双直线二次曲线系方程的几个应用实例
二次曲线系方程巧解一类解析几何问题
抓住本质，获得简洁——用二次曲线系方程破解一类高中解几难题江苏省扬州中学 唐一良 225009背景知识：高中二次曲线包括圆、椭圆、抛物线、双曲线、两条相交直线（退化的双曲线）等，其方程为：推论1：L 1(x,y)=0，L 2(x,y)=0，F(x,y)=0是两条不重合的直线和一二次曲线，且两直线分别与曲线相交，则经过它们四个交点的二次曲线系方程为：mF(x,y)+nL 1L 2=0 (m,n 不同时为零) 。
易知它们的交点是这个曲线系中所有曲线的公共点，即过四交点的曲线系方程。
推论2：L 1(x,y)=0，L 2(x,y)=0，L 3(x,y)=0，L 4(x,y)=0是四条两两不重合的直线，考察曲线系方程mL 1L 3+nL 2L 4=0 (m,n 不同时为零)，易知L 1与L 2、L 2与L 3、L 3与L 4、L 4与L 1的交点是这个曲线系中所有曲线的公共点，所以此方程为过四交点的曲线系方程。
【注：mL 1L 3+nL 2L 4是个至多两次的多项式，其实更进一步，他一定是两次的，因为它过四个不共线的点。
】 近几年一些高考题和高中联赛题计算繁复，让人望而却步，但应用二次曲线系方程的观点，这些问题则可以得到更为简洁的求解与证明，下面举几例，以飨读者。
例1. （2011年全国必修+选修II 第21题）已知F 为椭圆1222=+y x 在y 轴正半轴上的焦点，过F 斜率为2-的直线l 与C 交于A ，B 两点，点P 满足：=++（1）证明：点P 在椭圆C 上；（2）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A ，B ，P ，Q 在同一圆上。
（1）证明：（略）（2）证明：02:=-y x PQ ，经过PQ 、AB 与椭圆C 交点A 、B 、P 、Q 的二次曲线为0)2)(12(2222=--++-+y x y x y x λ，整理得：++2)22(x λ2)1(y λ-02)2(=---y x λ，若表示圆，则λλ-=+122 31-=⇒λ，即0624422=--++y x y x ，即为A 、B 、P 、Q 所在的圆的方程． 例2．（2005年湖北高考第21题）设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（1）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（2）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由. 解:（1）（略）（2）解法1：∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为y －3=x －1，即x －y+2=0，代入椭圆方程，整理得 .04442=-++λx x又设),,(),,(4433y x D y x C CD 的中点为4300,),,(x x y x C 则是方程③的两根， ∴).23,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=-=+M x y x x x x x 即且 于是由弦长公式可得 .)3(2||)1(1||432-=-⋅-+=λx x k CD ④将直线AB 的方程x +y －4=0，代入椭圆方程得016842=-+-λx x ⑤同理可得 .)12(2||1||212-=-⋅+=λx x k AB ⑥∵当12>λ时，||||,)12(2)3(2CD AB <∴->-λλ假设存在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心.点M 到直线AB 的距离为 .2232|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦ 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.|2|2321229|2|||||22222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ 故当λ>12时，A 、B 、C 、D 四点匀在以M 为圆心，2||CD 为半径的圆上. （注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）A 、B 、C 、D 共圆⇔△ACD 为直角三角形，A 为直角⇔|AN|2=|CN|·|DN|，即 ).2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+= ⑧ 由⑥式知，⑧式左边,212-=λ 由④和⑦知，⑧式右边,2122923)2232)3(2)(2232)3(2(-=--=--+-=λλλλ ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆.解法2：由（1）可知02:=+-y x CD ，故经过AB 、CD 与椭圆0322=-+λy x 交点即A 、B 、C 、D 的曲线方程，可设为0)2)(4(322=+--++-+y x y x m y x λ整理得：0862)1()3(22=--+--++λm ny mx y m x m若表示圆，则1013-=⇒≠-=+m m m ，即得08622222=-+-++λy x y x 整理得：23)23()21(22-=-++λy x ，又由（1）可知12>λ ∴023>-λ，故A 、B 、C 、D 必在以23)23()21(22-=-++λy x 为方程的圆上． 【评注】：比较两种解法，用二次曲线系的角度审视问题，观点高，更体现问题的实质，从而避免了大量繁琐的运算，将数学的简洁美体现得淋漓尽致。
二次曲线的性质及应用
二次曲线的性质及应用----研究性学习报告山东省实验中学2008级23班刘谦益傅明睿陈霖指导教师：王学红摘要二次曲线与我们的生活密切相关，它们的性质在生产、生活中被广泛应用。
本小组成员在此次研究性学习活动中对二次曲线的性质进行了一系列探讨，从二次曲线的定义入手，就二次曲线的方程、光学性质及应用等方面展开说明。
AbstractConics are closely related to our living. Their characters have been widely applied in the producing and our living. The members of our team carried out a series of discussions with the characters of the conics at the research-based learning activities. Starting with the definition of conics, we illuminated with the equation, the optical properties and the application areas of the conics.二次曲线的性质及应用----研究性学习报告山东省实验中学2008级23班 刘谦益 傅明睿 陈霖指导教师：王学红一、绪论在我们的生活中，二次曲线无处不在。
车轮滚滚，留下一路红尘；烈日炎炎，照亮亘古乾坤。
这些都给我们留下圆的形象。
构筑了五彩世界的圆，就是最简单的二次曲线——x 2+y 2=r 2从椭圆方程说起当我们在纸上钉两个图钉，（它们的间距为2c ），将一根长为l 的绳子分别各系在一个图钉上，用笔绷紧绳子绕一圈，就画出了一个椭圆——因为椭圆上任意一点到两焦点的距离和相等，而且不难得出这个椭圆长轴a= ,短轴b=,我们把它放在直角坐标系中，设F 1（c,0），F 2（-c,0），可知椭圆上任意一点p(x,y)满足PF 1+PF 2=l=2a 。
双曲函数的应用实例
双曲函数的应用实例双曲函数是一类熟知的函数，它由双曲正弦函数与双曲余弦函数构成，通常表示为sinh(x)与cosh(x)。
在数学中，双曲函数的应用非常广泛，尤其是在物理、工程和金融等领域中，它有着重要的作用。
下面将分别介绍几个双曲函数的应用实例。
一、弧长与曲线长度在平面直角坐标系中，曲线的弧长和曲线长度是非常重要的概念，可以通过双曲函数来计算。
具体来说，我们设曲线的方程为y=f(x)，其中，x的取值范围为[a,b]，则曲线的弧长可以表示为：L = ∫[a,b] √(1+f'(x)^2) dx其中，f'(x)是曲线在x点的切线斜率。
通过双曲函数sinh(x)可以简化上式，因为它的导数是cosh(x)，即sinh'(x) = cosh(x)，因此曲线的弧长可以写成：L = ∫[a,b] √(1+sinh'(x)^2) dx= ∫[a,b] √(1+cosh^2(x)) dx= ∫[a,b] sinh(x) dx另外，我们还可以用指数函数来表示曲线的长度，它与弧长的差别在于多乘一个系数2π，即曲线长度可以表示为：L = 2π ∫[a,b] √(1+f'(x)^2) dx同样地，通过sinh(x)函数，曲线长度可以简化为：L = 2π ∫[a,b] sinh(x) dx二、椭球面积在空间几何中，椭球是一类广泛存在的曲面形式，其面积可以用双曲函数表示。
对于一个椭球，如果它的长半轴和短半轴分别是a和b，那么它的面积可以表示为：S = 4πab ∫[0,π/2] (1 - e^2sin^2(θ))1/2 dθ其中，e是椭圆的离心率，可以表示为：e = √(1 - b^2/a^2)而θ是极角，取值范围为[0,π/2]。
通过变换，我们可以把上面的积分转化为双曲函数的形式，即：S = 4πab ∫[0,∞) (1 + (b/a)^2sinh^2(τ))^1/2 dτ通过换元法，我们可以把上式转化为：S = 4πab ∫[0,1] (1 - x^2)^-1/2(1 - (1-e^2)x^2)^1/2 dx这个式子实际上就是一个椭圆的面积公式，其中，x = sinh(τ) / sinh(x_max)，以及x_max = arcsinh(b/a)。
高中数学解二次曲线方程的常用技巧和注意事项
高中数学解二次曲线方程的常用技巧和注意事项在高中数学学习中，解二次曲线方程是一个重要的内容。
掌握解二次曲线方程的常用技巧和注意事项，不仅可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，还可以提高解题的效率和准确度。
本文将介绍一些常用的解二次曲线方程的技巧和需要注意的事项，并通过具体的题目进行举例，帮助读者更好地理解和掌握。
一、一元二次方程的解法在解二次曲线方程时，首先要确定方程中未知数的个数。
如果方程中只有一个未知数，我们称之为一元二次方程。
解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法和求根公式法。
以因式分解法为例，我们来看一个具体的例子：求解方程$x^2-5x+6=0$。
首先，我们观察方程中的系数，发现$a=1$，$b=-5$，$c=6$。
然后，我们寻找两个数，使得它们的和等于$b$，乘积等于$c$。
在这个例子中，我们可以找到两个数2和3，满足条件。
因此，我们可以将方程进行因式分解：$(x-2)(x-3)=0$。
根据乘法零原理，我们知道当两个数的乘积等于0时，至少有一个数等于0。
因此，我们可以得到两个解：$x=2$和$x=3$。
二、二元二次方程的解法除了一元二次方程，高中数学中还会遇到二元二次方程。
解二元二次方程的常用方法有代数法和图形法。
以代数法为例，我们来看一个具体的例子：求解方程组$\begin{cases}x^2+y^2=25\\x-y=3\end{cases}$。
首先，我们可以将第二个方程变形为$x=y+3$，然后将其代入第一个方程中，得到$(y+3)^2+y^2=25$。
展开并整理后，我们可以得到$2y^2+6y-16=0$。
接下来，我们可以使用一元二次方程的解法，求解这个二次方程。
解得$y=-4$或$y=2$。
将这两个解分别代入$x=y+3$，得到$x=-1$和$x=5$。
因此，方程组的解为$(-1,-4)$和$(5,2)$。
三、注意事项在解二次曲线方程时，还需要注意一些细节和特殊情况。
1. 方程的判别式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，判别式$D=b^2-4ac$可以告诉我们方程的解的性质。
二次曲线的性质及应用
二次曲线的性质及应用----研究性学习报告山东省实验中学2008级23班刘谦益傅明睿陈霖指导教师：王学红摘要二次曲线与我们的生活密切相关，它们的性质在生产、生活中被广泛应用。
本小组成员在此次研究性学习活动中对二次曲线的性质进行了一系列探讨，从二次曲线的定义入手，就二次曲线的方程、光学性质及应用等方面展开说明。
AbstractConics are closely related to our living. Their characters have been widely applied in the producing and our living. The members of our team carried out a series of discussions with the characters of the conics at the research-based learning activities. Starting with the definition of conics, we illuminated with the equation, the optical properties and the application areas of the conics.二次曲线的性质及应用----研究性学习报告山东省实验中学2008级23班 刘谦益 傅明睿 陈霖指导教师：王学红一、绪论在我们的生活中，二次曲线无处不在。
车轮滚滚，留下一路红尘；烈日炎炎，照亮亘古乾坤。
这些都给我们留下圆的形象。
构筑了五彩世界的圆，就是最简单的二次曲线——x 2+y 2=r 2从椭圆方程说起当我们在纸上钉两个图钉，（它们的间距为2c ），将一根长为l 的绳子分别各系在一个图钉上，用笔绷紧绳子绕一圈，就画出了一个椭圆——因为椭圆上任意一点到两焦点的距离和相等，而且不难得出这个椭圆长轴a= ,短轴b=,我们把它放在直角坐标系中，设F 1（c,0），F 2（-c,0），可知椭圆上任意一点p(x,y)满足PF 1+PF 2=l=2a 。
用直线方程构造的二次曲线方程
用直线方程构造的二次曲线方程【摘要】本文介绍了如何利用直线方程构造二次曲线方程，首先阐述了直线方程与二次曲线方程的关系，然后详细讲解了利用直线方程的方法来构造二次曲线方程，并通过实例分析展示了具体操作步骤。
接着讨论了直线方程构造二次曲线方程在实际应用领域中的潜力，以及其优势与局限性。
最后总结了直线方程构造二次曲线方程的重要性，展望了未来研究方向，并强调了这一研究的意义。
通过本文的研究，读者将更加深入了解直线方程如何在构造二次曲线方程中发挥作用，为相关领域的进一步研究提供了有益的参考。
【关键词】直线方程、二次曲线方程、构造、关系、方法、实例分析、应用领域、优势、局限性、重要性、发展、研究意义。
1. 引言1.1 介绍直线方程构造二次曲线方程的背景直线方程构造二次曲线方程的背景首先要回顾一下直线方程和二次曲线方程的定义。
直线方程通常表示为y = mx + b，其中m是斜率，b是y轴截距。
而二次曲线方程则可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是系数。
直线方程与二次曲线方程之间存在着密切的联系。
实际上，通过直线方程构造二次曲线方程是一种常见的数学方法，可以帮助我们更好地理解曲线的形状和性质。
通过直线方程的研究，我们可以推导出相应的二次曲线方程，从而更深入地探讨曲线的特征和行为。
在数学和工程领域，直线方程构造二次曲线方程的方法被广泛应用。
在图像处理和模式识别中，我们常常需要通过直线方程构造二次曲线方程来拟合数据点，从而实现图像的分析和识别。
直线方程构造二次曲线方程还可以用于解决最优化和拟合等问题。
直线方程构造二次曲线方程是一项重要的数学技术，具有广泛的应用价值。
通过研究直线方程构造二次曲线方程的方法，我们可以更好地理解和应用数学知识，为解决实际问题提供有力的支持。
1.2 阐明文章的研究目的本文的研究目的是阐明直线方程构造二次曲线方程的方法和原理，探讨这种方法在数学和科学领域中的应用及其重要性。
过两曲线交点的曲线系方程及应用
过两曲线交点的曲线系方程及应用浙江曾安雄高中数学第二册(上)(修订试验本)的第88页B 组第4题是： 两条曲线的方程是f 1(x ，y )＝0和f 2(x ，y )＝0，它们的交点是P (x 0，y 0)，求证方程：f 1(x ，y )＋λf 2(x ，y )＝0的曲线也经过点P (λ是任意实数)．本题证明较易，在此略．它揭示了“过两曲线交点的曲线系方程(不含曲线f 2(x ，y ))”，在解决过两曲线交点问题极其简捷，下面举例说明．一、求直线方程例1 求经过两条曲线x 2＋y 2＋3x －y ＝0和3x 2＋3y 2＋2x ＋y ＝0交点的直线的方程．解：过两已知曲线的交点的曲线系方程是： (x 2＋y 2＋3x －y )＋λ(3x 2＋3y 2＋2x ＋y )＝0整理，得(3λ＋1)x 2＋(3λ＋1)y 2＋(2λ＋3)x ＋(λ－1)y ＝0． 令3λ＋1=0，即λ＝-31，故所求的直线为 7x －4y ＝0． 二、求定点坐标例2求证：不论m 取何实数，方程(3m ＋4)x ＋(5－2m )y ＋7m －6＝0所表示的曲线必经过一个定点，并求这一定点的坐标．解：由原方程整理，得(4x ＋5y －6)＋m (3x －2y ＋7)＝0令45603270x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得12x y =-⎧⎨=⎩故知定点应是(－1，2)． 三、求圆的方程例3求经过两圆x 2＋y 2＋6x －4＝0和x 2＋y 2＋6y －28＝0的交点，并且圆心在直线x －y －4＝0上的圆的方程．解：过两圆交点的曲线系为(x 2＋y 2＋6x －4)＋λ( x 2＋y 2＋6y －28)＝0，整理得 (1＋λ)x 2＋(1＋λ)y 2＋6x ＋6λy －4－28λ＝0 ①圆心为33,11λλλ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭(λ≠－1)，由题意知在直线x －y －4＝0上，即31λ-+＋31λλ+－4＝0，解得λ＝－7．代入①知所求的圆方程是 x 2＋y 2－x ＋7y －32＝0． 四、证明相关问题例4 证明椭圆22205x y +＝1与双曲线22123x y -＝1的交点在同一个圆上． 证明：由椭圆22205x y +＝1即为x 2＋4y 2－20＝0，双曲线22123x y -＝1即x 2－4y 2－12＝0，故过椭圆及双曲线的交点的所有曲线(不含f 2(x ，y )＝0)的方程为(x 2＋4y 2－20)＋λ(x 2－4y 2－12)＝0即(1＋λ)x 2＋(4－4λ)y 2－20－12λ＝0 ① 令1＋λ＝4－4λ≠0，得λ＝35，代入①得x 2＋y 2＝17 这说明椭圆与双曲线的交点在同一个圆x 2＋y 2＝17上．运用曲线系解曲线方程问题张宽锁在《解析几何》中，有关求曲线方程的问题，大都采用待定系数法求解，而采取这种方法有时未知数多，解方程组比较麻烦，有些还要分类讨论，因此，有没有一些更简便的方法解决这些问题呢？本文就此谈谈曲线系方程的应用。
高中数学选择性必修一课件：3.2.3双曲线的方程与性质的应用
课后提能训练
解：(1)由已知可设双曲线E的方程为 ax22－by22＝1(a>0，b>0)，
c＝2， 则a42－b92＝1，
c2＝a2＋b2，
解得ba22＝＝31，，
所以双曲线E的方程为x2－y32＝1.
|课堂互动|
|素养达成|
课后提能训练
(2)当直线l斜率不存在时，显然不合题意， 所以可设直线l方程为y＝kx＋1.
3 3
，且右焦点为
F(2,0)，从而得到∠FON＝30°，所以直线MN的倾斜角为60°或120°.根据
双曲线的对称性，设其倾斜角为60°，可以得出直线MN的方程为y＝ 3(x
－2)，分别与两条渐近线y＝
3 3
x和y＝－
3 3
x联立，求得M(3，
3 )，
N32，－ 23，所以|MN|＝
3－232＋ 3＋ 232＝3.
A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋k12|y1－y2|. 提醒：若直线方程涉及斜率，要注意讨论斜率不存在的情况．
|课堂互动|
|素养达成|
课后提能训练
2．中点弦问题 与弦中点有关的问题主要用点差法、根与系数的关系解决．另外， 要注意灵活转化，如垂直、相等等问题也可以转化成中点、弦长等问题 解决．
－
y2 b2
＝1⇒y＝±ba2
.对于过双曲线一个焦点的弦
长，如果弦是在同一支上，那么最短的弦是垂直于x轴的弦，长度为
2ab2；如果弦是跨两支，那么最短的弦为实轴2a.
过双曲线x2－y22＝1的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点．
|课堂互动|
|素养达成|
课后提能训练
若l⊥x轴，则AB为通径，而通径长度
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
双直线二次曲线系方程的几个应用实例
具体可以参考中等数学2009年第8期文章《二次曲线中点弦、切线、切点弦及双切线方程》，华东师大《奥数教程》高二分册，本文为原创，如有雷同，纯属巧合！
大家都知道解析几何里有一个重要的工具：曲线系。
灵活用好曲线系，可以一定程度上减少计算量，甚至收获意想不到的效果。
不管是参加高考还是联赛，都有必要了解一下设曲线系一些基本思路。
一、首先要了解的是二次曲线的三条线：
1、过曲线上一点与曲线相切的直线，称为切线。
2、过曲线外一点引两条切线，得到两个切点，这两个切点连成的直线，称为切点弦。
3、过曲线内一点任作两条弦，与曲线有四个相异的交点，与两条弦相异的两组点连成的两条直线的交点的轨迹。
（特别地，当这两条弦重合时，即过该点作一条弦与曲线交于两点时，对应的交点为过这两点的切线的交点，称为虚切线。
）
二、二次曲线一般形式为02
2=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax (A 和C 不同时为0)。
注：上述二次曲线方程可以表示：圆，椭圆，抛物线，双曲线（圆锥曲线）；两条相交直线；两条平行直线（可以通过因式分解得到）；一条直线（直线一般式方程平方即可得到）；一个点（例如点圆，在圆的方程中令r 为0即可）。
三、贯穿本文的一个基本原理是：
过二次曲线f(x,y)和g(x,y)的交点的二次曲线系，可以记为：λf(x,y)+μg(x,y)=0.
目录
第一题：2008全国高中数学联赛一试解析几何题
第二题：2010全国高中数学联赛A 卷一试解析几何题
第三题：比较常见的高考解析几何题
第四题：2012版天利38套，太原市高三模拟考试（一）
第五题：2012版天利38套，太原市高三年级调研考试
第六题：2010全国高中数学联赛B 卷一试解析几何题
第一题：(2008全国高中数学联赛一试，改编)P （t t 2,22）是抛物线22y x =上的动点，点B C ,在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆，求将B,C 两点间距离表示为关于t 的函数关系式。
【解答过程】
第二题：（2010全国高中数学联赛A卷一试）
【解答过程】
【总结】过圆锥曲线上任意一点作两条斜率互为相反数的直线，那么两条直线与曲线的两个交点连线的斜率为定值。
【解答过程】
【解答过程】
【解答过程】
前五题已经解答完成了，总结一下：
第一，都没有使用韦达定理。
韦达定理是个经典的不能再经典的工具，固然强大，但联立方程计算易错，两根和，两根积，一般是一摞一摞的分式，在卷面上总是有点那什么呢。
第二，利用曲线系方程，实际上把计算难度转移到直线方程系数比较上。
但是，比较系数，直观，不易错，原理也不难理解。
调整两个多项式恒等，其对应系数必须都相等。
第三，设出来的曲线系含有待定的系数“λ”或者“u”，有些时候我们需要先计算出待定系数的值，再去比较系数。
更多的时候设而不求，因为这个待定系数对整个多项式的x,y,xy没有贡献。
第四，要联系几何意义，知道它表示什么曲线。
要表示这种曲线，就必须满足什么条件。
由此得到系数间的一些关系。
第五，话不能说绝了，这种方法有它缺点。
参见下面的第六题。
第六题：。