5 系统的稳定性解析
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控制工程基础：第五章 控制系统稳定性分析
时，系统闭环后稳定。
2
Nyquist 稳定性判据2
1、若开环传递函数在s右半平面无极点时，当从0变化
时，如果Nyquist曲线不包围临界点(-1, j0)，则系统稳定。
如果Nyquist曲线包围临界点(-1, j0)，则系统不稳定。
❖ 系统稳定性定义：
❖
控制系统处于某一平衡状态下受到扰动作用而偏离了 原来的平衡状态，在干扰消失后系统又能够回到原来的平衡 状态或者回到原平衡点附近，则称该系统是稳定的，否则， 该系统就是不稳定的。
❖
稳定性是系统的一种固有特性，它只取决于系统本身的 结构和参数，而与初始状态和外作用无关。
m
F
F
单摆系统稳定
p(s)
p(s) DK (s)
系统稳定的充要条件:特征方程的根全部具有负实部
（闭环极点均在s平面的左半平面）。
即系统稳定的充要条件为：F(s)的零点都位于s平面 的左半平面。
GB(s)
F(s)
Gk(s)
零点
极点
零点
极点
极点
零点
1、若开环极点均在s平面左半面，则根据米哈伊洛夫定理推论：
arg[
DK
两种特殊情况
1、劳斯阵列表某一行中的第一列元素等于零，但其余各项不 等于零或不全为零 处理方法：
用一个很小的正数 代替该行第一列的零，并据此计算出
阵列中的其余各项。然后令 0 ，按第一列系数进行
判别。
如果零上下两项的符号相同，则系统存在一对虚根，处于临 界稳定状态：如果零上下两项的符号不同，则表明有一个符 号变化，系统不稳定。
0
1
c1
1
b1
a1 b1
a3 110 (7)5 6.43
原创11：5.5 生态系统的稳定性
北极苔原生态系统
（地衣是主要的生产者）
一般来说，生态系统中的组分越多，食物网越复杂， 其自我调节能力就越强，抵抗力稳定性就越高。
森林局部火灾后，森林还能恢复原状吗？ 其核心是：遭到破坏，恢复原状。 2、恢复力稳定性：生态系统在受到外界干扰的破坏后恢 复到原状的能力，叫做恢复力稳定性。
热带雨林在遭到严重的砍伐，草原受到极度放牧后， 恢复原状的时间漫长，难度极大！
抵抗力稳定性强，恢复力稳定性弱！反之。
思考：为什么要建造农田防护林？
（二）提高生态系统的稳定性 1、控制对生态系统干扰的程度，对生态系统的利用 应该适度，不应超过生态系统的自我调节能力。
2、对人类利用强度较大的生态系统，应实施相应的 物质能量投入，保证生态系统内部结构与功能的协调。
三、设计生态缸并观察其稳定性
19
（5）生态缸的采光用散射光 防止水温过高导致水生生物死亡
（6）选择生命力强的生物,动物不宜太多,个体不宜太大 容易适应新生态环境,减少对O2的消耗,防止O2的产生量小 于消耗量
20
课堂小结
课堂练习
1.下列关于生态系统稳定性的叙述，正确的是（ B ） A.“野火烧不尽，春风吹又生”说明生态系统具有抵抗力稳定 性 B.增加该生态系统内各营养级生物的种类可提高该区域生态 系统的自我调节能力 C.抵抗力稳定性越低的生态系统，其恢复力稳定性就越高 D.生态系统的成分越复杂，自我调节的能力就越弱
二、抵抗力稳定性和恢复力稳定性
生态系统的自我调节能力有一定限度超过限度，难以恢复。
资料：当草原遭受蝗虫的采食后，草原植物就会增强其 再生能力，尽可能减缓种群数量的下降；
当森林遭遇持续的干旱气候时，树木往往扩展根系 的分布空间，以保证获得足够的水分，维持生态系统正 常的功能。
第5章 系统的稳定性
s5 s4 s s
3
1
24
48
0
96
25
50 0
F (s) 2s 4 48s 2 50 0
取F(s)对s的导数得新方程：
2
0
8
24
0
F (s) 8s3 96s 0
用上式中的系数8和96代替0元 行，继续进行运算。
2
50
0
0
s1 s0
112 .7
50
改变符号一次
武汉理工大学材料学院 当解析点s按顺时针方向沿Ls变化一周时，向量F(s)将按顺时针方 向旋转N 周，即F(s)以原点为中心顺时针旋转N 周，这就等于曲线LF 顺时针包围原点N 次。若令Z 为包围于Ls内的F(s)的零点数，P 为包 围于Ls 内的F(s)的极点数，则有 N ＝Z－P
j
Im
(5.3.2)
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（2）令s＝z－1，代入特征方程得：
( z 1)3 14( z 1)s 2 40( z 1) 40K 0
即
z 3 11z 2 15z 40K 27 0
由Routh表和Routh判据得：
列Routh表如下：
s3
1
11
15
s2
40 K 27
4 2
解此辅助多项式可得：
s 1; s j5
这两对复根是原特征方程的根的一部分。
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四、相对稳定性的检验
对于稳定的系统，应用Routh判据还可以检验系统 的相对稳定性。方法如下： （1）将s平面的虚轴向左移动某个数值，即令s＝z－ σ (σ 为正实数），代入系统特征方程，则得到关于z的特 征方程。
第五章系统的稳定性-机械工程控制基础-教案
Chp.5系统稳定性基本要求1．了解系统稳定性的定义、系统稳定的条件；2．掌握Routh判据的必要条件和充要条件，学会应用Routh判据判定系统是否稳定，对于不稳定系统，能够指出系统包含不稳定的特征根的个数；3．掌握Nyquist 判据；4．理解Nyquist 图和Bode 图之间的关系；5．掌握Bode 判据；6．理解系统相对稳定性的概念，会求相位裕度和幅值裕度，并能够在Nyquist 图和Bode 图上加以表示。
重点与难点本章重点1．Routh 判据、Nyquist 判据和Bode 判据的应用；2．系统相对稳定性；相位裕度和幅值裕度求法及其在Nyquist图和Bode 图的表示法。
本章难点Nyquist 判据及其应用。
§1 概念示例：振摆1、稳定性定义：若系统在初始条件影响下，其过渡过程随时间的推移逐渐衰减并趋于0，则系统稳定；反之，系统过渡过程随时间的推移而发散，则系统不稳定。
（图5.1.2）讨论：①线性系统稳定性只取决于系统内部结构和参数，是一种自身恢复能力。
与输入量种类、性质无关。
②系统不稳定必伴有反馈作用。
（图5.1.3）若x0(t)收敛，系统稳定；若x0(t)发散，则系统不稳定。
将X0(s)反馈到输入端，若反馈削弱E(s) →稳定若反馈加强E(s) →不稳定③稳定性是自由振荡下的定义。
即x i(t)=0时，仅存在x i(0-)或x i(0+)在x i(t)作用下的强迫运动而系统是否稳定不属于讨论范围。
2、系统稳定的条件：对[a n p n+a n-1p n-1+…a1p+a0]x0(t)=[b m p m+b m-1p m-1+…b1p+b0]x i(t)令B(s)= a n p n+a n-1p n-1+…a1p+a0 A(s)= b m p m+b m-1p m-1+…b1p+b0初始条件：B0(s) A0(s)则B(s)X0(s)- B0(s)= A(s)X i(s)- B0(s)X i(s)=0,由初始条件引起的输出：L-1变换根据稳定性定义，若系统稳定须满足，即z i为负值。
第五章 控制系统的稳定性分析
arctan
b a
2
arctan
j
b a
jw
1
s1 tan1 b
b
a
a Re
22
若上式b为负值，则角增量为
2
2
arctan
b a
如图：
j
jw
a
2
Re
tan1 b
s2
a b
23
若根在右半平面，其角增量如图所示，
j jw
tan1 b
3
b
a
a
Re
为
2
2
arctan
b a
24
现考虑n次多项式 Ds，且在原点有q个零点，可表示为
代入D(s)并命w从0增大到 时,复数D(s)的角连续增
大 ng
2
二 乃奎斯特稳定判据
1 反馈系统开环和闭环的特征方程式
Xi s
X0 s
27
该单位反馈系统的开环传递函数为
G
s
MK s DK S
闭环传递函数为
s
Gs 1Gs
DK
MK s s Mk
s
MK s Db s
令：F
s
1
G
s
1
MK DK
s s
arg1 G( j。w) 90o
列 系统的开环传递函数为
Go
(s)
(T1s
K 1)(T2s 1)(T3s
1)
讨论开环增益K的大小对系 统稳定性的影响
解：这是一个三阶系统，没有开环零点，且开环极点全部 位于左半s平面，因此是最小相位系统。 作极坐标草图，先计算极限值：
32
=0时，有
A(0) K
_高中生物第五章生态系统及其稳定性第5节生态系统的稳定性四作业含解析新人教版必修
第5节生态系统的稳定性基础巩固1．下图为某一生态系统稳定性图解，对此理解不正确的是( )。
A．a为抵抗力稳定性，b为恢复力稳定性B．a为恢复力稳定性，b为抵抗力稳定性C．恢复力稳定性与营养结构复杂程度呈相反关系D．抵抗力稳定性与恢复力稳定性呈相反关系答案 B解析生物种类越多、营养结构越复杂，抵抗力稳定性就越强，恢复力稳定性就越弱。
因此，一般情况下恢复力稳定性与营养结构复杂程度呈负相关，且一般情况下，抵抗力稳定性与恢复力稳定性呈相反关系。
2．下列关于生态系统的叙述，正确的是( )。
A．草原生态系统因物种单一，其恢复力稳定性差B．发菜没有叶绿体，在生态系统中不属于第一营养级C．生态系统的自我调节能力越强，意味着其营养结构越复杂D．我国南方热带雨林中分解者的代谢活动比北方森林中的弱答案 C解析营养结构越简单，恢复力稳定性越强；发菜没有叶绿体，但可以进行光合作用，在生态系统中属于第一营养级，生态系统的自我调节能力越强，意味着其营养结构越复杂，我国南方热带雨林中分解者的代谢活动比北方森林中的强，所以C选项正确。
3．下列不属于生态系统为维持稳态而进行的负反馈调节的是( )。
A．生物种群密度的调控B．异种生物种群之间的数量调控C．生物群落与无机环境之间的相互调控D．受到污染的湖泊，死亡腐烂的鱼对湖泊生态系统的影响答案 D解析生态系统为维持自身稳态而进行的负反馈调节可表现为生物种群密度的调控、异种生物种群之间的数量调控以及生物群落与无机环境之间的相互调控等。
D选项表现为正反馈调节，最终会破坏湖泊生态系统的稳定性。
巩固提升4．下列关于生态系统稳定性的叙述，错误的是( )。
A．在一块牧草地上播种杂草形成杂草地后，其抵抗力稳定性提高B．在一块牧草地上通过管理提高某种牧草的产量后，其抵抗力稳定性提高C．在一块牧草地上栽种乔木形成树林后，其恢复力稳定性下降D．一块弃耕后的牧草地上形成灌木林后，其抵抗力稳定性提高答案 B解析生态系统的稳定性包括抵抗力稳定性和恢复力稳定性。
线性系统理论(第五章)系统运动的稳定性
2、平衡状态：状态空间中满足 xe f (xe,t) 0
的一个状态 。
t [t0,)
如果 xe 不在坐标原点，可以通过非奇异线性变换，使 xe 0，
因此，平衡状态的稳定性问题都可以归结为原点的稳定性问题。
对线性定常系统：x Ax 其平衡状态 Axe 0
A 非奇异，只存在一个位于状态空间原点的平衡状态。
主要内容为： •外部稳定性和内部稳定性 李亚普诺夫意义下稳定性的一些基本概念 •李亚普诺夫第一法 •李亚普诺夫第二法 •性连续系统的稳定性 •线性定常离散系统的稳定性
§5.1 外部稳定性和内部稳定性
一、外部稳定性
外部稳定性：称一个因果系统为外部稳定（BIBO）是指对任何
一个有界输入u(t), ‖u(t)‖≤β1<∞ t [t0, ) 的任意输入u(t)，对应的输出y(t)均为有界，即
§5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的一些基本概念
一、李亚普诺夫第一方法和第二方法 李亚普诺夫第一方法也称李亚普诺夫间接法，属于小范围 稳定性分析方法。是求出线性化以后的常微分方程的解， 从而分析原系统的稳定性。
李亚普诺夫第二方法也称李亚普诺夫直接法，不需要求解 微分方程的解，就能够提供系统稳定性的信息。
x2 x2
fx22
可见，只有在 x2 0 时，d E / dt 0 。在其他各处均有d E / dt 0 ，
这表明系统总能量是衰减的，因此系统是稳定的。
Lyapunov第二法是研究系统平衡状态稳定性的。
二、自治系统、平衡状态和受扰运动
1、自治系统：没有输入作用的一类动态系统
x f (x,t) x(t0) x0 t [t0,)
A 奇异，存在无穷多个平衡状态。
3、受扰运动：动态系统的受扰运动定义为其自治系统由初始 状态扰动 x0 引起的一类动态运动，即系统的状态零输入响 应。
的一个状态 。
t [t0,)
如果 xe 不在坐标原点，可以通过非奇异线性变换，使 xe 0，
因此，平衡状态的稳定性问题都可以归结为原点的稳定性问题。
对线性定常系统：x Ax 其平衡状态 Axe 0
A 非奇异，只存在一个位于状态空间原点的平衡状态。
主要内容为： •外部稳定性和内部稳定性 李亚普诺夫意义下稳定性的一些基本概念 •李亚普诺夫第一法 •李亚普诺夫第二法 •性连续系统的稳定性 •线性定常离散系统的稳定性
§5.1 外部稳定性和内部稳定性
一、外部稳定性
外部稳定性：称一个因果系统为外部稳定（BIBO）是指对任何
一个有界输入u(t), ‖u(t)‖≤β1<∞ t [t0, ) 的任意输入u(t)，对应的输出y(t)均为有界，即
§5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的一些基本概念
一、李亚普诺夫第一方法和第二方法 李亚普诺夫第一方法也称李亚普诺夫间接法，属于小范围 稳定性分析方法。是求出线性化以后的常微分方程的解， 从而分析原系统的稳定性。
李亚普诺夫第二方法也称李亚普诺夫直接法，不需要求解 微分方程的解，就能够提供系统稳定性的信息。
x2 x2
fx22
可见，只有在 x2 0 时，d E / dt 0 。在其他各处均有d E / dt 0 ，
这表明系统总能量是衰减的，因此系统是稳定的。
Lyapunov第二法是研究系统平衡状态稳定性的。
二、自治系统、平衡状态和受扰运动
1、自治系统：没有输入作用的一类动态系统
x f (x,t) x(t0) x0 t [t0,)
A 奇异，存在无穷多个平衡状态。
3、受扰运动：动态系统的受扰运动定义为其自治系统由初始 状态扰动 x0 引起的一类动态运动，即系统的状态零输入响 应。
《自动控制原理》第五章：系统稳定性
5.2 稳定的条件
当σi和λi均为负数，即特征根的 σi和λi均为负数， 均为负数 实部为负数，系统是稳定的； 实部为负数，系统是稳定的； 或极点均在左平面。 或极点均在左平面。
5.3 代数稳定性判据
定常线性系统稳定的充要条件 定常线性系统稳定的充要条件是特征方程的根具有负 充要条件是特征方程的根具有负 实部。因此，判别其稳定性，要解系统特征方程的根。为 实部。因此，判别其稳定性，要解系统特征方程的根。 避开对特征方程的直接求解，可讨论特征根的分布， 避开对特征方程的直接求解，可讨论特征根的分布，看其 是否全部具有负实部，并以此来判别系统的稳定性，这样 是否全部具有负实部，并以此来判别系统的稳定性， 也就产生了一系列稳定性判据。 也就产生了一系列稳定性判据。 其中最主要是E.J.Routh(1877 )h和Hurwitz（ 其中最主要是E.J.Routh(1877年)h和Hurwitz（1895 E.J.Routh(1877年 年）分别提出的代数判据。 分别提出的代数判据 代数判据。
习题讲解： 习题讲解：
µ
G1
Q21
G1
h2
k1 k1 G1 ( s ) = , G1 ( s ) = (T1s + 1) (T1s + 1) k1k 2 G0 ( s ) = (T1s + 1)(T2 s + 1)
kp
G0 ( s ) G(s) = 1 + G0 ( s ) K p
5.4 Nyquist稳定性判据 Nyquist稳定性判据
系统稳定的条件？ 系统稳定的条件？
5.2 稳定的条件
d n y (t ) d ( n −1) y (t ) dy (t ) 线性系统微分方程： 线性系统微分方程： n a + an −1 + L + a1 + a0 y (t ) n ( n −1) dt dt dt d m x(t ) d ( m −1) x(t ) dx(t ) = bm + bm−1 + L + b1 + b0 x(t ) m ( m −1) dt dt dt d n y (t ) d ( n −1) y (t ) dy (t ) + a( n −1) + L + a1 + a0 y (t ) = 0 齐次微分方程： 齐次微分方程： an n ( n −1) dt dt dt an s n + an −1s n −1 + L + a1s + a0 = 0 设系统k 设系统k个实根
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5.2 Routh劳斯稳定判据
13
5.2 Routh劳斯稳定判据
14
5.3 Nyquist乃奎斯特稳定判据
由Nyquist于1932年提出的稳定性判据，得到了 广泛的应用。 该判据将闭环系统特征方程1+ G (s) H(s)与开环 频率特性Gk(jω)联系起来，从而将系统特性由复域 引入频域来分析。具体地说是通过Gk(jω)的Nyquist 图，利用图解法来判明闭环系统的稳定性，是一 种几何判据。 乃氏判据还能指出系统的稳定储备—相对稳定性， 指出改善系统稳定性的途径。
42
G( s) H ( s) K s( s 1)(s 5)
5.6 利用MATLAB分析系统的稳定性 5.6.1 利用MATLAB求系统的特征根
如果已知特征方程：利用MATLAB的roots函数， 可以直接求出系统所有的特征根，从而判定系统是 否稳定。 P172例5：D(s)=s5+2s4+24s3+48s2-25s-50 C=[1, 2, 24, 48, -25, -50]; roots(C)= 0.0000 + 5.0000i; 0.0000 - 5.0000i 1.0000 ; -2.0000 ; -1.0000 . 系统包含一个实部大于零的特征根，不稳定。
G( s) H ( s) K s( s 1)(s 5)
41
5.5.2 幅值裕度 Kg
例9：已知控制系统的开环传递函数为： 试分别求取K=10及K=100时的相位裕度 和 幅值裕度 。 解：此开环系统为最小相位系统，P=0。 （1）当K=10时，系统的相位裕度γ =27度，幅值 裕度 =9.5dB。该系统虽然稳定，且幅值裕度较大， 但相位裕度小于30度，因而并不具有满意的相对 稳定性。 （2）当K=100时，幅值裕度为Kg(dB)=-10.5dB ， 相位裕度γ =-22.5º，所以此时闭环系统不稳定。
15
5.3.1 幅角原理
乃氏判据的数学基础是复变函数中的幅角原理
16
5.3.2 Nyquist稳定判据
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5.3.2 Nyquist稳定判据
18
5.3.2 Nyquist稳定判据
19
5.3.2 Nyquist稳定判据 举例205.源自.2 Nyquist稳定判据 举例
N=-1，Z=0
21
5.5.2 幅值裕度 Kg
对于开环为P=0的系统，开环频率特性Gk(jω)具 有正幅值裕度和正相位裕度时，其闭环系统是稳 定的；开环频率特性Gk(jω)具有负幅值裕度和负相 位裕度时，其闭环系统是不稳定的。
利用Nyquist图或Bode图所计算出的Kg和γ是一 致的，两者必须同时考虑。 从工程控制的实践中可知，为使闭环系统有满意 的稳定性储备，一般希望：
29
5.4.1 Nyquist图和Bode图的对应关系
30
5.4.2 穿越的概念
31
5.4.2 穿越的概念
32
5.4.3 Bode判据
33
5.5 系统的相对稳定性
34
5.5.1 相位裕度 γ
35
5.5.1 相位裕度 γ
36
5.5.2 幅值裕度 Kg
37
5.5.2 幅值裕度 Kg
38
γ =30º~60º； Kg(dB)>6dB； Kg>2
39
5.5.2 幅值裕度 Kg
当阻尼ξ很小时， 相位裕度虽然较 大，但幅值裕度 太小，系统稳定 性不好。 应该同时考虑 两者，全面地评 价系统的相对稳 定性。
40
5.5.2 幅值裕度 Kg
例9：已知控制系统的开环传递函数为： 试分别求取K=10及K=100时的相位裕度 和 幅值裕度 。 解：此开环系统为最小相位系统，P=0。 （1）当K=10时，系统的相位裕度γ =27度，幅值 裕度 =9.5dB。该系统虽然稳定，且幅值裕度较大， 但相位裕度小于30度，因而并不具有满意的相对 稳定性。 （2）当K=100时，幅值裕度为Kg(dB)=-10.5dB ， 相位裕度γ =-22.5º，所以此时闭环系统不稳定。
5.3.3 开环含有积分环节的Nyquist轨迹
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5.3.3 开环含有积分环节的Nyquist轨迹
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5.3.3 开环含有积分环节的Nyquist轨迹
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5.3.3 开环含有积分环节的Nyquist轨迹
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5.3.3 开环含有积分环节的Nyquist轨迹
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5.3.3 开环含有积分环节的Nyquist轨迹
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5.6 利用MATLAB分析系统的稳定性 5.6.2 利用MATLAB分析系统的相对稳定性
MATLAB的margin函数，可以求出系统的幅值裕度、 相位裕度、幅值穿越频率和相位穿越频率，因而可 以判定系统的相对稳定性。说明如下。
3
5.1.1 系统不稳定现象的发生
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5.1.1 系统不稳定现象的发生
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5.1.2 系统稳定的定义和条件
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5.1.2 系统稳定的定义和条件
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5.1.2 系统稳定的定义和条件
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5.1.2 系统稳定的定义和条件
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5.2 Routh劳斯稳定判据
10
5.2 Routh劳斯稳定判据
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5.2 Routh劳斯稳定判据
系统能在实际中应用的必要条件是系统稳定。系 统稳定性分析是经典控制理论的重要组成部分。 线性系统稳定性的分析方法，也称为稳定性判据， 主要有：①Routh判据，代数方法；②Nyquist判 据，根据系统的开环频率特性的Nyquist图来判断 稳定性,几何方法；③Bode判据，根据对数幅频特 性图判断稳定性。 相对稳定性讨论。
杨叔子 主编 华中科技大学出版社 2011年
机械控制工程基础
中北大学机械与动力工程学院
主讲：马维金 2018/12/9
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教授
第5章 系统的稳定性
5.1 系统稳定性的初步概念
5.2 Routh劳斯稳定判据
5.3 Nyquist乃奎斯特稳定判据
5.4 Bode伯德稳定判据
5.5 系统的相对稳定性
2
5.1 系统稳定性的初步概念
27
5.3.4 具有延时环节的系统的稳定性
28
5.4 Bode伯德稳定判据
Nyquist稳定性判据，是利用开环频率特性Gk(jω) 的极坐标图来判定闭环系统的稳定性。 如果将开环极坐标图改画为开环对数坐标图，即 Bode图，同样可以利用它来判定系统的稳定性。 这种方法称为对数频率特性判据，也称为Bode 判据，它实质上是Nyquist稳定性判据的引申。