2012考研数学一真题及答案解析

2012年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）曲线221
x x
y x +=-渐近线的条数为（）
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
（2）设函数2()(1)(2)()x x nx f x e e e n =---，其中n 为正整数，则'(0)f = （A ）1(1)(1)!n n --- （B ）(1)(1)!n n -- （C ）1(1)!n n -- （D ）(1)!n n - （3）如果(,)f x y 在()0,0处连续，那么下列命题正确的是（ ） （A ）若极限00
(,)
lim
x y f x y x y
→→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微 （B ）若极限22
00
(,)
lim
x y f x y x y →→+存在，则(,)f x y 在(0,0)处可微 （C ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限00
(,)
lim
x y f x y x y →→+存在 （D ）若(,)f x y 在(0,0)处可微，则极限22
00
(,)
lim
x y f x y x y →→+存在 （4）设2k
x k e
I e
=⎰
sin x d x (k=1,2,3),则有D
（A ）I 1< I 2 <I 3.
(B) I 2< I 2< I 3.
(C) I 1< I 3 <I 1, (D) I 1< I 2< I 3.
（5）设1234123400110,1,1,1c c c c αααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
其中1234,,,c c c c 为任意常数，
则下列向量组线性相关的是（ ）
（A ）123,,ααα （B ）124,,ααα （C ）134,,ααα （D ）234,,ααα
（6）设A 为3阶矩阵，P 为3阶可逆矩阵，且1112P AP -⎛⎫
⎪= ⎪
⎪⎝⎭
，()123,,P ααα=，()1223,,Q αααα=+则1Q AQ -=（ ） （A ）121⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）112⎛⎫
⎪ ⎪
⎪⎝⎭
（C ）212⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）221⎛⎫
⎪ ⎪
⎪⎝⎭
（7）设随机变量x 与y 相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则{}=<y x p （）
112
4
()
()
() ()
5
35
5A B C D
（8）将长度为1m 的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（）1)(2
1
)(2
1
)
(1)(--
D C B A 二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题．．纸．
指定位置上. （9）若函数)(x f 满足方程0)(2)()('''=-+x f x f x f 及x e x f x f 2)()('=+，则
)(x f =________。

（10
）2
0⎰ ________。

（11）(2,1,1)
grad z xy y
⎛⎫+ ⎪
⎝
⎭ ________。

（12）设(){},0,0,0,1,,∑≥≥≥=++=z y x z y x z y x 则⎰⎰∑
=ds y 2________。

（13）设X 为三维单位向量，E 为三阶单位矩阵，则矩阵T xx E -的秩为________。

（14）设,,A B C 是随机事件，,A C 互不相容，1()2P AB =,1()3
P C =,则
()P ABC -
=________。

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）
证明：2
1ln cos 1,1112x x x x x x ++≥+-<<-
（16）（本题满分10分）
求()22,2
x y f x y xe +=-的极值。

（17）（本题满分10分） 求幂级数0n ∞
=∑
244321
n n n +++x 2n
的收敛域及和函数
（18）（本题满分10分）
已知曲线
，其中函数)(t f 具有连续导数，且0)0(=f ，⎪⎭
⎫
⎝
⎛<<>200)(πt t f 。

若曲线
L 的切线与x 轴的交点到切点的距离恒为1，求函数)(t f 的表达式，并求此曲线L 与x 轴与y 轴无边界的区域的面积。

（19）（本题满分10分）
已知L 是第一象限中从点()0,0沿圆周222x y x +=到点()2,0，再沿圆周
224x y +=到点()0,2的曲线段，计算曲线积分()22=32L
J x ydx x x y dy ++-⎰。

（20）（本题满分10分）
设
100
010
001
001
a
a
A
a
a
⎛⎫
⎪
⎪
=
⎪
⎪
⎝⎭
，
1
1
b
⎛⎫
⎪
- ⎪
=
⎪
⎪
⎝⎭
（Ⅰ）求A
（Ⅱ）已知线性方程组Ax b
=有无穷多解，求a，并求Ax b
=的通解。

（21）（本题满分10分）三阶矩阵
101
011
10
A
a
⎛⎫
⎪
= ⎪
⎪
-
⎝⎭
，T A为矩阵A的转置，
已知()2
T
r A A=，且二次型T T
f x A Ax
=。

1）求a2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。

（22）（本题满分10分）
已知随机变量,X Y以及XY的分布律如下表所示，
求：(1)()
ρ.
-与XY
X Y Y
2
P X Y
=； (2)()
cov,
（23）（本题满分11分）
设随机变量X 与Y 相互独立且分别服从正态分布()2,N μσ与()2,2N μσ，其中σ是未知参数且0σ>,设Z X Y =-,
(1)
求z 的概率密度()2,f z σ； (2) 设12,,n z z z 为来自总体Z 的简单随机样本，求2σ的最大似然估计量2σ；
(3) 证明2
σ为2σ的无偏估计量。

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