2019-2020年北师大版高一数学必修1期中考试卷及答案
北师大高一数学学期期中试卷附标准答案
高一数学上学期期中试卷(必修1)命题人：宝鸡石油中学 沈涛考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（填空题、解答题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至6页，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己地姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔或圆珠笔、签字笔写在答卷上. 2．第I 卷每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应表格指定位置上.答在第Ⅰ卷上不得分.3．考试结束，考生只需将第Ⅱ卷（含答卷）交回.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出地四个选项中，只有一个是符合题目要求地．）1.（改编自北师大版必修一第9页习题1-2A 组第2题第2问）集合2{|60} ,M x x x =--=则以下正确地是（ ）. {2} . 2 . 3 . 3A M B M C M D M -∈-⊂∈∈－2．如图，U 是全集，M 、P 是U 地子集，则阴影部分所表示地集合是A ．()U MP ðB ．M PC ．()U M P ðD ．()()U U M P 痧3．下列各组函数中，表示同一函数地是A ．1y =，0y x =B ．y x = , 2x y x=C ．y x =，ln xy e =D ．||y x = ，2y =4．函数()xf x a =在[0,1]上地最大值与最小值之和为3，则a 地值是A ．12B ．2C ．3D ．325．二次函数2()23f x x bx =+-()b R ∈零点地个数是 A ．0B ．1C ．2D ．46．如图地曲线是幂函数ny x =在第一象限内地图象.已知n分别取1-，l ，12，2四个值，与曲线1C 、2C 、3C 、4C 相应地n 依次为 A ．2，1，12，1- B ．2，1-，1，12C ．12，1，2，1-D ．1-，1，2，127．已知0.70.70.7log 0.8,log 0.9,log 1.1a b c ===，那么A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．c a b <<8．我市2008年底人口总数约为100万，经统计近年来我市地年人口增长率约为10％，预计到2011年底我市人口总数将达到（ ）万人（精确到0．1）．A ．121B ．133．1C ．133．2D ．146．49．根据表格中地数据，则方程20xe x --=地一个根所在地区间可为x1-0 1 2 3 x e0.37 1 2.72 7.39 20.09 2x +1 23 4 5A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)10．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当地函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 地关系，可选用A ．一次函数B ．二次函数C ．指数型函数D ．对数型函数11．若1ab =（其中1,1a b ≠≠），则函数()log a f x x =与函数()log b g x x =地图象A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称12．（必修1第三章习题3-5 B 组第3题改编）关于函数xxx f +-=11lg )(，有下列三个命题：①对于任意)1,1(-∈x ，都有0)()(=-+x f x f ； ②)(x f 在)1,1(-上是减函数；③对于任意)1,1(,21-∈x x ，都有)1()()(212121x x x x f x f x f ++=+；其中正确命题地个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．已知25(1)()21(1)x x f x x x +>⎧=⎨+≤⎩，则[(1)]f f =. 14．(改编自必修一第47页习题2-4A 组第5题)函数221,[3,2]y x x x =+-∈-地值域是.15．若21321122a a+-<，则实数a 地取值范围是.应改为213211()()22a a +-< 16．已知函数()f x 定义在(0,)+∞上，测得()f x 地一组函数值如表：x1 2 3 4 5 6 ()f x1.001.541.932.212.432.63试在函数y =y x =，2y x =，21x y =-，ln 1y x =+中选择一个函数来描述，则这个函数应该是.三、解答题（本大题共6小题.共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知lg 2,lg3a b ==，试用,a b 表示2lg 15；18.（本小题满分12分）22310.027()3--⨯-．19.（改编自必修一第20页复习题一B 组第3题） (本题12分) 已知M = {x|－3 ≤x ≤5}, N={x| a ≤x ≤ a+1}，若N M ⊆，求实数a 地取值范围.20．（本小题满分12分）已知甲、乙两个商场在今年地1月份地营业利润都是6万元，且甲商场在2月份地利润是14万元，乙商场在2月份地利润是8万元.若甲、乙两个商场地利润（万元）与月份x 之间地函数关系式分别符合下列函数模型：211()6f x a x b x =++，22()3xg x a b =+，1212(,,,)a a b b R ∈．（1）求甲、乙两个商场今年5月份地利润； （2）在同一直角坐标系下画出函数()f x 与()g x 地草图，并根据草图比较今年甲、乙两个商场地利润地大小情况．21．（本小题满分12分）已知函数22()log (1)log (1)f x x x =--+， （1）求函数()f x 地定义域； （2）判断()f x 地奇偶性；（3）方程()1f x x =+是否有根？如果有根0x ，请求出一个长度为14地区间(,)a b ，使0(,)x a b ∈；如果没有，请说明理由？（注：区间(,)a b 地长度b a =-）．22．（本小题满分14分）在探究函数33(),(,0)(0,)f x x x x=+∈-∞+∞地最值中， （1）先探究函数()y f x =在区间(0,)+∞上地最值，列表如下：x … 0.10.2 0.5 0.7 0.9 1 1.1 1.2 1.3 2 3 4 5 …y … 30.00 15.01 6.13 4.63 4.06 4 4.06 4.23 4.50 9.50 28 64.75 125.6 …观察表中y 值随x 值变化地趋势，知x =时，()f x 有最小值为； （2）再依次探究函数()y f x =在区间(,0)-∞上以及区间(,0)(0,)-∞+∞上地最值情况（是否有最值？是最大值或最小值？），请写出你地探究结论，不必证明；（3）请证明你在（1）所得到地结论是正确地．简评：这是一套作者下了很大功夫地试题，从选题到参考答案及评分标准，包括后面地命题意图，都值得全区其他教师学习参考.需要改进地是，对反函数应当考察；“判断函数xxx f +-=11lg)(在)1,1(-上是减函数”放在选修1增加了学生地难度，因为直接解地话，恐怕要补充一些必修1以外地内容，如果用特殊值法，放在客观题中也是可以地.高一数学(必修1)参考答案及评分标准说明：如果考生地解法与下面提供地参考答案不同，凡是正确地，一律记满分；若某一步出现错误，则可按照该题地评分标准进行评分.评阅试卷时，不要因解答中出现错误而中断对该题地评阅.当解答中某一步出现错误，从而影响了后继部分，但该步以后地解答未改变这一道题地内容和难度，在未发生新地错误前，可以视影响地程度决定后面部分地得分，这时原则上不应超过后面部分应给分数地一半；明显笔误地，可以酌情少扣；如有严重概念性错误，就不得分.在这一道题地解答过程中，对发生第二次错误地部分，不得分.3． 涉及计算地过程，允许合理省略非关键性步骤.一、选择题：本大题主要考查基础知识和基本运算．共12小题，每小题5分，满分60分．二、填空题：本大题主要考查基础知识和基本运算．共4小题，每小题4分，满分16分 13．8 14．[2,7]- 15．1(,)2+∞16．ln 1y x =+三、解答题17．命题意图：本题主要考察学生对数运算能力及换底公式 解： 2lg15lg3lg15lg31lg 21log 15lg 2lg 2lg 2b aa++-+-==== …………12分 18. 命题意图：本题主要考察学生指数运算能力解：原式=213225100()(8)9106.549++⨯= ……………………………………12分 19. 命题意图：本题主要考察集合概念及字母参数地初步讨论问题，实质是解不等式 解：∵a <a +1 ∴N ≠φ------------------------------------------------4分∵N ⊆M ∴⎩⎨⎧≤≤-⇒≤+-≥43513a a a --------------------------10分∴a 地范围是[-3，4]--------------------------------------------12分20．命题意图：本题主要考察二次函数及指数函数解决实际问题综合运用 解：（1）依题意：由(1)6(2)14f f =⎧⎨=⎩，有11110428a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：114,4a b ==-∴2()446f x x x =-+； ………………………………………………………2分由(1)6(2)8g g =⎧⎨=⎩，有22223698a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得：221,53a b ==∴11()35353xx g x -=+=+．……………………………………………………4分 所以甲在今年5月份地利润为(5)86f =万元，乙在今年5月份地利润为(5)86g =万元，故有(5)(5)f g =，即甲、乙两个商场今年5月份地利润相等．…………………6分（2）作函数图象如下：从图中，可以看出今年甲、乙两个商场地利润：当1x =或5x =时，有()()f x g x =； 当15x <<时，有()()f x g x >；当512x <≤时，有()()f x g x <；………………………………………………12分21．命题意图：本题主要考察对数函数，函数奇偶性及方程根地分布问题解：（1）要使函数有意义，则1010x x ->⎧⎨+>⎩，∴11x -<<，故函数地定义域为(1,1)-……………………………………………………3分（2）∵22()log (1)log (1)()f x x x f x -=+--=-，∴()f x 为奇函数．…………6分 （3）由题意知方程()1f x x =+等价于22log (1)log (1)1x x x --+=+，可化为1(1)210x x x +++-=设1()(1)21x g x x x +=++-，(1,1)x ∈-…………………………………………8分则12111()210222g -=⨯--=<，(0)2110g =-=>， 所以1()(0)02g g -<，故方程在1(,0)2-上必有根；…………………………10分又因为3413135()21044444g -=⨯--==>，所以11()()024g g --<，故方程在11(,)24--上必有一根．所以满足题意地一个区间为11(,)24--． ……………………………………12分22．命题意图：考察函数地单调性，利用单调性研究函数地值域解：（1）1，4；………………………………………………………………………2分（2）函数()y f x =在区间(,0)-∞上有最大值4-，此时1x =-．……………4分函数()y f x =在区间(,0)(0,)-∞+∞上即不存在最大值也不存在最小值；6分（∵函数()y f x =在区间(,0)(0,)-∞+∞上地值域为：(,4][4,)-∞-+∞）（3）由（1）表格中地数值变化猜想函数33()f x x x=+，(0,)x ∈+∞在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增；故当1x =时，函数()f x 取最小值4． ……………7分下面先证明函数33()f x x x=+在(0,1)上单调递减． 设101x <<，201x <<且12x x <则4433122112122112(3)(3)33()()x x x x f x f x x x x x x x +-+-=+--=3312121212()3()x x x x x x x x ---=221211221212[()3]()x x x x x x x x x x ++--=∵101x <<，201x <<且12x x <，∴2101x <<，2201x <<，1201x x <<，120x x -< 则22121122()30x x x x x x ++-<，故12()()0f x f x ->．故()f x 在区间(0,1)上递减． 同理可证明函数33()f x x x=+在(1,)+∞上单调递增； 所以函数33()f x x x=+，(0,)x ∈+∞在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 故当1x =时，取到最小值(1)4f =．……………………………………………14分宝鸡市金台区中学数学学科高一期中必修一试卷命题意图及说明命题人：沈涛 2009年9月19日1、本卷命题范围:高一上学期部分：必修一2.本卷适用对象: 新课标高一学生3.目标难度: 整卷难度适中主要考察 必修一（1）理解掌握集合地意义，函数地意义及性质，指对函数地定义及性质，函数地应用.4.各章知识比例: 第一章：15% 第二章：30% 第三章：25% 第四章：30%5.本卷亮点、亮题：选择题第1、12题，填空题第14解答题第19题（课本习题例题地拓展变式）填空题第16题（知识创新发散）解答题第22题（突破常规，一题多变，思想较活）设计亮点：每道题地答案都附有该题地设计意图及所考察知识点（见答案）.2009-2010 学年第一学期高一年级数学学科期中必修一命题双项细目表题号所属题型考查内容知识分布分值能力要求情感态度价值观所属题型编号预计得分率难度值识记了解理解运用1 选择题集合第一章5 理解90%.42 选择题集合第一章5 理解90%.43 选择题函数必修15 运用90%.44 选择题函数第二章5 运用90%.45 选择题二次函数第二章5 识记90%.46 选择题指数函数第三章5 运用85%.57 选择题对数函数第三章5 了解85%.58 选择函数第四5 运用85%.5题应用章9 选择题函数应用第四章5 运用80%.61 0选择题函数应用第四章5 运用80%.61 1选择题对数函数第三章5 了解80%.61 2选择题函数第二章5 了解80%.61 3填空题函数第二章4 理解85%.61 4填空题二次函数第二章4 运用85%.61 5填空题指数函数第三章4 识记85%.61 6填空题函数应用第四章4 识记80%.61 7解答题对数运算第三章12理解90%.41 8解答题指数运算第三章12理解85%.51 9解答题集合第一章12运用80%.52解函第1理800 答题数建模四章2 解0% .72 1解答题函数应用第四章12应用80%.62 2解答题函数单调性第二章14理解70%.8备注：本卷试题难度适中，覆盖面广，多数题是课本上地习题改编而成，适用于学期中必修一学业质量检测使用.版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.M2ub6。
2019-2020学年北京师大附中上高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年北京师大附中上高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A ={3,4，5，6}，B ={6}，则A ∩B =( )A. {3,4，5，6}B. {3,4，5}C. {5}D. {6}2. 若b <0<a ，d <c <0，则( )A. bd <acB. ac >bdC. a +c >b +dD. a −c >b −d3. 函数f(x)=13ax 3+12ax 2−2ax +2a +1的图像经过四个象限的一个充分但不必要条件是( )A. −43<a <−13B. −1<a <−12C. −65<a <−316 D. −2<a <04. 函数f(x)=ln(2x −1)−1x+2的零点所在的大致区间是( )A. (12,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)5. 已知函数f (x )=(14)x−4x ，则f (x )( )A. 是奇函数，且在R 上是增函数B. 是偶函数，且在R 上是增函数C. 是奇函数，且在R 上是减函数D. 是偶函数，且在R 上是减函数6. 已知a =815,b =335,c =925，则( )A. a <b <cB. a <c <bC. c <a <bD. b <a <c7. 若函数f(x)={(3−a)x −3, x ≤7a x−6, x >7单调递增，则实数a 的取值范围是( )A. (94,3)B. [94,3)C. (1,3)D. (2,3)8. 函数f(x)=x+1|x+1|log a |x|(0<a <1)的图象的大致形状是( )A.B.C.D.9. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f(x)=log 2(−x)+m ，f(12)=√2，则实数m =( )A. √22B. −√22C. √2+1D. −√2+110. 已知函数f(x)=log 2x ，g(x)=2x +a ，若存在x 1,x 2∈[12,2]，使得f(x 1)=g(x 2)，则a 的取值范围是( )A. [−5,0]B. (−∞,−5]∪[0,+∞)C. (−5,0)D. (−∞,−5)∪(0,+∞)二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 11. 函数的定义域是________．12. 函数f(x)=2x+2，(x ≥1)的值域为______；13. 已知函数f(x)=log 2(x 2+a)，若f(2)=0，则a =______． 14. 设函数满足f(a)=−3，则f(6−a)=________．15. 设f(x)是定义在R 上的单调递减函数，能说明“一定存在x 0∈R ，使得f(x 0)<1”为假命题的一个函数是f(x)= ．16. 已知函数f(x)满足f(x −1)=x 2−x +1，则f(2)=__________． 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分） 17. 计算(1)(278) −23−(499)0.5+(0.008) −23×225；(2)lg25+23lg8+lg5⋅lg20+(lg2)2．18. 已知全集U =R,集合A ={x|x 2−4x ≤0},B ={x |x 2−(2m +2)x +m 2+2m ≤0}．(Ⅰ)若m =3，求∁U B ；(Ⅱ)若A ∪B =A ，则求实数m 的取值范围．19.已知函数f(x)(x∈R)是奇函数，且当x>0时，f(x)=2x−1，(1)求函数f(x)的表达式(2)求不等式f(x)>−1的解集220.已知函数f(x)=1．x2(1)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)用函数单调性的定义证明函数f(x)在(0,+∞)上是减函数．21.已知函数f(x)=−x2+2ex+m−1，g(x)=x+e2(x>0)．x(1)证明函数g(x)在[e,+∞)上单调递增；(2)确定m的取值范围，使得关于x的方程g(x)−f(x)=0有两个相异实数根．22.已知函数f(x)对实数x∈R满足f(x)+f(−x)=0,f(x−1)=f(x+1)，若当x∈[0,1)时，f(x)=)=1−√2．a x+b(a>0,a≠1)，f(32(1)求x∈[−1,1]时，f(x)的解析式；(2)求方程f(x)−|log4x|=0的实数解的个数．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．直接利用交集运算得答案．【解答】解：因为A={3,4，5，6}，B={6}，所以A∩B={6}．故选D．2.答案：C解析：bd>0>ac，ac <0<bd，a+c>c>d>b+d，a−c>0,b−d大小不确定，因此选C．3.答案：B解析：【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数的导数，研究函数的极值是解决本题的关键．据选择项只要判断当a<0时的函数的导数，研究函数的极值，结合函数的图象特点进行求解即可【解答】解：根据选择项只要判断当a<0时，即可，函数的导数f′(x)=ax2+ax−2a=a(x−1)(x+2)．若a<0，当x<−2或x>1，f′(x)<0，当−2<x<1，f′(x)>0，即当x=−2时，函数取得极小值，当x=1时函数取得极大值，要使函数f(x)=13ax3+12ax2−2ax+2a+1的图象经过四个象限，则有f(−2)<0，且f(1)>0，∴−65<a<−316，即函数的图象经过四个象限的充要条件为−65<a<−316，则对应的充分但不必要条件为(−65,−316)的真子集， 则−1<a <−12满足条件，故选：B ．4.答案：B解析： 【分析】本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题．由题意可知函数在(12,+∞)单调递增且连续，f(1)⋅f(2)<0，由根的存在性定理可求． 【解答】解：函数f(x)=ln(2x −1)−1x+2在区间(12,+∞)上为增函数，且连续， 因为f (1)=ln1−13=−13<0,f (2)=ln3−14=ln3−ln √e 4>0， 即f(1)⋅f(2)<0，所以函数零点所在的大致区间是(1,2)． 故选B ．5.答案：C解析： 【分析】本题考查了函数的奇偶性，函数的单调性及指数函数的性质，属于基础题．由已知得f(−x)=−f(x)，即函数f(x)为奇函数，由函数y =4x 为增函数，y =(14)x 为减函数，结合“减”−“增”=“减”可得答案． 【解答】解：∵f(x)=(14)x −4x =4−x −4x ， ∴f(−x)=4x −4−x =−f(x)， 即函数f(x)为奇函数，又由函数y =4x 为增函数，y =(14)x 为减函数， 故函数f (x )=(14)x−4x 为减函数．故选C ．6.答案：A解析：【分析】本题考察对指数函数和幂函数单调性的理解，属于基础题∵a =815=235,b =335,c =925=345，又y =x 35和y =3x在第一象限内是增函数，所以a <b ，b <c ，即a <b <c ．7.答案：B解析： 【分析】本题考查函数的单调性，分段函数的应用，指数函数的性质，考查学生的计算能力，属于中档题． 根据题意可得3−a >0且a >1，且两段函数在衔接点x =7处的函数值大小的比较，可得结果． 【解答】解：∵函数f(x)={(3−a)x −3, x ≤7a x−6, x >7单调递增，可得3−a >0且a >1．但应当注意两段函数在衔接点x =7处的函数值大小的比较， 即(3−a)×7−3≤a ，可以解得a ≥94， 综上，实数a 的取值范围是．故选B ．8.答案：C解析： 【分析】本题主要考查函数图象的应用，涉及分段函数，以及函数的单调性，属于基础题． 函数f (x )去绝对值，写成分段函数的形式，判断函数的单调性，可得出答案． 【解答】解：因为f(x)=x+1|x+1|log a |x|={−log a (−x) ,x <−1 ,log a (−x) ,−1<x <0 ,log a x ,x >0.由于0<a <1，当x <−1时，y =−log a (−x )为减函数，当−1<x <0时，y =log a (−x )为增函数， 当x >0时，y =log a x 为减函数，当x =1时，y =0.所以只有C 正确． 故选C ．9.答案：D解析： 【分析】本题主要考查函数的性质，利用函数的奇偶性求函数值，属于基础题．【解答】解：函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=log2(−x)+m，，解得m=−√2+1．故选D．10.答案：A解析：【分析】本题主要考查函数与方程的应用，属于基础题，根据条件求出两个函数的值域，结合集合元素关系进行求解是解决本题的关键．根据条件求出两个函数的值域，结合若存在x1,x2∈[12, 2]，使得f(x1)=g(x2)，等价为两个集合有公共元素，然后根据集合关系进行求解即可．【解答】解：当12≤x≤2时，log212≤f(x)≤log22，即−1≤f(x)≤1，则f(x)的值域为[−1,1]，当12≤x≤2时，2×12+a≤g(x)≤4+a，即1+a≤g(x)≤4+a，则g(x)的值域为[1+a,4+a]，若存在x1,x2∈[12, 2]，使得f(x1)=g(x2)，则[1+a,4+a]∩[−1,1]≠⌀，若[1+a,4+a]∩[−1,1]=⌀，则1+a>1或4+a<−1，得a>0或a<−5，则当或[1+a,4+a]∩[−1,1]≠⌀时，−5≤a≤0，即实数a的取值范围是[−5,0]，故选A．11.答案：(−1,1)∪(1,+∞)解析：【分析】本题考查函数定义域的求法，函数定义域就是使解析式有意义的x的集合，属基础题．【解答】解：要使解析式有意义，需满足： {x +1>01−x ≠0， 解得：x >−1且x ≠1， 所以定义域为(−1,1)∪(1,+∞)． 故答案为(−1,1)∪(1,+∞)．12.答案：(0,23]解析：解：∵函数f(x)=2x+2，(x ≥1)是减函数， f(1)=21+2=23， ∴函数f(x)=2x+2，(x ≥1)的值域为(0,23]. 故答案为：(0,23].由函数f(x)=2x+2，(x ≥1)是减函数，能求出函数f(x)=2x+2，(x ≥1)的值域．本题考查函数的值域的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．13.答案：−3解析： 【分析】本题考查函数值的应用，以及对数的运算，属于基础题． 【解答】解：函数f(x)=log 2(x 2+a)，f(2)=0，则，∴4+a =1， ∴a =−3． 故答案为−3．14.答案：−114解析：【分析】本题考查了利用分段函数的解析式求自变量值以及函数值的应用问题，是基础题目． 根据函数f(x)的解析式，求出a 的值，再求f(6−a)的值． 【解答】解：当a ≤2时，f(a)=2a−2−3=−3，无解； 当a >2时，f(a)=−log 2(a +2)=−3得：a =6， ∴f(6−a)=f(0)=2−2−3=−114，故答案为−114．15.答案：(12)x +1(答案不唯一)解析：【分析】本题考查存在量词和特称命题的定义以及应用，涉及函数的单调性，属于基础题． 根据题意，分析可得举出一个一个值域大于等于1的减函数即可，据此分析可得答案． 【解答】因为“一定存在x 0∈R ，使得f(x 0)<1”为假命题， 所以“∀x ∈R ，f(x)≥1”为真命题． 又f(x)是定义在R 上的单调递减函数， 故可设f(x)=(12)x +1(答案不唯一)． 故答案为(12)x +1(答案不唯一)．16.答案：7解析：∵f(x −1)=x 2−x +1，∴令x −1=2，解得x =3，∴f(2)=32−3+1=7.故答案为：7．17.答案：解：(1)原式=(32)3×(−23)−(73)2×0.5+(0.2)3×(−23)×225=49−73+25×225=19，(2)原式=2lg5+2lg2+lg5⋅(2lg2+lg5)+(lg2)2=2+(lg5)2+2lg2lg5+(lg2)2=2+1=3．解析：(1)根据指数幂的运算性质即可求出， (2)根据对数的运算性质即可求出．本题考查了指数幂的运算性质和对数的运算性质，属于基础题．18.答案：解：(Ⅰ)由题意，若m =3，则B ={x|x 2−(2m +2)x +m 2+2m ⩽0}={x|x 2−8x +15⩽0}， 可得，所以∁U B ={x|x <3或x >5}．(Ⅱ)可得，若A ∪B =A ，则B ⊆A ，则{m ≥0m +2≤4, 解得0≤m ≤2．解析：本题考查了集合的补集运算，集合关系中的参数取值问题，属于中档题．(Ⅰ)当m =3时，可解得，即可得B 的补集；(Ⅱ)由题意，可得{m ≥0m +2≤4，即可求解．19.答案：解：(1)根据题意，函数f(x)(x ∈R)是奇函数，则f(0)=0，当x <0时，−x >0，则f(−x)=2(−x)−1=−2x −1，又由函数f(x)为奇函数，则f(x)=−f(−x)=2x +1，则f(x)={2x −1,x >00,x =02x +1,x <0；(2)根据题意，f(x)={2x −1,x >00,x =02x +1,x <0，当x >0时，f(x)=2x −1，此时f(x)>−12即2x −1>−12，解可得x >14，此时不等式的解集为{x|x >14}，当x =0时，f(0)=0，f(x)>−12成立；此时不等式的解集为{0}，当x <0时，f(x)=2x +1，此时f(x)>−12即2x +1>−12，解可得x >−34，此时不等式的解集为{x|−34<x <0}， 综合可得：不等式f(x)>−12的解集{x|−34<x ≤0或x >14}.解析：本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是求出函数的解析式．(1)根据题意，由奇函数的性质分析可得f(0)=0，结合函数的奇偶性以及解析式可得当x <0时f(x)的解析式，综合即可得答案；(2)根据题意，由函数的解析式分3种情况讨论，当x >0时，f(x)=2x −1，此时f(x)>−12即2x −1>−12，当x =0时，f(0)=0，f(x)>−12成立；当x <0时，f(x)=2x +1，此时f(x)>−12即2x +1>−12，分别求出3种情况下不等式的解集，综合即可得答案．20.答案：解：(1)函数的定义域{x|x≠0}，则f(−x)=1(−x)2=1x2=f(x)，则函数f(x)是偶函数，(2)当x>0时，设0<x1<x2，则f(x1)−f(x2)=1x12−1x22=x22−x12x12x22=(x1+x2)(x2−x1)x12x22，∵0<x1<x2，∴0<x1+x2，x2−x1>0，则f(x1)−f(x2)=(x1+x2)(x2−x1)x12x22>0，则f(x1)>f(x2)，即函数f(x)在(0,+∞)上是减函数．解析：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用函数奇偶性和单调性的定义是解决本题的关键．(1)根据函数奇偶性的定义进行证明即可；(2)根据函数单调性的定义进行证明即可．21.答案：(1)证明：任取x1,x2∈[e,+∞)，且x1<x2，则g(x2)−g(x1)=(x2+e2x2)−(x1+e2x1)=(e2x2−e2x1)+(x2−x1)=e2(x1−x2)x1x2−(x1−x2)=(x1−x2)(e2−x2x1)x1x2，∵x1,x2∈[e,+∞)，且x1<x2，∴x1−x2<0,x1x2>e2，即e2−x1x2<0，∴g(x2)−g(x1)>0，即g(x2)>g(x1)，∴函数g(x)在上单调递增；(2)解：∵f(x)=−x2+2ex+m−1=−(x−e)2+m−1+e2，∴函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x=e，值域为(−∞,e2+m−1],当且仅当x=e时，f(x)取得最大值为e2+m−1，∵函数g(x)是对勾函数，在(0,e]上单调递减，在[e,+∞)上单调递增，∴g(x)的值域为[2e,+∞),当且仅当x=e时，g(x)取得最小值为2e，∵g(x)−f(x)=0有两个相异实数根，等价于函数y =g (x )和y =f (x )的图象有两个不同的交点，因为两个函数在同一点分别取到最大值和最小值，原问题等价于g (x )min <f (x )max ，即2e <e 2+m −1，解得m ∈(−e 2+2e +1,+∞)，∴m 的取值范围为(−e 2+2e +1,+∞)．解析：本题考查函数的单调性与单调区间、函数的最值、函数的零点与方程根的关系，属于较难题．(1)利用定义法直接证明即可；(2)求出函数y =g (x )和y =f (x )的最值，把问题转化为g (x )min <f (x )max ，即可求出结果．22.答案：(1)f(x)={1−2−x ,x ∈(−1,0],x =±12x −1,x ∈[0,1) (2)3解析：(1)∵f (x )+f (−x )=0∴f (0)=0，即b =−1，∵f (x −1)=f (x +1),f (32)=1−√2，∴f (32)=f (−12)=−f (12)=1−√a =1−√2，∴a =2，当x ∈[0,1)时，f (x )=2x −1.∴当x ∈(−1,0]时，−x ∈[0,1)∴f (−x )=2−x −1,∴f (x )=−f (−x )=1−2−x .∵f (x )+f (−x )=0,f (x −1)=f (x +1)∴f (1)=f (−1)=0,∴f(x)={1−2−x ,x ∈(−1,0],x =±12x −1,x ∈[0,1).(2)∵f (x )+f (−x )=0,f (x −1)=f (x +1)∴f (x +2)=f (x )∴f (x )是奇函数，且以2为周期.方程f(x)−|log 4x |=0的实数解的个数也就是函数y =f (x )和y =|log 4x |的交点的个数.在同一直角坐标系中作出这两个函数的图像，由图像得交点个数为3，所以方程f(x)−|log 4x |=0的实数解的个数为3．。
北京师大附中2019-2020学年高一上学期期中考试数学试卷Word版含解析
北京师大附中2019-2020学年上学期期中考试高一数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填在答题卡上）1．设集合A={﹣1，0，1}，B={x ∈R|x ＞0}，则A ∩B=（ ）A ．{﹣1，0}B ．{﹣1}C ．{0，1}D ．{1}2．函数的定义域是（ ）A ．（﹣∞，2）B ．[2，+∞）C ．（﹣∞，2]D ．（2，+∞）3．已知幂函数y=f （x ）的图象过点（，），则f （2）的值为（ ）A ．B ．﹣C ．2D ．﹣24．已知a=log 20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．a ＜c ＜bD ．b ＜c ＜a5．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（ ）A ．y=2x 3B ．y=|x|+1C ．y=﹣x 2+4D ．y=2﹣|x|6．设函数y=x 3与y=（）x 的图象的交点为（x 0，y 0），则x 0所在的区间是（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）7．已知函数f （x ）是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f （x ）=x 3﹣2x 2，则x ＜0时，函数f （x ）的表达式为f （x ）=（ ）A ．x 3+2x 2B ．x 3﹣2x 2C ．﹣x 3+2x 2D ．﹣x 3﹣2x 28．函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x 关于y 轴对称，则f （x ）=（ ）A ．e x+1B ．e x ﹣1C ．e ﹣x+1D ．e ﹣x ﹣1二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在答题纸上）9．满足关系式{2，3}⊆A ⊆{1，2，3，4}的集合A 的个数是 ．10．函数f （x ）=2a x+1﹣3（a ＞0，且a ≠1）的图象经过的定点坐标是 ．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 升．12．已知定义域为（0，+∞）的函数f （x ）满足：（1）对任意x ∈（0，+∞），恒有f （2x ）=2f （x ）成立；（2）当x ∈（1，2]时，f （x ）=2﹣x ．给出如下结论：①对任意m ∈Z ，有f （2m ）=0；②函数f （x ）的值域为[0，+∞）；③存在n ∈Z ，使得f （2n +1）=9；④“函数f （x ）在区间（a ，b ）上单调递减”的充要条件是“存在k ∈Z ，使得（a ，b ）⊆（2k ，2k+1）”；其中所有正确结论的序号是 ．三.解答题（本大题共3小题，共40分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上）13．A={x|x 2﹣3x+2=0}，B={x|ax ﹣2=0}，若B ⊆A ，求a ．14．已知函数且f（1）=2．（1）求实数k的值及函数的定义域；（2）判断函数在（1，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．15．已知二次函数f（x）的图象过点（0，4），对任意x满足f（3﹣x）=f（x），且有最小值是．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数h（x）=f（x）﹣（2t﹣3）x在区间[0，1]上的最小值，其中t∈R；（3）在区间[﹣1，3]上，y=f（x）的图象恒在函数y=2x+m的图象上方，试确定实数m的范围．四、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案的序号填在答题纸上）（x+1）的解集是．16．如图，函数f（x）的图象为折线 AC B，则不等式f（x）≥log217．函数的单调递增区间是．18．（lg2）2+lg2•lg5+的值为．19．设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．五、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上）20．为配合国庆黄金周，促进旅游经济的发展，某火车站在调查中发现：开始售票前，已有a人在排队等候购票．开始售票后，排队的人数平均每分钟增加b人．假设每个窗口的售票速度为c人/min，且当开放2个窗口时，25min后恰好不会出现排队现象（即排队的人刚好购完）；若同时开放3个窗口，则15min后恰好不会出现排队现象．若要求售票10min后不会出现排队现象，则至少需要同时开几个窗口？21．已知定义域为R的函数是奇函数．（1）求f（x）；（2）判断函数f（x）的单调性（不必证明）；（3）解不等式f（|x|+1）+f（x）＜0．22．对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．（1）证明：[0，1]是函数y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．（2）求证：函数不存在“和谐区间”．（3）已知：函数（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n ﹣m的最大值．北京师大附中2019-2020学年上学期期中考试高一数学试卷参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填在答题卡上）1．设集合A={﹣1，0，1}，B={x∈R|x＞0}，则A∩B=（）A．{﹣1，0} B．{﹣1} C．{0，1} D．{1}【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={x∈R|x＞0}，∴A∩B={1}，故选：D．2．函数的定义域是（）A．（﹣∞，2）B．[2，+∞）C．（﹣∞，2] D．（2，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】：根据函数有意义的条件可知求解即可【解答】解：根据函数有意义的条件可知∴x＞2故选：D3．已知幂函数y=f（x）的图象过点（，），则f（2）的值为（）A．B．﹣C．2 D．﹣2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】设幂函数y=f（x）=xα，把点（，）代入可得α的值，求出幂函数的解析式，从而求得f（2）的值．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，把点（，）代入可得=α，∴α=，即f（x）=，故f（2）==，故选：A．4．已知a=log0.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是（）2A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．a ＜c ＜bD ．b ＜c ＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】看清对数的底数，底数大于1，对数是一个增函数，0.3的对数小于1的对数，得到a 小于0，根据指数函数的性质，得到b 大于1，而c 小于1，根据三个数字与0，1之间的关系，得到它们的大小关系．【解答】解：由对数和指数的性质可知，∵a=log 20.3＜0b=20.1＞20=1c=0.21.3 ＜ 0.20=1∴a ＜c ＜b故选C ．5．下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（ ）A ．y=2x 3B ．y=|x|+1C ．y=﹣x 2+4D ．y=2﹣|x|【考点】函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质．【分析】由函数的奇偶性和单调性的定义和性质，对选项一一加以判断，即可得到既是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数．【解答】解：对于A ．y=2x 3，由f （﹣x ）=﹣2x 3=﹣f （x ），为奇函数，故排除A ；对于B ．y=|x|+1，由f （﹣x ）=|﹣x|+1=f （x ），为偶函数，当x ＞0时，y=x+1，是增函数，故B 正确； 对于C ．y=﹣x 2+4，有f （﹣x ）=f （x ），是偶函数，但x ＞0时为减函数，故排除C ；对于D ．y=2﹣|x|，有f （﹣x ）=f （x ），是偶函数，当x ＞0时，y=2﹣x ，为减函数，故排除D ．故选B ．6．设函数y=x 3与y=（）x 的图象的交点为（x 0，y 0），则x 0所在的区间是（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）【考点】幂函数的图象；指数函数的图象与性质．【分析】构造函数f （x ）=x 3﹣，利用零点存在定理判断即可．【解答】解：令f （x ）=x 3﹣，∵f ′（x ）=3x 2﹣ln =3x 2+ln2＞0，∴f （x ）=x 3﹣在R 上单调递增； 又f （1）=1﹣=＞0，f （0）=0﹣1=﹣1＜0，∴f （x ）=x 3﹣的零点在（0，1），∵函数y=x 3与y=（）x 的图象的交点为（x 0，y 0），∴x 0所在的区间是（0，1）．故答案为：A ．7．已知函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2，则x＜0时，函数f（x）的表达式为f（x）=（）A．x3+2x2B．x3﹣2x2C．﹣x3+2x2D．﹣x3﹣2x2【考点】函数奇偶性的性质．【分析】设x＜0时，则﹣x＞0，我们知道当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2，所以可求f（﹣x）=﹣x3﹣2x2，再由奇函数知f（x）=﹣f（﹣x）即可求解．【解答】解：设x＜0时，则﹣x＞0，因为当x＞0时，f（x）=x3﹣2x2所以f（﹣x）=（﹣x）3﹣2（﹣x）2=﹣x3﹣2x2，又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），所以当x＜0时，函数f（x）的表达式为f（x）=x3+2x2，故选A．8．函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x关于y轴对称，则f（x）=（）A．e x+1B．e x﹣1C．e﹣x+1 D．e﹣x﹣1【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的图象与图象变化．【分析】首先求出与函数y=e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式，然后换x为x+1即可得到要求的答案．【解答】解：函数y=e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=e﹣x，而函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x的图象关于y轴对称，所以函数f（x）的解析式为y=e﹣（x+1）=e﹣x﹣1．即f（x）=e﹣x﹣1．故选D．二、填空题（本大题4小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在答题纸上）9．满足关系式{2，3}⊆A⊆{1，2，3，4}的集合A的个数是 4 ．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由题意一一列举出集合A的情况即可．【解答】解：由题意知，满足关系式{2，3}⊆A⊆{1，2，3，4}的集合A有：{2，3}，{2，3，1}，{2，3，4}，{2，3，1，4}，故共有4个，故答案为：4．10．函数f（x）=2a x+1﹣3（a＞0，且a≠1）的图象经过的定点坐标是（﹣1，﹣1）．【考点】指数函数的图象变换．【分析】根据指数函数的图象和性质即可得到结论．【解答】解：由指数幂的性质可知，令x+1=0得x=﹣1，此时f（﹣1）=2﹣3=﹣1，即函数f（x）的图象经过的定点坐标是（﹣1，﹣1），故答案为：（﹣1，﹣1）．注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为8 升．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，由此得到该车每100千米平均耗油量．【解答】解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8．故答案是：8．12．已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．给出如下结论：①对任意m∈Z，有f（2m）=0；②函数f（x）的值域为[0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k，2k+1）”；其中所有正确结论的序号是①②④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据定义可求出f（2）=0，再逐步递推f（2m）=f（2•2m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2）=0；②分区间分别讨论，得出在定义域内函数的值域；③根据②的结论x∈（2m，2m+1），f（x）=2m+1﹣x，求出f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1=2n﹣1，再判断是否存在n值；④由②的结论x∈（2m，2m+1），f（x）=2m+1﹣x显然可得结论．【解答】解：∵x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．∴f（2）=0．f（1）=f（2）=0．∵f（2x）=2f（x），∴f（2k x）=2k f（x）．①f（2m）=f（2•2m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2）=0，故正确；②设x∈（2，4]时，则x∈（1，2]，∴f（x）=2f（）=4﹣x≥0．若x∈（4，8]时，则x∈（2，4]，∴f（x）=2f（）=8﹣x≥0．…一般地当x∈（2m，2m+1），则∈（1，2]，f（x）=2m+1﹣x≥0，从而f（x）∈[0，+∞），故正确；③由②知当x∈（2m，2m+1），f（x）=2m+1﹣x≥0，∴f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1=2n﹣1，假设存在n使f（2n+1）=9，即2n﹣1=9，∴2n=10，∵n∈Z，∴2n=10不成立，故错误；④由②知当x∈（2k，2k+1）时，f（x）=2k+1﹣x单调递减，为减函数，∴若（a，b）⊆（2k，2k+1）”，则“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”，故正确．故答案为：①②④．三.解答题（本大题共3小题，共40分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上）13．A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|ax﹣2=0}，若B⊆A，求a．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】解一元二次方程先化简集合A ，再由子集的定义分集合B 是否为空集两种情况讨论，最后综合讨论结果求解．【解答】解：解：集合A={x|x 2﹣3x+2=0}={1，2}∵B ⊆A ，∴（1）B=∅时，a=0（2）当B={1}时，a=2（3））当B={2}时，a=1故a 值为：2或1或0．14．已知函数且f （1）=2．（1）求实数k 的值及函数的定义域；（2）判断函数在（1，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．【考点】函数单调性的性质；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）由f （1）=2便可求出k=1，并容易求出函数f （x ）的定义域；（2）可以判断在（1，+∞）上为增函数，根据增函数的定义，设任意的x 1＞x 2＞1，然后作差，通分，提取公因式，从而可证明f （x 1）＞f （x 2），这便可得出f （x ）在（1，+∞）上为增函数．【解答】解：（1）f （1）=1+k=2；∴k=1，，定义域为{x ∈R|x ≠0}；（2）为增函数；证明：设x 1＞x 2＞1，则：==；∵x 1＞x 2＞1；∴x 1﹣x 2＞0，，； ∴f （x 1）＞f （x 2）；∴f （x ）在（1，+∞）上为增函数．15．已知二次函数f （x ）的图象过点（0，4），对任意x 满足f （3﹣x ）=f （x ），且有最小值是．（1）求f （x ）的解析式；（2）求函数h （x ）=f （x ）﹣（2t ﹣3）x 在区间[0，1]上的最小值，其中t ∈R ；（3）在区间[﹣1，3]上，y=f （x ）的图象恒在函数y=2x+m 的图象上方，试确定实数m 的范围．【考点】二次函数的性质．【分析】本题（1）用待定系数法设出函数解析式，利用条件图象过点（0，4），f （3﹣x ）=f （x ），最小值得到三个方程，解方程组得到本题结论；（2）分类讨论研究二次函数在区间上的最小值，得到本题结论；（3）将条件转化为恒成立问题，利用参变量分离，求出函数的最小值，得到本题结论．【解答】解：（1）二次函数f（x）图象经过点（0，4），任意x满足f（3﹣x）=f（x）则对称轴x=，f（x）存在最小值，则二次项系数a＞0设f（x）=a（x﹣）2+．将点（0，4）代入得：f（0）=，解得：a=1∴f（x）=（x﹣）2+=x2﹣3x+4．（2）h（x）=f（x）﹣（2t﹣3）x=x2﹣2tx+4=（x﹣t）2+4﹣t2，x∈[0，1]．当对称轴x=t≤0时，h（x）在x=0处取得最小值h（0）=4；当对称轴0＜x=t＜1时，h（x）在x=t处取得最小值h（t）=4﹣t2；当对称轴x=t≥1时，h（x）在x=1处取得最小值h（1）=1﹣2t+4=﹣2t+5．综上所述：当t≤0时，最小值4；当0＜t＜1时，最小值4﹣t2；当t≥1时，最小值﹣2t+5．∴．（3）由已知：f（x）＞2x+m对于x∈[﹣1，3]恒成立，∴m＜x2﹣5x+4对x∈[﹣1，3]恒成立，∵g（x）=x2﹣5x+4在x∈[﹣1，3]上的最小值为，∴m＜．四、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将正确答案的序号填在答题纸上）（x+1）的解集是（﹣1，1] ．16．如图，函数f（x）的图象为折线 AC B，则不等式f（x）≥log2【考点】函数的图象．【分析】在同一坐标系中画出函数f（x）和函数y=log（x+1）的图象，数形结合可得答案．2【解答】解：在同一坐标系中画出函数f（x）和函数y=log（x+1）的图象，如图所示：2（x+1）的解集是：（﹣1，1]，．由图可得不等式f（x）≥log2故答案为：（﹣1，1]17．函数的单调递增区间是[2，3）．【考点】复合函数的单调性．【分析】令t=﹣3+4x﹣x2＞0，求得函数的定义域，结合y=，本题即求函数t在（1，3）上的减区间，再利用二次函数的性质可得结论．【解答】解：令t=﹣3+4x﹣x2＞0，求得1＜x＜3，则y=，本题即求函数t在（1，3）上的减区间．利用二次函数的性质可得函数t在（1，3）上的减区间为[2，3），故答案为：[2，3）．18．（lg2）2+lg2•lg5+的值为 1 ．【考点】对数的运算性质．【分析】根据lg2+lg5=1，进行计算即可．【解答】解：（lg2）2+lg2•lg5+=lg2（lg2+lg5）+lg5=lg2+lg5=1，故答案为：1．19．设函数f（x）=，①若a=1，则f（x）的最小值为﹣1 ；②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是≤a＜1或a≥2 ．【考点】函数的零点；分段函数的应用．【分析】①分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；②分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围．【解答】解：①当a=1时，f （x ）=，当x ＜1时，f （x ）=2x ﹣1为增函数，f （x ）＞﹣1，当x ＞1时，f （x ）=4（x ﹣1）（x ﹣2）=4（x 2﹣3x+2）=4（x ﹣）2﹣1，当1＜x ＜时，函数单调递减，当x ＞时，函数单调递增，故当x=时，f （x ）min =f （）=﹣1，②设h （x ）=2x ﹣a ，g （x ）=4（x ﹣a ）（x ﹣2a ）若在x ＜1时，h （x ）=与x 轴有一个交点，所以a ＞0，并且当x=1时，h （1）=2﹣a ＞0，所以0＜a ＜2，而函数g （x ）=4（x ﹣a ）（x ﹣2a ）有一个交点，所以2a ≥1，且a ＜1，所以≤a ＜1，若函数h （x ）=2x ﹣a 在x ＜1时，与x 轴没有交点，则函数g （x ）=4（x ﹣a ）（x ﹣2a ）有两个交点，当a ≤0时，h （x ）与x 轴无交点，g （x ）无交点，所以不满足题意（舍去），当h （1）=2﹣a ≤0时，即a ≥2时，g （x ）的两个交点满足x 1=a ，x 2=2a ，都是满足题意的，综上所述a 的取值范围是≤a ＜1，或a ≥2．五、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上）20．为配合国庆黄金周，促进旅游经济的发展，某火车站在调查中发现：开始售票前，已有a 人在排队等候购票．开始售票后，排队的人数平均每分钟增加b 人．假设每个窗口的售票速度为c 人/min ，且当开放2个窗口时，25min 后恰好不会出现排队现象（即排队的人刚好购完）；若同时开放3个窗口，则15min 后恰好不会出现排队现象．若要求售票10min 后不会出现排队现象，则至少需要同时开几个窗口？【考点】根据实际问题选择函数类型；简单线性规划．【分析】根据条件建立不等式关系，进行求解即可．【解答】解：设至少需要同时开x 个窗口，则根据题意有，．由①②得，c=2b ，a=75b ，代入③得，75b+10b ≤20bx ，∴x ≥， 即至少同时开5个窗口才能满足要求．21．已知定义域为R 的函数是奇函数．（1）求f （x ）；（2）判断函数f （x ）的单调性（不必证明）；（3）解不等式f （|x|+1）+f （x ）＜0．【考点】函数单调性的判断与证明；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）根据f（x）是R上的奇函数，f（0）=0，求出b的值1即可；（2）化简f（x），判断f（x）在R上为减函数；（3）利用f（x）的单调性与奇偶性，化简不等式并求出解集．【解答】解：（1）因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）=0，即=0，解得b=1；从而有；…经检验，符合题意；…（2）由（1）知，f（x）==﹣+；由y=2x的单调性可推知f（x）在R上为减函数；…（3）因为f（x）在R上为减函数且是奇函数，从而不等式f（1+|x|）+f（x）＜0等价于f（1+|x|）＜﹣f（x），即f（1+|x|）＜f（﹣x）；…又因f（x）是R上的减函数，由上式推得1+|x|＞﹣x，…解得x∈R．…22．对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：①f（x）在[m，n]内是单调函数；②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．（1）证明：[0，1]是函数y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．（2）求证：函数不存在“和谐区间”．（3）已知：函数（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n﹣m的最大值．【考点】函数单调性的性质．【分析】（1）根据二次函数的性质，我们可以得出y=f（x）=x2在区间[0，1]上单调递增，且值域也为[0，1]满足“和谐区间”的定义，即可得到结论．（2）该问题是一个确定性问题，从正面证明有一定的难度，故可采用反证法来进行证明，即先假设区间[m，n]为函数的“和谐区间”，然后根据函数的性质得到矛盾，进而得到假设不成立，原命题成立．（3）设[m，n]是已知函数定义域的子集，我们可以用a表示出n﹣m的取值，转化为二次函数的最值问题后，根据二次函数的性质，可以得到答案．【解答】解：（1）∵y=x2在区间[0，1]上单调递增．又f（0）=0，f（1）=1，∴值域为[0，1]，∴区间[0，1]是y=f（x）=x2的一个“和谐区间”．（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集．∵x≠0，[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），故函数在[m，n]上单调递增．若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则故m、n是方程的同号的相异实数根．∵x2﹣3x+5=0无实数根，∴函数不存在“和谐区间”．（3）设[m，n]是已知函数定义域的子集．∵x≠0，[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），故函数在[m，n]上单调递增．若[m，n]是已知函数的“和谐区间”，则故m、n是方程，即a2x2﹣（a2+a）x+1=0的同号的相异实数根．∵，∴m，n同号，只须△=a2（a+3）（a﹣1）＞0，即a＞1或a＜﹣3时，已知函数有“和谐区间”[m，n]，∵，∴当a=3时，n﹣m取最大值。
2019-2020学年北京市首师大附中高一(上)期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年北京市首师大附中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 已知集合，，则A ∩B 为( )A. B.C.D.2. 设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( )A. a <b <√ab <a+b 2B. a <√ab <a+b 2<bC. a <√ab <b <a+b 2D. √ab <a <a+b 2<b3. 下列函数中，为奇函数的是( )A. y =2x +12x B. y =x ，x ∈{0,1}C. y =x ⋅sinxD. y ={1,x <00,x =0−1,x >04. 已知条件p:(x −m)(x −m −3)>0；条件若p 是q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,−7)∪(1,+∞)B. (−∞,−7]∪[1,+∞)C. (−7,1)D. [−7,1]5. 把函数y =1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位后，所得函数的图象是( )A.B.C.D.6. 关于x 的方程x 2+mx +1=0有两个不相等的正实根，则实数m 的取值范围是 ( )A. m <−2B. m <0C. m <1D. m >07. 把集合{x|x 2−4x −5=0}用列举法表示为( )A. {x =−1,x =5}B. {x|x =−1或x =5}C. {x 2−4x −5=0}D. {−1,5} 8. 设集合M ={x|x ≤2√3}，a =√11+b ，其中b ∈(0,1)，则下列关系中正确的是( )A. a ⫋MB. a ∉MC. {a}∈MD. {a}⫋M9. 下列不等式：①a 2+1>2a ；√ab ≤2；③x 2+1x +1≥1，其中正确的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 310. 已知不等式m −1<x <m +1成立的充分条件是13<x <12，则实数m 的取值范围是( )A. (−∞,−12)∪(43,+∞) B. (−∞,−12)∪[43,+∞) C. (−12,43)D. [−12,43]二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11. 若集合M ={x|x 2+x −6=0}，N ={x|ax +1=0}，且N ⊆M ，则由a 的可取值组成的集合为________．12. 已知函数f(x)={xlnx −2x,x >0,x 2+32x,x ≤0,函数g(x)=f(x)−kx +1有四个零点，则实数k 的取值范围是______．13. f(x)={cos π4x,x <0f(x −2),x ≥0，则f(2017)=______．14. 不等式ax 2+bx +c >0的解集是{x|−3<x <2}，则ab+c = ． 15. 给出下列四个结论：①函数f(x)=√2−x 2为奇函数；②函数y =2 √x 的值域是(1,+∞)； ③函数y =1x 在定义域内是减函数；④若函数f(2x )的定义域为[1,2]，则函数y =f (x2)的定义域为[4,8]． 其中正确结论的序号是________.(填上所有正确结论的序号)16. 有15人进家电超市，其中有8人买了电视，有7人买了电脑，两种均买了的有2人，则这两种都没买的有__________人17. 已知函数f(x)={(a +1)x −1,x ≥112ax 2−ax −1,x <1在(−∞,+∞)上单调递增，则a 的取值范围是________．18. 若P =√a +7−√a +6，Q =√a +10−√a +3(a ≥0)，则P ，Q 的大小关系是________． 19. 已知集合U ={1,2,3,4,5},A ={1,3},B ={2,3}，则A⋂(∁U B)= ________ ． 20. 若正实数a ，b 满足2a +b =1，则1a +12b 的最小值为_________．三、解答题（本大题共12小题，共60.0分）21.已知全集U=R，集合A={x|−1≤x<2}，B={x|(x−2)(x−k)≥0}．(1)若k=1，求A∩∁U B；(2)若A∩B=⌀，求实数k的取值范围．22.已知函数y=f(x)(x>0)满足：f(xy)=f(x)+f(y)，当x<1时，f(x)>0，且f(12)=1；(1)证明：y=f(x)是定义域上的减函数；(2)解不等式f(x−3)>f(1x)−2．23.(1)已知x>0，y>0，1x +2y+1=2，求2x+y的最小值．(2)已知a>0，b>0，a+b=1，比较8−1a 与1b+1ab的大小，并说明理由．24.已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|α0，β>0}，求不等式cx2+bx+a<0的解集．25.(1)求函数y=x2+8x−1(x>1)的最小值．(2)求函数y=x2+2021x+4042x+2的值域．26.(1)已知，求4a+1+a的最小值;(2)已知，且2a+b=1，求1a +1b的最小值．27.(1)若x，y>0，且2x+8y−xy=0，求x+y的最小值;(2)若−4<x<1，求x2−2x+22x−2的最大值．28. (1)已知x >1，y =x +1x−1，求函数的最小值；(2)已知a >0，b >0，函数f(x)=alog 2x +b 的图象经过点(4,12)，求1a +2b 的最小值．29. 求下列不等式的解集：(1)−x 2+4x +5<0； (2)2x−13x+1>0．30. (1)设x,y 是正实数，且1x +9y =1，求x +y 的最小值．(2)已知x <54，求函数y =4x −2+14x−5的最大值．31.已知关于x的不等式ax2−3x+2>0(a∈R)．(1)若ax2−3x+2>0在区间[1 , 3]上恒成立，求a的取值范围；(2)求不等式ax2−3x+2>5−ax的解集．32.已知关于的一元二次方程x2−(m+1)x+(2m−1)=0．(1)若x=4是方程的一个实数根，求方程的另一个实数根；(2)若该方程有两个不相等的实数根x1,x2，且1x12+1x22=3，求实数m的值；(3)若m=0，求x3−1x3的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查集合的交集运算，属于基础题．根据交集的定义即可求解．【解答】解：因为集合，，所以，故选A．2.答案：B解析：【分析】本题考查不等式性质的运用，属于基础题．因为0<a<b，作差得到a−√ab=√a(√a−√b)<0，得到a<√ab；b−a+b2=b−a2>0，得到b>a+b 2；由基本不等式得到a+b2>√ab，从而得到大小关系．【解答】解：因为0<a<b，所以a−√ab=√a(√a−√b)<0，故a<√ab；因为b−a+b2=b−a2>0，所以b>a+b2；由基本不等式知a+b2>√ab，综上所述，a<√ab<a+b2<b，故选B．3.答案：D解析：解：A.设f(x)=2x+12x=2x+2−x，则f(−x)=f(x)为偶函数．B.定义域关于原点不对称，∴函数为非奇非偶函数函数．C.y=xsinx为偶函数．D .满足f(0)=0，且f(−x)=−f(x)，∴函数为奇函数． 故选：D ．根据函数奇偶性的定义进行判断．本题主要考查函数奇偶性的判断，根据奇偶性的定义和常见函数的奇偶性的性质是解决本题的关键，比较基础．4.答案：B解析： 【分析】分别解出p ，q 的不等式，根据p 是q 的必要不充分条件，即可得出．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 【解答】解：条件p ：(x −m)(x −m −3)>0；解得：m +3<x ，或x <m ． 条件q ：x 2+3x −4<0.解得−4<x <1，∵p 是q 的必要不充分条件，∴1≤m ，或m +3≤−4，解得m ≥1或m ≤−7． 则实数m 的取值范围是(−∞,−7]∪[1,+∞)． 故选：B ．5.答案：A解析： 【分析】本题考查函数图象的平移规律和平移的方法，体现了数形结合的数学思想．把函数y =1x 的图象先经过左右平移得到y =1x−1的图象，再经过上下平移得到y =1x−1+1的图象． 【解答】解：将函数y =1x 的图象向右平移1个单位，得到y =1x−1的图象， 再把y =1x−1的图象向上平移一个单位，即得到y =1x−1+1的图象， 图象关于点(1,1)对称，当x =0时，y =0， 故选项A 的图象符合， 故选A ．6.答案：A解析：【分析】本题考查一元二次方程解的问题，属于基础题．方程x2+mx+1=0有两个不相等的正实根，则解得m的取值范围即可．【解答】解：方程x2+mx+1=0有两个不相等的正实根，则解得m<−2．故选A．7.答案：D解析：解：根据题意，解x2−4x−5=0可得x=−1或5，用列举法表示可得{−1,5}；故选：D．根据题意，解x2−4x−5=0可得x=−1或5，即可得{x|x2−4x−5=0}={−1,5}，即可得答案．本题考查集合的表示法，注意正确求解一元二次方程．8.答案：D解析：【分析】本题考查元素与集合的关系，属基础题．由，所以a∉M．【解答】解：判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否具有这个集合中元素的特征，若具有就是，否则不是．，∴a∈M，故{a}⫋M．故选D．9.答案：B解析：【分析】本题考查基本不等式，属于基础题．利用基本不等式逐项分析判断即可．【解答】解：①a =1时，a 2+1>2a 不成立，①错误； ②a >0，b >0时，√ab≥√ab √ab =2，当且仅当a =b 时取等号，故②错误；③x 2+1x 2+1=(x 2+1)+1x 2+1−1≥2−1=1，当且仅当x =0时，等号成立，③正确；因此正确的个数是1． 故选B ．10.答案：D解析：由题意可知m −1≤13且12≤m +1，解得m ∈[−12,43].11.答案：{0,−12,13}解析： 【分析】本题考查集合关系中参数取值问题，集合M ={x|x 2+x −6=0}，分别解出集合M 最简单的形式，然后再根据N ⊆M ，求出k 的值，属基础题． 【解答】解：∵集合M ={x|x 2+x −6=0}，∴集合M ={2,−3}， ∵N ⊆M ，N ={x|ax +1=0}，∴有N =Φ或N ={2}或N ={−3}三种情况， 当N =Φ时，可得a =0，此时N =Φ；当N ={2}时，∵N ={x|ax +1=0}，∴a =−12； 当N ={−3}时，a =13，∴a 的可能取值组成的集合为{0,−12,13}， 故答案为{0,−12,13}.12.答案：(−1,−12)解析： 【分析】本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了学生的作图能力及数形结合的思想应用，属于难题．根据函数与方程的关系，利用参数分离法转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．解：∵函数f(x)={xlnx −2x,x >0,x 2+32x,x ≤0,函数g(x)=f(x)−kx +1有四个零点，∴令g(x)=0，则f (x )−kx +1=0，即f (x )=kx −1， 对于f (x )=xlnx −2x (x >0)，f ′(x )=lnx −1， 当0<x <e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x >e 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 易知直线y =kx −1恒过点A(0,−1)，如图，设直线AC 与y =xlnx −2x 相切于点C(x 0,x 0lnx 0−2x 0)， 又y ′=lnx −1，所以直线AC 的方程为y −(x 0lnx 0−2x 0)=(lnx 0−1)(x −x 0)， 直线AC 经过A(0,−1)，所以x 0=1，此时k AC =ln1−1=−1，设直线AB 与y =x 2+32x (x ≤0)相切于点B(x,x 2+32x)，y ′=2x +32, 故2x +32=x 2+32x+1x−0,解得，所以k AB =2×(−1)+32=−12， 所以若要f (x )=kx −1有四个零点，结合函数图象，可得实数k 的取值范围是(−1,−12)， 故答案为(−1,−12)．13.答案：√22解析： 【分析】本题考查的知识点是函数求值，分段函数的应用，函数的周期性的应用，难度不大，属于基础题． 由已知中f(x)={cos π4x,x <0f(x −2),x ≥0，得到函数的周期，将x =2017代入可得答案．解：∵f(x)={cosπ4x,x<0f(x−2),x≥0，x≥0时，函数是周期函数，周期为2，∴f(2017)=f(2015)=f(2013)=⋯=f(1)=f(−1)=cos(−π4)=√22，故答案为：√22．14.答案：−15解析：【分析】本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，属于基础题．关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−3<x<2}，可得−3，2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，且a<0，再利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：∵关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|−3<x<2}，∴−3，2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根，且a<0，∴{−3+2=−ba −3×2=ca，即ba =1,ca=−6．则b+ca =ba+ca=1−6=−5，∴ab+c =−15．故答案为−15．15.答案：①④解析：【分析】本题考查函数的奇偶性、函数的定义域值域、函数的单调性，根据条件逐项判断真假即可，属中档题．【解答】解：①由2−x2>0，得−√2<x<√2，则函数f(x)的定义域为(−√2,√2)，所以函数f(x)=√2−x2=√2−x2，则f(−x)=√2−x 2=−f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故①正确； ②y =2√x ≥20=1，即函数的值域是[1,+∞)，故②错误； ③函数y =1x 在定义域内不是单调函数，故③错误；④若函数f(2x)的定义域为[1,2]，则1≤x ≤2，则2≤2x ≤4，即函数f(x)的定义域为[2,4]， 由2≤x2≤4，得4≤x ≤8，即函数y =f (x2)的定义域为[4,8]，故④正确． 故答案为①④．16.答案：2解析：设两种都没买的有x 人，由题意知，只买电视的有6人，只买电脑的有5人，两种均买了的有2人，∵6+5+2+x =15，∴x =2．17.答案：[−23,0)解析： 【分析】本题考查分段函数的单调性，注意函数单调性的定义，属于中档题．根据题意，由函数单调性的定义分析可得{a +1>0a <0a2−a −1≤(a +1)−1，解可得a 的取值范围，即可得答案． 【解答】解：根据题意，函数f(x)={(a +1)x −1,x ≥112ax 2−ax −1,x <1在(−∞,+∞)上单调递增，则有{a +1>0a <0a2−a −1≤(a +1)−1， 解可得：−23≤a <0， 即a 的取值范围为[−23,0)； 故答案为：[−23,0)．18.答案：P <Q解析： 【分析】本题考查了平方作差比较两个数的大小，考查了计算能力，属于基础题．【解答】解：因为a≥0，所以P2−Q2=(√a+7−√a+6)2−(√a+10−√a+3)2=−2√a+7×√a+6+2√a+10×√a+3=2(√a2+13a+30−√a2+13a+42)，因为a2+13a+30−(a2+13a+42)=−12<0，所以P<Q．故答案为P<Q．19.答案：｛1｝解析：【分析】本题主要考查了集合的分类，元素与集合的关系的应用，解题的关键是熟练掌握集合的分类，元素与集合的关系的计算，根据已知及集合的分类，元素与集合的关系的计算，求出C U B的值，求出的A∩(C U B)的值．【解答】解：∵集合U={1,2,3,4,5},A={1,3},B={2,3}，∴C U B=｛1，4，5｝，∴A⋂(∁U B)=｛1｝．故答案为｛1｝．20.答案：92解析：【分析】本题考查了利用基本不等式求最值，关键是对“1”的代换，利用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”，是基础题．把1a +12b看作(1a+12b)⋅1，然后把1换为2a+b，展开后利用基本不等式求最值．【解答】解：1a +12b=(1+1)(2a+b)=2+12+ba+ab=52+ba+ab．∵a，b是正实数，∴52+ba+ab≥52+2√ba⋅ab=92．即1a +12b的最小值为92．当且仅当{ba=ab2a+b=1，即a=b=13时“=”成立．故答案为92．21.答案：解：(1)∵k=1时，全集U=R，集合A={x|−1≤x<2}，B={x|(x−2)(x−1)≥0}={x|x≥2或x≤1}．∴C U B={x|1<x<2}，∴A∩∁U B={x|1<x<2}．(2)当k≥2时，集合A={x|−1≤x<2}，B={x|(x−2)(x−k)≥0}．A∩B=⌀，当k<2时，集合A={x|−1≤x<2}，B={x|(x−2)(x−k)≥0}={x|x≤k，或x≥2}，∵A∩B=⌀，∴k<−1．∴实数k的取值范围是(−∞,−1)∪[2，+∞)．解析：(1)k=1时，求出B={x≥2或x≤1}，C U B={x|1<x<2}，由此能求出A∩∁U B={x|1< x<2}．(2)当k≥2时，A∩B=⌀，当k<2时，B={x|x≤k，或x≥2}，由A∩B=⌀，得k<−1.由此能求出实数k的取值范围．本题考查补集、交集的求法，考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．22.答案：解：(1)证明：设0<x1<x2，则0<x1x2<1，由题意当x<1时，f(x)>0，可得f(x 1)−f(x 2)=f(x 1x 2⋅x 2)−f(x 2)=f(x 1x 2)+f(x 2)−f(x 2)=f(x1x 2)>0，即f(x 1)>f(x 2)，所以y =f(x)是(0,+∞)上的减函数；(2)由f(12)=1，则f(14)=f(12×12)=f(12)+f(12)=1+1=2， 由f(x −3)>f(1x )−2得f(x −3)+2>f(1x )， 即f(x −3)+f(14)>f(1x )，即有f(x−34)>f(1x)，由y =f(x)是(0,+∞)上的减函数， 得0<x−34<1x，解得3<x <4． 则原不等式的解集为(3,4)．解析：(1)应用单调性的定义证明，注意取值，作差，变形和运用已知条件，定符号，下结论； (2)由f(12)=1，可得f(14)=2，原不等式即为即f(x −3)+f(14)>f(1x )，即有f(x−34)>f(1x )，由y =f(x)是(0,+∞)上的减函数，可得0<x−34<1x ，解不等式即可得到所求解集．本题考查函数的单调性的证明和应用，考查赋值法和分式不等式的解法，属于中档题和易错题．23.答案：解：(1)由x ，y >0，可得2x +y +1=(2x +y +1)(12x +1y+1)=2+y+12x+2xy+1≥4(x =y =1等号成立)，可得2x +y ≥3，即2x +y 的最小值为3； (2)8−1a ≤1b +1ab ．理由：由a >0，b >0，a +b =1≥2√ab ， 即有ab ≤14， 则1a +1b +1ab =a+b+1ab =2ab ≥8则8−1a ≤1b +1ab ．解析：(1)由题意可得12x +1y+1=1(a,y >0)，运用乘1法和基本不等式可得2x +y +1的最小值，进而得到2x +y 的最小值；(2)结论：8−1a ≤1b +1ab .运用基本不等式可得ab 的范围，再由作差法，得到1a +1b +1ab ≥8，即可得到结论．本题考查基本不等式的运用：求最值和比较大小，注意乘1法和满足的条件：一正二定三等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．24.答案：解：∵ax 2+bx +c >0的解集为{x|α<x <β}，∴a <0，且α，β是方程ax 2+bx +c =0的两根，∴αβ=c a ，α+β=−ba ，∴c =a ·αβ，b =−a(α+β)，代入cx 2+bx +a <0，得a ·αβx 2−a(α+β)x +a <0， 即αβx 2−(α+β)x +1>0，∵αβ>0，∴x 2−(1α+1β)x +1αβ>0， ∵方程x 2−(1α+1β)x +1αβ=0的两根为1α，1β， 且1α>1β，∴不等式cx 2+bx +a <0的解集为 {x|x >1α或x <1β}．解析：本题考查一元二次不等式的解法，由于不等式ax 2+bx +c >0的解集为{x|α<x <β,α>0,β>0}，通过韦达定理，将b c ,ac 用α，β表示，得出 1α，1β为方程x 2−(1α+1β)x +1αβ=0的两根，可解不等式．25.答案：解：(1)y =x 2+8x−1=x 2−1+9x−1=(x +1)+9x−1=(x −1)+9x−1+2．∵x >1，∴x −1>0．∴(x −1)+9x−1+2≥2√(x −1)·9x−1+2=8． 当且仅当x −1=9x−1，即x =4时等号成立，所以函数y =x 2+8x−1(x >1)的最小值为8．(2)y =x 2+2021x+4042x+2=(x+2)2+2017(x+2)+4x+2=x +2+4x+2+2017．当x >−2时，y ≥2√(x +2)·4x+2+2017=2021，当x <−2时，y =−[−(x +2)+4−(x+2)]+2017≤2013， 故y =x 2+2021x+4042x+2的值域为：y ≤2013或y ≥2021．解析：本题考查基本不等式在最值中的应用，注意基本不等式成立的条件，属于中档题．26.答案：解(1)∵a > −1，∴a +1>0.由基本不等式，得4a+1+a =4a+1+a +1−1≥ 2√4a+1·(a +1)−1=2√4−1=3．当且仅当4a+1=a +1，即a =1时，等号成立． ∴4a+1+a 的最小值为3．(2)∵a、，且2a+b=1，∴1a +1b=2a+ba+2a+bb=3+(ba+2ab)≥3+2√2．当且仅当ba =2ab，即a=1−√22，b=√2−1时等号成立．∴1a +1b的最小值为3+2√2．解析：本题主要考查了基本不等式的应用，注意等号成立的条件，属于基础题．(1)由题意得4a+1+a=4a+1+a+1−1，再利用基本不等式的性质求出最小值即可；(2)灵活利用2a+b=1，1a +1b=2a+ba+2a+bb，再利用基本不等式的性质求出最小值即可．27.答案：解：(1)∵2x+8y−xy=0，∴2y +8x=1．∴x+y=(x+y)(2y +8x)=10+8yx+2xy≥10+2√8yx×2xy=18，当且仅当x=2y=12时取等号，∴x+y的最小值是18．(2)∵−4<x<1，∴x2−2x+22x−2=−12[(1−x)+11−x]≤−12×2√(1−x)×11−x=−1，当且仅当x=0时取等号，∴x2−2x+22x−2的最大值是−1．解析：本题考查基本不等式求最值，熟练掌握基本不等式的性质及其应用是解题的关键．(1)由题意得，2y +8x=1，则x+y=(x+y)(2y+8x)=10+8yx+2xy，利用基本不等式即可求解；(2)由题意，x2−2x+22x−2=−12[(1−x)+11−x]，利用基本不等式即可求解．28.答案：解：(1)因为x>1，所以x−1>0，从而y=x+1x−1=x−1+1x−1+1≥2√(x−1)⋅1x−1+1=3，当且仅当x=2时取的最小值3；(2)∵a>0，b>0，函数的图象经过点(4,12)，∴2a+b=12，则1a+2b=2(1a+2b)(2a +b)=8+2(b a+4a b)≥8+4√b a⋅4a b=16，当且仅当b =2a =14时取最小值为16．解析：本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑． (1)由已知可得，y =x +1x−1=x −+1x−1+1，利用基本不等式即可求解；(2)由已知可得，2a +b =12，从而可得1a +2b =2(1a +2b )(2a +b)，利用基本不等式即可求解．29.答案：解：(1)−x 2+4x +5<0，即x 2−4x −5>0，即(x −5)(x +1)>0， 解得x <−1或x >5，故不等式的解集为(−∞,−1)∪(5,+∞)， (2)由2x−13x+1>0可得(2x −1)(3x +1)>0， 即(x −12)(x +13)>0， 解得x <−13或x >12，故不等式的解集为(−∞,−13)∪(12,+∞)解析：分别用因式分解法即可求出不等式的解集．本题考查了利用因式分解法解一元二次不等式，属于基础题．30.答案：解：(1)x +y =(x +y)(1x +9y )=10+9x y+y x ≥10+2√9x y ×yx =16，当9xy =yx 时即x =4,y =12等号成立， 所以x +y 的最小值为16． (2)因为x <54，所以5−4x >0，y =4x −2+14x−5=4x −5+14x−5+3=−[(5−4x)+15−4x ]+3≤−2√(5−4x)×15−4x +3=1， 当5−4x =15−4x 时即x =1时等号成立， 所以函数y =4x −2+14x−5的最大值为1．解析：本题考查利用基本不等式求函数的最值，关键要注意条件“一正二定三等”． (1)x +y =(x +y)(1x +9y )=10+9x y+yx 再利用基本不等式即可．(2)注意函数解析式的分母为4x −5，所以前面要配成4x −5，得到y =4x −5+14x−5+3，但4x −5<0，所以填上负号得y =−[(5−4x)+15−4x ]+3再用基本不等式求解即可．31.答案：解：(1)由化简得，令，则原问题等价于在上恒成立，则，设，当时，取得最大值，故的取值范围是．(2)不等式为，即，当时，原不等式解集为； 当时，方程的根为，.①当时，，原不等式解集为；②时，，原不等式解集为；③当时，，原不等式解集为；④当时，，原不等式解集为．解析：本题考查一元二次不等式的解与分类讨论思想，属于中档题．(1)分离变量，转化为求函数y =−2t 2+3t 的最大值，求出最大值，即可得到答案; (2)对a 分类讨论，解不等式即可．32.答案：解：(1)设另一个根为x 0，由{4+x 0=m +14x 0=2m −1，得x 0=52 (2)由Δ>0得m <1或m >5， 因为{x 1+x 2=m +1x 1x 2=2m −1, 所以1x 12+1x 22=(x 1+x 2)2−2x 1x 2x 12x 22=(m+1)2−2(2m−1)(2m−1)2=3，解得m =0或m =1011，(3)当m =0时，x 2−x −1=0，且x ≠0， 所以x −1x =1，则x 3−1x 3=(x −1x )(x 2+1+1x 2) =(x −1x )[(x −1x )2+3]=4．解析：本题考查一元二次方程，考查推理能力和计算能力，属于中档题．(1)利用韦达定理求解即可；(2)根据一元二次方程根与系数的关系求解即可；(3)利用立方差公式求解即可得结果．第21页，共21页。
北师大版高一数学必修1上期中试题及答案
北师大版高一数学必修1上期中试题及答案高一数学期中试卷（满分120分，考试时间90分钟）一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）1.设集合 $A=\{(x,y)|y=-4x+6\}$，$B=\{(x,y)|y=5x-3\}$，则 $A\cap B=$（）A。
$\{1,2\}$ B。
$\{x=1,y=2\}$ C。
$\{(1,2)\}$ D。
$(1,2)$2.已知函数 $f(x)$ 是定义在 $[1-a,5]$ 上的偶函数，则$a$ 的值是（）A。
0 B。
1 C。
6 D。
-63.若 $a>0$ 且 $a\neq1$，则函数 $y=ax-1$ 的图像一定过点（）A。
$(0,1)$ B。
$(0,-1)$ C。
$(1,0)$ D。
$(1,1)$4.若 $f(x)=x+1$，则 $f^{-1}(2)=$（）A。
3 B。
2 C。
1 D。
$-1/3$5.下列四个图像中，是函数图像的是（）A。
B。
C。
D。
6.下列函数中既是奇函数，又在区间 $(0,+\infty)$ 上单调递增的是（）A。
$y=-x^2$ B。
$y=1/x$ C。
$y=x+1/x$ D。
$y=e^{|x|}$7.若方程 $2ax^2-x-1=0$ 在 $(0,1)$ 内恰好有一个解，则$a$ 的取值范围是（）A。
$a1$ C。
$-1<a<1$ D。
$a\leq1$8.已知函数 $f(x)=\begin{cases} \log_2x & (x>1) \\ x^3 & (x\leq1) \end{cases}$，则 $f[f(9)]=$（）A。
1 B。
3 C。
4 D。
99.为了得到函数 $y=3x$ 的图像，可以把函数 $y=3|x|$ 的图像（）。
A。
向左平移3个单位长度 B。
向右平移3个单位长度C。
向左平移1个单位长度 D。
向右平移1个单位长度10.设 $a=\log_{0.3}4$，$b=\log_43$，$c=0.3^{-2}$，则$a$、$b$、$c$ 的大小关系为（）A。
2019-2020学年北京师大实验中学高一(上)期中数学试卷试题及答案(解析版)
2019-2020学年北京师大实验中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填在括号中）1．已知集合{1A =-，0，1，2}，2{|1}B x x =…，则(A B = )A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{1-，1}D ．{0，1，2}2．如果0a b <<，那么下列不等式成立的是( ) A ．11a b< B ．2ab b < C ．2ab a -<- D ．11a b-<- 3．下列函数中，值域为(0,)+∞的是( )A ．y =B ．11y x =- C ．y = D ．y =4．已知3()4f x ax bx =+-，若f （2）6=，则(2)(f -= ) A ．14-B ．14C ．6-D ．105．设x R ∈，则“|2|1x -<”是“260x x --<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．函数21()2f x x x=--在区间(1,3)内的零点个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．37．已知命题“x R ∃∈，212(1)02x a x +-+…是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(,1)-∞-B ．(1,3)-C ．(3,)-+∞D ．(3,1)-8．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当(0x ∈，1]时，()(1)f x x x =-．若对任意(x ∈-∞，]m ，都有8()9f x -…，则m 的取值范围是( ) A ．(-∞，9]4B ．(-∞，7]3C ．(-∞，5]2D ．(-∞，8]3二、填空题（本大题6小题，每小题5分，共30分，将正确答案填在横线上） 9．已知26x y -=，34x y -=，则2256x xy y -+的值为 ．10．已知α，β是方程2270x x +-=的两个根，则222ααββ-+= ．11．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 ．12．已知函数21(0)()2(0)x x f x x x ⎧+=⎨-<⎩…，若()10f x =，则x = ．13．若二元一次方程37x y -=，231x y +=，9y kx =-有公共解，求实数k = ．14．已知R λ∈，函数24,()43,x x f x x x x λλ-⎧=⎨-+<⎩…，当2λ=时，不等式()0f x <的解集是 ．若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是 ．三、解答题（本大题共3个小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上） 15．已知集合{|44}A x a x a =-+<<+，1{|0}5x B x x +=-…． （1）若1a =，求A B ；（2）若AB R =，求实数a 的取值范围．16．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x …时有4()4xf x x =+ （1）判断函数()f x 在[0，)+∞上的单调性，并用定义证明； （2）求函数()f x 的解析式（写成分段函数的形式）．17．已知关于x 的不等式(1)(2)2ax x -->的解集为A ，且3A ∉． （Ⅰ）求实数a 的取值范围； （Ⅱ）求集合A ．四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，将正确答案的序号填在答题纸上）18．函数y 的定义域是 ． 19．已知函数21()1f x x =+，则f （1）f +（2）f +（3）f +（4）111()()()234f f f +++= ． 20．设0x >，0y >，25x y +=的最小值为 ．21．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为 ．22．设函数()f x 的定义域D ，如果存在正实数m ，使得对任意x D ∈，都有()()f x m f x +>，则称()f x 为D 上的“m 型增函数”．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()||()f x x a a a R =--∈．若()f x 为R 上的“20型增函数”，则实数a 的取值范围是 ． 五、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上） 23．已知关于x 的一元二次方程2420x x k -+=． （1）若方程有实数根，求实数k 的取值范围；（2）如果k 是满足（1）的最大整数，且方程2420x x k -+=的根是一元二次方程22310x mx m -+-=的一个根，求m 的值及这个方程的另一个根．24．已知函数()(2)()f x x x a =-+，其中a R ∈． （Ⅰ）若()f x 的图象关于直线1x =对称，求a 的值； （Ⅱ）求()f x 在区间[0，1]上的最小值．25．对于区间[a ，]()b a b <，若函数()y f x =同时满足：①()f x 在[a ，]b 上是单调函数；②函数()y f x =，[x a ∈，]b 的值域是[a ，]b ，则称区间[a ，]b 为函数()f x 的“保值”区间．（1）求函数2y x =的所有“保值”区间；（2）函数2(0)y x m m =+≠是否存在“保值”区间？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．2019-2020学年北京师大实验中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填在括号中）1．已知集合{1A =-，0，1，2}，2{|1}B x x =…，则(A B = )A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{1-，1}D ．{0，1，2}【解答】解：因为{1A =-，0，1，2}，2{|1}{|11}B x x x x ==-剟?， 所以{1AB =-，0，1}，故选：A ．2．如果0a b <<，那么下列不等式成立的是( ) A ．11a b< B ．2ab b < C ．2ab a -<- D ．11a b-<- 【解答】解：由于0a b <<，不妨令2a =-，1b =-，可得112a =- 11b =-，∴11a b>，故A 不正确．可得2ab =，21b =，2ab b ∴>，故B 不正确． 可得2ab -=-，24a -=-，2ab a ∴->-，故C 不正确． 故选：D ．3．下列函数中，值域为(0,)+∞的是( )A ．y =B ．11y x =- C ．y = D ．y =【解答】解：A ．0y =，故A 不符合； 1.(,0)(0,)1B y x =∈-∞+∞-，故B 不符合；.1C y =，故C 不符合；.D y ={|1}x x >，当1x >时，101x >-，∴0y =>，故D 符合． 故选：D ．4．已知3()4f x ax bx =+-，若f （2）6=，则(2)(f -= )A ．14-B ．14C ．6-D ．10【解答】解：3()4f x ax bx =+-33()()4()()48f x f x ax bx a x b x ∴+-=+-+-+⨯--=-()()8f x f x ∴+-=- f （2）6= (2)14f ∴-=-故选：A ．5．设x R ∈，则“|2|1x -<”是“260x x --<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由|2|1x -<得121x -<-<，得13x << 由260x x --<得23x -<<，即“|2|1x -<”是“260x x --<”的充分不必要条件， 故选：A ． 6．函数21()2f x x x=--在区间(1,3)内的零点个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：21()2f x x x'=+， 当(1,3)x ∈时，()0f x '>，()f x ∴在(1,3)上单调递增， 又f （1）20=-<，f （3）2003=>， ()f x ∴在(1,3)上有1个零点．故选：B ．7．已知命题“x R ∃∈，212(1)02x a x +-+…是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(,1)-∞-B ．(1,3)-C ．(3,)-+∞D ．(3,1)-【解答】解： “x R ∃∈，212(1)02x a x +-+…”的否定为“x R ∀∈，212(1)02x a x +-+>““x R ∃∈，212(1)02x a x +-+…”为假命题∴ “x R ∀∈，212(1)02x a x +-+> “为真命题 即212(1)02x a x +-+>恒成立 21(1)4202a ∴--⨯⨯< 解得13a -<< 故选：B ．8．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当(0x ∈，1]时，()(1)f x x x =-．若对任意(x ∈-∞，]m ，都有8()9f x -…，则m 的取值范围是( ) A ．(-∞，9]4B ．(-∞，7]3C ．(-∞，5]2D ．(-∞，8]3【解答】解：因为(1)2()f x f x +=，()2(1)f x f x ∴=-，(0x ∈，1]时，1()(1)[4f x x x =-∈-，0]，(1x ∴∈，2]时，1(0x -∈，1]，1()2(1)2(1)(2)[2f x f x x x =-=--∈-，0]；(2x ∴∈，3]时，1(1x -∈，2]，()2(1)4(2)(3)[1f x f x x x =-=--∈-，0]， 当(2x ∈，3]时，由84(2)(3)9x x --=-解得73x =或83x =，若对任意(x ∈-∞，]m ，都有8()9f x -…，则73m …． 故选：B ．二、填空题（本大题6小题，每小题5分，共30分，将正确答案填在横线上） 9．已知26x y -=，34x y -=，则2256x xy y -+的值为 24 ．【解答】解：26x y -=，34x y -=，2256(2)(3)x xy y x y x y ∴-+=--6424=⨯=．故答案为：24．10．已知α，β是方程2270x x +-=的两个根，则222ααββ-+= 32 ． 【解答】解：α，β是方程2270x x +-=的两个根， 2αβ∴+=-，7αβ=-，则22222()4(2)4(7)32ααββαβαβ-+=+-=--⨯-=． 故答案为：32．11．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是 30 ． 【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和6006442240x x =⨯+⨯=…（万元）． 当且仅当30x =时取等号． 故答案为：30．12．已知函数21(0)()2(0)x x f x x x ⎧+=⎨-<⎩…，若()10f x =，则x = 3或5- ．【解答】解：令2110x +=， 解得，3x =或3x =-（舍去）； 令210x -=，解得，5x =-； 故答案为：3或5-．13．若二元一次方程37x y -=，231x y +=，9y kx =-有公共解，求实数k = 4 ． 【解答】解：由37x y -=，231x y +=得，两直线的交点坐标为(2,1)-， 二元一次方程37x y -=，231x y +=，9y kx =-有公共解， ∴点(2,1)-在直线9y kx =-上，129k ∴-=-，4k ∴=．故答案为：4．14．已知R λ∈，函数24,()43,x x f x x x x λλ-⎧=⎨-+<⎩…，当2λ=时，不等式()0f x <的解集是{|14}x x << ．若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是 ．【解答】解：当2λ=时函数24,2()43,2x x f x x x x -⎧=⎨-+<⎩…，显然2x …时，不等式40x -<的解集：{|24}x x <…；2x <时，不等式()0f x <化为：2430x x -+<，解得12x <<，综上，不等式的解集为：{|14}x x <<． 函数()f x 恰有2个零点，函数24,()43,x x f x x x x λλ-⎧=⎨-+<⎩…的草图如图：函数()f x 恰有2个零点，则13λ<…或4λ>． 故答案为：{|14}x x <<；(1，3](4,)+∞．三、解答题（本大题共3个小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上） 15．已知集合{|44}A x a x a =-+<<+，1{|0}5x B x x +=-…． （1）若1a =，求A B ；（2）若AB R =，求实数a 的取值范围．【解答】解：{|1B x x =-…或5}x >， （1）若1a =，则{|35}A x x =-<<， {|31}AB x x ∴=-<-…；（2）A B R =，∴4145a a -+-⎧⎨+>⎩…， 13a ∴<…，∴实数a 的取值范围为(1，3]．16．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x …时有4()4xf x x =+ （1）判断函数()f x 在[0，)+∞上的单调性，并用定义证明； （2）求函数()f x 的解析式（写成分段函数的形式）． 【解答】解：（1）函数4()4xf x x =+在[0，)+∞上单调递增． 证明：设120x x >…，则12121244()()44x x f x f x x x -=-++， 12121216()4()16x x x x x x -=+++，又120x x >…，所以120x x ->，120x x …，120x x +>， 所以12121216()04()16x x x x x x ->+++．则12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >， 故函数4()4xf x x =+在[0，)+∞上单调递增； （2）由于当0x …时有4()4xf x x =+， 而当0x <时，0x ->， 则44()()44x x f x f x x x --===-+-， 即4()(0)4xf x x x =<-． 则4(0)4()4(0)4xx x f x x x x ⎧⎪⎪+=⎨⎪<⎪-⎩…．17．已知关于x 的不等式(1)(2)2ax x -->的解集为A ，且3A ∉． （Ⅰ）求实数a 的取值范围； （Ⅱ）求集合A ． 【解答】解：()3I A ∉，∴当3x =时，有(1)(2)2ax x --…，即312a -…； 解得1a …，即a 的取值范围是{|1}a a …；⋯ ()(1)(2)2II ax x -->， (1)(2)20ax x ∴--->，2(21)0ax a x ∴-+>，⋯当0a =时，集合{|0}A x x =<；⋯当12a <-时，集合1|02A x x a ⎧⎫=<<+⎨⎬⎩⎭；⋯当12a =-时，原不等式的解集A 为空集；⋯（7分）当102a -<<时，集合1|20A x x a ⎧⎫=+<<⎨⎬⎩⎭；⋯当01a <…时，集合1|02A x x x a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭或．⋯四、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，将正确答案的序号填在答题纸上）18．函数y 的定义域是 [1-，3] ．【解答】解：要使函数y =的解析式有意义， 自变量x 须满足：的解：要要{1030x x +-厖 即∴13x x <-⎧⎨⎩…解得13x ∴-剟∴y =定义域为[1-，3]故答案为：[1-，3] 19．已知函数21()1f x x =+，则f （1）f +（2）f +（3）f +（4）111()()()234f f f +++= 2． 【解答】解：21()1f x x =+，221()1x f x x ∴=+，22211()()111x f x f x x x ∴+=+=++， f ∴（1）f +（2）f +（3）f +（4）111()()()234f f f +++f =（1）f +（2）1()2f f ++（3）1()3f f ++（4）1()4f + 132=， 故答案为：132． 20．设0x >，0y >，25x y +=的最小值为【解答】解：0x >，0y >，25x y +=，==+；由基本不等式有：64xy xy=； 当且仅当=时， 即：3xy =，25x y +=时，即：31x y =⎧⎨=⎩或232x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时；等号成立，；故答案为：21．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付 130 元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为 ．【解答】解：①当10x =时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得6080140+=（元)， 即有顾客需要支付14010130-=（元)；②在促销活动中，设订单总金额为m 元，可得()80%70%m x m -⨯⨯…， 即有8m x …恒成立， 由题意可得120m …， 可得120158x =…， 则x 的最大值为15元．故答案为：130，1522．设函数()f x 的定义域D ，如果存在正实数m ，使得对任意x D ∈，都有()()f x m f x +>，则称()f x 为D 上的“m 型增函数”．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()||()f x x a a a R =--∈．若()f x 为R 上的“20型增函数”，则实数a 的取值范围是 (,5)-∞ ． 【解答】解：函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()||()f x x a a a R =--∈，得||,0()0,0||,0x a a x f x x x a a x -->⎧⎪==⎨⎪--+<⎩，(20)()f x f x +>，()f x 为R 上的“20型增函数”， (20)()f x f x ∴+>，当0x …时，|20|||x a a x a a +-->--， 式子|20|||x a x a +->-的几何意义为数轴上到点a 的距离小于到点20a -的距离， 又0x >，200a a ∴+-<，解得10a <；当020x x <<+时，|20|||x a a x a a +-->-++，即|20|||2x a x a a +-++>恒成立， ∴根据几何意义得|220|2a a ->，即5a <；当200x x <+<时，|20|||x a a x a a -+++>-++，即|20|||x a x a ++<+恒成立， 200a a ∴--->，即10a <．∴实数a 的取值范围是5a <．故答案为：(,5)-∞五、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程，将答案写在答题纸上）23．已知关于x 的一元二次方程2420x x k -+=．（1）若方程有实数根，求实数k 的取值范围；（2）如果k 是满足（1）的最大整数，且方程2420x x k -+=的根是一元二次方程22310x mx m -+-=的一个根，求m 的值及这个方程的另一个根．【解答】解：（1）由题意△0…， 1680k ∴-…，2k ∴…．（2）由题意2k =，方程2420x x k -+=的根，122x x ==，∴方程22310x mx m -+-=的一个根为2，44310m m ∴-+-=，3m ∴=，方程为2680x x -+=，2x ∴=或4，∴方程22310x mx m -+-=的另一个根为4．24．已知函数()(2)()f x x x a =-+，其中a R ∈．（Ⅰ）若()f x 的图象关于直线1x =对称，求a 的值；（Ⅱ）求()f x 在区间[0，1]上的最小值．【解答】（Ⅰ）解法一：因为2()(2)()(2)2f x x x a x a x a =-+=+--， 所以，()f x 的图象的对称轴方程为22a x -=． 由212a -=，得0a =． 解法二：因为函数()f x 的图象关于直线1x =对称，所以必有(0)f f =（2）成立，所以20a -=，得0a =．（Ⅱ）解：函数()f x 的图象的对称轴方程为22a x -=． ①当202a -…，即2a …时， 因为()f x 在区间(0,1)上单调递增，所以()f x 在区间[0，1]上的最小值为(0)2f a =-．②当2012a -<<，即02a <<时， 因为()f x 在区间2(0,)2a -上单调递减，在区间2(,1)2a -上单调递增， 所以()f x 在区间[0，1]上的最小值为222()()22a a f -+=-．③当212a -…，即0a …时， 因为()f x 在区间(0,1)上单调递减，所以()f x 在区间[0，1]上的最小值为f （1）(1)a =-+．25．对于区间[a ，]()b a b <，若函数()y f x =同时满足：①()f x 在[a ，]b 上是单调函数；②函数()y f x =，[x a ∈，]b 的值域是[a ，]b ，则称区间[a ，]b 为函数()f x 的“保值”区间．（1）求函数2y x =的所有“保值”区间；（2）函数2(0)y x m m =+≠是否存在“保值”区间？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）因为函数2y x =的值域是[0，)+∞，且2y x =在[a ，]b 的值域是[a ，]b ，所以[a ，][0b ⊆，)+∞，所以0a …，从而函数2y x =在区间[a ，]b 上单调递增， 故有22.a ab b ⎧=⎨=⎩解得0,10, 1.a a b b ==⎧⎨==⎩或或 又a b <，所以01.a b =⎧⎨=⎩所以函数2y x =的“保值”区间为[0，1]．⋯ （2）若函数2(0)y x m m =+≠存在“保值”区间，则有：①若0a b <…，此时函数2y x m =+在区间[a ，]b 上单调递减，所以22.a mb b m a ⎧+=⎨+=⎩消去m 得22a b b a -=-，整理得()(1)0a b a b -++=． 因为a b <，所以10a b ++=，即1a b =--．又01b b b⎧⎨--<⎩…所以102b -<…． 因为2221311()(0)242m b a b b b b =-+=---=-+--<…，所以314m -<-…．⋯ ②若0b a >…，此时函数2y x m =+在区间[a ，]b 上单调递增， 所以22.a m ab m b ⎧+=⎨+=⎩消去m 得22a b a b -=-，整理得()(1)0a b a b -+-=． 因为a b <，所以10a b +-=，即1b a =-．又01a a a⎧⎨<-⎩…所以102a <…．因为22111()(0)242m a a a a =-+=--+<…，所以104m <…． 因为0m ≠，所以104m <<． 综合 ①、②得，函数2(0)y x m m =+≠存在“保值”区间，此时m 的取值范围是31[1,)(0,)44--．。
北师大高一数学期中试题附标准答案
（满分120分考试90分钟）年级 高一学科数学（期中试卷）宝鸡市石油中学 齐宗锁一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题地四个选项中， 只有一项是符合题目要求地.）1、设集合}35|),{(},64|),{(-==+-==x y y x B x y y x A ，则B A = （ ） A ．{1，2}B ．{x =1，y =2}C ．{（1，2）}D ．（1，2）2、已知函数)(x f 是定义在[]5,1a -上地偶函数，则a 地值是 （ ）A ．0 B.1 C.6 D.-6 3、若01a a >≠且，则函数1x y a-=地图象一定过点 （ ）A ．（０,１）B ．（０,-1）C ．(１,０) Ｄ．（１,１） 4．若1)(+=x x f ，则=-)2(f1（ ）A 、3B 、2C 、1D 、3 5．下列四个图像中，是函数图像地是（ ）A 、（1）B 、（1）、（3）、（4）C 、（1）、（2）、（3）D 、（3）、（4） 6、下列函数中既是奇函数，又在区间（0，+∞）上单调递增地是 ( )A ．2y x =-B ．()12x y g =C ．1y x x=+D ． ||x e y =7、若方程2ax 2－x －1=0在（0，1）内恰好有一个解，则a 地取值范围是 （ ）A ．a <-1B ．a >1C ．－1<a <1D ．0≤a <18、已知函数⎩⎨⎧=xx x f 3log )(2)0()0(≤>x x ，则)]41([f f 地值是 （ ） A.91 B.41 C. 4 D. 99．为了得到函数13()3x y =⨯地图象，可以把函数1()3xy =地图象 （ ）A ．向左平移3个单位长度B ．向右平移3个单位长度C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度（1）（2）（3）（4）10．．设a =log 0.34，b =log 43，c =0.3–2，则a 、b 、c 地大小关系为 （ ）A ．b ＜a ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜b ＜a D ．a ＜b ＜c 11、函数)1lg(+=x y 地图象是（ ）12、函数)32(log )(221--=x x x f 地单调递增区间是 （ ）A ．（－∞，1）B ．（－∞，－1）C ．（3，+∞）D ．（1，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13、已知集合{}{}0)1(,12=-=+==x x x B t x x A ，则=⋃B A .14、已知函数a x x x f ++=2)(2在区间[]2,3-上地最大值是4，则a =.15、用二分法求方程350x x --=在区间[]1,2内地实根,取区间()1,2地中点1.5,那么下一个有根区间是. 16、设函数c bx x x x f ++⋅=)(，给出下列命题：①b=0,c ＞0时，0)(=x f 只有一个实数根；②c =0时，)(x f y =是奇函数；③)(x f y =地图象关于点(0，c )对称；④方程0)(=x f 至多有2个实数根. 上述命题中正确地序号为.三、解答题（共5小题, 共计52分.解答应写文字说明，证明过程或演算步骤）17、(8分)(1）求12312log 9163-⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭地值； （2）求1)23(log 21--=x x y 地定义域.18、（8分）全集{}{}12,1,23,3,123-=++=x A x x x S ，如果{}0=A C S ，则这样地实数x第21题图是否存在？若存在，求出x ；若不存在，请说明理由.19、（10分）已知函数()(),0(,1log )(,1log )(>-=+=a x x g x x f a a 且)1≠a ． （1）求函数)()(x g x f -定义域；判断函数)()(x g x f -地奇偶性，并予以证明； （2）求使0)()(>-x g x f 地x 地取值范围．20、（12分）函数x x f 2)(=和3)(x x g =地图象地示意图如下图所示.设两函数地图象 交于点),(11y x A 、),(22y x B ，且21x x <.（1）请指出示意图中曲线1C 、2C 分别对应哪一个函数？（2）若[][]1,,1,21+∈+∈b b x a a x ，且{}12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,∈b a ，指出a 、b 地值，并说明理由；（3）结合函数图象示意图，请把)2007()2007()6()6(g f g f 、、、四个数按从小到大地顺序排列.21、（14分）已知函数[)1,,1,)(2<+∞∈++=a x xaax x x f 且（1）判断)(x f 地单调性并证明；（2）若m 满足)25()3(m f m f ->，试确定m 地取值范围.（3）若函数)()(x f x x g ∙=对任意[]5,2∈x 时，0232)(>++x x g 恒成立，求a 地取值范围.简评：本套试题符合命题比赛要求，特别是选题上覆盖面广，突出了重点内容，题目有一定地灵活性，计算量较大，适合数学基础好地学生复习必修1内容时使用.但是对于函数奇偶性要求稍多了一点，必修1只需达到了解层次即可.答案：一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题地四个选项中， 只有一项是符合题目要求地.）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CCDABBBADDAB二、填空题（本大题共7小题，每小题3分，共21分） 13、{}[)+∞⋃,10 14、—415、()2,5.116、①②③三、解答题（共5小题, 共计49分.解答应写文字说明，证明过程或演算步骤） 17、解：（1）4；……4分 （2）由01,0)23(log ,02321≠-≥->-x x x 得定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<132x x …… 8分18、解：由{}0=A C S 得：02323=++x x x ，且312=-x ；……2分由02323=++x x x 得210-=-==x x 或或；……4分 由312=-x 得12-==x x 或……6分∴1-=x ；此时，{}{}3,1,0,3,1==A S ，满足题意.……8分19、解：（1）由01,01>->+x x 得，11<<-x ，定义域为{}11<<-x x ……2分 记)1(log )1(log )()()(x x x g x f x h a a --+=-=，显然定义域关于原点对称，……3分)()(),1(log )1(log )()()(x h x h x x x g x f x h a a -=-∴+--=---=- ，即)()(x g x f -是奇函数.……6分（2）0)()(>-x g x f ，即)1(log )1(log x x a a ->+， ①当1>a 时，011>->+x x ，得10<<x .……8分②当10<<a 时，x x -<+<110，得01<<-x .……10分 20 解：（1）1C ：3)(x x g =；2C ：x x f 2)(=……4分（2）记)()()(x g x f x h -=，由4)2(,1)1(-==h h ，由0)2()1(<∙h h 得[]1,2,11=∴∈a x 同理：24)10(,217)9(=-=h h ，……6分0)10()9(<∙h h ，得[]9,10,92=∴∈b x ……8分（3）)2007()2007()6()6(f g g f <<<……12分 21、解：（1）由题得：a xa x x f ++=)(，设211x x <≤，则2121221121)()()()(x a x a x x a x a x a x a x x f x f -+-=++-++=-212121)()(x x a x x x x --=……2分,121x x <≤ 1,02121><-∴x x x x ，又1<a ，得021>-a x x0)()(21<-∴x f x f ，即)(x f 在[)+∞,1上为增函数.……4分（2）由（1）得：)(x f 在[)+∞,1上为增函数，要满足)3()25(m f m f <-只要m m 3251<-≤，得21≤<m ……8分 （3）a ax x x g ++=2)(，由0232)(>++x x g 得：0232)1(2>++++x x a x ，即21)1()1(2-+->+x x a ①……10分[][]6,31,5,2∈+∴∈x x ，那么①式可转化为)1(21)1(+-+->x x a ……12分 所以题目等价于)1(21)1(+-+->x x a 在[]5,2∈x 上恒成立.即a大于函数)1(21)1(+-+-=x x y 在[]5,2∈x 上地最大值.即求)1(21)1(+++=x x y 在[]5,2∈x 上地最小值.令[]t t y t x t 216,3,1+=∈+=则，由（1）得tt y 21+=在[]6,3∈t 上为增函数，所以最小值为619.所以1619<<-a .……14分双向细目表范例版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.Zzz6Z。
北京市师范大学附中2019_2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)
北京师范大学附属实验中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共8小题） 1.若集合A={}0,1,2,4，B={}1,2,3，则A B =（ ）A. {}0,1,2,3,4B. {}0,4C. {}1,2D. {}3【答案】C 【解析】 【详解】因为{}1,2AB =，所以选C.考点：本小题主要考查集合的基本运算，属容易题，熟练集合的基础知识是解答好集合题目的关键.2.已知ln 2a =，ln3b =，那么3log 2用含a ，b 的代数式表示为（ ）． A. -a b B.abC. abD. +a b【答案】B 【解析】由换底公式可得：32log 23ln aln b==. 故选B.3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是 （ ） A. ()ln ||f x x = B. ()2-=xf x C. 3()f x x = D. 2()f x x =-【答案】A 【解析】对于A,()()ln f x x f x -==,() ln f x x =是偶函数，且在区间()0,+∞上单调递增，符合题意；对于B, 对于()2xf x -=既不是奇函数，又不是偶函数，不合题意；对于C,()3f x x =是奇函数，不合题意；对于D,()2 f x x =-在区间()0,+∞上单调递减，不合题意，只有()ln f x x =合题意，故选A.4.设函数()1,0,x QD x x Q∈⎧=⎨∉⎩，则(f f ⎡⎤⎣⎦的值为（ ）.A. 0B. 1C. 1-D. 不存在【答案】B 【解析】 【分析】推导出f （）=0，从而(f f ⎡⎤⎣⎦=f （0），由此能求出结果．【详解】∵函数()1,0,x QD x x Q ∈⎧=⎨∉⎩，∴f （）=0，∴(f f ⎡⎤⎣⎦=f （0）=1．故选：B ．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5.已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A. a c b << B. a b c << C. b c a << D. c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】利用10,,12等中间值区分各个数值的大小。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019-2020年北师大版高一数学必修1期中考试卷及答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（选择题均是由课本中的练习题或A组或B组题改编）1．集合｛1,2｝的真子集有（）个（课本第9页A组2（1）改变）A、1个B、2个C、3个D、4个2．已知集合M={-1,0,1,3,5},N={-2,1,2,3,5},则=⋂NM（）A.{-1，1，3}B.{1，2，5}C.{1，3，5}D.φ3．下列各个对应中,构成映射的是（）A B A B A B A BD4．幂函数y=x－1不具有的特性是（）A 在定义域内是减函数B 图像过定点（1，1）C 是奇函数D 其反函数为y=x－15．下列函数f(x)与g(x)表示同一函数的是（）A、f(x)=x0与g(x)=1B、f(x)=2 lgx与g(x)= lgx2C、f(x)= |x| 与g(x)=2D、f(x)=x与6. 已知集合M={(x ，y )|4x ＋y =6}，P={(x ，y )|3x ＋2y =7}，则M ∩P 等于（ ） A ．(1，2) B ．{1}∪{2} C ．{1，2} D ．{(1，2)}7．已知⎩⎨⎧>-<+=0404)(x x x x x f ，则)3([-f f ]的值为（ ）A ．3B ．2C ．－2D ．－38．如果函数 f(x)=x 2+2(a-1)x+2 在区间 [)+∞,4 上是递增的，那么实数 a 的取值范围是( ) （根据二次函数的性质命题）A 、a ≤－3B 、a ≥－3C 、a ≤5D 、a ≥5 9．已知()222x f x x =-，则在下列区间中，()0f x =有实数解的是（ ） 课本第116页练习3改编）A （－3，－2）B （－1，0）C （2，3）D （4，5）10．某工厂今年前五个月每月生产某种产品的数量C （件）关于时间t （月）的函数图象如图所示，则 这个工厂对这种产品来说（ ） （A ） 一至三月每月生产数量逐月增加，四、五 两月每月生产数量逐月减少（B ） 一至三月每月生产数量逐月增加，四、五 月每月生产 数量与三月持平（C ）一至三月每月生产数量逐月增加，四、五两 月均停止生产( D ) 一至三月每月生产数量不变，四、五两月均停止生产. 11 .计算()())21(51121242---+-+-,结果是（ ）A.1B. 22C. 2D. 212-12.设()833-+=x x f x ,用二分法求方程()2,10833∈=-+x x x 在内近似解的过程中得()()(),025.1,05.1,01<><f f f 则方程的根落在区间 （ ）A.（1,1.25）B.（1.25,1.5）C.（1.5,2） D 不能确定第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卷的相应位置。
13．已知{}2|1,,A y y x x y ==+∈∈R R ，全集U =R ，则A = N ðU ．（课本第19页2（1）改编）14．若集合{}{}2|60,|10M x x x N x ax =+-==-=，且N M ⊆，则实数a 的值为 12或13-或 . （课本第20页B 组第2题改编） 15．已知定义在R 上的函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下部可以看出函数至少有 个零点16．设偶函数f （x ）的定义域为R ，当[0,)x ∈+∞时f （x ）是增函数，则(2),(),(3)f f f π--的大小关系是 .（根据偶函数性质改编）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．计算下列各式 （本题满分12分，每小题各6分）（Ⅰ）2lg 2lg5lg 201+-（） （课本第89页B 组第3题（2）改编）（Ⅱ）46032006+--）（）（ 根据指数幂的运算性质编写）18．（本题满分12分）已知方程02=++q px x 的两个不相等实根为βα,。
集合},{βα=A ，=B {2，4，5，6}，=C {1，2，3，4}，A ∩C ＝A ，A ∩B ＝φ，求q p ,的值。
（根据集合的运算及一元二次函数根与系数关系编写） 19．（本题满分12分）已知二次函数y=f （x ）图象过点（0，3），它的图象的对称轴为x = 2，且y=f （x ）的两个零点的差为2，求y=f （x ）的解析式 （课本第47页B 组第2题改编）20．（本题满分12分）若集合{}22|,,M a a x y x y Z ==-∈（1）整数8，9，10是否属于M ；（2）探究：任意一个奇数 2n+1 (n Z ∈)都属于M 吗？（选择《专家伴度》练习册）21. （本大题满分12分，第一题5分，第二题7分）（Ⅰ）已知函数f(x)=21log ()1xx+-. 试判断f （x ）的奇偶性，并证明；（Ⅱ）已知函数y=|x|①判断该函数在（－4，0）上的单调性，并证明。
②画函数y=|x|在[－2，1]上的图像，并确定其最大值和最小值。
（选择《专家伴度》练习册）22．（本题满分14分）某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件，2.1万件，3.1万件，为了估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y与月份x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数cbay x+⋅=(a、b、c为常数)。
已知四月份该产品的产量为37.1万件，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？说明理由。
（选择《专家伴度》练习册）高一数学试题参考答案及平分标准1～6 CCDADD 7～12 DBBBBB13．{0} 14. 0 15. 3 16. ()fπ＞(3)f-＞(2)f-17．解：（Ⅰ）原式=lg22+（1- lg2）（1+lg2）—1 ……3分=lg22+1- lg22- 1 ……5分=0 ……6分（Ⅱ）原式=14111633224(23)(22)1⨯+⨯-……9分=22×33+2— 1 ……11分=109 ……12分18. 解 ∵A ∩C ＝A ∴A ⊆C ……3分又∵A ∩B ＝φ ∴2、4、5、6 ∉A ……6分而},{βα=A ，=C {1，2，3，4}∴ A={1，3} ……9分即1，3是方程02=++q px x 的两个不等实根 ……10分∴由根与系数的关系得： －p=1+3 q=1×3 ∴ p=－4 q=3 为所求。
……12分19. 解：设f （x ）= ax 2+bx+c （a ≠0） ……1分因为f （x ）图象过点（0，3），所以c =3 ……3分又f （x ）对称轴为x=2， ∴ 2ba-=2即b= － 4a ……5分 所以2()43(0)f x ax ax a =-+≠ (6)分设方程2430(0)ax ax a -+=≠的两个实根为 x 1，x 2，且x 1>x 2则依题有：12121234,,2x x x x x x a+==-= ……9分∴123,1x x ==，所以1233x x a== (10)分得a=1，b= - 4所以2()43f x x x =-+ (12)分20． 解：(1)∵1382-=，22459-=，∴10M ∈，M ∈9. ……2分假设 10M ∈, 即2210y x -=，Z y x ∈,， 则10|)|||)(|||(|=-+y x y x ，且0||||||||>->+y x y x ……4分∵5210110⨯=⨯=，∴⎩⎨⎧=-=+1,10y x y x 或⎩⎨⎧=-=+,2,5y x y x ， ……6分 显然均无整数解，∴M ∉10 …7分(2)设奇数为12+n ，Z n ∈，则恒有22)1(12n n n -+=+， ……9分∴M n ∈+12，即一切奇数都属于M 。
……12分21．解：（Ⅰ）由函数知x ∈（－1，1） ……2分且21log 1x f x x -=+（-）=121log ()1x x -+-=21log ()1xx+-=－f x （） ……4分∴f x（）在其定义域上是奇函数。
……5分（Ⅱ）①函数y=|x|在（－4，0）上是减函数。
……6分证明如下：设x1,x2是区间（－4，0）上的任意两个值，且x1〈 x2则x 1<x2<0 ……7分∴f(x1)－f(x2)= |x1|－|x2|=－x1－(－x2)= x2－x1>0∴f(x1)>f(x2) ∴f x（）在（－4，0）上是减函数……8分②函数y=|x|在[－2，1]上的图像如右：…10分从图像上观察可知：函数在[－2，1]上的最大值是2最小值是0 ……12分22．解：设二次函数为rqxpxy++=2，……1分由已知得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3.1392.1241r q p r q p r q p ，解之得⎪⎩⎪⎨⎧==-=7.035.005.0r q p ……4分 ∴7.035.005.02++-=x x y ， 当4=x 时，3.17.0435.0405.021=+⨯+⨯-=y . ……6分又对于函数c b a y x +⋅=，由已知得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+3.12.1132c ab c ab c ab ，解之得⎪⎩⎪⎨⎧==-=4.15.08.0c b a ……9分 ∴ 4.1)21(8.0+⋅-=x y当4=x 时，35.14.1)21(8.042=+⋅-=y ……11分根据四月份的实际产量为37.1万件， 而|37.1|07.002.0|37.1|12-=<=-y y ， (13)分所以，用函数57)21(54+⋅-=x y 作模拟函数较好. ……14分。