)×πr²其中，θ是射线夹角的度数，r是扇形的半径。
这个公式的推导可以采用与基本扇形面积公式相似的步骤。
例如，假设给定的射线夹角度数为45°，半径为8 cm，则扇形的面积为：扇形面积=(45°/360°)×π×8²≈0.125×3.14×8²≈ 25.12 cm²3.半径与周长夹角形成的扇形面积公式当给定扇形的半径和与之相交的圆的周长的夹角时，可以通过以下公式计算扇形的面积：扇形面积=(θ/2π)×πr²其中，θ是半径和周长夹角的度数，r是扇形的半径。
同样，这个公式的推导过程可以采用类似的方法。
六年级秋季班-第16讲：圆和扇形的面积
圆和扇形的面积是六年级数学上学期第四章第二节的内容．本讲主要讲解圆的面积和扇形面积的求解方法，及它们之间的关系；重点是掌握圆的面积和扇形面积的基本计算方法，难点是在不同的图形中根据题目条件灵活解答相关问题．1、 圆的面积圆所占平面的大小叫做圆的面积．设圆的半径长为r ，面积为S ，那么：圆的面积2S r r r ππ=⨯=．圆和扇形的面积内容分析知识结构模块一：圆的面积知识精讲例题解析【例1】（1）圆的半径是4厘米，它的面积是______平方厘米；（结果保留π）（2）圆的直径是6米，它的周长是______米，它的面积是______平方米；（π取3.14）（3）圆的周长是25.12分米，它的面积是______平方分米．（π取3.14）【难度】★【答案】【解析】【例2】有大小两个圆，如果大圆半径是小圆半径的3倍，则大圆的周长是小圆的______倍，大圆的面积是小圆的______倍；如果大圆直径是小圆半径的4倍，则小圆面积与大圆面积的比是______．【难度】★【答案】【解析】【例3】有一只羊栓在草地的木柱上，绳子的长度是4米，这只羊最多可以吃到______平方米的草．（π取3.14）【难度】★【答案】【解析】【例4】在一个边长为20厘米的正方形纸板里剪出一个最大的圆，则圆的面积是______平方厘米．（π取3.14）【难度】★【答案】【解析】【例5】用一根长为16分米的铁丝围成一个圆，接头处长为0.3分米，这个圆的面积是多少？（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【例6】一种铝制面盆是用直径20厘米的圆形铝板冲压而成的，要做100个这样的面盆至少需要铝板______平方米．（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【例7】周长相等的长方形、正方形和圆，______的面积最大．【难度】★★【答案】【解析】【例8】两个同心圆，大圆半径为5厘米，小圆半径为3厘米，求圆环的面积．（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【例9】一个圆形喷水池的周长是62.8米，绕着这个水池修一条宽2米的水泥路，求路面的面积．（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【例10】如图，已知大圆半径是6厘米，那么阴影部分面积占大圆面积的______．（用分数表示）【难度】★★【答案】【解析】【例11】两个圆的面积之和为1991平方厘米，小圆的周长是大圆周长的90%，则大圆的面积是_______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【例12】有5块圆形的花圃它们的直径分别是3米、4米、5米、8米、9米，请将这5块花圃分成两组，分别交给两个班级管理，使这两个班级管理的面积尽可能接近．【难度】★★【答案】【解析】【例13】大小两圆的相交部分（如图所示的阴影部分）面积是大圆面积的415，是小圆面积的35，量得小圆的半径是5厘米，问大圆的半径是多少？（π取3.14）【难度】★★★【答案】【解析】【例14】如图，正方形的面积是12平方厘米，求图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（π取3.14）【难度】★★★【答案】【解析】【例15】如图中的圆的周长是16.4厘米，圆的面积与长方形的面积正好相等，图中阴影部分的周长是多少厘米？（π取3.14）【难度】★★★【答案】【解析】B1、 扇形的概念由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形．如图，空白部分记作扇形AOB ． 2、 扇形的面积设组成扇形的半径为r ，圆心角为n °，弧长为l ，那么：213602n S r lr π==扇形．【例16】 一个扇形的面积是它所在圆面积的15，这个扇形的圆心角是______．【难度】★ 【答案】 【解析】【例17】 一个扇形的半径是5厘米，圆心角是60°，则此扇形的面积是______平方厘米，周长是______厘米．（π取3.14）【难度】★ 【答案】 【解析】【例18】 已知扇形的弧长是31.4厘米，半径是10厘米，那么扇形的面积是______平方厘米．（π取3.14）【难度】★ 【答案】 【解析】模块二：扇形的面积知识精讲例题解析【例19】 一扇形的半径不变，圆心角扩大为原来的3倍，则面积是原来的______倍；若它的圆心角不变，半径扩大为原来的3倍，则面积是原来的______倍．【难度】★ 【答案】 【解析】【例20】 一个圆心角为60°的扇形，其面积与一个直径为9的圆相等，求此扇形所在圆的面积．（结果保留π）【难度】★★ 【答案】 【解析】【例21】 一个圆心角为45°的扇形，它的周长为11.14厘米，求它的面积．（π取3.14） 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例22】 如图，已知正方形边长为2，分别以正方形的两个对角顶点为圆心，以边长为半径作两段圆弧，求阴影部分的面积．（结果保留π）【难度】★★ 【答案】 【解析】【例23】 等腰直角三角形ABC 中，以直角顶点A 为圆心，以高AD 为半径，画一条弧，交AB 、AC 分别于E 、F ，AD = 2厘米，图中阴影部分的面积是______平方厘米． （π取3.14）【难度】★★ 【答案】 【解析】ABCDABCH【例24】 如图，扇形BAC 的面积是半圆ADB 面积的113倍，那么CAB ∠是______度．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例25】 如图，三角形为任意三角形，三个圆的半径均为1厘米，则阴影部分的面积为______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】 【解析】【例26】 如图，ABC ∆的三条边都是6厘米，高AH 为5.2厘米，分别以A 、B 、C 三点为圆心，6厘米长为半径画弧，求这三段弧围成的图形的面积．（π取3.14）【难度】★★ 【答案】 【解析】【例27】 如图，长方形的宽为5，正好是大扇形半径的一半，求阴影部分的面积．（π取3.14） 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例28】 如图，圆的半径是6厘米，阴影部分的面积是31.5π平方厘米，求图中三角形的面积．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例29】 有一只狗被系在一建筑物的墙角上，这个建筑物是边长6米的等边三角形，绳长是8米．当绳被狗拉紧时，狗活动范围的总面积为多少平方米？（π取3.14）【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例30】 已知C 、D 两点在以AB 为直径的半圆周上且把半圆三等分，若已知AB 长为10，求阴影部分的面积．（结果保留π）【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题1】扇形的面积是314平方米，其所在圆的面积是1256平方米，则这个扇形的圆心角为______°．【难度】★【答案】【解析】【习题2】一种手榴弹爆炸后，有效杀伤范围的半径是6米，有效杀伤面积是______平方米．（ 取3.14）【难度】★【答案】【解析】【习题3】若一扇形所在的圆心角缩小为原来的12，半径扩大为原来的2倍，则它的面积（）A．扩大为原来的2倍B．扩大为原来的4倍C．是原来的12D．不变【难度】★【答案】【解析】【习题4】如果用整个圆来表示班级共有40名学生，那么被评为三好学生的8名同学应该用圆心角为______的扇形来表示．【难度】★★【答案】【解析】随堂检测【习题5】环形的外圆周长是18.84厘米，内圆直径是4厘米，求环形的面积．（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【习题6】两个圆的面积之差是209平方厘米，已知大圆的周长是小圆的周长的119倍，求小圆的面积．（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【习题7】一时钟的分针长6分米，从上午9点到上午10点40分，分针扫过的面积是多少平方分米？【难度】★★【答案】【解析】【习题8】如图，正方形的边长为4，求阴影部分的面积．【难度】★★【答案】【解析】【习题9】如图所示的阴影部分分别为三种标点符号：句号、逗号和问号．已知大圆半径为R，小圆半径为r，且R = 2r．哪一个标点符号的面积最小？【难度】★★★【答案】【解析】AB22【习题10】 如图，A 与B 是两个圆的圆心，那么两个阴影部分的面积相差______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业1】 下列判断中，正确的是（ ）A ．半径越大的扇形，面积越大B ．所对圆心角越大的扇形，面积越大C ．所对圆心角相同时，半径越大的扇形面积越大D ．半径相等时，所对圆心角越大的扇形面积越小 【难度】★ 【答案】 【解析】【作业2】 圆的半径由6厘米增加到9厘米，圆的面积增加了______平方厘米．（π取3.14） 【难度】★ 【答案】 【解析】课后作业【作业3】一个扇形的半径是5厘米，圆心角是72°，这个扇形的周长是______分米．（π取3.14）【难度】★【答案】【解析】【作业4】一张长30厘米，宽20厘米的长方形纸，在纸上剪一个最大的圆，还剩下______平方厘米的纸没有用．（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【作业5】一个扇形的面积是78.5平方厘米，圆心角为36°，当这个扇形的半径不变而圆心角增加了108°以后，这个扇形的面积是______平方厘米．（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【作业6】某大楼上有一石英制的时钟，已知时针与分针分别长60厘米和80厘米，则时针走1小时，时针与分针扫过的平面的面积差为多少平方分米？（π取3.14）【难度】★★【答案】【解析】【作业7】如图是三个半圆构成的图形，其中小半圆直径为8，中半圆直径为20，则阴影部分面积与大半圆的面积之比是多少？【难度】★★【答案】【解析】红红红红蓝 蓝蓝 蓝【作业8】 一辆汽车的车轮直径为1米，试计算当汽车以120千米/时的速度行驶时，车轮的转速是每秒多少周？（3π≈，结果保留整数位）【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业9】 如图是对称图形，红色部分的面积大还是蓝色部分的面积大？ 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业10】 如图，扇形AOB 为14个圆，半径为4厘米，以它的两条半径为直径，在扇形内部画两个半圆，求阴影部分的面积．【难度】★★★ 【答案】 【解析】。
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圆面积公式与扇形面积公式：
圆的面积：22
1
4
S r d
ππ
==
扇形面积：2
1
3602
n
S r lr
π
==
扇形
如图正方形ABCD的边长为1厘米，现在依次以A、B、C、D为圆心，以AD、BE、CF、DG为半径画出扇形，得到图中阴影部分。
求阴影部分的面积。
(保留π)。
求下列各图中阴影部分的面积(图中长度单位为厘米)
如图，两个正方形摆放在一起，其中大正方形边长为12，那么阴影部分面积是多少？(圆周率取3.14) 如图以等腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧，直角边长4厘米，求图中阴影部分的面积。
例4
例2
圆和扇形——面积
例3
例1
如图正方形的边长为10厘米，分别以两个对角顶点为圆心边长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为？
如图，ABCD 是边长为a 的正方形，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为半径画圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积。
已知直角三角形ABC 中三边分别为AB ＝5cm ，AC ＝4cm ，BC ＝3cm(如图)，分别以这三边为直径画圆，则阴影部分面积为多少？
如图，同心圆中，两圆半径分别为2和1，∠AOB ＝120°，则阴影部分的面积为多少？
测试题
1．如图，一个半径为1厘米的小圆盘沿着一个半径为4厘米的大圆盘外侧做无滑动的滚动。
当小圆盘的中心围绕大圆盘中心转动90度后，小圆盘运动过程中扫过的面积是多少平方厘米？(3π=)
例7
例8
例5
例6
2．如图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为1040平方厘米，空白部分是6个半径为10厘米的小扇形。
(圆周率取3.14)。
3．
如图，三角形ABC 是等腰直角三角形，D 是半圆周的中点，BC 是半圆的直径。
已知10AB BC ==，那么阴影部分的面积是多少？(圆周率取3.14)
D
B
P
C
A
4．如图，四分之一大圆的半径为7，求阴影部分的面积，其中圆周率π取近似值
227。
5．已知正方形ABCD 的面积为20平方厘米，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求阴影部分的面积。
6．已知，圆O 的半径为8厘米，则阴影部分的面积为多少平方厘米？
O
F
E
D
C
B
A
7．如图所示，A 与B 是两个圆(只有
1
4
)的圆心，那么，两个阴影部分的面积相差多少平方厘米？ 2
2B
A
8．如图，ABCD 是正方形，且1FA AD DE ===，求阴影部分的面积．(取3π=)
答案
1．答案：小圆盘运动过程中扫过的面积由两部分组成，即两半圆加四分之一环形
2221(64)418S πππ=⨯+⨯-⨯÷=平方厘米。
2．答案：[和差]所要求的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积、正六边形的面积已知，
现在关键是小扇形面积如何求，有扇形面积公式2
360
n R S π=扇。
可求得，正六边形的每个内角为120︒，所以120ABC ∠=︒，
这样就可求出扇形的面积和为2120
610628360
π⨯⨯⨯=(平方厘米)，
阴影部分的面积1040628412=-=(平方厘米)。
3．答案：连接PD 、AP 、BD ，如图，PD 平行于AB ，则在梯形ABDP 中，对角线交于M 点，
那么ABD ∆与ABP ∆面积相等，则阴影部分的面积转化为ABP ∆与圆内的小弓形的面积和．
ABP ∆的面积为：()10102225⨯÷÷=；
弓形面积：3.145545527.125⨯⨯÷-⨯÷=； 阴影部分面积为：257.12532.125+=。
加减法和分割法通常是结合使用。
4．答案：[转化，和差]如图经过平移，可知阴影部分面积为
22
22117714742⨯⨯-⨯=
[实际上是上题的另一种作法，都可讲解一下。
5．答案：利用割补法，可知，阴影部分如图所示：阴影部分面积为20210÷=(平方厘米)。
E
B
6．答案：[转化，和差]如图，将图形下面的两个弓形移到上面，即从扇形AEDF 中间减去有两个等腰
三直角三角形构成的正方形，即有211
888323218.2442
S ππ=⨯⨯-⨯⨯=-=平方厘米。
O
A
B
C
D
E
F
7．答案：连结BC ，由于BC 等于半径，42BC AB ==，则ABC ∆为有一个角为60︒的直角三角形，其
中60ABC ∠=︒，由此，大阴影为60︒的大圆扇形减去四分之一的小圆和ABC ∆，即
2216015
4236043
ABC ABC S S S πππ∆∆︒=
⨯⨯-⨯⨯-=-︒，小阴影为长方形面积减去ABC ∆和30︒的大圆扇形面积，即22304
24483603
ABC ABC S S S ππ∆∆︒=⨯-
⨯⨯-=--︒，因而1254
8383 3.148 1.4233
S S πππ-=-+=-=⨯-=平方厘米。
C
2
2B
A
8．答案：[转化，和差]先看总的面积为
1
4
的圆，加上一个正方形，加上一个等腰直角三角形，然后扣除一个等腰直角三角形，一个
1
4
圆，一个45︒的扇形。
那么最终效果等于一个正方形扣除一个45︒的扇形。
面积为215
113188
⨯-⨯⨯=。