第五章。电磁感应 1 一无限长直导线载有50A直流电流,旁

r b dr
r
0 I bL ( L b ln ) 2 b
由 OA >0或由（v B ）可知，电动势 OA 的方向从 O 指向 A ， A 即 点电势高。
注释: 本题涉及的是金属棒在非均匀磁场中的运动情况。 无限长载流直导线在其周围空间产生非均匀磁场，金属 棒在其中切割磁场线，因此在金属棒上产生感应电动势。 值得注意的是，金属棒上的每一个线元所处的磁感应强 度B都不相同，所以在求总的动生电动势时采用积分求解。
感生电动势。

6.
如图所示，将一个圆柱形金属块放在高频感应炉中加热，
设感应炉线圈产生的磁场是均匀的，磁感应强度的方均根值 为B ,频率为 f ，金属柱的直径和高分别为D和h，电导率为 ，
金属柱的轴平行于磁场。设涡流产生的磁场可以忽略，试求
金属柱内涡流产生的热功率。 解: 按题意可设线圈磁场的磁感 应强度bFra bibliotek
故ab上的感生电动势是
ab
dB 2 EV dl h tan 0 dt
与前面的方法结果相同。
注释： 在对称系统中，可由变化磁场求解出感应电场，感
生电场力充当非静电力，对导线中的自由电荷作功，使导 线两端产生电势差。一段直导线ab上的感生电动势与回路
abc d上的总感生电动势是不相等的，这是因为 cd 弧上也有
Bt Bm sin t Bm sin2ft
Bm 为最大值。
金属圆柱体可看作是由一系列半径逐渐变化的薄圆筒所组成。 每层薄圆筒自成一闭合回路，其内产生涡流，涡流因距离 r 不同而不同。在圆柱体内取半径为 r (0 r D ) ，厚为dr的薄圆 2 2r 筒，它的电阻为 dR ，由法拉第电磁感应定律可知，薄 hdr 圆筒内的感应电动势为
2
(2)由法拉第电磁感应定律，小线圈中的感应电动势为
2 2 3 I r R dx d 0 dt dt 2x 4
dx 把 x NR, v 代入，得 dt
3 0 Ir 2 v 2 4 2R N
(3) 若 v >0，则
减小，由楞次定律可知，小线圈中感应
电流 I 的方向应与大线圈中电流的方向相同。
块中形成涡电流。圆柱形金属块可以看成是由许多同轴 的薄圆筒组成。每一个柱筒中因磁通量变化产生的感应 电动势及柱筒的电阻，确定了在该柱筒中涡流产生的瞬 时热功率。积分可得整个金属块因涡流产生的瞬时热功

解 无限长直导线在金属棒转动 平面内激发的磁场是非均匀的， 方向垂直纸面向外。 在金属棒上沿OA方向任取一线 元dl, dl至O点距离为l，距无限 长直导线距离为r，由无限长直 载流导线产生磁场的公式可知， 该处的磁感应强度大小为
0 I B 2r
（方向垂直纸平面向外）
当棒旋转至图示位置时，金属OA上各线元的速度方向均 垂直各线元沿平面向上，其夹角
由法拉第电磁感应定律可知，N匝线圈内的感应电动势为:
0lIN a vt a vt v b vt v d N 2 dt 2 b vt a vt
0lIN a vt v b vt v b vt a vt 2
令=0，并代人数据，则得线圈刚离开直导线时的感应电动势
d N dt
t 0
0 lIN 1 1 0 NlIv b a ( ) 2 a b 2ab
4 107 103 0.2 5.0 3.0 0.2 0.1 2 0.1 0.2


2
( v B )的方向沿 OA 方向，即( v B )与dl 间夹角为零。 由于线元 dl 速度大小 v l 所以 dl 上的动生电动势大小为
d v B dl (vB sin ) cos 0 dl Bldl 2
0

金属棒上总的动生电动势大小为
OA d v B dl
x
x
x
x
解: (1) 由载流圆线圈在轴线上产生的磁场公式可知，小线圈所 在处的磁场为：
B
2R x
2

0 IR
2
2 32

当 >> R 时，上式可改写为
x
B
0 IR 2
2x
3
由题设小线圈内磁场可看作是均匀 的，故通过小线圈的磁通量为
B S BS

0 IR
2x
3
2
r
在此薄圆筒上涡流的瞬时功率为
d d Bmr 2 sin 2ft dt dt 2 2 fr 2 Bm cos2ft


dP i

2
dR
2 fr Bm cos2ft
2 2


2
2r / hdr
3
2 f hB cos 2ft r dr
=0位置时某一等效线圈的 两侧磁通量相等，此等效线圈 的两侧边分别与长直导线相距 r1 和 r2 . 则通过此等效线圈的磁通量为


1
0 aI r2 d B dS ln S r1
式中 r1 , r2 可由余弦定理求得
r a b 2abcos a b 2abcost
3.0 103(V)

按楞次定律可知的方向为图（b）中的顺时针方向。 注释: 这是法拉第电磁感应定律的直接应用。当线圈中的磁通 量发生变化时，在线圈中就会激发出感应电动势，对于闭合线 圈，就会在其内部产生感应电流。求解这类问题的关键是确定 磁通量的变化关系。
2. 如图（a）所示，无限长直导 线中的电流为I，在它附近有一 边长为2a的正方形线圈，可绕其 中心轴 OO 以匀角速度 旋转, 转轴 OO 与长直导线的距离为 b 。 试求线圈中的感应电动势。 解 : 由于线圈ABCD在磁场中旋 转，穿过其上的磁通量发生变化， r 则由法拉第电磁感应定律任意角 t 时，如图（b）所示， 度 这时通过线圈的磁通量与通过
注释 本题中的小线圈相当于以 的速度在沿大线圈的轴 线运动。由于大线圈在轴线上产生的磁场是非均匀场，所 以穿过小线圈的磁通量随时间变化，故产生感应电动势。 由于 x
v
R , 所以小线圈平面内的磁场可认为是均匀磁
场，这种近似条件值得注意。
4。如图所示，一长为 L 的金属棒 OA 与载有电流 I 的无限长直 导线共面，金属棒可绕端点 O 在平面内以角速度 匀速转 动。试求当金属棒转至图示位置时（即棒垂直于长直导线）， 棒内的感应电动势。
0 a bI 1 1 ( 2 2 ) sin t 2 2 a b 2abcost a b 2abcost
2
的方向作周期性变化。
注释 : 本题关键是确定线圈ABCD的磁通量变化关系，再由 法拉第电磁感应定律，确定出线圈中的感应电动势。
3. 如图所示为具有相同轴线的两个导线回路，小线圈在大线 圈上面处 ，已知大、小线圈半径分别为R 和r ，且 >> R ， 故当大线圈中有电流 I 按图示方向流动时，小线圈所围面积 2 内（ r ）的磁场可近似视为均匀的。设大小线圈在同轴情 dx 况下，其间距 以匀速 v 变化。试求： dt (1) 穿过小线圈的磁通量 和 之间的关系； (2) 当 x NR 时（N 为一正数），小线圈内产生的感应电动势。 (3) 若 v >0，小线圈内感应电流的方向。

B 0 R h tano
2 2


abc d a回路上的总电动势为
d dB 0 R 2 h 2 tan 0 dt dt


因为
EV dl EV dl EV dl EV dl
a b c d
b
c
d
a
EV dl 0 Er R 2 0 R0 0
b a
dB R 2 EV dl 2 0 R0 a dt 2 R0
b
dB EV dl 0 R 2 a dt
b
所以
dB dB 2 2 2 E dl R R h tan 0 0 0 a V dt dt
第五章。电磁感应
1. 一无限长直导线载有5.0A直流电流，旁边有一个与它共面 的矩形线圈ABCD，已知l= 20cm, a = 10cm, b=20cm；线圈共有 N = 1000匝，以v= 3.Om/s的速度离开直导线，如图所示。试求 线圈里的感应电动势的大小和方向。 解：由于为稳恒电流，所以它在空间各点产生的磁场为稳恒 磁场。当矩形线圈运动时，不同时刻通过线圈的磁通量发生变 化，故有感应电动势产生。取坐标系如图（a）所示。 设矩形线圈以速度以图示位置开始运动， 则经过时间之后，线圈位置如图（b）所示， 取面积元ds=Ldx，距长直导线的距离为 x，按无限长直载流导 线的磁感应强度公式，该处B的大小为：
3 2 2 m 2
故整个金属柱体内涡流的瞬时功率为
2 P dPi 2 3 f 2hBm cos 2 2ft r 3 dr
D 2 0
1 D 2 f hB cos 2ft 4 16
3 2 2 m 2
4
1 3 2 2 2 f hBm cos 2ft 32
L L
Bldl
0
L
L
0
0 I ldl 2r
在上式中，r , l 均为变量，必须先统一变量后才能进行积分， 由图示可知， l r b, dl dr ,将其代人上式故
OA
b L
b
0 I 0I r b dr 2r 2

b L
b
Bh tan0
2
d dB 2 h tan 0 dt dt
因Oa边上和Ob上无感生电动势，故上式的结果就是一段